M : LL X ± ( O ± MOX O MX. L Para TXDLVTXHU [\], DEF ± 3, x Sejam ( e ( dois espaços vectoriais sobre.

&DStWXOR±$SOLFDo}HV/LQHDUHV

Å

Å

'

'

H

H

I

I

L

L

Q

Q

L

L

o

o

m

m

R

R

H

H

S

S

U

U

R

R

S

S

U

U

L

L

H

H

G

G

D

D

G

G

H

H

V

V

x

x

Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

.

Chama-se

DSOLFDomROLQHDU

ou

WUDQVIRUPDomROLQHDU

ou

KRPRPRUILVPR

de

(

em

(¶

a toda a aplicação

M

:

( | (¶

que satisfaz as duas condições,

L



XY± ( 

M

XY 

M

X

M

Y

LL



X ± ( 



O

± £

M

O

X 

O

M

X

x

x

Para

X [

 [

, em vez de

M

[

 [



utilizamos a

QRWDomR

VLPSOLILFDGD

M

[

 [

.

x

x

Por exemplo a aplicação,

M

:

¸

|

¸

[\]



M

[\] [\]

p XPDDSOLFDomROLQHDU

de

¸

em

¸

, pois,

L

Para

TXDLVTXHU

[\]

,

DEF

± ¸

,

provemos que,

M

[\]DEF 

M

[D\E]F



SRUGHILQLomRGHDGLomRHP

¸

[D\E]F



 SHODGHILQLomRGDDSOLFDomR

M

[\DE]F



 SRUSURSULHGDGHVGDDGLomRHP

¸

[\]DEF



 SRUGHILQLomRGHDGLomRHP

¸

M

[\]

M

DEF



 SHODGHILQLomRGDDSOLFDomR

M

LL

Para

TXDLVTXHU

[\]

± ¸

e

O

± ¸

provemos que,

M

O

[\] 

O

M

[\]

M

O

[\] 

M

O

[

O

\

O

]



 SRUGHILQLomRGHPXOWLSOLFDomRSRUXPHVFDODUHP

¸



O

[ 

O

\

O

] 



 SHODGHILQLomRGDDSOLFDomR

M



O

[\

O

] 



SHODGLVWULEXWLYLGDGHHP

¸

O

 [\]



SRUGHILQLomRGHPXOWLSOLFDomRSRUXPHVFDODUHP

¸

O

M

[\]

 SHODGHILQLomRGDDSOLFDomR

M

x

x

Verifique que a aplicação,

M

:

¸

|

¸

[\



M

[\ [\[±\±[\

p XPDDSOLFDomROLQHDU

de

¸

em

¸

.

x

x

Verifique que a aplicação,

M

:

¸

|

¸

[\



M

[\ [

_{ \}

_{ [\}

QmRpXPDDSOLFDomROLQHDU

de

¸

em

¸

.

x

x

A aplicação,

QmRpXPDDSOLFDomROLQHDU

. Basta verificar por exemplo que,

e portanto,

x

x

O conjunto

-

¸

das

IXQo}HVUHDLVGHXPDYDULiYHOUHDO

, munido das

operações

VRPDGHIXQo}HV

e

SURGXWRGHXPDIXQomRSRUXPQ~PHURUHDO

,

é um

HVSDoRYHFWRULDO

, por vezes denotado por

-

¸



.

x

x

São

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

de

-

¸

, o conjunto das

IXQo}HVGLIHUHQFLiYHLV

,

o conjunto das

IXQo}HVLQWHJUiYHLV

, ...

x

x

Sendo

¸

também um espaço vectorial, certas operações podem ser formuladas

em termos de aplicações lineares, como por exemplo:

A

GLIHUHQFLDomR

é uma

DSOLFDomROLQHDU

entre o subespaço das funções

diferenciáveis e o espaço vectorial

-

¸

.

A

LQWHJUDomR

é uma

DSOLFDomROLQHDU

entre o subespaço das funções

integráveis e um intervalo de

¸

.

x

x

Para um dado ponto

[

± ¸

a aplicação,

é uma

DSOLFDomROLQHDU

de

-

¸

em

¸

, pois,

L

Para qualquer par de funções

IJ±

-

¸

x

x 3URSRVLomR

:

Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

e seja uma

M

DSOLFDomROLQHDU

de

(

em

(¶

.

Então,

D

M



 



E

M

±

X 

±

M

X

para todo

X± (

F

M

X

±

Y 

M

X

±

M

Y

para todo

XY± (

'HPRQVWUDomR

:

D

M



 

Como



é o

HOHPHQWRQHXWURSDUDDDGLomR

em

(

,

temos,





 

e então,

M



 

M



 

mas como

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

,

M



 

M



 

M



Ora

M



, sendo um elemento do

HVSDoRYHFWRULDO

(¶

,

tem o seu

VLPpWULFR

,

±

M



.

Somando este simétrico a ambos os membros da equação anterior,

M



 ±

M



 

M



 

M



 ±

M













ou seja,





 

M



 





que é uma soma em

(¶

, cujo

HOHPHQWRQHXWUR

é





e portanto



 

M



E

M

±

X 

±

M

X

para todo

X± (

Para provar que

M

±

X

é o

VLPpWULFR

de

M

X

em

(¶

,

basta mostrar que,

M

±

X



M

X 



Ora se

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

,

M

±

X



M

X 

M

±

X 



X



mas como

±

X

é o

VLPpWULFR

de

X

em

(

,

M

±

X



M

X 

M



e pela condição

D

,

M

±

X



M

X 



E

M

±

X 

±

M

X

para todo

X± (

&RPRDOWHUQDWLYD

, podemos partir da igualdade,

± X ±

 X

e nesse caso,

M

±

X

M

 ±

M

X

e como

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

,

M

±

X

±

M

X

F

M

X

±

Y 

M

X

±

M

Y

para todo

XY± (

M

X

±

Y 

M

X

±

Y





M

X

M

±

Y

porque

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU



M

X

±

M

Y

pela condição

E





M

X

±

M

Y



x

x

As duas condições que constituem a

GHILQLomRGHDSOLFDomROLQHDU

podem ser

condensadas numa só, estabelecendo uma

FRQGLomRQHFHVViULDHVXILFLHQWH

que, como tal, pode também ser usada como

GHILQLomR

.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

e seja

M

uma

aplicação de

(

em

(¶

.

Então

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

VHHVyVH

,

M

D

X E Y 

D

M

XE

M

Y



XY± ( 



D

 E ±£

x

x

Sendo

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

, representamos por,

3

((¶

x

x

No conjunto

3

((¶

das aplicações lineares de

(

em

(¶

também podem ser

definidas

RSHUDo}HV

, tais como,

x

$GLomR

de aplicações lineares:

Para

duas

M

,

\

±

3

((¶

e qualquer

X ± (

definimos,

M



\

 X 

M

X

\

X

x

0XOWLSOLFDomR

de uma aplicação linear

SRUXPHVFDODU

:

Para uma

M

±

3

((¶

um

O

± £

e qualquer

X ± (

definimos,

O M

 X 

O

M

X

x

&RPSRVLomR

de aplicações lineares,

Para uma

M

±

3

((¶

e uma

\

±

3

(¶(¶¶

e qualquer

X ± (

definimos,

\ Ì M

 X 

\

M

X

x



x

x

Resta provar que o resultado destas operações é ainda uma aplicação linear.

x

x 3URSRVLomR

:

Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

e sejam

M

,

\

±

3

((¶

e

O

± £

Então

M



\

e

O M



VmRDSOLFDo}HVOLQHDUHV

.

O conjunto

3

((¶

, munido destas duas operações,

'HPRQVWUDomR

Para quaisquer

XY± (

e

D

 E

,

O

± £

, provemos que a

VRPD

M



\

é

uma aplicação linear, utilizando a

FRQGLomRQHFHVViULDHVXILFLHQWH

na página 7.



M



\

D

X E Y 

M

D

X E Y

\

D

X E Y

 GHILQLomRGHDGLomRHP

3

((¶

D M

XE

M

Y

D \

XE

\

Y



M

H

\

VmRDSOLFDo}HVOLQHDUHV





D

M

X

\

XE 

M

Y

\

Y



 D[LRPDVGHHVSDoRYHFWRULDO



D

M



\

XE 

M



\

Y



 GHILQLomRGHDGLomRHP

3

((¶

Analogamente, para quaisquer

XY± (

e

D

 E

,

O

± £

, provemos que o

SURGXWRSRUXPHVFDODU

O M

é uma aplicação linear.



O M

D

X E Y 

O

M

D

X E Y

 GHILQLomRGHPXOWLSOLFDomRSRUXPHVFDODUHP

3

((¶

O

D M

XE

M

Y



M

p XPDDSOLFDomROLQHDU





OD

M

X

O

E 

M

Y



 D[LRPDVGHHVSDoRYHFWRULDO





DO

M

X

 E

O

M

Y



 FRPXWDWLYLGDGHHP

£

D

O

M

X

E 

O

M

Y



 D[LRPDVGHHVSDoRYHFWRULDO



D

O M

X

E 

O M

Y



 GHILQLomRGHPXOWLSOLFDomRSRUXPHVFDODUHP

3

((¶

Restaria agora

SURYDU

que

3((¶

obedece aos

D[LRPDVGHHVSDoRYHFWRULDO

,

com estas duas operações (



).

x

x

O

YHFWRUQXOR

do espaço vectorial

3((¶

é a

DSOLFDomR



3



que a

WRGRRYHFWRUGH

(

faz corresponder o

YHFWRUQXORGH

(¶

,

Mostre que este

YHFWRUQXOR

de

3((¶

é efectivamente o

HOHPHQWRQHXWUR

GDVRPDGHDSOLFDo}HVOLQHDUHV

em

3((¶

, ou seja que,

para todo o

\

± 3((¶

se tem,





3

 

\

\

x

x

A toda a aplicação

\

± 3((¶

corresponde a respectiva

DSOLFDomR

VLPpWULFD

±

\

definida por,

Mostre que efectivamente,

x

x

Sejam

(

,

(¶

e

(¶¶

WUrVHVSDoRVYHFWRULDLV

sobre

£

Para as aplicações

M

±

3

((¶

e

\

±

3

(¶(¶¶

, a

DSOLFDomR



FRPSRVWD

\ Ì M

é definida por,

Mostre que

\ Ì M

p XPDDSOLFDomROLQHDU

.

>

&

&

O

O

D

D

V

V

V

V

L

L

I

I

L

L

F

F

D

D

o

o

m

m

R

R

G

G

D

D

V

V

D

D

S

S

O

O

L

L

F

F

D

D

o

o

}

}

H

H

V

V

O

O

L

L

Q

Q

H

H

D

D

U

U

H

H

V

V

Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

e seja

M

±

3

((¶

A

DSOLFDomROLQHDU

ou

KRPRPRUILVPR

M

é um:

x

PRQRPRUILVPR

se for

LQMHFWLYD

, ou seja,



M

X

M

Y

Á

X Y



XY± (

x

HSLPRUILVPR

se for

VREUHMHFWLYD

, ou seja,



se o contradomínio de

M

é

(¶



x

LVRPRUILVPR

se for

ELMHFWLYD

, ou seja,



se

M

for injectiva e sobrejectiva



x

HQGRPRUILVPR

se

( (¶



x

x

Por exemplo, a aplicação linear

I

:

¸

| ¸

definida por,

é um

HSLPRUILVPR

.

x

x

Por exemplo, a aplicação linear

\

:

3

[

[

]

| ¸

definida por,

é um

LVRPRUILVPR

.

x

x

Por exemplo, a aplicação linear

M

:

3

[

[

]

| 3

[

[

]

definida por,

é um

DXWRPRUILVPR

.

x

x

Por exemplo, a aplicação linear

M

:

-

¸

 |

-

¸

definida por,

M

 ORJ[\ ORJ[ORJ\



[\± ¸

Å

Å

3

3

U

U

R

R

S

S

U

U

L

L

H

H

G

G

D

D

G

G

H

H

V

V

G

G

D

D

V

V

$

$

S

S

O

O

L

L

F

F

D

D

o

o

}

}

H

H

V

V

/

/

L

L

Q

Q

H

H

D

D

U

U

H

H

V

V

x

x

Sendo uma

DSOLFDomROLQHDU

definida

HQWUHHVSDoRVYHFWRULDLV

, uma questão

vital é a de conhecer o

FRPSRUWDPHQWR

dessa aplicação em relação à

GHSHQGrQFLDRXLQGHSHQGrQFLDOLQHDUHV

de vectores.

A proposição seguinte garante que:

x

Uma aplicação linear transforma vectores

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHVHP

YHFWRUHVOLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

.

x

Para que uma aplicação linear transforme

YHFWRUHVOLQHDUPHQWH

LQGHSHQGHQWHVHPYHFWRUHVOLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

é necessário e

suficiente que esta aplicação seja

LQMHFWLYD

.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

e seja

M

±

3

((¶

.

L

Se os vectores

Y

 Y

Y

são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

em

(

, então os vectores

M

Y





M

Y



M

Y

são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

em

(¶

.

LL

A aplicação linear

M

é um

PRQRPRUILVPR

VHHVyVH

,

a

LQGHSHQGrQFLDOLQHDU

dos vectores

Y

 Y

Y

implicar a

LQGHSHQGrQFLDOLQHDU

dos vectores

M

Y





M

Y



M

Y

.

'HPRQVWUDomR

:

L

Sejam

Y

 Y

Y

± (

vectores linearmente dependentes.

Mostremos

que

M

Y





M

Y



M

Y

 ± (¶

também são vectores

linearmente dependentes.

Se

Y

 Y

Y

são vectores

OLQHDUPHQWH

GHSHQGHQWHV

então

H[LVWHPHVFDODUHV

D



D



D

QmRWRGRVQXORV

,

tais que,

D

Y



D

Y

 

D

Y



e aplicando

M

,

M

D

Y



D

Y

 

D

Y

 

M

 

mas como

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

,

D

M

Y

 

D

M

Y

 

D

M

Y

 

E deste modo obtivemos uma

FRPELQDomROLQHDUQXOD

em

(¶

cujos escalares

QmRVmRWRGRVQXORV

.

Os vectores

M

Y





M

Y



M

Y

 ± (¶

são portanto

OLQHDUPHQWH

GHSHQGHQWHV

.

LL

Á

Seja

M

um

PRQRPRUILVPR

(aplicação linear injectiva).

Mostremos que,

QHVVHFDVR

,

VH

os vectores

Y

 Y

Y

± (

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

,

HQWmR

os vectores

M

Y





M

Y



M

Y

 ± (¶

também são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

Partindo da

FRPELQDomROLQHDUQXOD

em

(¶

,

D

M

Y

 

D

M

Y

 

D

M

Y

 

como

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

,

M

D

Y



D

Y

 

D

Y

 

M

 

mas porque

M

é

LQMHFWLYD

,

6H

os

Y

 Y

Y

forem

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

, isto significa que,

D

D

 

D



HQWmR

também os

M

Y





M

Y



M

Y

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

LL

¿

Assumindo que,

VH

os vectores

Y

 Y

Y

± (

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

,

HQWmR

os vectores

M

Y





M

Y



M

Y

 ± (¶

também são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

mostremos que

M

WHPGHVHU

um

PRQRPRUILVPR

(aplicação linear injectiva).

Suponhamos,

SRUDEVXUGR

, que

QmRHUDLQMHFWLYD

.

Nesse caso existiriam

XY

± (

com

X z Y

mas

M

X

M

Y

.

e poderíamos definir,

Z X±Yz 

e aplicar

M

,

M

Z 

M

X±Y 

M

X±

M

Y





Significa isto que teríamos o vector

Z z 

com a imagem

M

Z 

Ora este facto

FRQWUDULDDKLSyWHVH

pois,

sendo

Z z 

então é

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH

e, por hipótese, a sua

imagem também é

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH

e portanto

M

Zz 

.

Portanto a aplicação linear que

SUHVHUYDDLQGHSHQGrQFLDOLQHDU

só pode ser

x

x

Por exemplo a aplicação, que já provámos ser uma

DSOLFDomROLQHDU

,

M

:

¸

|

¸

[\]



M

[\] [\]

Consideremos três vectores que são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

,

X ±



Y ±±



Z ±±

é simples verificar que os três vectores imagem,

M

X ±



M

Y ±



M

Z ±

também são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

,

pois

±± ±

Também é simples verificar que

QmRpXPPRQRPRUILVPR

pois,

por exemplo,

M

± ±



M

± ±

Consideremos agora três vectores que são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

,

[ ±



\ ±

e calculando os três vectores imagem,

M

[ 



M

\ ±



M

] ±

que obviamente são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

, por conterem o

YHFWRUQXOR

.

x

x

Por exemplo, a aplicação linear

M

:

3

[

[

]

| ¸

definida por,

M

D[E DE

é

um

PRQRPRUILVPR

(e até um

LVRPRUILVPR

).

Considerando três polinómios

S[T[U[± 3

[

[

]

S[ [±



T[ ±



U[ [

que são

OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV

, pois

U[ S[±T[

e calculando os três vectores imagem,

M

S[ ±



M

T[ ±



M

U[ 

Por outro lado os dois polinómios

V[W[± 3

[

[

]

V[ [±



W[ [

são

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

. Porquê?

Como

M

é

LQMHFWLYD

, esta

LQGHSHQGrQFLDpSUHVHUYDGD

nas imagens,

M

V[ ±



M

W[ 

que

são

também

OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV

.

x

x

O próximo resultado mostra que

XPDDSOLFDomROLQHDU

cujo domínio é um

espaço vectorial de dimensão finita

ILFDSHUIHLWDPHQWHGHILQLGD

quando se

FRQKHFHPDVLPDJHQVGRVYHFWRUHVGH

XPDTXDOTXHUEDVH

desse espaço.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

sendo

(

de

dimensão

finita.

Seja

)

H

 H

 H

uma

EDVH

de

(

e sejam

X

 X

X

± (¶



Então,

H[LVWHXPD~QLFD

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

tal que

M

H

 X

para todo o

L Q

Além disso,

para

TXDOTXHU

Y 

D

H



D

H

 

D

H

então

M

Y 

D

X



D

X

 

D

X

'HPRQVWUDomR

:

Como conhecemos uma

EDVH

de

(

,

)

H

 H

 H

então, para

TXDOTXHUYHFWRU

Y ± (

existem

Q

escalares

D



D

 

D

tais que,



Y 

D

H



D

H

 

D

H

Sendo também conhecidos

Q

vectores

X

 X

X

± (¶

GHILQLPRVDDSOLFDomR

M

:

( | (¶

por,

M

D

H



D

H

 

D

H

 

D

X



D

X

 

D

X

Comecemos por verificar que, com esta definição,

para todo o

L Q

se tem

M

H

 X

Para

FDGD

L Q

podemos escrever

H

como uma combinação linear

onde

D



e todo os outros escalares são nulos, ou seja,

H



H

 

H

 



H

 

H

aplicando

M

,

M

H

 

M



H

 

H

 



H

 

H

que, pelo modo com definimos

M

,

M

H

 

X

 

X

 



X

 

X

Pelo modo como foi definida, a aplicação

M

p XPDDSOLFDomROLQHDU

pois,

M

D

H



D

H

 

D

H

D

X



D

X

 

D

X

D

M

H

 

D

M

H

 

D

M

H

Falta apenas demonstrar que a aplicação linear

M

p ~QLFD

.

Suponhamos que

H[LVWLDRXWUD

,

\

:

( | (¶



tal que

\

H

 X

, para todo o

L Q

Nesse caso, para qualquer

Y ± (

Y 

D

H



D

H

 

D

H

aplicando

\

,

\

Y 

\

D

H



D

H

 

D

H

que sendo também uma

DSOLFDomROLQHDU

,

D

\

H

 

D

\

H

 

D

\

H

e pela condição imposta,





D

X



D

X

 

D

X

mas pela definição de

M

,

D

M

H

 

D

M

H

 

D

M

H

e sendo

M

uma aplicação linear,





M

D

H



D

H

 

D

H

M

v

x

x

Consideremos a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

da qual conhecemos,

M

 ±



M

 

Como determinar a sua

H[SUHVVmRJHUDO

?

Em primeiro lugar, é necessário

SURYDU

que

 

p XPDEDVHRUGHQDGD

de

¸

.

Para determinar a expressão geral de

M

, tomemos

XP YHFWRUDUELWUiULR

[\± ¸

e determinemos as suas

FRRUGHQDGDV

naquela base,

[\ 

D

E





D

 E

D

donde,



[ 

D

 E

ou

E [±\

\ 

D

D

 \

Identificadas a coordenadas podemos escrever,

[\ \[±\

Aplicando

M

a esta igualdade,

M

[\ 

M

 \[±\

e porque

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

,

mas pelos dados do problema sabemos que,

\±[±\



\±\[±\[±\



\[±\[±\

Podemos então concluir que,

M

[\ \[±\[±\

para todo o

[\± ¸

.

x

x

Por exemplo, para a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

da qual conhecemos,

M

 



M

 

determinemos a sua

H[SUHVVmRJHUDO

.

Neste caso conhecemos

)



, a

EDVHFDQyQLFD

de

¸

,

e para qualquer vector

[\± ¸

, as

FRRUGHQDGDVQDEDVHFDQyQLFD

são

bem

conhecidas,

[\ [\

Aplicando

M

,

M

[\ 

M

 [\



[

M

\

M





[\ \[

ou seja, a aplicação linear

M

[\ \[

transforma todo o elemento

[\± ¸

no

seu

VLPpWULFRHPUHODomRjUHFWD

\ [

.

Dizemos que esta aplicação efectua uma

UHIOH[mR

.

x

x

Considere a

DSOLFDomROLQHDU

T

:

3

[

[

]

| 0

(

¸

)

definida por,

Comece por verificar que

 [[

± [[

p XPDEDVH

do espaço vectorial

3

[

[

]

,

'HWHUPLQHDVFRRUGHQDGDV

de um elemento arbitrário

D[

_{ E[F± 3}



[

[

]

nessa base,

aplique

a

WUDQVIRUPDomROLQHDU

T

e, utilizando os valores dados das

LPDJHQV

dessa base,

GHWHUPLQHXPDH[SUHVVmRJHUDO

para

T

D[

 E[F

Å

Å

,

,

P

P

D

D

J

J

H

H

P

P

H

H

,

,

P

P

D

D

J

J

H

H

P

P

5

5

H

H

F

F

t

t

S

S

U

U

R

R

F

F

D

D

x

x

Sejam

(

e

(¶

HVSDoRVYHFWRULDLV

sobre

£

e sejam

)

e

)¶

VXEHVSDoRV

YHFWRULDLV

de

(

e de

(¶

respectivamente.

Seja ainda

M

uma aplicação linear de

(

em

(¶

.

Chamamos

LPDJHPGH

)

SRU

M

ao subconjunto de

(¶

definido por,

M

) 

{

M

X

:

X± )

}

ou seja, o

FRQMXQWRGDVLPDJHQVGRVYHFWRUHV

de

)

.

x

x

Ao conjunto dos

YHFWRUHVFXMDLPDJHPSHUWHQFHD

)¶

, ou seja,

ao subconjunto de

(

definido por:

M

_{)¶ }

_{

_{Y ± (}

_:

M

_Y

_{± )¶}

_}

chamamos

LPDJHPUHFtSURFDGH

)¶

SRU

M

.

x

x

Os conceitos de imagem e imagem recíproca podem ser aplicados a

TXDOTXHU

VXEFRQMXQWR

, não necessariamente subespaço vectorial.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

e seja

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

Nessas condições:

D

Se

)

d

(

então

M

)

d

(¶



D

Sendo

)

um

VXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

provemos que

M

)



p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(¶

.

L

Se

)

é um subespaço vectorial, então



∈

)

e se

M

é uma aplicação linear, então



 

M



∈

M

)

portanto



∈

M

)

LL

Para

D

,

E

∈

£

e

XY

∈

M

)

provemos que,

D

X E Y

∈

M

)

Se

XY

∈

M

)

então existem

[\

∈

)

tais que

X 

M

[

e

Y 

M

\

Assim,

D

X E Y 

D M

[

 E

M

\

e sendo

M

uma aplicação linear,

M

D

[ E \

Ora sendo

)

um subespaço vectorial, então

D

[ E \

∈

)

e portanto,

D

X E Y 

M

D

[ E \

∈

M

₎

E

Sendo

)¶

um

VXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(¶

x

x

Consideremos a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por,

M

[\ [[\[±\

para todo o

[\

∈

¸

e também os

VXEHVSDoRVYHFWRULDLV

,

) 

{

\

:

\

∈

¸

}

d

¸

)¶ 

{

DD

:

D

∈

¸

}

d

¸

Calculemos a

LPDJHPGH

)

SRU

M

,

M

) 

{

M

[\

:

[\

∈

)

}

{

M

\

:

\

∈

¸

}

{

\±\

:

\

∈

¸

}

{

\±\

:

\

∈

¸

}

¢ ±²

e a

LPDJHPUHFtSURFDGH

)¶

SRU

M

,

M

_{)¶ }

_{

_{[\± ¸}

:

M

[\

± )¶

}

{

[\± ¸

:

[[\[±\ DD

:

D

∈

¸

}

ou seja,

[ D

ou



[ D



[\ D

\ D



[±\ 

[ \

e portanto,

M

_{)¶ }

_{

_{[\± ¸}

:

[ \ DD

∈

¸

}

{

DD

:

D

∈

¸

}

¢ ²

x

x

Considere a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

0

(

¸

)

| 3

[

[

]

definida por,

para todo,

e também um

VXEHVSDoRYHFWRULDO

6

d

0

(

¸

)

definido por,

e um

VXEHVSDoRYHFWRULDO

*

d

3

[

[

]

definido por,

* 

{

D [

 E[F± 3

[

[

] :

F 

}

Determine

M

6

a

LPDJHPGH

6

SRU

M

Å

Å

1

1

~

~

F

F

O

O

H

H

R

R

H

H

,

,

P

P

D

D

J

J

H

H

P

P

x

x

Sejam

(

e

(¶

HVSDoRVYHFWRULDLV

sobre

£

e seja

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

de



(

em

(¶

.

Chamamos

Q~FOHRGH

M

e representamos por

1XF

M

ou

.HU

M

,

ao subconjunto de

(

definido por,

1XF

M

{

X ± (

:

M

X 



} =

M

{



}

ou seja, o

FRQMXQWRGRVYHFWRUHVFXMDLPDJHPpRYHFWRUQXOR

.

x

x

Chamamos

LPDJHPGH

M

e representamos por

,P

M

,

ao subconjunto de

(¶

definido por,

,P

M

{

M

X

:

X ± (

}

M

(

ou seja, o

FRQMXQWRGDVLPDJHQVGHWRGRVRVYHFWRUHVGH

(

.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

e seja

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

Então:

D

1XF

M

d

(

E

,P

M

d

(¶



D

Provemos

que

1XF

M

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

.

LL

Para

D

,

E

∈

£

e

XY

∈

1XF

M

provemos que,

D

X E Y

∈

1XF

M

Se

XY

∈

1XF

M



então

M

X 



e

M

X 

e se

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

, então,

M

D

X E Y 

D M

X



 E

M

Y





D



 E 

 

portanto,

D

X E Y

∈

1XF

M

D

Para provar que

1XF

M

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

,

FRPRDOWHUQDWLYD

, basta notar que,

sendo

{



}

um

VXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(¶

e sendo

1XF

M

M

{



}

pela proposição anterior,

1XF

M d

(

.

E

3URYH

que

,P

M

p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(¶

.

x

x

Para a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por,

M

[\] []\±]

, para todo o

[\]

∈

¸

calculemos o

Q~FOHR

e a

LPDJHP

de

M

.

1XF

M

{

[\]± ¸

:

M

[\] 

}

{

[\]± ¸

:

[]\±]





}

ou seja,

[ ] 

ou



[ ±]



\±] 



\ ]

e

portanto,

1XF

M

{

±]]]

:

] ± ¸

}

{

] ±

:

] ± ¸

}

¢ ±²

Calculemos a

LPDJHP

de

M

,

,P

M

{

M

[\]

:

[\]

∈

¸

}

{

[]\±]



:

[\]

∈

¸

}

{

[\]±]

_

:

[\]

∈

¸

}

{

[ \]±

_

:

[\]

∈

¸

}

¢ ±



²

 ¸

x

x

Considere a

DSOLFDomROLQHDU

I

:

3

[

[

]

| 3

[

[

]

definida por,

I

D[

 E[F FE[

 D[

para todo o

D [

 E[F± 3

[

[

]

.

'HWHUPLQH

o

Q~FOHR

e a

LPDJHP

de

I

.

x

x

O resultado seguinte mostra como é possível

GHWHUPLQDUDLPDJHPUHFtSURFD

GHXPYHFWRU

, se for conhecido o

Q~FOHRGDDSOLFDomROLQHDU

.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

,

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

e seja

Y¶± (¶

Se existir um

Y ± (

tal que

M

Y Y¶

então,

M

_{

_Y¶

_}

 _Y

_1XF

_

_M

'HPRQVWUDomR

:

M

_{

_Y¶

_}

 _

_{

_{X ± (}

_:

_M

_{X Y¶}

_}

{

X ± (

:

M

X 

M

Y

}

{

X ± (

:

M

X±Y 



}

{

X ± (

:

X ±Y±

_1XF



M

}

{

X ± (

:

Z X±YZ±

1XF



M

}

{

Y Z

± (

:

Z ±

1XF



M

}

Y

1XF



M

x

x

Por exemplo, para a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por,

M

[\] [\]

,

para todo o

[\]

∈

¸

vejamos como

GHWHUPLQDUDLPDJHPUHFtSURFD

de



∈

¸

,

a

SDUWLUGRQ~FOHR

da aplicação linear.

Comecemos por determinar o

Q~FOHR

da aplicação linear.

1XF

M

{

[\]± ¸

:

M

[\] 

}

{

[\]± ¸

:

[\]





}

{

[±[

:

[ ± ¸

}

{

[ ±

:

[ ± ¸

}

¢ ±²

Procuremos agora

XP YHFWRU

de

¸

que tem por imagem



∈

¸

pela aplicação linear

M

[\] [\]

ou seja,

XPYHFWRU

[\]

tal que

[\] 

3RUH[HPSOR

, o vector



verifica

M

 

Pela

SURSRVLomRDQWHULRU

, podemos então calcular,

M

_{

_

_}

 _{}

_1XF

_

_M



{

[±[

:

[ ± ¸

}

{

[±[

:

[ ± ¸

}

1RWD

:

O

Q~FOHR

{

[±[

:

[ ± ¸

}

representa uma

UHFWD

de

¸

que, sendo um subespaço vectorial,

SDVVDSHODRULJHP

.

A imagem recíproca de



, dada por

{

[±[

:

[ ± ¸

}

representa a

UHFWDSDUDOHOD

a essa, que passa pelo ponto



.

Escolhendo

RXWURSRQWR

, por exemplo



, encontramos uma

expressão

diferente

{

[±[

:

[ ± ¸

}

, mas que

efectivamente

UHSUHVHQWDDPHVPDUHFWD

.

x

x

Consideremos a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

3

[

[

]

| 3

[

[

]

definida por,

M

D[

_{ E[F EFD[D[}



 D[

 E[F± 3

[

[

]

.

De forma análoga, utilizando o núcleo, determinemos

M

{

±[

}

o conjunto do polinómios de

3

[

[

]

cuja imagem por

M

é

±[

.

Calculando o

Q~FOHR

da aplicação linear,

1XF

M

{

D [

 E[F± 3

[

[

] :

E FD[D[

[

 [

 [

}

{

 [

 [

}

{



}

e

HVFROKHQGRXPSROLQyPLR

tal que,

M

D[

 E[F EFD[D[

±[

descobrimos

R ~QLFR

polinómio que verifica esta condição é,

±±[[

Portanto a

LPDJHPUHFtSURFD

tem apenas um elemento,

M

_{

_±[

_}

 _{±±[[}

 _

_{

_

3[[]

}

{

±±[[

}

x

x

Considere a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

3

[

[

]

| 3

[

[

]

definida por,

M

D[

 E[F D[E

,



D[

 E[F± 3

[

[

]

.

De forma análoga, determine

M

{ 5 x

±

}

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

, sendo

(

de

dimensão

finita.

Seja

)

H

 H

 H

uma

EDVHRUGHQDGD

de

(

e

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

.

Então,

,P

M

¢

M

H



M

H



M

H

 ²

'HPRQVWUDomR

:

L

¢

M

H



M

H



M

H

 ² °

,P

M

Se

X ± ¢

M

H



M

H



M

H

 ²

então existem escalares

D



D



D

± £

tais que,

X 

D

M

H

 

D

M

H

 

D

M

H

Ora, para todo o

L Q

,

H

± (

M

H

 ±

M

( 

,P

M

e como

,P

M

é um subespaço vectorial de

(¶

,

está provado que

X ±

,P

M

LL

,P

M

° ¢

M

H



M

H



M

H

 ²

Se

Y ±

,P

M

Ora sendo

)

H

 H

 H

uma base de

(

,

então existem escalares

D



D



D

± £

tais que,

X 

D

H



D

H

 

D

H

e portanto,

Y

M

X 

M

D

H



D

H

 

D

H

D

M

H

 

D

M

H

 

D

M

H

ou seja,

Y ± ¢

M

H



M

H



M

H

 ²

x

x

Consideremos a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

3

[

[

]

| ¸

definida por,

M

D[E EDDE



 D[E± 3

[

[

]

.

Conhecendo

)

[[

uma base de

3

[

[

]

, determinemos

,P

M

.

Pela proposição anterior, basta calcular as

LPDJHQVGRVHOHPHQWRVGDEDVH

e respectivo

HVSDoRJHUDGR

,

,P

M

¢

M

[

M

[²

¢ ²







{

[\]

± ¸

:

] [±\

}



x

x

Note-se que, como

,P

M

é um

VXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(¶

, então,

GLP

,P

M

 d

GLP

(¶

e como

1XF

M

é um

VXEHVSDoRYHFWRULDO

de

(

, então,

GLP

1XF

M

 d

GLP

(

x

x

Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

, onde

(

tem dimensão finita,

e

seja

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

.

Chamamos

QXOLGDGHGH

M

à

GLPHQVmRGRVHXQ~FOHR

,

Q

M

GLP

1XF

M

e chamamos

FDUDFWHUtVWLFDGH

M

à

GLPHQVmRGDVXDLPDJHP

,

F

M

GLP

,P

M

x

x

Por exemplo, para a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por,

M

[\] [\][±\

,



[\]

∈

¸

Para determinar a

QXOLGDGHGH

M

, calculemos o seu

Q~FOHR

.

1XF

M

{

[\]± ¸

:

M

[\] 

}

{

[\]± ¸

:

[\][±\





}

ou seja,

[ \] 

ou



] ±[

e portanto,

1XF

M

{

[[±[

:

[ ± ¸

}

{ x

±

:

[ ± ¸

}

¢ ±²

Assim, como

±z 

, o núcleo é gerado por

XP~QLFRYHFWRU

linearmente independente, pelo que forma uma base

)

±

.

Portanto,

Q

M

GLP

1XF

M

 

Para determinar a

FDUDFWHUtVWLFDGH

M

, calculemos a sua

LPDJHP

.

,P

M

{

M

[\]

:

[\]± ¸

}

{

[\][±\



:

[\]± ¸

}

{

[ \±]

:

[\]± ¸

}

¢ ±²

Como alternativa, utilizando a propriedade anterior, podemos também calcular

esta imagem, à custa das

LPDJHQVGRVYHFWRUHVGDEDVHFDQyQLFD

de

¸

.

,P

M

¢

M



M



M

²

¢ ±²

Resta verificar qual a

GLPHQVmR

deste subespaço imagem.

Obviamente que,

WUrVYHFWRUHV

em

¸

nunca podem ser linearmente

independentes e sabemos mesmo que,

Efectivamente temos, por exemplo,

 ±±

Eliminando



, é simples verificar que os

GRLVYHFWRUHV

±

e





são linearmente independentes.

Portanto,



,P

M

¢ ±² ¸

e

F

M

GLP

,P

M

 

x

x

Considere a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por,

M

[\] [±]\][±\]

,



[\]

∈

¸

Mostre que,

1XF

M

{



}

e portanto

Q

M

GLP

1XF

M

 

.

Prove que,

,P

M

¢ ±±²

e também que,



{

[\]Z± ¸

:

\ 

}

e mostre que

F

M

GLP

,P

M

 

.

Å

Å

7

7

H

H

R

R

U

U

H

H

P

P

D

D

G

G

D

D

V

V

'

'

L

L

P

P

H

H

Q

Q

V

V

}

}

H

H

V

V

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

, sendo

(

de

GLPHQVmRILQLWD

e seja

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

.

Então,

GLP

( 

GLP

1XF

M

 

GLP

,P

M

ou seja,

GLP

( 

Q

_M

 F

_M

$UJXPHQWDomR

:

Sendo o espaço

(

de

GLPHQVmRILQLWD

,

GLP

(

,

então o

1XF

M

° (

terá dimensão

S

, tal que

 d S d

GLP

(

.

Seja

)

 X

 X

 X

uma

EDVH

de

1XF

M

.

A partir desta podemos construir uma

EDVH

de

(

, juntando vectores de

(

,

)

X

 X

 X

 H

 H

 H



onde

S N

GLP

(

.

A essência da demonstração do teorema consiste em provar que,

)

 

M

H



M

H



M

H

 

p XPDEDVHGH

,P

M

e portanto que

GLP

,P

M

 N

.

Podemos então concluir que,

x

x

O resultado seguinte permite-nos verificar se uma aplicação linear

p RXQmR

LQMHFWLYD

, calculando apenas o seu

Q~FOHR

.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

,

e

M

uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

.

A aplicação

M

é um

PRQRPRUILVPR

VHHVyVH

1XF

M

{



}

.

'HPRQVWUDomR

:

Á

Seja

M

uma aplicação linear

LQMHFWLYD

e tomemos um elemento

arbitrário do núcleo,

X ±

1XF

M

.

Então,

M

X 

M



porque é uma aplicação linear

E sendo a aplicação injectiva, então,

X 

e portanto

1XF

M

{



}

.

¿

Assumindo que

1XF

M

{



}

,

provemos que,



XY± (

M

X 

M

Y

Á

X Y

.

Se

M

X 

M

Y

Á M

X±

M

Y 



Á M

X±Y 

aplicação linear

Á

X ±Y±

1XF

M

definição de núcleo

Á

X ±Y 

por hipótese