Flexão Normal Composta

A flexão normal composta é a situação, indicada na Figura 4.4, na qual a seção transversal de um elemento estrutural está submetida simultaneamente a um momento fletor e uma força normal (de tração ou de compressão).

Figura 4.4 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga sob flexão normal composta.

O que difere a Figura 4.4 da Figura 4.1 é a consideração de uma armadura comprimida A’s, e a presença da força de compressão NSd. O momento fletor MSd pode ser considerado por meio de uma excentricidade es associada à força de compressão NSd, sendo es medida a partir do centro de gravidade da armadura positiva, conforme indica a Figura 4.5.

Figura 4.5 – Equilíbrio de forças na seção transversal da viga, considerando uma excentricidade es aplicada à força de compressão NSd. A excentricidade es é dada pela Equação 4-7:

_{( 4-7 )}

Assim, as equações que equilibram essa seção são indicadas nas equações 4-8 e 4-9:

( 4-8 )

( 4-9 )

A resultante da armadura negativa R’s é dada de acordo com a resistência do aço, indicada na Equação 4-10:

( 4-10 )

onde a variável ’s representa a tensão na armadura comprimida.

Dadas as equações 4-8 e 4-9, tem-se duas equações e três incógnitas: x, As e A’s, sendo impossível obter uma solução de imediato. Fernandes (1972) empregou um procedimento que permite o dimensionamento de seções submetidas à flexão normal composta por meio da adoção de um valor de x que esteja dentro de limites pré-estabelecidos. A seguir, é desenvolvido o raciocínio desse procedimento, que foi adotado para dimensionar seções transversais de elementos de concreto armado submetidos à flexo-compressão, segundo as formulações propostas por cada uma das normas.

As equações 4-8 e 4-9 são adotadas em sua forma adimensional, isto é, toda a equação é dividida por um quociente, de modo que se tornem adimensionais. A equação do equilíbrio de forças na seção (1ª Equação) é dividida pelo produto (bw. d . fcd), conforme indica a Equação 4-11:

( 4-11 )

Algumas definições são estabelecidas as equações 4-12, 4-13, 4-14 e 4-15, para facilitar o entendimento das equações adimensionais.

( 4-12 ) ( 4-13 ) ( 4-14 ) ( 4-15 )

Sendo assim, tem-se 1ª Equação na sua forma adimensional, na Equação 4-16:

( 4-16 )

A Equação 4-16 é válida para situações onde x < 1. Caso contrário, o sinal negativo deve ser adotado como positivo.

No caso da equação que equilibra o momento na seção transversal (2ª Equação), para que ela se torne uma equação adimensional, ela é inteiramente dividida pelo produto (bw. d² . fcd), conforme indica a Equação 4-17:

( 4-17 )

A seguir, da Equação 4-18 à Equação 4-20, são indicadas algumas definições que tornam o entendimento da equação mais prático:

( 4-18 ) ( 4-19 ) ( 4-20 )

Sendo assim, a 2ª equação na sua forma adimensional é indicada na Equação 4-21:

( 4-21 )

Para situações em que a seção trabalhe no domínio 5 – 2º caso, as fórmulas que definem  e  se alteram, sendo indicadas nas equações 4-22 e 4-23:

( 4-22 )

( 4-23 )

Como o sistema composto pelas equações 4-16 e 4-21 apresenta 3 incógnitas, não é possível achar uma solução exata. Nesse caso, é adotado um valor de x e, por meio dele, são determinados os valores das armaduras. Para estabelecer o valor de x, são definidos seus limites máximo e mínimo, podendo seu valor ser qualquer um dentro desse intervalo. Tais limites são estabelecidos com base no valor das incógnitas x1 e x2.

A altura de linha neutra x1 ocorre na situação em que a armadura negativa A’s é nula. Nesse caso, ’d = 0. Sendo assim, baseado na Equação 4-21, tem-se as equações 4-24 e 4-25:

( 4-24 ) ( 4-25 )

Dada a fórmula que define o valor da incógnita x1, tem-se a Tabela 4.2, que define os limites máximo e mínimo passíveis de adotar o valor de x.

Tabela 4.2 – Intervalo onde consta o valor de x1 e os limites correspondentes para adoção do valor de x

Situação Limites mínimo e máximo para valor dex 0 < x1 ≤  x1 ≤ x < 

 ≤ x1 ≤ 1,0 < x ≤ x1 1,0 ≤ x1 ≤ 1,25 <x ≤x1

Já a altura de linha neutra x2 ocorre na situação em que a armadura positiva As é nula. Nesse caso, a 1ª Equação se resume à Equação 4-26:

( 4-26 )

Isolando-se a parcela da força na armadura negativa, tem-se a Equação 4-27:

( 4-27 )

( 4-28 )

Sendo assim, tem-se a Equação 4-29:

( 4-29 )

Dada a fórmula que define o valor da incógnita x2, tem-se a Tabela 4.3, que define os limites máximo e mínimo para x.

Tabela 4.3 – Intervalo onde consta o valor de x2 e os limites correspondentes para x

Situação Limites mínimo e máximo para valor dex

* 0 < x < 1,0  x2 < 1,0 x2 ≤ x < 1,0  x2 = 1,0 x = 1,0 x2 > 1,0 1,0 <x ≤x2 * x > 1,0 *Não há valor de x2

Havendo dois intervalos diferentes para o valor de x, é adotado o maior dentre os limites mínimos, e o menor dentre os limites máximos, de modo que o intervalo resultante respeite ambos os intervalos, representando uma intersecção entre eles. Obtendo esse intervalo, é possível adotar um valor de x. Então, é possível definir as áreas de armaduras positiva e negativa, concluindo o dimensionamento da viga à flexão normal composta.

4.1.1.3 Cisalhamento

A norma ABNT NBR 6118:2014 estabelece condições para o dimensionamento da estrutura quanto ao cisalhamento, limitando a força cortante solicitante de cálculo Vsd, conforme indicam as equações 4-30 e 4-31:

( 4-30 )

( 4-31 )

Na norma estão definidos dois modelos (Modelo I e Modelo II) para consideração da inclinação das diagonais de compressão e da parcela de força cortante resistida pelo concreto Vc. Neste trabalho, foi adotado o Modelo I. A força cortante resistente de cálculo VRd2, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, é obtida pela Equação 4-32, enquanto a força cortante resistente de cálculo VRd3, relativa à ruína por tração diagonal, é calculada pela Equação 4-33:

( 4-32 )

( 4-33 )

A resistência à cortante proporcionada pelo concreto Vc0 é obtida conforme indicam as equações 4-34, 4-35 e 4-36:

( 4-34 )

( 4-35 )

( 4-36 )

A Equação 4-34 é válida na situação na qual o elemento estrutural está tracionado e sua linha neutra se situa fora da seção. Já a Equação 4-35 é para situações de flexão simples e flexo-tração com a linha neutra dentro da seção. E a Equação 4-36 é válida para situações de flexo-compressão.

O valor de cálculo da resistência à tração do concreto fctd é dado por fctd = (fctk,inf / c). O valor mínimo da resistência característica do concreto à tração fctk,inf é dado por fctk,inf = (0,7 . fct,m). E a resistência média à tração do concreto fct,m é dada por fct,m =

.

O momento M0 é aquele que anula a tensão normal de compressão na borda da seção tracionada pelo momento MSd,max, provocada pelas forças normais

de diversas origens, sendo essa tensão calculada com valores dos coeficientes f e

p iguais a 1,0 e 0,9, respectivamente. A variável MSd,Max representa o máximo momento fletor de cálculo no trecho em análise.

A parcela de força cortante VSW resistida pela armadura transversal é obtida a partir da Equação 4-37:

( 4-37 )

O valor da tensão fywd é limitado a 435 MPa. Adota-se o ângulo de inclinação da armadura transversal igual a 90º e o ângulo de inclinação das diagonais de concreto  é fixado como sendo igual a 45º, conforme indica a norma para o caso do Modelo I. Assim, é possível obter um valor para a área de armadura transversal Asw, distribuída de acordo com o espaçamento s.

A taxa mínima de armadura transversal para vigas sw é definida, segundo a ABNT NBR 6118:2014, pela Equação 4-38:

( 4-38 )

Quanto ao valor do espaçamento s entre os estribos, deve ser adotado um valor mínimo suficiente que permita a passagem de um vibrador, garantindo bom adensamento da massa. O espaçamento s máximo deve ser adotado conforme indicado pela equações 4-39 e 4-40:

Se VSd ≤ 0,67 . VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 30 cm ( 4-39 ) Se VSd > 0,67 . VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 20 cm ( 4-40 )

4.1.1.4 Torção

No dimensionamento à torção, a norma ABNT NBR 6118:2014 estabelece as condições limitantes do valor do momento de torção solicitante de cálculo TSd. Essas condições são apresentadas nas equações 4-41, 4-42 e 4-43:

( 4-41 )

( 4-42 )

( 4-43 )

O momento resistente de cálculo à torção TRd2, que representa o limite de resistência das diagonais comprimidas de concreto, é dado pela Equação 4-44:

( 4-44 )

A espessura de parede equivalente he é dada pela razão (A / u), sendo A a área da seção transversal e u seu perímetro, enquanto a área equivalente Ae é limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada. Adota-se a inclinação das diagonais de concreto  igual a 45º.

O momento resistente de cálculo à torção TRd3, que representa o limite para a parcela resistida pelos estribos normais ao eixo da peça, é dado pela Equação 4-45:

( 4-45 )

A partir da Equação 4-45 obtém-se a armadura transversal de torção Asw. O momento resistente de cálculo à torção TRd4, que representa o limite para a parcela resistida pelas barras longitudinais, é dado pela Equação 4-46:

( 4-46 )

Essa equação relaciona a quantidade de armadura longitudinal Asl, distribuída ao longo do perímetro ue, com o momento de torção ao qual ela deve resistir.

A taxa mínima sl, de armadura longitudinal de torção, e a taxa mínima

sw, de armadura transversal de torção, são dadas segundo as equações 4-47 e 4-48: ( 4-47 ) ( 4-48 ) 4.1.1.5 Flexão e Torção

Em casos de flexo-torção, está previsto na norma ABNT NBR 6118:2014 que as armaduras calculadas para torção e flexão sejam somadas. Também está prevista a redução da armadura longitudinal de torção na zona comprimida em função dos esforços de compressão devidos à flexão ali atuantes. Essa redução ocorre na região delimitada pela espessura efetiva h no trecho comprimido u.

Quanto às armaduras transversais, a armadura transversal referente à flexão deve ser somada àquela referente à torção na região onde esses esforços atuam simultaneamente. A resistência à compressão diagonal do concreto deve satisfazer à Equação 4-49: ( 4-49 ) 4.1.1.6 Armadura de pele

É necessário adotar armadura de pele As,pele em vigas com altura de seção transversal maior do que 60 cm. Adota-se área igual a 0,10% da área da seção transversal em cada lateral da seção, sempre menor ou igual a 5 cm²/m. Adota-se aço CA-50 ou CA-60. As barras não podem estar espaçadas a mais de 20 cm, e devem estar devidamente ancoradas no apoio. A Figura 4.6 ilustra a distribuição da armadura de pele nas faces laterais de uma viga.

Figura 4.6 – Indicação da armadura de pele na seção transversal.

4.1.1.7 Combinações

A norma ABNT NBR 6118:2014 estabelece que a combinação última normal que representa o esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto armado é dada segundo a Equação 4-50:

( 4-50 )

O valor de cálculo das ações para combinação última é representado por Fd, a parcela Fgk representa as ações permanentes diretas; a parcela Fk representa as ações indiretas permanentes, como a retração Fgk e as ações indiretas variáveis como a temperatura Fqk; a parcela Fqk representa ações variáveis diretas das quais Fq1k é tomada como a ação variável principal.

Para o presente estudo, somente as ações Fgk e Fqk são consideradas. Os coeficientes de ponderação para ações permanentes diretas g e para ações variáveis diretas q são apresentados na Tabela 4.4, enquanto os fatores de combinação para as ações variáveis diretas ojconstam da Tabela 4.5

Tabela 4.4 – Valores dos coeficientes f Combinações de ações Permanentes (g) Variáveis (q) D F G T Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 Especiais ou de construção 1,3 1,0 1,2 1,0 Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 D – desfavorável G – geral F – favorável T – temperatura (Fonte: ABNT NBR 6118:2014)

Tabela 4.5 – Valores do fator de combinação o

Ações oj

Cargas acidentais de

edifícios

Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempos, nem de elevadas concentrações de pessoas

0,5 Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempos, ou de elevada concentração de pessoas

0,7 Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual

local 0,6

(Fonte: ABNT NBR 6118:2014)

4.1.2 Procedimento de dimensionamento: norma ACI 318-14

No documento Análise de procedimentos para dimensionamento de vigas de concreto armado sob flexão normal composta e torção simultâneas (páginas 58-69)