UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ a CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

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DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

RAIMUNDO NONATO RODRIGUES DA CUNHA

IMERS ˜OES ISOM´ETRICAS E O TEOREMA DE

TAKAHASHI

FORTALEZA 2014

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IMERS ˜OES ISOM´ETRICAS E O TEOREMA DE TAKAHASHI

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática do Departamento de Ma-temática da Universidade Federal do Ceará, como parte dos requisitos ne-cessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática. Area de con-´ centra¸cão: Geometria.

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros

FORTALEZA 2014

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de Matemática C98i Cunha, Raimundo Nonato Rodrigues da

Imersões isométricas e o teorema de Takahashi / Raimundo Nonato Rodrigues da Cunha. – 2014. 57 f. : enc. ; 31 cm

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2014.

Área de Concentração: Geometria Diferencial Orientação: Prof. Dr. Abdênago Alves de Barros.

1. Geometria diferencial. 2. Subvariedades mínimas. 3. Polinômios. I. Título.

(4)

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Dedico este trabalho `a minha fam´ılia, espe-cialmente, minha m˜ae Francisca e meu pai Antonio.

”A grandeza de um ser humano não está no quanto ele sabe, mas no quanto ele tem consciência que não sabe.”Augusto Cury

(6)

Inicialmente, agrade¸co a Deus por ter sido a for¸ca, para enfrentar os obst´aculos e concedendo-me a oportunidade de concluir este trabalho.

`

A minha fam´ılia por estar ao meu lado em todos os momentos, especialmente meu primo Jos´e Rodrigues meu principal exemplo de pessoa e profissional e minha m˜ae Francisca pelo seu amor incondicional.

Aos meus amigos, em especial ao meu irmão Antonio Wilson, Rondinelle Batista, Kel-son , Kelton , Edvalter Senna, Valdir Ferreira, Damião Júnior, C´ıcero Tiarlos, Francisco Chaves, Leandro Pessoa, com os quais pude e posso contar em todos os momentos. Aos meus amigos , que conheci no in´ıcio da gradua¸cão e ainda tenho o privélio de tê-los em meu ciclo de amizade.

Também agrade¸co aos meus colegas de pós-gradua¸cão em matamática da UFC, Adriano Medeiros, Airton, Davi Ribeiro, Diego Sousa, Disson, Elaine, Janielly, João Francisco, João Nunes, João Vitor, Rafael Diógenes, Rafael Eufrazio, Robério, Selene, Wanderlley Silva e a todos os outros que, direta ou indiretamente, estiveram comigo ao longo desta caminhada.

Não poderia deixar de agradecer aos professores Barnabé Lima e Paulo Alexandre, que me incentivaram a tentar fazer Mestrado em Matemática.

Um agradecimento especial ao professor Ernani Ribeiro por me incentivar a persistir nos momentos dif´ıceis e também pela ajuda que me deu a todo momento. Agrade¸co também ao professor Abdênago Barros pela compreensão e paciência durante a parte final da elabora¸cão deste trabalho e também pela orienta¸cão. Agrade¸co ainda aos professores Gregório Pacelli e Rondinelle Batista por aceitarem participar da banca.

`

A Andrea e à Jéssyca pela competência e agilidade. `

A Rocilda pela disponibilidade de sempre. Ao CNPQ pelo apoio financeiro.

`

(7)

O objetivo desse trabalho é apresentar o laplaciano de polinômios restrito à esfera canônica Sn. Com isso, veremos que a superf´ıcie de Veronese, onde suas coordenadas são polinômios harmônicos homogˆ_{eneos de grau 2, pode ser minimamente imersa em S}4_{. Al´}_{em disso,}

apre-sentarmos as fórmulas fundamentais das imersões isométricas. Em particular, a equa¸cão de Gauss, que envolve as curvaturas da subvariedade e do ambiente onde está imersa. Desse modo, temos que o operador forma da esfera Sn _´_{e igual a menos a identidade.}

Para finalizar, daremos uma prova detalhada do teorema de Takahashi, que caracteriza imers˜oes m´ınimas na esfera. Isso nos leva a pensar sobre a minimalidade do toro de Clif-ford generalizado imerso na esfera.

(8)

The objective of this paper is to present the Laplacian of the canonical polynomials sphere Sn. Thus, we see that the Veronese surface, where its coordinates are polynomials har-monic homogeneous of degree 2, can be minimally immersed in S4_{. Moreover, presenting}

the fundamental equations of Isometric immersions. In particular, the equation Gauss, which involves curvatures of the submanifold and the environment where it submerged. Thus, we have tha operator form of the sphere Sn _{is equal to minus the identity. Finally,}

we give a detailed proof of the theorem of Takahashi, featuring minimal immersions in the sphere. This leads us to think about the minimality of the Clifford torus generalized immersed in the sphere.

(9)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 9

2 PRELIMINARES . . . 11

2.1 M´etricas, variedades e conex˜oes riemannianas . . . 11

2.2 Operadores diferenciais . . . 12

2.3 Tensores e curvaturas . . . 22

3 EQUAÇ ÕES FUNDAMENTAIS DAS IMERS ÕES . . . 25

4 POLIN ˆOMIOS RESTRITO `A ESFERA E O TEOREMA DE TA-KAHASHI . . . 34

4.1 Polinˆomios restrito `a esfera . . . 34

4.2 Prova do teorema 4.1 . . . 46

4.3 O Teorema de Takahashi . . . 48

5 CONCLUS ˜AO . . . 56

(10)

1 INTRODUC¸ ˜AO

Este trabalho se concentra no estudo de subvariedades m´ınimas, um tópico central no estudo de geometria diferencial. Especificamente, apresentamos o laplaciano de polinômios restritos à esfera canˆ_{onica S}n _{destacando tamb´}_{em o teorema de Takahashi.}

Nosso objetivo neste trabalho ´e lidar com imers˜_{oes m´ınimas em S}n _{usando polinˆ}_{omios em}

Rn+1 restritos `a esfera Sn.

No cap´ıtulo 1 introduzimos as nota¸c˜oes e os resultados preliminares que utilizaremos nos demais cap´ıtulos.

No cap´ıtulo 2 apresentaremos as equa¸cões fundamentais da teoria de imersões isométricas, ou seja, as equa¸cões de Gauss, Codazzi e de Ricci, que nas variedades com curvatura sec-cional constante, desempenham um papel semelhante ao das equa¸cões de compatibilidade na teoria local das superf´ıcies, generalizando estes conceitos.

No terceiro cap´ıtulo iremos calcular o laplaciano do polinˆomios restritos `_{a esfera S}n _⊂

Rn+1. Para isto, consideremos i = (i1, . . . , in+1) um multindice, isto ´e, cada componente

ik∈ Z+, onde Z+ denota o conjunto dos n´umeros inteiros n˜ao negativos. Dado um vetor

x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 e um multindice i ∈ Zn+1, formamos o monˆomio xi pondo

xi _{= x}i1 1 · · · x

in+1

n+1. Denotando ai = ai1...in+1 e µ = |i| = i1 + · · · + in+1 temos, com esta

nota¸c˜ao, que um polinˆ_{omio de grau m em R}n+1 ´e escrito da forma P (x) = X

µ≤m

aixi.

Com isto, provaremos o seguinte resultado.

Teorema 1.1 Seja P : Rn+1 → R um polinômio e p sua restri¸cão à esfera Sn_{. Suponha}

que P (x) =P

µ≤maixi. Ent˜ao, temos

∆p = −X µ≤m µ(n + µ − 1)aixi+ ∆0P, onde ∆0 =Pn+1_k=1 ∂ 2 ∂x2 k denota o laplaciano em R n+1_.

Ainda neste cap´ıtulo, também iremos apresentar um resultado obtido por Takahashi , que nos fornece uma caracteriza¸cão geral de imersões m´ınimas ϕ : Mn _{→ S}n+k_.

Teorema 1.2 (Takahashi). Se ϕ : Mn _{→ S}n+k é uma imersão isométrica, então ∆Mϕ + nϕ = n

− → H ,

(11)

onde ∆Mϕ = (∆Mϕ1, . . . , ∆Mϕn+k+1) se ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn+k+1) e

− →

H é o vetor curvatura média de Mn. Em particular, ϕ é uma imersão m´ınima se, e somente se,

∆Mϕ + nϕ = 0.

Como aplica¸cão destes resultados mostraremos que a superf´ıcie de Veronese está minima-mente imersa em S4. Além disso, veremos que com certas condi¸cões o toro de Clifford generalizado ´_{e m´ınimo em S}n.

(12)

Neste cap´ıtulo será apresentada uma breve revisão de alguns conceitos básicos de Geome-tria Riemanniana, e também alguns resultados importantes que serão utilizados no texto. Em alguns resultados serão omitidas as demonstra¸cões. Para maiores detalhes veja as seguintes referências [2], [4], [6] e [9].

2.1 M´etricas, variedades e conex˜oes riemannianas

Seja Mn_{uma variedade diferenci´}_{avel de dimens˜}_{ao n. Definimos uma m´}_{etrica Riemanniana}

da seguinte maneira.

Defini¸c˜ao 2.1 Uma m´etrica Riemanniana g, sobre Mn_{, ´}_{e uma aplica¸}_c˜_{ao diferenci´}_avel

g, definida sobre Mn, tal que, para cada p ∈ Mn, tem-se que g(p) ´e um produto interno definido em TpM .

Defini¸c˜ao 2.2 Um par (Mn_{, h., .i) chama-se uma variedade Riemanniana de dimens˜}_{ao n,}

em que Mn _´_{e uma variedade diferenci´}_{avel de dimens˜}_{ao n e h., .i ´}_{e a m´}_{etrica Riemanniana}

sobre Mn_.

Um ingrediente fundamental em uma variedade riemanniana ´e a seguinte.

Defini¸cão 2.3 Uma conexão afim em uma variedade diferenciável M , é uma aplica¸cão ∇ : X(M ) × X(M ) → X(M )

(X, Y ) 7→ ∇XY

que possui as seguintes propriedades: (1) ∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇YZ,

(2) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ,

(3) ∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y,

onde X, Y, Z ∈ X(M ) e f, g ∈ C∞(M ).

Agora podemos definir o que vem a ser conex˜ao Riemanniana.

Defini¸cão 2.4 Dizemos que ∇ é uma conexão Riemanniana (ou de Levi-Civita) quando for uma conexão afim satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi,

(ii) ∇XY − ∇YX = [X, Y ],

(13)

2.2 Operadores diferenciais

Seja (Mn_{, h., .i) uma variedade Riemanniana n-dimensional com m´}_{etrica h., .i e conex˜}_ao

de Levi-Civita ∇. Denotaremos por X(M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e por C∞(M ) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C∞ em M .

Defini¸cão 2.5 Seja f : Mn _{→ R uma fun¸cão suave. O gradiente de f é o campo vetorial}

suave ∇f , definido em M por

h ∇f, X i = X(f ), (1)

para todo X ∈ X(M ).

Um c´alculo direto mostra que se f, g ∈ C∞(M ), ent˜ao: (a) ∇ (f + g) = ∇f + ∇g,

(b) ∇ (f g) = f ∇g + g∇f .

Observa¸c˜ao 2.1 Dado p ∈ M , existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p e n campos de vetores E1, . . . , En ∈ X(M ), ortonormais em cada ponto de U. Uma tal fam´ılia {E1, . . . , En} de

campos de vetores é chamada um referencial ortonormal móvel. Além disso, os campos Ei podem ser tomados de tal forma que, em p, (∇EiEj) (p) = 0, ∀ i, j = 1, . . . , n. Neste

caso, dizemos que o referencial ´e geod´esico em p. Para mais detalhes veja [6].

Proposi¸c˜ao 2.1 Seja Mn _{uma Variedade Riemanniana de dimens˜}_{ao n e f ∈ C}∞_{(M ).}

Seja {E1, . . . , En} um referencial ortonormal em uma vizinhan¸ca aberta U ⊂ M . Ent˜ao,

em U , temos ∇f = n X i=1 Ei(f )Ei. (2)

Al´em disso, o segundo membro da igualdade acima independe do referencial escolhido. Prova : Primeiramente, seja X =Pn

i=1aiEi um campo qualquer em U , temos

X(f ) = n X i=1 aiEi(f ) = * _n X i=1 aiEi, n X j=1 Ej(f )Ej + = * X, n X j=1 Ej(f )Ej + .

Portanto, usando a defini¸c˜ao de gradiente temos que

∇f =

n

X

j=1

(14)

Por outro lado, se { eE1, . . . , eEn} for outro referencial ortonormal em U , com eEj =

Pn

i=1aijEj

em U , ent˜ao a matriz (aij(p))_n×n ´e ortogonal em todo ponto p ∈ U e neste caso teremos n X j=1 e Ej(f ) eEj = n X j=1 n X k=1 akjEk ! (f ) n X l=1 aljEl ! = n X j=1 n X k,l=1 akjaljEk(f )El = n X k,l=1 δklEk(f )El= n X k=1 Ek(f )Ek,

o que finaliza a prova da proposi¸c˜ao.

Agora, utilizando um sistema de coordenadas locais obtemos a seguinte proposi¸cão. Proposi¸cão 2.2 Se f : Mn _{→ R é uma fun¸cão suave e U ⊂ M é uma vizinhan¸ca} coordenada, com campos coordenados ∂1, . . . , ∂n, então o gradiente de f é dado em U por

∇f = n X i,j=1 (gij∂jf )∂i. (3) Em particular, |∇f |2 = n X i,j=1 gij∂jf ∂if. Prova : De fato, se ∇f =Pn i=1ai∂i, ent˜ao ∂jf = h∇f, ∂ji = * _n X k=1 ak∂k, ∂j + = n X k=1 akh∂k, ∂ji = n X k=1 akgkj.

Deste modo, temos

n X j=1 gij∂jf = n X j,k=1 akgkjgij = n X k=1 akδik = ai. Portanto, ∇f = n X i=1 n X j=1 gij∂jf ! ∂i = n X i,j=1 gij∂jf ∂i.

(15)

Em particular, temos |∇f |2 = * _n X i,j=1 gij∂jf ∂i, n X k,l=1 gkl∂lf ∂k + = n X i,j,k,l=1 gij∂jf gkl∂lf gik = n X i,j,l=1 gij∂jf ∂lf δil = n X i,j=1 gij∂if ∂jf,

o que finaliza a prova da proposi¸c˜ao.

A seguir, apresentaremos a defini¸cão e algumas propriedades do operador divergente. Defini¸cão 2.6 Seja X um campo vetorial suave em M . A divergência de X é uma fun¸cão suave divX : M → R, dada por

(divX)(p) = tr{v 7→ (∇vX)(p)}, (4)

onde v ∈ TpM e tr denota o tra¸co do operador linear entre chaves em p ∈ M .

Decorre da defini¸c˜ao que se X, Y ∈ X(M ) e f ∈ C∞(M ), ent˜ao (i) div(X + Y ) = divX + divY.

(ii) div(f X) = f divX + h∇f, Xi.

Al´em disso, em um referencial ortonormal podemos escrever o divergente de um campo da seguinte forma.

Proposi¸c˜ao 2.3 Seja X um campo vetorial suave em Mn e {E1, . . . , En} um referencial

ortonormal em uma vizinhan¸ca aberta U ⊂ M . Se X =Pn

i=1aiEi em U , ent˜ao divX = n X i=1 [Ei(ai) − h∇EiEi, Xi] . (5)

Em particular, se o referencial for geod´esico em p ∈ U , ent˜ao temos

divX =

n

X

i=1

Ei(ai)(p).

Prova : Usando defini¸c˜ao de divergˆencia de um campo vetorial obtemos

divX = n X i=1 h∇EiX, Eii = n X i=1 [EihX, Eii − hX, ∇EiEii] .

(16)

Por outro lado, note que EihX, Eii = Ei * _n X j=1 ajEj, Ei + = Ei n X j=1 ajhEj, Eii = Ei(ai). Portanto, divX = n X i=1 [Ei(ai) − h∇EiEi, Xi] .

Em particular, se o referencial for geod´esico em p ∈ U , ent˜ao ∇EiEi(p) = 0 e neste caso

teremos divX = n X i=1 Ei(ai)(p),

como quer´ıamos demonstrar.

Para obter a express˜ao do divergente em um sistema de coordenadas arbitr´ario, comecemos com o seguinte lema.

Lema 2.1 Seja B : Rn _{→ R}n _{um operador linear e sim´}_{etrico e {v}

1, . . . , vn} uma base qualquer do Rn_{. Ent˜}_ao trB = n X k,l=1 gklhBvk, vli ,

onde gkl _´_{e a matriz inversa da matriz g} kl.

Prova : Dada uma base {v1, . . . , vn} do Rn ponhamos

ei = n

X

k=1

aikvk, (6)

onde i = 1, . . . , n e {ei}ni=1 ´e uma base ortonormal do Rn. Observemos que

δij = hei, eji = * _n X k=1 aikvk, n X l=1 ajlvl + = n X k,l=1 aikhvk, vli ajl. (7)

Logo definindo a matriz G = (gij) = (hvi, vji), a equa¸c˜ao acima nos diz que

I = AGAt= AGtAt,

em que I e Bt _{denotam respectivamente a matriz identidade e a transposta de B, donde}

conclu´ımos que

(17)

Fazendo G−1 = (gij_{) podemos reescrever a ´}_{ultima rela¸c˜}_{ao da seguinte forma} gij = n X k,l=1 aikalj. (8)

Agora calculemos trB na base {v1, . . . , vn}. Como trB =Pn_i=1hBei, eii, temos que

trB = n X i=1 hBei, eii = n X i=1 * B n X k=1 akivk ! , n X l=1 alivl + = n X i=1 n X k,l=1 akialihBvk, vli , ou seja, trB = n X k,l=1 n X i=1 akiali ! hBvk, vli = n X k,l=1 gklhBvk, vli ,

assim provamos o lema.

Lema 2.2 Seja X um campo vetorial sobre Mn _{e U ⊂ M uma vizinhan¸}_{ca coordenada}

com campos coordenados ∂1, . . . , ∂n. Se X for dado em U por X =

Pn

i ai∂i, ent˜ao a

divergˆencia de X ´e dada em U por

divX = n X i=1 " ∂i(ai) + X k=1 akΓiik # , (9) onde os Γk

ij s˜ao os s´ımbolos de Christoffel da m´etrica de M em U.

Prova : Veja que

∇∂iX = ∇∂i n X k=1 ak∂k ! = n X k=1 [∂i(ak)∂k+ ak∇∂i∂k] = n X k=1 " ∂i(ak)∂k+ ak n X j=1 Γj_ik∂j # = n X k=1 ∂i(ak)∂k+ n X k,j=1 akΓjik∂j = n X j=1 " ∂i(aj) + X k=1 akΓj_ik # ∂j.

(18)

Como o tra¸co de um operador ´e dado pelo Lema (2.1) temos que divX = tr (∇vX) = n X i,l=1 gilh∇∂iX, ∂li = n X i,l=1 gil * _n X j=1 " ∂i(aj) + X k=1 akΓjik # ∂j, ∂l + = n X i,j,l=1 gilh∂j, ∂li " ∂i(aj) + X k=1 akΓjik # = n X i,j,l=1 gilgjl " ∂i(aj) + X k=1 akΓj_ik # = n X i,j=1 n X l=1 gilgjl ! " ∂i(aj) + X k=1 akΓjik # = n X i,j=1 δij " ∂i(aj) + X k=1 akΓj_ik # = n X i=1 " ∂i(ai) + X k=1 akΓiik # ,

portanto, conclu´ımos o lema.

Proposi¸c˜ao 2.4 Seja X um campo vetorial suave em Mn _{e U ⊂ M uma vizinhan¸}_ca

coordenada com campos coordenados ∂1, . . . , ∂n. Se X for dado em U por X =

Pn i ai∂i,

então a divergência de X é dada em U por

divX = √1 g n X j=1 ∂j(aj √ g) , (10) onde g = det(gij).

Prova : Primeiramente, notemos que

Γj_ji = 1 2 n X k=1 [∂i(gjk) + ∂j(gki) − ∂k(gij)] gki = 1 2 n X k=1 ∂i(gjk)gki+ ∂j(gki)gki− ∂k(gij)gki = 1 2 n X k=1 ∂j(gik)gki. (11) Observe que ∂j(aj √ g) = ∂j(aj) √ g + aj 2√g∂j(g).

(19)

Como ∂j(g) = tr ∂j(gik)gik g = g n X i,k=1 ∂j(gik)gik, temos ∂j(aj √ g) = " ∂j(aj) √ g + aj √ g 2 n X i,k=1 ∂j(gik)gik # = √g " ∂j(aj) + aj 2 n X i,k=1 ∂j(gik)gik # . (12)

Usando o Lema 2.2 e (11) temos que

divX = n X j=1 " ∂j(aj) + X i=1 aiΓjji # = n X j=1 " ∂j(aj) + n X i=1 ai 1 2 n X k=1 ∂j(gik)gki !# = n X j=1 ∂j(aj) + n X i,j,k=1 ai 2∂j(gik)g ki ₌ n X j=1 " ∂j(aj) + aj 2 n X i,k=1 ∂j(gik)gki # .

Agora usando (12), temos que

divX = √1 g n X j=1 ∂j(aj √ g) , concluindo o desejado.

Iremos agora definir o hessiano de uma fun¸c˜ao e destacar uma importante propriedade que este operador possui.

Defini¸cão 2.7 Seja f : Mn _{→ R uma fun¸cão suave. O hessiano de f em p ∈ M é o}

operador linear (Hessf )p : TpM → TpM , definido por

(Hessf )pv = ∇v∇f , v ∈ TpM. (13)

Podemos considerar Hessf como um tensor de ordem 2 em Mn _{tal que para cada par de}

campos X, Y ∈ X(M ) tem-se

Hessf (X, Y ) = h(Hessf )X, Y i = h∇X∇f, Y i.

Proposi¸c˜ao 2.5 Se f : Mn _→

R é uma fun¸cão suave e p ∈ M , então Hessf : TpM → TpM é um operador linear auto-adjunto.

(20)

Prova : De fato, se v, w ∈ TpM e V, W s˜ao extens˜oes de v e w respectivamente, a campos

definidos em uma vizinhan¸ca de p ∈ M , ent˜ao h(Hessf )p(v), wi = h∇V∇f, W ip = (V h∇f, W i) (p) − h∇f, ∇VW ip = (V (W f )) (p) − h∇f, ∇WV + [V, W ]ip = (W (V f )) (p) + ([V, W ]f ) (p) − h∇f, ∇WV + [V, W ]i_p = (W (V f )) (p) − h∇f, ∇WV i_p = h(Hessf )p(w), vi,

o que prova o desejado.

Vamos destacar agora a defini¸c˜ao do laplaciano de uma fun¸c˜ao.

Defini¸cão 2.8 Seja f : Mn_{→ R uma fun¸cão suave. O laplaciano de f é a fun¸cão suave} ∆f : Mn _{→ R dada por}

∆f = div(∇f ). (14)

Além disso, em um referencial ortonormal temos a seguinte expressão. Proposi¸cão 2.6 Seja f : Mn _{→ R uma fun¸cão suave e {E}

1, . . . , En} um referencial

ortonormal em um aberto U ⊂ M . Ent˜ao o laplaciano de f ´e dado em U por

∆f =

n

X

i=1

[Ei(Ei(f )) − (∇EiEi) f ] . (15)

Em particular, se o referencial for geod´esico, teremos

∆f = n X i=1 Ei(Ei(f )). Prova : Como ∇f = Pn i=1Ei(f )Ei em U e divX = Pn

i=1[Ei(ai) − h∇EiEi, Xi], ent˜ao

pela defini¸c˜ao de laplaciano, temos que

∆f = div(∇f ) = n X i=1 [Ei(ai) − h∇EiEi, ∇f i] = n X i=1 [Ei(Ei(f )) − (∇EiEi) f ] .

O que finaliza a prova.

A expressão do laplaciano em um sistema de coordenadas locais é dada pela proposi¸cão a seguir.

(21)

coordenada com campos coordenados ∂1, . . . , ∂n, ent˜ao o laplaciano de f ´e dado em U por ∆f = √1 g n X i,j=1 ∂i gij √ g∂jf , (16) onde g = det(gij). Prova : Seja ∇f =Pn i=1ai∂i, com ai = Pn j=1g ij_∂

jf . Segue-se da Proposi¸c˜ao 2.4 que

∆f = div (∇f ) = √1 g n X i ∂i( √ gai) = √1 g n X i ∂i √ g n X j=1 gij∂jf ! = √1 g n X i,j ∂i gij √ g∂jf ,

o que finaliza a prova.

Em particular, obtemos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 2.9 Se f : Mn_{→ R é uma fun¸cão suave, então}

∆f = tr{Hessf }. (17)

Proposi¸cão 2.8 Sejam f1, . . . , fm fun¸cões diferenciáveis definidas na variedade M . Então

a fun¸c˜ao produto

m

Y

i=1

fi = f1· · · fm satisfaz `as seguintes rela¸c˜oes:

(a)∇(f1· · · fm) = m X i=1 f1· · · fm∇fi (b)∆(f1· · · fm) = m X i=1 f1· · · fm∆fi+ 2 X 1≤i<j≤m h∇fi, ∇fji f1· · · ˆfi· · · ˆfj· · · fm.

Prova : Para o item (a), temos

∇(f1· · · fm) = n X i,j=1 gij∂j(f1· · · fm)∂i = n X i,j=1 gij[(∂jf1)f2· · · fm+ · · · + (∂jfm)f1· · · fm−1] ∂i = n X i,j=1 gij∂jf1(f2· · · fm)∂i+ · · · + m X i,j=1 gij∂jfm(f1· · · fm−1)∂i = (∇f1) (f2· · · fm) + · · · + (∇fm) (f1· · · fm−1) = m X i=1 f1· · · fm∇fi.

(22)

No item (b), temos ∆(f1· · · fm) = 1 √ g n X i,j=1 ∂igij √ g∂j(f1· · · fm) = √1 g n X i,j=1 ∂igij √ g (∂jf1(f2· · · fm) + · · · + ∂jfm(f1· · · fm−1)) .

Distribuindo as somas, temos

∆(f1· · · fm) = 1 √ g n X i,j=1 ∂igij √ g(∂jf1)(f2· · · fm) + · · · + √1 g n X i,j=1 ∂igij √ g(∂jfm)(f1· · · fm−1) .

Derivando estes termos pela regra do produto obtemos

∆(f1· · · fm) = 1 √ g n X i,j=1 ∂igij √ g∂jf1 (f2· · · fm) + √1 g n X i,j=1 gij√g(∂jf1)∂i(f2· · · fm) + · · · + √1 g n X i,j=1 ∂igij √ g∂jfm (f1· · · fm−1) + √1 g n X i,j=1 gij√g(∂jfm)∂i(f1· · · fm−1).

Note que no primeiro e penúltimo termos já apareceram expressões do laplaciano. Can-celando√g nessas expressões, teremos

∆(f1· · · fm) = (∆f1)(f2· · · fm) + n X i,j=1 gij(∂jf1)∂i(f2· · · fm) + · · · + (∆fm)(f1· · · fm−1) + n X i,j=1 gij(∂jfm)∂i(f1· · · fm−1).

Derivando os termos restantes ir˜ao aparecer os produto internos dos gradientes produzindo a express˜ao abaixo. ∆(f1· · · fm) = (∆f1)(f2· · · fm) + · · · + (∆fm)(f1· · · fm−1) + + n X i,j=1 gij(∂jf1)∂i(f2· · · fm) + · · · + n X i,j=1 gij(∂jfm)∂i(f1· · · fm−1).

(23)

Assim, teremos ∆(f1· · · fm) = m X i=1 f1· · · (∆fi) · · · fm+ 2 X 1≤i<j≤m h∇fi, ∇fji f1· · · ˆfi· · · ˆfj· · · fm,

conclu´ındo a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao.

O próximo resultado será uma consequência imediata da proposi¸cão anterior.

Corol´ario 2.1 Considerando fi = f , para i = 1, . . . , m na proposi¸c˜ao anterior temos as

seguintes express˜oes: (a) ∇(fm_{) = mf}m−1_∇f

(b) ∆fm = mfm−1∆f + m(m − 1)fm−2h∇f, ∇f i .

Prova : Para o item (a), segue do primeiro item da proposi¸c˜ao anterior que

∇(fm_{) = ∇} m z }| { (f · · · f ) = m X i=1 m−1 z }| { (f · · · f ) ∇f = mfm−1∇f.

No item (b), segue do segundo item da proposi¸c˜ao anterior que

∆(fm) = ∆ m z }| { (f · · · f ) = m X i=1 m−1 z }| { f · · · f ∆f + 2X m−2 z }| { f · · · f h∇f, ∇f i = mfm−1∆f + m(m − 1)fm−2h∇f, ∇f i,

provando o resultado desejado.

2.3 Tensores e curvaturas

Apresentaremos aqui apenas algumas defini¸c˜oes, propriedades de tensores e curvatura que ser˜ao utilizados neste trabalho. Para maiores detalhes veja [6].

A idéia de tensor é uma generaliza¸cão natural da idéia de campos de vetores e o ponto importante é que analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente.

(24)

multilinear

T : X(M ) × · · · × X(M ) → C∞(M ).

Ou seja, dados Y1, . . . , Yr ∈ X(M ), temos que T (Y1, . . . , Yr) é uma fun¸cão diferenciável

em M , e que T ´e linear em cada argumento, isto ´e,

T (Y1, . . . , f X + gY, . . . , Yr) = f T (Y1, . . . , X, . . . , Yr) + gT (Y1, . . . , Y, . . . , Yr),

para todo X, Y ∈ X(M ), f, g ∈ C∞(M ). ´

E poss´ıvel estender aos tensores a no¸c˜ao de derivada covariante. Desta forma, podemos definir a diferencial covariante da seguinte maneira.

Defini¸c˜ao 2.11 Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T ´e um tensor de ordem (r + 1) dado por

∇T (Y1, . . . , Yr, Z) = Z(T (Y1, . . . , Yr)) − T (∇ZY1, . . . , Yr) − · · · − T (Y1, . . . , Yr−1, ∇ZYr).

Para cada Z ∈ X(M ), a derivada covariante ∇ZT de T em rela¸c˜ao a Z ´e um tensor de

ordem r dado por

∇ZT (Y1, . . . , Yr) = ∇T (Y1, . . . , Yr, Z).

Apresentaremos, a seguir, uma defini¸c˜ao de curvatura que intuitivavente mede o quanto uma variedade Riemanniana deixa de ser Euclidiana.

Defini¸cão 2.12 A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência

que associa a cada par X, Y ∈ X(M ) uma aplica¸c˜ao

R(X, Y ) : X(M ) → X(M ) dada por

R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z, Z ∈ X(M ),

onde ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M .

Observa¸c˜_{ao 2.2 Se M = R}n, ent˜_{ao R(X, Y )Z = 0 para todos X, Y, Z ∈ X(R}n). De fato, dados X, Y, Z ∈ X(Rn_{), considere a base canˆ}_{onica {e}

1, . . . , en} do Rn e escreva X = n X i=1 Xiei, Y = n X i=1 Yiei e Z = n X i=1 Ziei. Ent˜ao, ∇YZ = ∇Y n X i=1 Ziei ! = n X i=1 Zi∇Yei+ n X i=1 Y (Zi)ei = n X i=1 Y (Zi)ei,

(25)

pois ei ´e um campo constante. Segue-se que ∇X∇YZ = ∇X ( _n X i=1 Y (Zi)ei ) = n X i=1 X(Y (Zi))ei. Analogamente, temos ∇Y∇XZ = n X i=1 Y (X(Zi))ei. Portanto, obtemos R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z = −∇[X,Y ]Z + ∇[X,Y ]Z = 0

O operador de curvatura est´a intimamente relacionado com a curvatura seccional. Vamos finalizar o cap´ıtulo com a defini¸c˜ao de curvatura seccional.

Defini¸c˜ao 2.13 Dado um ponto qualquer p ∈ M e um subespa¸co bi-dimensional σ ∈ TpM . Se {x, y} ´e uma base qualquer de σ, chamamos de cuvatura seccional de σ em p o

n´umero real

K(x, y) = hR(x, y)x, yi hx, xihy, yi − hx, yi2.

(26)

Neste cap´ıtulo apresentaremos as equa¸cões fundamentais da teoria de imersões isométricas entre variedades Riemannianas.

Defini¸cão 3.1 Sejam M e M variedades Riemannianas com métricas Riemannianas h·, ·iM e h·, ·iM, respectivamente. Dizemos que uma aplica¸cão ϕ : M → M é uma imersão

isom´etrica se

hdϕp(Xp), dϕp(Yp)i_M = hXp, Ypi_M

para todo p ∈ M e X, Y ∈ X(M ). ´

E importante destacar que, toda imersão isométrica é uma imersão e, como tal, é local-mente um mergulho. Portanto, podemos identificar p ∈ M com ϕ(p) ∈ M e denotaremos as métricas de M e M simplesmente por h·, ·i.

Agora, seja ϕ : Mn_{→ M}n+k _{uma imers˜}_{ao de uma variedade diferenci´}_{avel M em uma}

va-riedade Riemanniana M com m´etrica h·, ·i. Definindo, para cada p ∈ M e Xp, Yp ∈ TpM,

hXp, YpiM = hdϕp(Xp), dϕp(Yp)iM,

obtemos uma m´etrica em Mn_{, denominada a m´}_{etrica induzida pela imers˜}_{ao ϕ. Munindo}

Mn _{com tal m´}_{etrica tornamos ϕ automaticamente uma imers˜}_{ao isom´}_etrica.

Al´em disso, para cada p ∈ M , o produto interno de TpM induz uma decomposi¸c˜ao de

TpM na soma direta

TpM = TpM ⊕ (TpM )⊥,

onde (TpM )⊥ ´e o complemento ortogonal de TpM em TpM .

Denotemos por ∇ e∇ as conexões Riemannianas de M e M , respectivamente. Se X e Y são campos locais de vetores em M e X, Y são extensões locais a M , definimos

∇XY = (∇XY ) T_.

Esta é a conexão Riemanniana relativa à métrica induzida de M . Para mais detalhes veja [6].

Denotemos por X(U )⊥ o espa¸co dos campos diferenci´aveis em U de vetores normais a ϕ(U ) ≈ U . Portanto, temos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 3.2 Seja ϕ : M → M uma imersão. Dados campos locais X, Y ∈ X(U ), a aplica¸cão α : X(U ) × X(U ) → X(U )⊥ chamamos de segunda forma fundamental da imersão ϕ que é dada por

(27)

onde X e Y s˜ao extens˜oes locais de X e Y , respectivamente.

Proposi¸cão 3.1 A aplica¸cão α : X(U ) × X(U ) → X(U )⊥ é bilinear e simétrica, onde X, Y ∈ X(U ).

Prova : Pelas propriedades de linearidade de uma conex˜ao, conclui-se imediatamente que α ´e aditiva em X e Y , e que α(f X, Y ) = f α(X, Y ), para toda f ∈ C∞(U ).

De fato, sejam X, Y, Z, W ∈ X(U ) e f ∈ C∞(U ). Como ∇ e ∇ s˜ao conex˜oes, temos α(X, Z + W ) = ∇_X(Z + W ) − ∇X(Z + W )

= ∇_XZ + ∇_XW − ∇XZ − ∇XW

= ∇_XZ − ∇XZ + ∇XW − ∇XW

= α(X, Z) + α(X, W ),

logo, α ´e aditiva em X. Analogamente, temos que α(Z + W, Y ) = α(Z, Y ) + α(W, Y ). Portanto, conclu´ımos que α ´e aditiva em X e Y .

Agora, usando novamente que ∇ e ∇ s˜ao conex˜oes, temos

α(f X, Y ) =∇_{f X}Y − ∇f XY = f ∇XY − f ∇XY = f α(X, Y ).

Falta mostrar que α(X, f Y ) = f α(X, Y ) para f ∈ C∞(U ). Indicando por f uma extens˜ao de f a U , teremos

α(X, f Y ) = ∇_X(f Y ) − ∇X(f Y )

= f ∇_XY − f ∇XY + X(f )Y − X(f )Y,

como em M temos f = f e X(f ) = X(f ), conclu´ımos que as duas ´ultimas parcelas se anulam, donde α(X, f Y ) = f α(X, Y ), ou seja, α ´e bilinear.

Para mostrar que α é simétrica, usaremos a simetria da conexão Riemanniana, isto é, [X, Y ] = ∇XY − ∇YX e [X, Y ] = ∇XY − ∇YX. De fato,

α(X, Y ) = ∇_XY − ∇XY = ∇YX + [X, Y ] − ∇YX − [X, Y ],

uma vez que [X, Y ] = [X, Y ], ent˜ao α(X, Y ) = α(Y, X).

Corol´ario 3.1 Seja p ∈ M e η ∈ (TpM )⊥. A aplica¸c˜ao Hη : TpM × TpM → R dada por

Hη(X, Y ) = hα(X, Y ), ηi

(28)

Observe que à aplica¸cão bilinear Hη fica associada uma aplica¸cão linear auto-adjunta

Sη : TpM → TpM , `as vezes tamb´em denominada de segunda forma fundamental ou

operador de forma, dado por

hSηX, Y i = Hη(X, Y ) = hα(X, Y ), ηi, para todo X, Y ∈ TpM.

Para descrever explicitamente como podemos calcular o operador de forma apresentamos o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 3.2 Seja p ∈ M , x ∈ TpM e η ∈ TpM . Seja N uma extens˜ao local de η

normal a M . Ent˜ao

Sη(x) = −(∇xN )>.

Prova : Sejam x e y ∈ TpM e X, Y extens˜oes locais de x, y, respectivamente. Como

hN, Y i = 0, temos que 0 = XhN, Y i = h∇XY, N i + hY, ∇XN i, ou seja, h∇XY, N i = −hY, ∇XN i. Portanto, hSη(x), yi = hα(X, Y )(p), N i = h∇XY − ∇XY, N i(p)

= h∇XY, N i(p) = −hY, ∇XN i(p) = h−∇xN, yi

= h−(∇xN )>− (∇xN )N, yi = h−(∇xN )>, yi,

para todo y ∈ TpM . Logo,

Sη(x) = −(∇xN )>,

o que prova o resultado desejado.

Já a componente normal de∇Xη, denominada conexão normal ∇⊥ da imersão, é definida

da seguinte forma

∇⊥: X(M ) × X(M )⊥ → X(M )⊥ (X, η) 7→ ∇⊥_Xη = (∇Xη)N.

Explicitamente,

(29)

A igualdade acima é conhecida na literatura como a equa¸cão de Gauss. Esta conexão normal ∇⊥ possui as propriedades usuais de uma conexão, ou seja,

(1) ∇⊥_{f X+hY}η = f ∇⊥_Xη + h∇⊥_Yη, (2) ∇⊥_X(η + ξ) = ∇⊥_Xη + ∇⊥_Xξ,

(3) ∇⊥_X(f η) = f ∇⊥_Xη + X(f )η, f, h ∈ C∞(M ).

A proposi¸c˜ao a seguir relaciona, para campos em M , as componentes tangencial e normal do tensor curvatura de M com o tensor curvatura de M e a segunda forma fundamental da imers˜ao.

Proposi¸cão 3.3 (Equa¸cão de Gauss) Seja ϕ : M → M uma imersão isométrica e X, Y, Z ∈ X(M ), então

hR(X, Y )Z, T i = hR(X, Y )Z, T i − hα(Y, T ), α(X, Z)i + hα(X, T ), α(Y, Z)i.

Prova : Considere a equa¸c˜ao

R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z.

Tomando o produto interno desta equa¸c˜ao com T ∈ TpM qualquer, temos que

hR(X, Y )Z, T i =∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z, T .

Por outro lado, sabemos que

∇XY = ∇XY + α(X, Y ). (18)

Assim, obtemos

∇Y∇XZ = ∇Y∇XZ + α(Y, ∇XZ). (19)

Logo, usando (18), teremos

hR(X, Y )Z, T i = ∇Y (∇XZ + α(X, Z)) , T − ∇X(∇YZ + α(Y, Z)) , T + ∇[X,Y ]Z + α ([X, Y ], Z) , T = ∇Y∇XZ + ∇Yα(X, Z), T − ∇X∇YZ − ∇Xα(Y, Z), T + ∇[X,Y ]Z + α([X, Y ], Z), T ,

(30)

separando cada produto interno, obtemos

hR(X, Y )Z, T i = ∇Y∇XZ, T + ∇Yα(X, Z), T − ∇X∇YZ, T

− ∇Xα(Y, Z), T + ∇[X,Y ]Z, T + hα([X, Y ], Z), T i .

Agora, usando (19) e que ∇Yα(X, Z), T = − α(X, Z), ∇YT, temos

hR(X, Y )Z, T i = h∇Y∇XZ + α(Y, ∇XZ), T i −α(X, Z), ∇YT

− h∇X∇YZ + α(X, ∇YZ), T i +α(Y, Z), ∇XT

+ ∇[X,Y ]Z, T + hα([X, Y ], Z), T i .

Como α é normal, então o produto interno dele com T é zero. Portanto, a expressão acima fica hR(X, Y )Z, T i = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z, T − α(X, Z), ∇YT + α(Y, Z), ∇XT = hR(X, Y )Z, T i − hα(X, Z), ∇YT + α(Y, T )i + hα(Y, Z), ∇XT + α(X, T )i = hR(X, Y )Z, T i − hα(X, Z), α(Y, T )i + hα(Y, Z), α(X, T )i = hR(X, Y )Z, T i − hα(Y, T ), α(X, Z)i + hα(X, T ), α(Y, Z)i .

O que demonstra o resultado desejado.

Da equa¸c˜ao de Gauss decorre, como caso particular

K(x, y) − K(x, y) = hα(x, x), α(y, y)i − kα(x, y)k2.

No caso de hipersuperf´ıcie ϕ : Mn _{→ M}n+1 _{a f´}_{ormula acima admite uma express˜}_{ao mais}

simples. Sejam p ∈ M e η ∈ (TpM )⊥ tal que kηk = 1. Seja {e1, . . . , en} uma base

ortonormal de TpM na qual Sη seja diagonal, isto ´e, Sη(ei) = λiei, i = 1, . . . , n em que

λ1. . . , λn s˜ao os autovalores de S. Ent˜ao

H(ei, ei) = λi

e

(31)

Mas, α(X, Y ) ´e um m´ultiplo de η. Portanto, podemos escrever

K(ei, ej) − K(ei, ej) = hα(ei, ei), α(ej, ej)i − hα(ei, ej), α(ei, ej)i

= hα(ei, ei), hα(ej, ej), ηiηi − hα(ei, ej), hα(ei, ej), ηiηi

= hα(ei, ei), ηihα(ej, ej), ηi − hα(ei, ej), ηihα(ei, ej), ηi

= λiλj. (20)

A proposi¸cão a seguir nos fornece uma espécie de simetria da derivada da segunda forma fundamental da imersão.

Proposi¸cão 3.4 (Equa¸cão de Codazzi) Seja ϕ : M → M uma imersão isométrica. Se X, Y, Z ∈ X(M ) e η ∈ X(M )⊥, então hR(X, Y )Z, ηi = (∇Yα)(X, Z, η) − (∇Xα)(Y, Z, η). Prova : De (18), temos R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z = ∇Y∇XZ + ∇Yα(X, Z) − ∇X∇YZ − ∇Xα(Y, Z) + ∇[X,Y ]Z + α([X, Y ], Z). (21)

Fazendo o produto interno de (21) com η, temos

hR(X, Y )Z, ηi = h∇Y∇XZ + ∇Yα(X, Z) − ∇X∇YZ − ∇Xα(Y, Z)

+ ∇[X,Y ]Z + α([X, Y ], Z), ηi.

Agora, usando (19), obtemos

hR(X, Y )Z, ηi = h∇Y∇XZ + α(Y, ∇XZ) + ∇Yα(X, Z) − ∇Y∇XZ

− α(X, ∇YZ) − ∇Xα(Y, Z) + ∇[X,Y ]Z

+ α(∇XY − ∇YX, Z), ηi.

Juntando os campos tangentes, temos

hR(X, Y )Z, ηi = hR(X, Y )Z, ηi + hα(Y, ∇XZ) + ∇Yα(X, Z) − α(X, ∇YZ)

(32)

Como ∇Yα(X, Z) = ∇⊥Yα(X, Z)−Sα(X,Z)Y e hR(X, Y )Z, ηi = 0 ent˜ao a ´ultima igualdade

nos d´a

hR(X, Y )Z, ηi = hα(Y, ∇XZ), ηi + h∇⊥Yα(X, Z), ηi

− hα(X, ∇YZ), ηi − h∇⊥Xα(Y, Z), ηi

+ hα(∇XY, Z), ηi − hα(∇YX, Z), ηi. (22)

Assim, definindo a derivada covariante de um tensor α : X(M ) × X(M ) × X(M )⊥ → C∞(M ) por α(X, Y, η) = hα(X, Y ), ηi, (23) obtemos (∇Xα)(Y, Z, η) = X (α(Y, Z, η)) − α(∇XY, Z, η) − α(Y, ∇XZ, η) − α(Y, Z, ∇⊥Xη) = Xhα(Y, Z), ηi − α(∇XY, Z, η) − α(Y, ∇XZ, η) − α(Y, Z, ∇⊥Xη)

= h∇⊥_Xα(Y, Z), ηi + hα(Y, Z), ∇⊥_Xηi − α(∇XY, Z, η)

− α(Y, ∇XZ, η) − hα(Y, Z), ∇⊥Xηi

= h∇⊥_Xα(Y, Z), ηi − α(∇XY, Z, η)

− α(Y, ∇XZ, η). (24)

Da mesma forma, obtemos

(∇Yα)(X, Z, η) = h∇⊥Yα(X, Z), ηi − α(∇YX, Z, η) − α(X, ∇YZ, η). (25)

Portanto, da defini¸c˜ao (23) temos que a express˜ao (22) fica

hR(X, Y )Z, ηi = α(Y, ∇XZ, η) + h∇⊥Yα(X, Z), ηi − α(X, ∇YZ, η)

− h∇⊥_Xα(Y, Z), ηi + α(∇XY, Z, η) − α(∇YX, Z, η).

Finalmente, usando (24) e (25), obtemos

hR(X, Y )Z, ηi = h∇⊥_Yα(X, Z), ηi − α(∇YX, Z, η) − α(X, ∇YZ, η)

− h∇⊥

Xα(Y, Z), ηi − α(∇XY, Z, η) − α(Y, ∇XZ, η)

(33)

O que demonstra o resultado desejado. A proposi¸cão a seguir fornece a fórmula conhecida como Equa¸cão de Ricci.

Proposi¸cão 3.5 (Equa¸cão de Ricci) Seja ϕ : M → M uma imersão isométrica. Se X, Y ∈ X(M ) e η, ξ ∈ X(M )⊥, então

hR(X, Y )η, ξi − hR⊥(X, Y )η, ξi = h[Sη, Sξ]X, Y i,

onde [Sη, Sξ] indica o operador Sη◦ Sξ− Sξ◦ Sη.

Prova : Primeiramente, temos

∇⊥_Xη = ∇Xη + Sη(X). (26) Portanto, de (26) , obtemos ∇⊥_Yα(X, Z) = ∇Yα(X, Z) + Sα(X,Z)(Y ). (27) Usando (26), temos R(X, Y )η = ∇Y∇Xη − ∇X∇Yη + ∇[X,Y ]η = ∇Y(−SηX + ∇⊥Xη) − ∇X(−SηY + ∇⊥Yη) + ∇⊥_{[X,Y ]}η − Sη[X, Y ] = ∇Y(−SηX) + ∇Y∇⊥Xη − ∇X(−SηY ) − ∇X∇⊥Yη + ∇ ⊥ [X,Y ]η − Sη[X, Y ]. Por (18) e (26) , obtemos R(X, Y )η = α(Y, −SηX) + ∇Y(−SηX) − S∇⊥ XηY + ∇ ⊥ Y∇ ⊥ Xη − α(X, −SηY ) − ∇X(−SηY ) − h −S_∇⊥ YηX + ∇ ⊥ X∇ ⊥ Yη i + ∇⊥_{[X,Y ]}η − Sη[X, Y ]. Assim, como R⊥(X, Y )η = ∇⊥_Y∇⊥ Xη − ∇ ⊥ X∇ ⊥ Yη + ∇ ⊥ [X,Y ]η, temos R(X, Y )η = R⊥(X, Y )η + α(Y, −SηX) + ∇Y(−SηX) − S∇⊥ XηY − α(X, −SηY ) − ∇X(−SηY ) + S∇⊥ YηX − Sη[X, Y ] = R⊥(X, Y )η − S_∇⊥ XηY − ∇Y(SηX) − α(SηX, Y ) + S∇⊥ YηX + ∇X(SηY ) + α(X, SηY ) − Sη[X, Y ].

(34)

Tomando o produto interno com ξ ∈ X(M )⊥, obtemos hR(X, Y )η, ξi = hR⊥(X, Y )η, ξi − hS_∇⊥ XηY, ξi − h∇Y(SηX), ξi − hα(SηX, Y ), ξi + hS∇⊥ YηX, ξi + h∇X(SηY ), ξi + hα(X, SηY ), ξi − hSη[X, Y ]i

= hR⊥(X, Y )η, ξi − hα(SηX, Y ), ξi + hα(X, SηY ), ξi.

Agora, como hα(X, Y ), ξi = hSξX, Y i, temos

hR(X, Y )η, ξi = hR⊥(X, Y )η, ξi + hSξX, SηY i − hSξ(Sη), Y i

= hR⊥(X, Y )η, ξi + hSη(SξX), Y i − hSξ(Sη), Y i

= hR⊥(X, Y )η, ξi + h(SηSξ− SξSη)X, Y i

= hR⊥(X, Y )η, ξi + h[Sη, Sξ]X, Y i.

Portanto, segue-se o resultado desejado.

Exemplo 3.1 O operador forma da esfera Sn ⊂ Rn+1 _´_{e menos a identidade. Isto ´}_e,

Sη = −Id.

De fato, seja M = Rn+1 _{e N uma extens˜}_{ao local de η, unit´}_{aria e normal a M . Defina}

a aplica¸c˜ao normal de Gauss g : Mn _{→ S}n_{, transladando a origem do campo N para a}

origem do Rn+1 _{e fazendo g(q) = N (q). Temos que dg}

q : TqM → TqM ´e dada por

dgq(x) =

d

dt(N ◦ c(t))t=0 = ∇xN.

Como hN, N i = 1 temos que ∇xN = (∇xN )>. Portanto,

dgq(x) = ∇xN = (∇xN )> = −Sη(x),

onde c : (−ε, ε) → M ´e uma curva com c(0) = q e c0(0) = x. Segue-se que −Sη ´e a

derivada da aplica¸cão normal de Gauss. Como g(x) = x é a aplica¸cão normal de Gauss de Sn, temos que Sη = −Id.

(35)

4.1 Polinˆomios restrito `a esfera

Dada uma hipersuperf´ıcie Mn_{⊂ R}n+1, a primeira forma fundamental de M ´e uma forma diferencial positiva ds2definida em M , onde os coeficientes em um sistema de coordenadas locais x : U ⊂ Rn → M ⊂ Rn+1 _s˜_{ao dados por g}

ij = h_∂u∂x i,

∂x

∂uji. Aqui u = (u1, . . . , un)

representar´_{a um sistema de coordenadas locais em U ⊂ R}n e h, i denotar´a o produto interno Euclidiano em Rn+1_{, enquanto (g}ij_{) denotar´}_{a a inversa da matriz (g}

ij) e ∂i = _∂u∂ i

ser´a o campo vetorial associado ao sistema de coodenadas locais x.

No que segue, Sn _{= {x ∈ R}n+1 _{: kxk = 1} denotar´}_{a a esfera unit´}_{aria em R}n+1 _com

a m´etrica canˆ_{onica e curvatura seccional igual a 1. Seja P : R}n+1 _{→ R um polinˆomio}

definido em Rn+1 _{e denotemos por p = P |}

Sn sua restri¸c˜ao `a esfera S

n_{. Nosso objetivo}

é calcular o laplaciano do polinômio p. Para isto, vamos relembrar a seguinte nota¸cão de multindices. Consideremos i = (i1, . . . , in+1) um multindice, isto é, cada componente

ik∈ Z+, onde Z+ denota o conjunto dos n´umeros inteiros n˜ao negativos. Dado um vetor

x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 e um multindice i ∈ Zn+1, formamos o monˆomio xi pondo

xi _{= x}i1 1 · · · x

in+1

n+1. Tamb´em denotemos ai = ai1...in+1 e µ = |i| = i1+ · · · + in+1. Com essa

nota¸c˜ao, um polinˆ_{omio de grau m em R}n+1 _´_{e escrito da forma}

P (x) = X

µ≤m

aixi. (28)

Agora podemos enunciar o resultado desta se¸c˜ao.

Teorema 4.1 Seja P : Rn+1 _{→ R um polinômio e p sua restri¸cão à esfera S}n_{. Suponha}

que P (x) =P

µ≤maix

i_{. Ent˜}_{ao, temos}

∆p = −X µ≤m µ(n + µ − 1)aixi+ ∆0P, onde ∆0 = Pn+1 k=1 ∂2 ∂x2 k denota o laplaciano em R n+1_.

Como consequência deste teorema, temos o seguinte corolário. Corolário 4.1 Seja P (x) = P

µ=maix

i _{um polinˆ}_{omio harmˆ}_{onico homogˆ}_{eneo de grau m}

em Rn+1_{, isto ´}_{e, ∆}

0P = 0 e p = P |Sn. Ent˜ao

∆p + m(n + m − 1)p = 0.

Este corolário nos diz que polinômios harmônicos homogêneos restritos `_{a esfera S}n são autofun¸cões do laplaciano. Estas autofun¸cões são as únicas da esfera.

(36)

Para provar isso, seja C(K, R) o conjunto de todas as fun¸cões cont´ınuas do espa¸co métrico compacto K em R. Temos a seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜_{ao 4.1 Um subconjunto H ⊂ C(K, R) chama-se uma sub´algebra de C(K, R)}

quando ´e um subespa¸co vetorial e se dados f, g ∈ H tem-se que

f g ∈ H.

Defini¸c˜_{ao 4.2 Um conjunto H ⊂ C(K, R) separa os pontos de K quando, dados} arbi-trariamente x 6= y em K, existe f ∈ H tal que f (x) 6= f (y).

Teorema 4.2 (Stone-Weierstrass) Sejam K um espa¸co m´_{etrico compacto e H ⊂ C(K, R)} uma álgebra de fun¸cões cont´ınuas que contém as constantes e separa pontos. Então H = C(K, R).

Para uma demonstra¸c˜ao deste teorema indicamos a referˆencia [11].

Corolário 4.2 Seja H o espa¸co dos polinômios homogêneos harmônicos de grau m res-trito `_{a esfera S}n_{. Ent˜}_{ao H = C(S}n_{, R), onde H é o fecho de H.}

Prova : Seja K = Sn que ´e um espa¸co m´_{etrico compacto. Considere A ⊂ C(S}n_{, R) o} conjunto formado pelas n+1 proje¸c˜oes pi : Rn+1 → R dadas por pi(x) = xi. Este conjunto

A separa pontos, pois dados quaisquer x, y ∈ Sn _{com x 6= y, temos para algum i que}

pi(x) 6= pi(y). Seja então H ⊂ C(Sn, R) a álgebra dos polinômios homogêneos harmônicos

de grau m restrito `_{a esfera S}n_{. Observe que H cont´}_{em as constantes e al´}_{em disso, H}

cont´_{em A. Portanto, H separa pontos de S}n_{. Pelo Teorema 4.2 de Stone-Weierstrass,}

temos que H = C(Sn_{, R).}

Corolário 4.3 Se f é uma autofun¸cão do laplaciano, então f ∈ H, onde H é o espa¸co dos polinômios homogêneos harmônicos de grau m restrito `_{a esfera S}n.

Prova : Seja f uma autofun¸cão, pelo Corolário 4.2 existe uma sequência (qk)k∈N ⊂ H tal

que limk→∞qk = f . Tamb´em f satisfaz a express˜ao

∆f + λf = 0.

Observe que para cada k ∈ N, qk é polinômio harmônico homogêneo, pelo Corolário 4.1

temos que qk é uma autofun¸cão para cada k. Então

∆qk+ µkqk = 0,

onde µk = mk(mk+ n − 1).

Note que como a convergˆencia ´e uniforme, temos que 0 6= Z Sn f2_dSn = Z Sn f f dSn= Z Sn f lim k→∞qkdS n _{= lim} k→∞ Z Sn f qkdSn.

(37)

Portanto, existe k0 ∈ N tal que

R

Snf qkdS

n_{6= 0, para todo k ≥ k} 0.

Agora, multiplicando a express˜ao do laplaciano de f por qke integrando usando a Segunda

identidade de Green temos −λ Z Sn qkf dSn = Z Sn qk∆f dSn = Z Sn f ∆qkdSn = Z Sn f (−µkqk)dSn = −µk Z Sn f qkdSn.

Obtemos ent˜ao que (λ − µk)

R Snf qkdS n _{= 0. Mas,} R Snf qkdS n _{6= 0. Portanto} λ = µk,

onde µk = mk(mk+ n − 1), para cada k.

Assim, a autofun¸cão f e o polinômio qk para cada k estão associadas ao mesmo autovalor

λ, ou seja, estão no mesmo autoespa¸co Vλ. Portanto temos que f é combina¸cão linear dos

polinômios homogêneos qk, isto é, f =

Ps0

j=1ajqsj que também é um polinômio homogêneo

harmˆonico, onde s0 = dimVλ. Assim, temos que f ∈ H.

Defini¸c˜_{ao 4.3 O espectro de S}n denotado por Spec(∆) ´e definido por: Spec(∆) = {λ ∈ R; ∆f + λf = 0} ,

onde f : Sn → R ´e diferenci´avel.

Dessa forma, pelo que foi provado acima temos que o espectro da esfera Sn ´e dado por spec(∆) =λm∈ R; λm = m(m + n − 1); m ∈ Z+ .

Para demonstrarmos o Teorema 4.1, precisaremos de algumas considera¸cões iniciais. Defini¸c˜_{ao 4.4 Um sistema de coordenadas conforme em uma hipersuperf´ıcie M ⊂ R}n+1 é um sistema de coordenadas tal que gij = λ2δij, onde λ é uma fun¸cão positiva definida

em M e (δij) ´e a matriz identidade.

Neste sistema de coordenadas podemos simplificar o gradiente de uma fun¸c˜ao f ∈ C∞(M ), o divergente de um campo X e o laplaciano de f . De fato, o gradiente conforme toma a seguinte forma ∇f = n X i,j=1 gij∂jf ∂i,

(38)

substituindo gij_{, temos} ∇f = n X i,j=1 λ−2δij∂jf ∂i = λ−2 n X i=1 (∂if )∂i. (29)

Agora, note que

gij = λ−2δij

e

g = det(gij) = det(λ2δij) = (λ2)n= (λn)2.

Portanto, podemos concluir que o laplaciano conforme pode ser escrito da seguinte ma-neira ∆f = √1 g n X i,j=1 ∂i( √ ggij∂jf ) = 1 √ g n X i,j=1 ∂i( √ gλ−2δij∂jf ) = √1 g n X i=1 ∂i( √ gλ−2∂if ) = 1 λn n X i=1 ∂i( λn−2∂if ).

Derivando na última expressão o termo entre parênteses, obtemos

∆f = 1 λn n X i=1 (n − 2)λn−3_∂ iλ∂if + λn−2∂i2f .

Separando os somat´orios e fatorando os termos constantes temos

∆f = (n − 2)λ n−3 λn n X i=1 ∂iλ∂if + λn−2 λn n X i=1 ∂_i2f. Cancelando λn_{, obtemos} ∆f = (n − 2)λ−3 n X i=1 ∂iλ∂if + λ−2 n X i=1 ∂_i2f = (n − 2)λ−1λ−2 n X i=1 ∂iλ∂if + λ−2 n X i=1 ∂_i2f.

Mas, note que sendo h∂i, ∂ki = λ2δik temos

h∇f, ∇λi = * λ−2 n X i=1 (∂if )∂i, λ−2 n X k=1 (∂kλ)∂k + ,

(39)

logo, teremos h∇f, ∇λi = λ−4 n X i,k=1 (∂if )(∂kλ)h∂i, ∂ki = λ−4 n X i,k=1 (∂if )(∂kλ)λ2δik = λ−2 n X i=1 (∂if )(∂iλ). (30)

Portanto, substituindo (30) na ´ultima express˜ao do laplaciano obtemos

∆f = λ−1(n − 2)h∇f, ∇λi + λ−2

n

X

i=1

∂_i2f.

O divergente conforme de um campo X =Pn

i=1ai∂i assume a forma

div(X) = div n X i ai∂i ! =√1 g n X i=1 ∂i( √ gai) = 1 λn n X i=1 ∂i(λnai) = λ−n n X i=1 ∂i(λnai). (31)

Exemplo 4.1 A aplica¸c˜_{ao x : R}n _{→ S}n_{− {(0, . . . , 1)} dada por x(u) =} 2u 1+|u|2, |u|2₋₁ 1+|u|2 ´e conforme.

De fato, consideremos em Sn _{o sistema de coordenadas dado pela proje¸c˜}_{ao estereogr´}_afica

via p´olo norte, ou seja,

x(u) = (x1(u), . . . , xn+1(u)) =

2u 1 + |u|2, |u|2_{− 1} 1 + |u|2 , (32)

onde u = (u1, . . . , un). Fazendo λ = _1+|u|2 2, temos que 2λ

−1 _{= 1 + |u|}2_{. Assim, podemos}

escrever

x(u) = (λu, 1 − λ). (33)

Seja ei o i-´esimo vetor canˆonico em Rn+1. Desde que

∂iλ = ∂ ∂ui 2 1 + |u|2 = −2 · 2ui (1 + |u|2₎2 = −4ui (1 + |u|2₎2 = −λ 2 ui,

(40)

temos ∂x ∂ui = n X j=1 ∂i[(λuj)ej] + ∂i(1 − λ)en+1 = n X j=1 [(∂iλuj + λ∂iuj)ej] − ∂iλen+1.

Substituindo na express˜ao acima ∂iλ = −λ2ui, obtemos

∂x ∂ui = n X j=1 [(−λ2uiuj + λ∂i(uj))ej] − (−λ2ui)en+1, logo, ∂x ∂ui = λ2uien+1+ n X j=1 (λδij − λ2uiuj)ej = λ2uien+1+ n X j=1 λ2(λ−1δij − uiuj)ej = λ2uien+1+ λ2 n X j=1 (λ−1δij − uiuj)ej. (34)

Assim, podemos concluir de (34) que

∂jxi = λ2(δijλ−1− uiuj), para i = 1, . . . , n (35) e ∂jxn+1 = λ2uj. (36) Portanto, obtemos gij = ∂x ∂ui , ∂x ∂uj = * λ2 n X k=1 (δikλ−1− uiuk)ek, λ2 n X l=1 (δjlλ−1− ujul)el + + λ2uien+1, λ2ujen+1 + * λ2 n X k=1 (δikλ−1− uiuk)ek, λ2ujen+1 + + * λ2uien+1, λ2 n X l=1 (δjlλ−1− ujul)el + .

(41)

Como hej, en+1i = 0 para j = 1, . . . , n, temos que as duas ´ultimas parcelas s˜ao iguais a

zero. Assim, temos

gij = λ4 n X k,l=1 (δikλ−1− uiuk)(δjlλ−1− ujul) hek, eli + λ4uiuj = λ4 n X k=1 (δikλ−1− uiuk)(δjkλ−1− ujuk) + λ4uiuj = λ4 n X k=1 (δikδjkλ−2− δikλ−1ujuk− δjkλ−1uiuk+ uiuju2k) + λ 4_u iuj.

Separando essas somas, temos

gij = λ4 n X k=1 (δikδjkλ−2) − λ4 n X k=1 δikλ−1ujuk− λ4 n X k=1 δjkλ−1uiuk + λ4 n X k=1 uiuju2k+ λ 4_u iuj.

Somando em k, os trˆes primeiros somat´orios, obtemos

gij = λ4(δijλ−2) − λ4(λ−1ujui) − λ4(λ−1uiuj) + λ4uiuj + λ4 n X k=1 uiuju2k = λ2δij − λ3uiuj− λ3uiuj+ λ4uiuj + λ4uiuj n X k=1 u2_k. ComoPn k=1u 2 k =| u |2, temos gij = λ2δij − 2λ3uiuj + λ4uiuj+ λ4uiuj | u |2 = λ2δij − 2λ3uiuj + λ4uiuj(1+ | u |2). Agora, como 1+ | u |2= 2λ−1, temos ent˜ao que

gij = λ2δij − 2λ3uiuj + λ4uiuj(2λ−1)

= λ2δij − 2λ3uiuj + 2λ3uiuj

= λ2δij. (37)

De agora em diante, xi denotar´a sempre uma das fun¸c˜oes coordenadas dada por (32) para

i = 1, . . . , n + 1 e Xj = _∂u∂x_j com j = 1, . . . , n.

(42)

Lema 4.1 Seja x(u) = (x1(u), . . . , xn+1(u)) = 2u 1+|u|2, |u|2₋₁ 1+|u|2 em Sn e consideremos Xj = _∂u∂x_j com j = 1, . . . , n. Temos as seguintes rela¸c˜oes:

(a) ∇xi = λ−2 Pn j=1(λδij − xixj) Xj, para i = 1, . . . , n; (b) ∇xn+1 = λ−1 Pn j=1xjXj;

(c) h∇xi, ∇xji = δij − xixj, para cada i, j. Em particular, temos

Pn+1

i=1 |∇xi|

2 _{= n;}

(d) ∆xi+ nxi = 0, para i = 1, . . . , n + 1. Ent˜ao λ1 = n.

Prova : (a) Substituindo (35) em (29), obtemos para i = 1, . . . , n

∇xi = λ−2 n X j=1 (∂jxi)∂j = λ−2 n X j=1 (∂jxi)Xj = λ−2 n X j=1 [λ2(δijλ−1− uiuj)]Xj = λ−2 n X j=1 (δijλ − λuiλuj)Xj = λ−2 n X j=1 (δijλ − xixj)Xj, (38)

pois λuk = xk para k = 1, . . . , n.

(b) Para xn+1, uma vez que ∂jxn+1 = λ2uj, teremos

∇xn+1 = λ−2 n X j=1 (∂jxn+1)Xj = λ−2 n X j=1 (λ2uj)Xj = λ−2λ n X j=1 (λuj)Xj = λ−1 n X j=1 xjXj. (39)

(c) Para i, j = 1, . . . , n, segue do item (a) que

h∇xi, ∇xji = * λ−2 n X l=1 (λδil− xixl)Xl, λ−2 n X k=1 (λδjk − xjxk)Xk + .

Colocando os somat´orios fora do produto interno, temos

h∇xi, ∇xji = λ−4 n

X

k,l=1

(43)

= λ−4 n X k,l=1 h(λδil− xixl)Xl, (δjk)Xki − λ−4 n X k,l=1 h(λδil− xixl)Xl, (xjxk)Xki .

Desenvolvendo esses produtos, temos

h∇xi, ∇xji = λ−4 n X k,l=1 h(λδil)Xl, (λδjk)Xki − λ−4 n X k,l=1 h(xixl)Xl, (λδjk)Xki − λ−4 n X k,l=1 h(λδil)Xl, (xjxk)Xki + λ−4 n X k,l=1 h(xixl)Xl, (xjxk)Xki .

Deixando apenas os campos nos produtos internos, obtemos

h∇xi, ∇xji = λ−2 n X k,l=1 δilδjkhXl, Xki − λ−3 n X k,l=1 xixlδjkhXl, Xki − λ−3 n X k,l=1 δilxjxkhXl, Xki + λ−4 n X k,l=1 xixlxjxkhXl, Xki .

Agora, como hXl, Xki = λ2δlk, obtemos

h∇xi, ∇xji = λ−2 n X k,l=1 δilδjkλ2δlk− λ−3 n X k,l=1 xixlδjkλ2δlk − λ−3 n X k,l=1 δilxjxkλ2δlk+ λ−4 n X k,l=1 xixlxjxkλ2δlk. Somando em l, temos h∇xi, ∇xji = n X k=1 δikδjk− λ−1 n X k=1 xixkδjk − λ−1 n X k=1 δikxjxk+ λ−2 n X k=1 xixkxjxk. Somando em k, obtemos h∇xi, ∇xji = δij − λ−1xixj− λ−1xjxi+ λ−2xixj n X k=1 x2_k = δij − 2λ−1xixj+ xixj n X k=1 λ−2x2_k

(44)

= δij − 2λ−1− n X k=1 λ−2x2_k ! xixj.

Notemos que como |u|2 ₌Pn

k=1x 2 kent˜ao 1+|u|2 = 1+ Pn k=1x 2

k. Portanto, sendo xi = λui,

obtemos 2λ−1 = 1 + |u|2 = 1 + n X k=1 u2_k= 1 + n X k=1 λ−2x2_k. Disso, conclu´ımos que

2λ−1−

n

X

k=1

λ−2x2_k = 1. (40)

Portanto, substituindo (40) na express˜ao acima obtemos h∇xi, ∇xji = δij − xixj. Para xn+1, temos |∇xn+1|2 = h∇xn+1, ∇xn+1i = * λ−1 n X i=1 xiXi, λ−1 n X j=1 xjXj + = λ−2 n X i,j=1 xixjhXi, Xji = λ−2 n X i,j=1 xixjλ2δij = n X i,j=1 xixjδij = n X i=1 x2_i. (41) Assim, obtemos n+1 X i=1 |∇xi|2 = n X i=1 |∇xi|2 ! + |∇xn+1|2 = n X i=1 h∇xi, ∇xii ! + n X i=1 x2_i = n X i=1 (δij − x2i) + n X i=1 x2_i = n X i=1 δij = n. Para j = n + 1 e i = 1, . . . , n, temos h∇xi, ∇xn+1i = * λ−2 n X j=1 (λδij− xixj)Xj, λ−1 n X k=1 xkXk + = λ−3 n X j,k=1 (λδij − xixj)xkhXj, Xki .

(45)

Como hXj, Xki = λ2δjk, logo h∇xi, ∇xn+1i = λ−3 n X j,k=1 (λδij − xixj)xkλ2δjk = λ−1 n X j,k=1 (λδijxk)δjk− λ−1 n X j,k=1 (xixjxk)δjk. Somando em k, obtemos h∇xi, ∇xn+1i = n X j=1 δijxj− λ−1 n X j=1 xix2j.

Somando a primeira parcela em j e sendo xj = λuj, temos

h∇xi, ∇xn+1i = xi− λ−1xi n X j=1 λ2u2_j = xi 1 − λ n X j=1 u2_j ! = xi 1 − λ|u|2 = xi 1 − 2|u| 2 1 + |u|2 = xi 1 + |u|2_{− 2|u|}2 1 + |u|2 = xi 1 − |u|2 1 + |u|2 = −xi |u|2_{− 1} 1 + |u|2 = −xixn+1.

(d) Consideremos primeiramente o caso i = 1, . . . , n. Lembrando que div(X) = λ−nPn

i=1∂i(λnai) e ∂jλ = −λ2uj, temos pelo item (a) que

∆xi = div(∇xi) = div λ−2 n X j=1 (λδij − xixj) Xj ! = λ−n n X j=1 ∂jλn(λ−2λδij − λ−1xiλ−1xj) = λ−n n X j=1 ∂jλn(λ−1δij − uiuj) = λ−n n X j=1 ∂j λn−1δij − λnuiuj .

Derivando o termo do parêntese na última expressão, temos

∆xi = λ−n n

X

j=1

(46)

= λ−n n X j=1 [(n − 1)λn−2(∂jλ)δij − nλn−1(∂jλ)uiuj] − λ−n n X j=1 [λn∂j(ui)uj + λnui∂j(uj)].

Substituindo ∂jλ = −λ2uj, ∂j(ui) = δij e ∂j(uj) = 1 nesta express˜ao temos

∆xi = λ−n n X j=1 [(n − 1)λn−2δij(−λ2uj) − nλn−1(−λ2uj)uiuj] − λ−n n X j=1 [λnδijuj − λnui] = λ−n n X j=1 [−(n − 1)λnδijuj + nλn+1uiu2j − λ n_δ ijuj − λnui]. Cancelando λ−n, temos ∆xi = n X j=1 [−(n − 1)δijuj + nλuiu2j − δijuj− ui] = n X j=1 [−nδijuj+ δijuj+ nλuiu2j − δijuj − ui] = −n n X j=1 δijuj+ nλui n X j=1 u2_j − n X j=1 ui.

Agora, somando em j ficamos com

∆xi = −nui− nui+ nλui|u|2 = −2nui+ nλui|u|2

= nui −2 + λ|u|2 = nλui −2λ−1+ |u|2 = −nλui = −nxi.

Para i = n + 1, obtemos ∆xn+1= div (∇xn+1) = div λ−1 n X j=1 xjXj ! = div n X j=1 λ−1xjXj ! = λ−n n X j=1 ∂jλn(λ−1xj) = λ−n n X j=1 ∂j(λnuj) = λ−n n X j=1 nλn−1_(∂ jλ)uj + λn∂j(uj) = λ−n n X j=1 nλn−1_(∂ jλ)uj + λn .

(47)

Cancelando λ−n e substituindo ∂jλ = −λ2ui nessa express˜ao, obtemos ∆xn+1 = n X j=1 nλ−1 (−λ2uj)uj + 1 = −nλX j=1 u2_j +X j=1 1 = −nλ|u|2+ n = n(1 − λ|u|2).

Agora, como 1 − λ|u|2 _{= 1 −} 2|u|2

1+λ|u|2 = 1+|u|2−2|u|2 1+|u|2 = 1−|u|2 1+|u|2, temos ∆xn+1 = n 1 − |u|2 1 + |u|2 = −n |u| 2_{− 1} 1 + |u|2 = −nxn+1.

O que conclui a demonstra¸c˜ao do lema.

4.2 Prova do teorema 4.1

Veja que, fazendo f = xi no item (b) do Corol´ario 2.1, temos

∆xm_i = mxm−1_i ∆xi+ m(m − 1)xm−2i h∇xi, ∇xii.

Mas, h∇xi, ∇xii = δii− xixi = 1 − x2i e como ∆xi = −nxi, obtemos

∆xm_i = mxm−1_i (−nxi) + m(m − 1)xm−2i (1 − x 2 i) = −mnxm_i + m(m − 1)xm−2_i − m(m − 1)xm i = −[mn + m(m − 1)]xm_i + m(m − 1)xm−2_i = −m(n + m − 1)xm_i + m(m − 1)xm−2_i . (42) Agora, calculemos ∆xi _{= ∆(x}i1 1 · · · x in+1 n+1) para obter-mos ∆xi = ∆(xi1 1 · · · x in+1 n+1) = n+1 X k=1 xi1 1 · · · ∆x ik k · · · x in+1 n+1 + 2 X 1≤k<l≤n+1 h∇xik k, ∇x il l ix i1 1 · · · cx ik k · · · cx il l · · · x in+1 n+1. (43)

Mas, usando (42) e o Corol´ario 2.1 temos os seguintes fatos ∆xik k = −ik(n + ik− 1)xikk + ik(ik− 1)xik −2 k e h∇xik k, ∇x il li = hikxik −1 k ∇xk, ilxil −1 l ∇xli = ikilxik −1 k x il−1 l (δkl− xkxl).

(48)

Substituindo estes fatos em (43), temos ∆xi = n+1 X k=1 xi1 1 · · ·−ik(n + ik− 1)xkik+ ik(ik− 1)xik −2 k · · · x in+1 n+1 + 2 X 1≤k<l≤n+1 ikilxik −1 k x il−1 l (δkl− xkxl)xi11· · · cx ik k · · · cx il l · · · x in+1 n+1 = − n+1 X k=1 ik(n + ik− 1)xikkx i1 1 · · · x in+1 n+1 + n+1 X k=1 ik(ik− 1)xik −2 k x i1 1 · · · x in+1 n+1 + 2 X 1≤k<l≤n+1 ikilxi_kk−1x_lil−1δklxi11· · · cx ik k . . . cx il l · · · x in+1 n+1 − 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikilxi_kk−1x_lil−1xkxl)xi11· · · cx ik k · · · cx il l · · · x in+1 n+1.

Como k < l o terceiro somatório é igual a zero. Então, cancelando xk e xl ficamos com

∆xi = − n+1 X k=1 ik(n + ik− 1)xi11· · · x in+1 n+1 + n+1 X k=1 ik(ik− 1)xi11· · · x ik−2 k · · · x in+1 n+1 − 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikilxi_kkx_lil)xi11· · · cx ik k · · · cx il l · · · x in+1 n+1 = − n+1 X k=1 ik(n + ik− 1)xi11· · · x in+1 n+1 + n+1 X k=1 ik(ik− 1)xi11· · · x ik−2 k · · · x in+1 n+1 − 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikil)xi11· · · x in+1 n+1.

Por outro lado, temos

∆◦xi = n+1 X k=1 ∂2 ∂x2 k xi1 1 · · · x in+1 n+1 = n+1 X k=1 ik(ik− 1)xi11· · · x ik−2 k · · · x in+1 n+1.

Das rela¸c˜oes acima e sabendo que µ = i1+ · · · + in+1 e xi = xi11· · · x in+1 n+1, obtemos ∆xi = − "_n+1 X k=1 ik(n + ik− 1)xi11· · · x in+1 n+1 + 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikil)xi11· · · x in+1 n+1 # + ∆◦(xi)

(49)

= − "_n+1 X k=1 ikn + n+1 X k=1 i2_k− n+1 X k=1 ik # xi1 1 · · · x in+1 n+1 − 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikil)xi11· · · x in+1 n+1 + ∆◦(xi).

Somando a primeira e terceira parcelas do colchete, temos

∆xi = − " µn − µ + n+1 X k=1 i2_k # xi1 1 · · · x in+1 n+1 − 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikil)xi11· · · x in+1 n+1 + ∆◦(xi) = −(µn − µ)xi1 1 · · · x in+1 n+1 − "_n+1 X k=1 i2_k+ 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikil) # xi1 1 · · · x in+1 n+1 + ∆◦(xi) = −(µn − µ)xi− µ2_xi _{+ ∆} ◦(xi) = −µ(n + µ − 1)xi+ ∆◦(xi), onde µ2 = (i1+ · · · + in+1)2 = [i1+ (i2+ · · · + in+1)]2 = i2₁+ 2i1(i2+ · · · + in+1) + (i2+ · · · + in+1)2 = i2₂+ · · · + i2_n+1+ 2i1(i2+ · · · + in+1) + 2i2(i3+ · · · + in+1) + · · · + 2in(in+1) = n+1 X k=1 i2_k+ 2[i1(i2+ · · · + in+1) + i2(i3+ · · · + in+1) + · · · + in(in+1)] = n+1 X k=1 i2_k+ 2 X 1≤k<l≤n+1 (ikil). Assim, se P (x) = P µ≤maix

i _´_{e um polinˆ}_{omio em R}n+1 _{e p ´}_{e sua restri¸c˜}_{ao `}_{a esfera S}n

ent˜ao,

∆p = −X

µ≤m

µ(n + µ − 1)aixi+ ∆◦P,

e isto completa a prova do Teorema 4.1.

4.3 O Teorema de Takahashi

O principal resultado deste trabalho foi obtido por Takahashi em [12]. Primeiramente, veremos o que vem a ser um referencial adaptado.

(50)

ortonor-mal {e1, . . . , en+k} em um aberto U ⊂ M é dito adaptado à imersão se as restri¸cões de

e1, . . . , en a U = UT M formarem um referencial em U.

A existência de referenciais adaptados a uma imersão ϕ como acima é decorrência imediata da aplica¸cão do algor´ıtmo de ortogonaliza¸cão de Gramm-Schmidt aos campos coordenados de uma parametriza¸cão adaptada à imersão. Para maiores detalhes, veja [10].

Defini¸cão 4.6 Uma imersão isométrica ϕ : Mn _{→ M}n+k _´_{e m´ınima se} −→_{H (p) = 0, onde}

− →

H ´e o vetor curvatura m´edia de M em p ∈ M dado por − → H (p) = 1 n n X i=1 αp(ei, ei),

onde {ei}ni=1 ´e uma base ortonormal de TpM.

Agora enunciaremos o principal teorema deste trabalho. Para isto, consideremos a esfera unit´_{aria denotada por S}n+k _{como o conjunto dado por}

Sn+k = {x = (x1, . . . , xn+k+1) ∈ Rn+k+1; x21+ · · · + x 2

n+k+1 = 1}.

Teorema 4.3 (Takahashi). Se ϕ : Mn _{→ S}n+k _´_{e uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica, ent˜}_ao

∆Mϕ + nϕ = n − → H , onde ∆Mϕ = (∆Mϕ1, . . . , ∆Mϕn+k+1) se ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn+k+1) e − → H ´e o vetor curvatura m´edia de Mn_{. Em particular, ϕ ´}_{e uma imers˜}_{ao m´ınima se, e somente se,}

∆Mϕ + nϕ = 0.

Prova : Seja p ∈ M e {e1, . . . , en} um referencial m´ovel em uma vizinhan¸ca U ⊂ M

de p, geod´esico em p. Assim, podemos completar {e1, . . . , en} a um referencial adaptado

{e1, . . . , en, η1, . . . , ηk} para ϕ(U ), de modo que

{e1, . . . , en, η1, . . . , ηk, ϕ} ´e uma base ortonormal de TqRn+k+1 para todo q ∈ U. Se α

denota a segunda forma fundamental da imers˜ao ϕ, ∇ a conex˜ao Riemanniana de M , ∇ a conex˜_{ao Riemanniana de S}n+k e∇ a conex˜_{ao Riemanniana de R}n+k+1_{, ent˜}_{ao temos em}

p ∆Mϕ = n X i=1 eiei(ϕ1), . . . , n X i=1 eiei(ϕn+k+1) ! = n X i=1 ∇ei∇eiϕ = n X i=1 ∇eiei. (44)

(51)

Escrevendo o vetor ∇eiei acima como combina¸c˜ao linear da base de R n+k+1_{, acima} cons-tru´ıda temos ∇eiei = n X j=1 D ∇eiei, ej E ej + k X l=1 D ∇eiei, ηl E ηl + D∇eiei, ϕ E ϕ. (45) Como∇eiei N

´e um m´_{ultiplo do vetor normal a S}n+k e ∇eiei

> é a proje¸cão tangente sobre Sn+k, então ∇eiei = ∇eiei > +∇eiei N = ∇eiei+ kϕ, onde k = ∇eiei N , ϕ = ∇eiei > +∇eiei N , ϕ = D∇eiei, ϕ E .

Assim, como hei, ϕi = 0 temos que

D ∇eiei, ϕ E = − D ei, ∇eiϕ E . Portanto, ∇eiei = ∇eiei+ D ∇eiei, ϕ E ϕ = ∇eiei− D ei, ∇eiϕ E ϕ = ∇eiei− hei, eiiϕ.

Mas,∇eiei = α(ei, ei) + ∇eiei, da´ı

∇eiei = α(ei, ei) + ∇eiei− hei, eiiϕ.

Agora, como α(ei, ei) ´e tangente a Sn+k e normal a ej, ent˜ao sabendo que ∇eiei(p) = 0

temos substituindo (45) em (44) que

∆Mϕ = n X i=1 * _k X l=1 α(ei, ei), ηl + ηl ! − n X i=1 D ei, ∇eiϕ E ϕ = n X i=1 α(ei, ei) − n X i=1 hei, eiiϕ = n − → H − nϕ,

concluindo assim o resultado desejado.

(52)

exemplo bem conhecido na literatura, a Superf´ıcie de Veronese.

Exemplo 4.2 (Superf´ıcie de Veronese) Seja ϕ = (ϕ1, . . . , ϕ5) : R3 → R5 definida por

ϕ(x, y, z) =√1 3 xy, xz, yz,x 2 _{− y}2 2 , x2_{+ y}2_{− 2z}2 2√3 .

Ent˜ao ϕ ´e uma imers˜_{ao m´ınima de S}_√2

3 em S

4_.

De fato, observe que

| ϕ(x, y, z) |2 _{= ϕ}2 1+ · · · + ϕ 2 5 = x 2_y2 3 + x2_z2 3 + y2_z2 3 + (x2_{− y}2₎2 12 + (x2_{+ y}2_{− 2z}2₎2 36 = 1 3 8x2_y2_{+ 8x}2_z2_{+ 8y}2_z2_{+ 4x}4_{+ 4y}4 _{+ 4z}4 12 = 1 3 2x2_y2_{+ 2x}2_z2_{+ 2y}2_z2_{+ x}4_{+ y}4_{+ z}4 3 = 1 9 x 2 + y2+ z22, donde conclu´ımos que ϕ(S2₍√_{3)) ⊂ S}4_.

Agora, desde que x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 3, temos}

xdx + ydy + zdz = 0. (46) E veja que ϕ∗(dx2₁+ · · · + dx2₅) = d xy√ 3 2 + d xz√ 3 2 + d yz√ 3 2 + d x 2_{− y}2 2√3 2 + d x 2_{+ y}2_{− 2z}2 6 2 .

Derivando e desenvolvendo esses termos, obtemos

ϕ∗(dx2₁+ · · · + dx2₅) = y 2_dx2_{+ 2xydxdy + x}2_dy2 3 + z 2_dx2_{+ 2xzdxdz + x}2_dz2 3 + y 2_dz2_{+ 2yzdydz + z}2_dy2 3 + x 2_dx2_{− 2xydxdy + y}2_dy2 3 + 2xdx + 2ydy − 4zdz 6 2 .

(53)

Substituindo 2xdx + 2ydy = −2zdz no ´ultimo termo, temos ϕ∗(dx2₁+ · · · + dx2₅) = y 2_dx2_{+ 2xydxdy + x}2_dy2 3 + z 2_dx2_{+ 2xzdxdz + x}2_dz2 3 + y 2_dz2_{+ 2yzdydz + z}2_dy2 3 + x 2_dx2_{− 2xydxdy + y}2_dy2 3 + 3z 2_dz2 3 ϕ∗(dx2₁+ · · · + dx2₅) = (x 2_{+ y}2_{+ z}2_)dx2_{+ (x}2_{+ y}2_{+ z}2_)dy2 3 + (x 2_{+ y}2_{+ z}2_)dz2 3 + 2xzdxdz + 2yzdydz + 2zdzzdz 3 .

Colocando x2+ y2+ z2 = 3 e 2zdz em evidˆencia e usando (46) , obtemos

ϕ∗(dx2₁+ ... + dx2₅) = (x 2_{+ y}2_{+ z}2_)(dx2_{+ dy}2_{+ dz}2₎ 3 + 2zdz(xdx + ydy + zdz) 3 = dx 2_{+ dy}2_{+ dz}2_.

Por outro lado, S2₍√_{3) pode ser parametrizada por ψ : R}2 _{→ S}2₍√_{3) dada por ψ(u) =}

√

3 x(u), onde x : R2 _{→ S}2_{(1) ´}_{e dada por x(u) =} 2u 1+|u|,

|u|2₋₁ 1+|u|2

. Assim, os coeficientes da m´etrica induzida por ψ e x satisfazem

gψ_ij = ∂ψ ∂ui , ∂ψ ∂uj = * ∂(√3x) ∂ui ,∂( √ 3x) ∂uj + = 3 ∂x ∂ui , ∂x ∂uj = 3g_ijx, ou seja, det(g)ψ = 32det(g)x e g_ψij = 1 3g ij x.

Denotando o laplaciano de S2 _{por ∆, temos}

∆_ds2 ψ = 1 p gψ n X i,j ∂i gij_ψpgψ_∂ j = 1 p32_gx n X i,j ∂i 1 3g ij x p 32_gx_∂ j = 1 3√gx n X i,j ∂i gxij √ gx_∂ j = 1 3∆ds2x = 1 3∆, (47)

(54)

onde ∆_ds2

ψ e ∆ds2x s˜ao os laplacianos na m´etrica induzida por ψ e x, respectivamente.

Agora, como as coordenadas de ϕ são polinômios harmônicos homogêneos de grau 2, pelo Corolário 4.1 temos que

∆ϕ + 6ϕ = 0, equivalentemente, 1 3∆ϕ + 2ϕ = 0, ou seja, ∆_ds2 ψϕ + 2ϕ = 0. Como dϕ2 1+ · · · + dϕ25 = dx2+ dy2+ dz2, temos que ∆ds2 ψ = ∆ds2ϕ. Logo, ∆ds2 ϕϕ + 2ϕ = 0.

Segue ent˜ao do teorema de Takahashi que ϕ ´e uma imers˜_{ao m´ınima de S}2₍√_{3) em S}4_.

Exemplo 4.3 (Toro de Clifford Generalizado) Sejam Sn1_(r

1), . . . , Snk(rk) esferas de raios

r1, . . . , rk, tal que r12 + · · · + r2k = 1. Agora, sejam ϕ1, . . . , ϕk, as parametriza¸c˜oes de

Sn1(r1), . . . , Snk(rk), respectivamente, dadas pelas proje¸c˜oes estereogr´aficas abaixo,

ϕj = rj 2uj 1+ | uj |2 ,| uj | 2 ₋₁ 1+ | uj |2 , (48)

j = 1, . . . , k onde uj = (uj1, . . . , ujnj) ´e um sistema de coordenadas retangulares de R nj_.

Considere Mn _{= S}n1_(r

1) × · · · × Snk(rk), ϕ = (ϕ1, . . . , ϕk) : Mn → Sn+k, onde n =

n1+ · · · + nk. Então, ϕ é m´ınima se e só se

n = ni r2 i

, para cada i = 1, . . . , k. (49)

De fato, considere as parametriza¸c˜oes ϕi = riψi, onde ψi : Rni → Sni ´e dada por ψi(u) =

2ui 1+|ui|2, |ui|2−1 1+|ui|2

. Denotando por ∆i_{, o laplaciano de S}ni _{induzido por ϕ}

i e notando que ds2_ϕ_i = r_i2ds2_Sni, (50) obtemos ent˜ao ∆ds2 ϕi = 1 r2 i ∆_Sni.

Mas, pelo Lema 4.1 temos

∆_Sniψi+ niψi = 0, consequentemente, 1 r2 i ∆_Sni(riψi) + ni r2 i (riψi) = 0,