100( Resp. Resp. ) c) 2. Resp. d) 2. Resp. Resp. ( 2. Resp. 5 o. 3 o

(1)

8- Dadas as equações racionais abaixo, realizar as expansões em frações parciais e obter as soluções utilizando a tabela de transformadas inversas de Laplace.

a) ) 10 2 ( 100 ) ( + = s s s F Resp. f(t)=10(1-e-5t) b) ) 60 3 )( 20 5 ( 150 ) ( + + = s s s s s F Resp. f t

(

e 4t e 20t

)

8 5 ) ( = - - -c) ₂ 2 ) 5 )( 2 ( 20 5 ) ( + + + + = s s s s s s F Resp. f(t)=0,4u(t)-0,78e-2t -0,3867e-5t +1,333te-5t d) ₃ ₂ ) 7 ( ) 6 2 ( ) 40 ( 100 ) ( + + + = s s s s F Resp. f(t)=-2,328e-3t -1,09375te-3t +28,906t2e-3t -5,029e-7t +6,445te-7t e) ) 5 )( 20 2 )( 20 2 ( ) 7 )( 3 ( 200 ) ( + -+ + + + + = s j s j s s s s s F Resp. f(t)=2,079u(t)+0,3912e-5t +10,156e-2tcos(20t-104,08o) f) 12 10 2 100 ) ( ₂ + + = s s s F Resp. f(t)=100e-2t -100e-3t g) 4 12 12 4 120 ) ( ₃ ₂ + + + = s s s s F Resp. f t = t2e-t 2 1 ) ( h) ) 50 10 5 )( 3 ( ) 5 ( 50 ) ( ₂ + + + + = s s s s s F Resp. f(t)=0,714e-3t +2,44cos(4,899t-107o) i) 100 60 50 30 20 10 1000 ) ( ₅ ₄ ₃ ₂ 3 + + + + + = s s s s s s s F

(2)

8 a) 5 ( 5 ) ( ) 5 ( 5 5 ) 5 ( 50 ) 2 10 2 ( 2 100 ) ( 1 2 1 1 2 1 2 1 + + + + + + = + + = + = + = s s k k k s s s s k k s k s k s k s s s s s F

Comparando os numeradores da expressão original com o da expressão expandida temos:

1 2 2 1 k 0 k k k + = Þ = -10 10 50 5k1 = Þk1 = Þk2 = -5 10 10 ) ( + -= s s s F

Utilizando uma tabela de transformadas inversas obtemos: ) 1 ( 10 ) ( ) ( 10 ) ( 10 ) (t u t e 5tu t f t e 5t f = + - Þ = - -) 1 ( 10 ) (t e 5t f = - -8b) 20 4 ) 20 )( 4 ( 10 ) 3 60 3 )( 5 20 5 ( 3 * 5 150 ) 60 3 )( 20 5 ( 150 ) ( 1 2 3 + + + + = + + = + + = + + = s k s k s k s s s s s s s s s s s s s F ) 20 )( 4 ( ) 20 ( 3 ) 20 ( ) 80 24 ( 20 4 ) ( 2 2 2 2 1 3 2 1 + + + + + + + + = + + + + = s s s s s k s s k s s k s k s k s k s F ) 20 )( 4 ( 80 ) 4 20 24 ( ) ( ) ( 1 2 3 1 2 3 1 2 + + + + + + + + = s s s k k k k s k k k s s F 10 4 20 0 0 80k1 = Þk1 = Þ k2 + k3 = 8 5 16 10 10 4 20 0 ₂ ₃ ₃ ₃ ₃ 2 1+k = Þk =-k Þ- k + k = Þk =- = -k

(

t t

)

e e t f s s s F 4 20 8 5 ) ( 20 1 8 5 4 1 8 5 ) ( Þ = - - -+ -+ =

(

t t

)

e e t f 4 20 8 5 ) ( = - - -8c)

(

)

2 4 3 2 1 2 2 5 5 2 ) 5 )( 2 ( 20 5 ) ( + + + + + + = + + + + = s k s k s k s k s s s s s s F 2 2 4 2 3 3 2 3 2 2 3 1 ) 5 )( 2 ( ) 2 ( ) 10 7 ( ) 25 10 ( ) 50 45 12 ( ) ( + + + + + + + + + + + + + = s s s s s k s s s k s s s k s s s k s F 2 2 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 3 2 1 3 ) 5 )( 2 ( 20 5 ) 5 )( 2 ( 50 ) 2 10 25 45 ( ) 7 10 12 ( ) ( ) ( + + + + = + + + + + + + + + + + + + = s s s s s s s s k k k k k s k k k k s k k k s s F

(3)

4 , 0 50 20 20 50k1 = Þk1 = = 4 , 0 0 2 3 3 2 1+k +k = Þk +k = -k 6 , 7 6 , 9 2 2 14 20 2 2 14 20 24 1 7 10 12k₁ + k₂ + k₃ +k₄ = Þ k₁+ k₂+ k₃ + k₄ = Þ k₂ + k₃+ k₄ = - = -13 18 5 2 10 25 5 2 10 25 45k1+ k2 + k3 + k4 = Þ k2 + k3 + k4 = - =

-subtraindo a penúltina equação da última temos: 4 , 5 4 5k2 - k3 = -4 , 5 4 5k2 - k3 = -6 , 1 4 4 4 , 0 ₂ ₃ 3 2 +k =- Þ k + k = -k 778 , 0 9 / 0 , 7 0 , 7 9k₂ =- Þk₂ =- = -378 , 0 4 , 0 2 3 =- -k = k 33 , 1 7 10 12 1 ₁ ₂ ₃ 4 = - k - k - k = k

(

)

2 5 33 , 1 5 378 , 0 2 778 , 0 4 , 0 ) ( + + + + + -= s s s s s F

Utilizando a tabela de transformadas inversas obtemos:

t t t te e e t u t f( )=0,4 ( )-0,789 -2 +0,389 -5 +1,389 -5

Observe que poderíamos resolver este problema utilizando o teorema dos resíduos:

(

)

2 4 3 2 1 2 2 5 5 2 ) 5 )( 2 ( 20 5 ) ( + + + + + + = + + + + = s k s k s k s k s s s s s s F 4 , 0 25 * 2 20 ) 5 )( 2 ( 20 5 lim ₂ 2 0 1 ₊ ₊ = = + + = ® _s _s _s s s s k s

(

)

0,78 ) 5 2 )( 2 ( 20 ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 5 )( 2 ( 20 5 2 lim ₂ 2 2 2 2 2 _- _- ₊ = -+ -+ -= + + + + + = -® _s _s _s s s s k s

(

)

1,333 ) 2 5 )( 5 ( 20 ) 5 ( 5 ) 5 ( ) 5 )( 2 ( 20 5 5 lim 2 2 2 2 5 4 _- _- ₊ = + -+ -= + + + + + = -® _s _s _s s s s k s

(

)

(

)

(

)

= + + + + -+ + = ÷÷ ø ö çç è æ + + + + + = -= -® 5 2 2 2 2 2 2 2 5 3 ) 2 ( ) 20 5 ( 2 2 ) 2 ( 5 2 ) 5 )( 2 ( 20 5 5 lim s s _s _s s s s s s s s s s s s s ds d k

(

)

(

)

378 , 0 ) 2 5 ( ) 5 ( ) 20 ) 5 ( 5 ) 5 (( 2 ) 5 ( 2 )) 5 ( 2 ) 5 (( 5 ) 5 ( 2 2 2 2 2 3 _- _- ₊ = + -+ -+ -+ -+ -= k

Simplifica bastante a solução dos coeficientes constantes.

(

)

2 2 2 5 333 , 1 5 378 , 0 2 778 , 0 4 , 0 ) 5 )( 2 ( 20 5 ) ( + + + + + -= + + + + = s s s s s s s s s s F

(4)

t t t te e e t u t f()=0,4 ( )-0,778 -2 +0,378 -5 +1,333 -5 8d) 2 5 4 3 3 2 2 1 2 3 2 3 3 ) 7 ( 7 ) 3 ( ) 3 ( 3 ) 7 ( ) 3 ( ) 40 ( 5 , 12 ) 7 ( ) 2 6 2 ( ) 40 ( 2 100 ) ( + + + + + + + + + = + + + = + + + = s k s k s k s k s k s s s s s s s F 906 , 28 ) 7 3 ( ) 40 3 ( * 5 , 12 ) 7 ( ) 3 ( ) 40 ( 5 , 12 ) 3 ( lim 3 ₃ ₂ ₂ 3 3 _- ₊ = + -= + + + + = -® _s _s s s k s

(

)

09375 , 1 ) 7 ( ) 14 2 )( 40 ( ) 7 ( 5 , 12 ) 7 ( ) 3 ( ) 40 ( 5 , 12 ) 3 ( lim ! 1 1 3 4 2 2 3 3 3 2 ₊ = -+ + -+ = ÷÷ ø ö çç è æ + + + + = -= -® s s _s s s s s s s s ds d k 328 , 2 ) 7 ( ) 7 )( 560 80 ( 4 ) 7 )( 1000 25 ( ) 7 ( ) 3 ( ) 40 ( 5 , 12 ) 3 ( lim ! 2 1 3 8 3 2 4 2 3 3 2 2 3 1 ₊ = -+ + + + + + -= ÷÷ ø ö çç è æ + + + + = -= -® s s _s s s s s s s s s s ds d k 445 , 6 ) 7 ( ) 3 7 ( ) 40 7 ( 5 , 12 ) 7 ( lim 2 ₃ ₂ 7 5 _- ₊ ₊ = + -+ = -® s _s k s 029 , 5 ) 3 ( 2 ) 40 ( 5 , 12 ) 3 ( 3 ) 3 ( 5 , 12 ) 7 ( ) 3 ( ) 40 ( 5 , 12 ) 7 ( lim ! 1 1 7 6 2 3 2 3 2 7 4 ₊ = -+ + -+ = + + + + = -= -® s s _s s s s s s s s k 2 3 2 ) 7 ( 445 , 6 7 029 , 5 ) 3 ( 906 , 28 ) 3 ( 09375 , 1 3 328 , 2 ) ( + + + -+ + + -+ -= s s s s s s F

Aplicando a transformação reversa:

t t t t t te e e t te e t f( )=-2,328 -3 -1,09375 -3 +28,906 2 -3 -5,029 -7 +6,445 -7 8e) 5 20 2 20 2 ) 5 )( 20 2 )( 20 2 ( ) 7 )( 3 ( 200 ) ( 1 2 3 4 + + -+ + + + + = + -+ + + + + = s k j s k j s k s k s j s j s s s s s F

pelo método dos resíduos

0792 , 2 5 ) 20 2 )( 20 2 ( 7 * 3 * 200 ) 5 )( 20 2 )( 20 2 ( ) 7 )( 3 ( 200 lim 0 1 ₊ ₊ ₊ _- ₊ = ₊ _- = / + + / = ® _s _s _j _s _j _s _j _j s s s k s 3912 , 0 ) 20 2 5 )( 20 2 5 )( 5 ( ) 7 5 )( 3 5 ( * 200 ) 5 )( 20 2 )( 20 2 ( ) 7 )( 3 ( 200 ) 5 ( lim 5 4 _- _- ₊ ₊ _- ₊ _- = + -+ -= + -+ + + + + + = -® _s _s _j _s _j _s _j _j s s s k s o 08 , 104 078 , 25 ) 5 20 2 )( 20 2 20 2 )( 20 2 ( ) 7 20 2 )( 3 20 2 ( 200 ) 5 )( 20 2 )( 20 2 ( ) 7 )( 3 ( 200 ) 20 2 ( lim 20 2 2 Ð = + -+ -+ -+ -= + -+ + + + + + + = -® j j j j j j s j s j s s s s j s k j s o 08 , 104 078 , 5 ) 5 20 2 )( 20 2 20 2 )( 20 2 ( ) 7 20 2 )( 3 20 2 ( 200 ) 5 )( 20 2 )( 20 2 ( ) 7 )( 3 ( 200 ) 20 2 ( lim 20 2 3 -Ð = + + -+ + + -+ -+ + -+ + -= + -+ + + + + + + = + -® j j j j j j s j s j s s s s j s k j s

(5)

5 3912 , 0 20 2 08 , 104 078 , 5 20 2 08 , 104 078 , 5 079 , 2 ) ( + + -+ -Ð + + + Ð + = s j s j s s s F o o

Portanto, utilizando a tabela de transformadas inversas, teremos:

t t j t j e e e t u t f( )=2,079 ( )+5,078Ð104,08o -(2+ 20) +5,078Ð-104,08o -(2- 20) +0,3912 -5 ( ) ( )

(

₂₀ ₁₀₄_,₀₈ ₂₀ ₁₀₄_,₀₈o

)

2 5 078 , 5 3912 , 0 ) ( 079 , 2 ) (t = u t + e-t + e-t e-j t- · +ej t -f ( ) ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ₊ + + = - - - - -· 2 078 , 5 * 2 3912 , 0 ) ( 079 , 2 ) ( 08 , 104 20 08 , 104 20 2 5 o t j t j t t e e e e t u t f ) 08 , 104 20 cos( 156 , 10 3912 , 0 ) ( 079 , 2 ) (t = u t + e-5 + e-2 t- o f t t 8f) 3 2 ) 3 )( 2 ( 50 6 5 50 12 10 2 100 ) ( 1 2 2 2 + + = + + = + + = + + + = s k s k s s s s s s s F 100 3 2 100 ) 3 )( 2 ( 100 ) 2 ( lim 2 1 = _®_- + ₊ ₊ = _- ₊ = s s s k s 100 2 3 100 ) 3 )( 2 ( 100 ) 3 ( lim 3 2 = _®_- + ₊ ₊ = _- ₊ = -s s s k s 3 100 2 100 ) ( + -+ = s s s F

Usando a tabela de transformação inversa:

t t e e t f( )=100 -2 -100 -3 8g) 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 30 1 3 3 30 4 12 12 4 120 ) ( ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ 1 ₃ 2 ₂ 3 + + + + + = + = + + + = + + + = s k s k s k s s s s s s s s F 30 ) 3 ( 30 ) 1 ( lim 3 ₃ 1 1 = _®_- + ₊ = s s k s 0 ) 3 ( 30 ) 1 ( lim ! 1 1 3 3 1 2 ÷÷= ø ö çç è æ + + = -® _ds s _s d k s 0 ) 3 ( 30 ) 1 ( lim ! 2 1 3 3 2 2 1 3 ÷÷= ø ö çç è æ + + = -® _ds s _s d k s 3 ) 1 ( 30 ) ( + = s s F

Usando uma tabela de transformada inversa:

t e t t f = 2 -2 1 ) (

(6)

8h) ) 25 2 )( 3 ( ) 5 ( 10 ) 5 50 10 5 )( 3 ( 5 ) 5 ( 50 ) 50 10 5 )( 3 ( ) 5 ( 50 ) ( ₂ ₂ ₂ + + + + = + + + + = + + + + = s s s s s s s s s s s s s F

Resolvendo o termo quadrático do denominado, temos: ) 899 , 4 1 )( 899 , 4 1 ( 25 2 2 j s j s s s + + = + + + -portanto: ) 899 , 4 1 )( 899 , 4 1 )( 3 ( ) 5 ( 10 ) 50 10 5 )( 3 ( ) 5 ( 50 ) ( ₂ j s j s s s s s s s s F -+ + + + + = + + + + = 899 , 4 1 899 , 4 1 3 ) 899 , 4 1 )( 899 , 4 1 )( 3 ( ) 5 ( 10 ) ( 1 2 3 j s k j s k s k j s j s s s s F -+ + + + + + = -+ + + + + =

Pelo teorema dos resíduos:

714 , 0 25 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 5 3 ( 10 ) 25 2 )( 3 ( ) 5 ( 10 ) 3 ( lim ₂ ₂ 3 1 = + -+ -+ -= + + + + + = -® _s _s _s s s k s o 107 22 , 1 ) 899 , 4 1 899 , 4 1 )( 3 4899 1 ( ) 5 899 , 4 1 ( 10 ) 899 , 4 1 )( 899 , 4 1 )( 3 ( ) 5 ( 10 ) 899 , 4 1 ( lim 899 , 4 1 2 Ð = -+ -+ -+ -= -+ + + + + + + = -® j j j j j s j s s s j s k j s o 107 22 , 1 ) 899 , 4 1 899 , 4 1 )( 3 899 , 4 1 ( ) 5 899 , 4 1 ( 10 ) 899 , 4 1 )( 899 , 4 1 )( 3 ( ) 5 ( 10 ) 899 , 4 1 ( lim 899 , 4 1 3 -Ð = + + + -+ + -+ + -= -+ + + + + -+ = + -® j j j j j s j s s s j s k j s

Substituindo na equação original:

899 , 4 1 107 22 , 1 899 , 4 1 107 22 , 1 3 714 , 0 ) ( j s j s s s F -+ -Ð + + + Ð + + = o o

Aplicando a transformação inversa de Laplace temos:

t j t j t e e e t f( )=0,714 -3 +1,22Ð107o -(1+ 4,899) +1,22Ð-107o -(1- 4,899) Trabalhando os termos temos:

(

t j j t t j j t

)

t e e e e e e e t f( )=0,714 -3 +1,22 - 107o - 4,899 + - -107o 4,899 ( ) ( )

(

₄_,₈₉₉ ₁₀₇o ₄_,₈₉₉ ₁₀₇o

)

3 22 , 1 714 , 0 ) (t = e-t + e-t e-j t- +ej t -f Como cos( ) 2 q q q = + -j j e e ( ) ( ) ) 107 899 , 4 cos( 44 , 2 714 , 0 2 22 , 1 * 2 714 , 0 ) ( 3 107 899 , 4 107 899 , 4 3 o o o -+ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ₊ + = - - - -t e e e e e t f t t j t j t t

(7)

) 107 899 , 4 cos( 44 , 2 714 , 0 ) (t = e-3 + t- o f t 8i) 10 6 5 3 2 100 100 60 50 30 20 10 1000 ) ( ₅ ₄ ₃ ₂ 3 2 3 4 5 3 + + + + + = + + + + + = s s s s s s s s s s s s s F

Fatorando o denominador usando uma calculadora que suporte solução de polinômios, temos: 0 10 6 5 3 2 4 3 2 5 + + + + + = s s s s s 356 , 1 772 , 0 1 j r =- -356 , 1 772 , 0 3 j r =- + 352 , 1 672 , 0 2 j r = -352 , 1 672 , 0 4 j r = + 8 , 1 5 = -r ) 8 , 1 )( 352 , 1 672 , 0 )( 1352 672 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 ( 100 ) ( 3 + -+ -+ + + = s j s j s j s j s s s F 8 , 1 352 , 1 672 , 0 352 , 1 672 , 0 356 , 1 772 , 0 356 , 1 772 , 0 ) ( 1 2 3 4 5 + + -+ + -+ -+ + + + = s k j s k j s k j s k j s k s F ) 8 , 1 )( 352 , 1 672 , 0 )( 1352 672 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 ( 100 * ) 356 , 1 772 , 0 ( lim 3 356 , 1 772 , 0 1 + -+ -+ + + + + = -® s j s j s j s j s s j s k j s o 8 , 81 5 , 18 ) 8 , 1 356 , 1 772 , 0 )( 352 , 1 672 , 0 356 , 1 772 , 0 ( 1 * )) 352 , 1 672 , 0 356 , 1 772 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 356 , 1 772 , 0 ( ) 356 , 1 772 , 0 ( 100 3 1 Ð = + -+ -+ -= j j j j j j j j k ) 8 , 1 )( 352 , 1 672 , 0 )( 352 , 1 672 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 ( 100 * ) 356 , 1 772 , 0 ( lim 3 356 , 1 772 , 0 2 + -+ -+ + + -+ = + -® s j s j s j s j s s j s k j s o 8 , 81 5 , 18 ) 8 , 1 356 , 1 772 , 0 )( 352 , 1 672 , 0 356 , 1 772 , 0 ( 1 * )) 352 , 1 672 , 0 356 , 1 772 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 356 , 1 772 , 0 ( ) 356 , 1 772 , 0 ( 100 3 2 -Ð = + + -+ -+ -+ -+ + + -+ -= j j j j j j j k

(8)

) 8 , 1 )( 352 , 1 672 , 0 )( 352 , 1 672 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 )( 352 , 1 772 , 0 ( 100 * ) 352 , 1 672 , 0 ( lim 3 356 , 1 672 , 0 3 + -+ -+ + + + -= -® s j s j s j s j s s j s k j s o 2 , 10 19 , 10 ) 8 , 1 352 , 1 672 , 0 )( 352 , 1 672 , 0 352 , 1 672 , 0 ( 1 * )) 356 , 1 772 , 0 352 , 1 672 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 352 , 1 672 , 0 ( ) 352 , 1 672 , 0 ( 100 3 3 -Ð = + -+ -+ + -= j j j j j j j j k o 2 , 10 19 , 10 4 = Ð k ) 8 , 1 )( 352 , 1 672 , 0 )( 352 , 1 672 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 )( 356 , 1 772 , 0 ( 100 * ) 8 , 1 ( lim 3 8 , 1 5 + -+ -+ + + + = -® s j s j s j s j s s s k s ) 352 , 1 672 , 0 8 , 1 )( 352 , 1 672 , 0 8 , 1 )( 356 , 1 772 , 0 8 , 1 )( 356 , 1 772 , 0 8 , 1 ( ) 8 , 1 ( 100 3 5 j j j j k -+ -+ -+ + -= 371 , 25 5 = -k 8 , 1 371 , 25 352 , 1 672 , 0 2 , 10 19 , 10 352 , 1 672 , 0 2 , 10 19 , 10 356 , 1 772 , 0 8 , 81 5 , 18 356 , 1 772 , 0 8 , 81 5 , 18 ) ( + -Ð + + -Ð + -+ -Ð + + + Ð = s j s j s j s j s s F o o o o

Aplicando a transforma inversa de Laplace obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) t t j t j t j t j t e e e e e e e t f 8 , 1 2 , 10 352 , 1 2 , 10 352 , 1 672 , 0 8 , 81 356 , 1 8 , 81 356 , 1 772 , 0 371 , 25 2 19 , 10 * 2 2 8 , 18 * 2 ) ( -+ + -÷ ÷ ø ö ç ç è æ ₊ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ₊ = o o o o t t e t e t e t f( )=37,6 -0,772 cos(1,356 -81,8o)+20,38 0,672cos(1,352 +10,2o)-25,371 -1,8

(9)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESPOSTAS 1- Dado o circuito abaixo, determinar:

a) A equação de malha do circuito. b) A equação diferencial normalizada. c) A equação homogênea.

d) A solução complementar da equação homogênea. e) A solução da equação particular.

f) Os coeficientes baseados nas condições iniciais

R = 5 Ohms E = 50V L = 0,05H y(t) + x(t) t = 0 i(t) Resp.final i(t)=10

(

1-e-100t

)

Resp.final i(t)=50e-100t

2- Dado o circuito abaixo, determinar: a) A equação de malha do circuito. b) A equação diferencial normalizada. c) A equação homogênea.

f) Os coeficientes baseados nas condições iniciais. R = 5 Ohms L = 0,05H y(t) V cos(2 Vs= 110Vrms f = 60Hz p

~

+ _{wt )} t = 0 x(t) i(t) Resp.final i(t)=

(

-2,045e-100t +7,976cos(377t-75,14o)

)

u(t) Resp.final y(t)=

(

10,22e-100t -150,35cos(377t-165,14o)

)

u(t) 3- Dado o circuito abaixo, determinar:

Os coeficientes baseados nas condições iniciais onde vc(0)=0, ou seja o capacitor está descarregado no início.

(10)

R = 5 Ohms E = 50V y(t) + t = 0 x(t) C = 500uF i(t) Resp.final y(t)=

(

50-50e-400t

)

u(t)=50

(

1-e-400t

)

Os coeficientes baseados nas condições iniciais onde vc(0)=0, ou seja o capacitor está descarregado no início. R = 5 Ohms y(t) Vs= 110Vrms f = 60Hz + t = 0 x(t) C = 500uF i(t) p w V cos( t)

~

Resp.final ( )

(

113,21cos( 43,3 ) 82,39 400

)

( ) t u e t t y = _w - o - - t

5- Dado o circuito abaixo, determinar: a) A equação de malha do circuito. b) A equação diferencial normalizada. c) A equação homogênea.

Os coeficientes baseados nas condições iniciais onde vc(0)=0, ou seja o capacitor está descarregado no início. E = 50V + t = 0 x(t) L = 0,05H y(t) C=500uF R = 5 Ohms i(t) Resp.final i(t)=5,76e-50tcos(193,65t-90o)

(11)

Resp.final vC(t)=50+51,638e-50tcos(193,65t+165,52o)

Resp.final y(t)=e-50t

(

51,638cos(193,65t-14,48o)+28,8cos(193,65+90o)

)

+ t = 0 x(t) L = 0,05H y(t) C=500uF R = 5 Ohms i(t) V cos(2 p Vs= 110Vrms f = 60Hz

~

Resp.final vC_C(t) 58,98e 50tcos(193,65t 24,77 ) 57,081cos(377t 159,74 )(V)

o

o ₊

-+

=

-Resp.final i(t)=5,89e-50tcos(193,65t+129,22o)+10,77cos(377t-69,74o)(A)

Resp.final

(

58,98cos(193,65 24,77 ) 29,45cos(193,65 129,22 )

)

203,014cos(377 20,264 )( ) )

(t e 50 t t t V