Análise de flechas imediatas e diferidas de vigas em concreto armado

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Análise de Flechas Imediatas e Diferidas de Vigas em Concreto Armado

Dissertação submetida ao Programa De Pós Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Daniel

Domingues Loriggio

Florianópolis 2018

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Análise de Flechas Imediatas e Diferidas de Vigas em Concreto Armado

Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Civil e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC.

Florianópolis, 18 de dezembro de 2018.

_______________________________________________ Prof. Enedir Ghisi

Coordenador do PPGEC

Banca Examinadora:

_____________________________________________ Prof. Daniel Domingues Loriggio, Dr. UFSC

Orientador

_____________________________________________ Prof. Narbal Ataliba Marcellino, Dr. UFSC

_____________________________________________ Prof. Roberto Caldas de Andrade Pinto, Ph.D. UFSC

_____________________________________________ Prof. Túlio Nogueira Bittencourt, Ph.D. EP-USP (Videoconferência)

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Dedico este trabalho aos meus amores, minha filha Beatriz e meu marido Diego pelo incentivo e amor sempre presentes.

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Primeiramente quero agradecer à minha família, em especial à minha mãe, que apesar das dificuldades sempre fez todo o possível pra eu que eu pudesse alcançar os meus objetivos.

Com muito carinho agradeço ao meu marido por todo o incentivo, amor e dedicação ao longo desses anos e por não me deixar desistir deste trabalho.

Em especial agradeço ao professor Daniel Domingues Loriggio pela orientação, pela paciência em todas as etapas do desenvolvimento do trabalho e por ter me auxiliado durante toda a minha formação desde a época da graduação.

Aos professores da graduação e pós graduação do Departamento de Engenharia Civil da UFSC que contribuíram para a minha formação.

Aos professores Narbal Ataliba Marcellino, Roberto Caldas de Andrade Pinto e Túlio Nogueira Bittencourt por aceitarem participar como membros da banca de avaliação.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPQ) pelo auxílio financeiro durante o curso.

À secretaria do Curso de Pós Graduação em Engenharia Civil da UFSC pela atenção e auxílio constante.

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O cálculo dos deslocamentos em vigas de concreto armado é um procedimento efetuado pelos engenheiros estruturais com o objetivo de projetar estruturas que atendam às condições de serviço. De acordo com as normas de projeto, as estruturas devem satisfazer critérios, entre eles, o controle de deslocamentos excessivos, os quais possuem limites máximos estabelecidos. Diferentes métodos são encontrados na literatura para o cálculo dos deslocamentos, desde métodos simplificados com coeficientes de ajuste na consideração da não linearidade física, da fluência e retração, até métodos que envolvam elementos finitos e maiores esforços computacionais. Neste trabalho, o objetivo é analisar diferentes procedimentos de cálculo de flechas imediatas e flechas totais de vigas de concreto armado, com o intuito de avaliar os processos simplificados da NBR 6118 (2014) e propor sugestões para que considerações mais refinadas possam ser aplicadas mais facilmente em projeto. O procedimento em estudo utiliza diagramas momento fletor curvatura para considerar a não linearidade física no cálculo de flechas através de modelos constitutivos adequados para o concreto e aço. A consideração da resistência à tração do concreto pós-fissurado (tension

stiffening) é implementada no diagrama momento fletor curvatura. Os

efeitos de fluência e retração também são avaliados por diferentes métodos. Os resultados das flechas imediatas e flechas totais foram testados e comparados com resultados experimentais obtidos por outros trabalhos e com os obtidos pelo cálculo simplificado da NBR 6118 (2014). Diante da análise desenvolvida pôde-se concluir que os resultados dos modelos apresentados foram satisfatórios e podem ser empregados em situações de projeto para verificação do Estado Limite de Serviço. Além disso, foi possível fazer uma análise crítica dos resultados obtidos pelos procedimentos simplificados da NBR 6118 (2014).

Palavras-chave: Concreto armado. Vigas. Flecha. Não linearidade física. Fluência. Retração.

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The calculation of displacements in reinforced concrete beams is a procedure performed by structural engineers with the objective of designing structures that meet the service conditions. According to the design standards, structures must meet criteria, including the control of excessive displacements, which have established maximum limits. Different methods are found in the literature for the computation of displacements, from simplified methods with adjustment coefficients in the consideration of physical nonlinearity, creep and shrinkage, to methods involving finite elements and higher computational efforts. In this work, the objective is to analyze different methods of calculation of instantaneous deflections and total deflections of reinforced concrete beams, with the purpose to evaluate the simplified processes of NRB 6118 (2014) and propose suggestions so that more refined considerations can be applied more easily in design. The procedure under study uses moment curvature diagrams to consider physical nonlinearity in the calculation of deflections through suitable constitutive models for concrete and steel. The consideration of the tension stiffening effect is implemented in the moment curvature diagram. The effects of creep and shrinkage are also evaluated by different methods. The results of the instantaneous deflections and total deflections were tested and compared with experimental results obtained by other works and those obtained by the simplified calculation of NBR 6118 (2014). In view of the analysis developed it can be concluded that the results of the presented models were satisfactory and can be used in project situations to verify the State Service Limit. In addition, it was possible to make a critical analysis of the results obtained by the simplified procedures of NBR 6118 (2014).

Keywords: Reinforced concrete. Beams. Deflection. Nonlinearity. Creep. Shrinkage.

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Figura 2.1 - Comportamento do aço isolado comparado à peça

em concreto armado ... 33

Figura 2.2 - Formação de fissuras internas ... 34

Figura 2.3 – Leis Constitutivas do Concreto Tracionado ... 35

Figura 2.4 – Diagrama Momento Fletor-Curvatura ... 36

Figura 2.5 – Efeito da Fluência no Tempo Sob Carregamento Constante ... 37

Figura 2.6 – Fluência no diagrama tensão – deformação ... 39

Figura 2.7 – Efeito da Retração no Concreto Simples ... 40

Figura 2.8 - Efeito da Retração no Concreto Armado ... 40

Figura 3.1 – Representação dos estádios através do Diagrama carga-flecha ... 47

Figura 3.2 – Diagrama Tensão-Deformação do Concreto à Compressão ... 48

Figura 3.3 – Diagrama Tensão-Deformação do Concreto à Tração com as duas formulações ... 53

Figura 3.4 – Relação Tensão – Deformação para o Concreto à tração ... 53

Figura 3.5 - Altura efetiva do concreto tracionado segundo CEB-FIP (1993) ... 54

Figura 3.6 – Diagrama Tensão x Deformação do Aço ... 55

Figura 3.7 – Viga submetida a flexão e elemento infinitesimal ... 57

Figura 3.8 – Seção de concreto armado – Diagrama de deformações ... 58

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Figura 3.10 – Fluxograma do Processo Iterativo ... 62

Figura 3.11 – Exemplo Diagrama Momento x Curvatura Obtido ... 63

Figura 3.12 – Fluência no diagrama tensão - deformação .... 65

Figura 3.13 – Viga biapoiada – Cálculo da deflexão a partir da curvatura ... 71

Figura 3.14 – Integração Numérica da Curvatura ... 72

Figura 4.1 – Construção do Diagrama Momento Curvatura pelo CEB-FIP MC90 (1993) ... 75

Figura 4.2 – Seção transversal da viga em análise ... 77

Figura 4.3 – Diagrama Momento-Curvatura: ρ = 0,20% ... 78

Figura 4.10 – Diagrama Momento-Curvatura: ρ = 0,90% .... 81

Figura 5.1 – Geometria da Viga REF 1 de Santos (2006) .... 84

Figura 5.2 – Diagrama Carga-Flecha da viga de Santos (2006) ... 85

Figura 5.3 – Geometria da viga - Araújo (2002) ... 86

Figura 5.4 – Diagrama Carga-Flecha da viga de Araújo (2002) ... 87

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Figura 5.6 – Diagrama Carga-Flecha das vigas de Beber (1999)

... 90

Figura 5.7 – Geometria da Viga - Fernandes (1996) ... 91

Figura 5.8 – Diagrama Carga-Flecha da viga de Fernandes (1996) ... 92

Figura 6.1 – Seções transversais das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) ... 94

Figura 6.2 – Esquema estrutural das vigas de Washa e Fluck (1952) ... 94

Figura 6.3 – Flechas Imediatas: Flechas x Taxa de Armadura de Compressão ... 98

Figura 6.4 – Flechas Totais x Taxa de Armadura de Compressão – ... 103

Figura 6.5 – Flechas Totais: Flechas x Taxa de Armadura de Compressão – Grupos C, D e E ... 104

Figura 6.6 – Esquema estrutural e geometria das vigas – RILEM ... 108

Figura 6.7 – Carga (percentual carga de ruína) X Flechas Imediatas - RILEM... 111

Figura 6.8 – Viga C12: Curva Flecha x Idade ... 114

Figura 6.10 – Viga C14: Curva Flecha x Ida ... 115

Figura 6.12 – Geometria e esquema estrutural - Gilbert e Nejadi (2004) ... 117

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Figura 6.15 – Viga B2-a: Curva Flecha x Idade ... 122

Figura 6.16 – Viga B2-b: Curva Flecha x Idade ... 122

Figura 6.17 – Viga B3-a: Curva Flecha x Idade ... 123

Figura 6.18 – Viga B3-b: Curva Flecha x Idade ... 124

Figura 0.1 - Dados de entrada da planilha ... 143

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LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Variação da taxa de armadura ... 77

Tabela 5.1 – Propriedades mecânicas do concreto ... 85

Tabela 5.2 – Propriedades mecânicas do aço ... 85

Tabela 6.1 – Vão e carga por grupo ... 95

Tabela 6.2– Grupo A: Propriedades mecânicas do concreto . 95 Tabela 6.3– Grupo B: Propriedades mecânicas do concreto . 95 Tabela 6.4 – Grupo C: Propriedades mecânicas do concreto 96 Tabela 6.5 – Grupo D: Propriedades mecânicas do concreto 96 Tabela 6.6 – Grupo E: Propriedades mecânicas do concreto 96 Tabela 6.7 – Propriedades mecânicas do aço ... 96

Tabela 6.8 – Coeficiente de fluência e deformação específica de retração estimados pelo Eurocode 2 (2004) aos 927 dias ... 97

Tabela 6.9 – Flechas Imediatas: Erro relativo (%) ao modelo experimental para ρ' = ρ ... 101

Tabela 6.10 – Flechas Imediatas: Erro relativo (%) ao modelo experimental para ρ' = ρ/2 ... 101 Tabela 6.11 – Flechas Imediatas: Erro relativo (%) ao modelo

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Tabela 6.12 – Flechas Totais: Erro relativo (%) ao modelo experimental para ... 106

Tabela 6.15 – Dados do Ensaio... 109 Tabela 6.16 – Viga C12 e C14: Propriedades mecânicas do concreto ... 109

Tabela 6.17 – Viga C13: Propriedades mecânicas do concreto ... 109

Tabela 6.18 – Viga C15: Propriedades mecânicas do concreto ... 110

Tabela 6.20 - Coeficiente de fluência e deformação específica de retração estimados pelo Eurocode 2 (2004) ... 110

Tabela 6.21 – Flechas Imediatas: Erro relativo (%) ao modelo experimental ... 112

Tabela 6.22– Flechas Totais: Erro relativo médio (%) ao modelo experimental ... 116

Tabela 6.23 – Propriedades geométricas e carga aplicada (P) no ensaio ... 118

Tabela 6.24 – Propriedades mecânicas do concreto... 119 Tabela 6.25 - Coeficiente de fluência e deformação específica de retração obtidos do ensaio ... 119

Tabela 6.26 – Grupo B1: Razão entre flechas totais e flechas iniciais ... 125

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Tabela 6.27 – Grupo B2: Razão entre flechas totais e flechas iniciais ... 125

Tabela 6.28 – Grupo B3: Razão entre flechas totais e flechas iniciais ... 125 Tabela 6.29 – Erro relativo ao modelo experimental (%): Flechas aos 394 dias ... 127

Tabela 0.1 – Planilha Collins TS 0,5 ... 145

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 24 Objetivos ... 26 1.1.1 Objetivos Gerais ... 26 1.1.2 Objetivos Específicos ... 26 Justificativa ... 26 Organização Dos Capítulos ... 27

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 29 A Contribuição do Concreto Tracionado Entre Fissuras ... 32 Deformações ao Longo do Tempo ... 36 2.2.1 Deformação Devida À Fluência ... 37 2.2.2 Deformação Devida À Retração ... 39 Método Simplificado do Cálculo de Flechas – NBR 6118 ... 41

3 METODOLOGIA ... 46 Comportamento da Seção Transversal ... 46 3.1.1 Modelo Constitutivo do Concreto à Compressão47 3.1.2 Modelo Constitutivo do Concreto à Tração ... 49 3.1.3 Modelo Constitutivo do Aço ... 55 Condições de Equilíbrio da Seção Transversal ... 55 Diagrama Momento Fletor x Curvatura ... 56 3.3.1 Considerações à Respeito do Diagrama Momento x Curvatura da Seção ... 56 3.3.2 Determinação do Diagrama Momento Fletor x Curvatura ... 58 Cálculo das Deformações... 63

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3.4.1 Deformação Imediata ... 63 3.4.2 Deformação Por Fluência ... 64 3.4.3 Deformação Por Retração ... 68 Determinação das Flechas em Vigas Isostáticas ... 70 Etapas do Procedimento de Cálculo ... 73 3.6.1 Flechas Imediatas ... 73 3.6.2 Flechas Finais ... 74

4 VALIDAÇÃO DO DIAGRAMA MOMENTO X

CURVATURA ... 75

5 ANÁLISE DE FLECHAS IMEDIATAS ... 84 Modelo Experimental de Santos... 84 Modelo Experimental de Araújo ... 86 Modelo Experimental de Beber ... 88 Modelo Experimental de Fernandes ... 90

6 ANÁLISE DE FLECHAS TOTAIS ... 93 Modelo Experimental de Washa e Fluck ... 93 Modelos Experimentais Propostos pelo RILEM ... 108 Modelo Experimental de Gilbert e Nejadi ... 117 7 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 128 Sugestões para Trabalhos Futuros ... 131 REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS ... 132

BIBLIOGRAFIACONSULTADA ... 136

ANEXOA–ProcedimentosEurocode2(2004) ... 138 APÊNDICEA–Modelos das planilhas utilizadas ... 143

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1 INTRODUÇÃO

Uma das características mais marcantes da engenharia estrutural é a adoção de modelos teóricos que representem adequadamente as estruturas reais. Estes modelos, não raro, adotam hipóteses simplificadoras, que tornam mais fáceis a dedução e aplicação. As diferenças entre os resultados reais e os resultados teóricos devem ser sempre motivo de estudo. Muitas vezes estas diferenças são desprezíveis do ponto de vista prático, e, portanto, as hipóteses simplificadoras são válidas. Outras vezes, sob certas circunstâncias, as diferenças não podem ser negligenciadas, e as hipóteses simplificadoras devem ser reavaliadas e até mesmo revisadas.

O objetivo da análise estrutural, a partir de um modelo teórico de uma estrutura em concreto armado, é obter os esforços e os deslocamentos da estrutura. A partir desses resultados pode-se verificar a segurança dos elementos estruturais no Estado Limite Último (ELU) e os limites de abertura de fissuras e deformações excessivas no Estado Limite de Serviço (ELS).

Por muito tempo foi dado menos importância à análise das estruturas no ELS, uma vez que as estruturas eram mais robustas e deformavam menos. No entanto, a tendência na construção civil em utilizar concretos de alta resistência e executar estruturas cada vez mais esbeltas tem gerado uma maior preocupação com a verificação das estruturas em serviço, pois as mesmas estão mais susceptíveis a maiores deformações, tornando-se necessárias análises mais complexas. Têm-se notado, principalmente no meio acadêmico, uma maior preocupação em tentar reproduzir mais adequadamente o comportamento desse complexo material que é o concreto armado, com a utilização de modelos que reproduzam melhor o desempenho físico do material, apesar da maior complexidade necessária no cálculo.

As normas de projeto de estruturas em concreto armado, tais como a norma nacional da Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118 (2014), requerem uma verificação dos deslocamentos excessivos das vigas, impondo valores limites aceitáveis para a estrutura. Esses valores são definidos com o objetivo de manter o bom funcionamento da estrutura e de serem esteticamente aceitáveis, evitando fissuras e danos em elementos não estruturais.

Com o avanço tecnológico das ferramentas computacionais é possível fazer análises mais rigorosas e que permitam representar a estrutura de uma maneira mais adequada, considerando a perda de rigidez dos elementos estruturais devido à fissuração e introduzindo a não

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linearidade física (NLF) do concreto armado nas verificações. Com isso, pode-se calcular flechas imediatas mais realistas, além de considerar também os efeitos do tempo, como retração e fluência.

Devido às formulações mais complexas e ao longo tempo de processamento das estruturas, as análises que incluem a NLF do material ainda hoje são preteridas em muitos projetos estruturais. Por isso, métodos simplificados ou aproximados são sugeridos por diferentes normas com o objetivo de facilitar essas verificações. Procedimentos práticos, para estimar as flechas finais de vigas de concreto armado (considerando fluência e retração), conforme o item 17.3.2 da NBR 6118 (2014), também são utilizados com o intuito de atender aos requisitos do ELS e representar de maneira aceitável esses elementos.

As análises podem ser feitas por diferentes níveis de sofisticação, desde uma análise mais refinada, que empregue a análise não linear, até o emprego de fórmulas simplificadas para representar a rigidez equivalente da viga após fissuração. Contudo, sabe-se que todos os métodos têm o objetivo de estimar os valores de flechas reais, portanto, não pode-se esperar a exatidão nesses valores. Isso porque, a flecha real de um elemento estrutural envolve muitos parâmetros, como o processo construtivo, as cargas solicitantes reais, as propriedades dos materiais, entre outros.

O objetivo do trabalho é estudar o comportamento de vigas em concreto armado no estado limite de serviço, principalmente no que diz respeito ao cálculo de flechas ao longo do tempo (efeito da fluência e retração), considerando a não linearidade do concreto através de modelos que empregam relações momento-curvatura. Além disso, investigar os resultados dos métodos simplificados da norma brasileira comparando-os com os do modelo em estudo, com a finalidade, justamente, de validar e qualificar as simplificações e propor sugestões de melhorias nos procedimentos.

Portanto, propõe-se com este trabalho contribuir tanto para a comunidade acadêmica quanto para a engenharia estrutural aplicada, no que diz respeito à consideração da NLF do concreto armado e dos efeitos da fluência e retração nas flechas finais das vigas. Busca-se também com este estudo contribuir para uma maior aproximação entre as ideias de profissionais da academia e das empresas, entre a física teórica e a física aplicada, entre o professor e o calculista; aproximação esta que só traz ganhos para todos os envolvidos e para a engenharia brasileira.

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OBJETIVOS

1.1.1 Objetivos Gerais

A pesquisa tem por objetivo analisar por diferentes métodos as flechas imediatas e flechas totais em vigas de concreto armado, com o intuito de avaliar os processos simplificados usuais e propor sugestões para que considerações mais refinadas possam ser aplicadas mais facilmente em projeto.

1.1.2 Objetivos Específicos

 Estudar a teoria e diferentes formulações a respeito da não linearidade física do concreto armado, com a finalidade de aplicar na análise de vigas no ELS;

 Pesquisar a respeito dos diferentes métodos existentes para o cálculo dos deslocamentos em função dos efeitos de longa duração;

 Elaborar um modelo de cálculo de flechas imediatas, considerando a NLF do concreto armado e a contribuição do concreto tracionado entre fissuras, através de um diagrama momento curvatura;

 Implementar no diagrama momento curvatura o efeito de fluência para o cálculo das flechas diferidas;

 Analisar os deslocamentos imediatos e finais de vigas em concreto armado através do modelo proposto e compará-los com os resultados experimentais;

 Comparar os resultados de flechas obtidos pelo modelo proposto com o método simplificado da NBR 6118 (2014), com a finalidade de validar e qualificar este método, além de contribuir com melhorias.

JUSTIFICATIVA

A norma brasileira NBR 6118 (2014) sugere uma verificação analítica para o cálculo da flecha total de vigas de concreto. Essa verificação introduz de uma forma simplificada a consideração dos efeitos da NLF, da contribuição do concreto tracionado entre fissuras e os efeitos diferidos no tempo.

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aproximada a flecha diferida pela multiplicação da flecha imediata pelo fator 𝛼f. Esse fator varia somente em função do tempo e da taxa de armadura à compressão e sabe-se que outros parâmetros, tais como a taxa de armadura de tração, a composição do concreto e a magnitude dos esforços influenciam diretamente nos resultados das flechas diferidas. Portanto, apesar de ser um procedimento amplamente empregado em projetos, os resultados obtidos, principalmente no que se refere à cargas de longa duração, são discutíveis e ainda carecem de estudos. Alguns trabalhos, tais como Araújo (2004) e Bandini (2015), já demonstraram que esse procedimento simplificado não reproduz satisfatoriamente os efeitos diferidos no tempo nos casos estudados.

Com isso, entende-se que cabe ao meio acadêmico o estudo de métodos mais refinados e a investigação dos métodos simplificados de uma forma crítica, através de análises e comparações, com o objetivo de validar e qualificar as simplificações, e, ao final propor opções para a consideração de efeitos tão importantes, como o da NLF do concreto e os efeitos diferidos no tempo.

Portanto, este trabalho está sendo feito com o objetivo de contribuir com novos estudos sobre a consideração da não linearidade física do concreto, da consideração do concreto tracionado entre fissuras e dos efeitos da fluência e retração na verificação em serviço das vigas de concreto armado. Além de agregar ao meio acadêmico, tem como finalidade propor sugestões e melhorias nos procedimentos simplificados utilizados no dia-a-dia dos escritórios de cálculo estrutural.

ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS

O trabalho está dividido em sete capítulos.

O primeiro capítulo introduz o assunto e apresenta os objetivos gerais e específicos desse trabalho.

O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica, onde se descreve brevemente alguns estudos consultados que abordam o mesmo tema. Neste capitulo também são abordados os temas: a contribuição do concreto tracionado entre fissuras (efeito tension stiffening), deformações ao longo do tempo devidas aos efeitos de fluência e retração e o método de cálculo simplificado de flechas totais indicado pela NBR 6118 (2014). No Capítulo 3 é exposta toda a metodologia utilizada no trabalho, desde a abordagem a respeito do comportamento da seção transversal, os modelos constitutivos dos materiais aço e concreto empregados nos cálculos, o processo para determinação do diagrama momento fletor curvatura, os procedimentos de cálculo para obtenção das deformações e

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as etapas para a determinação das flechas finais.

No Capítulo 4 apresenta-se a validação do diagrama momento fletor obtido através do procedimento apresentado no capítulo 3. Essa validação é feita através de uma comparação entre os resultados obtidos no modelo com resultados de outros modelos simplificados obtidos na bibliografia consultada.

O Capítulo 5 apresenta uma análise comparativa de flechas imediatas baseadas em vigas obtidas de modelos experimentais de outros autores. A comparação é feita entre os resultados obtidos pelo modelo proposto com os resultados do modelo experimental e os obtidos pelo modelo simplificado da NBR 6118 (2014). Os resultados são apresentados graficamente através de diagramas carga-flecha.

No Capítulo 6 são abordadas as análises dos resultados de flechas totais, onde também são utilizados modelos experimentais. Neste caso, serão utilizados diferentes modelos, onde alguns autores avaliaram a influência da taxa de armadura de compressão no cálculo de flechas ou a influência do carregamento aplicado. O objetivo é comparar os resultados numéricos obtidos pelos modelos propostos e pela NBR 6118 (2014) com os resultados apresentados pelos ensaios.

No Capítulo 7 são apresentadas as conclusões finais do estudo e recomendações para trabalhos futuros.

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2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O concreto armado é um material fisicamente não linear, constituído pelo concreto e a armadura de aço. O comportamento conjunto dos dois materiais é um pouco complexo. O concreto sob compressão, a partir de uma determinada tensão, passa a ter um comportamento não linear; e sob tração, a não linearidade se manifesta, já que apresenta fissuras quando submetido a baixo carregamento. O aço a partir do seu limite de escoamento também apresenta um comportamento não linear, quando ocorre a plastificação.

Devido à aderência existente entre o concreto e o aço, mesmo após a fissuração ocorre uma transmissão de esforços de tração do concreto para a armadura. Esse fenômeno é conhecido como tension stiffening e ocorre quando o concreto situado entre as fissuras ainda apresenta certa capacidade de resistência à tração. Este efeito tem uma grande influência no comportamento das deformações das estruturas de concreto armado e será apresentado no item 2.1.

A consideração da NLF do concreto armado para representar mais adequadamente o comportamento em serviço das estruturas pode ser feita por duas diferentes abordagens. Na primeira são utilizados diagramas tensão-deformação diretamente na formulação numérica e na segunda se faz o uso de diagramas momento-curvatura da seção transversal.

O trabalho proposto tem por objetivo estudar o comportamento das vigas em serviço, considerando a NLF através da segunda abordagem citada acima, com o uso de diagramas momento-curvatura. Essa abordagem tem a vantagem de permitir que verificações intermediárias sejam feitas ao longo do processo com o uso do diagrama obtido. Segundo Sanches Jr. (1998) apud Martins (2008) os resultados obtidos em estruturas de concreto armado, empregando-se as relações momento

versus curvatura, são bastante satisfatórios e não se encontra na literatura

justificativa fundamentada que mostre serem os modelos da primeira abordagem melhores do que os da segunda.

Pereira (2009) desenvolveu um procedimento não linear para obtenção dos esforços solicitantes para carregamentos típicos de serviço, em que utiliza diagramas momento-curvatura para a consideração da NLF do concreto armado. Três tipos de diagramas foram estudados, o primeiro indicado pela NBR 6118 (2007), o segundo retirado do código modelo do

CEB-FIP MC90 (1993) e o terceiro um diagrama bilinear simplificado. Os mesmos foram testados em exemplos de vigas contínuas, os quais foram comparados com os resultados obtidos da análise elástico linear.

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imediatas obtidas pelos métodos simplificados (indicados pela NBR 6118 e pelo CEB) e por modelos refinados em elementos finitos. Foram utilizados dois modelos em elementos finitos, sendo o primeiro com elementos de barra de três nós e sete graus de liberdade e a seção transversal subdividida em camadas. A NLF foi considerada a partir de relações constitutivas do aço e do concreto, que incluem um modelo refinado de tension stiffening. O segundo modelo utilizou elementos de viga com a não linearidade física considerada por meio de diagramas momento-curvatura, obtidos tanto a partir da fórmula de Branson como do método Bilinear. Os dois modelos, bem como os métodos simplificados estudados, foram implementados em um programa computacional. Diversos estudos variando-se as características geométricas, o tipo de carregamento, resistência do concreto e a taxa de armadura das vigas em serviço foram feitos.

Kwak e Kim (2002) propuseram um modelo analítico para considerar a NLF das vigas de concreto armado baseado em relações momento-curvatura das seções, utilizando uma formulação de elementos finitos de barra. Neste estudo os autores concluíram que a análise numérica simplificada através da relação momento-curvatura pode ser aplicada de forma eficaz no estudo de vigas de concreto armado.

Além da dificuldade em modelar o comportamento conjunto de dois materiais com características distintas (concreto e aço), outros fatores influenciam na análise da resposta em serviço das estruturas de concreto armado, tais como, a história de carregamento e a influência dos efeitos diferidos provocados pela fluência e retração do concreto. Com isso, muitos estudos têm sido feitos ao longo do tempo para o cálculo de flechas em vigas. Desde estudos simplificados, baseado na teoria elástica, com o objetivo de obter multiplicadores para o cálculo simplificado das flechas imediatas e de longa duração, até estudos mais complexos envolvendo elementos finitos e modelos constitutivos mais elaborados.

Araújo (2004) avaliou alguns métodos simplificados para o cálculo de flechas em vigas comparando-os com um modelo mais refinado que inclui a análise não linear. O efeito da fluência foi considerado aplicando-se o coeficiente de fluência diretamente na deformação do concreto e no módulo de deformação efetivo (Ece). A deformação por retração foi

somada à deformação causada por tensões. Os modelos simplificados estudados foram o método bilinear do CEB, uma fórmula prática apresentada no código modelo CEB-FIP MC90 (1993) e o método do ACI, utilizado pela NBR 6118. Os resultados mostraram que para flechas imediatas, os métodos simplificados apresentaram bons resultados quando comparados com o modelo não-linear. No entanto, para flechas

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diferidas no tempo o método da NBR 6118 não apresentou bons resultados, subestimando as flechas das vigas pouco solicitadas e superestimando as flechas das vigas mais solicitadas. Lembrando que essa análise foi feita para um modelo de viga biapoiada com características pré-determinadas.

Martins (2008) estudou a NLF em vigas de concreto pelo procedimento refinado da NBR 6118 – CT301 do IBRACON (ABNT, 2003) e comparou com o procedimento simplificado. Foram analisados dois modelos de vigas, uma simplesmente apoiada e outra biengastada, onde pode-se avaliar a redução na rigidez devido à fissuração. A conclusão, diante dos dois exemplos estudados, é que os valores sugeridos pela norma para redução na rigidez que considera a NLF de maneira aproximada parecem razoáveis.

Bandini (2015) desenvolveu procedimentos numéricos para avaliar o comportamento de vigas biapoiadas, considerando a não linearidade física através de modelos constitutivos adequados. As seções transversais foram analisadas em camadas para integração das tensões e obtenção dos esforços internos. A análise das flechas totais, considerando fluência e retração foi desenvolvida mediante emprego de método para o cálculo da curvatura em elementos fletidos. Os procedimentos foram validados através de comparações com resultados de vigas ensaiadas por outros pesquisadores. Procedeu-se também uma investigação da influência da taxa de armadura de tração no cálculo de flecha imediatas recomendado pela NBR 6118. Os resultados obtidos pelo procedimento numérico foram satisfatórios, comparados aos resultados experimentais e a análise da taxa de armadura de tração indicou que pode existir uma limitação ao uso do procedimento recomendado pela norma brasileira no cálculo de flechas imediatas em vigas com taxa de armadura de tração inferior a 0,50%.

Gilbert (2011) apresentou um estudo comparando resultados de um modelo analítico com os resultados de modelos experimentais em que foram analisados doze elementos prismáticos de concreto. O modelo analítico para o cálculo de flechas totais em vigas de concreto armado foi baseado na estimativa de curvaturas devidas à retração e à fluência. O modelo considerou a colaboração do concreto entre fissuras através do método proposto pela norma europeia Eurocode 2 (2004). Os resultados obtidos pelo método analítico foram próximos aos resultados experimentais, portanto o autor concluiu que o modelo apresentado é confiável para estimar os deslocamentos das vigas considerando os efeitos de fluência, retração e fissuração.

(32)

Compressão Modificada (Modified Compression Field Theory - MCFT) ao aplicar em painéis de concreto armado solicitados a estado plano de tensões. Neste estudo foram formulados modelos constitutivos para o concreto fissurado para tensões principais e deformações principais, tanto em tração como em compressão, os quais foram comparados a resultados experimentais de ensaios de painéis. Os autores atribuíram os efeitos da colaboração do concreto tracionado (tension stiffening) após a fissuração. Concluíram que o MCFT é uma ótima ferramenta analítica e de fácil programação, podendo ser aplicada em vigas sujeitas à flexão.

A CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO TRACIONADO ENTRE FISSURAS

Modelar o comportamento do concreto armado após a fissuração, de forma a representar adequadamente a NLF do elemento, é uma tarefa difícil na análise de estruturas. Isso ocorre devido à grande variabilidade nos resultados obtidos por diferentes modelos numéricos, quando comparados aos resultados experimentais.

Ao submeter o concreto à tensões de tração, até mesmo relativamente baixas, este irá fissurar e consequentemente haverá uma considerável perda de rigidez da estrutura. A não consideração deste comportamento não linear do material pode resultar em deslocamentos contra a segurança. No entanto, desprezar completamente a presença do concreto tracionado entre fissuras implica em modelos flexíveis, resultando em deslocamentos muito acima dos observados na realidade. Por isso a importância da consideração da não linearidade física do material e da contribuição do concreto tracionado entre fissuras.

De acordo com Collins & Mitchell (1987), em 1899 já se notara através de ensaios que os resultados da relação carga versus deformação dos corpos de prova de concreto armado em relação aos resultados dos ensaios das barras de aço isoladas apresentavam curvas praticamente paralelas. No entanto, a relação carga versus deformação dos corpos de prova em concreto armado contribuíam com valores menores de deformação. Ou seja, já se notara que essa diferença fornece uma resposta da força média resistida a mais pelo concreto fissurado. A Figura 2.1

representa graficamente a contribuição do concreto tracionado entre fissuras (tension stiffening), onde pode-se verificar que mesmo fissurado, o concreto armado contribui para uma maior rigidez à tração quando comparado à barra de aço isolada.

(33)

Figura 2.1 - Comportamento do aço isolado comparado à peça em concreto armado

Fonte: Adaptado de Bischoff (2005)

Para entender como funciona a resposta pós fissurada de um determinado elemento em concreto armado é necessário compreender a maneira como a força é compartilhada entre o concreto e a armadura ao longo do elemento. A aderência existente entre os dois materiais permite que tensões sejam transferidas da barra para o concreto após a deformação do elemento. Forças de compressão são transferidas da barra para o concreto causando fissuras secundarias, que somadas às primárias são visíveis na superfície do elemento, conforme apresentadas na Figura 2.2. Uma viga sujeita a um momento constante, antes de fissurar, apresenta uma distribuição uniforme da curvatura. Após a fissuração, a curvatura varia ao longo do elemento apresentando valores maiores nos locais da fissura. O mesmo ocorre com a força transportada pelo aço e pelo concreto, que após a fissuração deixa de ser constante. No local da fissura, a barra descola do concreto e toda a força deve ser transportada somente pela barra, deixando o concreto livre de tensões. No entanto, fora do local fissurado, na região de transferência, as tensões de tração se acumulam no concreto ao redor da barra. Em nenhuma seção do elemento a carga transportada pelo concreto pode exceder a multiplicação da área de concreto pela tensão de fissuração (Ac.fcr) e quando esse valor for

(34)

Figura 2.2 - Formação de fissuras internas

Fonte: Adaptado de Collins & Mitchell (1987)

Após a formação das primeiras fissuras, a média de tensões de tração resistidas pelo concreto reduzirá e quanto mais fissuras aparecerem, menor será a média de tensões. Com o aumento da carga, mais fissuras são formadas e a rigidez à flexão da peça diminui.

De acordo com Coelho (2011), para considerar o efeito de tension

stiffening, a maioria dos modelos de análise atualmente usa o conceito de

fissuras distribuídas (smeared cracking model), no qual uma fissuração progressiva é admitida como estando distribuída totalmente em um elemento ou nos pontos de integração dentro do elemento. Este modelo se contrapõe ao modelo de fissuras discretas que representa as fissuras individualmente. Embora o conceito de fissuras distribuídas não seja capaz de produzir um padrão de fissuras realista, essa idealização pode ser facilmente implementada em programas de computador. Para a maioria das aplicações de engenharia, esta aproximação garante uma precisão aceitável, conforme Gribniak et al. (2013).

O efeito tension stiffening modelado através do conceito de fissuras distribuídas é representado pelo trecho descendente da relação tensão-deformação do concreto à tração. Diversos modelos foram propostos por diferentes autores, como por exemplo, Vechio & Collins (1986), Collins & Mitchell (1987) e Kaklauskas and Ghaboussi (2001).

Algumas leis constitutivas do concreto à tração propostas por diferentes autores e normas de projeto são apresentadas na Figura 2.3. Pode-se notar que os modelos diferem bastante um do outro.De acordo com Gribniak et al. (2015), isso é consequência das diferenças nos

(35)

programas experimentais e da natureza estocástica do concreto fissurado (resultando em uma dispersão de resultados experimentais), que torna a análise em serviço uma análise muito difícil.

Figura 2.3 – Leis Constitutivas do Concreto Tracionado

Fonte: Adaptado de Gribniak et al. (2015)

Segundo Coelho (2011), o efeito de tension stiffening tem uma grande influência no comportamento das deformações de estruturas de concreto armado, especialmente nas situações de serviço. Esse comportamento resulta em uma relação momento versus curvatura para as seções de concreto entre dois limites, CI correspondente à seção não fissurada (Estádio I) e CII para a seção totalmente fissurada (Estádio II), conforme mostrado na Figura 2.4.

A resposta carga versus deslocamento de uma viga de concreto armado pode então ser obtida em função das relações momento versus curvatura das seções. Mcr é o momento de fissuração da seção de concreto. Neste trabalho será usado um procedimento numérico baseado no modelo de fissuras distribuídas (smeared cracking model), onde o efeito da colaboração do concreto entre fissuras é representado por uma curva decrescente que relaciona a tensão e a deformação média à tração no concreto, sugerido por Collins & Mitchell (1987).

(36)

Figura 2.4 – Diagrama Momento Fletor-Curvatura

Fonte: Adaptado de Coelho (2011)

DEFORMAÇÕES AO LONGO DO TEMPO

Durante a sua vida útil, as estruturas de concreto estão sujeitas à diferentes solicitações que podem ser externas como o peso próprio, cargas acidentais, permanentes, ventos, sismos, entre outras. Ou internas, como retração, temperatura ou recalques diferenciais. A resposta a essas ações não é tão simples, podendo resultar em diferentes tipos de deformações.

As deformações podem ser classificadas de acordo com o tempo em imediata, que é a resposta imediata à ação, ou lenta que é dependente do tempo, ocorrendo após a imediata. Como deformação dependente do tempo serão incluídas no estudo as deformações devidas à fluência e retração.

De acordo com a Eurocode 2 (2004), a fluência e a retração dependem da umidade do ambiente, das dimensões do elemento e da composição do concreto. A fluência é também influenciada pela maturidade do concreto quando a carga é aplicada e pela duração e magnitude do carregamento.

A deformação por fluência é dependente do tempo e da tensão aplicada em um tempo prolongado de carregamento. A deformação por retração independe de tensões.

Vários modelos são propostos na literatura para a previsão de fluência e retração, dentre os consultados têm-se: Eurocode 2 (2004),

(37)

(2011).

2.2.1 Deformação Devida À Fluência

De acordo com Sampaio (2004), enquanto as deformações elástica e plástica ocorrem simultaneamente à aplicação da carga em todos os materiais, alguns materiais usados na engenharia civil podem sofrer uma deformação adicional se o carregamento for mantido por tempo suficientemente longo. Trata-se da deformação lenta ou fluência. Ela possui dois componentes: um componente elástico e outro viscoso. A velocidade dessa deformação varia de acordo com o tipo do material.

A fluência no concreto é uma deformação ao longo do tempo sob uma carga constante. Esse efeito causa um aumento na curvatura da seção e consequentemente um acréscimo nas deformações ao longo do tempo nas vigas de concreto armado. Conforme Lucio (2006), o concreto sujeito a uma tensão no instante t0 sofre uma deformação imediata εc0, a qual aumenta com o tempo, atingindo o valor εc,t no instante t. εcc é a deformação por fluência entre t0 e t. A tempo infinito (t∞) a deformação toma o valor εc∞. A Figura 2.5 apresenta o diagrama de deformação do concreto no tempo, sob o efeito da fluência.

Figura 2.5 – Efeito da Fluência no Tempo Sob Carregamento Constante

Fonte: Adaptado de Lucio (2006)

Dentre os vários métodos consultados para prever o efeito da fluência, convém citar um procedimento já bastante estudado, recomendado pela Eurocode 2 (2004), que é o método do módulo de deformação efetivo 𝐸𝑐𝑒 ou módulo de elasticidade modificado. Neste método calcula-se um módulo de deformação efetivo incluindo um

(38)

coeficiente de fluência na formulação e com isso calculam-se as deformações baseadas nesse novo módulo de deformação que é dado por:

𝐸𝑐𝑒= 𝐸𝑐𝑚

1 + 𝜑(𝑡, 𝑡0)

(2.1)

Onde Ecm é módulo de deformação longitudinal e 𝜑(𝑡, 𝑡0) é o coeficiente de fluência calculado conforme Anexo A.

Diferentes estudos têm introduzido um fator de ajuste do coeficiente de fluência 𝜑(𝑡, 𝑡0) de acordo com a idade do concreto. Esses fatores são introduzidos diretamente no cálculo do módulo de deformação efetivo quando este procedimento é utilizado.

Gilbert (2011) apresenta expressões empíricas, para o cálculo de um fator de ajuste do coeficiente de fluência, que têm sido desenvolvidas baseadas em uma análise refinada do método do módulo efetivo ajustado à idade. Os fatores de ajuste sugeridos por Gilbert (2011) dependem basicamente da taxa de armadura, do posicionamento da mesma e se a seção encontra-se fissurada ou não. Esses fatores ajustam o coeficiente de fluência utilizado diretamente no cálculo da curvatura associada ao efeito de fluência. Com o resultado dessa curvatura, pode-se calcular as deflexões das vigas devidas à deformação lenta. As equações sugeridas pelo autor serão estudadas nesse trabalho e o procedimento detalhado será apresentado na metodologia.

Casagrande (2016) estudou a consideração da fluência no cálculo dos efeitos de segunda ordem em pilares de concreto. O autor sugere considerar o efeito da fluência através de um método de ajuste do diagrama tensão-deformação associado à um diagrama momento curvatura. De acordo com Fusco (1981), como a fluência ocorre sob a ação dos esforços permanentes de serviço (característicos), as tensões no concreto são suficientemente baixas para que se empregue a teoria linear da fluência, na qual é admitida uma função 𝜑 de fluência independentemente da tensão aplicada. Nesse método o coeficiente de fluência 𝜑(∞, t0) é multiplicado diretamente pela deformação imediata do concreto 𝜀𝑐 provocando um ajuste no diagrama tensão-deformação do concreto à compressão, como pode ser visto na Figura 2.6.

Os métodos sugeridos por Casagrande (2016) e por Gilbert (2011)

para considerar o efeito da fluência no cálculo das deformações, conforme apresentados acima, serão estudados nesse trabalho. O objetivo é compará-los entre si e com os resultados das flechas finais obtidas pelo

(39)

procedimento simplificado da norma e com os resultados de modelos experimentais.

Figura 2.6 – Fluência no diagrama tensão – deformação

Fonte: Adaptado de Fusco (1981)

2.2.2 Deformação Devida À Retração

O fenômeno da retração ocorre com a diminuição do volume de concreto, que é diretamente influenciada pelas alterações climáticas e pela composição da mistura. Essa diminuição de volume se inicia durante a cura do concreto, quando ocorre a evaporação de água não consumida na reação química da pega. O fato ocorre independentemente de haver tensões aplicadas na estrutura. A taxa de variação da retração diminui com o tempo, dependendo da umidade relativa e da temperatura do ar, além da composição do concreto.

Os principais tipos de retração considerados são a retração autógena (química) e a retração por secagem (hidráulica).

Segundo Amaral (2011), a retração autógena é a redução macroscópica do volume de materiais cimentícios devido às reações de hidratação do cimento, medida em ambiente fechado sem alterações climáticas e nem acréscimos de substâncias. Ela ocorre antes da retração por secagem.

A retração por secagem ou hidráulica é uma redução de volume devido à perda de água para o ambiente, sendo muito influenciada pela variação de temperatura. Depende diretamente do tamanho e forma do elemento, sendo umas das principais causas de fissuração no concreto.

(40)

O efeito da retração pode causar curvaturas adicionais à estrutura contribuindo com o aumento das deflexões ao longo do tempo, por isso deve ser considerado no cálculo de flechas finais das vigas em concreto armado.

No caso de uma viga em concreto simples, sem armadura, a retração é uniforme ao longo da altura provocando um encurtamento do elemento sem causar curvatura, conforme Figura 2.7.

Figura 2.7 – Efeito da Retração no Concreto Simples

Se tratando de uma viga em concreto armado, o efeito da retração vai provocar uma curvatura adicional na seção. De acordo com Gribniak

at al. (2008), a armadura embutida no elemento de concreto restringe o

encolhimento, gerando tensões de compressão na armadura e de tração no concreto. Se a armadura não estiver posicionada simetricamente na seção, a retração causará tensões não uniformes e uma distribuição de deformações na altura da seção.

Figura 2.8 - Efeito da Retração no Concreto Armado

Em função de o centroide da armadura e o centroide da seção de concreto não coincidirem, a retração imposta pelo concreto e a restrição provocada pela armadura geram, por equilíbrio, uma força e um momento

(41)

curvando a viga (Figura 2.8).

Conforme mencionado anteriormente, muitos modelos de cálculo são utilizados para quantificar o efeito da retração no cálculo das flechas finais das vigas. O ACI 209R (1997) em seu item 3.6.2, por exemplo, recomenda o método da força de tração equivalente no caso de armadura dupla e constante ao longo do vão, em que calcula uma curvatura adicional devida à deflexão causada pela retração.

A norma europeia Eurocode 2 (2004) sugere que sejam calculadas duas curvaturas induzidas por retração, uma no estádio não fissurado e outra no estádio fissurado. As duas formulações levam em conta o momento estático da armadura tracionada em relação ao centroide da seção nos estádios I e II. A curvatura final é determinada através de uma média que utiliza um coeficiente de distribuição para considerar a contribuição do concreto tracionado entre fissuras. Esse procedimento será utilizado nas análises e portanto detalhado na metodologia.

Gilbert (2011) recomenda duas equações empíricas para o cálculo da curvatura induzida por retração, onde uma calcula uma curvatura da seção não fissurada e a outra da seção fissurada. As duas equações levam em consideração a taxa de armadura de tração e as armaduras de tração e compressão na sua formulação. A curvatura final induzida por retração é determinada pela mesma formulação indicada pelo Eurocode 2 (2004)

que utiliza o coeficiente de distribuição. Essa formulação também será detalhada na metodologia e utilizada nas análises.

MÉTODO SIMPLIFICADO DO CÁLCULO DE FLECHAS – NBR 6118

A NBR 6118 (2014) permite que a análise das flechas em vigas seja feita de forma simplificada, onde considera a redução na rigidez da peça em função da fissuração através da determinação de uma rigidez equivalente. Acrescentando-se em seguida o efeito de longa duração devido à fluência. Convém destacar o item 17.3.2 da norma que cita o seguinte:

A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face da grande variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das deformações reais. Não se

(42)

pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos.

De acordo com a NBR 6118 (2014), pode-se admitir o comportamento elástico e linear dos materiais, de modo que as seções ao longo do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no Estádio I, desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração ou considere a fissuração em caso contrário. Segundo a mesma norma, deve-se utilizar o módulo de elasticidade secante 𝐸𝑐𝑠, conforme abaixo, e é obrigatória a consideração do efeito da fluência. 𝐸𝑐𝑠= 𝛼𝑖𝐸𝑐𝑖 (2.2) Onde: 𝛼𝑖= 0,8 + 0,2. 𝑓𝑐𝑘 80≤ 1 (2.3) 𝐸𝑐𝑖= 𝛼𝐸 5600 𝑓_𝑐𝑘 1 2 ⁄ para fck de 20 a 50 MPa; 𝐸𝑐𝑖= 21,5 . 103𝛼𝐸 ( 𝑓𝑐𝑘 10 + 1,25) 1/3 para fck de 55 a 90 MPa; (2.4) Sendo:

𝛼𝐸= 1,2 para basalto e diabásio; 𝛼𝐸= 1,0 para granito e gnaisse; 𝛼𝐸= 0,9 para calcário;

𝛼𝐸= 0,7 para arenito.

𝐸𝑐𝑖, 𝐸𝑐𝑠 e fck dados em MPa.

Para a avaliação aproximada da flecha em vigas pode-se utilizar a equação de rigidez equivalente, proposta originalmente por Branson (1968), e adaptada para a NBR 6118 (2014), conforme a seguir:

(43)

(𝐸𝐼𝑒𝑞) = 𝐸𝑐𝑠 {(𝑀𝑐𝑟 𝑀𝑎 ) 3 𝐼𝑐+ [1 − (𝑀𝑐𝑟 𝑀𝑎 ) 3 ] 𝐼𝐼𝐼} ≤ 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑐 (2.5) Onde:

𝑀𝑎 é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação;

𝑀𝑐𝑟 é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas;

𝐸𝑐𝑠 é o módulo de elasticidade secante do concreto; 𝐼𝑐 é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 𝐼𝐼𝐼 é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II puro calculado com 𝛼𝑒=

𝐸𝑠

𝐸_𝑐𝑠, onde 𝐸𝑠 é o módulo de elasticidade do aço.

O momento de fissuração, conforme o item 17.3.1 da mesma norma, é calculado pela expressão:

𝑀𝑐𝑟=

𝛼𝑓𝑐𝑡𝑚𝐼𝑐 𝑦𝑡

(2.6)

𝛼 é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta. Sendo igual a 1,2 para seções T ou duplo T, 1,3 para seções I ou T invertido e 1,5 para seções retangulares;

𝑦𝑡 é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.

𝑓𝑐𝑡𝑚 é a resistência à tração média do concreto até a classe C50, calculado pela Equação 2.7. Na existência de resultados experimentais, a resistência à tração direta pode ser considerada igual a 0,9 𝑓𝑐𝑡,𝑠𝑝. 𝑓𝑐𝑡𝑚= 0,30𝑓𝑐𝑘 2 3 ⁄ (2.7)

(44)

𝑓𝑐𝑘 é a resistência à compressão característica do concreto. Sendo conhecido o valor da resistência média à compressão do concreto 𝑓𝑐𝑚 fornecido pelo ensaio experimental pode-se obter o valor do 𝑓𝑐𝑘, para utilização como dado de entrada no procedimento da norma, pela equação proposta pela NBR 12655 (2006) dada a seguir:

𝑓𝑐𝑘= 𝑓𝑐𝑚− 1,65 𝑆𝑑

(2.8)

𝑆𝑑 é o desvio padrão da amostra.

A rigidez equivalente pode ser considerada como uma rigidez média ao longo de toda a viga. Leva em conta a existência de trechos fissurados e ao mesmo tempo considera o aumento da rigidez entre as fissuras (tension stiffening). Além disso, considera que ao longo da viga existem trechos fissurados e trechos não fissurados, como as regiões próximas aos apoios em vigas biapoiadas.

Nos casos de vigas contínuas, a aproximação com uma única rigidez equivalente por trecho pode não ser adequada, e nesse caso existe a possibilidade de dividir a viga em três trechos e adotar uma rigidez para cada trecho, conforme indicado na NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação recomendada pelo IBRACON (2015).

Com o resultado da rigidez equivalente obtida pela Equação 2.5, segundo a norma, pode-se obter a flecha imediata das vigas.

De acordo com a NBR 6118 (2014), as flechas diferidas são aquelas que surgem ao longo do tempo, devido às cargas de longa duração, e somam-se às flechas imediatas formando as flechas totais. A flecha diferida é calculada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf, dado abaixo, conforme o item 17.3.2.1.2 da NBR 6118 (2014).

𝛼𝑓= ∆𝜉 1 + 50𝜌′ (2.9) 𝜌′₌𝐴𝑠 ′ 𝑏𝑑 (2.10)

(45)

𝜉 é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na Tabela 17.1 da NBR 6118 (2014) ou ser calculado pelas expressões seguintes:

∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡0)

𝜉(𝑡) = 0,68(0,996𝑡_{) 𝑡}0,32_{𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠}

𝜉(𝑡) = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (2.11) Sendo:

𝑡 o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

𝑡0 a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para 𝑡0 o valor ponderado a seguir:

𝑡0=Σ𝑃𝑖 𝑡0𝑖 Σ𝑃𝑖

(2.12)

Onde:

𝑃𝑖 representa as parcelas de carga.

O valor da flecha total, segundo a NBR 6118 deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf).

Esse método simplificado será utilizado no cálculo de flechas dos exemplos desse trabalho com o objetivo de comparar os resultados obtidos pela NBR 6118 (2014) com o modelo proposto e os resultados experimentais.

(46)

3 METODOLOGIA

Neste capítulo será apresentada a metodologia utilizada no desenvolvimento dos procedimentos implementados neste trabalho para a determinação das flechas imediatas e totais de vigas biapoiadas de seção retangular em concreto armado.

Inicialmente serão abordadas as etapas do comportamento da seção transversal e os modelos constitutivos empregados para os materiais aço e concreto.

Na sequência será apresentado o conceito do diagrama momento curvatura e o procedimento detalhado para a determinação do mesmo.

Também serão detalhados os procedimentos utilizados na determinação das flechas obtidas ao longo do tempo devidas aos efeitos de fluência e retração.

Por último é explicado o procedimento para determinação das flechas, onde neste caso serão avaliadas somente vigas isostáticas. As vigas serão divididas em um determinado número de trechos para que se possa realizar a integração numérica das curvaturas e obter as flechas máximas no meio do vão.

COMPORTAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL

Os elementos em concreto armado apresentam três diferentes etapas de comportamento quando submetidos à flexão. A primeira etapa (Estádio I) apresenta um comportamento linear, tanto do aço quanto do concreto. Quando surge a primeira fissura, inicia-se a segunda etapa (Estádio II) que é quando o momento atuante é maior ou igual ao momento de fissuração (Mcr). O estádio II puro ocorre quando a seção é considerada totalmente fissurada.

A terceira etapa (Estádio III) pode ser interpretada como um patamar no diagrama momento curvatura que inicia quando a seção atinge o momento de plastificação (Mp) e finaliza com a seção atingindo o momento último (Mu), levando a seção à ruína. Supõe-se que o início da plastificação ocorre quando o aço atinge a tensão de escoamento.

Nesse trabalho interessa as análises nos Estádios I e II, pois as verificações serão feitas no estado limite de serviço (ELS).

O diagrama da Figura 3.1 apresenta as curvas carga – flecha de uma viga biapoiada representando os estádios I e o estádio II puro. No entanto, o que ocorre na realidade é a curva intermediária onde a seção está fissurada, mas não totalmente fissurada e o concreto íntegro existente entre as fissuras ainda contribui com a resistência à tração (efeito tension

(47)

stiffening). Esse efeito será estudado ao longo do trabalho.

Para o cálculo da inércia no estádio I e estádio II será computada a armadura, ou seja, as seções em estudo serão consideradas homogeneizadas. A homogeneização é feita substituindo-se a área de aço por uma área correspondente de concreto, utilizando a relação entre os módulos de elasticidade dos dois materiais (razão αe = Es/Ec).

Figura 3.1 – Representação dos estádios através do Diagrama carga-flecha

Fonte: Do próprio autor

Nos itens a seguir serão apresentados os modelos constitutivos dos dois materiais, aço e concreto, utilizados na construção do diagrama momento fletor curvatura para a consideração da NLF e da contribuição do concreto tracionado.

3.1.1 Modelo Constitutivo do Concreto à Compressão

Na literatura existem diversos modelos constitutivos para representar o comportamento do concreto submetido à compressão. Neste trabalho optou-se por utilizar um modelo proposto por Collins & Mitchell (1987), baseado em um diagrama tensão deformação parabólico apresentado na Figura 3.2, com o intuito de compará-lo com os modelos triangulares comumente utilizados nas análises no ELS.

(48)

Figura 3.2 – Diagrama Tensão-Deformação do Concreto à Compressão

Fonte: Adaptado de Collins & Mitchell (1987)

Os autores sugerem que para seções transversais usuais com largura constante o modelo parabólico sugerido pode ainda ser simplificado por um diagrama retangular onde serão utilizadas distribuições de tensões uniformes equivalentes obtidas através dos fatores “stress-block” α1 e β1. Esse procedimento será explicado mais adiante no item 3.3.2 onde será apresentado o passo a passo da construção do diagrama momento curvatura.

Portanto, para a relação constitutiva do concreto à compressão será adotada a equação abaixo:

𝑓𝑐= 𝛼1𝛽1𝑓′𝑐 (3.1) Onde: 𝛼1𝛽1= 𝜀𝑐 𝜀′ 𝑐 −1 3( 𝜀𝑐 𝜀′ 𝑐 ) 2 (3.2)

(49)

𝛽1= 4 − 𝜀𝑐 𝜀′𝑐 6 −2𝜀𝑐 𝜀′𝑐 (3.3) Onde:

𝑓′𝑐 é a tensão máxima, usualmente considerada como a resistência

média à compressão do concreto (fcm) obtida de ensaios. Na falta de

ensaios experimentais pode-se utilizar Equação 3.10 para estimar o valor de fcm;

𝜀𝑐 é a deformação específica do concreto por compressão na extremidade da face comprimida;

𝜀′𝑐 é a deformação correspondente à tensão máxima 𝑓′𝑐. O valor adotado será de 0,002 (2‰).

Para fins de projeto uma deformação última 𝜀𝑢é especificada para estabelecer um limite de ruptura para o concreto. Neste trabalho o valor limite para 𝜀𝑢 será de 0,0035 (3,5‰).

Uma das formas de considerar o efeito da fluência no cálculo final das flechas, e que será estudada nesse trabalho, é ajustar o diagrama tensão deformação do concreto à compressão incluindo coeficiente de fluência. Essa consideração será explicada detalhadamente no Item 3.4.2.

3.1.2 Modelo Constitutivo do Concreto à Tração

O concreto enquanto integro, antes de fissurar, é totalmente efetivo na resistência à tração a que lhe compete. A resposta à tração é praticamente linear até o início da fissuração, que ocorre quando o concreto atinge a sua resistência à tração. No estado limite de serviço as vigas submetidas à flexão trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II, conforme mencionado anteriormente.

Portanto admitiu-se o comportamento linear antes da fissuração, sendo a tensão de tração calculada pela equação abaixo:

Sendo: 0 ≤ 𝜀𝑡 < 𝜀′𝑡 𝑓𝑡 = 𝑓𝑡′( 𝜀𝑡 𝜀′ 𝑡 ) (3.4) 𝑓𝑡 é a tensão de tração do concreto;

(50)

𝑓𝑡′ é a tensão máxima de tração resistida pelo concreto antes de fissurar (tensão de fissuração). Na falta de ensaios, será utilizada a resistência média à tração do concreto na flexão (𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙), dada pela Equação 3.6;

𝜀𝑡é a deformação específica causada por tensões de tração; 𝜀′

𝑡 é a deformação devido à tensão de fissuração, dada por: 𝜀′𝑡=𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙

𝐸𝑐

(3.5) 𝐸𝑐 é o módulo de deformação longitudinal tangente inicial do concreto.

Na falta de ensaios, a resistência média à tração do concreto à flexão pode ser obtida de acordo com a norma Eurocode 2 (2004) com a seguinte equação: 𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙= 𝑚á𝑥 {(1,6 − ℎ 1000) 𝑓𝑐𝑡𝑚; 𝑓𝑐𝑡𝑚} (3.6) Onde: 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3(𝑓𝑐𝑚− 8) 2 3 ⁄ (3.7)

𝑓𝑐𝑚 é fornecido em megapascal (MPa), h é a altura total da seção em mm.

Optou-se por utilizar o valor de 𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙 no cálculo do momento de fissuração ao invés do coeficiente 𝛼 multiplicado por 𝑓𝑐𝑡𝑚, conforme a norma brasileira, pois o 𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙 leva em consideração a altura da seção transversal e segundo Leonhardt (1971), a resistência à tração em vigas submetidas à flexão decresce com o aumento da altura das mesmas.

Segundo a norma Eurocode 2 (2004), o módulo de deformação longitudinal tangente inicial do concreto pode ser estimado por:

𝐸𝑐= 1,05 𝐸𝑐𝑚

(3.8) Caso o módulo de deformação longitudinal secante do concreto

(51)

(𝐸𝑐𝑚) não seja conhecido, pode-se estimá-lo através da expressão dada pela Eurocode 2 (2004): 𝐸𝑐𝑚 = 22000( 𝑓𝑐𝑚 10) 0,3 (3.9) 𝑓𝑐𝑚= 𝑓𝑐𝑘+ 8 (3.10)

Sendo 𝑓𝑐𝑚 e 𝑓𝑐𝑘 fornecidos em MPa.

O momento de fissuração é dado pela equação:

𝑀𝑐𝑟= 𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙𝑊𝐼

(3.11)

Onde 𝑊𝐼 é o módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não fissurada.

Ao iniciar a fissuração do elemento em concreto armado no estádio II, o concreto tracionado entre fissuras ainda pode contribuir na resistência à tração em função da transferência de tensões causada pela aderência entre o concreto e o aço (efeito tension stiffening).

Dentre várias formulações existentes na literatura a respeito da consideração do efeito tension stiffening, optou-se por utilizar uma equação sugerida por Collins & Mitchell (1987). Essa equação é uma forma conveniente de considerar a contribuição do concreto tracionado entre fissuras na verificação da deformação, em função da simplicidade e facilidade de aplicação e por ter apresentado bons resultados. Com isso, pretende-se estudar o comportamento de algumas vigas utilizando essas equações para avaliar comparativamente aos resultados obtidos pelo procedimento da NBR 6118 (2014) e aos resultados experimentais.

A equação sugerida é apresentada a seguir e será implementada nas análises através de diagramas momento versus curvatura.

Para 𝜀𝑡 > 𝜀′𝑡 :

𝑓𝑡= 𝛽𝑐𝑓𝑡′

(3.12)