REVISÃO DE MATEMATICA, FÍSICA E SI - 13.2

REVISÃO DE MATEMÁTICA E SI - PROGRAMA

Equação do 1º grau;

Potenciação e radiciação;

Razão e proporção;

Regra de três;

percentagem

Trigonometria;

Logaritmo decimal;

Logaritmo natural ou neperiano;

Regras de diferenciação;

Integrais imediatas.

Sistema Internacional de Unidades - SI

As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma

ax + b = 0,

em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a variável. PROPRIEDADES:

 Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se mantém.

 Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um mesmo número não-nulo, a igualdade se mantém.

Ex. 1: 5x = 10 + 4x 5x – 4x = 10 + 4x – 4x x = 10 Ex. 2: 3x = 15 3x = 15 3 3 x = 5

PROPORÇÕES – REGRA DE TRÊS

Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos: 3 = 120

5 x o produto dos meios é igual ao produto dos extremos 3x = 5.120

x = 5.120/3 = 200

POTENCIAÇÃO

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são

iguais

Exemplo

5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³= 5x5x5=125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos : a) 7²= 7x7=49

b) 4³= 4x4x4=64 c) 5 = 5x5x5x5=625⁴ d) 2 = 2x2x2x2x2=32⁵

O expoente 2 é chamado de quadrado O expoente 3 é chamado de cubo

O expoente 4 é chamado de quarta potência. O expoente 5 é chamado de quinta potência. Assim:

a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo

c) 5 Lê-se: cinco elevado a quarta potência⁴ d) 2 Lê-se: dois elevado a quinta potência⁵

RADICIAÇÃO

Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9? Solução

Sendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3

Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciação Exemplos

Potenciação---radiciação a) 7² = 49 --- √49= 7 b) 2³= 8 --- 8 = 2∛ c) 3 = 81 --- 81 = 3⁴ ∜ O sinal √ chamamos de radical

O índice 2 significa : raiz quadrada O índice 3 significa: raiz cúbica O índice 4 significa: raiz quarta

RADICIAÇÃO

assim:

√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49 ∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8 ∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81 Nota:

Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadrada

Obs.: Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:

1°) parênteses ( ) 2°) colchetes [ ] 3°) chaves { }

Razão e proporção

1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8 Resolução:

Vamos igualar as razões. 8 = 2 X 7 2x = 8 x 7 2x = 56 X = 56/2 X = 28

Escala e noção de proporção

2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho

Resolução: Escala: 1

20

Sabendo que 1m = 100 cm. Então 5m = 5 x 100 = 500 cm. O comprimento no desenho será: 500 x 1 = 500 / 20 =25 cm

20

Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm

Razão e proporção

3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?

Resolução: Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.

x/y = 5/4 (Igualam-se as razões) x + y = 45 (Soma total de alunos)

x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções) x 5

45/x = 9/5 ---> 45 x 5 = 9x

225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças

Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos : 25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes

Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças

Regra de três

Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá : Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.

Resolução:

60 s ---> 45 voltas 4 s ---> x

Resolvendo a regra de três acima : 60x = 45 x 5

60x = 180 X = 180/60

Uma pesquisa realizada pelo IBGE constatou que a população de uma

cidade havia aumentado de 82.350 para 105.200 habitantes. Calcule o valor desse aumento em índices percentuais.

Resolução:

FATORAÇÃO -

produtos notáveis

Definição de Fatoração

A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.

Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:

Diferença de Dois Quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

O produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados.

Ex. 25y2 – 9x2

Visto que a2 _{- b}2 _{= (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a}

seguir:

Agrupamento:

Diferença de Dois Quadrados: a2 _{- b}2 _{= (a + b)(a - b)}

Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.

Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a2 _{+ 2ab + b}2 _{= (a + b)}2

Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma

Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a2 _{- 2ab + b}2 _{= (a - b)}2

Cubo Perfeito - Soma: a3 _{+ 3a}2_{b + 3ab}2 _{+ b}3 _{= (a + b)}3

Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da soma de dois termos.

Cubo Perfeito - Diferença: a3 _{- 3a}2_{b + 3ab}2 _{- b}3 _{= (a - b)}3

A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o

Revisão de Trigonometria

Cos2 = Cos2 + 1 e Sen2 = 1 – Cos2

2 2

5º) Os dois arames estão interligados em A. Se a carga P

provocar o deslocamento vertical de 3 mm ao ponto A, qual

será a deformação normal provocada em cada arame?

Concentração de Tensões de Tração

Todo componente estrutural que apresente descontinuidades como furos ou variação brusca de seção, quando solicitados, desenvolvem tensões maiores na região de descontinuidade do que a tensão média ao longo da peça

a) Distribuição de tensão de tração uniforme numa barra de seção constante; b) Distribuição de tensões de tração próximas a um furo circular.

LOGARITMO

Na matemática, o logaritmo (do grego: logos= razão e

arithmos= número),

se b > 0 e b 

 1,  o logaritmo na

base b de x é denotado por log

x

b

y

= x  log

b

x = y

Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada

base deve ter para produzir certa potência.

A função logaritmica é inversa a função exponencial

Domínio: 0 a + contradomínio: - a +

Logaritmo Decimal

O logaritmo decimal de um número x é a soma de um

número inteiro c com um decimal m menor que 1, em que o

decimal m é denominado mantissa.

log x = c + m, onde 0 ≤ m < 1.

Ex. calcular log 620

10² < 620 < 10³ → log10² < log 620 < log10³

Para comprovarmos essa propriedade basta utilizarmos

uma calculadora científica, através da tecla log. Digite o

número, no caso 620 e aperte a tecla log, observe que

teremos como resultado o número decimal 2,792391

Logaritmo natural ou neperiano (John Neper)

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é

um número irracional aproximadamente igual a

2,718281828459045... chamado de número de Euler e

representado por ln x

Propriedades dos Logaritmos Naturais

•

ln 1 = 0

•

_{ln e = 1}

•

ln e

n

= n

•

_{ln (x · y) = ln (x) + ln (y)}

•

ln (x / y) = ln (x) − ln (y)

•

ln x

n

= n ln (x)

Decimais log 1 = 0

log 10 = 1

log 10

n

= n

Mudança de Base

a base nova "c", pode ser qualquer

número que satisfaça a condição de

existência da base, ou seja,

TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS

f

∫x

_{dx = x}

_{+ C para α ≠ - 1}

α + 1

f

∫1 dx = ln|x| + C

OBRIGADO

Hipérbole equilátera Parábola Circunferência e Elipse Hipérbole

Parábola:

ax2 _{+ bx + c = 0}

Elipse:

x2 _{+ y}2 _{= 1}

O Brasil adotou o Sistema Internacional de Unidades - SI

em 1962.

A Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de

Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial –

CONMETRO ratificou a adoção do SI no País e tornou seu

uso obrigatório em todo o território nacional.

No Sistema Internacional temos duas classes de unidades:

as unidades de base e as unidades derivadas.

De acordo com o INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia,

Normalização e Qualidade Industrial, 2007) a Conferência Geral de

Pesos e Medidas, levando em consideração as vantagens de se adotar

um tema prático único para ser utilizado mundialmente nas relações

internacionais, no ensino e no trabalho científico, decidiu

basear o Sistema Internacional em sete unidades, consideradas como

independentes sob o ponto de vista dimensional:

REVISÃO DAS LEIS DE NEWTON

1º Lei de Newton: Princípio da Inércia

"Todo corpo permanece em seu estado de repouso, ou

de movimento uniforme em linha reta, a menos que

seja obrigado a mudar seu estado por forças impressas

nele"

Exemplo da primeira Lei de Newton:

Um foguete no espaço pode se movimentar sem o auxilio dos

propulsores apenas por Inércia.

Quando os propulsores do foguete são desligados ele continua seu

movimento em linha reta e com velocidade constante

2º Lei de Newton: A Força

"A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa

e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime essa força“.

Força , em física, qualquer ação ou influência que modifica o estado

de repouso ou de movimento de um corpo. A força é um vetor, o que

significa que tem módulo, direção e sentido.

Quando várias forças atuam sobre um corpo, elas se somam

vetorialmente, para dar lugar a uma força total ou resultante.

No Sistema Internacional de unidades, a força é medida em newtons.

Um newton (N) é a força que proporciona a um objeto de 100g de

massa uma aceleração de 1m/s²

Exemplo da segunda Lei de Newton:

Os carros podem aumentar e diminuir suas velocidades graças ação

de forças aplicadas pelo motor e pelo freio respectivamente.

3º Lei de Newton: Princípio da Ação e Reação

"A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja,

as ações de dois corpos um sobre o outro são sempre

iguais e se dirigem a partes contrárias "

Sempre que dois corpos quaisquer A e B interagem, as

forças exercidas são mútuas.

Exemplo da terceira lei de Newton:

Para se deslocar, o nadador empurra a água para trás, e, esta por

sua vez, o empurra para frente.

UNIDADES UTILIZADAS PARA FORÇA E TENSÃO

SISTEMA METRICO PRÁTICO- massa ou força: kg ou kgf

O valor numérico da unidade de massa é a mesma da unidade de força.

Ex.: 40kg ou 40kgf, na balança temos a massa de 40kg e na mão a

força de 40kgf.

Quanto vale 1N (newton) em Kgf (Quilograma força) ?

1 kgf = 9,8 Newtons , 1N =1kg.m/s

, (2ª lei de Newton)

1 kgf = 9,8 N ~10N

Então:

1 Newton = (1 / 9,8) kgf

1 Newton = 0,102 kgf (aproximado)

Peso

Peso é a força gravitacional sofrida por um corpo nas vizinhanças

de um planeta.

É uma grandeza vetorial e, portanto, possui módulo, direção e

sentido. Matematicamente temos:

P =m.g

ENGENHOSIDADE – LEVANTAMENTO DE PESOS

53

Talha Exponencial

Fórmula Geral:

F = R

2

Onde, n = número de polias móveis

Talha Elétrica Talha Diferencial

O EAS investiu US$65milhões na aquisição de dois Golias, capacidade de Içar peças com até 1500t cada.

DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS: CONTRA-ESTERÇAR CURVA A ESQUERDA Eixo Mot o/Pi loto Peso Moto/Piloto Centro de gravidade Moto/Piloto For ça C entr_ífug a Co mp one nte _M oto /Pilo_to 

 = ângulo de inclinação variável Moto/Piloto.

Componente horizontal Moto/Piloto = Peso Moto/Piloto Sen  = Reação a Força Centrifuga. A força Centrífuga depende do peso do veículo, de sua velocidade e do raio de curvatura.

POSTURAS EM CURVAS

Em curvas mais lentas, incline só a moto e mantenha o corpo reto

Em curvas mais rápidas, incline o corpo mais do que a moto

CONSTRUÇÃO NAVAL

Estaleiro Atlântico Sul

160 mil toneladas aço/ano Dique seco – 400/73/12 m 5.000 funcionários Carteira de Pedidos: 14 Petroleiros Suezmax 07 Navios Sonda 08 Petroleiros Aframax 01 Plataforma (P55-casco) Estaleiro Construcap

Início obras dezembro/11 1.000 funcionários

Carteira de Pedidos: (??) Plataformas

Estaleiro Promar

Início obras julho/11 2.000 funcionários Carteira de Pedidos: 08 Navios Gaseiros

(?) Navio Apoio Offshore

Estaleiro Galíctico

Protocolo intenções 1.500 funcionários Carteira de Pedidos: Reparos Navais

1º Petroleiro: João Cândido 07/05/10- Suezmax 274 metros de comprimento e capacidade de um milhão de barris de petróleo

SENAI

Matemática Aplicada:

- CONJUNTOS NUMÉRICOS

- MEDIDA, UNIDADES E TRANSFORMAÇÕES

- RAZÃO

- PROPORÇÃO