Dependência entre pluviosidade e população de fêmeas Aedes aegypti grávidas descritas através de um sistema dinâmico não linear

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação

Programa de Mestrado em Modelagem

Matemática e Computacional

Dependência entre pluviosidade e

população de fêmeas Aedes

aegypti grávidas descritas através

de um sistema dinâmico não linear

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modela-gem Matemática e Computacional.

Aluna: Lillia dos Santos Barsante

Orientador: Prof. Dr. José Luiz Acebal Fernandes

Coorientador: Prof. Dr. Rodrigo Tomás Nogueira Cardoso

Belo Horizonte - MG Julho de 2012

Agradecimentos

A Deus por esta grande conquista em minha vida.

Aos meus pais, Hélio e Nilza, e aos meus irmãos, Wellington e Liriane, por todo amor, apoio e oração.

Aos meus familiares, Maria Eduarda, Pedro, Rodrigo, Maria Tereza, Tia Beth pelo carinho durante toda minha caminhada.

Ao Carlos Alexandre e seus familiares pelo carinho e apoio na reta final deste tra-balho.

Aos meus amigos de estudo, Jahina, Flaviana, Luiz Otávio, Moisés, Saulo, Jeander-son, Gustavo Zeferino, Gisele Xavier, Carol, Carla, Meire, Luciene, Juliana, Nilmar, José Maurício, Cássia, Gisele Paranhos, Maíra, Solange, Cíntia, Henrique, Eneida. A Charlene e a Camila Sol pela amizade.

Ao meu orientador, Acebal, por todo ensinamento, confiança e paciência. Ao Rodrigo e a Elizabeth Wanner, por todo companheirismo e ensinamento.

Ao Álvaro Eiras, Maíra, Karla e todo grupo LabEQ-UFMG pelo participação no desenvolvimento deste trabalho.

Ao CEFET-MG e a CAPES pelo apoio ao financeiro para realização desta pesquisa.

Resumo

Apesar dos esforços das autoridades públicas e da população no controle do principal vetor da dengue, o Aedes aegypti, inúmeros casos da doença têm sido registrados periodicamente no mundo. Segundo a Organização Mundial da Saúde, 50 a 100 milhões de humanos se infectam anualmente com o vírus da dengue. A doença ocorre principalmente em áreas tropicais e subtropicais do mundo. A dengue tem motivado o desenvolvimento de diversos modelos matemáticos que descrevem e analisam a evolução das fases do ciclo de vida dos vetores da doença. Embora o orçamento dos órgãos públicos destinados ao controle desses vetores venha crescendo a cada ano no mundo, estes recursos são escassos na maioria dos países. Portanto, é de extrema importância a manutenção da eficiência dos mecanismos de controle em níveis aceitáveis da população de Ae. aegypti no ambiente. Entre as possíveis medidas para aumento desta eficiência, figura a determinação do melhor momento do ano para efetuar as ações de controle pelos órgãos de saúde pública. No Brasil, especialistas conjecturam que, ao contrário das ações preconizadas pelo Ministério da Saúde, o período de controle do vetor da dengue deva ser adiantado para as estações frias e secas do ano. Desta forma, pretende-se observar a diminuição do número de infestação do vetor no período de maior pluviosidade, incorrendo assim em menor custo econômico e menor impacto social. Neste trabalho, a fim de validar esta conjectura, é proposto e analisado um modelo matemático computacional com quatro populações, expresso por meio de equações diferenciais não lineares para descrever a dinâmica das populações nas fases do ciclo de vida deste vetor diante da variação da pluviosidade. Neste modelo é possível implementar o controle em quaisquer semanas do ano, bem como comparar sua eficácia. O modelo é resolvido numericamente em M AT LABr _{e foi desenvolvida uma interface GUI - (Graphical}

User Interface) para possibilitar o uso interativo.

PALAVRAS-CHAVE: Dengue; Modelo Matemático; Pluviosidade.

Abstract

Despite the efforts of public authorities and the population in control the main vector of dengue, Aedes aegypti, numerous cases of the disease have been reported periodically in the world. According to World Health Organization, 50 to 100 million humans are infected annually with the dengue virus. The disease occurs mainly in tropical and subtropical areas of the world. Dengue has motivated the development of several mathematical models that describe and analyze the evolution of the phases of the life cycle of the vectors of this disease. Although the budget of government agencies for the control of this vector has been growing every year worldwide, in most countries these resources are scarce. It is therefore extremely important to optimize the efficiency of the control mechanisms of the population of Ae. aegypti, at acceptable levels in the environment. Among the possible measures to maximize this efficiency is the determination of the best time of year to perform the control actions by organs of public health. In Brazil, experts speculate that, unlike the actions recommended by the Ministry of Health, this period of the dengue vector control should be advanced to the cold and dry seasons of the year. So, intend to observe the decrease in the number of infestation of the vector in the subsequent period of higher rainfall, thereby incurring a lower cost and lower economic social impact. In this work, in order to validate this conjecture is proposed and analyzed a computational mathematical model with four populations, expressed through non-linear differential equations to describe the population dynamics of the phases of the life cycle of the vector on the real variation in rainfall average. In this model, it is possible to implement the control in any week of the year, and to compare their relative efficacies. The model is numerically solved with M AT LABr _{and to allow}

its use has developed an interactive GUI-(Graphical User Interface). PALAVRAS-CHAVE: Dengue; Mathematical Model; Rainfall.

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Caráter Interdisciplinar do Tema . . . 4

1.2 Organização do Texto . . . 4

2 Revisão Bibliográfica 5 2.1 Fases do Ciclo de Vida do Aedes aegypti . . . 5

2.2 Prevenção da Dengue . . . 7

2.3 Conceitos Matemáticos e Computacionais. . . 10

2.3.1 Equações Diferenciais . . . 11

2.3.2 Sistema Dinâmico . . . 11

2.3.3 Método de Runge-Kutta . . . 17

3 Modelos Matemáticos 20 3.1 Modelos Preliminares para Propagação da Dengue . . . 20

3.2 Formulação de Modelos . . . 28

3.2.1 Modelo de Duas Populações . . . 28

3.2.2 Análise da Estabilidade do Modelo de Duas Populações . . . . 30

3.2.3 Modelo de Três Populações . . . 33

3.2.4 Análise da Estabilidade do Modelo de Três Populações . . . . 34

3.2.5 Modelo de Quatro Populações . . . 38

3.2.6 Análise da Estabilidade do Modelo de Quatro Populações . . . 40

3.2.7 Parametrização Linear . . . 44

4 Resultados 47 4.1 Estudo dos Pontos Críticos do Modelo de Quatro Populações . . . 47

4.2 Estudo do Comportamento do Modelo de Quatro Populações . . . 49

4.3 Verificação da Conjectura 1 . . . 60

4.4 Discussão dos Resultados . . . 66

5 Conclusão e Trabalhos Futuros 68 A Algumas Demonstrações 70 A.1 Demostração 1 . . . 70

A.2 Demostração 2 . . . 73

B Tabelas Adotadas no Trabalho 77

C Interface Gráfica 89

Lista de Tabelas

3.1 Parâmetros adotados no modelo e valores adotados em (Thomé, 2007). 24

3.2 Parâmetros adotados no modelo de quatro populações e intervalo dos valores adotados no trabalho. . . 45

4.1 Diferença relativa percentual da área da população F2(t) do modelo (3.24) realizando controle em uma SBP e em uma SAP na cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil.. . . 65

4.2 Redução relativa percentual da área das populações E(t), A(t) e F1(t) do modelo (3.24) realizando controle em uma SBP e em uma SAP na cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil. . . 66

B.1 Cidade Fictícia X - pluvisiosidade máxima (p = 100 mm) nos 4 primeiros meses e pluviosidade mínima (p = 0 mm) para os 8 meses restantes do ano. Estes dados foram replicados para o próximo. . . 78

B.2 Cidade Fictícia Z - pluviosidade máxima (p = 100 mm) para as semanas 1, 9-10, 18-20, 28-31, 39-43, 51-56, 64-70, 78-85 e 93-101 e pluviosidade mínima (p = 0 mm) para as semanas restantes até completar o período de 108 semanas. . . 79

B.3 Cidade Fictícia W - pluviosidade decresce de 25 mm a cada 7 semanas até chegarmos no valor de pluviosidade mínima igual a p = 0 mm. Estes dados foram replicados até completar 105 semanas. . . 80

B.4 Cidade Fictícia Y - pluviosidade decresce de (100 a 0 mm) nos 6 primeiros meses e cresce (0 a 100 mm) nos outros 6 meses do ano. Estes dados foram replicados para o próximo. . . 81

B.5 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia de Governador Valadares, Minas Gerais, Brasil. . . 82

B.6 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil, no período de 2009/2010. . . 83

B.7 Valor dos pontos críticos e de RM referente aos valores de pluviosidade acumulada semanalmente das cidades fictícias X e Z . . . 83

B.8 Valor dos pontos críticos e de RM referente aos valores de pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia W. . . 84

B.9 Valor dos Pontos Críticos e de RM referente aos valores de pluviosi-dade acumulada semanalmente da cipluviosi-dade fictícia Y. . . 84

B.10Valor dos pontos críticos e de R_M referentes aos valores de pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia de Governador Valadares, Mi-nas Gerais, Brasil . . . 85

acumulada semanalmente da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil . . . . 86

B.12Valor dos pontos críticos e de R_M referentes aos valores de pluviosidade acumulada semanalmente da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil . . . . 87

B.13IMFA da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil, no período de 2009/2010. 88

Lista de Figuras

1.1 Distribuição mundial do Aedes aegypti no mundo até o ano de 2011. Fonte: (MS, 2011). . . 2

1.2 Número de municípios brasileiros com presença de Aedes aegypti, em 1995 e 2010. Fonte: (MS, a) . . . 3

2.1 Ciclo de vida do vetor da dengue. Modificada de:(CEVS) . . . 5

2.2 Monitoramento e controle do vetor Aedes aegypti, em 1920 e 2012. Fonte: Ecovec Ltda.,Belo Horizonte, Brasil.. . . 8

2.3 Armadilha MosquiTRAPr e esquema do monitoramento inteligente do vetor da dengue. Modificada: (Eiras e Resende, 2009) . . . 9

2.4 Mapa de classificação de risco de epidemia para o vírus da dengue no território brasileiro, 2011. Fonte: (MS, 2011) . . . 10

2.5 Classificação dos pontos críticos a partir do determinante ∆ e do traço T de um sistema dinâmico de Ordem 2.(Nepomuceno, 2005) . . . 15

2.6 Pseudocódigo do algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem para um sistema de quatro variáveis. Modificado de: (Campos, 2007) . . . 19

3.1 Diagrama da interação populacional de Aedes aegypti apresentada no modelo de Esteva e Yang (2006) com controle biológico. . . 21

3.2 Diagrama da interação populacional de Aedes aegypti apresentada no modelo de Thomé (2007) com controle biológico. . . 25

3.3 Diagrama da interação populacional de Aedes aegypti do modelo de duas populações com controle. . . 29

3.4 Diagrama da interação populacional do modelo de três populações com controle. . . 33

3.5 Diagrama da interação populacional do modelo de quatro populações com controle. . . 38

3.6 Dependência linear dos parâmetros do modelo com a pluviosidade p. . 45

4.1 Cortes do espaço de estados projetado nos planos coordenados das popu-lações do modelo (3.24). Os parâmetros do modelo dependem linearmente da pluviosidade p = p(t) que varia, por exemplo, no intervalo [0 ; 277,4]. . 48

4.2 Evolução das coordenadas dos pontos críticos do modelo (3.24) ao longo da variação linear da pluviosidade no intervalo [0; 277,4]. . . 48

4.3 Dependência de RM com a pluviosidade acumulada semanalmente, impondo a variação linear da pluviosidade no intervalo [0 ; 277,4]. . . 49

4.4 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia X no período de estudo. . . 50

cidade fictícia X no período de estudo. . . 51

4.6 Evolução da pluviosidade e das populações F₁(t) e F2(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia X no período de estudo. . . 51

4.7 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia Z no período de estudo. . . 52

4.8 Evolução da pluviosidade e das populações E(t) e A(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia Z no período de estudo. . . 53

4.9 Evolução da pluviosidade e das populações F₁(t) e F2(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia Z no período de estudo. . . 53

4.10 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia W no pe-ríodo de estudo. . . 54

4.11 Evolução da pluviosidade e das populações E(t) e A(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia W no período de estudo.. . . 55

4.12 Evolução da pluviosidade e das populações F₁(t) e F2(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia W no período de estudo.. . . 55

4.13 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia Y no período de estudo. . . 56

4.14 Evolução da pluviosidade e das populações E(t) e A(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia Y no período de estudo. . . 57

4.15 Evolução da pluviosidade e das populações F₁(t) e F2(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia Y no período de estudo. . . 57

4.16 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade fictícia de Gover-nador Valadares, Minas Gerais, Brasil no período de estudo. . . 58

4.17 Evolução da pluviosidade e das populações E(t) e A(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia de Governador Valadares, Minas Gerais, Brasil no período de estudo. . . 59

4.18 Evolução da pluviosidade e das populações F1(t) e F2(t) do Ae. aegypti na cidade fictícia de Governador Valadares, Minas Gerais, Brasil no período de estudo. . . 59

4.19 Pluviosidade acumulada semanalmente da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil, no período de estudo. . . 60

4.20 Evolução da pluviosidade e das populações E(t) e A(t) do Ae. aegypti na cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil no período de estudo. . . 61

4.21 Evolução da pluviosidade e das populações F1(t) e F2(t) do Ae. aegypti na cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil no período de estudo. . . 61

4.22 Evolução do IMFA com a pluviosidade acumulada semanalmente da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil no período de 2009/2010. . . 62

4.23 Comparação entre os dados teóricos de F₂(t) obtidos na simulação do mo-delo (3.24) e dados reais de IMFA da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil no período de 2009/2010. . . 63

4.24 Comparação entre a diferença relativa das população F2(t) com con-trole na semana 27 em relação ao caso sem concon-trole e com concon-trole na semana 47 em relação ao caso sem controle para a cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil, no período de estudo. . . 64

M AT LAB . . . 89

C.2 Escolha do arquivo de pluviosidade da cidade em estudo pelo usuário no M AT LABr. . . 90

C.3 Escolha do arquivo de parâmetros do modelo (3.24) pelo usuário no M AT LABr_{. . . . 90} C.4 Gráficos para visualização. . . 91

Capítulo 1

Introdução

A dengue é um dos principais problemas de saúde pública no mundo (OMS,

2001), sendo as áreas tropicais e subtropicais, as mais atingidas por essa doença em função de suas características ambientais e climáticas (OMS, 2003). No ano de 2005, a dengue foi considerada pela Organização Mundial da Saúde (OMS) a mais importante doença viral veiculada por mosquitos. Em 2007, um total de 2,5 bilhões de humanos viviam em regiões de risco, estimando-se 50 milhões a 100 milhões de novas infecções anuais e 250 mil a 500 mil casos de febre hemorrágica do dengue, com letalidade média de 5 % (Cunha, 2007).

Várias espécies de mosquitos do gênero Aedes podem servir como transmis-sores do vírus da dengue. No Brasil, duas delas estão hoje instaladas: Aedes (Ste-gomyia) aegypti (Linnaeus, 1762) (Diptera: Culicidae) e Aedes (Ste(Ste-gomyia) albo-pictus (Skuse, 1894) (Diptera: Culicidae). O Ae. alboalbo-pictus é um inseto de hábitos silvestres, mas que vem sendo encontrado também no meio urbano. Esta caracterís-tica de adaptação a diferentes ambientes e situações dificulta seu controle através da mesma metodologia adotada para o Ae. aegypti. As fêmeas do Ae. albopictus tem como fonte alimentar tanto o sangue humano como de outros mamíferos e até de aves. Este vetor é mais resistente a baixas temperaturas do que Ae. aegypti. O Ae. aegypti ficou conhecido mundialmente por transmitir a dengue e a febre amarela, e tem se caracterizado como um vetor de comportamento urbano (FNS, 2001).

O agente etiológico da dengue é um vírus, do gênero Flavivírus, da família Fla-viviridae, que possui quatro sorotipos diferentes: DEN-1, DEN-2, DEN-3 e DEN-4 ; cuja gravidade é variável (Monath, 1996; Figueiredo, 2000; ICTV, 2008) apud ( Ma-ciel et al., 2008). A infecção por um desses quatro sorotipos confere imunidade permanente para este, mas não para os demais, possibilitando que um mesmo indi-víduo seja infectado por até quatro vezes ao longo de sua vida (FNS, 2001).

A figura1.1 ilustra o mapa mundial da distribuição do Aedes aegypti no mundo até o ano de 2011, com países das Américas Central e do Sul, da África e da Ásia incluídos entre as regiões tropical e subtropical sob risco de ocorrência de transmissão da infecção pelo vírus da dengue. As isotérmicas 10 ◦ C de janeiro e de julho representam aproximadamente os limites geográficos norte e sul, respectivamente, em que o principal transmissor da dengue, o Aedes aegypti, pode sobreviver aos meses mais frios do ano. Embora, este vetor tenha sido encontrado em latitudes mais elevadas, da ordem de 45o N, ele não é capaz de sobreviver ao inverno (TDR,

2006).

Figura 1.1: Distribuição mundial do Aedes aegypti no mundo até o ano de 2011. Fonte: (MS, 2011)

A expansão geográfica da dengue e o aumento da incidência de casos tem sido frequentemente relacionados a fatores climáticos, como o aquecimento global e os fenômenos el niño e la niña, que influenciam a intensidade das chuvas e produzem alterações na biodiversidade de países tropicais e subtropicais do mundo e assim facilitam a permanência do vetor da dengue nestes países (OMS, 2004) apud (Maciel et al., 2008). Além disso, o Ae. aegypti apresenta grande capacidade adaptativa a diversos ambientes (Wallis et al.,1983), inclusive em circunstâncias não comuns para a espécie, como altitudes acima de 1700 metros (Herrera et al.,1992) e água poluída (Tauil,2002).

No entanto, o potencial de distribuição mundial da dengue não é unicamente o fator que a torna uma doença de relevância para saúde pública mundial, é preciso considerar que, além de sua distribuição e expansão, a importância da dengue no mundo é resultado de uma combinação de diversos outros fatores. Entre esses fatores destacam-se o aumento dos criadouros disponíveis para a reprodução do vetor, como resultado da inadequada infraestrutura básica urbana: habitação deficiente, coleta de lixo insuficiente, etc. Também concorrem como fator a movimentação das pessoas em escala local, regional ou mundial, acentuando a dispersão do vírus (Maciel et al.,

2008). Além disso, há as dificuldades do controle vetorial devido à grande facilidade de proliferação e disseminação do mosquito (Chieffi,1985) e da ineficiência das atuais medidas de controle, tais como, o uso de inseticidas e de manejo ambiental (Carvalho et al., 2004).

No Brasil, as condições de vida nas áreas urbanas com grandes densidades po-pulacionais, acentuadas pelo fluxo rural-urbano, levam ao surgimento de áreas de ocupação desordenada e sem infra-estrutura básica que facilitam a disseminação dos vetores e dificultam as estratégias de controle do mesmo (Donalísio e Glasser,2002) (Tauil,2002). O Ministério da Saúde (MS) revelou que entre os anos de 1995 e 2010, ocorreu um aumento de 130 % do número de municípios brasileiros com presença de Ae. aegypti, conforme demonstra a figura 2.2.

Figura 1.2: Número de municípios brasileiros com presença de Aedes aegypti, em 1995 e 2010. Fonte: (MS,a)

Como a dengue é uma doença sazonal, o aumento de sua ocorrência coincide com o verão, devido aos altos índices pluviométricos e aumento da temperatura, os quais favorecem a reprodução e a sobrevivência do vetor (Gubler, 1989). No Brasil, é exatamente nesse período que as medidas de prevenção da doença são iniciadas. No entanto, essas ações não são de caráter permanente ao longo do ano, ocorrendo somente nos períodos em que as populações do vetor aumentam em função da pluviosidade (Lenzi e Coura, 2004). Por ser um vetor domiciliado, o Ae. aegypti utiliza também criadouros cuja água independe diretamente da chuva, ocorrendo fora do período sazonal Watts et al. (1987), o que o torna capaz de transmitir a doença ao longo de todo o ano. Apesar disso, a existência das populações do vetor e da transmissão da doença fora do período chuvoso é desconsiderada pelas atuais medidas de controle da dengue no Brasil.

Os custos econômicos dos órgãos públicos no controle das populações de Ae. aegypti têm crescido a cada ano, mas como os recursos destinados a esse controle são limitados na maioria dos países, torna-se importante que se conheça o melhor momento do ano para se iniciar as medidas de prevenção e controle deste vetor. A conjectura a seguir, feita pelo professor Eiras, Á. E. do Laboratório de Ecologia Química de Insetos Vetores do Instituto de Ciências Biológicas da Universidade Federal de Minas Gerais (LabEQ-UFMG) vem de encontro à necessidade de se minimizar os custos de controle do vetor da dengue.

Conjectura 1 (Eiras, Á. E.) "Se intensificarmos o controle do vetor da dengue na estação fria e seca, ou seja, se adiantarmos a janela de controle do vetor da doença, diminuiremos acentuadamente as infestações do vetor no verão e com isso reduziremos o número de casos de dengue, impacto social e o custo dos órgãos pú-blicos no combate destes vetores."

Desta forma, neste trabalho é verificada a conjectura 1, através da dependência da população de fêmeas do Ae. aegypti em fase de oviposição com a pluviosidade, usando assim, parâmetros que variam linearmente em um sistema dinâmico não linear de quatro populações para descrever a dinâmica das fase evolutivas deste ve-tor diante da variação da pluviosidade. Também validaremos o modelo usando um subconjunto complementar de dados obtidos da parceria do LabEQ-UFMG com a Ecovec Ltda., Belo Horizonte, Brasil, através de simulações no M AT LABr

(MATHWORKS). E, por fim, foi desenvolvida uma interface GUI - (Graphical User Interface) para possibilitar o uso interativo do modelo de quatro populações.

1.1

Caráter Interdisciplinar do Tema

O tema deste trabalho é intrinsecamente interdisciplinar. Envolve as áreas da Ecologia e Parasitologia da Biologia, os Sistemas Dinâmicos da Matemática, as Simulações Numéricas da Computação e apresenta impactos na Epidemiologia da Medicina.

1.2

Organização do Texto

Apresentaremos de forma suscinta nesta seção a organização deste trabalho. No Capítulo 2, descrevemos as fases do ciclo de vida do principal vetor da dengue, o Ae. aegypti, bem como a duração de cada fase e as principais formas de monitora-mento e controle deste vetor. Destacamos também, alguns conceitos matemáticos, computacionais e trabalhos relevantes para problema em estudo. No Capítulo 3, apresentamos os modelos precedentes e o modelo dinâmico não linear de quatro po-pulações, bem como seus respectivos pontos críticos e análise de estabilidade. No Capítulo 4, apresentamos simulações no M AT LABr visando: (i) observar o com-portamento do modelo de quatro populações; e (ii) verificar a conjectura 1. No Capítulo 5, contém as considerações finais do trabalho e sugestões para estudos futuros. E, por fim, são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas neste trabalho.

Nos Apêndices encontram-se algum dos cálculos desenvolvidos na verificação da estabilidade do modelo de quatro populações, as tabelas com os dados de pluviosi-dades acumuladas semanalmente de 5 cipluviosi-dades fictícias e da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil, no período de 2009/2010. Além disso, apresentamos o Índice Médio de Fêmeas Aedes - IMFA da cidade de Lavras, Minas Gerais, Brasil, no período de 2009/2010 e os valores dos pontos críticos e de RM correspondentes a cada

ci-dade estudada neste trabalho. E, finalmente apresentamos algumas ilustrações da interface gráfica do modelo de quatro populações.

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

Nesta seção, descrevemos de forma sucinta as fases do ciclo de vida do principal vetor da dengue, o Ae. aegypti, bem com a duração de cada fase. Ressaltamos também as principais formas de monitoramento e controle deste vetor, e a forma de transmissão e sintomas da dengue.

2.1

Fases do Ciclo de Vida do

Aedes aegypti

O ciclo de vida completo do Ae. aegypti é ilustrado na figura2.1, sendo composto por quatro fases: ovos, larvas, pupas e adulto.

Figura 2.1: Ciclo de vida do vetor da dengue. Modificada de:(CEVS)

Os ovos do Ae. aegypti são depositados individualmente por suas fêmeas ao longo das paredes internas ou diretamente na água em reservatórios de água sombreadas. Embora a fêmea prefira realizar suas posturas em reservatórios naturais e artifici-ais de água limpa, ela explora de ampla variedade de criadouros que apresentam também água poluída. Dentre os mais variados tipos de criadouros encontram-se

latas, embalagens plásticas, pratos de vasos de planta, caixas d’água, pneus, oco de árvores, bromélias, dentre outros.

No momento da postura, os ovos são brancos, mas rapidamente adquirem a cor negra. Medem aproximadamente 1 mm de comprimento e contorno alongado e fu-siforme (Forattini,1962) apud (FNS,2001). Uma vez completado o desenvolvimento embrionário, aproximadamente 48 horas após a sua postura, em condições favoráveis de umidade e temperatura, estes ovos são capazes de resistir a longos períodos de dessecação que podem prolongar-se por mais de um ano. Esta característica per-mite que os ovos sejam transportados por grandes distâncias em recipientes secos, tornando-se assim a principal via de dispersão do vetor (FNS, 2001).

A fase de larva possui quatro estádios evolutivos, correspondendo ao período de crescimento e alimentação. As larvas são sensíveis a movimentos bruscos na água e à presença de luz. Geralmente alimentando-se de detritos orgânicos animais ou vegetais, bactérias, fungos e protozoários existentes na água, contudo não supor-tam elevadas concentrações de matéria orgânica. A duração desta fase depende da temperatura, disponibilidade de alimento e densidade das larvas no criadouro (FNS,

2001).

A pupa é o último estágio da fase imatura, correspondem à fase na qual ocorre a metamorfose do estágio imaturo para a fase alada. Este estágio dura de dois a três dias (FNS,2001).

A fase alada representa a fase reprodutora do Ae. aegypti. Em média, 24 horas após emergirem da fase imatura, machos e fêmeas estão aptos para o acasalamento. O acasalamento realiza-se durante o vôo e, dificilmente, ocorre sobre uma superfície, vertical ou horizontal. Um único acasalamento é suficiente para fecundar todos os ovos que a fêmea venha a produzir ao longo de sua vida(FNS,2001). A fêmea chega a colocar entre 150 e 200 ovos em cada geração. Estes ovos são depositados aos poucos em diferentes criadouros, aumentando assim a probabilidade de nascimento de novos vetores. Calcula-se que haja uma probabilidade entre 30 % e 40 % de que os descendentes de fêmeas infectadas já nasçam com o vírus da dengue, processo conhecido como transmissão transovariana (Oliveira,2006).

Machos e fêmeas do vetor alimentam-se da seiva das plantas, mas somente as fêmeas picam o ser humano em busca de sangue para maturar seus ovos. Este repasto sanguíneo das fêmeas ocorre quase sempre durante o dia, nas primeiras horas da manhã e no final da tarde. Em geral, a fêmea faz uma postura após cada repasto sanguíneo. O intervalo entre a alimentação e a postura em condições favoráveis de temperatura é de 3 dias. Em geral, a fêmea se alimenta mais de uma vez, entre duas sucessivas posturas, em especial quando perturbada antes de totalmente ingurgitada (cheia de sangue). Este fato aumenta a disseminação do vírus da dengue a vários humanos por uma única fêmea infectada (FNS,2001).

O Ae. aegypti pode permanecer vivo em laboratório durante meses, mas na natureza vivem em média de 30 a 35 dias (FNS, 2001). No verão, seu ciclo de vida pode ser reduzido para 12 dias (MS, 2008).

Enfim, em condições ideais, uma vez imersos na água, os ovos desenvolvem-se rapidamente em larvas, que por sua vez, dão origem às pupas, das quais surgem os mosquitos adultos.

2.2

Prevenção da Dengue

Atualmente, a prevenção da dengue no Brasil se dá por meio do monitoramento e controle do vetor, que vem apresentando baixa eficácia e altos custos econômicos aos gestores públicos.

O monitoramento do vetor pode ser realizado principalmente através de dois mé-todos: pesquisa larvária e ovitrampas iscadas com infusões de ervas. O método de pesquisa larvária é realizado a cada bimestre. Apresenta baixa sensibilidade, uma vez que utiliza índices entomológicos com base em formas imaturas (fase larval) do vetor, além de exigir intenso trabalho de campo e laboratorial. O método de ovitram-pas iscadas com infusões de ervas é mais indicado nos períodos de baixa densidade populacional do vetor. Este método também exige intenso trabalho laboratorial e só permite quantificar o número de ovos depositados, impossibilitando o cálculo da densidade populacional do vetor numa determinada área (Eiras e Resende,2009).

A única forma de controle da dengue é através do controle do vetor, que pode acontecer através de ações educativas, controle mecânico, químico e biológico.

As ações educativas ocorrem através dos meios de comunicação, das escolas, de associações comunitárias, dentre outros, que visam conscientizar os agentes de saúde pública e a população sobre as medidas de prevenção da dengue a através do controle do Ae. aegypti (OPAS, 1995)apud (Paixão, 2007).

A forma mecânica consiste na eliminação cotidiana pela população e pelos agen-tes de saúde pública de locais com condições para o desenvolvimento das larvas do vetor, ou seja, locais com acúmulo de água.

O controle químico consiste na aplicação de larvicidas e inseticidas em locais de criação do vetor nas fases larval e adulta, a fim de eliminá-los. O uso intenso destes produtos químicos pode provocar danos ambientais e gerar o desenvolvimento de resistência dos vetores, ou seja, morrem os indivíduos susceptível e sobrevivem os resistentes que transferem essa resistência aos seus descendentes (Thomé, 2007). Programas essencialmente centrados neste tipo de controle possuem baixíssimo ou mesmo nenhuma participação da comunidade. Além disso, contam com pequena utilização do instrumental epidemiológico. Por estas características, mostraram-se incapazes de conter a proliferação destes vetores com altíssima capacidade de adaptação ao ambiente (MS, b).

O controle biológico consiste basicamente no emprego de um organismo (pre-dador, parasita ou patógeno) que ataca a respectiva fase do ciclo de vida do Ae. aegypti. Atualmente, vem crescendo os estudos de conter o Ae. aegypti adulto atra-vés da inserção de machos estéreis em áreas endêmicas visando alterar seu processo reprodutivo e desta forma, reduzir assim o nível de vetores contaminados. Os ma-chos estéreis são obtidos pelo uso de agentes que causam mutações, tais como, a radiação gama. Esta técnica, conhecida como Sterile Insect Technique (SIT), foi desenvolvida pelo entomólogo americano Edward Knipling e tem-se mostrado muito eficiente no controle de pragas agrícolas. Devido à distribuição espacial heterogênea dos criadouros do vetor da dengue, há dificuldade em aplicar na prática este tipo de controle biológico, visto que quando as indústrias fabricam estes indivíduos em grande escala, elas precisam libertá-los imediatamente na natureza, devido ao tempo curto de vida do vetor (Thomé,2007).

uti-lizadas atualmente no Brasil são da primeira metade do século XX. A figura (2.2) ilustra algumas destas metodologias de controle do Ae. aegypti em 1920 e no ano corrente.

Figura 2.2: Monitoramento e controle do vetor Aedes aegypti, em 1920 e 2012. Fonte: Ecovec Ltda.,Belo Horizonte, Brasil.

Visando encontrar uma forma mais exata de monitoramento do Ae. aegypti, foi desenvolvida a armadilha MosquiTRAPr, que é um método de captura do vetor adulto da dengue, especialmente as fêmeas grávidas durante todo o ano. Esta ar-madilha é uma imitação de um vaso preto fosco de planta com material adesivo por dentro, onde o vetor ao entrar na armadilha, fica preso. A fêmea do Ae. aegypti é atraída para a armadilha com a ajuda de um atraente sintético de oviposição, o AtrAedes, patenteado pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Neste método, os vetores são facilmente identificados durante a inspeção ainda em campo, evitando assim gastos com pessoal de laboratório (Eiras e Resende, 2009).

A Ecovec Ltda., Belo Horizonte, Brasil, desenvolveu um sistema privado de Mo-nitoramento Inteligente da Dengue (MI-Dengue). O sistema MI-Dengue consiste em utilizar a armadilha MosquiTRAPr, juntamente com um sistema informatizado para coleta de dados de campo, transmissão, acesso e mapas georreferenciados em tempo real de uma determinada região de monitoramento.

SegundoEiras e Resende(2009) as armadilhas MosquiTRAPr são distribuídas e instaladas estratégicamente nas residências. Cada armadilha que é georreferenciada via GPS é vistoriada semanalmente por agentes de campo equipados com celulares. As informações são instantaneamente transmitidas para uma central, onde os dados são processados imediatamente, gerando mapas de infestação codificados por cores, tabelas e indicadores entomológicos.

O sistema MI-Dengue leva em consideração os seguintes indicadores entomoló-gicos:

• Índice Médio de Fêmeas Aedes (IMFA): este índice é utilizado para o acom-panhamento semanal de infestação do vetor nos bairros e municípios.

IM F A = k n

sendo k o número médio de fêmeas Ae. aegypti capturadas em n armadilhas instaladas por semana epidemiológica em uma área de monitoramento. • Índice Médio Temporal de Fêmeas Aedes (IMFAt): este índice é a média

dos valores IMFA sobre um número de semanas, tipicamente, três semanas. Calcula-se este índice com base na seguinte fórmula:

IM F At = IM F Asemana n−2+ IM F Asemana n−1+ IM F Asemana n 3

em que IM F Asemana n−2 corresponde ao índice IM F A de duas semanas

ante-riores, IM F Asemana n−1 corresponde ao índice IM F A da semana anterior, e

IM F Asemana n corresponde ao índice IM F A do índice da semana analisada.

A figura 2.3 ilustra a armadilha MosquiTRAPr e o sistema de monitoramento inteligente do vetor da dengue. A cor das regiões do mapa é de acordo com o número médio de fêmeas de Ae. aegypti capturadas pela armadilha MosquiTRAPr, e indicam situações:

• livre de risco (cor verde) - (IMFAt < 0,2);

• alerta a dengue (cor amarela) - (0.2 < IMFAt < 0,4); • crítica (cor vermelha) - (IMFAt > 0,4).

Figura 2.3: Armadilha MosquiTRAPr e esquema do monitoramento inteligente do vetor da dengue. Modificada: (Eiras e Resende, 2009)

Atualmente, as capitais, os municípios com mais de 100 mil habitantes e os muni-cípios com grande fluxo de turistas e de fronteira do território brasileiro participam

de um programa lançado pelo MS, o Levantamento Rápido do Índice de Infestação por Ae. aegypti (LIRAa), que identifica as regiões de criadouros do vetor e a situ-ação de infestsitu-ação do município; além de permitir o direcionamento das ações de controle para as áreas mais críticas (MS, 2008).

A figura2.4ilustra o novo mapa de classificação de risco para a dengue no Brasil, divulgado em janeiro de 2011 pelo MS. Este mapa foi traçado com base no Risco de dengue, sendo uma ferramenta lançada pelo MS em setembro de 2010 que levou em consideração seis critérios básicos de risco. Entre estes critérios, quatro são do setor Saúde: incidência atual de casos; incidência de casos nos anos anteriores; índices de infestação pelo Ae. aegypti e sorotipos em circulação. O quinto critério é ambiental: cobertura de abastecimento de água e coleta de lixo; e o último é demográfico: densidade populacional. Com a atualização do LIRAa, passaram de dez para dezesseis os estados com risco muito alto de epidemia. Por outro lado, o número de estados com risco considerado alto e que também precisam reforçar as ações de prevenção e combate à doença caiu de nove para cinco (MS, 2011).

Figura 2.4: Mapa de classificação de risco de epidemia para o vírus da dengue no território brasileiro, 2011. Fonte: (MS, 2011)

Como não há vacina contra a dengue, é fundamental que haja ações eficazes de políticas públicas no setor da saúde e na limpeza urbana. Além disso, é necessário uma maior conscientização e mobilização social sobre a necessidade de manter o ambiente livre do vetor da dengue.

2.3

Conceitos Matemáticos e Computacionais

Em muitas áreas do conhecimento como a Física, a Química, a Biologia e a Eco-nomia há exemplos de uso das equações diferenciais para modelagem de problemas teóricos. Frequentemente as equações diferenciais constituem a própria linguagem para descrever as leis da natureza, como é o caso da Física. Como iremos descrever um sistema de equações diferenciais para descrever a dinâmica das populações das

fases evolutivas do Ae. aegypti, abordaremos nesta seção alguns conceitos a res-peito de equações diferenciais e de sistemas dinâmicos. Os conceitos matemáticos que seguem nesta seção estão detalhados em (Monteiro,2002), (Nepomuceno,2005), (Boyce; W. E., 2006) e (Allen, 2007). Apresentamos também o método numérico adotado para resolver o modelo proposto neste trabalho, detalhado em (Campos,

2007).

2.3.1

Equações Diferenciais

Definição 2 Considere uma variável independente t, que usualmente representa o tempo, onde t ∈ I ⊂ R, I =]α, β[, uma variável dependente x(t) : I → R e uma função f : I × Rn+1→ R com: y = f (t, x, x(1), x(2), · · · , x(n)), onde x(k)= d (k)_x dtk A equação f (t, x, x1, x2, · · · , xn) = 0 (2.1) é chamada de equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n ou de n-ésima ordem.

A ordem de uma EDO é estabelecida pelo maior grau da derivada que aparece na equação. Se a função f na equação (2.1) depender linearmente da variável de-pendente x, então esta equação é chamada de equação linear; caso contrário, é não linear. Dizemos que uma EDO é autônoma se a função f não depender explicita-mente da variável independente t. A solução geral de uma EDO é a familia de todas as curvas que satisfazem (2.1).

2.3.2

Sistema Dinâmico

Definição 3 Um sistema dinâmico (SD) representado por EDOs de primeira ordem possui a seguinte estrutura

(SD) :                              dx1 dt = f1(t, x1, x2, . . . , xn) dx2 dt = f2(t, x1, x2, . . . , xn) .. . dxn dt = fn(t, x1, x2, . . . , xn) (2.2)

em que o parâmetro t, as funções xi e fi são tais que t ∈ I, I = ]α, β[, xi : I → R

Pode-se definir ~x(t) e ~F (t, ~x(t)) da seguinte forma: ~ x(t) =    x1(t) .. . xn(t)   , ~F (t, ~x(t)) =    f1(t, x1(t), . . . , xn(t) .. . fn(t, x1(t), . . . , xn(t)   

Desta forma, o sistema (2.2) na forma vetorial é o seguinte: d~x

dt = ˙~x(t) = ~F (t, ~x(t)), tal que t ∈ ]α, β[ e ~x(t) ∈ R

n

Definição 4 A dimensão de um SD é dada pelo o número n de EDO’s de primeira ordem, ou equivalentemente, pelo número de variáveis dependentes xi(t).

Dizemos que o sistema (2.2) tem uma solução no intervalo I =]α, β[ se existe um conjunto de n funções x1 = φ1(t), . . . , xn = φn(t) diferenciáveis em todos

os pontos do intervalo I que satisfazem o sistema (2.2) em todos os pontos deste intervalo. Se além do sistema (2.2) também forem dadas as condições iniciais da forma x1(α) = x01, . . . , xn(α) = x0n, temos um Problema de Valor Inicial (PVI) a

ser resolvido.

Teorema 5 (Existência e Unicidade) Suponha que cada uma das funções (f1, f2, . . .,

fn) e todas as suas derivadas parciais ∂f_∂x1₁, . . . , _∂x∂f_n1, . . . , ∂f_∂xn₁, . . . , _∂x∂fn_n, são

contí-nuas na região Rn+1 definida por α < t < β, α1 < x1 < β1, . . . , αn < xn < βn, e

suponha que o ponto (t0, x01, x02, . . . , x0n) ∈ R. Então existe h > 0 tal que, para

todo t ∈ ]t0− h, t0+ h[ existe uma única solução x1 = φ1(t), . . . , xn= φn(t) do

sistema (2.2) que também satisfaz as condições iniciais x1(α) = x01, . . . , xn(α) = x0n.

Dizemos que um SD é autônomo se todas as funções f1, . . . , fnnão dependerem

da variável independente t, mas apenas das variáveis dependentes x1, . . . , xn. Se

cada uma das funções f1, . . . , fndo sistema (2.2) depender linearmente das variáveis

dependentes x1, . . . , xn, então o sistema de equações é linear; caso contrário, é não

linear.

Definição 6 Seja o sistema dinâmico autônomo linear (SDAL) da forma ˙

~

x(t) = B~x(t) (2.3)

em que B é uma matriz Mn×n. Se existirem pontos onde B~x(t) =

− →

0 , estes pontos são chamados de pontos críticos do (SDAL). Nestes pontos, ˙~x(t) = 0 para todo x, de modo que os pontos críticos correspondem a soluções constantes, ou de equilíbrio, do sistema de equações diferenciais.

Definição 7 Um ponto crítico ~xc _{de um (SDAL) é estável se dado qualquer ε > 0,}

existe um δ > 0 tal que toda solução ~x = ~φ(t) do sistema (2.3), que satisfaz, em t = 0, k ~φ(0) − ~xc _{k< δ, existe para todo t positivo e satisfaz k ~φ(t) − ~x}c _{k< ε}

para todo t ≥ 0. Esta proposição matemática diz que todas as soluções que começam "suficientemente próximas" (isto é, a uma distância menor do que δ) de ~xc perma-necem "próximas" (isto é, a uma distância menor do que ε) de ~xc_{. Um ponto crítico}

que não é estável é chamado de instável. O ponto crítico ~xc é assintoticamente estável, se é estável e se existe um δ0 > 0 tal que, se uma solução x = φ(t) do

sistema (2.3) satisfaz k ~φ(0) − ~xc k< δ0, então limt→+∞φ(t) = ~~ xc. Desta forma, as

trajetórias que começam "suficientemente próximas" de ~xc _{não apenas permanecem}

"próximas", mas têm que acabar tendendo a ~xc _{quando t → +∞.}

Seja o sistema dinâmico autônomo não-linear (SDANL) da forma ˙

~

x(t) = B~x(t) + ~g(~x(t)) (2.4)

em que B é a matriz Mn×n e ~g é uma função não linear. Suponha que ~xc é um

ponto crítico deste (SDANL) e que det(B) 6= 0, de modo que ~xc _{também é ponto}

crítico isolado do sistema dinâmico autônomo linear ~x = B~x. Para que o sistema (2.4) aproxime do sistema dinâmico autônomo linear nas proximidades de ~xc, temos que supor que ~g seja suficientemente pequeno perto de ~xc_{, ou seja, vamos supor que}

~

g possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança de ~xc _e

satisfaz à condição lim ~ x→~xc k ~g(~x − ~xc_{) k} k ~x − ~xc_k = 0, (2.5)

isto é, k ~g(~x − ~xc_{) k vai para zero mais rapidamente que k ~x − ~x}c _{k. O sistema}

dinâmico autônomo não linear que apresenta este comportamento é chamado de sistema dinâmico quase linear na vizinhança do ponto crítico ~xc.

Teorema 8 O sistema dinâmico autônomo n-dimensional não linear (2.4) será quase linear em uma vizinhança de um ponto crítico ~xc = (xc₁, · · · , xc_n) sempre que as funções f1, · · · , fn tiverem derivadas parciais contínuas até a segunda ordem.

De fato, usamos a expansão de Taylor em torno do ponto crítico ~xcpara escrever as funções f1, · · · , fn na forma f1(x1, . . . , xn) = f1(~xc) + ∂f1 ∂x1 (~xc)(x1− xc1) + · · · + ∂f1 ∂xn (~xc)(xn− xcn) + η1(x1, . . . , xn) .. . fn(x1, . . . , xn) = fn(~xc) + ∂fn ∂x1 (~xc)(x1− xc1) + · · · + ∂fn ∂xn (Pc)(xn− xcn) + ηn(x1, . . . , xn), em que η1(x1, . . . , xn) [(x1− xc1)2+ . . . + (xn− xcn)2]1/2 → 0, . . . , ηn(x1, . . . , xn) [(x1− xc1)2+ . . . + (xn− xcn)2]1/2 → 0 quando ~x → ~x c. Observe que f1(~xc) = . . . = fn(~xc) = 0 e que

dx1 dt = d(x1− xc1) dt , . . . , dxn dt = d(xn− xcn) dt .

Então, o sistema (2.4) se reduz a ˙ ~ u = ∂ ~f ∂~x(~x c_{) ~u + η(~x) (2.6)} em que ~u = (~x − ~xc₎T _{, η = (η}

1, . . . , ηn)T e ∂ ~_∂~f_x é a matriz Jacobiana da função

f = f1, · · · , fn no ponto crítico ~xc.

Este resultado tem duas consequências. A primeira é que se as funções f1, · · · , fn

forem duas vezes diferenciáveis, então o sistema (2.4) é quase linear e não é necessário calcular o limite (2.5) na parte não linear do sistema. A segunda é que o sistema linear que se aproxima o sistema (2.4) nas proximidades do ponto crítico ~xc _{é dado}

pela parte linear do sistema 2.6:

˙ ~ u = B~u onde B =          ∂f1 ∂x1(~x c₎ ∂f1 ∂x2(~x c_{) · · ·} ∂f1 ∂xn(~x c₎ ∂f2 ∂x1(~x c₎ ∂f2 ∂x2(~x c_{) · · ·} ∂f2 ∂xn(~x c₎ .. . ... ... ... ∂fn ∂x1(~x c₎ ∂fn ∂x2(~x c_{) · · ·} ∂fn ∂xn(~x c₎         

Definição 9 Um autovalor de uma matriz B de ordem n é um escalar λ, tal que B~x = λ~x, para algum vetor ~_{x não nulo em R}n_{. Dizemos que ~x é um autovetor de}

B associado ao autovalor λ de B. Além disso, de B~x = λ~x, temos que

(B − λI)~x = ~0 (2.7)

em que I corresponde à matriz identidade de n-ésima ordem.

Definição 10 O polinômio característico de B é definido da seguinte forma: p(λ) = det(B − λI) = a0λn+ a1λn−1+ . . . + an = 0. (2.8)

Portanto, os autovalores de B são raízes de p(λ).

O estudo da estabilidade dos pontos críticos de um sistema dinâmico autônomo pode ser determinado pelo sinal da parte real de seus autovalores (λj) associados à

matriz Jacobiana B.

Para um sistema de segunda ordem o estudo da estabilidade de seus pontos críticos em função dos autovalores é realizada a partir do traço T e do determinante ∆ da matriz do sistema. Os autovalores associados aos pontos críticos (P0, P1) deste

sistema são respectivamente as raízes de:

λ2₁− T1λ1+ ∆1 = 0

em que T0, T1, ∆0 e ∆1 são respectivamente os traços e os determinantes das

matrizes dos jacobianos em P0 e P1.

• Se ∆ < 0, então λ0,1 são reais e com sinais opostos: o ponto crítico é chamado

de sela, que é instável.

• Se ∆ > 0 e T2_{− 4∆ > 0, então λ}

0,1 são reais e com o mesmo sinal. O ponto

crítico é chamado de nó. – se T > 0, nó instável;

– se T < 0, nó assintoticamente estável. • Se ∆ > 0 e T2_{− 4∆ > 0, então λ}

0,1 são complexos conjugados. O ponto crítico

é chamado de espiral.

– se T > 0, espiral instável;

– se T < 0, espiral assintoticamente estável; – e se T = 0, centro neutramente estável.

A Figura 2.5 ilustra as regiões de estabilidade para um ponto crítico de um sistema de segunda ordem.

Figura 2.5: Classificação dos pontos críticos a partir do determinante ∆ e do traço T de um sistema dinâmico de Ordem 2.(Nepomuceno,2005)

Calcular explicitamente os autovalores λj para sistemas com mais de duas

va-riáveis dependentes pode ser complicado. Entretanto, não é necessário fazer este cálculo, basta apenas conhecer o sinal das suas partes reais. E se este ponto crítico apresentar todos autovalores λj com parte real negativa, ou seja, Re(λj) < 0, para

todo j, ele será assintoticamente estável, caso contrário, ele será instável.

O problema de descobrir se todas as raízes de um polinômio têm parte real ne-gativa, sem calcular explicitamente essas raízes, foi solucionado em 1874 por Routh, E.J.; e em 1895, Hurwitz, A. encontrou, independentemente, uma solução equiva-lente.

Uma condição necessária, mas não suficiente do critério de Routh-Hurwitz, ga-rante que todas as raízes do polinômio (2.8) têm parte real negativa se os coeficientes aj são todos positivos. Por exemplo, o polinômio λ3+λ2+λ+1 = (λ+i)(λ−i)(λ+1)

possui coeficientes positivos, mas admite como raízes números com parte real zero (−i, +i) e número com parte real negativa (−1).

As condições necessárias e suficientes para que todas as raízes do polinômio (2.8) tenham parte real negativa são dadas em termos da matriz de Routh-Hurwitz (H). Se a matriz B é ordem n, então H também é de ordem n. A matriz Hné construída

do seguinte modo:

1. Na primeira linha, escrevem-se os coeficientes aj com índices ímpares, com j

crescente; na segunda linha escrevem-se os coeficientes aj com índices pares,

com j crescente.

2. As duas linhas seguintes são obtidas deslocando-se as duas primeiras linhas uma coluna para direita, e colocando zeros nas posições que ficaram vazias; 3. Repete-se processo 2 para se construir as demais linhas, até que an ocupe o

canto inferior direito. ou seja, Hn=          a1 a3 a5 · · · 0 1 a2 a4 · · · 0 0 a1 a3 · · · 0 0 1 a2 · · · 0 .. . ... ... · · · ... 0 0 0 · · · an         

Observe que a diagonal principal dessa matriz contém, sem repetição, os coe-ficientes a1,. . . , an. O critério de Routh-Hurwitz estabelece que Re(λj) < 0 para

todo j = 1, . . . , n se são todos positivos os coeficientes aj, e se são todos positivos

os determinantes menores ∆j: ∆1 = |a1|, ∆2 =     a1 a3 1 a2     , ∆3 =       a1 a3 a5 1 a2 a4 0 a1 a3       ,. . ., ∆n = |Hn|. em que aj = 0 se j > n.

Para polinômios de grau n = 2, 3, 4 e 5, os critérios de Routh-Hurwitz podem ser simplificados da seguinte forma:

• n = 2: a1 > 0 e a2 > 0. • n = 3: a1 > 0, a3 > 0 e a1a2 > a3. • n = 4: a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0 e a1a2a3 > a23 + a4a21. • n = 5: ai > 0, i = 1, 2, 3, 4, 5, a1a2a3 > a23+ a4a21 e (a1a4− a5)(a1a2a3− a23− a4a21) > a5(a1a2− a3)2+ a1a25 .

2.3.3

Método de Runge-Kutta

Basicamente, existem três métodos para se investigar os comportamentos de um sistema dinâmico:

1. Método Analítico: integram-se analiticamente suas equações, determinando a solução em termos de fórmulas gerais;

2. Método Numérico: integram-se numericamente suas equações calculando va-lores para as variáveis dependentes (x1, . . . , xn) em pontos pré-definidos da

variável dependente t.

3. Método Qualitativo: através de cálculos analíticos obtemos pistas da dinâmica do sistema no tempo. Essa técnica é uma descrição de variáveis de estado e seus estados são representados no espaço de estados, também chamado de espaços de fases.

Sabemos também que nem toda equação diferencial ordinária tem solução ana-lítica. Desta forma, os métodos analíticos são restritos apenas a algumas formas especiais de funções, mas praticamente qualquer EDO pode ser resolvida numerica-mente e qualitativanumerica-mente.

Seja o PVI de primeira ordem            x0 = f (t, x) x(tα) = x0 α ≤ t ≤ β e x ∈ R (2.9)

Pelo teorema5a solução do PVI é uma função x = x(t) contínua e diferenciável que satisfaz (2.9).

Existem vários métodos numéricos como Método de Euler, Método de Runge-Kutta, Métodos de Adams, dentre outros, para calcular uma aproximação xi da

solução exata x(ti) de (2.9) nos pontos

ti = α + ih, h =

β − α

m , i = 0, · · · , m

em que m é o número de subintervalos de [α, β] e h é o incremento ou passo. Deste modo, a solução numérica de (2.9) será uma tabela contendo os pares (ti, xi) sendo

que xi ≈ x(ti). E uma vez, alteradas as condições iniciais do PVI, toda a tabela

deve ser recalculada.

Neste trabalho optamos em utilizar o método bem conhecido e amplamente uti-lizado, dentro da classe de métodos numéricos de equações diferenciais, que foi o algoritmo de Runge-Kutta, em especial, o de quarta ordem. Este método está deta-lhado em (Campos, 2007).

Os métodos de Runge-Kutta são de passo simples, pois requerem apenas a exis-tência da derivada de primeira ordem de f e podem fornecer aproximações precisas com erros de truncamento da ordem de h, h2_{, h}3_{, etc.}

Todos os métodos de Runge-Kutta têm a seguinte forma geral: xi+1= xi+ hf (ti, xi)

em que f , chamada de função incremento, é uma aproximação conveniente para f (ti, xi) no intervalo ti ≤ t ≤ ti+1

O método Runge-Kutta de quarta ordem requer 4 cálculos de f por passo h. Dado o incremento h e o ponto inicial (ti, xi) o algoritmo consiste em fazer iterativamente:

1. Calcule k1 dado por

k1 = hf (ti, xi).

2. A partir de k1, calcule k2 dado por k2 = hf  ti+ h 2, xi+ k1 2 

3. A partir de k2, calcule k3 dado por k3 = hf  ti+ h 2, xi+ k2 2 

4. A partir de k3, calcule k4 dado por

k4 = hf (ti+ h, xi+ k3)

5. A partir de k1, k2, k3 e k4, calcule a aproximação xi+1 dada por

xi+1= xn+

1

6(k1 + 2(k2 + k3) + k4)

A figura2.6 ilustra o Pseudocódigo do algoritmo para a solução do PVI usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem para um sistema de quatro variáveis.

Pseudocódigo do Algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem

{Objetivo: Resolver um PVI pelo Método Runge-Kutta de quarta ordem } parâmetros de entrada (α, β, m, x0₁, x0₂, x0₃, x0₄)

{limite inferior, limite superior, número de subintervalos e valores iniciais} parâmetros de saída (V ETt, V ET X1, V ET X2, V ET X3, V ET X4)

{abscissas e solução do PVI } h ← (β − α)/m; tt ← α; x1t ← x01;

x2t ← x02; x3t ← x03; x4t ← x04;

V ETt(1) ← tt;

V ET X1(1) ← x1t; V ET X2(1) ← x2t;V ET X3(1) ← x3t; V ET X4(1) ← x4t;

para i ← 1 até m faça

t ← tt; x1 ← x1t; x2 ← x2t; x3 ← x3t; x4 ← x4t; k11 ← f1(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f1(t, x1, x2, x3, x4)} k12 ← f2(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f2(t, x1, x2, x3, x4)} k13 ← f3(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f3(t, x1, x2, x3, x4)} k14 ← f4(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f4(t, x1, x2, x3, x4)} t ← tt + h₂; y1 ← x1t + h₂ ∗ k11; x2 ← x2t +h₂ ∗ k12; x3 ← x3t + h₂ ∗ k13; x4 ← x4t + h₂ ∗ k14; k21 ← f1(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f1(t, x1, x2, x3, x4)} k22 ← f2(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f2(t, x1, x2, x3, x4)} k23 ← f3(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f3(t, x1, x2, x3, x4)} k24 ← f4(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f4(t, x1, x2, x3, x4)} t ← tt + h 2; y1 ← x1t + h₂ ∗ k21; x2 ← x2t +h₂ ∗ k22; x3 ← x3t + h₂ ∗ k23; x4 ← x4t + h₂ ∗ k24; k31 ← f1(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f1(t, x1, x2, x3, x4)} k32 ← f2(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f2(t, x1, x2, x3, x4)} k33 ← f3(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f3(t, x1, x2, x3, x4)} k34 ← f4(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f4(t, x1, x2, x3, x4)} t ← tt + h; y1 ← x1t + h ∗ k31; x2 ← x2t + h ∗ k32; x3 ← x3t + h ∗ k33; x4 ← x4t + h ∗ k34; k41 ← f1(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f1(t, x1, x2, x3, x4)} k42 ← f2(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f2(t, x1, x2, x3, x4)} k43 ← f3(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f3(t, x1, x2, x3, x4)} k44 ← f4(t, x1, x2, x3, x4);{avaliar f4(t, x1, x2, x3, x4)} tt ← α + i ∗ h; x1 ← x1t + h₆ ∗ (k11 + 2 ∗ (k21 + k31) + k41); x2 ← x2t + h₆ ∗ (k12 + 2 ∗ (k22 + k32) + k42); x3 ← x3t + h₆ ∗ (k13 + 2 ∗ (k23 + k33) + k43); x4 ← x4t + h₆ ∗ (k14 + 2 ∗ (k24 + k34) + k44); V ETt(i + 1) ← tt; V ET X1(i + 1) ← x1t; V ET X2(i + 1) ← x2t; V ET X3(i + 1) ← x3t; V ET X4(i + 1) ← x4t; fim para fim do algoritmo.

Figura 2.6: Pseudocódigo do algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem para um sistema de quatro variáveis. Modificado de: (Campos, 2007)

Capítulo 3

Modelos Matemáticos

Como vimos, a dengue tem sido motivo de grande preocupação para a atual sociedade. Conhecer como ocorre sua disseminação, locais de maior incidência, tempo de vida dos vetores, processo de cura, otimização de gastos públicos e outros fatores relacionados com a doença é de extrema importância para o controle da doença.

Baseando-se em variáveis sócio-ambientais e/ou em parâmetros climáticos, que influenciam o ciclo vida dos vetores da dengue, vêm sendo desenvolvidos modelos ma-temáticos a fim de descrever a dinâmica das populações envolvidas no ciclo evolutivo deste vetor, bem como a propagação de epidemias a ele associada. Adicionalmente, estes modelos buscam avaliar certas formas de controle do vetor.

3.1

Modelos Preliminares para Propagação da

Den-gue

Um modelo determinístico compartimental para descrever a dinâmica da trans-missão da dengue na população humana acoplada à dinâmica do vetor é descrito em

Ferreira e Yang(2003a), onde foi considerada uma dependência temporal nos tempos de desenvolvimento e de sobrevida das fases do vetor com a temperatura e umidade, avaliando assim a eficiência da aplicação periódica de controle na população do vetor da dengue.

EmEsteva e Yang(2006) foi descrito um modelo para analisar o efeito da inserção de inseticidas e machos estéreis na dinâmica de evolução da dengue, almejando assim a redução da população dos vetores da dengue à níveis aceitáveis ou mesmo o seu desaparecimento do ambiente.

O modelo matemático de transmissão da dengue considerando a variação sazo-nal, visando reproduzir as epidemias em 2004-2005 de Cingapura foi descrito em (Burattini et al., 2007). Neste modelo estão envolvidas as populações de humanos, vetores, e estágios imaturos, onde foram simuladas várias estratégias de controle da doença, que confirmaram a crença intuitiva de que matar os vetores adultos é a estratégia mais eficaz para controlar uma epidemia em curso. Já o controle de formas imaturas foi muito eficiente na prevenção do ressurgimento de epidemias de dengue. Além disso, o modelo mostrou que a estratégia de controle mista, com o uso de adulticida e de larvicida introduzidas pelo governo de Cingapura parece ser

muito eficaz na redução do número de casos nas primeiras semanas após o início do controle.

No trabalho de Ferreira et al. (2010) foi determinado o número básico de re-produção das epidemias de dengue, bem como a análise de seu tempo de evolução, durante a epidemia, através de dados reais da cidade Salvador, Bahia, Brasil, nos anos 1995 e 2002. Os autores mostraram que o mecanismo de controle aplicado somente na forma adulta do vetor não é suficiente para interromper a transmissão da dengue, enfatizando a importância de aplicar o controle nos estágios imaturos do vetor.

O modelo baseado em um sistema de equações diferenciais ordinárias não-lineares de transmissão da dengue compreendendo as populações do vetor e humana foi des-crito em (Cavalcante, 2011). Neste trabalho, foi realizada uma comparação mate-mática entre a evolução das populações do modelo sem o uso de controle e entre a eficácia dos métodos usuais de gestão ambiental, como controle mecânico, químico e biológico (inserção de machos estéreis).

Dentre estes modelos, iremos detalhar o modelo de Esteva e Yang (2006) uma vez que foi este o modelo base para a formulação do modelo desenvolvido neste trabalho. O modelo descreve a população de mosquitos naturais dividida em seis compartimentos, onde a população do estágio imaturo é representada por A(t) e a população da fase alada é representada pelas populações de fêmeas não acasaladas I(t), machos naturais M(t), fêmeas acasaladas férteis F(t) e fêmeas acasaladas re-movidas U(t). A população de machos estéreis S(t) é introduzida no meio de forma externa, correspondendo a uma taxa constante α. A figura3.1 ilustra o esquema do diagrama destes compartimentos:

Figura 3.1: Diagrama da interação populacional de Aedes aegypti apresentada no modelo de Esteva e Yang (2006) com controle biológico.

Neste diagrama considerou-se que o modelo com dinâmica vital apresenta: • φ - taxa de oviposição intrínseca por unidade de fêmeas acasaladas férteis; • C - capacidade do meio;

• µA - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população do

estágio imaturo;

• µI - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população de

fêmeas não acasaladas;

• µF - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população de

fêmeas acasaladas férteis;

• µM - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população de

machos naturais;

• µS - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população de

machos estéreis;

• µU - taxa por unidade de indivíduo que morre naturalmente da população de

fêmeas acasaladas removidas;

• γ - taxa por unidade de indivíduo que passa do estágio imaturo para a fase alada;

• β - taxa por unidade de machos naturais que copulam com fêmeas não acasa-ladas;

• βS - taxa por unidade de machos estéreis que copulam com fêmeas não

acasa-ladas;

Desta forma, o sistema de equações diferenciais não-lineares que representa a dinâmica deste vetor com controle biológico descrito por (Esteva e Yang,2006) tem a seguinte forma:                                              dA dt = φ 1 − A C
F − γA − µAA dI dt = rγA − βM I M +S − βSM I M +S − µII dF dt = βM I M +S − µFF dM dt = (1 − r)γA − µMM dS dt = α − µSS (3.1)

A primeira equação do modelo (3.1) representa a taxa de variação da população do estágio imaturo A(t), onde a população de fêmeas acasaladas férteis F (t) contri-bui depositando seus ovos a uma taxa de oviposição por unidade de indivíduo dada por φ 1 − _CA
. Entre parêntesis tem-se um fator que atenua φ, caso a população do estágio imaturo seja suficientemente grande comparada com o valor de C que

representa a capacidade do meio para manter vivos os indivíduos desta população associada a abundância de nutrientes, criadouros disponíveis, dentre outros. A po-pulação A(t) sofre decréscimo a uma taxa por unidade de indivíduo γ devido aos indivíduos que evoluem do estágio imaturo para a fase alada. Também há decrés-cimo devido a mortalidade natural da espécie a uma taxa por unidade de indivíduo µA.

A segunda equação do modelo (3.1) representa a taxa de variação da população de fêmeas não acasaladas I(t). Esta população sofrerá acréscimo de uma porção de indivíduos que evoluem por unidade de tempo do estágio imaturo a uma taxa rγ, onde r é a porção de indivíduos que são fêmeas. Esta população terá um decréscimo devido à porção de fêmeas que copularem com machos naturais representada por

βM

M +SI e devido à porção de fêmeas que acasalarem com machos estéreis representada

por βSS

M +SI. Esta população também sofrerá um decréscimo devido à mortalidade

natural da espécie que se dá a uma taxa por unidade de indivíduo µI.

A taxa de variação da população de fêmeas acasaladas férteis F(t) é representada pela terceira equação do modelo (3.1). Esta população será alimentada pela migra-ção da populamigra-ção de fêmeas não acasaladas que copularam com machos naturais, a uma taxa dada por _{M +S}βM I, onde β é a taxa de acasalamento e M

M +S é a proporção

de machos naturais em relação ao total de machos. Esta população sofrerá um de-crescimento devido à morte natural da espécie que se dá a uma taxa por unidade de indivíduo µF.

A taxa de variação associada a população de machos naturais M(t) é representada pela quarta equação do modelo (3.1). Esta população será acrescida por indivíduos que evoluíram do estágio imaturo a uma taxa por indivíduo (1 − r)γ, sendo (1 − r) a porção de indivíduos machos, e sofrerá um decréscimo devido a mortalidade natural da espécie a uma taxa µM.

Uma forma de interferir na condição natural do vetor da dengue é a criação em laboratórios de machos estéreis S(t). A última equação do modelo (3.1) representa esta população que é introduzida de forma externa no meio a uma taxa constante α. Esta população sofrerá um decrescimento devido à morte natural da espécie que se dá a uma taxa por unidade de indivíduo µS.

A população U(t) descrita pela equação abaixo é composta por fêmeas acasaladas ditas removidas, pois fêmeas não acasaladas copularam com machos estéreis a uma taxa βSS

M +SI tornando-as impossibilitadas de produzir ovos viáveis a continuidade do

ciclo natural do vetor.

dU dt =

βSSI

M + S − µUU.

Os parâmetros γ, φ, r, C, β, βS, µA, µI, µF, µM, µS, considerados no trabalho

de (Esteva e Yang,2006), cujas unidades com exceção do r é dias−1 estão ilustrados na tabela (3.1).

Taxas Valor φ 0,5 C 13 γ 0,07 µA 0,05 r 0,5 β 1 βF 0, 7 µI 0, 05 µF 0, 05 µM 0, 1 µS 0, 1

Tabela 3.1: Parâmetros adotados no modelo e valores adotados em (Thomé,2007).

O modelo (3.1) apresenta os seguintes pontos críticos:

P0 =                            A = 0 I = 0 F = 0 M = 0 S = _µα S (3.2) P1 =                                    A = (X−1)_2X C h 1 −q1 −_(X−1)4XY2 i I = rγA  M + α µS  (µI+β)M +(µI+βS)_µSα F = (γ+µA)CA φ(C−A) M = (1−r)γA_µ M S = _µα S (3.3)

P2 =                                    A = (X−1)_2X Ch1 +q1 −_(X−1)4XY2 i I = rγA  M +_µSα  (µI+β)M +(µI+βS)_µSα F = (γ+µA)CA φ(C−A) M = (1−r)γA_µ M S = _µα S (3.4) X = φrγβ (µA+ γ)(β + µI)µF Y = (βS+ µI)µMα (1 − r)(β + µI)CµS

De acordo com o estudo detalhado em (Esteva e Yang, 2006) da estabilidade destes pontos críticos, temos que o ponto crítico trivial P0 é sempre estável. Quando

ambas as condições biológicas X > 1 e (X−1)_4XY2 ≥ 1 são satisfeitas, os pontos críticos não triviais P1 e P2 são viáveis, onde P1 é sempre instável e P2, estável.

Dando continuidade ao trabalho elaborado pelos autores anteriores,Thomé(2007) analisou a minimização do custo de utilizar a técnica mista de controle da dengue através do uso de inseticidas e de liberação de machos estéreis, considerando u1(t)

(investimento com inseticida) e u2(t) (investimento com machos estéreis) as

variá-veis de decisão do problema de controle ótimo. A figura 3.2 ilustra a dinâmica populacional destes vetores acrescido das variáveis de controle u1(t) e u2(t):

Figura 3.2: Diagrama da interação populacional de Aedes aegypti apresentada no modelo de Thomé(2007) com controle biológico.

                                             dA dt = φ(1 − A C)F − γA − µAA dI dt = rγA − βM I M +S − βSM I M +S − µII − u1I dF dt = βM I M +S − µFF − u1F dM dt = (1 − r)γA − µMM − u1M dS dt = u2− µSS − u1S (3.5)

Observe que u1(t) não atua na estágio imaturo A(t) e a taxa constante α foi

substituída pela variável de controle u2(t).

Para analisar a minimização do custo de utilizar estes controles, Thomé (2007) adotou um funcional quadrático por considerar o índice de desempenho J uma fun-ção não-linear quadrática de u. Assim

J [u] = 1 2 Z T 0 (c1u21+ c2u22+ c3F2− c4S2)dt (3.6) em que

• c1 - representa a importância relativa do custo com inseticidas;

• c2 - representa a importância relativa do custo com a produção de mosquitos

estéreis;

• c3 - representa a importância relativa do custo com número de fêmeas

acasa-ladas férteis (custo social);

• c4 - representa a importância relativa do custo de preservação de machos

es-téreis.

Os quadrados nas variáveis funcionam como uma penalização, enfatizando as contribuições de pequenas variações e ampliando os efeitos de grandes variações nestas variáveis, os coeficientes (ci) representam a importância relativa de cada fator

no custo do funcional (3.6). Como este funcional será minimizado, o sinal negativo na frente do custo c4 reflete o desejo de maximizar a presença de machos estéreis no

ambiente.

Este problema de controle ótimo está detalhado emThomé(2007) e foi resolvido analiticamente através do Princípio do Máximo de Pontryagin a fim de determinar o valor ótimo das variáveis u1(t) e u2(t). Para resolver o sistema (3.5), utilizou-se

o pacote bvp4c do M AT LABr, que resolve problemas de equações diferenciais or-dinárias com condições de contorno e para otimizar (3.6) adotou-se o Método de