Análise de procedimentos para dimensionamento de vigas de concreto armado sob flexão normal composta e torção simultâneas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

MATEUS DE FREITAS CAMPOS

ANÁLISE DE PROCEDIMENTOS PARA

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

SOB FLEXÃO NORMAL COMPOSTA E TORÇÃO

SIMULTÂNEAS

CAMPINAS 2015

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Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil, na área de Estruturas e Geotécnica.

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À minha mãe, por me ensinar que qualquer sonho é passível de realização. E à minha avó paterna, pela companhia mais que agradável.

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Acima de tudo, agradeço aos meus pais, Isaura e Nestor, pelo incentivo maciço na educação dos filhos, por terem arcado com os custos da minha graduação e meu intercâmbio acadêmico, para que eu vivesse aquela fase da vida com maior conforto.

Agradeço a minha orientadora, Profa. Dra. Maria Cecília Amorim Teixeira da Silva, por ter me apresentado com maestria o campo do concreto armado e por ter aceitado prontamente ser minha orientadora na pós-graduação, me guiando com firmeza e paciência a cada passo nessa jornada.

À minha ex-coordenadora Alice Satiko Nakamura, da empresa Figueiredo Ferraz, pelo incentivo a continuar os estudos na pós-graduação e por possibilitar a flexibilização dos meus horários, permitindo que eu conseguisse assistir às aulas.

Às colegas com quem convivi nesse período, em especial minha amiga Natália Lo Tierzo, Sandra Hiromi Sakanaka e Paloma Teles Cortizo, pela ajuda, pelas noites de estudo e pela troca de experiências, que me ajudaram imensamente. Ao meu co-orientador, Prof. Dr. Leandro Mouta Trautwein, por ter aceitado de imediato me co-orientar, somando esforços com minha orientadora e me apresentando ao programa DIANA TNO. Suas contribuições a cerca desse programa foram fundamentais para o aperfeiçoamento da pesquisa.

Aos colegas Rodrigo Pagnussat e Tatiana Coutinho Silva da Fonseca, por me auxiliarem nas dúvidas remanescentes a respeito do programa DIANA TNO. Tal ajuda foi essencial para sistematizar a elaboração dos modelos numéricos.

À minha amiga Catherine Coelho, pelas discussões acadêmicas, pelas caronas ofertadas. E aos amigos André Yamashiro, Márcio Leitão e Ana Christina Nayme, pela ajuda a respeito do STRAP e do detalhamento das armaduras.

Agradeço imensamente à minha coordenadora Audrey Gregori Melchert de Almeida, pela confiança prestada e por ter disponibilizado tempo para que eu me dedicasse melhor aos estudos. Esse impulso possibilitou a conclusão deste trabalho. Finalmente, ao meu marido Cássio Aoqui, meu agradecimento pela força, pelo incentivo, pelas críticas e pela revisão ortográfica.

E a todos que contribuíram de alguma maneira para a conclusão desse trabalho.

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“To look life in the face. Always to look life in the face and to know it for what it is. At last to know it. To love it for what it is, and then, to put it away.”

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Este trabalho propõe uma análise de vigas de concreto armado submetidas a esforços de flexão normal composta e torção simultâneas. A viga principal de um sistema estrutural foi dimensionada à flexão normal composta, torção e cisalhamento segundo os métodos previstos pelas normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14. O mesmo sistema estrutural foi também dimensionado segundo um procedimento iterativo, comumente adotado em escritórios de engenharia, no qual uma viga é dimensionada à flexão simples, torção e cisalhamento, e posteriormente é verificada à flexão normal composta em um software específico. A partir dos dimensionamentos obtidos pelas normas e pelo procedimento iterativo descrito, foram elaborados modelos numéricos tridimensionais da viga principal para analisar o seu comportamento estrutural. Estas análises têm o objetivo de verificar os dimensionamentos realizados de acordo com a capacidade resistente que cada um deles fornece ao sistema estrutural. Comparando os dimensionamentos realizados pelos métodos das normas ABNT NBR 6118:2014, ACI 318-14 e pelo procedimento iterativo, foi observado que as cargas de ruptura obtidas nos modelos numéricos foram superiores às previstas nos dimensionamentos realizados pela via analítica, que usam como referência a condição de estado limite último. Porém, as cargas de ruptura dos modelos numéricos dimensionados a partir das normas foram menores do que as observadas nos modelos obtidos pelo processo iterativo. Na comparação dos resultados obtidos entre as normas, observou-se que os modelos dimensionados segundo a norma americana apresentaram cargas de ruptura numérica menores do que as apresentadas pelos modelos dimensionados segundo a norma brasileira.

Palavras-chave: Concreto Armado, Vigas, Flexão Normal Composta, Torção, Análise Numérica.

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This paper reports an analysis of reinforced concrete beams subjected to bending combined with compressive axial force and torsion. The main beam of a structural system was designed for uniaxial bending, torsion and shear according to Brazilian and American codes for reinforced concrete structures. The same structural system was also designed according to iterative procedures that engineering offices are very used to, in which a beam is designed according to bending, shear and torsion diagrams and then, its final reinforcement is verified to compressive axial force by a specific software. Thus, 3D numerical models of the main beam were prepared, reinforced according to the designs, by both codes and by iterative procedures, in order to examine its behavior. These analyses were intended to verify the design procedures according to the resistance capacity provided to the models by each one of them. Comparing the 3D numerical models results, it was observed that rupture load obtained in the 3D numerical models were superior to those previewed in designs procedures, which adopt the ultimate limit state condition as rupture reference. However, the 3D numerical models designed according to codes were inferior to those observed in 3D numerical models designed according to iterative procedures. Comparing the results of the models designed according to the codes, it was observed that the 3D numerical models designed according to the American code presented numerical rupture load inferior to that presented by the 3D numerical model designed according to Brazilian code.

Keywords: Reinforced Concrete, Beams, Uniaxial Bending, Torsion, Numerical Analysis.

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Figura 1.1 – Poço, estrutura interna e ações... 35

Figura 1.2 – Corte A-A – revestimentos do poço sob compressão. ... 35

Figura 1.3 – Corte B-B – paredes do poço sob flexão. ... 36

Figura 1.4 – Vigas da estrutura interna submetidas à compressão. ... 36

Figura 3.1 – Geometria do sistema estrutural – vista isométrica. Unidade: m. ... 48

Figura 3.2 – Tela do programa Normal 1.3 de verificação à flexo-compressão ... 50

Figura 3.3 – Tela inicial do programa GaLa de verificação à ... 52

Figura 3.4 – Tela do programa GaLa de verificação à ... 52

Figura 3.5 – Tela do programa GaLa de verificação à ... 53

Figura 4.1 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga. ... 55

Figura 4.2 – Relação c x c (Fonte: ABNT NBR 6118:2014). ... 56

Figura 4.3 – Relação s x s (Fonte: ABNT NBR 6118:2014). ... 57

Figura 4.4 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga sob flexão normal .... 58

Figura 4.5 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga, considerando ... 59

Figura 4.6 – Indicação da armadura de pele na seção transversal. ... 68

Figura 4.7 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga. ... 70

Figura 4.8 – Relação do fator de minoração em função da deformação na ... 70

Figura 4.9 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga sob flexão normal .... 72

Figura 4.10 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga, ... 73

Figura 4.11 – Armadura de pele na seção, segundo a norma ACI318-14. ... 82

Figura 4.12 – Distribuição da armadura longitudinal de torção na ... 84

Figura 4.13 – Soma das armaduras longitudinais de flexão e torção. ... 84

Figura 4.14 – Soma das armaduras transversais de flexão e torção. ... 85

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Figura 5.3 – Ação 3: carga de compressão, em kN. ... 88

Figura 5.4 – Ação 4: carga de torção, em kN. ... 88

Figura 5.5 – Ação 5: sobrecarga, em kN/m. ... 88

Figura 5.6 - Momento fletor solicitante de cálculo MSd ,em kN.m, segundo a ... 89

Figura 5.7 - Cortante solicitante de cálculo VSd, em kN, segundo a norma ... 89

Figura 5.8 - Força axial solicitante de cálculo NSd, em kN, segundo a norma ... 89

Figura 5.9 – Momento de torção solicitante de cálculo TSd, em kN.m, segundo a ... 90

Figura 5.10 - Momento fletor solicitante de cálculo Mu, em kN.m, segundo a ... 90

Figura 5.11 - Cortante solicitante de cálculo Vu, em kN, segundo a norma... 90

Figura 5.12 - Força axial solicitante de cálculo Nu, em kN, segundo a norma ... 91

Figura 5.13 – Momento de torção solicitante de cálculo Tu, em kN.m, ... 91

Figura 5.14 – Seção crítica da viga principal com armadura longitudinal não ... 97

Figura 5.15 – Seção crítica da viga principal com armadura longitudinal ... 97

Figura 5.16 – Seção crítica da viga principal com armadura longitudinal não ... 99

Figura 5.17 – Seção crítica da viga principal com armadura longitudinal ... 99

Figura 5.18 – Detalhamento da armadura longitudinal da viga principal obtida ... 102

Figura 5.19 – Cortes K-K e L-L e detalhamento da armadura transversal da ... 103

Figura 5.20 – Detalhamento da armadura longitudinal das vigas secundárias ... 104

Figura 5.21 – Corte M-M e detalhamento da armadura transversal das vigas ... 104

Figura 5.26 – Detalhamento da armadura longitudinal das vigas secundárias ... 109

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Figura 5.29 – Corte K-K e L-L e detalhamento da armadura transversal da ... 110

Figura 6.1 – Modelos constitutivos do software DIANA: curvas de amolecimento .. 113

Figura 6.2 – Modelos constitutivos do software DIANA: curvas de resistência à .... 114

Figura 6.3 – Vista superior da representação do modelo numérico do sistema ... 115

Figura 6.4 – Vista isométrica da representação do modelo numérico do sistema... 115

Figura 6.5 – Vista isométrica do modelo elaborado no DIANA, onde se indica a.... 116

Figura 6.6 – Indicação da aplicação das cargas concentradas P no modelo ... 117

Figura 6.7 – Indicação da aplicação da carga distribuída no modelo numérico. ... 118

Figura 6.8 – Indicação da aplicação da carga de compressão no ... 118

Figura 6.9 – Indicação da aplicação da sobrecarga no modelo numérico. ... 119

Figura 6.10 – Vista superior do modelo numérico da viga, apoiada em ... 125

Figura 6.11 – Vista isométrica superior do modelo numérico da viga, apoiada ... 125

Figura 6.12 – Elemento regular sólido CHX60. (Fonte: TNO, 2009) ... 126

Figura 6.13 – Exemplo de divisão da malha – detalhe. ... 127

Figura 6.14 – Visão isométrica da malha dos modelos numéricos. ... 127

Figura 6.15 – Geometria do modelo numérico de Santhakumar et al. (2007). ... 129

Figura 6.16 – Gráfico da deformação do elemento médio da barra longitudinal ... 131

Figura 6.17 – Gráfico da deformação do elemento médio da barra longitudinal ... 131

Figura 7.1 – Modelo BN: mapa de tensões na direção X no concreto para 100% .. 134

Figura 7.2 – Modelo BN: mapa de tensões no concreto na direção X para carga .. 135

Figura 7.3 – Modelo BP: mapa de tensões na direção X no concreto para 100% .. 135

Figura 7.4 – Modelo BP: mapa de tensões no concreto na direção X para carga .. 136

Figura 7.5 – Modelo AN: mapa de tensões na direção X no concreto para 100% .. 136

Figura 7.6 – Modelo AN: mapa de tensões no concreto na direção X para carga .. 137

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Figura 7.9 – Modelo BN: mapa de deformações específicas na direção X no ... 139

Figura 7.10 – Modelo BN: mapa de deformações específicas na direção X no ... 140

Figura 7.11 – Modelo BP: mapa de deformações específicas na direção X no ... 140

Figura 7.12 – Modelo BP: mapa de deformações específicas na direção X no ... 141

Figura 7.13 – Modelo AN: mapa de deformações específicas na direção X no ... 141

Figura 7.14 – Modelo AN: mapa de deformações específicas na direção X no ... 142

Figura 7.15 – Modelo AP: mapa de deformações específicas na direção X no ... 142

Figura 7.16 – Modelo AP: mapa de deformações específicas na direção X no ... 143

Figura 7.17 – Modelo BN: mapa de tensões na direção X na armadura ... 144

Figura 7.18 – Modelo BN: mapa de tensões na direção X na armadura ... 145

Figura 7.19 – Modelo BP: mapa de tensões na direção X na armadura ... 145

Figura 7.20 – Modelo BP: mapa de tensões na direção X na armadura ... 146

Figura 7.21 – Modelo AN: mapa de tensões na direção X na armadura ... 146

Figura 7.22 – Modelo AN: mapa de tensões na direção X na armadura ... 147

Figura 7.23 – Modelo AP: mapa de tensões na direção X na armadura ... 147

Figura 7.24 – Modelo AP: mapa de tensões na direção X na armadura ... 148

Figura 7.25 – Modelo BN: mapa de tensões na direção Z na armadura ... 149

Figura 7.26 – Modelo BN: mapa de tensões na armadura transversal na ... 150

Figura 7.27 – Modelo BP: mapa de tensões na direção Z na armadura ... 150

Figura 7.28 – Modelo BP: mapa de tensões na armadura transversal na ... 151

Figura 7.29 – Modelo AN: mapa de tensões na direção Z na armadura ... 151

Figura 7.30 – Modelo AN: mapa de tensões na armadura transversal na ... 152

Figura 7.31 – Modelo AP: mapa de tensões na direção Z na armadura ... 152

Figura 7.32 – Modelo AP: mapa de tensões na armadura transversal na ... 153

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Figura 7.35 – Modelo BP: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 154

Figura 7.36 – Modelo BP: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 155

Figura 7.37 – Modelo AN: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 155

Figura 7.38 – Modelo AN: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 156

Figura 7.39 – Modelo AP: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 156

Figura 7.40 – Modelo AP: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 157

Figura 7.41 – Modelo BN: mapa de fissuração para 100% da carga prevista ... 158

Figura 7.42 – Modelo BN: mapa de fissuração para carga aplicada no instante .... 158

Figura 7.43 – Modelo BP: mapa de fissuração para 100% da carga prevista ... 159

Figura 7.44 – Modelo BP: mapa de fissuração para carga aplicada no instante ... 159

Figura 7.45 – Modelo AN: mapa de fissuração para 100% da carga prevista. ... 160

Figura 7.46 – Modelo AN: mapa de fissuração para carga aplicada no instante .... 160

Figura 7.47 – Modelo AP: mapa de fissuração para 100% da carga prevista ... 161

Figura 7.48 – Modelo AP: mapa de fissuração para carga aplicada no instante ... 161

Figura 7.49 – Indicação das seções transversais A e B no sistema estrutural. ... 163

Figura 7.50 – Representação de uma seção transversal do sistema estrutural, ... 163

Figura 7.51 – Tensão x ao longo da altura Z da seção A para 100% da carga ... 164

Figura 7.52 – Deformação específica x ao longo da altura Z da seção A para ... 164

Figura 7.53 – Tensão x ao longo da altura Z da seção A para 100% da carga ... 165

Figura 7.54 – Deformação específica x ao longo da altura Z da seção A para ... 165

Figura 7.55 – Tensão y ao longo da altura Z da seção B para 100% da carga ... 168

Figura 7.56 – Deformação y ao longo da altura Z da seção B para 100% da ... 168

Figura 7.57 – Tensão y ao longo da altura Z da seção B para 100% da carga ... 169

Figura 7.58 – Deformação y ao longo da altura Z da seção B para 100% da ... 169

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Figura 7.61 – Incremento de carga em função da tensão na direção X no ... 174

Figura 7.62 – Detalhe do gráfico do incremento de carga em função da ... 174

Figura 7.63 – Incremento de carga em função da tensão na direção X no ... 175

Figura 7.64 – Incremento de carga em função da tensão na direção Y no ... 175

Figura 7.65 – Incremento de carga em função da tensão na direção Z no ... 175

Figura 7.67 – Incremento de carga em função da tensão na direção Z no ... 176

Figura 7.70 – Localização dos nós 7496 e 23816 no modelo numérico. ... 179

Figura 7.71 – Deslocamento z do nó 7496 na viga principal em função do ... 179

Figura 7.72 – Deslocamento z do nó 23816 nas vigas secundárias em função.... 179

Figura 7.73 – Detalhe das curvas de deslocamento z do nó 7496 na viga ... 180

Figura 7.74 – Detalhe das curvas de deslocamento z do nó 23816 nas vigas ... 180

Figura 1 – Modelo BN: mapa de tensões na direção Y no concreto para 100% ... 201

Figura 2 – Modelo BN: mapa de tensões na direção Y no concreto para carga ... 202

Figura 3 – Modelo BP: mapa de tensões na direção Y no concreto para 100% ... 202

Figura 4 – Modelo BP: mapa de tensões na direção Y no concreto para carga... 202

Figura 5 – Modelo AN: mapa de tensões na direção Y no concreto para 100% ... 203

Figura 6 – Modelo AN: mapa de tensões na direção Y no concreto para carga ... 203

Figura 7 – Modelo AP: mapa de tensões na direção Y no concreto para 100% ... 203

Figura 8 – Modelo AP: mapa de tensões na direção Y no concreto para carga... 204

Figura 9 – Modelo BN: mapa de deformações específicas na direção Y no ... 204

Figura 10 – Modelo BN: mapa de deformações específicas na direção Y no ... 205

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Figura 13 – Modelo AN: mapa de deformações específicas na direção Y no ... 206

Figura 14 – Modelo AN: mapa de deformações específicas na direção Y no ... 206

Figura 15 – Modelo AP: mapa de deformações específicas na direção Y no ... 206

Figura 16 – Modelo AP: mapa de deformações específicas na direção Y no ... 207

Figura 17 – Modelo BN: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 207

Figura 18 – Modelo BN: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 208

Figura 19 – Modelo BP: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 208

Figura 20 – Modelo BP: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 209

Figura 21 – Modelo AN: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 209

Figura 22 – Modelo AN: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 210

Figura 23 – Modelo AP: mapa de tensões na direção Y na armadura ... 210

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Tabela 4.1 – Valores de taxa mínima de armadura mín* (As,mín/Ac) (%) ... 58

Tabela 4.2 – Intervalo onde consta o valor de x1 e os limites correspondentes ... 62

Tabela 4.4 – Valores dos coeficientes f... 69

Tabela 4.5 – Valores do fator de combinação o ... 69

Tabela 4.6 – Valores do coeficiente ... 71

Tabela 4.9 – Força axial máxima resistente da seção submetida à compressão... 77

Tabela 4.10 – Desvio-padrão em função do modo de preparo do concreto ... 86

Tabela 5.1 – Dimensionamento da viga principal (VP) à flexão normal ... 92

Tabela 5.2 – Dimensionamento das viga secundárias (VS) à flexão simples, ... 92

Tabela 5.3 – Dimensionamento das vigas principal (VP) e secundárias (VS) ... 92

Tabela 5.4 – Dimensionamento da viga principal (VP) à torção, segundo a ... 93

Tabela 5.5 – Dimensionamento da viga principal (VP) à flexão normal ... 93

Tabela 5.6 – Dimensionamento da viga secundária (VS) à flexão simples, ... 93

Tabela 5.7 – Dimensionamento das vigas principal (VP) e secundárias (VS) ... 94

Tabela 5.8 – Dimensionamento da viga principal (VP) à torção, segundo a ... 94

Tabela 5.9 – Dimensionamento da viga principal à flexão simples, segundo a ... 96

Tabela 5.10 – Dimensionamento da viga principal à flexão simples, segundo a ... 98

Tabela 5.11 – Relação de quantidades de armadura para cada viga ... 112

Tabela 6.1 – Valores estimados do módulo de elasticidade em função da ... 121

Tabela 6.2 – Valores básicos da energia de fratura GF0 (Nmm/mm²) ... 122

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Tabela 7.3 – Seção A: tensão e deformação no concreto na direção X em ... 182

Tabela 7.4 – Seção B: tensão e deformação no concreto na direção Y em ... 183

Tabela 7.5 - Tensão nas direções Y e Z em elementos do estribos da ... 184

Tabela 1 – Tensão na direção X ao longo da altura Z da seção A dos modelos .... 193

Tabela 2 - Tensão na direção X ao longo da altura Z da seção A dos modelos ... 193

Tabela 3 - Deformação na direção X ao longo da altura Z da seção A dos ... 194

Tabela 4 - Deformação na direção X ao longo da altura Z da seção A dos ... 194

Tabela 5 - Tensão na direção Y ao longo da altura Z da seção B dos modelos ... 195

Tabela 6 - Tensão na direção Y ao longo da altura Z da seção B dos modelos ... 195

Tabela 7 - Deformação na direção Y ao longo da altura Z da seção B dos ... 196

Tabela 8 - Deformação na direção Y ao longo da altura Z da seção B dos ... 196

Tabela 9 – Modelo BN: valores de tensão na direção X, Y e Z nos elementos ... 197

Tabela 10 – Modelo BP: valores de tensão na direção X, Y e Z nos elementos ... 198

Tabela 11 – Modelo AN: valores de tensão na direção X, Y e Z nos elementos ... 199

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ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. ACI – American Concrete Institute.

AN – Modelo numérico elaborado conforme dimensionamento segundo a norma ACI 318-14.

AP – Modelo numérico elaborado conforme verificação segundo o programa GaLa.

BFGS – Algoritmo Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno, usado no processamento de modelos numéricos em programas com tal finalidade.

BN – Modelo numérico elaborado conforme dimensionamento segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

BP – Modelo numérico elaborado conforme verificação segundo o programa Normal 1.3.

C20 – Concreto cuja resistência característica à compressão é 20 MPa. C50 – Concreto cuja resistência característica à compressão é 50 MPa. CEB – Comité Euro-International du Béton.

CESEC – Centro de Estudos de Engenharia Civil.

DIANA – Displacement Analyser, programa de modelagem numérica. FEAPpv – Finite Element Analysis Program: Personal Version.

FEC – Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. FIB – Fédération Internationale de la Précontrainte.

NBR – Norma Brasileira.

STRAP – Structural Analysis Program, programa de modelagem estrutural. TNO – Netherlands Organisation for Applied Scientific Research.

UFPR – Universidade Federal do Paraná. UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas.

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a – Altura da linha neutra simplificada, com tensão de compressão constante e igual a 0,85 . f’c, segundo a norma ACI 318-14.

A – Área da seção transversal, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. A90 – Área da seção transversal do número de ramos de um estribo,

segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. Ac – Área da seção de concreto.

Aco – Área comprimida da seção transversal de uma viga sob flexão.

Acp – Área limitada pelo perímetro exterior da seção transversal de concreto, segundo a norma ACI 318-14.

Ae – Área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Ag – Área bruta da seção transversal, segundo a norma ACI 318-14.

Al – Área total do reforço longitudinal para resistir à torção, segundo a norma ACI 318-14.

Al,alt – Área da armadura longitudinal de torção disposta, em um lado da viga, como armadura de pele.

Al,larg – Área da armadura longitudinal de torção disposta ao longo da largura da seção, na região tracionada.

Al,mín – Área total mínima do reforço longitudinal para resistir à torção, segundo a norma ACI 318-14.

Al,red – Área de reforço longitudinal de torção, na região comprimida da seção transversal, passível de ser eliminado, desde que a área restante seja maior que a mínima, segundo a norma ACI 318-14.

Al,tot – Área total de armadura longitudinal calculada.

Ao Área bruta delimitada pelo fluxo de cisalhamento, segundo a norma ACI 318-14.

Aoh – Área fechada pelo eixo do reforço transversal fechado mais externo disposto para resistir à torção, segundo a norma ACI 318-14.

As – Área da armadura de flexão, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

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Asl – Soma das áreas das seções das barras longitudinais de torção, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

As,mín – Área mínima de armadura de flexão. As,pele – Área de armadura de pele.

Ast – Área total de armadura passiva disposta na seção transversal, segundo a norma ACI 318-14.

Asw – Área da seção transversal dos estribos de força cortante, segundo a norma NBR 6118:24007.

At – Área de um ramo de um estribo fechado que resiste à torção com espaçamento s, segundo a norma ACI 318-14.

At,cis – Área de armadura transversal, para o espaçamento s, referente ao cisalhamento devido à flexão.

At,torção – Área de armadura transversal, para o espaçamento s, referente ao cisalhamento devido à torção.

At,tot – Área total de armadura transversal, para o espaçamento s.

Av – Área de reforço a cortante com espaçamento s, segundo a norma ACI 318-14.

Av,mín – Área mínima de reforço a cortante com espaçamento s, segundo a norma ACI 318-14.

Av+t,total – Área total de reforço transversal na seção transversal, contando o proveniente da cortante e do momento de torção.

bt – Largura da seção transversal que contém os estribos que atuam à torção.

bw – Largura da seção transversal.

c – Distância medida da fibra da extremidade comprimida da seção transversal até o eixo da linha neutra, segundo a norma ACI 318-14. cc – Cobrimento da armadura, segundo a norma ACI 318-14.

d – Altura útil da seção transversal.

d’ – Distância entre o eixo da armadura de compressão e a face mais próxima do elemento, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

D – Cargas mortas, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

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centro de gravidade da seção.

es – Excentricidade da força normal de compressão, medida a partir do centro de gravidade da armadura positiva.

E – Efeitos de cargas produzidos por sismos, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

Ec – Módulo de elasticidade do concreto.

Ecs – Módulo de elasticidade secante do concreto. Es – Módulo de elasticidade do aço.

f’c – Resistência característica à compressão do concreto, segundo a norma ACI 318-14.

fcd – Resistência de cálculo à compressão do concreto, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

fck – Resistência característica à compressão do concreto, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

fcm – Resistência média à compressão do concreto, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

fcm0 – Variável usada no cálculo da energia de fraturamento.

f’cr – Resistência média à compressão do concreto, usada como base para a dosagem do concreto, segundo a norma ACI 318-14.

fct – Resistência à tração do concreto, segundo a norma ACI 318-14. fctd – Resistência de cálculo do concreto à tração direta, segundo a norma

ABNT NBR 6118:2014.

fctd,inf – Valor mínimo da resistência de cálculo do concreto à tração, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

fctk,inf – Valor mínimo da resistência característica do concreto à tração, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

fctk,sup – Valor máximo da resistência característica do concreto à tração, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

fct,m – Resistência média à tração do concreto, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

ft – Resistência à tração do concreto, a ser determinada no programa DIANA TNO.

(23)

318-14.

fycd – Resistência de cálculo à compressão do aço. fyd – Resistência de cálculo à tração do aço. fyk – Resistência característica à tração do aço.

fyt – Resistência específica da fluência fy do reforço transversal, segundo a norma ACI 318-14.

fywd – Tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor de fyd no caso de estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

F – Cargas devidas ao peso e pressão de fluidos com densidades bem definidas e alturas máximas controláveis, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

Fd – Valor de cálculo das ações para combinação última, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Fgk – Ações permanentes diretas, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. Fqk – Ações variáveis diretas, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. Fq1k – Ação variável direta principal, segundo a norma ABNT NBR

6118:2014.

Fk – Ações indiretas permanentes, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

h – Altura da seção transversal.

h – Espessura efetiva da seção equivalente de torção, onde atuam esforços de compressão, possibilitando a redução de armadura longitudinal de torção, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. he – Espessura de parede equivalente para seções cheias (estudadas

como seções vazadas equivalentes), segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

H – Cargas devidas ao peso e empuxo do solo, da água no solo, ou outros materiais, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

(24)

Lr – Sobrecargas de cobertura, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

Md – Momento fletor de cálculo.

Md,mín – Momento fletor mínimo usado no cálculo de armadura mínima segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Mk – Momento fletor característico, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Mn – Momento fletor característico, segundo a norma ACI 318-14.

MSd – Momento fletor solicitante de cálculo, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

MSd,Max – Momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

M0 – Momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Mu – Momento fletor majorado na seção, segundo a norma ACI 318-14. Nd – Força normal de cálculo.

Nk – Força normal característica, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. Nn – Força normal característica, segundo a norma ACI 318-14.

NSd – Força normal solicitante de cálculo, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Nu – Força axial majorada na seção, segundo a norma ACI 318-14.

pcp – Perímetro limitado pelo perímetro exterior da seção transversal de concreto, segundo a norma ACI 318-14.

ph – Perímetro do eixo do reforço transversal fechado disposto para torção, segundo a norma ACI 318-14.

Pn,máx – Força resistente máxima de compressão axial, segundo a norma ACI 318-14.

Po – Força resistente de compressão axial, sem excentricidade, segundo a norma ACI 318-14.

R – Cargas de chuva, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

(25)

Rs – Resultante de tração na armadura. R’s – Resultante de compressão na armadura.

s – Espaçamento entre eixos de estribos, medidos segundo o eixo longitudinal da peça, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. Segundo a norma ACI 318-14, é o espaçamento medido de centro a centro de unidades tais como reforço longitudinal e reforço transversal.

S – Cargas de neve, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

Sd – Desvio-padrão usado no cálculo da resistência média à compressão do concreto, segundo a norma ABNT NBR 12655:2015.

Tcr – Momento de torção crítico, acima do qual é necessário reforço à torção.

Tn – Resistência nominal à torção, segundo a norma ACI 318-14.

TRd,2 – Momento resistente de cálculo à torção, que representa o limite de resistência das diagonais comprimidas de concreto, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

TRd,3 – Momento resistente de cálculo à torção, que representa o limite para a parcela resistida pelos estribos normais ao eixo da peça, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

TRd,4 – Momento resistente de cálculo à torção, que representa o limite para a parcela resistida pelas barras longitudinais, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

TSd – Momento de torção solicitante de cálculo, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Tth – Momento de torção limite, segundo a norma ACI 318-14. Tu – Torção majorada na seção, segundo a norma ACI 318-14.

u – Perímetro da seção transversal, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Vc – Resistência à cortante proporcionada pelo concreto, segundo a norma ACI 318-14.

(26)

Vs – Resistência à cortante proporcionada pelo reforço à cortante, segundo a norma ACI 318-14.

VRd1 – Força cortante resistente de cálculo, relativa a elementos sem armadura para força cortante, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

VRd2 – Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. VRd3 – Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração

diagonal, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

VSd – Força cortante solicitante de cálculo, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

Vu – Cortante majorada na seção, segundo a norma ACI 318-14.

VSW – Parcela de força cortante resistida pela armadura transversal, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

W – Cargas de vento, ou momentos e forças internas correspondentes, segundo a norma ACI 318-14.

W0 – Módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. x – Altura da linha neutra.

z – Distância entre resultantes de compressão e tração atuantes no equilíbrio de forças em uma seção transversal de uma viga. Segundo a norma ABNT NBR 6118:2014, z é o braço de alavanca das forças resultantes internas.

 – Ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45º ≤ ≤ 90º.

E – Parâmetro em função da natureza do agregado que influencia o módulo de elasticidade, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

v2 – Variável usada no cálculo do momento resistente de cálculo à torção, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

 – Coeficiente de retenção do cisalhamento.

1 – Coeficiente que relaciona a altura a do bloco de tensão de compressão constante com a altura da linha neutra da seção

(27)

x – Altura da linha neutra, em relação a d.

x1 – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

x2 – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

u – Trecho de largura da seção transversal onde atuam esforços de compressão, possibilitando a redução de armadura longitudinal de torção, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

z – Deslocamento de um ponto na direção Z.

c – Deformação específica do concreto.

t – Deformação da barra de aço.

ty – Deformação da barra de aço mais tracionada, usado para determinar o coeficiente de redução ø.

x – Deformação em um elemento na direção X.

y – Deformação em um elemento na direção Y.

ø – Fator de redução de resistência, segundo a norma ACI 318-14.

aço – Peso específico do aço.

c – Coeficiente de ponderação da resistência do concreto.

con – Peso específico do concreto.

f – Coeficiente de ponderação para as ações que considera a variabilidade das ações, a simultaneidade de atuação das ações e os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

g – Coeficiente de ponderação para as ações permanentes diretas, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

q – Coeficiente de ponderação para as ações variáveis diretas, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

p – Coeficiente de ponderação de cargas oriundas da protensão, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

(28)

g – Coeficiente de ponderação para as ações permanentes indiretas (retração ou fluência), segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

q – Coeficiente de ponderação para as ações variáveis indiretas (temperatura), segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

 – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

 – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

sd – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

 – Coeficiente de Poisson.

d – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

 – Ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º < < 45º, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014. Segundo a norma ACI 318-14, ângulo adotado entre bielas comprimidas e tirantes tracionados. Adota-se = 45º.

mín – Taxa geométrica mínima de armadura longitudinal de vigas, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

sl – Taxa geométrica de armadura longitudinal aderente, a uma distância de 2d da face do apoio, considerando as barras do vão efetivamente ancoradas no apoio, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

sw – Taxa geométrica de armadura transversal de cisalhamento e de torção segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

c – Tensão na zona comprimida da seção transversal de uma viga de concreto.

s – Tensão na barra de aço da armadura positiva.

(29)

y – Tensão em um elemento na direção Y.

z – Tensão em um elemento na direção Z.

mín – Taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas.

 – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

d – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

'd – Variável integrante das equações adimensionais usadas no dimensionamento de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta.

oj – Fator de redução de combinação para as ações variáveis diretas, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

o – Fator de redução de combinação para as ações variáveis indiretas, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014.

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LISTA DE FIGURAS ... 10 LISTA DE TABELAS ... 17 LISTA DE SIGLAS ... 19 LISTA DE SÍMBOLOS ... 20 1 INTRODUÇÃO ... 34 1.1 Esforços simultâneos: um exemplo... 34 1.2 Norma ACI 318-14 e o Brasil ... 37 1.3 Torção segundo as normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14 ... 37 1.4 Objetivos ... 39 1.4.1 Objetivo geral... 39 1.4.2 Objetivos específicos ... 39 1.5 Organização da dissertação ... 39 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 41 3 METODOLOGIA ... 48 3.1 Informações gerais ... 48 3.2 Procedimento iterativo ... 49 3.3 Modelagem numérica da estrutura... 54 4 FUNDAMENTOS ... 55 4.1 Dimensionamento: normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14 ... 55 4.1.1 Procedimento de dimensionamento: norma ABNT NBR 6118:2014 ... 55 4.1.1.1 Flexão Simples ... 55 4.1.1.2 Flexão Normal Composta ... 58 4.1.1.3 Cisalhamento ... 63 4.1.1.4 Torção ... 65 4.1.1.5 Flexão e Torção ... 67

(31)

4.1.1.7 Combinações ... 68 4.1.2 Procedimento de dimensionamento: norma ACI 318-14 ... 69 4.1.2.1 Flexão Simples ... 69 4.1.2.2 Flexão Normal Composta ... 72 4.1.2.3 Cisalhamento ... 78 4.1.2.4 Torção ... 79 4.1.2.5 Flexão e Torção ... 81 4.1.2.6 Armadura de pele ... 81 4.1.2.7 Combinações ... 82 4.1.3 Armadura longitudinal de flexão e torção ... 83 4.1.4 Armadura transversal de cisalhamento e torção... 84 4.1.5 Compatibilização entre as normas ... 85 5 CÁLCULO DAS ARMADURAS ... 87 5.1 Análise estrutural ... 87 5.2 Dimensionamento segundo normas... 91 5.2.1 Dimensionamento segundo a norma ABNT NBR 6118:2014 ... 92 5.2.2 Dimensionamento da viga segundo a norma ACI 318-14 ... 93 5.2.3 Discussão preliminar ... 94 5.3 Verificação segundo o procedimento iterativo ... 95 5.3.1 Dimensionamento da viga principal: norma ABNT NBR 6118:2014 ... 96 5.3.2 Dimensionamento da viga principal: norma ACI 318-14 ... 98 5.3.3 Discussão preliminar ... 100 5.4 Detalhamento das armaduras ... 100 5.4.1 Vigas dimensionadas segundo a norma ABNT NBR 6118:2014 ... 100 5.4.2 Vigas dimensionadas segundo a norma ACI 318-14 ... 105 5.4.3 Discussão preliminar ... 110

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6 ANÁLISE NUMÉRICA ... 113 6.1 Introdução ao programa DIANA TNO ... 113 6.2 Modelagem numérica ... 114 6.2.1 Propriedades dos materiais: norma ABNT NBR 6118:2014 ... 120 6.2.2 Propriedades dos materiais: norma ACI 318-14 ... 123 6.2.3 Definição dos apoios ... 124 6.2.4 Definição de elementos e malha... 125 6.2.5 Processamento do programa DIANA TNO ... 127 6.3 Calibração de modelo no programa DIANA TNO ... 128 7 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 133 7.1 Mapas de tensão, deformação e fissuração ... 133 7.1.1 Mapas de tensões no concreto ... 134 7.1.1.1 Discussão preliminar ... 138 7.1.2 Mapas de deformações específicas no concreto ... 139 7.1.2.1 Discussão preliminar ... 143 7.1.3 Mapas de tensões na armadura longitudinal ... 144 7.1.3.1 Discussão preliminar ... 148 7.1.4 Mapas de tensões na armadura transversal ... 149 7.1.4.1 Discussão preliminar ... 157 7.1.5 Mapas de fissuração ... 158 7.1.5.1 Discussão preliminar ... 161 7.2 Seções transversais críticas ... 162 7.2.1 Seção A ... 163 7.2.1.1 Discussão preliminar ... 166 7.2.2 Seção B ... 167 7.2.2.1 Discussão preliminar ... 170

(33)

7.3.1.1 Discussão preliminar ... 177 7.4 Deslocamentos ... 178 7.4.1.1 Discussão preliminar ... 180 7.5 Discussão: análise final ... 181 8 CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS ... 185 8.1 Considerações finais ... 185 8.2 Sugestões para trabalhos futuros ... 187 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 188 APÊNDICE I ... 192 APÊNDICE II ... 201

(34)

1 INTRODUÇÃO

O desenvolvimento da Engenharia Civil nas últimas décadas foi notável. Obras complexas já eram projetadas e construídas em meados do século XX. Na atualidade, elas continuam sendo destaque entre os engenheiros civis, porém são projetadas com um rigor muito maior. As normas passaram a ser mais específicas, a segurança das estruturas se aprimorou, permitindo o aproveitamento mais adequado da estrutura. Os softwares foram desenvolvidos e são constantemente aperfeiçoados, permitindo que projetos que antes levavam meses para ficarem prontos, hoje levem poucos dias.

Sendo assim, os esforços obtidos por meio dos modelos numéricos, tais como momento fletor e torção, passaram a ser melhor definidos, e as regiões da estrutura com sobreposição de esforços, tais como compressão ou flexo-torção, são atualmente obtidas com maior precisão. Esse assunto tem sido o foco de linhas de pesquisa de diversos acadêmicos, como Greene (2009), visto a necessidade de se avaliar, nos casos das estruturas de concreto armado, a possibilidade de redução de armadura onde os esforços atuam conjuntamente. Diversas normas, como a da Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento e a American Concrete Institute – ACI 318-14 – Building Code Requirements for Structural Concrete, já preveem uma redução de armadura longitudinal na região comprimida da seção transversal submetida à flexo-torção.

1.1 Esforços simultâneos: um exemplo

Um caso no qual se observam elementos estruturais de concreto armado submetidos a esforços de flexão, compressão e torção simultâneos é o das estruturas metroviárias. Tais estruturas são basicamente compostas por um poço, um túnel e estrutura interna.

A função do poço, composto de revestimentos primário (que resiste ao empuxo de solo) e secundário (que resiste ao empuxo de água) e laje de fundo, é interligar o túnel do metrô à superfície. A estrutura interna do poço é composta de inúmeros pavimentos, formados por lajes, apoiadas em vigas que, por sua vez, se apoiam no revestimento secundário do poço e em pilares, que percorrem toda a altura do poço. Esse conjunto de estruturas permite o deslocamento dos usuários da

(35)

estação pelo poço até o túnel, onde as plataformas dão acesso aos vagões do metrô.

Analisando a seção transversal de um poço, nota-se que ele está submetido a esforços radiais de compressão, que geram um esforço de compressão no eixo dos revestimentos primário e secundário. A Figura 1.1 exemplifica um poço e a Figura 1.2 apresenta um corte transversal de um poço.

Figura 1.1 – Poço, estrutura interna e ações.

Figura 1.2 – Corte A-A – revestimentos do poço sob compressão.

Quando se analisa a seção longitudinal de um poço, nota-se que as ações de empuxo, além de gerarem compressão (que aumenta conforme a profundidade do poço) , também geram flexão, conforme indica a Figura 1.3.

N.A. SOBRECARGA

A

B

(36)

Figura 1.3 – Corte B-B – paredes do poço sob flexão.

Os revestimentos primário e secundário do poço são dimensionados para resistir a todos esses esforços. Porém, o fato de haver vigas apoiadas nas paredes faz com que elas absorvam parte desses esforços, que as submetem à compressão axial, conforme indica a Figura 1.4.

Figura 1.4 – Vigas da estrutura interna submetidas à compressão.

Quanto maior a profundidade do nicho onde a viga se apoia no revestimento secundário, maior o esforço de compressão axial ao qual ela é submetida. Logo, levando em conta que há grande probabilidade de que uma viga componente de uma estrutura interna de um poço esteja submetida à torção (seja devido a uma viga muito solicitada que nela se apoia, seja devido a uma laje que se

N.A. SOBRECARGA Empuxo de solo Empuxo de água Empuxo de sobrecarga

(37)

apoia em uma de suas laterais), e estando a viga fletida e comprimida, este exemplo configura um caso real no qual uma viga de concreto armado está submetida à flexão normal composta e torção simultâneas.

1.2 Norma ACI 318-14 e o Brasil

Décadas atrás, devido à estagnação do mercado da construção civil, a Engenharia Civil brasileira teve de expandir as fronteiras e procurar mercado em outros países, muitas vezes também vítimas de crise. Assim, o engenheiro brasileiro se habituou a outras normas, como a ACI 318-14, vigente em países da América Latina.

Além da norma, o projeto estrutural em alguns desses países também difere do Brasil. Nos casos de países vizinhos, como Peru, Venezuela, Chile, localizados em zonas de atividade sísmica, há consideração de mais esforços, assim como o detalhamento da armadura é mais rigoroso. No Brasil, a implantação da norma NBR 15421:2006 – Projeto de Estruturas Resistentes a Sismo – Procedimento (ABNT, 2006) é um reflexo da necessidade de atender às novas demandas de projeto, sendo comumente aplicadas em regiões sujeitas a tremores, como a região Norte do Brasil.

Nos dias atuais, mesmo com o mercado da construção civil no Brasil em franca expansão, é comum observar escritórios brasileiros projetando grandes estruturas para o exterior, principalmente para países carentes de infraestrutura, como pontes e linhas de metrô. Tais estruturas contêm esforços de grande intensidade, devendo ser cuidadosamente analisados para um correto dimensionamento.

1.3 Torção segundo as normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14

Ao analisar as normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14, nota-se que muitos tópicos são tratados de maneira semelhante, porém outros possuem algumas diferenças. Um deles é a torção. Os procedimentos de cálculo em ambas as normas para a torção são parecidos, porém as duas normas exigem verificações distintas.

A norma ABNT NBR 6118:2014 exige que o momento de torção solicitante de cálculo TSd seja menor ou igual a TRd,2, que representa o limite dado

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pela resistência das diagonais comprimidas de concreto, conforme indica a Equação 1-1: ( 1-1 ) onde: v2 = 1 – [fck / 250] (fck em MPa); fcd = 0,85 . fck;

Ae – Área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada, segundo a norma ABNT NBR 6118:2014;

he – espessura de parede equivalente para seções cheias;

 – ângulo de inclinação das diagonais do concreto.

Já a norma ACI 318-14 exige que a relação da Equação 1-2 seja satisfeita: ( 1-2 ) onde:

Vu – cortante majorada na seção; bw – largura da seção transversal; d – altura útil;

Tu – torção majorada na seção;

ph – perímetro do eixo do estribo disposto para torção;

Aoh – Área delimitada pelo eixo do reforço transversal fechado mais externo disposto para resistir à torção;

Vc – resistência à cortante proporcionada pelo concreto; f’c – resistência característica à compressão do concreto.

Nota-se que não há uma relação entre as equações, e esse é um dos pontos em que as normas diferem.

(39)

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo geral

Este trabalho tem como objetivo analisar os procedimentos de cálculo para dimensionamento de vigas sob flexão normal composta e torção simultâneas segundo as normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14.

1.4.2 Objetivos específicos

Os objetivos específicos do trabalho são:

 estudar as diferenças entre o procedimento prático usualmente utilizado em escritórios de projeto e os procedimentos estabelecidos pelas normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14, propostos para o caso de uma viga em concreto armado submetida a flexão normal composta e torção simultâneas;

 estabelecer as tensões resultantes na estrutura sob flexão normal composta e torção simultâneas, de modo a verificar por meio de uma análise numérica, qual a capacidade resistente da viga atingida em cada um dos procedimentos utilizados para o dimensionamento.

1.5 Organização da dissertação

O presente trabalho se divide em 8 capítulos e um apêndice. Neste capítulo, foi feita a introdução ao tema da dissertação e a definição dos objetivos geral e específicos desta dissertação.

O capítulo 2 é composto pela revisão da literatura científica, uma visão geral de publicações divulgadas nos últimos 10 anos com foco em vigas de concreto armado submetidas a carregamentos múltiplos.

Já o capítulo 3 indica a metodologia adotada para analisar o problema proposto, além de apresentar os programas computacionais adotados, tais como o STRAP – Structural Analysis Program, o Normal 1.3 e o GaLa.

No capítulo 4 são apresentados os fundamentos indicados nas normas ABNT NBR 6118:2014 e ACI 318-14, usados para dimensionar estruturas em concreto armado.

(40)

O problema proposto é apresentado no capítulo 5, detalhando os carregamentos aos quais o modelo é submetido, os esforços de flexão, cortante, força normal e torção obtidos e as armaduras resultantes do dimensionamento. Além disso, apresenta-se a solução final de configuração das armaduras para cada modelo.

O capítulo 6 mostra a elaboração dos modelos numéricos tridimensionais no programa DIANA TNO e a maneira como as propriedades de cada norma foram incorporadas aos modelos numéricos, além de apresentar a calibração dos modelos por meio da validação de um modelo numérico baseado em um modelo extraído da literatura corrente sobre vigas de concreto armado submetidas a flexo-torção.

O capítulo 7 contém os resultados obtidos no processamento dos modelos no programa DIANA TNO. São apresentados mapas de tensão e deformação na superfície dos modelos, análise de duas seções críticas, deslocamento de dois nós específicos e mapa de fissuração, além de apresentar uma avaliação sobre esse conjunto de resultados.

O capítulo 8 indica as conclusões do trabalho, destacando as observações mais relevantes. E, por fim, o Apêndice I apresenta tabelas com os valores dos gráficos apresentados no capítulo 7.

(41)

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Lisantono (2005) investigou a influência do fator de retenção do cisalhamento em análises não lineares de vigas de concreto armado de seção T feitas submetidas a torção em programas fundamentados no Método dos Elementos Finitos. Variou-se o fator de 0,1 a 0,5. O elemento tridimensional adotado foi o hexaedro dotado de 8 nós, e para o aço adotou-se elemento de barra baseado na teoria da treliça espacial, com total aderência ao concreto. Quanto aos modelos constitutivos, o concreto foi adotado com base na teoria modificada do campo de compressão, e o aço foi adotado com comportamento elástico-perfeitamente plástico. Os resultados indicaram que o valor de fator de retenção de cisalhamento de 0,5 é mais apropriado para o caso de vigas de concreto armado com seção T submetidas a torção.

Greene e Belarbi (2006) criaram uma formulação para elementos estruturais em concreto armado submetidos a torção, flexão e cisalhamento, baseada no modelo simplificado de treliça. A formulação pressupõe que a viga é do tipo caixão, e os resultados são obtidos considerando ou não o estágio da fissuração. Comparações foram feitas com resultados experimentais disponíveis na literatura, provando a consistência da formulação.

Rahal (2006) avaliou a capacidade resistente de vigas de concreto armado submetidas a flexão, torção e força axial. Para tal, ele se baseou em resultados experimentais previamente obtidos na literatura, relativos a vigas de concreto armado, de diferentes resistências de concreto, dimensionadas segundo a norma AASHTO-LRFD, submetidas a múltiplos esforços. De acordo com a configuração de armadura obtida, ele calculou a capacidade resistente teórica dessas vigas, baseando-se no método geral, que adota a teoria modificada de Timoshenko e supõe que tal treliça possui ângulos variáveis, situação indicada para vigas de submetidas a torção e cortante. Tais resultados foram comparados com a capacidade resistente obtida nos ensaios experimentais. Esse estudo indicou que as propostas do método geral são muito conservadoras.

Gregori et al. (2007) elaboraram um modelo 3D para elementos estruturais em concreto armado sob flexão, torção, força axial e cisalhamento, a partir da teoria de barras de Timoshenko. A teoria do campo de compressão modificada foi usada na modelagem do material, com fórmulas de rigidez tangente.

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Segundo os autores, tais formulações simplificam os cálculos sem prejudicar a qualidade dos resultados. A validade do modelo proposto foi testada comparando-se os resultados nele obtidos com 24 casos experimentais disponíveis na literatura. Os autores consideraram que os valores obtidos de capacidade última e a análise de deformações nas barras foram satisfatórios, nos casos de flexo-torção ou cisalhamento puro. Ressaltaram que apesar de apresentar vantagens, como modelar elementos com qualquer tipo de seção transversal submetida a todo tipo de esforço, o modelo contém certas imperfeições, como produzir resultados pouco exatos para elementos submetidos a quaisquer esforços junto ao cisalhamento, além de não considerar os efeitos decorrentes da fissuração.

Alnuaimi (2007) comparou resultados obtidos numericamente e experimentalmente de três vigas de concreto armado, de seção transversal de dimensões (30 x 30) cm² e 3,80 m de vão, submetidas a esforços de momento fletor, cortante e torção. Os modelos numéricos tridimensionais foram baseados no Método dos Elementos Finitos. O modelo constitutivo não linear do concreto foi adotado conforme propôs Kotsovos, enquanto o aço foi adotado com comportamento elástico-perfeitamente plástico. O fator de retenção do cisalhamento e o enrijecimento por tensão nas armaduras após a fissuração foram considerados. A fissuração, por sua vez, foi adotada como distribuída em uma direção fixa. Como resultado, foram computadas curvas de carga x deslocamento, deformação no aço, e modo de colapso e carga de ruína. A comparação entre os resultados indica concordância entre eles, validando o uso do programa para análise numérica de estruturas.

Bairan e Mari (2007) desenvolveram uma formulação não linear para obter valores de tensão e deformação em seções de concreto armado, considerando empenamento e distorção das mesmas. Ela adotou para o concreto o modelo de fissuração rotacional. A formulação foi validada por meio da comparação com resultados experimentais de vigas de concreto armado submetidas a flexão, torção e cisalhamento. Comparando o processamento da fórmula com o da modelagem 3D em elementos sólidos, os resultados obtidos, segundo os autores, foram mais precisos, porém o tempo de processamento foi maior.

Chiu et al. (2007) ensaiaram em laboratório 13 vigas de concreto armado normal e de alta resistência sob torção pura. As vigas foram armadas à torção com uma quantidade menor do que o indicado. Os autores notaram que a reserva de

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resistência após a fissuração nas vigas com armadura de torção deficiente estava diretamente relacionada à taxa de armadura transversal em relação à longitudinal. Essa constatação levou os autores a desenvolver uma análise sobre as recomendações vigentes de armadura de torção constantes da norma ACI-318. Concluíram que as vigas com igual porcentagem de armadura transversal e longitudinal tinham resistência pós-fissuração e ductilidade de torção adequadas, além de fissuras com aberturas adequadas.

Rahal (2007) analisou a viabilidade de utilização do método simplificado para tensões combinadas, que consiste em uma simplificação da teoria do campo de compressão modificada, para dimensionamento de vigas de concreto armado sob flexo-torção. Para tal, ensaiou 111 vigas sob flexo-torção e elaborou curvas de interação flexão x torção. Segundo o autor, os resultados de capacidade última obtidos por meio do método simplificado concordaram mais satisfatoriamente com os obtidos experimentalmente do que com os resultados propostos pela norma ACI 318.

Alnuaimi et al. (2008) compararam os resultados obtidos entre 14 vigas de concreto armado, sendo 7 vigas de seção transversal cheia, de dimensões (30txt30)tcm, e 7 vigas de seção vazada, de dimensões (30 x 30) cm e vazio medindo (20 x 20) cm, no centro da seção. Tais vigas foram submetidas, duas a duas, a iguais carregamentos, aplicados de tal forma que a relação entre momento de torção e momento fletor variou de 0,19 a 2,62 e a relação entre cortante de torção e cortante de flexão variou de 0,59 a 6,84. Os resultados indicam que o núcleo da seção transversal interfere no comportamento da viga, e depende da relação entre torção e flexão: as vigas de seção cheia atingiram a ruptura com cargas maiores do que as vigas de seção vazada, sendo que a diferença entre os esforços no momento de ruptura foi maior para os casos em que o momento fletor era o esforço dominante. Além disso, as vigas de seção cheia fissuram mais do que as de seção vazada, e essas apresentam flechas maiores. Os autores recomendaram que vigas de seção vazada sejam adotadas apenas para os casos em que a torção é dominante.

Greene e Belarbi (2009a, 2009b) adaptaram um modelo anteriormente proposto por Hsu e Mo (1985, apud Greene e Berlarbi) para torção pura e desenvolveram outro modelo que trabalha com diferentes taxas de flexão e cisalhamento, além da torção. Tal modelo adota a viga com formato caixão, e em

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sua superfície as forças normais e tangenciais são aplicadas de modo uniforme. As taxas de flexão em relação à torção variaram de 0 a 2,3. Ao todo, foram comparados 28 resultados com outros obtidos experimentalmente. Segundo os autores, a diferença entre eles foi pequena, comprovando que o modelo desenvolvido é capaz de prever as deformações decorrentes de um elemento sujeito a torção, flexão e cisalhamento.

Mullapudi e Ayoub (2010a) apresentaram um modelo de cálculo, baseado na Teoria de Barras de Timoshenko, para situações em que a estrutura de concreto armado está submetida a esforços de flexão, torção e compressão. Tal modelo leva em conta a ortotropia do concreto, e nele foram aplicadas ações sísmicas para gerar tais esforços. O modelo supõe uma divisão da seção transversal em 3 tipos de região: 1-D, onde os esforços são de tensão axial, 2-D, onde os esforços são de tensão axial e transversal, e 3-D, onde os esforços são de tensão axial e transversal em 2 direções. Os valores de deformação uniaxial do concreto nas direções principais têm 6 condições, e a força em uma direção é afetada pela deformação na outra. Segundo os autores, a comparação entre os resultados obtidos com o modelo e os obtidos em ensaios laboratoriais executados em pesquisas anteriores, quanto à flexão, foi satisfatória, porém quanto à torção, o modelo falhou ao indicar rompimento da armadura transversal.

Mullapudi e Ayoub (2010b) desenvolveram um mecanismo para análise do comportamento de uma viga de concreto armado submetida à flexão, força axial, cisalhamento e torção simultaneamente. Para tal, modelaram em 3D uma viga no programa FEAPpv com mecanismo de cortante baseado no modelo de Timoshenko, e curva do concreto à compressão modificada segundo Kent e Park, enquanto o comportamento não linear do aço foi representado pelo modelo de Menegotto e Pinto, modificado por Filippou. Para comprovar a eficácia da solução, o modelo experimental apresentado por Shanmugam foi modelado numericamente, e a comparação dos resultados obtidos, de acordo com os autores, indicou boa aproximação.

Valipour e Foster (2010) desenvolveram uma formulação para prever os esforços em uma viga de concreto armado sob torção. Tal formulação é baseada na combinação do modelo de treliça com ângulo variável com a teoria do campo de compressão modificada, criando uma relação torque x ângulo de giro que leva em conta a interação de forças tangenciais e normais para uma seção submetida a

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flexão, cisalhamento e torção. Também foi considerada a formulação de flexibilidade secante total, desenvolvida por Navier-Bernoulli. Os resultados obtidos da formulação proposta foram comparados com outros obtidos experimentalmente para vigas sob torção pura, sob combinação de flexão, torção e cisalhamento. As comparações indicaram certa vantagem na formulação proposta, visto que os valores resultantes são mais próximos dos resultados experimentais do que os obtidos através de softwares mais elaborados e custosos. Porém, para efeitos locais, os resultados não ofereceram muita precisão. Por isso, os autores se fixaram em trabalhar com os valores de resposta global, tais como capacidade última de torque. Além disso, o uso das fórmulas de Navier-Bernoulli limitou a aplicação da formulação a elementos cujos esforços dominantes fossem flexão e torção, prejudicando os resultados obtidos em elementos cujo esforço de cisalhamento fosse dominante.

Husem et al. (2011) criaram um método para calcular o momento de torção que desencadeia a fissuração em vigas de concreto armado de alta resistência sob efeito de torque. Tal método considera as teorias elástica e plástica de deformação. Os autores notaram que, apesar de outros procedimentos analíticos preverem satisfatoriamente a distribuição das fissuras e o momento último de torção, os valores obtidos de rigidez elástica e da capacidade de fissuração das curvas analíticas de torque x ângulo de rotação foram inferiores aos valores obtidos em laboratório. O estudo foi feito com 10 modelos de viga, sendo 2 deles com vigas de concreto simples, e 8 com vigas de concreto armado, considerando 2 tipos de seção transversal: (15 x 25) cm e (15 x 30) cm. Os valores obtidos foram comparados com resultados experimentais previamente alcançados por outros pesquisadores, e também com resultados obtidos por cálculos analíticos propostos por normas, como ACI318 e TS500, e por outros pesquisadores. Concluíram que as teorias elástica, plástica, de flexão oblíqua e as formulações propostas pela norma ACI318 não propõem valores satisfatórios de momento de torção de fissuração para vigas de concreto simples e concreto armado de alta resistência. De acordo com os autores, o método proposto fornece valores aceitáveis de torque de fissuração, comparados com os valores obtidos em experimento.

Men et al. (2011) obtiveram uma fórmula que descreve a capacidade de uma viga, submetida a esforços de torção combinado com outros como flexão, cortante e compressão axial, de resistir à torção. Tal equação se baseia no modelo da treliça espacial com ângulo variável. Para validá-la, 59 vigas de diferentes