Estratégias de resolução de situações problemas envolvendo números inteiros por alunos do 7º ano do ensino fundamental

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ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES PROBLEMAS

ENVOLVENDO NÚMEROS INTEIROS POR ALUNOS DO 7º ANO

DO ENSINO FUNDAMENTAL

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Everton Luís Schuster Kochenborger2

Resumo: O presente artigo constitui-se a partir de uma pesquisa qualitativa e tem como questão norteadora da pesquisa “Quais as estratégias consideradas por alunos de uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental, na resolução de situações problemas que envolvem números inteiros?”. Para produção dos dados empíricos foram elaboradas quatro situações problemas, sendo estas desenvolvidas em uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental, de uma Escola Estadual. As quatro situações problemas consideradas envolveram números inteiros e operações adição e subtração com este conjunto numérico em diferentes contextos. No decorrer do artigo, procurou-se analisar e investigar quais as dificuldades ou compreensões já estabelecidas e as estratégias tomadas, sendo que o conteúdo já era de conhecimento da turma. Para a análise dos dados produzidos foram consideradas, em especial, as proposições apresentadas por Van de Walle (2009) e Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998). As estratégias usadas pelos grupos na resolução das situações problemas foram agrupadas considerando recorrência e são apresentadas estejam elas adequadas ou não. De acordo com a pesquisa foi observado semelhanças no desenvolvimento apresentado por alguns grupos, considerando duas formas diferentes como estratégia, uma foi representação na forma figural, modelo este trabalhado por Van de Walle, e a outra realizando cálculos. Aponta-se assim, o quanto o professor deve ser criterioso e atento nas suas proposições, pois cada aluno é único e seus conhecimentos o tornam assim.

Palavras-chave: Ensino e Aprendizagem. Adição e Subtração de Números Inteiros. Resolução de Problemas.

1. Introdução

No decorrer do curso de licenciatura em Matemática vamos construindo significados fundamentais em relação à matemática na formação do estudante da Educação Básica. Mas, além disso, vamos nos apropriando de significados e descobrindo a importância do aprofundamento teórico acerca dos diferentes saberes constitutivos do ser professor de Matemática. Por exemplo, a matemática comporta um amplo campo de relações e regularidades que acaba despertando a curiosidade e instigando a capacidade de projetar, prever e abstrair informações, fazendo com que o estudante estruture seu pensamento e desenvolva seu raciocínio lógico.

Sobre o Ensino Fundamental, constantemente nos perguntamos “como podemos considerar o que é um bom ensino em Matemática?”. Sabemos que não se trata de uma

1_{Artigo desenvolvido como Trabalho de Conclusão de Curso, do Curso Matemática- UNIJUI-} Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.

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Licenciando do Curso Matemática da UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.

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questão simples cuja resposta seja clara e definitiva. A partir de diferentes contextos e intencionalidades poderemos obter várias respostas, pois muito dependem das finalidades da educação priorizada, meios sociais, políticos e culturais dos alunos e da escola.

Para melhor entender a Matemática no contexto do Ensino Fundamental, BRASIL (1997, p.29) relata que esta área de conhecimento:

Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples como contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos e consumo, na organização de atividades como agricultura e pesca, a Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade.

Portanto, como professores de matemática, devemos proporcionar condições para que os alunos observem que a matemática está presente nas atividades diárias e possibilitar que os conhecimentos matemáticos sejam apropriados pelos educandos de uma forma dinâmica e prazerosa. E para isso, o professor necessita fazer o uso de contextos, metodologias, artefatos, métodos e estratégias que se mostrem potenciais no estabelecimento de processos de ensino e de aprendizagem, viabilizando o resgate de motivos do aluno para estudar.

Sobre o Ensino Fundamental, o Referencial Curricular Gaúcho (RIO GRANDE DO SUL, 2018) indica a busca de um compromisso com a formação integral e afirma que o conhecimento matemático é necessário a todos os estudantes em todas as suas potencialidades. Relata, ainda, que a matemática é uma construção humana e que estuda desde a quantificação de fenômenos como contagem, medições de objetos, grandezas, até fenômenos de caráter aleatório, ou seja, campos da incerteza. Aspectos estes que devem ser considerados no currículo escolar.

Nesse contexto, currículo está sendo entendido como um conjunto de todas as atividades que se efetivam na escola, desde seus objetivos até seu desenvolvimento. O currículo serve como um norte para nós professores e para todos os integrantes da comunidade escolar, pois relaciona-se ao o quê e ao como ensinar, como também, ao avaliar.

Segundo Demeuse e Strauven (2006, p.11, apud JONNAERT; ETTAYEBI: DEFISE, 2010, p;17),

[...] um currículo é um plano de ação. Ele é inspirado pelos valores que uma sociedade deseja promover; esses valores se expressam nas finalidades atribuídas ao conjunto do sistema de educação. O currículo oferece uma visão

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de conjunto planejada, estruturada e coerente das diretivas pedagógicas para organizar e gerir a aprendizagem em função dos resultados almejados. A partir da ideia dos autores supracitados, corrobora-se com o entendimento de que currículo indica os caminhos e possíveis chegadas que são constantemente organizados e reorganizados de acordo com as necessidades, dirigido pelos integrantes da comunidade escolar e seu meio. Assim, o currículo deve ser elaborado a partir da realidade em que a escola está inserida e sua proposta deve enfatizar o comprometimento de todos os integrantes na formação de alunos críticos, éticos, políticos e que busquem sempre o conhecimento.

Sobre o currículo específico da matemática, o Referencial Curricular do Rio Grande do Sul (RIO GRANDE DO SUL, 2009), dá ênfase a leitura, discussão e a interpretação de textos, com o propósito de promover o domínio e a compreensão de ideias matemáticas, além da interpretação de situações problemas e o raciocínio lógico. Indica que a matemática, como dito, seja entendida como um construto da humanidade e, sempre que possível, esteja articulada com outra área do conhecimento. Assim, a matemática tem um papel importante na formação de cidadãos críticos e capazes de agir de forma consciente na sociedade.

O Referencial Curricular Gaúcho (RIO GRANDE DO SUL, 2018), seguindo as orientações da Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2018), considera que os modos de pensar matemático para o componente curricular de Matemática seja um conjunto de habilidades relacionadas aos diferentes objetos do conhecimento, como: Números; Álgebra; Geometria; Grandezas e Medidas; e Probabilidade e Estatística. Compreende-se então que essas unidades temáticas contemplam os campos da Matemática: Aritmética; Álgebra; Geometria; e Tratamento da Informação. Segundo a BNCC (BRASIL, 2018), estes objetos são ideias importantes para o desenvolvimento do pensamento que contextualizam o currículo escolar.

De acordo com o Referencial Curricular Gaúcho (RIO GRANDE DO SUL, 2018), a unidade temática Números tem como finalidade desenvolver o pensamento numérico, que busca ampliar o conhecimento de julgar e interpretar argumentos baseados em quantidades. Para o aluno ter condições de construir a noção de número ele precisa ir desenvolvendo, entre outras, as ideias de aproximação, proporção, equivalência e ordem, noções fundamentais da matemática e de sucessivas ampliações dos campos numéricos.

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No Ensino Fundamental, especificamente nos anos finais, a expectativa é de que os alunos resolvam problemas com números naturais, inteiros e racionais, envolvendo as operações fundamentais. Nessa etapa do Ensino Fundamental, os estudantes devem dominar o cálculo de porcentagens, porcentagem de porcentagem, de juros, de descontos e acréscimos, bem como alguns conceitos de economia e finanças, favorecendo a educação financeira.

Sobre a unidade temática Números, direcionado aos Números Inteiros, no 7º ano do Ensino Fundamental, o Referencial Curricular Gaúcho (RIO GRANDE DO SUL, 2018) indica como habilidades a serem desenvolvidas comparar e ordenar os números inteiros em diferentes contextos, como, contexto histórico, pontos na reta numérica e situações problemas envolvendo as quatro operações. Isso para que o aluno consiga reconhecer e compreender os números positivos e negativos nas diferentes situações do seu cotidiano. O referido documento também afirma que as situações problemas são muito importantes para que o aluno construa certas propriedades por meio de estratégias na resolução de expressões numéricas e situações problemas que envolvem números inteiros.

Os números naturais mostraram-se limitados na resolução de operações como 4-7 e também em diferentes contextos da nossa realidade, uma vez que não vivemos apenas de ganhos, ou acréscimos positivos. Com essa limitação, houve a necessidade de números mais “complexos”, surgindo os Números Inteiros que são, na verdade, uma ampliação dos números naturais, pois envolvem os números positivos e negativos e o zero. Os números negativos, por força da necessidade, aos poucos foram sendo aceitos e utilizados pela sociedade, sendo hoje de extrema importância no currículo escolar estendendo-se para além da educação básica.

A dificuldade em lidar com os Números Inteiros fragiliza a formação do aluno, pois se fazem necessários na produção de diferentes entendimentos. Nesse sentido, o professor precisa estar atento à organização do ensino de tais conceitos, pois

[...] ao desenvolver um trabalho exclusivamente formal no trabalho com os números inteiros, corre-se o risco de reduzir seu estudo a um formalismo vazio, que geralmente leva a equívocos e facilmente é esquecido. Assim, devem-se buscar situações que permitam aos alunos reconhecer alguns aspectos formais dos números inteiros a partir de experiências práticas e do conhecimento que possuem sobre os números naturais. (BRASIL, 1998, p. 100)

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Por isso, para trabalharmos em sala de aula, sugere-se partir de entendimentos que os alunos já têm estabelecidos, que são os números naturais, mas há necessidade de acontecer uma ruptura. Fica evidente a importância dos Números Inteiros para a formação matemática do aluno, pois este acompanhará sua vivência durante toda sua vida, dentro ou fora do ambiente escolar. Vale lembrar da importância de utilizar a história matemática como recurso e ressaltar, ainda, que as regras não foram simplesmente inventadas, mas decorrem dos fundamentos da Matemática. Nesse contexto, resolução de problemas é uma importante contribuição para o processo de ensino e aprendizagem da matemática, criando no aluno a capacidade de desenvolver o pensamento matemático, não se restringindo a exercícios prontos e rotineiros que valorizam a reprodução mecânica de procedimentos ou regras.

Sabe-se que a resolução de problemas é considerada por diversos autores, tais como: Polya (1995); e Dante (2000); entre outros, e por diversos professores de matemática, como uma das principais “atividades” da área. Ou seja, a resolução de problemas é um momento em que os alunos mobilizam seus conhecimentos prévios e envolvem-se diretamente na busca de soluções para determinada tarefa.

A importância da resolução de problemas está no fato de “possibilitar aos alunos mobilizarem conhecimentos e desenvolverem a capacidade de gerenciar as informações que estão ao seu alcance” (BRASIL, 1997, p. 40). Segundo Dante (1991, p. 11),

[...] é possível por meio da resolução de problemas desenvolver no aluno a iniciativa, espirito explorador, criatividade, independência e a habilidade de elaborar um raciocínio logico e fazer uso inteligente dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgirão em seu dia-a-dia.

A resolução de problemas com Números Inteiros, na perspectiva apresentada por Dante, justifica-se não só pela constatação das dificuldades enfrentadas pelos alunos, mas também por considerar o erro na organização do pensamento do aluno, cabendo ao professor intervir no processo de raciocínio e não apenas corrigir a resposta final.

Dante (2000) também aborda que a resolução de problemas é uma forma que faz com que o aluno consiga pensar produtivamente, por meio das situações desafiadoras que os motivam a resolvê-la. Sendo este um dos motivos no qual a resolução de problemas ganhou espaço de enorme reconhecimento em todo o mundo como ferramenta fundamental no ensino da matemática.

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Diante do exposto, a presente escrita constitui-se a partir de uma pesquisa que tem como objetivo investigar as estratégias consideradas pelos alunos na resolução de situações problemas que envolvem Números Inteiros. Este objetivo é delimitado pela questão “Quais as estratégias consideradas por alunos de uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental, na resolução de situações problemas que envolvem números inteiros?”.

2. Procedimentos metodológicos

O referente estudo foi desenvolvido a partir de uma pesquisa qualitativa considerando que o pesquisador fez parte interagindo em todo processo, uma vez que seu papel é “servir como veículo inteligente e ativo entre esse conhecimento acumulado na área e as novas evidências que serão estabelecidas a partir da pesquisa” (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 5). A presente investigação caracteriza-se como uma pesquisa qualitativa por ser não observada apenas quantitativamente, mas também e especialmente estratégias de resolução apresentadas pelos alunos no desenvolvimento das situações problemas propostas, não se preocupando apenas com os resultados finais, mas com o processo em si.

Para a produção dos dados empíricos foram elaboradas 4 situações problemas, sendo estas desenvolvidas em uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental, de uma Escola Estadual da região noroeste do Estado do Rio Grande do Sul. A turma conta com 14 alunos os quais têm em média 12 a 16 anos, sendo 8 meninos e 6 meninas. Esta turma foi escolhida pelo fato de o pesquisador ter sido chamado para atuar nesta escola como professor de matemática, mas que no momento do desenvolvimento da intervenção junto aos alunos, ainda não estava “habilitado” pelo órgão responsável. Além disso, outro fator considerado relaciona-se ao fato de os conceitos matemáticos envolvidos na pesquisa serem Números Inteiros, e este conteúdo é explorado, de acordo com a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2018), no 7º ano do Ensino Fundamental.

As quatro situações problemas consideradas envolveram números inteiros e operações adição e subtração com este conjunto numérico e consideraram diferentes contextos.

A Situação problema 1 relaciona-se ao saldo de gols de equipes de futebol, possibilita a identificação de representação de números positivos/negativos e de

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estratégias de adição de números inteiros com a ideia de prevalecer o sinal do número que possui maior módulo.

Figura 1- Situação Problema 1: Saldo de gols de equipes de futebol

Fonte: dados produzidos pelo autor.

A Situação problema 2 é apresentada nas Figuras 2 e 3, relaciona-se à Movimentação bancária, possibilita investigar como os alunos traçam caminhos e possibilidades para chegar à uma solução de uma situação problema que envolve o extrato bancário de uma conta corrente. Este problema envolve a movimentação da conta, os débitos e os créditos (saída e entrada de dinheiro na conta).

Figura 2 – Situação Problema 2: Movimentação bancária

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Figura 3 – Situação Problema 2: Movimentação bancária

A Situação problema 3 é apresentada na Figura 4, e foi proposta com o objetivo de investigar os caminhos que os alunos constroem para localizar as casas (números inteiros) na reta numérica e consequentemente ir construindo (sem o professor trabalhar) o conceito de números opostos ou simétricos.

Figura 4 – Situação Problema 3: João e seus vizinhos (reta numérica)

A Situação problema 4 envolve recordes de temperaturas no mundo, é apresentada nas Figura 5 e 6. Foi proposta com o intuito de investigar como o aluno interpreta as temperaturas abaixo de zero, se o mesmo já as conhece, e como pode determinar a variação das mesmas.

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Figura 5 – Situação Problema 4: Recordes das maiores temperaturas no mundo.

Fonte: dados produzidos pelo autor

Figura 6 – Situação Problema 4: Recordes das menores temperaturas no mundo.

Fonte: dados produzidos pelo autor

As situações problemas foram resolvidas em duplas de trabalho, a partir da escolha dos próprios alunos. Cada grupo de trabalho, no presente texto será indicado da

1. Analise as temperaturas e responda as seguintes questões: a) Indique a maior e a menor temperatura apresentada nos recordes. b) Qual a diferença entre a maior e a menor temperatura indicada nos recordes?

Explique a forma como você resolveu esta questão.

c) Qual a maior temperatura aferida no Brasil? E a menor? Qual a diferença entre essas temperaturas? Explique a forma como você resolveu esta questão.

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forma: Grupo 1 (G1), Grupo 2 (G2), Grupo 3 (G3), Grupo 4 (G4), Grupo 5 (G5), Grupo 6 (G6), Grupo 7 (G7). As respostas das situações problemas foram organizadas, inicialmente, considerando erros e acertos, e na sequência as resoluções pelos diferentes grupos de trabalho foram tabuladas para serem analisadas a partir de aspectos apresentados, especialmente, por Van de Valle (2009) e Polya (1945). As análises constituem-se a partir de cada situação problema proposta.

3. Estratégias na resolução de situações problemas envolvendo Números Inteiros apresentados por alunos de uma turma de 7º ano do Ensino Fundamental

Analisando os resultados das situações problemas, é possível perceber que os sujeitos investigados responderam a maioria dos problemas corretamente, lembrando que, de acordo com informações fornecidas pelo professor regente da disciplina, os alunos já haviam trabalhado o referido conteúdo.

No Quadro 1 são apresentados dados que revelam o desempenho dos alunos envolvidos na pesquisa.

Quadro 1- Erros e acertos de cada Situação Problema apresentada pelos alunos

Situação problema 1 Situação problema 2 Situação problema 3 Situação problema 4 Resultado correto G1 (a; b) G2 (a; b; c) G3 (a; b; c) G4 l (a; b; c) G5 (a; b) G6 (a; b; c) G7 (a; b; c) G1 (a; b) G3 (a; b) G4 (a; b) G5 (a; b) G1 (a; b; c; d) G3 (a; b; c; d) G4 (a; b; c; d) G5 (a; b; c; d) G6 (a; b; c; d) G1 (a; b; c) G2 (a) G3 (a; b; c) G4 (a; b; c) G5 (a) G6 (a) G7 (a) Resultado incorreto G1 (c) G5 (c) G2 (a; b) G6 (a; b) G7 (a; b) G2 (a; b; c; d) G7 (a; b; c; d) G2 (b; c) G5 (b; c) G6 (b; c) G7 (b; c)

Analisando os erros e acerto dos alunos é possível perceber certa recorrência nos acertos e erros nas situações problemas apresentadas. Explicando, na Situação problema 1 apenas os Grupos 1 e 5 erraram a questão indicada no item c. Na Situação problema 2, os Grupos 2, 6 e 7 erraram as questões apresentadas nos itens a e b. Na Situação problema 3, os Grupos 2 e 7 erraram as questões c e d. Na Situação problema 4 percebemos um número maior de grupos que erraram algumas questões, principalmente as apresentadas nos itens b e c. A análise do Quadro 1 permite indicar que os Grupos 2 e 7 apresentaram o maior número de erro das questões indicadas nas situações problemas propostas, seguidos pelos G5 e G6.

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Estratégias usadas pelos grupos na resolução das situações problemas estejam estas adequadas ou não, foram agrupadas considerando recorrências e são apresentadas e discutidas a seguir.

3.1 Situação Problema 1: Saldo de gols de equipes de futebol

A resolução desta situação problema exige a compreensão de que para obter o saldo de gols, os gols a favor podem ser indicados com números positivos e os gols sofridos podem ser indicados por números negativos. De forma que o saldo de gols pode ser obtido a partir da adição de gols, tanto feitos quanto sofridos.

De acordo com o Quadro 1, os Grupos 1 e 5 acertaram as letras a e b desta situação problema. Observa-se semelhanças no desenvolvimento. Os grupos utilizaram como estratégia a representação na forma figural, indicando com cores diferentes os gols marcados e os gols sofridos, anulando um a um até restar apenas uma cor que representasse o saldo, sendo este positivo ou negativo.

Figura 7- Resolução da Situação problema 1 apresentada pelo Grupo 1

Fonte: registro produzidos pelo Grupo 1.

Percebe-se nos Grupos 1 e 5 certa organização dos dados coletados no problema, e estes apresentados em círculos pintados com cores diferentes (azul e vermelho). Quando perguntados qual o motivo de utilizar círculos, os mesmos responderam que a melhor maneira de representarem “os gols” seria dessa forma. Entende-se que os alunos representaram os dados através de familiarizações e representações simbólicas para solucionar o problema apresentado nesta situação.

Van de Walle (2009, p. 533) apresenta dois modelos para operações com Números Inteiros, um destes modelos relaciona-se à reta numérica e o outro consiste em contadores de duas cores diferentes, uma para os positivos e outra para os negativos. O

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referido autor ressalta que “[...] é importante que os alunos compreendam que é sempre possível adicionar ou remover de uma pilha qualquer número constituído de um valor positivo ou negativo sem mudar o valor da pilha” (VAN DE WALLE, 2009, p. 533).

Van de Walle (2009, p. 58) amplia entendimentos ao afirmar que, “[...] o aspecto problemático ou envolvente do problema deve ser relacionado à matemática que os alunos vão aprender. Ao resolver o problema, os alunos devem estar preocupados principalmente em dar significado à matemática envolvida” e também em interessar-se “[...] por usar a matemática e perder o medo de enfrentar matematicamente situações-problemas que lhes são propostas”. Desta forma, consegue-se perceber aproximações com o que afirma Van de Walle na representação feita pelos Grupos 1 e 5, onde buscaram dar significados ao saldo de gols usando representação figural de modo simples, mas com significado para estes alunos.

A análise possibilita indicar que os mesmos foram criativos na busca de alternativas de resolução para o problema proposto, propondo estratégias para além da representação numérica. Os alunos conseguiram definir muito bem suas representações simbólicas e criar um meio adequado, através da comparação, para resolver o problema sem realizar cálculos.

O erro do Grupo 1 refere-se à questão apresentada no item c, onde os mesmos deveriam informar o número de gols que a equipe na última colocação deveria marcar para ultrapassar a primeira colocada.

Figura 8- Resolução da Situação problema 1 apresentada pelo Grupo 1

Nesta questão c, o grupo adicionou o saldo de gols das equipes com maior e menor saldo, mas como a pergunta era quantos gols a equipe deveria marcar para ultrapassar, e não apenas para igualar o saldo, acabou errando.

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Os Grupos 2 e 6 apresentam semelhanças na resolução desta situação problema. Na questão a, como pode ser observado na Figura 7, os dois grupos realizaram cálculos simples de subtração, mas ao responderem qual o saldo de cada equipe, responderam indicando com o sinal negativo nos casos onde o saldo ficou negativo e valor positivo onde o saldo era positivo.

Figura 9: Resolução da Situação problema 1 apresentada pelo Grupo 2

Os Grupos 2 e 6 desenvolveram o item b desta situação problema de forma semelhante aos grupos 1 e 5, mas ao invés de usar apenas “círculos” usaram símbolos como retângulos, x, triângulos e o sinal de adição(+).

Neste caso, a análise permite indicar que os alunos consideraram duas formas diferentes e eficazes de resolução. Na primeira realizaram cálculos e na segunda através de representações simbólicas, ratificando que a resolução estava adequada e que realmente as estratégias consideradas eram válidas.

Os Grupos 3, 4 e 7 apresentaram semelhanças na resolução desta situação problema. Estes grupos resolveram os problemas realizando as operações de adição. Para efetuar a adição consideraram valores com mesmo sinal e com sinais diferentes, trabalhando com a regra de sinais, onde conseguiram estabelecer valores com sinal negativo para gols sofridos e valores com sinal positivo para gols feitos.

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Observando a questão c, constatou-se que os dois grupos indicaram os números numa sequência considerada na reta numérica para estabelecer o número de gols que a última equipe deveria marcar para ultrapassar a primeira. Esta representação pode ter auxiliado os alunos na obtenção do valor solicitado. Este grupo não fez representação com desenhos em nenhuma das questões.

3.2 Situação Problema 2: Movimentação bancária

Neste problema, esperava-se que os alunos analisassem o extrato bancário que considera algumas movimentações em diferentes dias. A investigação foi elaborada a partir de que os alunos percebessem ao analisar tal problema que ao pagar uma conta ou retirar certo valor ocasionaria valores negativos e que ao depositar uma quantia esta poderia ser apresentada por números positivos. Os alunos ainda teriam que identificar as operações a serem utilizadas para obter os valores dos campos borrados com “café”.

De acordo com o Quadro 1, os Grupos 1, 3, 4 e 5 acertaram as duas questões do problema, já os grupos 2, 6 e 7 erraram as duas questões.

Analisando as respostas dos grupos que acertaram o problema consegue-se perceber semelhança entre todos, sendo que a estratégia tomada para chegar ao resultado correto da questão a, foi realizar cálculos inicialmente simples e de conhecimento dos alunos, iniciando com uma subtração da retirada de R$180,00 do dia (13∕10∕2017) com o saldo inicial de R$200,00 onde restou R$20,00 na data (14∕10∕2017). No próximo passo, os grupos realizaram uma adição entre os valores negativos de

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R$119,00 com R$154,00, onde após esta operação o saldo ficou R$-273,00 no dia (14∕10∕2017). No dia 15∕10∕2017) ocorreu um depósito no valor de R$200,00 onde o calculo realizado envolveu a adição de valores com sinais diferentes, de R$200,00 do saldo anterior com R$-273,00 restando um saldo de R$-73,00 no dia (16∕10∕2017)

Nota-se, por meio da análise, que as etapas sugeridas por Polya (1945) na resolução de problemas foram de certa forma consideradas. O Grupo 3 compreendeu o problema, estabeleceu e executou um plano, fazendo um retrospecto da solução obtida na questão b onde a pergunta era, caso o saldo ficasse negativo, qual seria o valor mínimo que Renato teria que depositar para pagar a divida antes que cobrasse juros? O Grupo 1, assim como os demais, responderam de forma simples, apenas informando que Renato teria que pagar R$73,00, pois era o valor que ele estava devendo e assim não teria mais dívidas.

Analisando os erros dos grupos 2, 6 e 7 que realizaram da mesma forma, supõe-se que na questão a os mesmos realizaram cálculos mentalmente, já que não colocaram nada no papel além de informar que o saldo foi de R$73,00, onde seria de R$-73,00. E na questão b, responderam que Renato não precisava pagar nada, pois o seu saldo já era positivo.

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Neste problema, o aluno pode explorar a ideia de saldo devedor e operações com números inteiros sem ter que fazer menção a regras matemáticas. Os alunos foram fazendo suas descobertas, ou seja, formulando suas conjecturas a partir dos conhecimentos que cada um possui.

3.3 Situação Problema 3: João e seus vizinhos (reta numérica)

Na Situação problema 3, os alunos teriam que descobrir onde cada vizinho de João mora, podendo pensar nos conceitos já trabalhados a partir de uma reta numérica para operar com os números inteiros. Percebe-se poucos erros neste problema, mostrando mais uma vez que a turma já tinha um conhecimento prévio estabelecido.

Os Grupos 1, 3, 4, 5 e 6 demonstraram clareza sobre como observar, situar e “transitar” na reta numérica, sendo que não houve explicação durante a resolução do problema, apenas o conhecimento já adquirido pelos alunos anteriormente.

Nos resultados apresentados pelos grupos que acertaram o problema, observa-se que os mesmos não realizaram nenhum tipo de cálculo na folha de respostas, sendo que o problema não requeria necessariamente que o aluno realizasse os mesmos, mas que mobilizassem o conhecimento sobre a reta numérica, localizando casas a esquerda (valores negativos) e a direita (valores positivos) da casa de João (origem).

Observa-se que o Grupo 6 colocou de forma correta na reta numérica cada amigo de João, obedecendo a ordem de cada um. O que possibilita indicar que alunos deste grupo sabem a ordenação dos números inteiros na reta numérica.

As estratégias utilizadas foram seguir as orientações dadas no problema, entendendo que nem todo problema necessariamente precisa haver menção aos números

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e operações no enunciado, sendo que nenhum grupo realizou cálculos, apenas demarcações nas casas e seus devidos valores, baseando-se na interpretação.

A resolução desta situação considera o outro modelo indicado por Van de Walle (2009) na resolução de problemas para números inteiros, no caso, por reta numérica. Neste modelo, “[...] cada seta adicionada começa na extremidade da seta anterior.” (VAN DE WALLE, 2009, p. 533). A representação de setas considerando retas numéricas possibilita o entendimento de que os valores com sinais podem representar distâncias orientadas, ampliando, assim, a compreensão de pontos indicados em uma reta. Percebe-se que isto não ocorreu nos Grupos 2 e 7, mencionados a seguir.

Os Grupos 2 e 7 inicialmente representaram as casas dos amigos de João errado, colocando os vizinhos que deveriam estar sobre os números negativos nos valores positivos, ou seja, inverteram o lado esquerdo com o lado direito, além de errarem na contagem das casas.

Esse erro da indicativos que estes dois grupos ainda não tem domínio sobre a representação da ordenação dos números inteiros na reta numérica, bem como o sentido dos lados descritos no problema.

Entende-se que com este erro, fica explícito que os alunos integrantes dos Grupos 2 e 7 não se apropriaram, efetivamente, do entendimento do zero como origem, a sua direita os números positivos e a sua esquerda os números negativos. Segundo Caraça (1989, p. 99),

[...] de 0 para a direita, ou sentido positivo, e de 0 a esquerda, ou sentido negativo – há uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos seus pontos e o conjunto dos números relativos – a todo ponto à direita de 0

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corresponde um número real positivo, e reciprocamente; a odo o ponto a esquerda de 0, um número real negativo, e reciprocamente; ao próprio 0 corresponde o número zero.

Mesmo que os valores estavam demarcados no problema, parece que os alunos não consideraram o “movimento” de voltar 1 unidade, voltar 2 unidades e assim sucessivamente. Na reta numérica e o modelo de setas, para Van de Walle (2009), a subtração representa voltar ou se mover no sentido oposto, o que não foi considerado pelos Grupos 2 e 7 na resolução desta situação problema.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), salienta que os alunos podem enfrentar alguns obstáculos na concepção dos números inteiros. São eles:

 Conferir significados às quantidades negativas;

 Reconhecer a existência de números em dois sentidos a partir do zero, enquanto para os naturais a sucessão acontece num único sentido;

 Reconhecer diferentes papeis para o zero (zero absoluto e zero origem). (BRASIL, 1998, p. 98).

Dentre os obstáculos citados acima, percebe-se que estes dois Grupos (2 e 7) apresentam dificuldades em reconhecer a existência de números em dois sentidos a partir do zero, pois, mesmo que a vizinhança (reta numérica) estava organizada com os valores corretos, os alunos não conseguiram realizar a contagem a partir do zero, iniciando para ambos os lados pelo número 1.

3.4 Situação Problema 4: Recordes de temperaturas no mundo.

A Situação problema 4 está relacionada as temperaturas nas mais variadas cidades de diferentes continentes, mencionadas nas Figuras 5 e 6. Este problema favorece para que os alunos consigam utilizar seus conhecimentos prévios, levando-os a perceber que são protagonistas no momento da resolução, ocasionalmente, da aprendizagem. Este problema, bem como os demais, foi resolvido a partir das informações e conhecimentos já adquiridos pelos alunos, sem nenhuma colaboração do investigador.

A questão a do problema pede aos alunos que indiquem a maior e a menor temperatura apresentada nos recordes. Já a questão b, pede para o grupo indicar a diferença entre as temperaturas citadas na questão a, bem como explicar a maneira que resolveu esta questão. A questão c pedia qual a maior e a menor temperatura aferida no Brasil, e qual a diferença entre tais temperaturas.

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Todos os grupos conseguiram resolver a questão a, mas apenas os Grupos 1, 3 e 4 resolveram o problema por completo, sem erro algum, identificando e interpretando corretamente cada questão.

Fonte: dados produzidos pelo grupo 4

Neste problema, verifica-se que o Grupo 4 na questão a, indica os valores das temperaturas corretamente, usando, por exemplo o sinal (-) que antecede os números que expressavam temperaturas abaixo de zero. Na questão b, o Grupo 4 explica de forma simples qual foi a forma que realizou o cálculo para chegar ao resultado. Já na questão c, o grupo realiza a mesma resolução da questão a, efetuando a adição entre as duas temperaturas, consequentemente, resultando na diferença entre as mesmas.

Durante o desenvolvimento, uma conversa entre os alunos do Grupo 3 chamou a atenção. Os mesmos discutiam se os números aumentavam ou diminuíam, quando anotados abaixo de zero ou acima de zero. Nesse diálogo, um dos alunos ao escutar o colega afirmar que abaixo de zero os números estavam diminuindo, questionou-o dizendo, “mas está ficando mais frio, o frio está aumentando”. Nesse momento, o colega respondeu, “mas se fica mais frio a temperatura fica menor”.

Nota-se que o contexto envolvendo medidas de temperatura mostra-se eficiente, e verifica-se que o mesmo faz parte dos conhecimentos prévios dos alunos, possibilitando que eles se engajem na resolução de um problema, discutindo e compreendendo sobre o mesmo.

Os Grupos 2, 5, 6 e 7 não conseguiram resolver as questões b e c da situação problema 4.

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Fonte: dados produzidos pelo grupo 4

Nota-se que estes alunos ainda não formalizaram uma compreensão consistente acerca do que os números positivos e negativos representam nesta situação, sendo que os mesmos subtraíram os valores sem considerar a ideia de oposto, desenvolvendo a subtração considerando que os números tivessem os mesmos sinais.

Para resolver o problema, os alunos poderiam ter representado o termômetro, podendo visualizar as diferentes temperaturas mencionadas. Esta forma de representação figural poderia ampliar a compreensão dos dados do problema e assim, sua resolução.

Considerações finais

Diante do exposto, a presente pesquisa teve como principal objetivo analisar e investigar acerca das estratégias de resolução tomadas pelos alunos a partir de quatro situações problemas envolvendo números inteiros, em uma turma do 7º ano do ensino fundamental. Na referida pesquisa não houve a preocupação apenas com os resultados finais, mas com todo o processo de resolução em si. Optou-se em desenvolver a pesquisa neste ano do ensino fundamental, pois, além de ter sido convocado para atuar como professor do 7º ano, como pesquisador buscou-se compreender como os alunos que já estudaram o referido conteúdo consegue resolver, ou não, determinados problemas, analisando os entendimentos apresentados pelos grupos de alunos.

Um aspecto importante durante o desenvolvimento das situações problemas, identificado na análise, está no fato de que nenhum dos grupos, mesmo com suas dificuldades, apresentou um comportamento que pudesse indicar rejeição ao trabalho com números negativos, aceitando com normalidade e tranquilidade todas as situações problemas presentes no referido trabalho.

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Alguns entendimentos relacionados aos números inteiros, de acordo com as análises feitas em cada situação problema, são: representar e identificar os números positivos e negativos, além de construir estratégias de adição de números inteiros com a ideia de prevalecer a sinal do número com maior módulo; trabalhar com o extrato bancário de uma conta corrente, envolvendo a movimentação da conta, os débitos e os créditos; analisar o conceito de oposto ou simétrico a partir da localização de pontos na reta numérica; trabalhar com temperaturas, desenvolvendo a determinação da variação entre valores positivos e negativos. As análises permitiram observar que na primeira situação problema ficou bem visível a semelhança no desenvolvimento entre alguns grupos, onde utilizaram duas formas diferentes como estratégia, uma foi representação na forma figural, modelo este trabalhado por Van de Walle, e a outra realizando cálculos. Outro ponto importante na análise, foi na Situação problema 2, onde os alunos compreenderam o problema, estabeleceram e executaram um plano e por fim, fizeram um retrospecto da solução obtida.

Percebeu-se claramente o quanto devemos ser criteriosos e atentos quando se propõem a “formalizar” um objeto matemático com o intuito de investigar a compreensão dos educandos, pois, suas interpretações podem variar de forma imprevisível, mostrando que cada aluno é único e seus conhecimentos o tornam assim.

Por fim, investigar estratégias de resolução por meio de situações problemas, mostrou-se satisfatória via resolução de problemas, em uma turma do 7º ano, pois, ao resolverem os problemas pode-se observar que alguns alunos conseguiram fazer certas conjecturas e demonstrar sua forma de resolvê-los, mesmo que o conteúdo já era do conhecimento prévio dos mesmos.

As análises possibilitaram uma reflexão sobre a importância de investigar as estratégias de resolução de situações problemas no 7º ano. O trabalho a partir da investigação das estratégias apresentadas pelos estudantes destaca o caminho percorrido, onde o aluno demonstrou a responsabilidade de descobrir e justificar suas descobertas a partir de problemas relacionados a diferentes contextos.

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Referências

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