Propagação superluminal de pulsos com suporte compacto suave em circuitos eletrônicos

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(1)UFAL. CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS DEPARTAMENTO DE FÍSICA. CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA. Propagação Superluminal de Pulsos com Suporte Compacto Suave em Circuitos Eletrônicos por Samuel Teixeira de Souza. 8QLYHUVLGDGH)HGHUDOGH$ODJRDV Campus A. C. Simões Tabuleiro dos Martins 57.072-970 - Maceió - AL..

(2) Universidade Federal de Alagoas Instituto de Física. PROPAGAÇÃO SUPERLUMINAL DE PULSOS COM SUPORTE COMPACTO SUAVE EM CIRCUITOS ELETRÔNICOS. Samuel Teixeira de Souza. Alagoas 2010.

(3) Universidade Federal de Alagoas Instituto de Física. PROPAGAÇÃO SUPERLUMINAL DE PULSOS COM SUPORTE COMPACTO SUAVE EM CIRCUITOS ELETRÔNICOS. Samuel Teixeira de Souza. Dissertação apresentada ao Departamento de Física da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Ciências.. Orientador: Prof. Dr. Jandir Miguel Hickmann. Co-Orientador: Prof. Dr. Márcio A. R. C. de Alencar. Alagoas 2010.

(4) Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecário: Marcelino de Carvalho Freitas Neto S729p. Souza, Samuel Teixeira de. Propagação superluminal de pulsos com suporte compacto suave em circuitos eletrônicos / Samuel Teixeira de Souza, 2010. 124 f. : grafs. Orientador: Jandir Miguel Hickmann. Co-orientador: Márcio A. R. C. de Alencar. Dissertação (mestrado em Física da Matéria Condensada) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Física. Maceió, 2010. Bibliografia: f. 121-124. 1. Pulso, geradores de. 2. Informação, velocidade da. 3. Circuitos eletrônicos. I. Título. CDU: 537.87.

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(6) Aos meus pais Genair e Leonora, esteio da minha existência, e a minha esposa Geovana, por todo amor, paciência e dedicação..

(7) Agradecimentos • À Deus, sem Ele nada é possível; • À minha amada esposa, pelo apoio e incentivo durante toda esta jornada; sem ela eu tenderia ao fracasso;. • Ao professor Jandir Miguel Hickmann, pela oportunidade de desenvolver esta pesquisa sob sua orientação, por sua experiência, suas críticas e sugestões, bem vindas e necessárias, à realização do mestrado; • Ao professor Marcio A. R. C. Alencar, meu co-orientador no mestrado, por sua grande ajuda e apoio, sem o qual eu não conseguiria terminar esta tarefa;. • Aos integrantes do grupo OPTMA que proveram-me muitas oportunidades; Ao professor Eduardo J. da S. Fonseca e todos os colegas de trabalho, em especial ao. Hemerson P. S. Castro, amigo de longa data, pelo incentivo à cursar o mestrado e por dividir pacientemente a sala comigo; Também ao Cássio E. A. dos Santos que muito nos ajudou em nossa vinda à Maceió; • À minha família que, apesar de longe, sempre me apoiou; • À CAPES pela concessão da bolsa de mestrado, que tornou possível este trabalho; • Aos professores e colegas do Instituto de Física da UFAL que proveram-me com ensinamentos;. • À todos que, de forma direta ou indiretamente, contribuíram para a elaboração deste trabalho..

(8) "Nosso mundo é composto de gigantes nucleares e anões éticos. Sabemos mais sobre a guerra do que sobre a paz, mais sobre matar do que sobre viver. Descobrimos o segredo do átomo e rejeitamos o sermão da montanha." Extraído da Revista Seleções. "Feliz é o homem que colhe bons frutos do seu trabalho." Obrigado Senhor.

(9) Resumo Neste trabalho, utilizando pulsos baseados em funções com suporte compacto e pontos não analíticos de intensidade zero, infinitamente deriváveis e perfeitamente suaves, demonstramos, numérica e experimentalmente, uma nova abordagem para modelar a informação propagando se através de um circuito eletrônico de atrasos de grupo negativo. Aqui, a informação é associada a um ponto não analítico presente na asa frontal do pulso. O pulso ou qualquer uma de suas derivadas não apresenta qualquer descontinuidade, em contradição direta com a literatura padrão que alega a necessidade de uma frente de onda descontínua ou derivadas descontínuas para codificar a informação. Nossos resultados mostram que o ponto não analítico na asa frontal do pulso se propaga com uma velocidade igual à velocidade da luz no vácuo  para todos os casos investigados. Descobrimos que a influência da causalidade sobre a propagação do pulso, não apenas limita a velocidade deste ponto, mas pode causar grandes alterações na forma dos pulsos durante a sua propagação através de um sistema superluminal, produzindo uma frente abrupta e até mesmo um choque de onda do pulso. Nossos resultados contribuem para uma melhor compreensão da propagação da informação e esclarecem talvez um dos últimos equívocos sobre a superluminalidade e a velocidade da informação.. Palavras-chave: Superluminalidade, função com suporte compacto e velocidade da informação.

(10) Abstract In this work, using pulses based on functions with compact support and perfectly smooth infinitely diﬀerentiable zero intensity non analytical points, we demonstrated numerically and experimentally a new approach to model information propagating through an electronic circuit producing negative group delays. Here, the information is associated to smooth non analytical points present in the leading edge of a pulse. The pulse or any of its derivatives does not present any discontinuity, in direct contradiction with standard literature that claims the necessity of a discontinuous front or a discontinuous derivative in order to code information. Our results show that the non analytical point in the pulse’s leading edge propagates with a velocity equal to velocity of light in vacuum  for all investigated cases. We find that the causality influence on the pulse propagation not only limits the speed of this point, but it may strongly modify the pulses during their propagation through a superluminal system, producing pulse steepening and even pulse breakup. Our results contribute to a better understanding of information propagation and shed light over perhaps one of the last misconceptions regarding superluminality and the speed of information.. Keywords: Superluminality, function with compact support and speed of information..

(11) Lista de Figuras 1.1 Modelo simples para um elétron para estudo da absorção e dispersão. . . . 1.2 Índice de refração e coeficiente de absorção próximo a uma ressonância. . . 1.3 Representação esquemática de um pulso em termos das suas várias componentes. Note que essas contribuições somam em fase no pico do pulso. . . . 1.4 Velocidade de grupo como uma função da dispersão. Neste gráfico, para o qual 0 = 1, a velocidade de grupo é demonstrada como uma função de . Para  positivo (dispersão normal), 0      (curva sólida azul). Para  negativo (dispersão anômala),     ou   0 (curva tracejada vermelha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Representação esquemática de um pulso se propagando através de um meio com vários valores de velocidade de grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 (a)  como uma função de  e (b)  como uma função de . Em ambos os casos, a linha tracejada em vermelho representa luz rápida e a linha sólida em azul representa luz lenta. Para esses gráficos, 0 = 1 . . 1.7 (a) Pulso incidente e (b) pulso transmitido para uma comprimento L de propagação e velocidade de grupo     A parte sombreada de (b) é completamente determinada pela parte sombreada de (a). . . . . . . . . . . 1.8 Esquema de uma função analítica [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Esquema ilustrativo de duas funções com pontos não analíticos [21]. . . . . 1.10 Esquema do pulso com suporte compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 31. 2.1 Simbolo do amplificador operacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modo de operação (a) sem realimentação, (b) com realimentação positiva e (c) com realimentação negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 (a) Amplificador inversor e (b) amplificador não-inversor. . . . . . . . . . . 2.4 Circuito eletrônico (caixa preta) para atrasos negativos. . . . . . . . . . . . 2.5 Circuito amplificador operacional com realimentação negativa [30]. . . . . . 2.6 Resultado experimental mostrando o avanço do pulso [6]. . . . . . . . . . . 2.7 Resultado experimental mostrando que a descontinuidade não pode avançar [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Circuito amplificador sintonizado que exibe atrasos negativos em certas regiões do espectro de frequência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Fase (curva sólida azul) e ganho (curva tracejada vermelha) da função de transferência para o amplificador sintonizado mostrado na Figura 2.8. Parâmetros:  = 0 1 0 e  2 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 46. 48 49. 55. 59 60 61 63. 70 73 75 79 81 82 87. 88.

(12) LlvwdăghăIljxudv 2.10 Atraso de grupo para a função de transferência do amplificador sintonizado mostrado na Figura 2.8, como uma função da freqüência da portadora. Parâmetros:  = 0 1 0 e  2 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.11 Linha de transmissão superluminal formada por secções da linha de transmissão normal intercaladas com o amplificador sintonizado mostrado na figura 2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1 Forma do pulso idealizado no experimento de Stenner. Note que os dois pulsos são inicialmente idênticos. A informação está contida no ponto onde eles divergem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Esquema de um pulso com suporte compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Modelo do circuito de atraso negativo utilizado em nossos estudos. . . . . . 3.4 Representação dos elementos, do circuito de atraso de grupo negativo, através de sua impedância complexa equivalente . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Simplificação do circuito em termos das impedância equivalentes 1 e 2 . . 3.6 Circuito resultante da aplicação das "Regras de Ouro". . . . . . . . . . . . 3.7 Ganho (curva tracejada vermelha) e fase (curva sólida azul) da função de transferência do filtro linear passivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Ganho (curva tracejada vermelha) e fase (curva sólida azul) da função de transferência total  () do circuito de atraso de grupo negativo. . . . . . . 3.9 Atraso de grupo como uma função da freqüência da portadora para o circuito de atraso negativo descrito neste capítulo. . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Esquema de montagem de um circuito de ganho unitário. . . . . . . . . . . 3.11 Configuração experimental. Um amplificador de ganho unitário foi incluido entre o  3252 e o osciloscópio como referência para o avanço de grupo provocado pela cadeia de circuitos de atraso negativo e para evitar realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Resultado experimental e simulação numérica da propagação de um pulso Gaussiano através de um circuito de ganho unitário (curva tracejada vermelha) e um circuito de atraso negativo (curva sólida azul). Parâmetros:  = 2 0 e   = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 Resultado experimental e simulação numérica da propagação de um pulso Gaussiano através de um circuito de ganho unitário (curva tracejada vermelha) e três circuitos de atraso negativo (curva sólida azul). Parâmetros:  = 2 0 e   = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 Espectro do pulso Gaussiano de entrada mostrado nas figuras 3.12 e 3.13 juntamente com a fase e o ganho da função de transferência total do circuito. Note que a parte significativa do espectro do pulso é limitado ao interior da região onde a mudança de fase em função da freqüência é aproximadamente linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 Resultado experimental e simulação numérica da propagação de um pulso Gaussiano através de um circuito de ganho unitário (curva tracejada vermelha) e através de um e de três circuitos de atraso negativo (curva sólida azul). Parâmetros:  = 1 0 e   = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Instituto de Física - UFAL. 96 98 100 101 102 102 103 104 105 107. 108. 109. 110. 111. 111.

(13) OlvwdăghăIljxudv 3.16 Espectro do pulso Gaussiano de entrada mostrado na figura 3.15 juntamente com a fase e o ganho da função de transferência total do circuito.. Note que a parte significativa do espectro do pulso não está limitada a região onde a mudança de fase em função da freqüência é linear. . . . . . . 3.17 Modelo do pulso com SCS utilizado em nosso estudo. Os parâmetros deste pulso são:  = 350,  = 225,  = 100 e  = 0 Assim os pontos não p analíticos na forma de onda estão localizados em  =  = ±1 5 . . . 3.18 Resultado experimental e simulação numérica da propagação de um pulso com SCS através de um circuito de ganho unitário (curva tracejada vermelha) e a propagação superluminal da parte central deste pulso em um circuito de atraso de grupo negativo (curva sólida azul). . . . . . . . . . . 3.19 Resultado experimental e simulação numérica da propagação de um pulso com SCS através de um circuito de ganho unitário (curva tracejada vermelha) e uma frente abrupta devido a propagação através de dois circuitos de atraso negativo (curva sólida azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 Espectro do pulso com SCS de entrada mostrado nas figuras 3.18 e 3.19 juntamente com a fase e o ganho da função de transferência total do circuito. Note que, além das componentes adicionais de freqüências não presentes no espectro do pulso gaussiano, uma parte significativado do espectro deste pulso não está limitada a região onde a mudança de fase em função da freqüência é linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 Resultado experimental e simulação numérica da propagação de um pulso com SCS através de um circuito de ganho unitário (curva tracejada vermelha) e o choque de onda do pulso ao se propagar através de quatro circuitos de atraso negativo (curva sólida azul). . . . . . . . . . . . . . . .. Instituto de Física - UFAL. 112. 113. 114. 115. 116. 117.

(14) Vxpäulr Introdução. 16. 1 Superluminalidade e a Não Violação da Causalidade 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 A equação de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Superposição de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Dispersão e absorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Causalidade e relações de Kramers-Kronig . . . . . . . 1.5.1 Não-localidade no tempo . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Modelo simples para  ( ) . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Causalidade e domínio de analiticidade de  () 1.5.4 Relações de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . 1.6 Velocidade da informação e a causalidade de Einstein . 1.7 Velocidades da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Velocidade de fase e de grupo . . . . . . . . . . 1.7.2 Velocidade do transporte de energia . . . . . . . 1.7.3 Velocidade da frente . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Velocidade de sinal ou informação . . . . . . . . 1.8 Velocidade de grupo versus tempo de grupo . . . . . . 1.9 Não violação da causalidade de Einstein . . . . . . . . 1.10 Definição de ponto não analítico . . . . . . . . . . . . . 1.11 Função com suporte compacto suave . . . . . . . . . . 1.12 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 17 17 21 24 32 32 35 38 40 43 45 45 50 50 52 54 56 60 62 65. 2 Circuito de Atraso de Grupo Negativo e a Superluminalidade 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Revisão sobre circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Amplificador operacional, realimentação e as "Regras de Ouro" . . . . . . . 2.3.1 Amplificador operacional e a realimentação . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Regras de ouro na operação de um amplificador operacional . . . . 2.3.3 Amplificador operacional como amplificador inversor e não inversor 2.4 Atraso de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Função de transferência para atrasos de grupo negativos . . . . . . . . . . 2.6 Princípios para geração de atrasos negativos em circuitos eletrônicos . . . . 2.6.1 Atrasos de grupo negativos exigidos pelas "Regras de Ouro" . . . .. 66 66 67 68 69 71 72 74 76 79 79. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(15) Vxpäulr 2.6.2 Inversão da função de transferência dos circuitos lineares passivos . 2.6.3 Transporte de energia por pulsos nos domínios ópticos e eletrônicos 2.7 Analogias entre sistemas atômicos e circuitos eletrônicos . . . . . . . . . . 2.7.1 O amplificador sintonizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Velocidade da Informação: Discussões e Resultados 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 O que é informação? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Experimentos sobre a velocidade da informação . . . . . . . 3.4 Informação em pontos não analíticos numa função com SCS 3.5 Circuito e o experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 O circuito e a função de transferência . . . . . . . . . 3.5.2 Arranjo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Pulso Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Pulso com SCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Conclusão. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 83 84 86 87 91 93 93 94 95 97 99 100 106 108 112 119. Eleolrjudildăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă454ă. Instituto de Física - UFAL.

(16) 13. Introdução Há mais de um século R. W. Wood [1] observou a dispersão anômala e posteriormente Sommerfeld, Brillouin e outros desenvolveram a teoria de propagação da luz em meios anomalamente dispersivos. Em especial, Sommerfeld e Brillouin [2] identificaram cinco velocidades que caracterizam um pulso, entre as quais estavam a velocidade de fase, a velocidade de grupo, a velocidade da frente, a velocidade de transporte de energia e a então chamada velocidade do sinal, o que hoje chamamos de informação, sendo esta o foco do nosso trabalho. Brillouin salientou que, de acordo com as leis de dispersão, na região de dispersão anômala dentro de uma linha de absorção a velocidade de grupo, na qual o envelope do pulso viaja, poderia ser superluminal, ou seja, maior do que a velocidade da luz no vácuo . Garrett e McCumber [3] fizeram a primeira demonstração teórica que um pulso Gaussiano pode se propagar com velocidade de grupo superluminal e sem sofrer muitas distorções em sua forma inicial. Chu e Wong [4] verificaram experimentalmente essas previsões usando um laser de picosegundo se propagando através de um meio absorvedor numa região de dispersão anômala dentro de uma linha de absorção óptica. O principal problema durante estas e outras investigações sobre a propagação de pulsos de luz em sistemas superluminais, foi conciliar a possibilidade que a velocidade de grupo da luz pode exceder  com a exigência, da teoria da relatividade, que nenhum sinal (informação) pode ser transmitido superluminalmente. Todos esses autores ressaltaram que a velocidade de grupo superluminal não contradiz a teoria da relatividade, ou causalidade de “Einstein”. Na verdade, foi demonstrado que a causalidade exige que meios.

(17) Introdução. 14. com dispersão mostrem velocidades de grupo superluminais em alguma parte do espectro. Sommerfeld e Brillouin concluíram que a velocidade de grupo não é, em geral, a velocidade com que um sinal pode ser transmitido. Chiao et al [5] demonstraram, teoricamente, que alguns circuitos eletrônicos com amplificadores operacionais com realimentação negativa possuem analogias a sistemas atômicos de dois níveis com população invertida e que estes amplificadores sintonizados exibem comportamentos aparentemente não causal, tais como atrasos de grupo negativo e velocidade de grupo superluminal. Esses comportamentos contra-intuitivos da propagação superluminal de pulsos em circuitos eletrônicos também foram observados experimentalmente. O primeiro destes experimentos [6] utilizou um circuito eletrônico composto de um amplificador operacional com um filtro passivo RLC num ciclo de realimentação negativa. Este circuito produziu um atraso de grupo negativo de forma que o pico de tensão do pulso de saída apareceu na porta de saída do circuito antes que o pico de tensão do pulso de entrada chegasse à porta de entrada do circuito. Esse fenômeno aparentemente não causal, de fato, não viola o princípio da causalidade, já que existem informações suficientes numa pequena porção do início de qualquer forma de onda analítica para reproduzir a forma de onda inteira. Além disso, foi demonstrado que a causalidade está unicamente relacionada com a ocorrência de descontinuidades abruptas em um pulso e não com os picos de tensão deste pulso. Entretanto, como pode ser visto na Fig. 6 da referência [6], o pulso de saída é fortemente distorcido após a chegada da descontinuidade, apresentando oscilações muito grandes. Este é um resultado importante, pois claramente indica que tais descontinuidades abruptas não poderiam ter sido utilizadas no estudo da velocidade da informação em nosso circuito eletrônico neste trabalho. Desde os trabalhos seminais de Sommerfeld e Brillouin, dois pontos importantes sobre a velocidade da informação e sua propagação foram esclarecidos: (1) a velocidade de grupo não pode ser considerada como a velocidade da informação e (2) um pulso analítico não Instituto de Física - UFAL.

(18) Introdução. 15. pode transportar informações. Utilizando pulsos baseados em funções com suporte compacto perfeitamente suave e pontos não analíticos de intensidade zero, infinitamente deriváveis, mostraremos uma nova abordagem para modelar a informação se propagando através de um meio superluminal. Na verdade, a idéia de que a informação pode ser associada com pontos não analíticos estava implícita na definição de sinal por Sommerfeld. No entanto, a falta de uma forma adequada para representar a informação levou vários autores a realizarem investigações empregando pulsos com descontinuidades abruptas [7, 8], entretanto, mesmo com os melhores esforços experimentais, a velocidade da informação não pôde ser observada de forma clara e as incertezas associadas às suas medidas foram grandes. A beleza da nossa abordagem, que descreve a primeira utilização direta de pulsos com suporte compacto em um experimento, é a sua simplicidade de representar a informação durante a propagação superluminal do pulso, identificar sua velocidade limite e observar experimentalmente novas conseqüências da causalidade em tais sistemas. Veremos que a informação pode ser claramente associada ao ponto não analítico na asa frontal do pulso, e sua velocidade investigada numérica e experimentalmente em um circuito eletrônico de atraso negativo. Observaremos que a velocidade deste ponto não analítico é limitada pela causalidade de Einstein e é exatamente igual à velocidade da luz no vácuo  quando a velocidade de grupo do pulso é maior do que esta. Além disso, veremos que a causalidade não apenas limita a velocidade da informação associada a este ponto não analítico, mas também provoca uma frente abrupta e o choque de onda do pulso. Para realizar o estudo destes surpreendentes efeitos da velocidade da informação em um pulso com suporte compacto, através de um sistema superluminal, dividiremos o nosso trabalho em três capítulos. No capítulo inicial apresentaremos a descrição de um modelo físico que apresenta uma região de dispersão anômala, bem como o comportamento de um pulso ao se propagar nesta região. Mostraremos por que a propagação superluminal de um Instituto de Física - UFAL.

(19) Introdução. 16. pulso analítico não representa uma violação da teoria da relatividade. No capítulo seguinte apresentaremos analogias entre um circuito eletrônico e um sistema atômico modelado classicamente como um dielétrico de Lorentz, bem como a relação entre os atrasos de grupo negativos, produzidos por estes circuitos, e o conceito de superluminalidade. No último capítulo, definiremos um conceito para a informação codificada em uma forma de onda e apresentaremos os resultados e discussões referentes à propagação do pulso com suporte compacto na região de atraso de grupo negativo. Finalizaremos com uma conclusão onde são sumarizados os resultados encontrados.. Instituto de Física - UFAL.

(20) 17. Capítulo 1 Superluminalidade e a Não Violação da Causalidade 1.1. Introdução. Neste capítulo, estudaremos as condições necessárias em um sistema físico para obtermos superluminalidade, ou seja, quando a velocidade de grupo de um pulso é maior que a velocidade da luz no vácuo . Faremos distinções entre algumas das velocidades características de um pulso de luz. Mostraremos por que a propagação superluminal de um pulso analítico não representa uma violação do princípio da causalidade, segundo o qual a causa sempre precede o efeito. Por fim estudaremos as características de uma função com suporte compacto contendo pontos não analíticos de intensidade zero, infinitamente deriváveis e perfeitamente suaves.. 1.2. A equação de onda. Introduziremos aqui a equação da onda que será utilizada para estudar a propagação de um pulso e comentaremos duas das possíveis abordagens para resolver este problema. De um modo geral, para se estudar a propagação de uma onda eletromagnética, tomamos como partida as equações de Maxwell. Resolvemos estas equações levando em conta as condições de contorno imposta pelo problema físico abordado. Um aspecto básico.

(21) 1.2 A equação de onda. 18. das equações de Maxwell para o campo eletromagnético é o da existência de soluções sob a forma de ondas propagantes que transportam energia de um ponto à outro. Vamos adotar como ponto de partida as equações de Maxwell [9] na ausência de densidades de correntes e cargas livres, e para meios não condutores, dadas por − − → → ∇· =0 − − → → ∇· =0 → − → − − →  ∇×+ =0  → − → − − →  =0 ∇×− . (1.1) (1.2) (1.3) (1.4). → − − → − → → − onde  é o campo elétrico,  é o campo magnético,  é o deslocamento elétrico e  é → − − → → − a indução magnética. Em materiais lineares, os campos  e  são relacionados a  e → −  por → − → −  =  (1.5) − → → −  = . (1.6). nos quais:  é a permissividade elétrica e  é a permeabilidade magnética. Estamos, particularmente, interessados em estudar a propagação de ondas eletromagnéticas num meio dispersivo. Utilizando as equações de Maxwell é possível obter equações de propagação → − − → para  e  , as equações obtidas são chamadas de equações de onda. Aplicando o operador rotacional sobre a equação (1.3), obtemos → − − − → → − → − →  ∇×∇×+∇× =0 . (1.7). e usando as equaçãos (1.6), (1.4) e (1.5), podemos reescrever a equação acima como − − → → − → → − →´  ³− ∇ × ∇ ×  +  ∇× =0  → − → − − → − → 2  ∇ × ∇ ×  +  2 = 0  Instituto de Física - UFAL. (1.8).

(22) 1.2 A equação de onda. 19. → − mas, sabemos que para qualquer campo vetorial  , é válida a relação → − − − → → − → − → ³− → − →´ ∇ × ∇ ×  = ∇ ∇ ·  − ∇2 . (1.9). assim, usando essa identidade vetorial juntamente com as equações (1.2) e (1.5), podemos reescrever a equação (1.8) como → − 2  ∇  −  2 = 0  → 2−. (1.10). → − → − que é a equação de onda para  . Uma equação análoga pode ser obtida para  , aplicando se o operador rotacional sobre a equação(1.4) e seguindo os procedimentos discutidos acima.. → − 2  ∇  −  2 = 0  → 2−. (1.11). Estas equações de onda regem o campo eletromagnético num meio linear, homogêneo, no qual a densidade de cargas livres é nula, e o meio não é condutor. De uma forma mais geral, podemos escrever a equação de onda para o campo eletromagnético no meio descrito acima como ∇2  −. 1 2 =0 2 2. (1.12). onde 1 =√ . (1.13). é uma constante que tem as dimensões de velocidade características do meio. A equação de onda (1.12) tem soluções bem conhecidas das ondas planas: →− − →.  =   ·  −. (1.14). → − onde a freqüência  e o módulo do vetor de onda  estão relacionados por =.  √ =  . Instituto de Física - UFAL. (1.15).

(23) 1.2 A equação de onda. 20. ou =.  1  =√ =    . (1.16). A quantidade  é chamada de índice de refração e geralmente é uma função da freqüência. Quando se consideram as ondas se propagando em apenas uma direção, por exemplo na direção , a solução fundamental é  ( ) = − . (1.17). Quando o meio é dispersor, isto é, quando o produto  é uma função da freqüência, podemos modificar certas partes da discussão inicial. Fazendo um desenvolvimento integral de Fourier em , − − →  (→   ) = − − →  (→   ) = − − →  (→   ) = − − →  (→   ) =. Z. Z. ∞. −∞ ∞. −∞ Z ∞. → e (−     ) −. (1.18). → e (−    ) −. (1.20). → e (−     ) −. −∞ Z ∞ −∞. → e (−    ) −. (1.19). (1.21). → → e (− e (− e usando estas equações juntamente com o fato de que    ) =  ()    ) e → → e (− e (−    ) =  ()    ), antes de combinar em (1.1 - 1.4), e fazendo as manipulações. análogas as usadas para obter as equações de onda (1.10) e (1.11) chega-se à equação de onda de Helmholtz, ∇2  +  2  = 0 ou. ½ e¾ ¡ 2 ¢  2 ∇ +  e =0 . (1.22). (1.23). que é uma outra possível forma de estudar a propagação de um pulso. Se considerarmos a propagação ao longo da direção z, e usarmos a relação (1.16), podemos escrever que ∙ 2 ´2 ¸ ½ ³ e ( )¾   ( ) + =0 (1.24) e ( ) 2   Instituto de Física - UFAL.

(24) 1.3 Superposição de ondas. 21. no qual  ( ) é o índice de refração do meio.. 1.3. Superposição de ondas. Nesta seção estudaremos o comportamento de uma onda eletromagnética policromática ao se propagar num meio dispersivo, para isso, utilizaremos o princípio de superposição de ondas. Na seção anterior, vimos que as equações de Maxwell possuem soluções bem conhecidas das ondas planas. Tratamos apenas de ondas monocromáticas, as que têm uma freqüência e um número de ondas definidos. Na realidade, tais soluções ideais não existem.. Mesmo a fonte de luz mais monocromática possível, contêm um espectro finito. (embora pequeno) de freqüências ou de comprimentos de ondas. O fato de toda radiação ser policromática não invalida a discussão feita até agora em relação à propagação de ondas, isso porque as equações envolvidas, isto é, as equações de Maxwell, são lineares. Assim, em princípio, uma superposição linear com coeficientes apropriados dos vários componentes monocromáticos de uma onda policromática deveria resolver a questão. Na prática, porém, existem algumas dificuldades. Num meio dispersivo, ou seja, num meio em que  =  () ou  =  (), ou ainda,  =  (), ondas de freqüências diferentes podem se propagar com velocidades diferentes. Aqui é importante notar que a velocidade dada, por exemplo, pela equação (1.16), é a velocidade de uma onda monocromática de freqüência  (ou velocidade de fase   de uma onda monocromática). Uma onda policromática, formada por uma superposição de ondas monocromáticas, não possui uma velocidade de fase definida. Assim, como ondas de freqüências diferentes têm velocidades de fase diferentes, a forma da onda policromática pode se alterar durante a propagação, de modo que ocorre também uma alteração entre as fases relativas das ondas constituintes. Além disso, a propagação de energia através das ondas normalmente é feita numa velocidade diferente das  () das componentes. Eventualmente, essa velocidade pode Instituto de Física - UFAL.

(25) 1.3 Superposição de ondas. 22. até mesmo não ter um significado físico preciso, dependendo da situação. Levando em conta as questões acima, a melhor forma de tratar ondas policromáticas consiste em considerar uma superposição na forma de séries ou transformadas de Fourier. Para simplificar o tratamento, sem perder aspectos importantes, vamos considerar ondas unidimensionais, propagando-se na direção . Além disso, vamos considerar que os meios podem ser dispersivos, com uma relação geral entre  e  dada por  =  () . (1.25). Assim, a partir da solução básica (1.14), podemos construir uma solução geral na forma 1  ( ) = √ 2. Z. ∞.  () ()− . (1.26). −∞. onde  ( ) representa o campo elétrico ou o magnético. A amplitude  () descreve as propriedades de superposição linear das diversas ondas. Ela é dada pela transformada de Fourier da amplitude espacial  ( ) calculada em  = 0 por meio de 1  () = √ 2. Z. ∞.  (0 )  . (1.27). −∞. Se  (0 ) representa uma onda harmônica, √12 exp (− 0 ), para todos os , a relação de ortogonalidade [9] mostra que 1  () = 2. Z. ∞. (−0 ) . −∞.  () =  ( − 0 ) . (1.28). Portanto, a onda em qualquer tempo será 1  ( ) = √ 2. Z. ∞. −∞.  ( −  0 ) ()− . (1.29). ou 1  ( ) = √ 0 −0  2 Instituto de Física - UFAL. (1.30).

(26) 1.3 Superposição de ondas. 23. onde 0 =  ( 0 ) correspondendo a uma propagante monocromática. A onda monocromática em  = 0 propaga-se sem alterar sua forma, como já era de se esperar. Por outro lado, se a onda estende-se por um tempo finito  , sendo então localizada, a amplitude  () deixa de ser uma função delta, e a onda resultante apresenta um espectro de freqüências , de valor ∆, sendo, portanto, policromática. É fácil perceber que, quanto mais localizada for a onda em  = 0 ( menor), maior será o espectro de freqüências ∆ que a compõe. A medida que o tempo passa e a onda se propaga, sua forma se modifica, porque as ondas monocromáticas que a compõem deslocam-se com velocidades de fase diferentes se o meio é dispersivo. Se o meio é apenas fracamente dispersivo, isto é, se  é praticamente uma função linear de , ou se o espectro ∆ não é muito largo, então podemos expandir  () em torno de um valor  0 característico da onda, ou seja, ¯ ¯  ¯¯ ( −  0 )2 2  ¯¯  () =  ( 0 ) + ( −  0 ) + +   ¯=0 2  2 ¯=0. (1.31). ou, simplificando a notação e mantendo termos até primeira ordem apenas, ¯  ¯¯  () = 0 + ( −  0 )   ¯0. (1.32). Utilizando essa expressão na equação (1.26), obtemos 1  ( ) = √ 2 ou. ¯¸ ¾ ½ ∙  ¯¯  −    () exp  0 + ( − 0 )  ¯0 −∞. Z. ∞. ¯ ¶ ¾Z ∞ ¯ ½ ¾ ½ µ 1  ¯¯  ¯¯  ( ) = √ exp  0 −  0   () exp  −    ¯0  ¯0 2 −∞. ou ainda.  1  ( ) = √ (0 −0  |0 ) 2. Z. ∞. −∞.  () −(−  |0 )  . (1.33). (1.34). (1.35). Fazendo a transformada inversa da equação (127), obtemos 1  (0 ) = √ 2. Z. ∞.  () − . −∞. Instituto de Física - UFAL. (1.36).

(27) 1.4 Dispersão e absorção. 24. Definindo 0. ¯  ¯¯ = −  ¯0. 0 =  a equação (135) torna-se.  1  ( ) = √ (0 −0  |0 ) 2. Z. ∞. 0.  () − . (1.37). −∞. que é matematicamente idêntica à equação (136) (excetuando-se o fator exponencial que multiplica a integral), de modo que, trocando  por 0 ¯¶ µ   ¯¯ (0 −0  |0 )    ( ) =  0  −  ¯  0. (1.38). Assim, a forma da onda policromática praticamente se mantém, apesar de sofrer uma defasagem como um todo, dada pelo fator exponencial multiplicativo.. 1.4. Dispersão e absorção. Ondas eletromagnéticas propagando-se num material podem atuar sobre os constituintes do material, transferindo energia para eles. Esses constituintes podem ser átomos, moléculas, íons ou elétrons livres ou ligados a átomos do material. Nesse caso, uma parcela da energia eletromagnética da onda é absorvida e pode ser transformadas noutras formas de energia, como vibracional ou translacional, por exemplo. Além disso, essa absorção pode ocorrer de forma diferente quando ondas de freqüências diferentes propagam-se no material, de modo que ocorre o fenômeno da dispersão. Nesse caso as grandezas que caracterizam o material,  e , assim como a velocidade da onda, passam a depender da − freqüência da onda incidente, já que →  é definida pelas grandezas acima. O meio, nesse caso, é chamado de dispersivo. Para estudar a absorção e a dispersão que ocorrem com as ondas eletromagnéticas, podemos considerar um modelo simples clássico para a interação Instituto de Física - UFAL.

(28) 1.4 Dispersão e absorção. 25. entre a onda e os átomos ou moléculas do meio. Tal modelo, conhecido como modelo de Lorentz, consiste em considerar os elétrons do material como osciladores harmônicos amortecidos forçados pelo campo eletromagnético da onda incidente [10]. A Figura 1.1 ilustra esse modelo simples.. Figura 1.1: Modelo simples para um elétron para estudo da absorção e dispersão.. Na figura, vemos um elétron representado por um ponto de massa  e carga − que oscila sujeito a um campo elétrico orientado na direção , considerando que o núcleo do átomo fique em repouso. A parte magnética da onda pode ser desprezada em comparação com o efeito produzido pelo campo elétrico. Assim, age sobre o elétron uma força restauradora descrita por uma expressão semelhante a lei de Hooke, ou seja, em módulo,  =  . (1.39). onde  é a constante da mola associada ao elétron  e  o seu deslocamento do equilíbrio. Além da força restauradora acima, possivelmente o elétron está sujeito a algum tipo de amortecimento. Podemos supor que uma forma funcional proporcional à velocidade, do tipo  = .  . (1.40). onde  representa o amortecimento. O sistema está sujeito ao campo externo, que pode. Instituto de Física - UFAL.

(29) 1.4 Dispersão e absorção. 26. ser escrito de maneira simplificada como − → → −  ( ) =  0 cos  = 0 cos b. (1.41). ou, na forma complexa, mediante. − → → −  ( ) =  0 − = 0 −b. (1.42). sendo que estamos considerando uma onda incidente monocromática. Assim, a equação de movimento do elétron pode ser escrita como . 2   −  = −  −  2  . (1.43). onde o último termo representa a força elétrica agindo sobre o elétron. A equação acima pode ser reescrita considerando uma coordenada  complexa e lembrando de tomar a parte real da solução posteriormente, isto é, . 2   +   = − +  2  . (1.44). ou 0 − 2   2 +   +   = −   0  2  . (1.45). onde 20 =.  .  =.   . é a freqüência natural do sistema e. A equação acima representa um oscilador harmônico forçado. A solução da equação consiste numa solução transiente, obtida a partir da equação homogênea correspondente, somada a uma solução particular estacionária. A solução transiente se anula decorrido um certo intervalo de tempo, de modo que interessa-nos apenas a solução particular, que pode ser obtida se considerarmos que  () = 0 − Instituto de Física - UFAL. (1.46).

(30) 1.4 Dispersão e absorção. 27. onde 0 é uma posição inicial. Vamos precisar também de  = −0 − . (1.47). 2  = −2 0 − 2 . (1.48). e. de modo que a equação diferencial (145) fica − 2 0 − +   (−) 0 − +  20 0 − = −. 0 −  . (1.49). ou ´ ³ 0 2 2  0 −  −    0 = − . (1.50).  1 0 2   0 −  2 −   . (1.51). e então 0 = − de modo que achamos  () = −.  1 0 − 2  0 − 2 −   . (1.52).  1  () 2   0 − 2 −   . (1.53). ou  () = − e vetorialmente, → −  1 − →   () = −  ()  2   0 −  2 −   . (1.54). O movimento do elétron  dá origem a um momento de dipolo elétrico dado por → − →   ()   () = −−. (1.55). → − 2 1 − →  ()    () = 2 2  0 −  −   . (1.56). ou. Instituto de Física - UFAL.

(31) 1.4 Dispersão e absorção. 28. Considerando que nosso meio seja um gás e que existam  moléculas por unidade de volume do gás e, uma fração  desses elétrons tenha uma freqüência natural  0 , a polarização do gás é dada pela soma dos momentos de dipolo por unidade de volume, ou seja, − → 1 X− →   =  . (1.57). X  2 X → − − → 1 →   () =   =  − 2 2   −  −    0   . (1.58). # " → − − →  2 X   = 2 2    0 −  −   . (1.59). ou, na forma complexa, já substituindo a expressão (156). ou. → − Para um grande número de materiais, a polarização  pode ser associada ao campo → − elétrico  através de → − → −  = χ (1.60) agora, pela relação acima, o termo entre colchetes na equação (159) pode ser identificado com a susceptibilidade elétrica (complexa) do material, ou seja, χ=. 2 X  2    0 −  2 −   . (1.61). lembrando que χ = < [χ]. A susceptibilidade elétrica é uma propriedade do material que está associada também à permissividade, já que podemos escrever χ =  − 0 . (1.62). Existe ainda uma outra grandeza importante, a constante dielétrica do meio, que é a razão entre a permissividade elétrica  do meio dielétrico e a permissividade 0 do vácuo, =.   0. Instituto de Física - UFAL. (1.63).

(32) 1.4 Dispersão e absorção. 29. Assim, podemos reescrevê-la em termos de χ, ou seja =. χ + 0 χ =1+ 0 0. (1.64). de modo que, usando a equação (1.61), obtemos  =1+. 2 X  2 0   0 −  2 −   . (1.65). que também pode ser escrita como  () 2 X   =1+ 2 0 0    0 −  2 −   . (1.66). Assim, observamos que a permissividade elétrica do meio depende da freqüência  da onda incidente, caracterizando o meio como dispersivo. O amortecimento descrito pelas constantes   é, em geral, muito pequeno quando comparado com as freqüências naturais ou de ressonância  0 , de modo que  () é basicamente real em todas as freqüências, exceto quando  está muito próximo de uma das freqüências de ressonância  0 . Além disso, quando  é menor do que  0 min , que é a menor freqüência de ressonância, todos os termos da soma acima são positivos e  é maior do que 0 . À medida que  aumenta, a soma diminui e eventualmente torna-se negativa, fazendo com que  fique menor do que 0 . Uma situação interessante ocorre quando  está próximo a um dos  0 , o que faz com que a parte imaginária de  torne-se apreciável. Exatamente em  =  0 ocorre uma ressonância, e  torna-se imaginária pura. Lembrando que a parte imaginária de  está relacionada com absorção da onda pelo meio, vemos que, ao colocarmos o sistema próximo a uma de suas ressonâncias, uma grande parte da onda deveria mesmo ser absorvida, de modo que qualitativamente o modelo utilizado é apropriado. As regiões em que a parte imaginária de  () é grande são chamadas de zonas de absorção ressonante, e o material torna-se opaco. Instituto de Física - UFAL.

(33) 1.4 Dispersão e absorção. 30. Vamos agora relacionar  com o índice de refração do material. Sabemos que =. r.   0 0. (1.67). Vamos nos restringir a meios não magnéticos ou fracamente magnéticos, de modo que  ≈ 0 . Então, como  é complexo, temos um índice de refração complexo, ou seja, =. r.  0. (1.68). ou, usando a equação (1.66), =. s. 1+.  2 X   2 0    0 − 2 −   . (1.69). Para meios como os gases, a somatória é pequena quando comparada com a unidade, de modo que podemos expandir a expressão acima e considerar apenas o primeiro termo da expansão, ou seja, 2 X   2 20    0 −  2 −   . (1.70).  20 −  2 +    2 X  20    20 −  2 −     20 −  2 +   . (1.71). =1+. Vamos reescrever esta expressão como =1+ ou. ³ ´ 2 2   −  +     X  0 ³ ´ =1+  20   20 −  2 −  2 2. (1.72).  =  +  . (1.73). 2. As partes real e imaginária desse índice de refração podem ser escritas como. Assim, a parte real do índice de refração fica ³ ´ 2 2  2 X  0 −  ³ ´  = < () = 1 + 20    2 − 2 −  2 2 0  Instituto de Física - UFAL. (1.74).

(34) 1.4 Dispersão e absorção. 31. enquanto o termo imaginário, ligado à absorção, fica  = = () =.    2  X ³ ´  20    2 −  2 −  2  2 0 . (1.75). Definindo o coeficiente de absorção  através de  = 2. (1.76). temos =.    2  X ³ ´  0   2 − 2 −  2 2 0 . (1.77). O comportamento do índice de refração e do coeficiente de absorção próximo a uma ressonância pode ser visto na Figura 1.2.. Figura 1.2: Índice de refração e coeficiente de absorção próximo a uma ressonância.. Na figura vemos que o índice de refração, para freqüências menores que  1 ou maiores que 2 , cresce com a freqüência, que é o comportamento normal esperado para essa grandeza. Entretanto, na faixa que vai de 1 6  6  2 e que inclui uma das freqüências de ressonância  , o índice de refração cai abruptamente, ao mesmo tempo em que o coeficiente de absorção torna-se apreciável. Essa região de comportamento inesperado para  é chamada de região de dispersão anômala.. Instituto de Física - UFAL.

(35) 1.5 Causalidade e relações de Kramers-Kronig. 1.5. 32. Causalidade e relações de Kramers-Kronig. Nesta seção discutiremos a causalidade, no sentido que a resposta (perturbação) do sistema não existe antes que a força seja aplicada, ou seja, a causa deve preceder o efeito. Veremos que neste sentido, a causalidade em nossos sistemas está ligada às relações de Kramers-Kronig.. 1.5.1. Não-localidade no tempo. Quando a permissividade elétrica  é uma função de , isto é,  =  (), ocorre uma → − − → → − → − conexão temporal não-local entre  e  , de modo que  no tempo  depende de  não apenas no tempo  como em outros valores de tempo. Se as componentes monocromáticas da freqüência  forem relacionadas por − − → → → −  (→   ) =  ()  (−   ). (1.78). a dependência em relação ao tempo pode ser construída pela superposição de Fourier. Tratando a coordenada espacial como um parâmetro, as integrais de Fourier no tempo e na freqüência podem ser escritas como − − → 1  (→   ) = √ 2. Z. ∞. −∞. e. Z. − − → 1  (→   ) = √ 2. − − →  (→   ) − . ∞. (1.79). − − →  (→   )  . (1.80). − − →  (→   ) − . (1.81). −∞. sendo que, para o campo elétrico, temos − − → 1  (→   ) = √ 2. Z. ou − − → 1  (→   ) = √ 2. ∞. −∞. Z. ∞. −∞. − − →  (→   )  . Instituto de Física - UFAL. (1.82).

(36) 1.5.1 Não-localidade no tempo. 33. Substituindo a equação (178) em (179), obtemos − − → 1  (→   ) = √ 2. Z. ∞. −∞. → → −  ()  (−   ) − . (1.83). Agora, utilizamos a expressão (182) de modo que − − → 1  (→   ) = 2. Z. ∞. −.  () . . −∞. Z. ∞. −∞. − − → 0  (→   0 )  0 . (1.84). Lembrando que, a susceptibilidade elétrica é uma propriedade do material e está associada à permissividade na forma  () =  () − 0 vemos que podemos escrever  () =  () + 0 e então − − → 1  (→   ) = 2. Z. ∞. −∞. −. ( () + 0 ) . . Z. ∞. −∞. − − → 0  (→   0 )  0. (1.85). ou ainda ∙ ¸ Z ∞ Z ∞ → − − − − → 1 1 → → 0 (0 −)  ()   0  (   ) √  (   ) = √ 2 −∞ 2 ∙Z ∞ −∞ ¸ Z ∞ → − − 0 → 0 (0 −) +   0   (  ) 2 −∞ −∞. (1.86). Usando a relação de ortogonalidade, vemos que a segunda integral entre colchetes na expressão acima resulta, na verdade, na função delta de Dirac, de modo que achamos ∙ ¸ Z ∞ Z ∞ − − → → − − 1 1 → → 0 (0 −)  (   ) = √  ()   0  (   ) √ 2 −∞ 2 −∞ Z → − 0 ∞ − +  (→   0 ) 2 ( − 0 ) 0 2 −∞. (1.87). ou − − → 1  (→   ) = √ 2. ∙ ¸ Z ∞ − → − → → − 1 → 0 (0 −)  ()   0 + 0  (−  (   ) √   )  2 −∞ −∞. Z. ∞. Instituto de Física - UFAL. (1.88).

(37) 1.5.1 Não-localidade no tempo. 34. Agora, vamos definir  =  − 0  = −0 0 =  −  e assim ¸ ∙ Z −∞ − − → 1 → −  ()    (    − ) √ 2 ∞ −∞ → → − × (− ) +   (−   ). − − → 1  (→   ) = √ 2. Z. ∞. 0. (1.89). que pode ser reescrita como − − → 1  (→   ) = √ 2. ¸ ∙ Z ∞ − − → → → − 1 → −  ()    + 0  (−  (    − ) √   )  (1.90) 2 −∞ −∞. Z. ∞. Agora, definindo a transformada de Fourier da susceptibilidade elétrica através de 1  ( ) = √ 2. Z. ∞.  () − . (1.91). −∞. obtemos. Z ∞ → → − − − → → − − 1 → →  ( )  (−    −  )   (1.92)  (   ) = 0  (   ) + √ 2 −∞ → − → − Assim, pela relação acima,  depende do valor de  determinado não só para o tempo  (através do primeiro fator), mas também para outros valores de tempo além de  (por meio do segundo fator). Se  () (e conseqüentemente,  ()) não depende de , então a integral na equação (191) torna-se   ( ) = √ 2. Z. ∞. − . −∞.   ( ) = √ 2 ( ) 2 √  ( ) = 2 ( ). Instituto de Física - UFAL. (1.93).

(38) 1.5.2 Modelo simples para  ( ). 35. → → − − de modo que a relação (192) entre  e  fica Z ∞√ → → − → − − − − → 1 → → 2 ( )  (−    −  )   (   ) = 0  (   ) + √ 2 −∞ → → − → → − → − −   ) +   (−   )  (→   ) =   (− 0. − − → → → −  (→   ) =   (−   ) → − − → onde usamos o fato de que  = 0 + . Nesse caso particular,  só depende de  no tempo . Em geral,  =  (), de modo que  ( ) existe para valores não-nulos de  e há → − − → uma conexão temporal não-local entre  e  .. 1.5.2. Modelo simples para  ( ). Para ilustrar o caráter da conexão implícita em (191) e (192), vamos considerar nosso modelo de oscilador harmônico que utilizamos para estudar meios dispersivos, o qual fornece a permissividade elétrica dada pela equação (1.66),  () 2 X   =1+ 2 0 0    0 −  2 −    Considerando, por simplicidade, uma única freqüência de ressonância 0 , além das equações =. X. . (1.94). 2  0 . (1.95). . que representa o número total de elétrons e  2 =. que define a freqüência de plasma   do meio, vemos que podemos escrever  2  () = 0 + 2 0 − 2 − . (1.96). ou  () =  () − 0 =. 2   20 −  2 − . Instituto de Física - UFAL. (1.97).

(39) 1.5.2 Modelo simples para  ( ). 36. Nesse caso,  ( ), dada pela equação (191), fica Z ∞ 2 −   ( ) = √ 2 −∞  20 −  2 − . (1.98). Para resolver a integral acima, devemos passá-la para o plano complexo e usar os teoremas de integrais de Cauchy. A função acima é analítica, exceto nos pólos simples dados por 20 − 2 −  = 0 ou, em termos de , ± =.  ±. (1.99). p − 2 + 420 −2. (1.100). que pode ser reescrita como  ± = − ∓ 2. r.  20 −. 2  4. (1.101). Definindo  21 =  20 −. 2 4. (1.102). e =.  2. (1.103). achamos ± = − ∓  1 . (1.104). Note que os dois pólos estão localizados no semiplano complexo inferior. Assim, devemos nos preocupar apenas quando a integração for feita nessa região. Para efetuar a integração, fechamos a região considerando um semicírculo de raio  −→ ∞, de modo que a integral sobre essa curva se anula. Quando   0, o fator − no semiplano complexo superior é positivo e o semicírculo situa-se no semiplano complexo superior. Essa região não contém os pólos dados por (1104), de forma que a integral, pelo teorema de Cauchy, se anula, isto é, Z. ∞. −∞. −  =  20 −  2 − . I . −  = 0 20 −  2 − . Instituto de Física - UFAL.  0. (1.105).

(40) 1.5.2 Modelo simples para  ( ). 37. ou seja,  ( ) = 0. (1.106).   0. Por outro lado, quando   0, a região é fechada por um semicírculo no semiplano complexo inferior, de modo que na região são encontrados os dois pólos simples. Assim, a solução da integral é igual a −2 vezes os resíduos da integral nos dois pólos, de onde vem. Z. ∞. −(−−1 ) − −(−+1 ) −  = 2 2 2 21 −∞  0 −  − . ou. Z. ∞. 2− 1  − −1  −  = 20 − 2 −  1 2. −∞. ou ainda,. Z. ∞. − sin (1  )  = 2−  2 2 1 −∞  0 −  − . (1.107). (1.108). (1.109). Voltando agora à expressão para , temos  2 sin ( 1  )  ( ) = √ 2− 1 2. (1.110). ou  ( ) =. √ sin ( 1  ) 2 2 −  1.   0. (1.111). Podemos reunir os dois resultados expressos em (1106) e (1111) utilizando uma função degrau dada por Θ ( ) =. ½. 0 1.  0  0. (1.112). e assim  ( ) =. √ sin (1  ) 2 2 − Θ ( ) 1. (1.113). de modo que a equação (192) fica → → − − − → 1   ) + √  (→   ) = 0  (− 2. Z. √ → → − sin ( 1  ) 22 − Θ ( )  (−    −  )  1 −∞ ∞. Instituto de Física - UFAL. (1.114).

(41) 1.5.3 Causalidade e domínio de analiticidade de  (). 38. ou, por causa da função degrau Θ ( ) que anula contribuições para   0, temos Z 2 ∞ − → − − → − − → − → →  (   ) = 0  (   ) + (1.115)  (→    −  ) − sin ( 1  )   1 0 → → − É importante notar que o fator  −  em  (−    −  ), combinado com os limites de integração, faz com que apenas tempos menores ou iguais a  contribuam para o deslocamento → − → − − → elétrico  em , fazendo com que a relação entre  e  seja causal, de acordo, portanto com nossa intuição física.. 1.5.3. Causalidade e domínio de analiticidade de  (). O aspecto mais óbvio e fundamental da equação (1113) é o de que ela é nula para   0. Isto quer dizer que no instante , somente os valores do campo elétrico anteriores a este instante contribuem para determinar o deslocamento, de acordo com a nossa idéia fundamental da causalidade nos fenômenos físicos. A equação (192) pode portanto ser escrita − − → − → → 1  (→   ) = 0  (−   ) + √ 2. Z. 0. ∞. → → −  ( )  (−    −  )  . (1.116). Esta é, na realidade, a relação causal mais geral, espacialmente localizada e linear que se → − − → pode escrever entre  e  num meio isotrópico e uniforme. A sua validade transcende qualquer modelo específico de  (). Da equação (191), a susceptibilidade elétrica pode ser expressa em termos de  ( ) através de sua inversa como 1  () = √ 2. I∞  ( )   . (1.117). 0. → − − → Esta relação tem diversas conseqüências interessantes. Da realidade de  e  , e portanto de  ( ), na equação (1116), podemos deduzir de (1117) que, no caso de  complexo, ∗ ( ∗ ) =  (−) . (1.118). A equação (1117) também pode ser entendida como sendo a representação complexa de  () no plano complexo , de forma que, se  ( ) não possui singularidade, ou seja, é Instituto de Física - UFAL.

(42) 1.5.3 Causalidade e domínio de analiticidade de  (). 39. finita para todo  , a função  () é analítica no semiplano complexo superior. Aqui, é preciso fazer a suposição fisicamente razoável de que  ( ) −→ 0 quando  −→ ∞, de modo a manter a analiticidade da função no eixo real. Com essa hipótese, claramente válida para dielétricos, podemos realizar uma integração por partes na equação (1117) e obter. ∙ ¸∞ Z ∞  1  () =  ( ) − √ 0 ( )    0  2 0. ou   (0) + √  () =   2. Z. ∞. 0 ( )   . (1.119). (1.120). 0. Usando novamente uma integração por partes, temos ¸∞ ∙ Z ∞   (0)   0 √ + √  () = − 00 ( )    ( )   0  2  2 2 0 ou 1 0 (0) 1  (0) −√ − √  () = 2 2  2   2. Z. ∞. 00 ( )   . (1.121). (1.122). 0. Continuando o processo acima, percebemos que  () pode ser escrito na forma de uma expansão como uma série de Taylor  () =. 1 0 (0) 1 00 (0) 1 000 (0)  (0) √ √ −√ + + +   2  2 2 3 2  4. (1.123). onde o argumento de  ( ) e suas derivadas é dado por  = 0+ . Como  (0− ) = 0, e como não há sentido em ter  ( ) descontínua em  = 0, devemos ter  (0+ ) = 0. Assim ficamos com 1 0 (0) 1 00 (0) 1 000 (0) √ √  () = − √ + + +  2  2 2 3 2 4. (1.124). de modo que as partes real e imaginária de  () são dominadas pelos termos < [ ()] = . µ. 1 2. ¶. Instituto de Física - UFAL. (1.125).