BIOLOGIA Resolução Resolução OBJETIVO 2005

B

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LL

LL

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1

Muitas gelatinas são extraídas de algas. Tais gelatinas são formadas a partir de polissacarídeos e processadas no complexo golgiense sendo, posteriormente, deposi-tadas nas paredes celulares.

a) Cite o processo e as organelas envolvidos na forma-ção desses polissacarídeos.

b) Considerando que a gelatina não é difundida através da membrana da célula, explique sucintamente co-mo ela atinge a parede celular.

Resolução

a) O cloroplasto sintetiza os açúcares durante o fenôme-no da fotossíntese. Os carboidratos saem do cloro-plasto e atingem o complexo golgiense através do retículo endoplasmático. No complexo golgiense são polimerizados até a formação dos polissacarídeos. b) O sistema golgiense empacota os polissacarídeos e

os elimina através de vesículas de secreção que per-correm o citoplasma até alcançar a parede celular.

2

É consenso na Ciência que a vida surgiu e se diversifi-cou na água e, somente depois, os organismos con-quistaram o ambiente terrestre. Considere os se-guintes grupos de animais: poríferos, moluscos, anelí-deos, artrópodes e cordados. Considere os seguintes grupos de plantas: algas verdes, briófitas, pteridófitas, gimnospermas e angiospermas.

a) Quais deles já existiam antes da conquista do am-biente terrestre?

b) Cite duas adaptações que permitiram às plantas a conquista do ambiente terrestre.

Resolução

a) Todos os grupos animais citados possuíam represen-tantes no meio aquático antes da conquista do ambiente terrestre. Entre os vegetais, existiam ape-nas as algas verdes.

b) Entre as adaptações encontradas nas plantas para a conquista do meio terrestre, tem-se:

– desenvolvimento da cutícula e estômatos; – aparecimento do tecido vascular;

– independência de água para a fecundação com o surgimento do tubo polínico.

3

Agentes de saúde pretendem fornecer um curso para moradores em áreas com alta ocorrência de tênias (Taenia solium) e esquistossomos (Schistosoma mansoni). A idéia é prevenir a população das doenças causadas por esses organismos.

a) Em qual das duas situações é necessário alertar a população para o perigo do contágio direto, pessoa-a-pessoa? Justifique.

b) Cite duas medidas – uma para cada doença – que dependem de infra-estrutura criada pelo poder públi-co para preveni-las.

Resolução

a) É necessário alertar a população quanto à Taenia solium. O indivíduo com teníase, ao eliminar fezes, pode expelir ovos que, ingeridos por outra pessoa, levam à cisticercose.

b) O saneamento básico pode prevenir as duas doenças. A fiscalização sanitária da carne previne a teníase.

4

Parte da bile produzida pelo nosso organismo não é reabsorvida na digestão. Ela se liga às fibras vegetais ingeridas na alimentação e é eliminada pelas fezes. Recomenda-se uma dieta rica em fibras para pessoas com altos níveis de colesterol no sangue.

a) Onde a bile é produzida e onde ela é reabsorvida em nosso organismo?

b) Qual é a relação que existe entre a dieta rica em fi-bras e a diminuição dos níveis de colesterol no orga-nismo? Justifique.

Resolução

a) A bile é produzida no fígado e reabsorvida no intes-tino delgado.

b) A dieta rica em fibras reduz os níveis de colesterol no organismo, porque as fibras vegetais, não digeridas, carregam estes lipídios que são eliminados pelas fezes.

5

Um exemplo clássico de alelos múltiplos é o sistema de grupos sangüíneos humano, em que o alelo IA_{, que} codifica para o antígeno A, é codominante sobre o alelo IB_{, que codifica para o antígeno B. Ambos os alelos são} dominantes sobre o alelo i, que não codifica para qual-quer antígeno. Dois tipos de soros, anti-A e anti-B, são necessários para a identificação dos quatro grupos san-güíneos: A, B, AB e O.

a) Copie a tabela no caderno de respostas e complete com os genótipos e as reações antigênicas (repre-sente com os sinais + e –) dos grupos sangüíneos indicados.

b) Embora 3 alelos distintos determinem os grupos sangüíneos ABO humanos, por que cada indivíduo é portador de somente dois alelos?

Resolução a)

b) Porque os genes alelos ocupam o mesmo lócus em um par de cromossomos homólogos.

6

Uma fita de DNA tem a seguinte seqüência de bases 5’ATGCGT3’.

a) Considerando que tenha ocorrido a ação da DNA-polimerase, qual será a seqüência de bases da fita complementar?

b) Se a fita complementar for usada durante a transcri-ção, qual será a seqüência de bases do RNA resul-tante e que nome recebe esse RNA se ele traduzir para síntese de proteínas?

Resolução

a) A enzima DNA polimerase realiza a catálise da seguinte cadeia complementar à seqüência molde: 3’TACGCA5’.

b) O RNA mensageiro produzido pela cadeia de DNA complementar apresentará a seqüência 5’AUGCGU3’.

Grupos sangüíneos fenótipos Reação com AB O Anti-A Anti-B Genótipos + + – – I IA B ii Grupos sangüíneos fenótipos Reação com AB O Anti-A Anti-B Genótipos

7

Leia os dois trechos de uma reportagem. Trecho 1:

(...) a represa Guarapiranga está infestada por diferen-tes tipos de plantas. A mudança da paisagem é um sinal do desequilíbrio ecológico causado principalmente por esgotos nãotratados que chegam ao local.

Trecho 2:

O gerente da qualidade de águas da Cetesb (...) esteve na represa ontem e mediu a concentração de oxigênio em 9,4 mm/l. O normal seria ter uma concentração en-tre 7mm/l e 7,5mm/l, e a máxima deveria ser de 8 mm/l. (Folha de S.Paulo, 05.08.2005.) Explique:

a) a associação que existe entre o aumento de plantas e o esgoto não-tratado que chega ao local.

b) o aumento da concentração de oxigênio na água. Resolução

a) O esgoto não tratado é lançado nas águas, onde sofre decomposição, levando à eutrofização. Os nutrientes minerais formados no processo são os adubos necessários para a proliferação das algas do fitoplâncton.

b) As algas realizam intensa fotossíntese e liberam o O₂ na água.

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C

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8

Extratos de muitas plantas são indicadores naturais ácido-base, isto é, apresentam colorações diferentes de acordo com o meio em que se encontram. Utilizando-se o extrato de repolho roxo como indicador, foram testadas soluções aquosas de HCl, NaOH, NaOCl, NaHCO₃ e NH₄Cl, de mesma concentração. Os resultados são apresentados na tabela

a) Identifique as soluções X e Y. Justifique.

b) Calcule, a 25°C, o pH da solução de NaOCl 0,04 mol/L. Considere que, a 25°C, a constante de hidrólise do íon ClO–é 2,5 x 10–7.

Resolução

a) X: NH₄Cl: caráter ácido (sal de ácido forte e base fraca)

NH 4

+_{+ H}

2O ←→ NH3+ H3O+

Y: NaHCO₃: caráter básico (sal de ácido fraco e base forte) HCO₃–+ H₂O _←→ H₂CO₃+ OH– b) 0,04 – x ≅0,04 K_h = 2,5 . 10–7₌ x2_{= 10}–8 _{∴ x = 10}–4_mol/L pOH = 4 e pH = 10 x2 –––––––– 0,04 [HClO] [OH–_] –––––––––––– [OCl–] 0 x x 0 x x –––– –––– –––– 0,04 x 0,04 – x início reage e forma equilíbrio

OCl–+ HOH →_← HClO + OH– COLORAÇÃO vermelha verde vermelha verde verde SOLUÇÃO HCl NaOH X Y NaOCl

9

Estudos cinéticos da reação entre os gases NO₂ e CO na formação dos gases NO e CO₂ revelaram que o processo ocorre em duas etapas:

I. NO₂(g) + NO₂(g) →NO(g) + NO₃(g) II. NO₃(g) + CO(g) →NO₂(g) + CO₂(g)

O diagrama de energia da reação está esquematizado a seguir.

a) Apresente a equação global da reação e a equação da velocidade da reação que ocorre experimental-mente.

b) Verifique e justifique se cada afirmação a seguir é verdadeira:

I. a reação em estudo absorve calor;

II. a adição de um catalisador, quando o equilíbrio é atingido, aumenta a quantidade de gás carbônico. Resolução a) I) NO₂(g) + NO₂(g) →NO(g) + NO₃(g) II) NO₃(g) + CO(g) →NO₂(g) + CO₂(g) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– equação NO₂(g) + CO(g) →NO(g) + CO₂(g) global

A equação de velocidade é tirada da etapa lenta (I): v = k [NO₂]2

b) I. errada: libera calor, reação exotérmica

II. errada: catalisador não desloca equilíbrio, portan-to, não altera a quantidade de CO₂.

10

Existem diferentes formas pelas quais a água pode fazer parte da composição dos sólidos, resultando nu-ma grande variedade de substâncias encontradas na natureza que contêm água ou elementos que a for-mam. A água de estrutura é denominada de água de hidratação, que difere muito da água de absorção ou adsorção. A água de constituição é uma forma de água em sólidos, que é formada quando estes se de-compõem pela ação de calor.

a) O NaHCO₃ e Ca(OH)₂ são sólidos que apresentam água de constituição. Escreva as equações, devi-damente balanceadas, que evidenciam essa afirma-ção, sabendo-se que na decomposição do bicar-bonato de sódio é produzido um óxido de caráter ácido.

b) No tratamento pós-operatório, um medicamento usado para estimular a cicatrização é o sulfato de zinco hidratado, ZnSO₄·xH₂O. A análise desse sólido indicou 43,9% em massa de água. Determine neste composto o número de moléculas de água por fór-mula unitária.

Dadas massas molares (g/mol): ZnSO₄= 161,5 e H₂O = 18,0. Resolução a) 2NaHCO₃ → Na₂CO₃+ CO₂+ H₂O óxido ácido Ca(OH)₂ → CaO + H₂O b) ZnSO₄ xH₂O 161,5 g –––––––––––––––– x . 18g 56,1g –––––––––––––––– 43,9g x = 7

11

Devido aos atentados terroristas ocorridos em Nova Iorque, Madri e Londres, os Estados Unidos e países da Europa têm aumentado o controle quanto à venda e produção de compostos explosivos que possam ser usados na confecção de bombas. Dentre os compostos químicos explosivos, a nitroglicerina é um dos mais conhecidos. É um líquido à temperatura ambiente, altamente sensível a qualquer vibração, decompondo-se de acordo com a equação:

2 C₃H₅(NO₃)₃(l) → 3 N₂(g) + 1/2 O₂(g) + 6 CO₂(g) + 5 H₂O(g)

Considerando-se uma amostra de 4,54g de nitrogli-cerina, massa molar 227g/mol, contida em um frasco fechado com volume total de 100,0mL:

a) calcule a entalpia envolvida na explosão. Dados:

b) calcule a pressão máxima no interior do frasco antes de seu rompimento, considerando-se que a temperatura atinge 127°C.

Dado: R = 0,082 atm.L.K–1 _{. mol}–1_. Resolução

a) 2C₃H₅(NO₃)₃(l) →3N₂(g) + 1/2O₂(g) + 6CO₂(g) + 5H₂O(g)

2(– 364 kJ) 0kJ 0kJ 6(–394kJ) 5(–242kJ) ∆H = ∑ ∆H_fprodutos – ∑ ∆H_freagentes ∆H = – 2364kJ – 1210kJ + 728kJ ∆H = – 2846kJ liberam 2 . 227g ––––––––– 2846kJ 4,54g ––––––––– x x = 28,46kJ b) 2 . 227g –––––––––– 14,5 mol 4,54g –––––––––– x x = 0,145 mol PV = nRT P 0,1L = 0,145 mol 0,082 . 400K P = 47,6 atm atm . L ––––––– mol . K ∆H° formação (kJ/mol) – 364 – 394 – 242 Substância C₃H₅(NO₃)₃(l) CO₂(g) H₂O(g)

12

Na preparação de churrasco, o aroma agradável que desperta o apetite dos apreciadores de carne deve-se a uma substância muito volátil que se forma no processo de aquecimento da gordura animal.

(R, R’ e R’’: cadeias de hidrocarbonetos com mais de 10 átomos de carbono.)

Esta substância é composta apenas por carbono, hi-drogênio e oxigênio. Quando 0,5 mol desta substância sofre combustão completa, forma-se um mol de moléculas de água. Nesse composto, as razões de massas entre C e H e entre O e H são, respectiva-mente, 9 e 4.

a) Calcule a massa molar desta substância.

b) A gordura animal pode ser transformada em sabão por meio da reação com hidróxido de sódio. Apre-sente a equação dessa reação e o seu respectivo nome.

Dadas massas molares (g/mol): C = 12, H = 1 e O = 16. Resolução

a) A substância é formada apenas por CHO. C_xH_yO_z

1/2C_xH_yO_z+ O₂ →1H₂O + outros produtos Para esta reação estar balanceada em relação ao H, o composto original terá 4 átomos de H (y = 4). Como:

= 9 = 9 m_C= 36

Como cada átomo de C tem massa atômica igual a 12u, temos 3 átomos de C (x = 3) e

= 4 = 4 m_O= 16

Como cada átomo de O tem massa atômica igual a 16u, temos 1 átomo de O (z = 1),

logo a fórmula é C₃H₄O M = (3 . 12 + 4 . 1 + 1 . 16)g/mol = 56g/mol m_O –––– 4 m_O –––– m_H m_C –––– 4 m_C –––– m_H

b) A reação da gordura com NaOH é a reação de sa-ponificação:

13

As mudanças de hábitos alimentares e o sedentarismo têm levado a um aumento da massa corporal média da população, o que pode ser observado em faixas etárias que se iniciam na infância. O consumo de produtos light e diet tem crescido muito nas últimas décadas e o adoçante artificial mais amplamente utilizado é o aspartame. O aspartame é o éster metílico de um dipeptídeo, formado a partir da fenilalanina e do ácido aspártico.

a) Com base na estrutura do aspartame, forneça a estrutura do dipeptídeo fenilalanina-fenilalanina. b) Para se preparar uma solução de um alfa aminoácido,

como a glicina (NH₂—CH₂—COOH), dispõe-se dos solventes H₂O e benzeno. Justifique qual desses solventes é o mais adequado para preparar a solução.

Resolução a)

b) O solvente mais adequado é a água (polar), pois a glicina é também polar.

FF

FF

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S

S

S

S

II

II

C

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C

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A

A

A

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14

Um projétil de massa m = 0,10 kg é lançado do solo com velocidade de 100 m/s, em um instante t = 0, em uma direção que forma 53° com a horizontal. Admita que a resistência do ar seja desprezível e adote g = 10 m/s2_.

a) Utilizando um referencial cartesiano com a origem localizada no ponto de lançamento, qual a abscissa x e a ordenada y da posição desse projétil no instante t = 12 s?

Dados: sen 53° = 0,80; cos 53°= 0,60.

b) Copie no caderno de respostas este pequeno trecho da trajetória do projétil:

Desenhe no ponto O, onde está representada a ve-locidade →v do projétil, a força resultante F que nele→ atua. Qual o módulo dessa força?

Resolução a) 1) V 0x= V0cos 53° = 100 . 0,60(m/s) = 60m/s V_0y= V₀ sen 53° = 100 . 0,80 (m/s) = 80m/s 2) x = x₀+ V_xt (MU) x₁= 0 + 60 . 12 (m) ⇒ 3) y = y₀+ V 0yt + t2(MUV) y₁= 0 + 80 . 12 – (12)2_(m) y₁= 960 – 720 (m) ⇒ b)

A força resultante é o peso do projétil.

→ y₁= 240m 10 ––– 2 γ_y ––– 2 x₁= 720m

15

Um pescador está em um barco em repouso em um lago de águas tranqüilas. A massa do pescador é de 70 kg; a massa do barco e demais equipamentos nele contidos é de 180 kg.

a) Suponha que o pescador esteja em pé e dê um passo para a proa (dianteira do barco). O que acontece com o barco? Justifique.

(Desconsidere possíveis movimentos oscilatórios e o atrito viscoso entre o barco e a água.)

b) Em um determinado instante, com o barco em repouso em relação à água, o pescador resolve deslocar seu barco para frente com uma única remada. Suponha que o módulo da força média exercida pelos remos sobre a água, para trás, seja de 250 N e o intervalo de tempo em que os remos interagem com a água seja de 2,0 segundos. Admitindo desprezível o atrito entre o barco e a água, qual a velocidade do barco em relação à água ao final desses 2,0 s?

Resolução

a) Quando o pescador caminha para frente, o barco desloca-se para trás. Podemos justificar pela lei da ação e reação ou pela conservação da quantidade de movimento em um sistema isolado:

Q→_final = Q→_inicial Q→_H+ Q→_B= 0→

Quando o pescador pára o barco também pára. b) Pela lei da ação e reação, a água aplica no remo uma

força para frente com a mesma intensidade de 250N. Aplicando-se o teorema do impulso:

I

→

= ∆Q→ F_m . ∆t = m V_f 250 . 2,0 = 250 V_f

Respostas: a) O barco vai para trás e quando o pescador pára o barco também pára b) 2,0m/s

V_f = 2,0 m/s Q→_B = –Q→_H

16

A figura reproduz o esquema da montagem feita por Robert Boyle para estabelecer a lei dos gases para transformações isotérmicas. Boyle colocou no tubo uma certa quantidade de mercúrio, até aprisionar um determinado volume de ar no ramo fechado, e igualou os níveis dos dois ramos. Em seguida, passou a acrescentar mais mercúrio no ramo aberto e a medir, no outro ramo, o volume do ar aprisionado (em unidades arbitrárias) e a correspondente pressão pelo desnível da coluna de mercúrio, em polegadas de mercúrio. Na tabela, estão alguns dos dados por ele obtidos, de acordo com a sua publicação New Experiments Physico-Mechanicall, Touching the Spring of Air, and its Effects, de 1662.

(http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/history/)

a) Todos os resultados obtidos por Boyle, com uma pequena aproximação, confirmaram a sua lei. Que resultados foram esses? Justifique.

p x V 1 398 1 413 1 414 1 412 1 406 1 411 pressão (pole-gadas de mercúrio) 29–– 16 2 35–– 16 5 44–– 16 3 58–– 16 13 87–– 16 14 117–– 16 9 volume (unidade arbitrária) 48 40 32 24 16 12

a) O produto da pressão do ar pelo correspondente volume permanece constante. Isso se verifica quando a temperatura permanece constante. Os dados experimentais revelam um produto pV pra-ticamente constante com valor médio de 1409 uni-dades.

b) p = d_Hg. g . h + p₀

Para V = 24un. arb., tem-se p = 58–– 16

13 _{pol de Hg, o} que corresponde a uma coluna de altura 1,5m. p = 14 . 103_{. 10 . 1,5 + 1,0 . 10}5_(Pa)

Respostas: a) produto pV constante. b) 3,1 . 105_Pa

17

Um estudante observa que, com uma das duas lentes iguais de seus óculos, consegue projetar sobre o tampo da sua carteira a imagem de uma lâmpada fluorescente localizada acima da lente, no teto da sala. Sabe-se que a distância da lâmpada à lente é de 1,8 m e desta ao tampo da carteira é de 0,36 m.

a) Qual a distância focal dessa lente?

b) Qual o provável defeito de visão desse estudante? Justifique. Resolução a) p = 1,8m; p’ = 0,36m Equação de Gauss: = + = + ⇒ = f = (m) ⇒

b) A lente utilizada pelo estudante é convergente, já que a um objeto real, conjuga uma imagem também real, projetada sobre o tampo da sua carteira. Por isso, o provável defeito visual do rapaz é hiperme-tropia. Respostas: a) 30cm b) hipermetropia f = 0,30m = 30cm 1,8 ––– 6,0 1,0 + 5,0 ––––––––––– 1,8 1 ––– f 1 –––– 0,36 1 ––– 1,8 1 ––– f 1 ––– p’ 1 ––– p 1 ––– f

18

Quando colocamos uma concha junto ao ouvido, ouvimos um “ruído de mar”, como muita gente diz, talvez imaginando que a concha pudesse ser um gravador natural. Na verdade, esse som é produzido por qualquer cavidade colocada junto ao ouvido – a nossa própria mão em forma de concha ou um canudo, por exemplo.

a) Qual a verdadeira origem desse som? Justifique. b) Se a cavidade for um canudo de 0,30 m aberto nas

duas extremidades, qual a freqüência predominante desse som?

Dados: velocidade do som no ar: v = 330 m/s; freqüência de ondas estacionárias em um tubo de comprimento ᐉ, aberto em ambas as extremidades: f = .

Resolução

a) O som mencionado é proveniente da reflexão dos sons do ambiente nas cavidades existentes dentro da concha, que se comporta como um tubo sonoro fechado. Dentro da concha pode ocorrer interferência entre o som refletido e o som inciden-te, o que, para certas freqüências, pode determinar a formação de ondas estacionárias.

b) A freqüência predominante é a fundamental, cuja onda estacionária correspondente está esque-matizada abaixo:

Sendo f₁= , vem:

f₁= (Hz)⇒

Respostas: a) reflexão do som ambiente b) 550Hz F₁= 550Hz 330 ––––––– 2 . 0,30 1V ––– 2ᐉ nv ––– 2ᐉ

19

Para demonstrar a interação entre condutores percor-ridos por correntes elétricas, um professor estende paralelamente dois fios de níquel-cromo de 2,0 mm de diâmetro e comprimento ᐉ = 10 m cada um, como in-dica o circuito seguinte.

a) Sendo ρ_Ni-Cr = 1,5 x 10–6 _{Ω·m a resistividade do} níquel-cromo, qual a resistência equivalente a esse par de fios paralelos? (Adote π= 3.)

b) Sendo i = 2,0 A a leitura do amperímetro A, qual a força de interação entre esses fios, sabendo que estão separados pela distância d = 2,0 cm? (Con-sidere desprezíveis as resistências dos demais elementos do circuito.)

Dada a constante de permeabilidade magnética: µ₀= 4πx10–7_T·m/A.

Resolução

a) Cada fio tem resistência elétrica R, em que:

R = 5,0Ω

O par de fios em paralelo tem resistência: R_eq= ⇒

b) Em cada fio, passa uma corrente de intensidade: 1,0A. Sendo: B = e F = B . I . ᐉ F = ––––––––µ . I2. ᐉ 2πd µ . I ––––– 2πd R_eq= 2,5Ω R ––– 2 ᐉ 10 R = ρ . ––– = 1,5 . 10–6_{. –––––––––––––– Ω} A 3 . (1,0 . 10–2₎2 A = π. r2

{

Os fios se atraem com uma força de intensidade F, perpendicular a ambos os fios, conforme a figura abaixo.

Respostas: a) 2,5Ω

b) 1,0 . 10– 4_N F = 1,0 . 10–4_N

M

M

M

M

A

A

A

A

TT

TT

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E

M

M

M

M

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Á

TT

TT

II

II

C

C

C

C

A

A

A

A

20

A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relação

p(t) = 100 – 15t + 0,5t2_.

a) Considerando que p deve ser uma função decres-cente variando de 0 a 100, determine a variação correspondente do tempo t (domínio da função). b) A cultura não é segura para ser usada se tiver mais

de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de exposição que resulta em uma cultura segura. Resolução

O gráfico da função definida por p(t) = 100 – 15t + 0,5t2 é

a) p deve ser uma função decrescente, de 100 a 0 e, portanto, t varia de 0 a 10. b) 0,5t2 _{– 15t + 100 = 28 ⇔t}2_{– 30t + 144 = 0 ⇔} ⇔t = ⇔ t = 6 (pois t ≤10) Respostas: a) 0 ≤t ≤10 b) t = 6 30 ± 18 –––––––– 2

21

Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma

f(t) = A + B sen (t – 105) , com o argumento medido em radianos.

a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas.

b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio.

Resolução

a) Como y varia de 9,6 a 14,4, temos:

|B | = = 2,4 e

– 2,4 + A = 9,6 ⇔A = 12 b) Como A = 12 e |B | = 2,4, temos:

f(t) = 12 ± 2,4 . sen (t – 105)

A função f assume o seu valor médio quando sen (t – 105) = 0 ⇔

⇔ (t – 105) = n . π, n ∈⺪⇔

⇔t = 105 + 90 . n; n ∈⺪

Para n = – 1, temos: t = 105 + 90 . (– 1) = 15 que é o menor valor positivo para o qual f assume seu valor médio. Respostas: a) A = 12 e B = ±2,4 b) t = 15 π –––– 90

冥

冤

冥

冤

冥

冤

22

Uma droga na corrente sangüínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q₀ miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q₀(0,64)t _{miligramas. Determine:}

a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora.

b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade.

Utilize log

102 = 0,30. Resolução

a) A porcentagem de droga eliminada pelos rins em 1 hora é dada por:

= =

= 1 – 0,64 = 0,36 = 36%

b) A quantidade inicial da droga fica reduzida à metade quando Q₀(0,64)t= . Q₀⇒(26. 10– 2)t= 2–1⇔ ⇔log₁₀(26_{. 10}–2₎t_{= log} 102–1⇒ ⇒t[6 . log 102 – 2 . log1010] = – 1 . log102 ⇒ ⇒t[6 . 0,30 – 2 . 1] = – 0,30⇒t = ⇒ ⇒ t = 1,5 hora Respostas: a) 36% b) 1,5 hora – 0,30 ––––––– – 0,20 1 ––– 2 Q₀(0,64)t– Q₀(0,64)t + 1 ––––––––––––––––––––––– Q₀(0,64)t Q(t) – Q(t + 1) –––––––––––––– Q(t)

23

Considere a equação x3 _{– Ax}2_{+ Bx – C = 0, onde A, B} e C são constantes reais. Admita essas constantes escolhidas de modo que as três raízes da equação são as três dimensões, em centímetros, de um parale-lepípedo reto-retângulo. Dado que o volume desse paralelepípedo é 9 cm3_{, que a soma das áreas de todas} as faces é 27 cm2e que a soma dos comprimentos de todas as arestas é 26 cm, pede-se:

a) os valores de A, B e C.

b) a medida de uma diagonal (interna) do paralele-pípedo.

Resolução

Sejam p, q e r as três dimensões do paralelepípedo reto retângulo e raízes da equação x3 – Ax2+ Bx – C = 0. a) O volume do paralelepípedo é dado por

V = p . q . r = 9 cm3

A soma das áreas de todas as faces é dada por S_total = 2 (pq + pr + qr) = 27 cm2

A soma dos comprimentos de todas as arestas é dada por 4p + 4q + 4r = 26 cm

Das relações de Girard, conclui-se: p + q + r = A = cm = cm

pq + pr + qr = B = cm2 pqr = C = 9 cm3

b) A diagonal interna d, em centímetros, é tal que d2_{= p}2_{+ q}2_{+ r}2_{= (p + q + r)}2_{– 2 (pq + pr + qr) =} = 2 – 2 = – 27 = ⇔ ⇔ d = Respostas: a) A = cm, B = cm2 _{e C = 9 cm}3 b) d =

兹苵苵苵

兹苵苵苵

)

(

)

(

24

Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um plano horizontal projeta uma sombra de 10 metros, a partir do ponto B em que esta apoiada ao solo, como indica a figura.

Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz, BD um segmento que passa por C, perpendicular à sombra BA, e admitindo A, B, C, D e T coplanares:

a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são semelhantes.

b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do ângulo BÂD é .

Resolução

a) Os triângulos ABD e CTD são semelhantes pelo critério (AA~), pois AB^D ≅CT^D (ângulos retos) e D^é ângulo comum

b) tg BA^D = = ⇒ = ⇒BD = 5 m

No triângulo ABD, temos:

(AD)2_{= (10 m)}2_{+ (5 m)}2_{⇒ AD = 5}

兹苵苵

Sendo R a medida do raio da esfera, da semelhança dos triângulos ABD e CTD, temos:

= ⇒ = ⇔ ⇔R = 10 (

兹苵苵

兹苵苵

25

Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, sabe-se que a probabilidade de A ocorrer é p(A) = ,

e que a probabilidade de B ocorrer é p(B) = . Seja p = p(A 傽 B) a probabilidade de ocorrerem A e B. a) Obtenha os valores mínimo e máximo possíveis para

p.

b) Se p = , e dado que A tenha ocorrido, qual é a probabilidade de ter ocorrido B?

Resolução 1) p(A) = , p(B) = 2) p(B) < p(A) ⇒ p(A 傽 B) ≤p(B) ⇒ p ≤ 3) p(A) + p(B) – p(A 傽 B) ≤1 ⇒ ⇒ + – p ≤1 ⇔p ≥ 4) p(B/A) = = =

Respostas: a) o mínimo valor de p é e

o máximo é b) p(B/A) = –––7 9 2 ––– 3 5 ––– 12 7 ––– 9 7 ––– 12 –––––– 3 ––– 4 p(A 傽 B) ––––––––– p(A) 5 ––– 12 2 ––– 3 3 ––– 4 2 ––– 3 2 ––– 3 3 ––– 4 7 ––– 12 2 ––– 3 3 ––– 4