Influência da flexibilidade de vigas de apoio no comportamento estático
e dinâmico de lajes maciças de concreto armado
Influence of flexibility to support beams in static and dynamic behavior of solid slabs of reinforced concrete
Jeferson Rafael Bueno (1); Daniel Domingues Loriggio (2)
(1) Mestrando em Estruturas; Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC, Florianópolis, SC (2) Professor Doutor; Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC, Florianópolis, SC
e-mail: jrbengenharia@gmail.com
Resumo
Nesta pesquisa realiza-se um estudo numérico sobre a influência da flexibilidade de vigas de apoio na resposta estática e dinâmica de tabuleiros formados por lajes maciças e vigas de concreto armado, em regime elástico linear. Na resposta estática é realizada a avaliação da variação de momentos fletores, esforços cortantes e flechas elásticas das lajes e vigas, em função da relação entre a flexibilidade da laje e da viga. A avaliação da resposta dinâmica é realizada em vibração livre não amortecida, em que se obtém os modos de vibração e os valores das frequências naturais, que são comparados com os limites da NBR 6118:2007. Para a análise integrada de pisos de concreto armado, constituídos por lajes maciças apoiadas em vigas flexíveis, utiliza-se o Método dos Elementos Finitos (MEF). O procedimento manual de cálculo de lajes, através de tabelas, é utilizado como um procedimento inicial para determinação de flechas e momentos fletores das lajes, e também serve de base para a verificação dos modelos mais complexos. Os resultados parciais dessa pesquisa confirmam que a deformabilidade dos apoios altera significativamente os valores e distribuição dos momentos fletores das lajes, e mostram que para o uso das tradicionais tabelas de cálculo de lajes, as vigas de suporte devem possuir grande rigidez à flexão. O uso do coeficiente adimensional , que relaciona a flexibilidade entre lajes e vigas, demonstra ser eficiente para relacionar os valores de esforços de lajes para as diferentes relações entre rigidez de lajes e vigas.
Palavra-Chave: Lajes Maciças; Flexibilidade dos Apoios; Análise Estática; Análise Dinâmica.
Abstract
In this research we realized a numerical study about influence of the flexibility of support beams in static and dynamic response of floors constituted of solid slabs and beams of reinforced concrete, in linear elastic regime. In static response is evaluated the variation of bending moments, efforts shear and elastic arrows of slabs and beams, depending of the relationship between the flexibility of the slab and beam. The evaluation of dynamic response is performed in free undamped vibration, which obtains the vibration modes and the values of natural frequencies, which are compared with the limits of NBR 6118:2007. For the integrated analysis of concrete floors, made of solid slabs supported on flexible beams, we use the Finite Element Method (FEM). The manual procedure for calculating of slabs, through tables, is used as an initial procedure for determining arrows and bending moments of the slabs, and also provides the basis for the verification of models more complex. Partial results of this study confirm that the deformability of the support significantly alter the values and distribution of the bending moments of the slabs, and show that for use of traditional calculation tables slabs, the support beams must have adequate high flexural rigidity. The use of the adimensional coefficient , that relates the flexibility between slabs and beams, demonstrates efficient to relate the values of efforts slabs for the different relationships between stiffness of slabs and beams.
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Introdução
Os tradicionais métodos manuais, de dimensionamento com o uso de tabelas, consideram as lajes com vigas de apoio indeformáveis, o que é uma simplificação válida para tempos em que os cálculos eram realizados manualmente. Nos últimos anos, os computadores passaram a ter um papel importante nos escritórios de engenharia, nos quais os extensos e complicados cálculos manuais são substituídos pelo cálculo computacional. Assim, esse avanço agora permite realizar análises mais complexas e completas das estruturas, como a consideração da deformabilidade das vigas de apoio e excentricidade entre laje e viga. Como a flexibilidade das vigas de apoio influencia nos resultados da resposta estática e dinâmica (LEITE, 2012; MAZZILLI, 1988, 1995), verificam-se pesquisas que investigam o efeito da deformabilidade das vigas de apoio, porém, não indicam recomendações claras e práticas em relação a este assunto. Contudo, os escritórios de projetos necessitam de recomendações que descrevam os cuidados, limites e práticas para o cálculo de tabuleiros formados por vigas e lajes maciças de concreto armado.
Esse estudo compara o método tradicional de cálculo de lajes maciças com o cálculo computacional através do Método dos Elementos Finitos (MEF). Realiza-se a análise e cálculo do tabuleiro da estrutura de forma integrada, com enfoque na continuidade dos esforços das lajes, de modo a considerar a interação entre estes elementos.
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Flexibilidade das Vigas de Apoio
Estudos verificam que o procedimento simplificado de cálculo de lajes, com uso de tabelas, não é adequado para lajes com vigas de apoio flexíveis, e só é apropriado para lajes apoiadas em vigas rígidas ou em paredes (ARAÚJO, 2008, 2009; MAZZILLI, 1988, 1995; STRAMANDINOLI, 2003). Em tabuleiros formados por lajes e vigas de concreto armado, a flexibilidade entre lajes e vigas de bordo e a excentricidade entre os eixos desses elementos, influencia sensivelmente a resposta estática (MAZZILLI, 1988, 1995), e a resposta dinâmica (LEITE, 2012; PAULA, 2007). Mas quais os fatores que a influenciam? Será que a precisão dos resultados é prejudicada pela não consideração desses efeitos? E como se pode considerá-los em uma análise acoplada do tabuleiro? Essas são questões pertinentes quando se deseja estudar o efeito da flexibilidade das vigas de apoio na análise e projeto de painéis de lajes.
Atualmente a NRB 6118:2007, item 14.7.6.1, permite o procedimento simplificado de adotar as reações de lajes como sendo uniformemente distribuídas. Estudos mostram que os valores das reações das lajes na viga dependem da relação da rigidez entre laje e viga, e que o valor das reações ao longo da viga não é uniforme (ARAÚJO, 2008, 2009; MAZZILLI, 1988, 1995).
Mazzilli (1988) verifica que para lajes maciças de concreto armado, os esforços na laje e nas vigas de apoio podem variar muito em função da flexibilidade das vigas. Mazzilli (1995) estuda o regime estático elástico-linear e o regime de ruptura (experimental e numérico). Seus resultados constatam que a flexibilidade das vigas de apoio alteram significativamente os valores da resposta estática, tanto no regime elástico como no regime plástico. No mesmo estudo, o autor apresenta alguns gráficos para determinar a carga crítica ou carga de colapso de lajes maciças retangulares em regime plástico.
Um parâmetro relevante para a análise do comportamento conjunto do tabuleiro é a excentricidade existente entre o eixo longitudinal das vigas e o plano médio da laje, Figura 1 (HAMEDANI, KHEDMATI e AZKAT, 2012; LEITE, 2012; PAULA, 2007). Assim, a influência das vigas de bordo na resposta estática e dinâmica está relacionada a esta excentricidade e a relação entre rigidez da laje e da viga (ARAÚJO, 2008, 2009; LEITE, 2012). A excentricidade pode ser considerada através do teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner), como mostra a equação (1) para vigas retangulares (ARAÚJO, 2008, 2009), ou ainda através do MEF (elementos de casca, sólidos etc.), onde, o comportamento gerado pela excentricidade pode ser obtido sem simplificações (LEITE, 2012; PAULA, 2007). Outra alternativa é usar o MEF com a opção de colocar a viga no plano médio da laje, usando a inércia de seção T, consideração da largura colaborante da laje.
Figura 1 – Excentricidade entre o eixo da viga e plano médio da laje.
(Equação 1)
De acordo com Tangwongchai, Anwar e Chucheepsakul (2011) é difícil prever de maneira realista o comportamento do sistema laje/viga, incluindo o efeito da flexibilidade dos apoios e excentricidade entre laje e viga, usando cálculos manuais. Assim, a consideração da excentricidade, em modelagens com elementos finitos, segundo esses autores, pode ser realizada com o modelo Plate-Frame Model (PFM) e Shell-Frame Model (SFM). Bueno e Loriggio (2013) mostram que para barras (vigas), a rigidez da ligação dos nós de apoios também afeta na resposta estática e dinâmica.
Sobre a influência da relação entre rigidez da laje e rigidez da viga na resposta dinâmica, verificam-se poucos estudos. Leite (2012) afirma que a partir do aumento da rigidez das vigas de bordo, de lajes nervuradas, os valores das frequências naturais tendem a aumentar com variação não linear. Paula (2007) também corrobora que o aumento de rigidez à flexão das vigas bordo, aumenta os valores das frequências naturais. Em relação aos modos de vibração (formas modais), os autores supracitados verificam que o efeito das vigas de bordo não possui influência significativa, em relação aos modelos estudados. Esses estudos mostram que o modo fundamental de vibração é predominantemente associado à flexão.
Como alternativa para o cálculo aproximado de lajes apoiadas em vigas deformáveis, (ARAÚJO, 2008, 2009) propõe um método simplificado para o cálculo de lajes, que utiliza as tabelas da teoria de placas para encontrar uma solução satisfatória. O autor constata que através desse método, podem-se obter resultados melhores que o método tradicional (tabelas), mesmo quando se considera a influência das vigas de apoio.
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Estudo Numérico
A análise acoplada do tabuleiro formado por pilares, lajes maciças e vigas de concreto armado, possibilita um estudo completo da resposta estática (esforços e deslocamentos) e da resposta dinâmica (frequências e modos de vibração). Para essa análise, utiliza-se o MEF através do software SAP2000, considerando-se o comportamento elástico linear. Para o estudo foi elaborado um exemplo numérico que pretende estudar:
• Diferenças entre métodos simplificados (tabelas) e o Método dos Elementos Finitos (MEF), na determinação de esforços e flechas do tabuleiro;
• Efeito da flexibilidade das vigas de apoio na resposta estática (deslocamentos, esforços cortantes e momentos fletores), e na resposta dinâmica (frequências e modos de vibração);
• Efeito da excentricidade, entre o eixo longitudinal da viga de apoio e o plano médio da laje, na resposta estática e dinâmica do tabuleiro.
A análise através de métodos tradicionais é realizada com o auxílio de tabelas, para cálculo dos momentos fletores e flechas das lajes. São utilizadas as tabelas de Czerny (1976) com , e Pinheiro (2007).
Para a verificação do estado limite de vibração excessiva, e dessa forma, assegurar um comportamento satisfatório do tabuleiro, a frequência fundamental deve-se afastar o
máximo possível da frequência crítica , NRB 6118:2007 item 23.3 tabela 23.1. Para
escritórios, esse limite é , nesse artigo toma-se , assim:
(Equação 2)
Para as análises desse artigo, os seguintes efeitos não são verificados/considerados: • Levantamento dos bordos da laje em relação aos apoios (“descolamento” entre laje e viga). Pois, é considerada como monolítica a ligação entre os elementos estruturais;
• Cisalhamento nas lajes;
• Rigidez à torção das vigas de apoio, já que essa rigidez é apenas de compatibilidade e assim, não é essencial para o equilíbrio da laje;
• Fluência do concreto.
Alguns dos resultados das análises são exibidos em função do índice flexibilidade laje/viga . Este índice é o mesmo apresentado por Mazzilli (1995), e é um índice adimensional que permite relacionar os resultados de esforços das lajes, sem necessidade de indicar explicitamente a espessura de laje, da qual são originados os esforços. O índice pode ser obtido através da relação entre rigidez à flexão da laje
e rigidez à flexão da viga , multiplicado pela raiz quadrada do produto dos vãos da laje, como mostra a equação (3).
(Equação 3)
Onde é o menor vão da laje, é o maior vão, é a espessura da laje, é o coeficiente
de Poisson, e é momento de inércia da viga.
Com objetivo de apresentar os resultados de , ,e independentes da espessura
da laje, são utilizados índices adimensionais, semelhantemente como foi apresentado por Mazzilli (1995). Com:
Carga total na laje, em , e os momentos fletores são dados em .
Índice para momento fletor
positivo na direção x, . (Equação 4)
Índice para momento fletor
positivo na direção y, . (Equação 5)
Índice para momento fletor
negativo na direção x, . (Equação 6)
3.1 Tabuleiro para Análise
Painel de lajes contínuas, retangulares, com vigas flexíveis, Figura 2. Abaixo são mostradas as características do tabuleiro:
• Espessura da laje, : 10, 12 e 15 cm. Vigas de bordo (vigas rígidas: V1, V2, V3, V5): 15x250 cm;
• Viga intermediária V4: =15 cm, e altura = 16, 17, 18, 19, 20 cm a 100 cm (variação de 5 cm);
• As vigas de bordo possuem ligação rígida com os pilares (seção 20x20 cm), e a viga V4 apóia-se com liberação da rotação nas vigas V1 e V2;
• Carregamento das lajes:
Peso próprio (G1) + 10 kN/m² (G2); - h = 10 cm; carga total na laje: q (G1+G2) = 12,50 kN/m²; - h = 12 cm; carga total na laje: q (G1+G2) = 13,00 kN/m²; - h = 15 cm; carga total na laje: q (G1+G2) = 13,75 kN/m²;
• Vãos “a” e “b” de 4,00 m, e vão “c” de 6,00 m. Figura 2 – Modelo 01: Painel contínuo de lajes.
• Resistência à compressão do concreto: . Módulo de elasticidade longitudinal secante do concreto: ;
• Coeficiente de Poisson: ;
• MEF → Lajes modeladas com elementos Shell-Thin, com malha reangular de 12,5 x 18,75 cm (mantém a razão entre as dimensões da laje L1), vigas modeladas como elementos de barra (frame), e os pilares são representados como pontos nodais;
3.2 Resultados
Para a análise generalizada dos resultados, os valores obtidos para a resposta estática elástico-linear são exibidos em função do índice adimensional laje/viga. O uso do índice prova-se efetivo para representar esforços, pois, em apenas uma curva pode-se apresentar os resultados sem a necessidade de relacionar estes valores com a espessura da laje ou altura da viga. Dessa forma, o entendimento do comportamento do tabuleiro torna-se mais fácil e de simples visualização.
O Gráfico 1 compara o índice para as três espessuras de lajes, em função da altura
da viga V4. Conforme aumenta o índice diminui, evidenciando que, para uma laje
mais rígida obtêm-se menores valores de . Para sequência são feitas as seguintes
explicações, para leitura e correta análise dos gráficos a seguir:
Gráfico 1 – Relação entre altura da viga V4 e índice .
• corresponde à razão entre a flexibilidade de L1 com a
flexibilidade das vigas de bordo. Como as vigas de bordo possuem grande rigidez à flexão ( cm), consideram-se essas vigas como indeslocáveis, apoios rígidos;
• corresponde à razão entre a flexibilidade da laje L1 com a
flexibilidade da viga V4. Quanto maior o valor desse índice, menor é a altura de V4 e menor a sua rigidez à flexão;
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0,03 0,06 0,13 0,25 0,50 1,00 2,00 4,00 8,00 16,00 32,00 A lt u ra H, v ig a V 4 (c m ) Índice Laje/Viga L1, h=10 L1, h=12 L1, h=15
• Legenda dos gráficos: o termo “ ; e ”, correspondem à espessura da laje para a qual são exibidos os resultados.
Para melhor apresentação dos resultados, o eixo horizontal e vertical de alguns gráficos são mostrados na escala logarítmica, na base 2 (logaritmo binário). Nos demais casos, utiliza-se a escala linear.
No Gráfico 2 e Gráfico 3 são mostrados os resultados obtidos com o MEF para os esforços característicos máximos de e , respectivamente, da laje L1 em kN*m. Veja que estes gráficos exibem os valores dos esforços em função de (altura de V4) e (espessura de L1), o que resulta em 3 curvas de variação não linear decrescente a medida que aumenta, uma curva para cada valor de .
Em ambos os gráficos, se evidencia que os momentos fletores positivos são menores à medida que a rigidez à flexão da viga torna-se maior que a rigidez à flexão da laje, com variação não linear. Os maiores valores dos momentos fletores positivos são obtidos para e cm, e os menores valores para e cm.
O Gráfico 4 relaciona os valores obtidos para e , em função do índice e
(equação 4 e 5), respectivamente, e índice (equação 3). Nos gráficos são apresentados os valores de correspondestes ao valor de que foram obtidos, quanto maior o valor do índice, menor será o valor do momento fletor. Nota-se que é possível representar os resultados com apenas uma curva, sem precisar exibir explicitamente os valores de e , dos quais originam os esforços.
Gráfico 2 – vs. (MEF). Gráfico 3 – vs. (MEF).
Ao realizar a análise do Gráfico 2 ao Gráfico 4, verifica-se que o uso dos índices adimensionais é prático e possibilita uma análise mais geral dos resultados. Comprova-se
10 12 14 16 18 20 22 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Mx (k Nm /m ) H - Viga V4 (cm) h = 10 h = 12 h = 15 5 10 15 20 25 30 35 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 My (k Nm /m ) H - Viga V4 (cm) h = 10 h = 12 h = 15
também que, quando a viga de apoio possui baixa rigidez à flexão, o momento fletor será maior que .
Para exemplificar esse ponto de vista, o Gráfico 4 compara os resultados para os índices
e em função do índice adimensional . Através desse gráfico, pode-se entender
melhor como variam os momentos fletores positivos, do tabuleiro, em função da relação entre a flexibilidade da laje L1 e da viga de apoio V4.
Na condição de apoios indeslocáveis, ou seja, viga de apoio com grande rigidez à flexão, o momento fletor é maior que . Comportamento que está de acordo com o esperado para o tabuleiro, visto que, a laje é ortótropa e assim . Quando a viga de apoio possui baixa rigidez à flexão, será maior que . Nessa condição, a armadura principal seria a da direção (maior vão), e não da direção (menor vão), contrariando o cálculo tradicional que utiliza tabelas. Na análise usual com tabelas, o cálculo das armaduras resultaria maior que , mas como é visto no
Gráfico 4, é necessário garantir que as vigas de apoio da laje tenham rigidez à flexão adequada, caso contrário, há relações de em que será maior que .
Gráfico 4 – e vs. (MEF). Gráfico 5 – , vs. (MEF e Tabelas).
Pelo cálculo com o uso de tabelas, os momentos são maiores que os momentos , todavia, esse comportamento só acontece para situações que a rigidez à flexão da viga é muito maior que a da laje, . Logo, os resultados encontrados para os momentos fletores positivos da laje, confirmam que com o aumento da rigidez de V4, obter-se-á menores valores para esses esforços, sendo que apresenta maior variação.
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0,03 0,13 0,50 2,00 8,00 32,00 Im x e I m y (ME F ) Índice Laje/Viga
Imx, h=10 Imx, h=12 Imx, h=15 Imy, h=10 Imy, h=12 Imy, h=15
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 0,03 0,13 0,50 2,00 8,00 32,00 Im x e I m y (ME F e T ab elas) Índice Laje/Viga Imx, h=10 Imx, h=12 Imx, h=15 Imy, h=10 Imy, h=12 Imy, h=15 Czerny: Imx Pinheiro: Imx Czerny: Imy Pinheiro: Imy
Essa verificação é importante para análise do tabuleiro, pois, ao adotar uma análise que não considere o comportamento flexível dos apoios, deve-se garantir que as vigas tenham rigidez à flexão adequada. Caso contrário, os valores dos esforços podem estar contra a segurança e/ou economia, comprometendo assim a qualidade do projeto.
Uma comparação entre MEF e tabelas, para a verificação dos momentos fletores positivos é realizada no Gráfico 5, e no Gráfico 6 para . Nesses gráficos, se percebe
que os valores dos índices , e para as tabelas de Czerny e Pinheiro (2007)
são constantes, pois, esses métodos não consideram a deformabilidade dos apoios da laje. Já o MEF possibilita a consideração da deformabilidade, e assim, o gráfico mostra que a diferença entre resultados obtidos por MEF e Tabelas pode ser muito grande, e ser totalmente contra a segurança. Observa-se que quando .
Os momentos fletores negativos são representados pelo índice adimensional , que
utiliza os valores em módulo deste esforço. Os resultados encontrados evidenciam que quanto mais flexível à viga V4, maior será o valor do índice e, consequentemente, menor o valor de .
Quando , o momento fletor será nulo, e assim, o tabuleiro trabalha como se fosse formado por apenas uma laje apoiada nas vigas de bordo (V1, V2, V3 e V5). Nessa situação, a viga V4 deixa de trabalhar como apoio para as lajes L1 e L2 e, passa a funcionar como se fosse uma nervura da laje. A Figura 3 exibe a variação dos deslocamentos (m), esforços e ( e , kN*m) à medida que diminui.
Gráfico 6 – vs. (MEF).
As flechas elásticas máximas do tabuleiro (L1 e V4) são apresentadas no Gráfico 7. Os maiores valores de flechas correspondem à configuração de menor rigidez, e os deslocamentos apresentam comportamento decrescente não linear conforme o tabuleiro aumenta sua rigidez.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,03 0,06 0,13 0,25 0,50 Im x e (M E F e T abelas) Índice Laje/Viga Imxe, h=10 Imxe, h=12 Imxe, h=15 Czerny: Imxe Pinheiro: Imxe
Como mostra a Figura 3(g, h, i), o ponto de máximo deslocamento não é no centro de L1, e quando V4 é muito flexível a flecha máxima do tabuleiro ocorre no centro
da viga V4, com o mesmo valor da flecha para L1, L2 e V4. Ou seja, o ponto de deslocamento máximo para ambos os elementos coincide no mesmo lugar. Para L1 o ponto de flecha elástica máxima se localiza nas seguintes coordenadas:
- Eixo : Quanto mais flexível V4, mais o ponto tenderá a se aproximar do eixo longitudinal de V4 ( m);
- Eixo : .
O deslocamento admissível segundo a NBR: 6118:2007 (aceitabilidade visual: L/250), é exibido no Gráfico 7, para o maior vão da laje corresponderá a 600/250 = 2,40 cm. Verifica-se que para cm, apenas com o limite normativo é atendido, e já para cm com cm essa condição é satisfeita. Para cm, a condição de aceitabilidade visual é atendida (sem recorrer ao uso de contra flecha) para todos os valores de .
Figura 3 – Variação de esforços e deslocamentos, .
A influência da flexibilidade laje/viga, afeta também a parcela de esforço cortante nas extremidades de V4. A variação do esforço cortante característico é mostrada no Gráfico 8, que utiliza o índice , pois, com o uso do índice pode-se melhor entender
esta variação de .
Como o tabuleiro é simétrico, terá o mesmo valor em módulo nas duas extremidades de V4. No Gráfico 8, verifica-se que os maiores valores de são obtidos quando a rigidez à flexão da laje é bem menor que a rigidez à flexão de V4, logo, os maiores valores são obtidos para cm e cm. O gráfico demonstra que a variação de
é não linear, e que à medida que a rigidez da laje aumenta, diminui, assim, os menores valores são encontrados para cm e cm.
Gráfico 7 – Flecha elástica máxima: L1 e V4 (MEF). Gráfico 8 – Esforço Cortante em V4 (MEF).
A resposta dinâmica é obtida através de análises de vibração livre não amortecida, e utiliza-se o software SAP2000. Analisam-se as três primeiras frequências naturais (autovalores) e os modos de vibração (autovetores) correspondentes.
Os valores da 1º primeira frequência natural são mostrados no Gráfico 9. Os
resultados confirmam que, quanto mais flexível à estrutura, maiores valores de ,
menor será o valor de , variação não linear. Esse comportamento é esperado, visto que
o aumento da rigidez da estrutura resultará em maiores valores de frequências.
Lembra-se que, o aumento das seções dos elementos estruturais ocasiona uma maior rigidez do sistema, e ao mesmo tempo adiciona mais massa a esse sistema. O que leva ao questionamento: até qual ponto pode-se aumentar os valores de (laje) e (V4) (valores de ), e assim, ocasionar o aumento da frequência fundamental de vibração ? Essa resposta é obtida pelo Gráfico 9, que através do qual, se verifica que para
relações de menores que , e a
frequência passa a ser constante. Isso se deve ao fato que, para o 2º
modo terá maior fator de participação modal, e assim, mobilizará mais massa segundo a direção vertical (eixo Z global), do que o 1º modo.
Em relação à condição de atendimento ao estado limite de vibração, recomendado pela NBR 6118:2007, a estrutura é aceitável para qualquer relação de estudados nessa
pesquisa. Visto que, o valor mínimo da 1º frequência de vibração exigida pela norma, calculada conforme a equação (2) deve ser Hz.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 F lech a E lást ica Máx im a, L 1 e V4 (cm ) H V4 (cm) Flecha L1, h=10 Flecha V4, h=10 Flecha L1, h=12 Flecha V4, h=12 Flecha L1, h=15 Flecha V4, h=15 Limite: Ly/250 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0,03 0,13 0,50 2,00 8,00 32,00 C o rtan te V4 ( k N) Índice Laje/Viga Vk, h=10 Vk, h=12 Vk, h=15
Gráfico 9 – Frequência fundamental de vibração. Gráfico 10 – Frequência do 2º e 3º modo.
Os valores de frequências do 2º e 3º modo de vibração são apresentados no Gráfico 10. Observa-se, de forma semelhante à análise dos esforços, flechas e frequências do 1º modo, há uma variação não linear dos valores destas frequências. O aumento dos valores está associado ao ganho de rigidez do tabuleiro, o que significa dizer, aumento da espessura da laje e aumento da altura de V4. A frequência associada ao 2º modo de vibração é constante (não apresenta variação), para valores de , .
O 3º modo também apresenta um patamar de valores constantes para as frequências. Os limites relacionados a esse patamar de valores constantes são praticamente os mesmos encontrados para o 1º modo.
Os três primeiros modos de vibração do tabuleiro, associados à espessura da laje cm, são apresentados na Figura 4. Utiliza-se para exibição os momentos fletores na direção . A partir da análise desses 3 primeiros modos, verifica-se que se trata de modos verticais, e que a configuração dos modos se modifica quando a rigidez de V4 aumenta, com maior diferença para o 3º modo.
Como se evidencia nos resultados, a resposta do tabuleiro em estudo depende da relação entre rigidez de laje e viga. Sabe-se, porém que a rigidez da viga é proporcional ao momento de inércia da seção, e como mostra a equação (1), há ganho de inércia ao considerar a excentricidade entre V4 e L1. Nas análises a seguir, se considera a excentricidade entre laje e viga , e também a seção T de V4, formada pela seção retangular mais a largura colaborante de L1 e L2 (mesa de compressão). A largura colaborante efetiva é calculada de acordo com o item 14.6.2.2 da NBR 6118:2007, e
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0,01 0,03 0,13 0,50 2,00 8,00 32,00 F req u ên cia F u n d am en tal ( Hz) Índice Laje/Viga 1ºFn, h=15 1ºFn, h=12 1ºFn, h=10 Mínimo NBR 6118:2007 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0 27,5 30,0 32,5 35,0 37,5 40,0 0,01 0,03 0,13 0,50 2,00 8,00 32,00 F req u ên cia: 2 º e 3 º m o d o (Hz) Índice Laje/Viga 2ºFn, h=10 2ºFn, h=12 2ºFn, h=15 3ºFn, h=10 3ºFn, h=12 3ºFn, h=15
é igual a cm. A variação do momento de inércia da seção transversal de V4 é apresentada no Gráfico 11.
1º Modo 2º Modo 3º Modo
cm
cm
cm
cm
Figura 4 – Modos de vibração, .
De acordo com o Gráfico 11, se obtém maiores valores para o momento de inércia com o uso da equação (1). Com a inércia , se obtém os menores valores, já que não dependem da espessura da laje. Utilizando a inércia da seção , se obtém maiores valores que o método usual , porém menores que com o uso da equação (1), que pela qual, os maiores valores são encontrados para , e os menores para . O que se justifica pelo fato de que quanto menor a espessura da laje, maior será a excentricidade entre o eixo da viga e o plano médio da laje.
Com a utilização desses métodos, para ganho de rigidez da viga, é esperado que se obtenha comportamento semelhante aos já investigados. Visto que, o estudo é realizado em regime elástico linear.
Gráfico 11 – Momento de inércia.
Tabela 1 – Resumo Tabuleiro: Influência da flexibilidade de V4. Índice
Comportamento
- Maiores valores para as frequências de vibração;
- Menores valores para flechas, com .
- Maiores valores para e menores valores para momentos fletores positivos, com:
0,1339 0,1870 0,4181 0,6901
V4 perde sua função de suporte para L1 e L2, e o tabuleiro funciona como se fosse formado por apenas uma laje (8x6), com V4 a trabalhar como uma nervura da laje, e .
+∞ Situação de laje simplesmente apoiada (8,00 x 6,00 m): - Flecha da laje δ (cm): δ ; δ ; δ . ; . 0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02 2,50E-02 3,00E-02 3,50E-02 4,00E-02 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 In ér cia (m ^4 ) H - Viga V4 (cm) bw*H³/12 + A*e² [h=10] bw*H³/12 + A*e² [h=12] bw*H³/12 + A*e² [h=15] T [h=15] T [h=12] T [h=10] bw*H³/12
A Tabela 1 resume o comportamento do tabuleiro devido à influência da flexibilidade dos apoios. Através desse estudo, se constata que a variação de rigidez de apenas um apoio, pode resultar grandes efeitos para o comportamento das lajes, da viga de suporte, e principalmente para o tabuleiro. Em relação aos resultados, o principal alerta fica em relação ao uso de métodos que não consideram a deformabilidade dos apoios, pois, para se ter veracidade nos resultados, deve-se garantir que as vigas de apoio tenham rigidez à flexão muito superior que a da laje.
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Considerações Finais
Constata-se que a flexibilidade das vigas de apoio de lajes maciças influencia de modo significativo na resposta estática e dinâmica do tabuleiro. Evidencia-se a necessidade de garantir que as vigas de apoio tenham rigidez à flexão adequada, para a utilização de tabelas de cálculo de lajes.
O uso dos índices adimensionais mostra-se eficiente para o entendimento e estudo da distribuição dos esforços em lajes, quando se considera a variação da rigidez dos elementos estruturais. Permite também, verificar quais são os valores limites ou de mudança de comportamento do pavimento.
Em relação à consideração da inércia das vigas de apoio, para situações usuais de projeto, em que a altura da viga é tomada com valores entre 40 a 100 cm, é melhor utilizar a equação (1). Tem-se ainda a vantagem de não ser necessário realizar algumas verificações, como as que são importantes quando se utiliza seção , apresentadas no item 18.3.7 da NBR 6118:2007. Outro aspecto que corrobora esse ponto de vista, é que a equação (1) é de fácil entendimento, e de simples implementação em algoritmos de
softwares para análise de tabuleiros de concreto armado, formados por vigas retangulares
e lajes maciças.
O estudo apresentado nesse artigo segue em fase de análise de novos resultados, investigando outros parâmetros que podem também influenciar no comportamento dos elementos. Publicações futuras tentarão abordar os casos omissos nesse trabalho, bem como, apresentar os demais resultados e conclusões sobre o tema.
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