Turbulência e Combustão. Escoamento turbulento

Turbulência e Combustão

Escoamento turbulento

Quais as condições necessárias para que um escoamento transite de um regime laminar a turbulento?

• a existência de uma gama de perturbações, que algumas delas possam ser amplificadas

• e que o Re característico do escoamento seja elevado.

Estas condições estão presentes em quase todos os escoamentos reais.

TURBULÊNCIA

– o que é?

http://www.youtube.com/watch?v=1_oyqLOqwnI

O conceito de turbulência, embora de noção intuitiva, é muito difícil de definir com precisão.

Turbulência?

Peter Bradshaw, An Introduction to Turbulence and its

Measurement, Pergamon Press, 1971:

“Turbulência é um movimento tri-dimensional dependente do tempo no qual estiramento de vórtices faz com que flutuações de velocidade se estendam a todos os comprimentos de onda, entre num mínimo

determinado por forças viscosas e um máximo determinado pelas

condições fronteira do escoamento. É o estado usual do movimento de fluidos excepto a baixos números de Reynolds.”

Para contornar esta dificuldade é habitual descrever as características de um processo que designaremos por turbulento.

Características de escoamento turbulento

1) Escoamento irregular em que sobreposto a um campo

médio se observam flutuações caóticas com grandes gamas de frequência e amplitudes.

A natureza aleatória obriga a que o seu tratamento

analítico seja feito por métodos estatísticos, em vez de determinísticos.

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Características de escoamento turbulento

2) É também um dado da observação a natureza

essencialmente tridimensional, em que entes vulgarmente denominados redemoinhos ou turbilhões se entrelaçam. Usa-se o nome turbilhão para identificar o ente produzindo um movimento circular aleatório, reservando-se a

designação de vórtice para um escoamento idêntico mas organizado.

Como resultado de um campo tridimensional em que os gradientes de velocidade são elevados, a energia cinética associada às flutuações de velocidade (energia cinética

turbulenta) vai sendo transferida dos turbilhões de grandes dimensões para turbilhões de cada vez menores dimensões (alta frequência) por um processo essencialmente invíscido de estiramento de tubos de vórtice.

Características de escoamento turbulento

3) Grande capacidade de mistura, provocando uma rápida uniformização da distribuição espacial da propriedade em causa.

Esta grande difusão resultante do transporte pelo campo turbulento de largas massas de fluido ao longo de

comprimentos apreciáveis é várias ordens de grandeza superior à difusão de nível molecular que ocorre nos escoamentos laminares.

Características de escoamento turbulento

4) No final do processo de transferência de energia das

grandes para as pequenas escalas por estiramento dos vórtices, isto é, a nível dos pequenos turbilhões, a

frequência angular é de tal modo elevada que tensões de corte de origem viscosa são significativas.

Estas tensões viscosas produzem trabalho de deformação que aumenta a energia interna do fluido à custa de uma diminuição da energia cinética turbulenta.

Um campo turbulento é assim essencialmente dissipativo e para sobreviver será necessário fornecer-lhe continuamente energia.

Características de escoamento turbulento

Esta energia será retirada ao escoamento médio pelos

turbilhões com uma escala de comprimentos (comprimentos de onda) mais próxima de uma dimensão característica do escoamento médio, obviamente pelos turbilhões maiores. A repartição da energia cinética no domínio das

frequências, espectro de energia, em que 



, a densidade espectral de energia, representa a contribuição fraccional para a energia total da energia contida numa banda de frequências de largura unitária – deverá ser do tipo da figura, em escalas logarítmicas.

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Características de escoamento turbulento

Esta energia será retirada ao escoamento médio pelos

turbilhões com uma escala de comprimentos (comprimentos de onda) mais próxima de uma dimensão característica do escoamento médio, obviamente pelos turbilhões maiores. A repartição da energia cinética

no domínio das frequências,

espectro de energia, em que 



, a densidade espectral de energia, representa a contribuição

fraccional para a energia total da energia contida numa banda de frequências de largura unitária – deverá ser do tipo da figura, em escalas logarítmicas.

Zonas do espectro de energia

1- Zona das baixas frequências correspondendo aos grandes turbilhões que, interagindo com o escoamento médio,

contribuem com a maior percentagem da energia cinética turbulenta.

Muitas vezes chamam-se turbilhões contendo energia:

• são altamente anisotrópicos

• a sua dimensão máxima é limitada pelo tamanho da camada de corte

Zonas do espectro de energia

2- Gama correspondente ao subdomínio de inércia.

Nesta zona actua simplesmente um mecanismo de inércia promovendo uma transferência de energia das grandes para as pequenas escalas por estiramento de filamentos de

Zonas do espectro de energia

3- Gama dissipativa.

A nível das pequenas escalas em que se processa a

dissipação de energia, os turbilhões têm uma dimensão de tal modo inferior à distância ao longo da qual ocorrem

variações significativas das propriedades do escoamento médio que, não “sentindo” gradientes médios, apresentam características muito aproximadamente isotrópicas.

A dimensão mínima dos turbilhões está condicionada pela sua

capacidade de sobrevivência num campo dissipativo. Só nesta gama se fazem sentir os efeitos da

Zonas do espectro de energia

A todo este processo de transferência de energia,

semelhante a um fraccionamento de turbilhões de grandes dimensões em turbilhões cada vez mais pequenos chama-se CASCATA DE ENERGIA.

Características de escoamento turbulento

5) Em praticamente todas as situações, a dimensão dos

turbilhões dissipativos é ainda várias ordens de grandeza superior ao percurso médio livre das moléculas do fluido, pelo que, mesmo para tratar um campo turbulento a nível das pequenas escalas é perfeitamente válido admitir o

meio como contínuo.

Assim, pode-se representar em termos instantâneos a

conservação da massa, de quantidade de movimento e de energia, tal como já foi apresentado.

Características de escoamento turbulento

6) Escoamentos turbulentos ocorrem só a grande números

de Reynolds como resultado da amplificação preferencial

de perturbações existentes em regime laminar,

instabilidades estas provocadas por efeitos viscosos e efeitos convectivos não lineares.

7) A turbulência é uma característica do escoamento e não do fluido, sendo por isso independente das

propriedades físicas do meio.

A influência de



está restrita à sua contribuição para Re e este é o parâmetro controlador do regime do escoamento.

Características de escoamento turbulento

ALEATÓRIO TRI-DIMENSIONAL GRANDE DIFUSÃO DISSIPATIVO MEIO CONTÍNUO Re ELEVADOS

PROPRIEDADE DO ESCOAMENTO

O campo turbulento é dominado pelos grandes turbilhões, visto serem aqueles que contêm maior fracção de energia e cujo tempo de vida é maior, pelo que conseguem manter a sua individualidade durante o transporte a longas distâncias. Assim, as ocorrências num dado ponto dum campo

turbulento, dependem, não de características locais, mas da

história do escoamento. Costuma-se referir este facto

Características de escoamento turbulento

São, ainda, os grandes turbilhões que controlam o mecanismo de crescimento de camadas de corte turbulentas.

A interface rotacional/irrotacional é altamente contorcida, devido a erupções turbulentas, envolvendo grandes massas de fluido que, geradas no interior da camada de corte,

penetram no escoamento exterior.

A vorticidade é comunicada, por acção viscosa, aos

elementos contíguos de fluido perfeito que são captados para o interior da camada e arrastados pelo escoamento turbulento.

Arrastamento no caso do EFEITO COANDA

Suponhamos um escoamento uniforme ilimitado sobre uma superfície sólida que apresenta uma descontinuidade de superfície do tipo degrau descendente (backward facing step).

Admitamos que o escoamento é estabelecido a partir do repouso e que a camada limite é laminar no ponto de separação.

No instante inicial a camada de corte confinará com zonas de fluido perfeito com o

mesmo valor pressão estática mas com velocidades

Arrastamento no caso do EFEITO COANDA

Imediatamente a seguir à separação a distribuição transversal de velocidades evoluirá, rápida mas continuamente, de U = 0 a U = U_, exibindo um ponto de inflexão.

O regime será altamente instável, instabilidade invíscida,

pelo que a transição ocorrerá imediatamente após o ponto de separação, excepto se o Re for extremamente baixo.

A partir desta estação a

camada de corte desenvolver-se-á em regime turbulento, crescendo por arrastamento de fluido potencial exterior.

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Arrastamento no caso do EFEITO COANDA

O caudal de arrastamento através da interface inferior promoverá movimentação de fluido numa região

anteriormente em repouso e com uma pressão estática

constante p_ pelo que, aumentando velocidades, o valor de

p se tornará inferior a p_. O gradiente transversal de

pressão gerado provocará uma deflexão da camada de corte separada em direcção á parede, de modo a constituir-se o

equilíbrio entre força resultante do gradiente radial de pressões e a força centrífuga por unidade de volume.

Arrastamento no caso do EFEITO COANDA

Na zona de impacto o escoamento de corte deverá subdividir-se de modo a para o interior da bolha de subdividir-separação

exactamente a mesma massa de fluido que retirou por arrastamento ao longo da interface.

O escoamento exterior pode ser considerado como

desenvolvendo-se ao logo de uma superfície de deslocamento

*, linha de divisória,

compreendida entre o ponto de separação e o recolamento (reattachment) e com uma forma tal que satisfaça

continuidade no interior da bolha.

Estimativa do tamanho dos turbilhões

maiores

Análise da cascata de energia e do processo de dissipação de energia permite obter uma estimativa do tamanho dos

turbilhões menores que existem num escoamento turbulento.

Uma vez que a taxa de dissipação de energia cinética

turbulenta por unidade de massa ( ε ) é , para números de Reynolds elevados, dependente apenas do processo de

estiramento e rotação de vórtices, ela deve ser parametrizada através das grandes escalas.

Sendo u e l a velocidade e o comprimento característicos, 𝜀 = 𝐿

2

𝑇3 , 𝑢 =

𝐿

Estimativa do tamanho dos turbilhões

maiores

Através do teorema dos π de Buckingham obtém-se, 𝜀 ∝ 𝑢3

𝑙

Para as escalas menores esta taxa de dissipação de energia deverá ser assegurada pela viscosidade e pelos gradientes de velocidade existentes ao nível das escalas pequenas. Assim, os parâmetros que governam o movimento das escalas

pequenas são ε e



.

Podemos, então usar a análise dimensional para obter uma escala de comprimentos das escalas pequenas,



:

𝜀 = 𝐿

2

𝑇3 , 𝜈 =

𝐿2

Estimativa do tamanho dos turbilhões

maiores

Através do teorema dos π de Buckingham obtém-se, 𝜂 ∝ 𝜈

3

𝜀

1 4

De forma idêntica podem ser obtidas escalas para a

velocidade e o tempo, que, em conjunto, formam as escalas de Kolmogorov.

𝑢_𝜂 = 𝜀𝜂 1 4 , 𝜏_𝜂 ∝ 𝜈

𝜀

1 2

Num escoamento com um Reynolds elevado, verifica-se que para estas escalas (l << l₀), os movimentos são

estatisticamente isotrópicos –HIPÓTESE DA ISOTROPIA LOCAL DE KOLMOGOROV.

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Estimativa do tamanho dos turbilhões

maiores

Por seu turno, a HIPÓTESE DE SEMELHANÇA DE

KOLMOGOROV afirma que a estatística dos movimentos das escalas pequenas têm uma forma universal, que só depende de



e ε .

Pensando numa solução numérica das equações de Navier-Stokes, tem de se prever uma malha suficientemente

pequena para resolver as escalas pequenas de dimensão. Substituindo a escala de ε obtém-se 𝜂 ∝ 𝜈_𝑢3₃𝑙

1 4 ,logo 𝜂 𝑙 ∝ 𝜈3 𝑢3𝑙3 1 4 , ou seja, 𝜂 𝑙 ∝ 1 𝑅𝑒3 4

O número mínimo de pontos por cada direcção, será numa geometria tridimensional N ∝ _𝜂𝑙 ∝ 𝑅𝑒3 4

Tratamento estatístico da turbulência

Dado que a hipótese de meio contínuo é aplicável a campos turbulentos, conservação da massa e de quantidade de

movimento são regidas instantaneamente pelas equações já apresentadas: 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑖 = 0 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑡 + 𝑈𝑗 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜈 𝜕2𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗2

Vamos usar a decomposição de Reynolds para representar o valor instantâneo, como a soma do valor médio no tempo e a flutuação em torno desse valor médio,

Tratamento estatístico da turbulência

Em que a média é entendida por 𝑈_𝑖 = lim 𝑡→∞ 1 𝑡 𝑈𝑖𝑑𝑡 𝑡₀+𝑡 𝑡₀

Designando médias no tempo por uma barra sobre o símbolo da variável, será, por definição,

𝑢′_𝑖 = lim 𝑡→∞ 1 𝑡 𝑈𝑖 − 𝑈𝑖 𝑑𝑡 𝑡₀+𝑡 𝑡₀ = 0

Escoamento estatisticamente permanente é aquele que 𝜕𝑈_𝑖

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Tratamento estatístico da turbulência

Para se estabelecerem as equações de conservação do campo médio, note-se que a média no tempo da variação espacial do valor médio é igual à variação espacial do valor médio, pois podem-se permutar os operadores de integração no tempo e derivação no espaço.

𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 = lim𝑡→∞ 1 𝑡 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 𝑑𝑡 𝑡₀+𝑡 𝑡₀ = 𝜕 𝜕𝑥_𝑗 𝑡→∞lim 1 𝑡 𝑈𝑖𝑑𝑡 𝑡₀+𝑡 𝑡₀ = 𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑥_𝑗 Outras propriedades:

i) A média de um valor médio é o próprio valor 𝐴 = 𝐴 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵

ii) Distributiva

Tratamento estatístico da turbulência

iii) A média de uma flutuação simples é zero 𝑎′ = 0

pois 𝑎 = 𝐴 − 𝐴 = 𝐴 − 𝐴 = 0 ′

iv) A média de um produto não é, necessariamente, igual ao produto das médias

𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝑎′ 𝐵 + 𝑏′ = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝑏′ + 𝐵 𝑎′ + 𝑎′_{𝑏′ = 𝐴 𝐵 + 𝑎}′_𝑏′

Se o segundo termo não for zero, as quantidades A e B dizem-se correlacionadas e 𝑎′_{𝑏′ é designada correlação ou co-variância}

Tratamento estatístico da turbulência

Uma medida do grau de correlação é o quociente entre a

co-variância e a raiz quadrada do produto das co-variâncias individuais de cada variável, o coeficiente de correlação R:

𝑅 = 𝑎′𝑏′

𝑎′2_𝑏′2 −1 < 𝑅 < 1

Note-se que 𝑎′_{𝑏′ não é necessariamente zero apesar de 𝑎} = 𝑏′ = 0. ′

Na realidade, em escoamentos turbulentos estas correlações são normalmente não nulas.

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Tratamento estatístico da turbulência

A técnica das médias de Reynolds consiste em inserir a decomposição das variáveis instantâneas nas suas partes médias e flutuantes nas equações fundamentais e obter a média do resultado.

Fazendo a sua aplicação à equação da continuidade vem: 𝜕𝑈_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 =

𝜕𝑈_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = 0

Subtraindo esta equação da equação para o valor instantâneo, vem

𝜕𝑢′_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = 0

Isto é, sendo a equação da continuidade linear, ela é satisfeita tanto pelas componentes médias como pelas flutuações.

Tratamento estatístico da turbulência

Para se obter a equação da conservação de quantidade de

movimento média, antes de se aplicar o operador de valor

médio no tempo, vamos adicionar à equação para valores instantâneos a equação da continuidade multiplicada 𝑈_𝑖:

𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑡 + 𝑈𝑗 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜈 𝜕2𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗2 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑡 + 𝑈𝑗 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 + 𝑈𝑖 𝜕𝑈_𝑗 𝜕𝑥_𝑗 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜈 𝜕2𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗2 do que resulta: 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑡 + 𝜕𝑈_𝑖𝑈_𝑗 𝜕𝑥_𝑗 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜈 𝜕2_𝑈 𝑖 𝜕𝑥_𝑗2

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Tratamento estatístico da turbulência

O segundo termo do primeiro membro envolve variações espaciais de produtos de componentes de velocidade instantânea, cujo valor médio é

𝑈_𝑖𝑈_𝑗 = 𝑈_𝑖 +𝑢′_𝑖 𝑈 +𝑢′_{𝑗 𝑗} = 𝑈_𝑖𝑈 + 𝑈_{𝑗 𝑖}𝑢′_𝑗 + 𝑈 𝑢′_{𝑗 𝑖} + 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗 = 𝑈_𝑖𝑈 + 𝑈_{𝑗 𝑖}𝑢′_𝑗 + 𝑈 𝑢′_{𝑗 𝑖} + 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗 = 𝑈_𝑖𝑈 + 𝑢′_{𝑗 𝑖}𝑢′_𝑗 Sendo o escoamento médio permanente, a equação resultante é 𝜕 𝜕𝑥_𝑗 𝑈𝑖𝑈 + 𝑢′𝑗 𝑖𝑢′𝑗 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜈 𝜕2𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗2

Subtraindo a esta equação 𝑈_𝑖 𝜕𝑈_𝜕𝑥𝑗

𝑗 vem 𝑈 𝜕𝑈_𝑗 𝑖 𝜕𝑥_𝑗 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜈 𝜕2𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗2 + 1 𝜌 𝜕 𝜕𝑥_𝑗 −𝜌𝑢′𝑖𝑢′𝑗

Tratamento estatístico da turbulência

A comparação desta equação com a que rege os

escoamentos laminares mostra o aparecimento de um termo adicional

1 𝜌

𝜕

𝜕𝑥_𝑗 −𝜌𝑢′𝑖𝑢′𝑗

Este termo representa a transferência de quantidade de movimento entre o campo turbulento e o campo médio.

Como de acordo com a segunda lei de Newton, uma variação de quantidade de movimento está relacionada com a força aplicada, 𝜌𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗, pode ser interpretado como um tensor de tensões turbulentas (turbulent shear stress), o tensor de Reynolds.

Tratamento estatístico da turbulência

O tensor de Reynolds é um tensor de segunda ordem e obviamente simétrico, isto é, 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗 = 𝑢′_𝑗𝑢′_𝑖.

As componentes da diagonal 𝑢′₁2 = 𝑢′

1𝑢′1, 𝑢′22 𝑒 𝑢′32 são

tensões normais, enquanto que as componentes fora da diagonal são tensões de corte.

A distinção entre tensões normais e tensões de corte depende do sistema de coordenadas. Uma distinção intrínseca pode ser feita entre tensões isotrópicas e anisotrópicas.

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Tratamento estatístico da turbulência

A tensão isotrópica é 2

3𝑘𝛿𝑖𝑗 , em que k é a energia cinética

turbulenta 𝑘 = 1₂ 𝑢′. 𝑢′ = 1₂𝑢′

𝑖𝑢′𝑖, e a parte anisotrópica é

𝑎_𝑖𝑗 = 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗 − 2

3 𝑘𝛿𝑖𝑗

Nestes termos, o tensor de Reynolds é dado por 𝑢′_𝑖𝑢′_𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗 + 2

3 𝑘𝛿𝑖𝑗

Apenas a componente anisotrópica intervém no transporte da quantidade de movimento, pelo que se pode escrever

𝜕𝑝 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜕 𝜕𝑥_𝑗 𝜌𝑢′𝑖𝑢′𝑗 = 𝜌 𝜕𝑎_𝑖𝑗 𝜕𝑥_𝑗 + 𝜕 𝜕𝑥_𝑗 𝑝 + 2 3 𝜌𝑘

A componente isotrópica fica absorvida numa pressão média modificada.

Tratamento estatístico da turbulência

Vejamos como as correlações entre as flutuações de

velocidade podem aparecer e dar origem a transferência de quantidade de movimento (isto é, causam tensões de corte aparentes). Considere-se um escoamento turbulento com um escoamento médio como o representado na figura.

Flutuações positivas da componente vertical da velocidade (V) transportarão fluido com uma quantidade de movimento menor para uma zona com maior quantidade de movimento, causando por isso uma flutuação negativa de velocidade.

Tratamento estatístico da turbulência

Para flutuações negativas de V, flutuações positivas de U aparecerão e num escoamento com 𝜕𝑈 _𝜕𝑦, a tensão de corte 𝑢′_{𝑣′ será negativa acompanhada de um transporte de}

quantidade de movimento na direcção negativa de y.

Este transporte difusivo turbulento, tal como o molecular, está relacionado com gradientes do campo médio, embora não através de uma proporcionalidade simples, envolvendo um parâmetro análogo à viscosidade cinemática: a

viscosidade turbulenta



_t. −𝑢′_𝑣′ _{= 𝜈} 𝑡 𝜕𝑈 𝜕𝑦 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥

Tratamento estatístico da turbulência

Esta aproximação ao tratamento das tensões de Reynolds é um passo na modelação da turbulência, cujo objectivo é resolver o problema da indeterminação do sistema de