Preparação para o ENA 2021 Lista 11

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Preparação para o ENA 2021

Lista 11

Paulo Rodrigues

www.cadernosdematematica.com.br

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Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat

Conteúdo

Neste arquivo:

▶ Soluções completas da Lista 9 ▶ Respostas e dicas para a Lista 10 ▶ Problemas da Lista 11

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Lista 09

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Respostas das Questões da Lista 09

46 47 48 49 50 Desafio

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Tabuleiro 1

× 4

(46) De quantos modos podemos pintar um tabuleiro 1× 4 se dispomos de três cores e casa vizinhas devem ter cores diferentes?

(a) 16 (b) 24 (c) 36 (d) 48 (e) 81

Sugestões e Fatos que ajudam: Utilize o Princípio Multiplicativo.

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Solução – Tabuleiro 1

× 4

Solução:

3 2 2 2

Podemos pintar a primeira casa de 3 modos distintos, a segunda de 2 modos, a terceira de 2 modos e a quarta de 2 modos. Portanto, a resposta é 3× 2 × 2 × 2 = 24.

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Pontos na Circunferência

(47) Oito pontos estão dispostos sobre uma circunferência, como mostrado abaixo.

Quantos segmentos de reta diferentes estes pontos determinam?

(a) 20 (b) 24 (c) 28 (d) 32 (e) 36

Sugestões e Fatos que ajudam:

Conte os segmentos que partem de cada ponto e some os resultados. Você pode fazer isso de duas maneiras: (1) contando somente os novos segmentos OU (2) contando novamente os segmentos já contados. Neste caso, você deve fazer uma correção ao final.

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Solução – Pontos na Circunferência

Solução: 1 2 3 4 5 6 7 8

Numeremos os pontos de 1 a 8. Existem 7 seg-mentos que partem do ponto 1. Considerando o ponto 2, temos 6 “novos” segmentos que

par-tem deste ponto. Continuando assim, teremos um total de 7+6+5+· · ·+2+1 = 28 segmentos.

Segunda Solução: Para determinar um

seg-mento de reta precisamos escolher dois pontos. O primeiro pode ser escolhido de 8 modos e o se-gundo de 7 modos, dando um total de 8×7 = 56

escolhas. Porém, como o segmento BA é igual ao segmento AB, cada segmento foi contado duas vezes neste raciocínio. Assim, a resposta é 8× 7/2 = 28.

Terceira Solução: O número de segmentos é

(₈

2

)

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USAMO

(48) Usando as letras A, M, O, S e U, podemos formar “palavras”de cinco letras. Se essas “palavras” estiverem organizadas em ordem alfabética, a “palavra” USAMO ocupará a posição

(a) 112 (b) 113 (c) 114 (d) 115 (e) 116

Quantas palavras começam com A? Quantas palavras começam com US? E quantos palavras começam com USA?

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Solução – USAMO

Solução:

Quantas palavras começam com A? A resposta é 4! = 24, porque este é o número de maneiras de permutar as outras quatro letas. Analoga-mente temos 24 palavras começadas com cada uma das outras letras.

A palavra USAMO está no bloco das 24 últimas. Este bloco começa com as palavras começadas em UA que têm 3! = 6 palavras. Depois apare-cem os blocos iniciados em UM e UO e até aí já temos 4× 24 + 3 × 6 = 114. USAMO é a

pri-meira palavra do bloco iniciado em US de modo

que sua posição é a de número 115. Inicial Quant. Palavras

A 24 1 a 24 M 24 25 a 48 O 24 49 a 72 S 24 73 a 96 UA 6 97 a 102 UM 6 103 a 108 UO 6 109 a 114 USAMO 1 115

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Montando Hambúrgueres

(49) Uma lanchonete oferece seus hambúrgueres com os seguintes condimentos: ket-chup, mostarda, maionese, tomate, alface, picles, queijo e cebola. O cliente pode escolher um, dois ou três hambúrgueres de carne e qualquer coleção de condimentos. Quantos tipos diferentes de hambúrguer podem ser pedidos?

(a) 24 (b) 256 (c) 768 (d) 40320 (e) 120960

De quantos modos podemos escolher os condimentos? Observe que a quantidade de condimentos a ser escolhida varia de 0 a 8.

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Solução – Montando Hambúrgueres

Solução: De quantos modos podemos escolher os condimentos? Podemos escolher qualquer quantidade de condimentos do conjunto

C ={ketchup, mostarda, maionese, tomate, alface, picles, queijo, cebola}

Então o número de modos de escolher os condimentos é igual ao número de subconjuntos de

C, que é 28_{. Já os hambúrgueres podemos escolher de 3 modos, escolhendo um, dois ou três. A}

resposta para o problema é, então

28_{× 3 = 768.}

Observação: Podemos raciocinar isoladamente para cada condimento, pensando que temos duas

possibilidades (colocá-lo ou não). Deste modo, teremos 2× 2 × · · · × 2

| {z }

8 vezes

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Múltiplos de 3 sem o algarismo 3

(50) Quantos inteiros ímpares positivos de 3 dígitos são divisíveis por 3, mas não contêm o dígito 3?

(a) 96 (b) 97 (c) 98 (d) 102 (e) 120

Escolha primeiro o algarismo das unidades, depois o das centenas e por último o das dezenas. Utilize o princípio multiplicativo.

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Solução – Múltiplos de 3 sem o algarismo 3

Solução: Existem 4 escolhas para o algarismo das unidades (1, 5, 7, 9) e 8 escolhas para o das centenas (exclui 0 e 3).

Lembremos que um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Sa-bemos qual é o resto da divisão por 3 da soma dos dois primeiros algarismos escolhidos e então determinamos as possíveis escolhas para este conforme a tabela.

Resto Escolhas para o das dezenas:

0 {0, 6, 9}

1 {2, 5, 8}

2 {1, 4, 7}

Em cada caso existem três possíveis escolhas e a resposta é, então, 4· 8 · 3 = 96.

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Desafio 10

A figura mostra dois quadrados. Determine a área sombreada.

(16)

Sugestão

Calcule a área sombreada como soma das áreas dos quadrados e do triângulo retângulo menos a área do triângulo obtusângulo. Use lei dos cossenos.

(17)

Solução:

6

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Respostas das Questões da Lista 10

51 52 53 54 55 Desafio

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Algarismos Ímpares

(51) Quantos números naturais de três algarismos possuem a propriedade que os alga-rismos não se repetem e são todos ímpares?

(a) 48 (b) 60 (c) 80 (d) 120 (e) 125

Utilize o Princípio Multiplicativo. De quantos modos podemos escolher o algarismo das centenas? Escolhido o das centenas, de quantos modos podemos escolher os das dezenas?

(20)

Pontos na Circunferência II

(52) Oito pontos estão dispostos sobre uma circunferência, como mostrado abaixo.

Quantos triângulos diferentes estes pontos determinam?

(a) 28 (b) 32 (c) 48 (d) 56 (e) 64

O problema é equivalente a determinar o número de subconjuntos de três elementos do conjunto{1, 2, . . . , 8}.

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Futebol no PROFMAT

(53) Seis equipes (Álgebra, Bissetriz, Combinatória, Diferenciais, Equações e Funções) participam do campeonato de futebol do PROFMAT. De quantos modos diferentes os or-ganizadores podem definir os três confrontos da primeira rodada?

(a) 6 (b) 15 (c) 16 (d) 105 (e) 720

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Peças

(54) As peças da figura 1 são feitas de quadradinhos de cartolina rosa de um lado e branca do outro. A figura 3 mostra uma maneira de encaixar essas peças com o lado cinza para cima nos quatro quadrados da figura 2. De quantas maneiras diferentes é possível fazer isso?

FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3

1 2

3 4

1 2

3 4

Observe que as peças podem ser colocadas de 2 ou 4 maneiras em cada casa.

(23)

Formiguinha

(55) Para fazer um percurso do ponto P ao ponto Q da figura, uma formiguinha deve andar sobre os segmentos horizontais sempre para a direita e nunca passar duas vezes por um mesmo segmento vertical. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer esse percurso?

P

Q

(a) 3 (b) 10 (c) 20 (d) 1024 (e) 1536

(24)

Desafio

Um ponto P é escolhido no interior de△ABC de forma que quando retas são traçadas através de P paralelas aos lados de△ABC, os triângulos menores resultantes t1, t2, e t3

na figura, têm áreas 4, 9 e 49, respectivamente. Encontre a área de△ABC.

B C

A t1 t2

(25)

Sugestão

(26)

Quarto colorido

(56) Andressa quer pintar as quatro paredes de seu quarto usando as cores azul, rosa, verde e branco, cada parede de uma cor diferente. Ela não quer que as paredes azul e rosa fiquem de frente uma para a outra. De quantas maneiras diferentes ela pode pintar seu quarto?

(27)

Formiguinha

(57) Uma formiguinha está no ponto A do quadriculado da figura e quer chegar ao ponto B passando pelo ponto R. Ela anda sobre os lados dos quadradinhos e apenas para a em linha direita ou para baixo. De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?

A

R

B

(28)

Média Aritmética

(58) Quantos números de três dígitos satisfazem a propriedade de que o dígito do meio é a média aritmética do primeiro e do último dígitos?

(29)

Jogo Justo

(59) Um jogador paga R$ 5, 00 para participar de um jogo. Um dado é lançado. Se o número no dado for ímpar, o jogo está perdido. Se o número no dado for par, o dado é lançado novamente. Neste caso, o jogador ganha se o segundo número coincidir com o primeiro e perde caso contrário. Quanto o jogador deve ganhar se o jogo for justo? (Em um jogo justo, a probabilidade de ganhar vezes o valor ganho é o que o jogador deve pagar.)

(30)

Menu de Sobremesas

(60) Um chefe de sobremesas prepara uma sobremesa para cada dia da semana, come-çando no domingo. A sobremesa de cada dia pode ser bolo, torta, sorvete ou pudim. A mesma sobremesa não pode ser servida em dois dias seguidos. Deve haver bolo na sexta por causa de um aniversário. Quantos menus de sobremesa diferentes são possíveis para a semana?

(31)

Desafio 12

O diâmetro AB de um círculo tem um comprimento inteiro de 2 dígitos (base dez). Inver-tendo os dígitos obtemos o comprimento do corda perpendicular CD. A distância do ponto de interseção H ao centro O é um número racional positivo. Determine o comprimento de AB.

A B

C