Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí ca
Departamento de Matemática
Dissertação de Mestrado
EQUAÇÕES DIOFANTINAS CLÁSSICAS E
APLICAÇÕES
por
Filardes de Jesus Freitas da Silva
Mestrado Pro ssional em Matemática - Campinas - SP
Toda a educação cientí ca que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base ".
(Augusto Conte)
À Deus, em primeiro lugar;
Aos meus pais, Leonidas Domingos da Silva e Nair Freitas da Silva, por acreditarem em mim e aos meus amigos pelo apoio. Sem esse conjunto de pessoas nada disto poderia ter acontecido;
À minha noiva, Sâmia Jose na Brandão Silva pela compreensão e carinho;
Ao Prof. Emerson Alexandre, que como orientador e amigo soube cobrar, mas
também não mediu esforços em oferecer todas as condições necessárias à realização do presente trabalho;
Ao prof. Simão Stelmastchuk pela ajuda e generosidade em partilhar seus conheci-mentos;
Às Universidades Estaduais de Campinas e do Maranhão e em especial ao CEFET-MA, conjuntamente com a Capes por propiciarem a realização do Mestrado Pro ssional em Matemática.
A todos os professores do Curso de Mestrado Pro ssional em Matemática, que de uma forma direta ou indireta contribuíram para a realização desse trabalho;
À minha sogra, Célia Dutra Brandão e aos amigos Robert Batista Pinheiro e Edvilson Silva, por suas palavras proféticas e interface entre mim e Sâmia;
Aos frangotes Marco, Emerson, Gladiston, Ronivaldo, Tubarão, Domingos, Nilson e Jotaquerles, amigos de todas as horas.
Ao Cristiano, Felix, Danilo e aos demais colegas do laboratório, que me ajudaram bastante e me aturararem por todos estes dias.
Resumo
FREITAS, Filardes J. S. Equações Diofantinas Clássicas e Aplicações. Campinas -SP: Universidade Estadual de Campinas, 2009. Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática.
Neste trabalho focalizamos os principais conceitos da teoria elementar dos números objetivando uma melhor compreensão das Equações Diofantinas Clássicas e suas apli-cações e para isto explicitamos os conceitos de Números primos, Algoritmo de Euclides, Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum, assim como a teoria das Congruên-cias, uma abordagem sobre a Criptogra a RSA e Soma de Inteiros.
Palavras-Chave: Congruências Lineares, Soma de Inteiros, Equação de Fermat, Soma de Quadrados.
FREITAS, Filardes J. S. Classical diophantine equations and applications. Campinas -SP: Universidade Estadual de Campinas, 2009. Dissertation submitted as partial requi-rement for his Master's Degree in Mathematics.
In this work we focus the main concepts of the elementary theory of numbers seeking a better understanding of Classical diophantine equations and their applications for this and explained the concepts of prime numbers, algorithms of Euclid, maximum common divisor and least common multiple and the theory of congruence , an approach on the RSA encryption and Sum of Integers.
Keywords: Linear congruence, Sum of Integers, equation of Fermat, Sum of Squa-res.
Sumário
Agradecimentos vi
Resumo vii
Abstract viii
Introdução 1
1 UMA REVISÃO DA TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS 2
1.1 Fatoração Única em Z e Algoritmo da Divisão . . . 2
1.2 M.D.C. e M.M.C. . . 4
1.3 Congruências . . . 8
1.4 Resíduos e Conjunto completo de resíduos módulo m . . . 10
1.5 Inverso Aritmético Módulo m e Congruências Lineares . . . 12
1.6 Teorema Chinês do Resto e Criptogra a . . . 17
2 SOMA DE INTEIROS 25 2.1 Teoria Elementar da Contagem . . . 25
2.2 Princípio da Inclusão e Exclusão . . . 30
2.3 Binomial Generalizado e Funções Geradoras . . . 36
3 A EQUAÇÃO DE FERMAT 40 3.1 Grupos, Anéis e Ideais . . . 40
3.2 Equações de Fermat numa perspectiva básica . . . 42
3.3 Equações de Fermat numa perspectiva avançada . . . 44
4 SOMA DE QUADRADOS 62 4.1 Soma de dois quadrados . . . 63
4.2 Soma de quatro quadrados . . . 65 5 EQUAÇÕES DIOFANTINAS CLÁSSICAS E APLICAÇÕES 68 5.1 Aplicações . . . 68 Considerações Finais 76 Referências Bibliográ cas 77
Introdução
O objetivo desta dissertação, dentro dos propósitos deste programa, é o estudo e detalhamento de temas de interesse que tenham conexão com as disciplinas da área de matemática do ensino médio e superior, neste trabalho focalizaremos as equações diofantinas clássicas e suas aplicações e para isto, iniciaremos por uma revisão dos principais tópicos elementares da teoria dos números.
No primeiro capítulo, são introduzidos conceitos e de nições da teoria elementar dos números, tais como, algoritmo de Euclides, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, divisibilidade, congruências e criptogra a RSA. No segundo capítulo faremos uma abordagem daS equações diofantinas representadas por soma de inteiros, um tópico de grande importância na análise combinatória com problemas que envolvem contagem. Nos terceiro e quarto capítulos, abordamos as equações de Fermat numa perspec-tiva básica e avançada, sendo esta última com a contribuição dos Inteiros de Gauss e os Inteiros de Eisenstein dentro dos conceitos de Grupos, Anéis, Ideais e Soma de Quadrados.
Por m, o quinto capítulo, mostraremos as aplicações das mais variadas equações diofantinas no campo da criptogra a RSA e das funções geradoras, dentre outras, de modo que possamos ao nal deste trabalho ter um material que de alguma forma possa contribuir para uma melhor compreensão das Equações Diofantinas.
UMA REVISÃO DA TEORIA
ELEMENTAR DOS NÚMEROS
Neste capítulo enfatizaremos alguns conceitos da teoria dos números como o algo-ritmo de Euclides, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos além dos tópicos das congruências e resíduos que irão fortalecer e dinamizar as nossas aplicações.
1.1 Fatoração Única em Z e Algoritmo da Divisão
Para entendermos a fatoração única, precisamos em um primeiro momento de nir-mos dois números inteiros p e q, sendo que p divide q, se existir um inteiro k tal que q = p:k, com o uso da notação pjq. Se p não divide q escrevemos p - q.
Todo número inteiro positivo n 2 pode ser escrito de modo único, na forma, n = p1
1 :p22: : : : :pkk
onde 1 < p1 < p2 < p3 < : : : < pk são números primos e 1; 2; 3: : : k são inteiros
positivos.
Os expoentes 1; 2; 3: : : k são chamados de multiplicidades. Em outras palavras
a multiplicidade de p1 é o maior expoente 1, tal que p11 divide n. A representação por
exemplo, do número 280 em fatoração única será 280 = 22:32:5.
1.1 Fatoração Única em Z e Algoritmo da Divisão 3 Dada a importância do algoritmo de Euclides para o nosso trabalho achamos opor-tuno iniciar com a seguinte proposição:
Proposição 1.1 Sejam a; b 2 Z com b > 0. Então existem únicos números inteiros q e r tais que
a = qb + r e 0 r < b onde q chama-se quociente e r o resto da divisão de a por b.
Demonstração: Mostraremos em primeiro lugar a existência de q e r.
Dados a; b 2 Z com b > 0, sendo o conjunto S = fa bxjx 2 Z; a bx 0g. Temos obviamente S N. Para x = jaj obtemos a bx = a b ( jaj) = a + b jaj
a + jaj 0, pois b 1. Isto mostra que S 6= ;. Pelo princípio da indução temos que existe um r 2 S mínimo, isto é r y 8y 2 S. Como r 2 S existe um x = q 2 Z com r = a bq. Segue então que a = bq+r. Precisamos provar que 0 r < b. Como r 2 S certamente r 0 donde que a bq b = r b 0, ou seja, r > a (q + 1) b 2 S, contradizendo a minimalidade do r 2 S. Isto mostra que r b é impossível. Logo temos que r < b.
Provaremos agora a unicidade de q e r.
Suponhamos que q, r, q0 e r0 são inteiros tais que
a = bq + r = bq0 + r0 e 0 r; r0 < b
então r0 r = bq bq0 = b (q q0) e segue jr r0j = jb (q q0)j = b jq q0j.
Adicionando-se as desigualdades
( 0 r0 < b b < r 0
Segue b < r0 r < b, ou seja, jr0 rj < b. Daí temos a contradição
b > jr0 rj = b jq0 qj b no caso de q 6= q0
Teorema 1.1 (Algoritmo Geral da Divisão) Para quaisquer a; b 2 Z com b 6= 0 existem únicos q; r 2 Z tais que
a = bq + r e 0 r < jbj
Demonstração: Como jbj > 0 pela Proposição 1.1 existem únicos q0; r 2 Z com
a = jbj q0+ r tal que 0 r < jbj.
Se b > 0 então jbj = b e podemos considerar q = q0 junto com r.
Se b < 0 então jbj = b e podemos considerar q = q0 junto com r, obtendo
a = jbj q0+ r = ( b) q0+ r = b ( q0) + r = bq + r
1.2 M.D.C. e M.M.C.
De nição 1.1 Sejam a e b inteiros, com pelos menos um deles diferente de zero. O máximo divisor comum d de dois inteiros a e b (a ou b diferente de zero, denotado por (a; b) ou mdc (a; b) é o maior inteiro que divide a e b.
Teorema 1.2 (Máximo divisor comum)
1. dja e djb (i. e. d é divisor comum de a e b.).
2. Se algum c 2 N dividir ambos a e b então temos também cjd.
Demonstração: Seja d = mdc (a; b). Então, obviamente d veri ca (1), e como d 2 D (a; b) a condição (2) a rma que, se d0 2 D (a; b), (D é o conjunto formados por
divisores comuns de a e b), então, d0jd; logo d0 d, donde segue que d é o maior dos
inteiros divisores comuns. Portanto, d = mdc (a; b).
Proposição 1.2 Se a; b; c; x1; y12 Z , cja e cjb então cj (ax1+ by1)
Demonstração: Se cja e cjb então a = k1c e b = k2c, com k1; k2 2 Z. Multiplicando
estas duas equações respectivamente por x1 e y1, teremos x1a = x1k1c e y1b = y1k2c.
Somando membro a membro obtemos ax1+ by1 = (x1k1+ y1k2) c, o que nos diz que
1.2 M.D.C. e M.M.C. 5 Teorema 1.3 Se a e b são inteiros e a = qb + r, onde q e r são inteiros , então (a; b) = (b; r).
Demonstração: Da relação a = qb+r podemos concluir que todo divisor de b e r é um divisor de a pela Proposição 1.2. Esta última relação pode ser escrita como, r = a qb e nos diz que todo divisor de a e b é um divisor de r. Logo o conjunto dos divisores comuns de a e b é igual ao conjunto dos divisores comuns de b e r, o que nos garante o resultado (a; b) = (b; r).
Teorema 1.4 Sejam a; b 2 Z não ambos zero e seja d = (a; b). Então existem x1; y12
Z tais que
ax1+ by1 = d:
Demonstração: Consideremos o conjunto B = fax + by : x; y 2 Zg de todas as com-binações lineares. Este conjunto contém, claramente, números negativos, positivos e também o zero. Tomando x1 e y1 tais que c = x1a + y1b seja o menor inteiro positivo
pertencente ao conjunto B, vamos provar que cja e cjb. Como as demonstrações são similares, mostraremos apenas que cja. A prova é por cotradição. Suponhamos que c - a, neste caso, pelo Teorema 1.1 existe q e r tais que a = cq + r com 0 < r < c. Portanto r = a qc = a q (x1a + y1b) = (1 qx1) a + ( qy1) b. Isto mostra que
r 2 B, pois (1 qx1) e ( qy1) são inteiros, o que é uma contradição, uma vez que
0 < r < c e c é o menor elemento positivo de B. Logo cjb.
Como d é um divisor de a e b, existem inteiros k1 e k2 tais que a = k1d e b = k2d e
portanto c = x1a +y1b = x1k1d +y1k2d = d (x1k1+ y1k2) o que implica que djc, então
que jdj jcj, onde ambos são positivos e como d < c é impossível, uma vez que d é o máximo divisor comum, podemos concluir que d = ax1+ by1.
Exemplo 1.1 Sendo o mdc (413280; 211243) = d, com o auxílio do Algoritmo Euclidi-ano Estendido, determine uma solução x1; y12 Z. De modo que 413280x1+211243y1=
d:
Resolução: Precisamos encontrar o valor de d e para isto, faremos uso do Algoritmo Euclidiano.
a = qb + r ) r = a qb 413280 = 211243:1 + 202037 ) 202037 = 413280 211243:1 (1) 211243 = 202037:1 + 9206 ) 9206 = 211243 202037:1 (2) 202037 = 9206:21 + 8711 ) 8711 = 202037 21:9206 (3) 9206 = 8711:1 + 495 ) 495 = 9206 8711:1 (4) 8711 = 495:17 + 296 ) 296 = 8711 495:17 (5) 495 = 296:1 + 199 ) 199 = 495 296:1 (6) 296 = 199:1 + 97 ) 97 = 296 199:1 (7) 199 = 97:2 + 5 ) 5 = 199 97:2 (8) 97 = 5:19 + 2 ) 2 = 97 5:19 (9) 5 = 2:2 + 1 ) 1 = 5 2:2 (10) Logo, d = 1.
O próximo passo é escrever a expressão ax1+by1= d: e realizar as devidas substituições,
assim:
1 = 5 2:2, substituindo a equação (9) em (10) e fazendo o mesmo procedimento com o resto das equações seguintes,temos:
1 = 5 2: (97 5:19) 1 = 39:5 2:97 1 = 39: (199 97:2) 2:97 1 = 39:199 80:97 1 = 39:199 80: (296 199:1) 1 = 119:199 80:296 1 = 119: (495 296:1) 80:296 1 = 119:495 199:296 1 = 119:495 199: (8711 495:17) 1 = 3502:495 199:8711 1 = 3502: (9206 8711:1) 199:8711 1 = 3502:9206 3701:8711 1 = 3502:9206 3701: (202037 21:9206) 1 = 81223:9206 3701:202037 1 = 81223: (211243 202037:1) 3701:202037 1 = 81223:211243 84924:202037
1.2 M.D.C. e M.M.C. 7 1 = 81223:211243 84924: (413280 211243:1)
1 = 211243:166147 + 413280: ( 84924) d = 413280x1+ 211243y1
1 = 413280: ( 84924) + 211243:166147, ou seja, x1 = 84924 e y1 = 166147
uma solução inteira.
Teorema 1.5 Se ajbc e (a; b) = 1, então ajc.
Demonstração: Como (a; b) = 1, pelo Teorema 1.3 existem x1e y1tais que ax1+by1=
1. Multiplicando os dois lados dessa igualdade por c, temos: (ac) x1 + (bc) y1 = c.
Como ajac e, por hipótese, ajbc, então, pela Proposição 1.2, ajc.
De nição 1.2 Chama-se mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos a e b o menor inteiro positivo que é divisível por a e b, denotado por [a; b] ou mmc (a; b). Proposição 1.3 Sejam a e b inteiros não-nulos, então:
(i) [a; b] max fjaj ; jbjg; (ii) é único o [a; b]; (iii) [a; b] = [b; a]; (iv) [a; b] = [jaj ; jbj].
Teorema 1.6 sejam a e b inteiros, com a 6= 0,d = (a; b) e m = [a; b]. então vale a relação:
md = jabj .
Demonstração: Coloquemos m0 = jabj
d . Existem r; t 2 Z tais que dr = a e dt = b. Temos m0 = jaj
d jbj = rb e também m0 = jaj b
d = at. Isto mostra que m0 é múltiplo comum de a e b. Se c 2 N, tal que ajc e bjc e Existem k1; k2 2 Z tais que
ak1 = c = bk2. Pelo Teorema 1.2 existem x1; y1 2 Z com ax1+ by1= d, então segue
c m0 = cd jabj = c jabj(ax1+ by1) = c jbj ax1 jaj + c jaj by1 jbj = c bx1 c ay1= k2x1 k1y12 Z e mostramos que mc0 2 Z o que signi ca que m0jc. Assim m0 = m.
1.3 Congruências
A teoria de congruências está relacionada ao nome do grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). A introdução das congruências torna natural a criação de um novo sistema numérico no qual são de nidas as operações de adição e multiplacação: Os conjuntos Zm.
De nição 1.3 Se a e b são inteiros dizemos que a é congruente a b módulo m, com m > 0, se mj (a b). Denotamos isto por a b (modm). Se m - (a b) dizemos que a é incongruente a b módulo m e denotaremos por a 6 b (modm).
Proposição 1.4 Se a e b são inteiros m > 0, temos a b (modm) se, e somente se, existir um inteiro k1 tal que a = b + k1m.
Demonstração: Se a b (modm), então mj (a b), o que implica que existe um inteiro k1 tal que a b = k1m, isto é, a = b + k1m. A recíproca é provada tomando
um inteiro k1 satisfazendo a = b + k1m, ou seja, k1m = a b e portanto mj (a b),
resultando que a b (modm).
Proposição 1.5 Sejam a, b, m e d inteiros com m > 0, então as seguintes sentenças são verdadeiras:
(i) sempre a a (modm) (Ref lexividade);
(ii) se a b (modm) então b a (modm) (Simetria);
(iii) se a b (modm) e b d (modm) então a d (modm) (T ransitividade); Demonstração: (i) como mj0, então mj (a a), o que implica a a (modm). (ii) Se a b (modm), então a = b + k1m para k1 2 Z, logo b = a k1m, o que implica pela
Proposição 1.4 que b a (modm). (iii) Se a b (modm) e b d (modm), então existem k1; k2 2 Z, tais que a b = k1m e b d = k2m. Somando-se membro a
membro as duas equações, temos a d = (k1+ k2) m. Fazendo k1+ k2 = k3, obtemos
a d = k3m o que implica a d (modm).
Esta proposição nos diz que a relação de nida no conjunto dos inteiros é uma relação de equivalência pois ela é re exiva, simétrica e transitiva.
1.3 Congruências 9 Teorema 1.7 Se (k; m) = d, então ak bk (modm) ) a bmod md
Demonstração: Se ak bk (modm) implica que mj (ka kb), ou seja, que mjk (a b). Dividindo os dois membros por d, temos, mdjkd (a b), mas por hipótese (k; m) = d e pelo Teorema 1.3, k d; m d
= 1 o que implica que md (a b), e fazendo k1 = kd 2 Z
temos que a bmod md .
Teorema 1.8 Se (k; m) = 1, então ak bk (modm) ) a b (modm).
Demonstração: Se ak bk (modm) então mj (ka kb), ou seja, mjk (a b), mas, pelo Teorema 1.3, se mjk (a b) e (k; m) = 1 então mja b, o que implica a b (modm).
Teorema 1.9 Sejam a, b, c e m inteiros tais que a b (modm), então: (i) a + c b + c (modm);
(ii) a c b c (modm); (iii) ac bc (modm).
Demonstração: (i) como a b (modm), temos que a b = km e como a b = (a + c) (b + c) temos a + c b + c (modm). (ii) como (a c) (b c) = a b e por hipótese a b = km, então temos que a c b c (modm). (iii) como a b = km, multiplicando os dois membros por c, temos ac bc = ckm o que implica mj (ac bc) e, portanto, ac bc (modm).
Teorema 1.10 Se a, b, c, d e m são inteiros tais que a b (modm) e c d (modm), então:
(i) a + c b + d (modm); (ii) a c b d (modm); (iii) ac bd (modm).
Demonstração: (i) como a b (modm) e c d (modm), temos que a b = k1m e
c d = k2m, portanto, fazendo a soma membro a membro, obtemos (a + c) (b + d) =
(k1+ k2) m com k1; k2 2 Z, isso implica que a + c b + d (modm). (ii) como
(a c) (b c) = a b e, por hipótese, a b = km, então a c b c (modm). (iii) Sabemos que a b = k1m, multiplicando os dois membros por c e c d = k2m
por b, temos ac bc = ck1m e bc bd = bk1m. Somando membro a membro,
temos ac bc + bc bd = (ck1+ bk2) m o que implica mj (ac bd) e portanto,
ac bd (modm).
1.4 Resíduos e Conjunto completo de resíduos módulo
m
De nição 1.4 Se a e r são inteiros com a r (modm), dizemos que r é um resíduo de a módulo m.
De nição 1.5 Chamamos de conjunto completo de resíduos módulo m ao conjunto de m números cada um dos quais é congruente a 0; 1; 2; ; m 1 (modm), isto é, um conjunto que contém um representante para cada uma das m classes nas quais os inteiros módulo m se dividem.
De nição 1.6 O conjunto dos inteiros fr1; r2; r3; ; rsg é um sistema completo de
resíduos módulo m se:
(i) ri 6 rj(modm) para i 6= j;
(ii) para todo inteiro n existe um ri tal que n ri(modm).
Teorema 1.11 Dois números inteiros x e y são congruentes (modm) se, e apenas se, a divisão de cada um deles por m tem o mesmo resíduo.
Demonstração: Pela Proposição 1.1 podemos escrever x = k1m + r e y = k2m + s
com 0 < r; s < m. Se mj (x y) então mj (r s) e como jr sj < m teremos que ter r s = 0 o que implica que r = s.
1.4 Resíduos e Conjunto completo de resíduos módulo m 11 Teorema 1.12 Qualquer número inteiro é congruente (modm) com um e só um dos elementos de f0; 1; 2; ; m 1g.
Demonstração: Dados m 2 N e x 2 Z pela Proposição 1.1 existem q e r únicos tais que x = k1m + r com 0 r < m, portanto x r (modm) e 0 r m 1. A
unicidade resulta do Teorema 1.11.
Teorema 1.13 Todos os sistemas completos de resíduos para um mesmo módulo têm o mesmo número de elementos.
Demonstração: Consideremos um sistema completo de resíduos, digamos R = fr1; r2; r3; ; rkg
para um módulo m > 1 xo; seja ainda R0 = f1; 2; 3; ; m 1g. De acordo com
o Teorema 1.11, para cada j = 1; 2; ; k existe um e só um ro(j) 2 R0 tal que
rj ro(j) (modm), portanto R0 tem pelo menos o mesmo número de resíduos de
elementos de R; por outro lado R é também um sistema completo de resíduo e, por de nição, para cada elemento de R0 existe um e só um elemento de R com o qual
aquele é congruente (modm), donde R tem pelo menos tantos elementos como R0, ou
seja R e R0 têm de fato o mesmo número de elementos.
Exemplo 1.2 Sendo f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g o conjunto dos menores restos não-negativos módulo 8, veri que se f 28; 15; 6; 11; 15; 22; 101; 800g é um sistema completo de resíduos módulo 8.
Resolução: Pela De nição 1.6, (i) ri 6 rj(modm) para i 6= j, temos por exemplo
r2 6 r3(mod8), implicando que 1 6 2 (mod8) ) 8 - 1 e (ii) para todo inteiro n existe
um ri tal que n ri(modm), segue que
Para i = 1 ) n = 800, pois 800 0 (mod8) ) 8j800 ) 100 = k0 2 Z
Para i = 2 ) n = 15, pois 15 1 (mod8) ) 8j 16 ) 2 = k12 Z
Para i = 3 ) n = 6, pois 6 2 (mod8) ) 8j 8 ) 1 = k22 Z
Para i = 5 ) n = 4, pois 28 4 (mod8) ) 8j 32 ) 4 = k42 Z
Para i = 6 ) n = 5, pois 101 5 (mod8) ) 8j96 ) 12 = k52 Z
Para i = 7 ) n = 6, pois 22 6 (mod8) ) 8j16 ) 2 = k62 Z
Para i = 8 ) n = 7, pois 15 7 (mod8) ) 8j8 ) 1 = k7 2 Z
Observação 1.1 Sendo n 2 N, k0; k1; k2; ; kn 1 2 Z, então,
fn:k0; n:k1+ 1; n:k2+ 2; ; n:kn 1+ (n 1)g
é um sistema completo de resíduos (modm). Além disso todo sistema completo de restos (modm) é obtido dessa forma.
No Exemplo 1.2, temos:
fn:k0; n:k1+ 1; n:k2+ 2; ; n:kn 1+ (n 1)g =
f8:100; 8:( 2) + 1; 8:( 1) + 2; 8:1 + 3; 8:( 4) + 4; 8:12 + 5; 8:2 + 6; 8:1 + 7g = f800; 15; 6; 11; 28; 101; 22; 15g
1.5 Inverso Aritmético Módulo m e Congruências
Line-ares
De nição 1.7 Um inverso aritmético de a (modm) é um número inteiro a tal que a:a a:a 1 (modm).
Teorema 1.14 O número a 2 Zn f0g têm inverso aritmético (modm) se, e apenas se, (a; m) = 1
Demonstração: Se (a; m) = 1, então existem x; y 2 Z, tais que ax + my = 1, por outro lado esta equação indica que ax 1 (modm) e consequentemente, x é o inverso aritmético de a (modm), que existe se (a; m) = 1. Mas a:a 1 (modm), então deduz-se que a:a = km + 1, para algum k 2 Z pelo que a:a + ( k) m = 1. Conclui-deduz-se assim,
1.5 Inverso Aritmético Módulo m e Congruências Lineares 13 que a e m são primos entre si.
Proposição 1.6 Seja p um número primo. O inteiro positivo a é o seu próprio inverso módulo p se, e apenas se, a 1 (modp) ou a 1 (modp).
Demonstração: Se a é o seu próprio inverso, então a2 1 (modp) o que signi ca que
pj (a2 1), mas se pj (a 1) (a + 1), sendo p um número primo, temos que pj (a 1)
ou pj (a + 1) o que nos leva a concluir que a 1 (modp) ou a 1 (modp). A recí-proca também é imediata, pois se a 1 (modp) ou a 1 (modp) então pj (a 1) ou pj (a + 1). Portanto pj (a 1) (a + 1) o que signi ca que a2 1 (modp) ou ainda
que a:a a:a 1 (modp).
Exemplo 1.3 Determine o inverso de 211243 (mod 413280).
Resolução: Neste caso, precisamos calcular o mdc (413280; 211243) e aplicar o al-goritmo euclidiano estendido, ver Exemplo 1.1, onde o mdc (413280; 211243) = 1 e 1 = 413280: ( 84924)+211243: (166147), ou seja, x1= 84924 e y1= 166147, logo
o inverso de 211243 (mod 413280) é y1 = 166147, pois pela De nição 1.7, temos,
211243: (166171) 166171: (211243) 1 (mod 413280).
De nição 1.8 Chamamos de congruência linear em uma variável toda congruência da forma ax b (modm), onde x é uma incógnita.
Teorema 1.15 Se a têm inverso a: (modm), então ax b (modm) se, e somente se, x ab (modm).
Demonstração: Supomos que a:a 1 (modm), logo se ax b (modm), então a:a:x ab (modm) ora a:a:x x (modm), portanto x ab (modm). Na volta teriamos que se x ab (modm), analogamente, obtém-se ax a:a:b b (modm) e daí ax b (modm).
Teorema 1.16 Sejam a e b inteiros e (a; b) = d. Se d - c então a equação ax +by = c não possui nenhuma solução inteira. Mas se djc essa equação possuirá in nitas soluções e se x = x0 e y = y0, teremos então uma solução particular e todas as demais soluções
serão obtidas por x = x0+ (b=d) k e y = y0 (a=d) k, com k inteiro.
Demonstração: Se d - c, então a equação ax + by = c não tem solução, como d é o máximo divisor comum de a e b, ele deveria dividir c, pois c é uma combinação linear de a e b. Suponhamos que djc, pelo Teorema 1.2, existem x1 e y1, tais que ax1+ by1= c.
Entretanto se djc, existe então um inteiro k de modo que c = kd, multiplicando ambos os membros da equação ax1+ by1 = c por k, teremos a (x1k) + b (y1k) = c. Isso nos
leva a concluir que o par ordenado (x0; y0), com x0 = x1k e y0= y1k é uma solução da
equação ax + by = c, uma vez que ax + by = c
ax + by = a (x0+ (b=d) k) + b (y0 (a=d) k)
ax + by = ax0+ abd k + by0 abd k
ax + by = ax0+ by0= c
Neste caso, (x0; y0) é uma solução particular e a partir dessa solução, podemos gerar
in nitas soluções, para isso precisamos mostrar que toda equação do tipo ax + by = c, temos como soluções as expressãoes x = x0+ (b=d) k e y = y0 (a=d) k, entretanto
iremos supor que o par ordenado (x; y), seja uma solução, logo poderemos escreve-la assim, ax + by = c, mas ax0 + by0 = c, logo ax + by = ax0+ by0, o que implica
em a (x x0) = b (y0 y), lembrando que (a; b) = d recorrendo ao Teorema 1.6,
a d;
b d
= 1, podemos, então dividir os dois termos da equação a (x x0) = b (y0 y)
por d, temos da (x x0) = db (y0 y), pelo Teorema 1.3 (b=d) j (x x0) e portanto
existe um k, inteiro que satisfazendo x x0 = (b=d) k o que implica x = x0+ (b=d) k
e substituindo esse valor de na equação a
d (x x0) = b
d (y0 y), temos que y = y0 (a=d) k.
Teorema 1.17 Sejam a, b e m inteiros tais que m > 0 e (a; m) = d. Se d - b a congruência ax b (modm) não possui nenhuma solução inteira e quando djb, essa congruência possui exatamente d soluções incongruentes módulo m.
1.5 Inverso Aritmético Módulo m e Congruências Lineares 15 Demonstração: Sabemos que x inteiro é solução da congruência ax b (modm) se, e somente se existir um inteiro y tal que pela Proposição 1.4 ax = b+my que implica ax my = b e pelo Teorema 1.16, sabemos que esta equação não possui solução se d - b, analisaremos agora quando djb, para este caso a equação ax my = b, possuirá in nitas soluções dadas por x = x0 (m=d) k e y = y0 (a=d) k, onde (x0; y0) é uma solução
particular da equação diofantina ax my = b, objeto da nossa obordagem. Entretanto a congruência ax b (modm) possui in nitas soluções dadas por x = x0 (m=d) k.
Para sabermos o número de soluções incongruentes, analisaremos sobre que condições as equações x1= x0 (m=d) k1 e x2= x0 (m=d) k2, são congruentes módulo m. Se
x1 e x2 são congruentes então x0 (m=d) k1 x0 (m=d) k2(modm), implica dizer
que (m=d) k1 (m=d) k2(modm) e como (m=d) jm, temos que (m=d; m) = m=d e
isso nos dá condição de aplicarmos o cancelamento de (m=d) na equação (m=d) k1
(m=d) k2(modm), consequência do Teorema 1.7, daí teremos k1 k2(modd), uma
vez que podemos substituir m por d uma vez que d = m= (m=d) e isso nos leva a identi car que as soluções incongruentes serão obtidas ao tomarmos x = x0 (m=d) k
uma vez que k é um inteiro que percorre todo o sitema completo de resíduos módulo d.
Teorema 1.18 (Teorema de Wilson) Se p é primo, então (p 1)! 1 (modp). Demonstração: Veri caremos para os primos 2 e 3 a veracidade do teorema de Wil-son, então (2 1)! 1 (mod2), implica que 2j2 e (3 1)! 1 (mod3), temos que 3j3, logo o enunciado é verdadeiro para os primos 2 e 3. Suponhamos agora p 5, pelo Teorema 1.16, a congruência ax 1 (modp) onde a é qualquer dos p 1 inteiros positivos do conjunto f1; 2; 3; : : : ; p 1g e como desses elementos ape-nas 1 e p 1 são seus próprios inversos módulo p, tais que a 6= a, pelo Teorema 1.13, onde aa 1 (modp), com 1 a p 1, podemos então agrupar os numeros 2; 3; : : : ; (p 2) em (p 3)2 pares, ao fazermos o produto dos elementos dessa sequên-cia de modo que esse produto seja congruente a 1 módulo p, teremos pelo Teorema 1.9, a congruência 2:3: : (p 2) 1 (modp) e nalmente multiplicando ambos os mem-bros desta congruência por (p 1), temos 2:3: : (p 2) (p 1) (p 1) (modp), logo (p 1)! 1 (modp) uma vez que (p 1) 1 (modp).
Teorema 1.19 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p primo, se p - a, então ap 1
1 (modp).
Demonstração: Consideremos o conjunto formado pelos p números 0; 1; 2; : : : ; p 1 que constitui um sistema completo de resíduos módulo p, onde qualquer conjunto que contenha no máximo p elementos incongruentes módulo p, pode ser correspon-dido biunivocamente a um subconjunto de f0; 1; 2; 3; : : : ; p 1g. Dados a sequência a; 2a; 3a; : : : ; (p 1) a e tomados dois elementos dela incongruentes entre si, módulo p, se tivermos a congruência ax ay (modp), com 1 x; y p 1, como (a; p) = 1, aplicando o cancelamento na congruência teremos x y (modp) o que não acontece pois os elementos do subconjunto f0; 1; 2; 3; : : : ; p 1g, não são congruentes entre si módulo p. Além disso não existe a congruência a zero módulo p, uma vez que se pjax, com 1 x p 1, então pjx ou pja, o que não acontece, segue en-tão que o conjunto fa; 2a; : : : ; (p 1) ag são congruentes aos elementos do conjunto f1; 2; : : : ; p 1g numa ordem conviniente, onde teremos p 1 congruência da forma a x1(modp)
2a x2(modp)
3a x3(modp)
...
(p 1) a xp 1(modp)
Onde x1; x2; x3; ; xp 1, são os inteiros 1; 2; 3; ; p 1, eventualmente em outra
ordem, ver Exemplo 1.1. Multiplicando ordenadamente essas congruências , temos a:2a:3a: : (p 1) a 1:2:3: : (p 1) (modp) que implica em (p 1)!ap 1
(p 1)! (modp) e como ((p 1)!; p) = 1 podemos aplicar o cancelamento, logo con-cluímos que ap 1 1 (modp).
De nição 1.9 Chamamos de Função de Euler a função aritmética de nida para todo inteiro positivo n e denotada por (n) e que é igual ao número de elementos do conjunto fk 2 N : 1 k n e (k; n) = 1g.
Exemplo 1.4 Para n = 12, calcule (12).
Resolução: O conjunto procurado é f1; 5; 7; 11g, pois 1 k 12 e (k; 12) = 1, temos:
1.6 Teorema Chinês do Resto e Criptogra a 17 (1; 12) = 1; (2; 12) 6= 1; (3; 12) 6= 1; (4; 12) 6= 1;
(5; 12) = 1; (6; 12) 6= 1; (7; 12) = 1; (8; 12) 6= 1; (9; 12) 6= 1; (10; 12) 6= 1; (11; 12) = 1; (12; 12) 6= 1; Portanto (12) = 4
Teorema 1.20 Se o inteiro p > 1, então (p) = p 1 se, e somente se, p é primo. Demonstração: Se p > 1 é primo, então cada um dos inteiros positivos menores do que p é primo com p, e portanto (p) = p 1. A recíproca , se (p) = p 1, com p > 1, então p, é primo, pois se p fosse um número composto, teria pelo menos um divisor k, tal que 1 < k < p, de modo que pelo menos dois dos inteiros 1; 2; 3; : : : ; p, não seriam primos com p e k, isto é (p) = p 2. logo p é primo.
1.6 Teorema Chinês do Resto e Criptogra a
Teorema 1.21 Considere o seguinte sistema de congruência, x a1(modm1) x a2(modm2) x a3(modm3) ... x an(modmn)
onde (mi; mj) = 1 se i 6= j, i; j = 1; 2; 3; : : : ; n. Queremos determinar sobre quais
condições haverá solução desse sistema.
Demonstração: O sistema acima conhecido como Sistema Chinês do Resto nas con-dições mencionadas sempre possui soluções e mais ainda, duas soluções diferem por um múltiplo de m = m1; m2; m3; : : : ; mn, consideremos, Nj = n Y i=j i6=j mi
Sabemos que o (mi; mj) = 1, se i 6= j, sendo i; j 2 f1; 2; : : : ; ng, segue que
x = n X i=1 aisiNi note que, x n X i=1 aisiNi ajsjNj aj(modmj) pois, Ni 0 (modmj), i 6= j e sjNj 1 (modmj) Assim, x n X i=1
aisiNi é solução do sistema. Tomando duas soluções x1 e x2inteiras,
desse sistema, teremos, x1 a2 x2(modm2)
x1 an x2(modmn)
Donde x1 x2 0 (modmi), i = 1; 2; : : : ; n,
logo mij (x1 x2) e como o (mi; mj) = 1, com i; j = 1; 2; 3; : : : ; n
segue que m1; m2; m3; : : : ; mnj (x1 x2), indicando que as duas soluções diferem por
um múltiplo de m1; m2; m3; : : : ; mn
Exemplo 1.5 Um certo número de laranjas (menor do que 20) foi arrumado em caixas de três laranjas cada, sobrando duas, se a arrumação fosse em caixas de cinco laranjas cada, sobraria uma laranja, qual a quantidade de laranjas?
Resolução: Neste caso, precisamos aplicar o teorema chinês do resto, chamando de x a quantidade de laranjas, teremos,
( x a1(modm1)
x a2(modm2)
)( x 2 (mod3) x 1 (mod5)
comparando as variáveis correspondentes, temos, a1 = 2 a2 = 1 m1 = 3 m2 = 5 (m1; m2) = 1
1.6 Teorema Chinês do Resto e Criptogra a 19 Daí, podemos escrever que 1 = r:3 + s:5 e usando o algoritmo de Euclides, conclui-mos que ( r = 2
s = 1
O número de laranjas que é o objeto do problema sera de nido por, = r:m1:a2+ s:m2:a1
= 2:3:1 + ( 1):5:2 = 6 10
= 4
O conjunto solução é uma P.A. de termo inicial 4 e razão m1:m2= 15, ou seja,
x 2 f 4; 4 + 15; 4 + 30; 4 + 45; : : :g x 2 f 4; 11; 26; 41; : : :g
como 0 x < 20, então temos como solução do problema x = 11. Criptogra a
O impulso para descobrir segredos está profundamente enraizado na natureza hu-mana. Durante milhares de anos, reis e rainhas dependiam de algum tipo de comuni-cação, mesmo que não e ciente, para governar seus países. Ao mesmo tempo, todos estavam cientes dos riscos das mensagens serem interceptadas pelo inimigo. Foi essa ameaça que gerou o desenvolvimento de métodos para mascarar as mensagens, deno-minados códigos e cifras. Segundo alguns historiadores e analistas militares, a Terceira Guerra Mundial será a guerra dos matemáticos, uma vez que estes terão o controle sobre a próxima grande arma de guerra: a transmissão segura da informação.
Os principais códigos usados atualmente para a proteção das informações militares foram elaborados por matemáticos ou por pesquisadores com conhecimento profundo em tal aréa. Embora a Criptogra a seja de importância fundamental em termos milita-res, os sistemas criptográ cos são amplamente utilizados no meio civil, em transações bancárias, em negociações e em simples trocas de mensagens que são efetuadas via internet. A proliferação dos computadores e sistemas de comunicação em 1960 criou uma grande demanda do setor privado buscando, na Criptogra a, meios para proteger a informação na forma digital e fornecer serviços de segurança. Esta fase começou com o trabalho de H. Feistel na IBM em 1973, culminando em 1977, com a adoção de um
Processamento Padrão de Informação Federal (USA) para criptografar informação não classi cada; a DES (Data Encryption Standard) é o mecanismo criptográ co melhor conhecido na história.
A segurança desse sistema criptográ co está baseada em um antigo problema ma-temático: obter os fatores primos de um número dado. O RSA explora essa situação ao utilizar um número, que atualmente varia de 512 a 1024 bits, e que é o produto de dois números primos muito grandes. Diversos métodos de fatoração foram desen-volvidos. Vários matemáticos estudaram caminhos alternativos para solucionar este problema tais como Carl Gauss, Leonard Euler e Pierre de Fermat. Mas essa área era considerada inútil para ns práticos. No entanto, com o advento da cifra assimétrica, a mesma se tornou interessante a todos os pro ssionais relacionados à tecnologia da informação, inclusive aos matemáticos. A engenhosidade de todos esses pro ssionais produziram resultados importantes no problema da fatoração. Porém, nenhum método desenvolvido é considerado satisfatório a m de ser executado em tempo polinomial, e portanto, o tamanho da chave é su ciente para garantir a segurança da informação no método RSA, em tempo real.
O algoritmo RSA foi patentiado pelo M.I.T. em 1983 nos Estados Unidos, mas ex-pirou em 21 de setembro de 2000. O RSA é, atualmente, o mais usado em aplicações comerciais. Este é o método utilizado, por exemplo, no Netscape, o mais popular dos softwares de navegação na Internet.
Representação de Knuth
Em criptogra a um dos principais problemas computacional consiste em manipular inteiros grandes sem aproximações em um computador com memória limitada (tipica-mente, as principais linguagens de programação conseguem apenas manipular inteiros de ordem 1010, algoritmos simples de criptogra a geralmente exigem manipular inteiros
da ordem de 10100 ou maiores).
As operações necessárias ao RSA, são (i) Soma de inteiros;
1.6 Teorema Chinês do Resto e Criptogra a 21 (ii) Produto de inteiros;
(iii) Potências naturais de números inteiros.
Donal Knuth na década de 70 imaginou uma fórmula de representar números de qualquer ordem, provando as três operações acima sem modi cação de característica de hardware tal como o tamanho dos inteiros em máquinas com velocidade próxima da velocidade das operações de tipos nativos em hardware esquematicamente,
Figura 1.1: Representação de Knuth
As conversões T xT ! Knuth e Knuth ! T xT , são lentas mas, só precisam ser realizadas no início e no m dos cálculos, as operações intermediárias são realizadas na representação de Knuth e são de velocidades comparável às operações nativas.
Seja n inteiro positivo qualquer e dados p1; p2; p3; p4; : : : ; pk números primos
igual-mente na ordem 1010 cada, ou seja, representáveis na arquitetura padrão dos
compu-tadores, e tal que n < p1; p2; p3; p4; : : : ; pk, podemos calcular os resíduos de n módulo
cada primo, (conversão T xT ! Knuth). É possivel que realize tal representação por inteiros negativos. Ao leitor interessado recomendamos [11]. Obtendo de forma
unica-mente determinada a1; a2; a3; a4; : : : ; ak, inteiros tais que,
(i) x aimod(pi) com i = 1; 2; 3; : : : ; k
(ii) 0 ai < pi.
Denotaremos [[n]]P = [a1; a2; a3; a4; : : : ; ak], a representação de Knuth do
nú-mero na base " xa", P = fp1; p2; p3; p4; : : : ; pkg, note também que dado o vetor
(a1; a2; a3; a4; : : : ; ak) representando um inteiro na base P , pelo teorema chinês do resto,
pode recuperar n como única solução do sistema, n a1(modp1) n a2(modp2) n a3(modp3) ... n ak(modpk) com 0 n < p1; p2; p3; p4; : : : ; pk.
Dado uma base P = fp1; p2; p3; p4; : : : ; pkg e n1; n22 Z, tendo as representações,
[[n1]] = (a1; a2; a3; a4; : : : ; ak) [[n2]] = (b1; b2; b3; b4; : : : ; bk) sendo, n1 aimod(pi) n2 bimod(pi) resulta em, (i) n1+ n2 (ai + bi) mod(pi); (ii) n1:n2 (ai:bi) mod(pi); (iii) ne i (aie) mod(pi); com i = 1; 2; 3; : : : ; k.
Pelas propriedades de congruência, não existirá nenhum caso em que através das operações, resulte em números superiores a p1; p2; p3; p4; : : : ; pk, daí segue,
(i) [[n1+ n2]] = [(a1+ b1) %p1; (a2+ b2) %p2; : : : ; (ak + bk) %pk1; ]
(ii) [[n1:n2]] = [(a1:b1) %p1; (a2:b2) %p2; : : : ; (ak:bk) %pk; ]
(iii) [[ne
1]] = [(ae1) %p1; (a2e) %p2; : : : ; (aek) %pk; ]
onde %p denota o único resíduo de módulo p entre 0 e p 1.
Devemos observar que uma operação típica na representação de Knuth utilizando k primos é a aproximadamente k vezes mais lenta que a operação nativa, a máquina não
1.6 Teorema Chinês do Resto e Criptogra a 23 chega a ser proibitivo, pois tomando-se, digamos 100 primos de ordem 1010, podem
re-presentar números inteiros da ordem de (1010)10 = 101000, sem erro de arredondamento
de operações e de custo de apenas 100 vezes mais limitado que as operações normais. Criptogra a RSA
Devido às diversas aplicações em criptogra a com o auxílio dos mais variados tópicos da Teoria dos Números, daremos destaque à criptogra a RSA, para mostrarmos a importância das equações diofantinas como ferramenta para o desenvolvimento dos mais so sticados sistema de computação e no quinto capítulo apresentaremos uma aplicação. Ao leitor interessado recomendamos [9]
Este processo de criptogra a dividiremos em duas etapas a pré-codi cação e a codi cação-decodi cação. Ao leitor interessado sugerimos [12]
Na primeira etapa, devemos converter a mensagem a ser criptografada em uma mensagem numérica, há várias maneiras de fazer isso, o procedimento mais comum é com o uso da tabela ASCII, assim cada letra, acentos ou espaços em branco entre palavras corresponde a uma numeração, desta tabela.
Denominaremos de chave pública, um número n inteiro positivo, tal que n = p:q, onde p e q são primos, após converter a mensagem em uma sequência numérica, devemos "quebrar" essa sequência em blocos numéricos, de tal modo que a numeração correspondente a cada um deles, devem ser menor do que o valor de n. A maneira de escolher esses blocos não é única, mas devemos evitar que o bloco inicie com o número zero e que não correspondam a nenhuma unidade linguística, para evitar futuros problemas na decodi cação.
A codi cação e decodi cação será feita com o auxílio do número n e de um inteiro positivo que seja inversível módulo (n), ver Teorema 1.20. Em outras palavras, mdc ( ; (p 1)(q 1)) = 1, ou seja, e (n) são coprimos. Os blocos oriundos da sequência numérica representaremos por b. O par (n; ) denominaremos de chave de codi cação do sistema RSA. Este processo será feito por bloco de mensagem separada-mente e a mensagem codi cada será a sequência de blocos codi cados. A codi cação do bloco b será feita por uma função C(b) "codi cação do bloco" e não podemos omitir que b < n. Assim,
C(b) b modn, onde 0 C(b) < n
.
Após este procedimento de codi cação de todos os blocos, obtemos assim, a men-sagem cifrada.
Para realizar a decodi cação de um bloco de mensagem cifrada é necessário a infor-mação contida no par (n; d), onde d é o inverso de módulo (n), que chamaremos de chave de decodi cação. Seja c um bloco da mensagem decodi cado, então D(c) é o resultado do processo de decodi cação. Assim,
D(c) cdmodn, onde 0 D(c) < n
.
Para o cálculo de d, precisaremos dos valores conhecidos anteriormente, e (n) e com o auxílio do Algoritmo Euclidiano Estendido, ver Teorema 1.4, encontraremos o valor de d, sem o conhecimento de p e q é praticamente impossível encontrar o valor de d.
Capítulo 2
SOMA DE INTEIROS
Neste capítulo resolveremos diversos problemas de equações diofantinas lineares com o auxílio da teoria elementar da contagem, através dos princípios da contagem, do binômio de Newton e das funções geradoras, analisando a solução geral de problemas de soma de inteiros e suas aplicações.
2.1 Teoria Elementar da Contagem
Consideremos o seguinte problema: De quantas maneiras podemos escolher seis crianças dentre dez para formar uma equipe?
Conforme visto nos cursos elementares de combinatória, a resposta a esta indagação será obtida pelo coe ciente binomial C6
10, uma vez que a ordem da escolha das crianças
é irrelevante, ou seja C6
10 = 6!4!10! = 210, onde Cmn lê-se combinação de m dentre n e é
suposto tacitamente que n m.
O seguinte teorema cuja demonstração é imediata, resume os principais fatos acerca destes coe cientes.
Teorema 2.1 Sejam m; n 2 Z+ com m n e de nida Cm n = n m = m! (n m)!n! . i) n 0 = n n = 1; 25
ii) n1 = n 1n = n; (iii) n m = n 1 m 1 + n 1 m (Relação de Stiefel); (iv) n m = n n m . (Coe cientes complementares).
Outro resultado elementar de combinatória que utilizaremos no decorrer deste ca-pítulo é o teorema binomial de Newton.
Teorema 2.2 Seja a; b 2 R e n 2 Z+, então (a + b)n =Xn
i=0
n i
aibn i.
O teorema binomial de Newton é frequentemente apresentado na forma do triângulo de Pascal cuja construção baseia-se nas propriedades do Teorema 2.1.
De nimos como polinômio formal R = [[x1; x2; xn; ]] um polinômio nas variáveis
x1; x2; xn com coe cientes reais para o qual não são atribuídos valores às variáveis,
ainda que valerá o resultado (x + y)n =
n X i=0 n i
xiyn i, que pode ser demonstrado por
argumentos simples de combinatória.
Corolário 2.1 Substituindo valores convenientes para a e b no Teorema 2.2 é fácil mos-trar as propriedades clássicas do triângulo de Pascal.
(i) n X i=0 n i = n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + + n n = 2n; (ii) n X i=0 n i ( 1)i = n 0 n 1 + n 2 n 3 + + ( 1)n n n = 0;
Retomando às equações diofantinas, consideremos o seguinte problema: "Tem-se cinco doces iguais para serem distribuídos entre três crianças diferentes, de quantas maneira isto pode ser feito, se cada criança receber, ao menos um doce"?
2.1 Teoria Elementar da Contagem 27 Quantidade de doces por criança
Criança 01 Criança 02 Criança 03
1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
O processo acima, claramente é impossÍvel para valores grandes. Denotaremos por xi a quantidade de doces da i-ésima criança, o que essencialmente queremos calcular é
a quantidade de soluções da equação x1+ x2+ x3 = 5 com x1 1, x2 1 e x3 1.
Chamamos de equações diofantinas lineares as equações do tipo a1x1+ a2x2+ a3x3+ + amxm = n 1 x1 1 2 x2 2 3 x3 3 (1) ... m xm m
onde a1; a2; a3; ; am, 1; 2; 3; ; m, 1; 2; 3; ; m, n 2 Z, mais do que
enu-merar todas as soluções, nosso interesse aqui é determinar a existência de alguma solu-ção. Observamos que em nossas considerações, temos distintas soluções que de nam o valor e/ou na ordem com relação às variáveis, x1; x2; x3; ; xm (como no exemplo
anterior (1; 2; 2) e (2; 1; 2) são consideradas distintas pois diferem na ordem dos valores atribuidos ao vetor (x1; x2; x3)). [Santos].
Inicialmente, consideremos um caso mais simples
x1+ x2+ x3+ + xm = n (2)
Se n < m é fácil veri car que não haverá nenhuma solução, portanto,assumiremos que n m. Podemos associar a cada solução de (2) um sorteio de m 1 dentre as posições de forma análoga ao exemplo que iniciamos neste capítulo.
Exemplo 2.1 Quantas são as soluções da equação diofantina x1+ x2+ x3 = 5 com
x1; x2; x3 1
Resolução: Já sabemos por enumeração que o resultado são seis soluções, vejamos um processo mais sistemático, distribuições de 10
s, assim 1 1 1 1 1
Onde observamos a existencia de quatro posições (espaços) e dois sinais de mais (+), entre as posições, podemos então enumerar todas as soluções do seguinte modo:
Enumeração por distribuição de 10
s (x1; x2; x3) modo 01 modo 02 (1,2,2) 1-1+1-1+1 1/+1+1/+1+1 (2,1,2) 1+1-1-1+1 1+1/+1/+1+1 (2,2,1) 1+1-1+1-1 1+1/+1+1/+1 (3,1,1) 1+1+1-1-1 1+1+1/+1/+1 (1,3,1) 1-1+1+1-1 1/+1+1+1/+1 (1,1,3) 1-1-1+1+1 1/+1/+1+1+1
Dado que a ordem de escolha das posições nas quais os sinais de mais (+), serão colocados é irrelevante, segue que temos um sorteio simples de dois (+) dentre quatro posições (-) o que pode ser feito assim,
4 2
= 2!2!4! = 6:
Concordando com o resultado que já haviamos obtido, pelo processo de enumera-ção tradicional e com a teoria elementar da combinatória. Então, de modo análogo ao exemplo anterior, que o número de soluções de x1+ x2+ x3+ + xm = n com xi 1
será
n 1 m 1
, em particular se n m, sempre haverá alguma solução. Observamos neste ponto que, uma vez estabelecida uma correspondência entre as soluções de uma equação diofantina e um procedimento combinatório, a geração das soluções em si é
2.1 Teoria Elementar da Contagem 29 um processo computacional simples. Ao leitor interessado recomendamos [10].
Aumentando a complexidade do problema, consideremos agora
x1+ x2+ x3+ + xm = n (3)
xi i, i 2 Z e i = 1; 2; 3; ; m
Tal problema pode ser reduzido ao problema do Exemplo 2.1 por uma simples mu-dança de variáveis yi = xi i + 1 o que fará uma correspondência entre as soluções
de (3) e as soluções de y1+ y2+ y3+ + ym = n + m X i=0 (1 i), com yi 1, i = 1; 2; 3; ; m.
O que pode ser veri cado por uma substituição direta.
Exemplo 2.2 No problema anterior quantas serão as soluções da equação diofantina x1+ x2+ x3 = 5, se a última criança necessariamente ganhar dois ou mais doces e as
demais crianças receberem uma quantidade qualquer (inclusive nenhuma) de doce? Resolução:
x1+ x2+ x3= 5
x1 0
x2 0
x3 2
O procedimento para mudança de variáveis é o seguinte, consideremos, y1 = x1+ 1 y2 = x2+ 1 y3 = x1 1
Substituindo esses valores na equação diofantina do problema acima, y1 1 + y2 1 + y3+ 1 = 5
yi 1
E o número de soluções inteiras dessa equação é de nido pelo coe ciente binomial 6 1
3 1
ou seja, 10.
Assim, o problema x1+ x2+ x3+ + xm = n com i xi i, sempre poderá ser
reduzido por mudança de variáveis ao problema
x1+ x2+ x3+ + xm = n (4)
1 xi i, i = 1; 2; 3; ; m
Trataremos a seguir da solução de (4) e para isto é necessario recorremos ao im-portante resultado de combinatória chamado Princípio da Inclusão e Exclusão e a sua demonstração pode ser encontrada em [6].
2.2 Princípio da Inclusão e Exclusão
Teorema 2.3 Sejam A1; A2; A3; ; An conjuntos nitos não necessariamente
distin-tos, então a quantidade de elementos na união destes é dado pela fórmula, A1[ A2[ [ An = n X k=1 X i1i2ik ( 1)k+1 Ai1\ Ai2\ \ Aik .
Na fórmula j:j signi ca cardinalidade do conjunto e o segundo somatório é tomado sobre todos os multi-indices (i1; i2; i3; ; ik) 2 f1; 2; 3; ; ngk, vejamos alguns casos,
(i) jA1SA2j = jA1j + jA2j jA1TA2j; (ii) jA1SA2SA3j = jA1j + jA2j + jA3j jA1TA2j jA1TA3j jA2TA3j + jA1TA2TA3j; (iii) jA1SA2SA3SA4j = jA1j + jA2j + jA3j + jA4j jA1TA2j jA1TA3j jA1TA4j jA2TA3j jA2TA4j jA3TA4j + jA1TA2TA3j + jA1TA2TA4j + jA2TA3TA4j jA1TA2TA3TA4j;
2.2 Princípio da Inclusão e Exclusão 31 Retornando ao problema (4), x1 + x2 + x3 + + xm = n, 1 xi i, i =
1; 2; 3; ; m, temos
A1: É solução de x1+ x2+ x3+ + xm = n, com xi 1, i = 1; 2; 3; ; m, para os
quais x1 1+ 1.
A2: É solução de x1+ x2+ x3+ + xm = n, com xi 1, i = 1; 2; 3; ; m, para os
quais x2 2+ 1.
A3: É solução de x1+ x2+ x3+ + xm = n, com xi 1, i = 1; 2; 3; ; m, para os
quais x3 3+ 1 e assim por diante.
Denotando A0 como o conjunto das soluções de x1 + x2 + x3 + + xm = n,
1 xi i, i = 1; 2; 3; ; m, a quantidade de soluções de (4) será obtida calculando
o valor da expressão jA0j jA1SA2S S Anj.
Sabemos que jA0j =
n 1 m 1
para n > m e jA1SA2S S Anj pode ser calculado
pelo princípio da inclusão e exclusão se soubermos calcular jAi1
TA
i2
T T A
ikj, o que
é simples pois as soluções em Ai1
TA i2 T T A ik, são soluções de x1+ x2+ x3+ + xm = n xi1 i1 + 1 xi2 i2 + 1 xi3 i3 + 1 (5) ... xik ik + 1
Sendo xi 1, i =2 fi1; i2; i3; ; ikg e 1 i m, que é um problema do tipo (3) que
sabemos resolver por uma mudança de variável.
Exemplo 2.3 Retomando ao problema anterior quantas serão as soluções da equação diofantina x1+ x2+ x3= 5, sabendo que 2 x1 4, 0 x2 2 e 4 x3 1.
Resolução:
y1 5 + y2 3 + y3 1 = 5
y1+ y2+ y3= 14
1 y1 7
1 y2 3
1 y3 6
Aplicando o princípio da inclusão e exclusão, temos: jA0j = n 1 m 1 = 14 1 3 1 = 13 2 A1: y1 5 + y2 3 + y3 1 = 5 y1+ y2+ y3= 14 y1 8 y2; y3 1
Aplicando a mudança de variável pela segunda vez, tem-se z1 = y1 7 z2 = y2 z3 = y3
A equação diofantina equivalente é z1+ z2+ z3= 7, com zi 1.
jA1j = n 1 m 1 = 7 1 3 1 = 6 2 A2: y1+ y2+ y3= 14 y2 4 y1; y3 1
2.2 Princípio da Inclusão e Exclusão 33 z1 = y1 z2 = y2 3 z3 = y3
A equação diofantina equivalente é z1+ z2+ z3= 11, com zi 1.
jA2j = n 1 m 1 = 11 1 3 1 = 10 2 A3: y1+ y2+ y3= 14 y3 7 y1; y2 1
Aplicando a mudança de variável pela segunda vez, tem-se z1 = y1 z2 = y2 z3 = y3 6
A equação diofantina equivalente é z1+ z2+ z3= 8, com zi 1.
jA3j = n 1 m 1 = 8 1 3 1 = 7 2 A1TA2: y1+ y2+ y3= 14 y1 8 y2 4 y3 1
Aplicando a mudança de variável pela segunda vez, tem-se z1 = y1 7 z2 = y2 3 z3 = y3
A equação diofantina equivalente é z1+ z2+ z3= 4, com zi 1.
jA1TA2j = n 1 m 1 = 4 1 3 1 = 3 2
A1TA3:
y1+ y2+ y3= 14
y1 8
y2 4
y3 1
Aplicando a mudança de variável pela segunda vez, tem-se z1 = y1 7 z2 = y2 z3 = y3
A equação diofantina equivalente é z1+ z2+ z3= 7, com zi 1.
jA1TA3j = n 1 m 1 = 7 1 3 1 = 6 2 A2TA3: y1+ y2+ y3= 14 y1 8 y2 4 y3 1
Aplicando a mudança de variável pela segunda vez, tem-se z1 = y1 z2 = y2 3 z3 = y3
A equação diofantina equivalente é z1+ z2+ z3= 11, com zi 1.
jA2TA3j = n 1 m 1 = 11 1 3 1 = 10 2 A1TA2TA3: y1+ y2+ y3= 14
2.2 Princípio da Inclusão e Exclusão 35 y1 8
y2 4
y3 1
Aplicando a mudança de variável pela segunda vez, tem-se z1 = y1 7 z2 = y2 3 z3 = y3
A equação diofantina equivalente é z1+ z2+ z3 = 4, com zi 1.
jA1TA2TA3j = n 1 m 1 = 4 1 3 1 = 3 2
Logo a quantidade de soluções de (4) será obtida calculando o valor da expressão, jA0j jA1SA2SA3j, uma vez que sabemos que,
jA1SA2SA3j = jA1j+jA2j+jA3j jA1TA2j jA1TA3j jA2TA3j + jA1TA2TA3j,
ca fácil, precisamos apenas substituir os valores ja conhecidos. jA0j jA1SA2SA3j jA0j (jA1j + jA2j + jA3j jA1TA2j jA1TA3j jA2TA3j + jA1TA2TA3j) jA0j jA1SA2SA3j = jA0j 6 2 + 10 2 + 7 2 3 2 6 2 10 2 + 3 2 jA0j jA1SA2SA3j = 13 2 7 2 jA0j jA1SA2SA3j = 57:
Para tratarmos casos mais gerais de equações diofantinas lineares a1x1+a2x2+a3x3+
+amxm = n, necessitamos do conceito binomial generalizado e de funções geradoras.
2.3 Binomial Generalizado e Funções Geradoras
Teorema 2.4 Seja x uma variável formal e 2 Q, então (1 + x) =
1 X i=0 i xi, onde
ambos os lados desta equação são tratados como Polinômios (Bolinômios) e séries formais e de nimos,
i
= : ( 1) : : : : : ( i + 1)i!
Chamado coe ciente binomial generalizado (para i 0, inteiro e 2 R qualquer). Exemplo 2.4 Calcule os primeiros cinco termos do desenvolvimento formal de p1 + x. Resolução: p 1 + x = (1 + x)12 = 1 X i=0 1 2 i xi.
Aplicando a de nição das propriedades elementares, temos, 1 2 0 x0= 1 1 2 1 x1= 1 2x 1 2 2 x2= 1 2: 1 2 1 2! x2= 1 8x2 1 2 3 x3= 1 2: 1 2 1 : 1 2 2 3! x3= 1 16x3 1 2 4 x4= 1 2: 1 2 1 : 1 2 2 : 1 2 3 4! x4= 5 128x4 Logo podemos escrever quep1 + x = 1 + 12x 18x2+ 1
16x3 5 128x4.
2.3 Binomial Generalizado e Funções Geradoras 37 O conceito de funções geradoras será introduzido mediante um exemplo e de uma aplicação contextualizada no quinto capítulo.
Exemplo 2.5 Quantas são as soluções da equação 2x1+ 3x2+ x3 = 9.
Resolução:
Consideremos formalmente os seguintes polinômios p1(x) = x2+ x4+ x6+ x8+
p2(x) = x3+ x6+ x9+ x12+
p3(x) = x + x2+ x3+ x4+
A cada solução de 2x1+ 3x2+ x3 = 9, com xi 1, corresponde a contribuição de
uma unidade no coe ciente de x9 no produto.
q (x) = p1(x) :p2(x) :p3(x)
Portanto se soubermos calcular os coe cientes de xk no desenvolvimento de
produ-tos de séries formais, o problema de calcular as soluções de (4) estará essencialmente resolvido de fato,
x1+ x2+ x3+ + xm = n (4)
1 xi i, i = 1; 2; 3; ; m
possui tantas soluções quanto for o valor do coe ciente de xn no produto formal,
p (x) = p1(x) :p2(x) :p3(x) : : : : :pm(x).
O cálculo do coe ciente de xn naquele produto, pode ser realizado com o auxílio
de diversas ferramentas de computação algébrica ( por exemplo MAPLE ou MAXIMA) que permite de forma rápida e e ciente para identi car esses coe cientes por exemplo no caso anterior, dado que queremos o coe ciente de x9 em,
p1(x) = x2+ x4+ x6+ x8+
p2(x) = x3+ x6+ x9+ x12+
p3(x) = x + x2+ x3+ x4+
O que é facil ver que tal coe ciente é o mesmo no produto,
p(x) = (x2+ x4+ x6+ x8) (x3+ x6+ x9) (x + x2+ x3+ + x8+ x9)
p(x) = x26+ x25+ 2x24+ 3x23+ 4x22+ 5x21+ 7x20+ 8x19+ 9x18+ 9x18+
+9x17+ 10x16+ 9x15+ 9x14+ 8x13+ 7x12+ 5x11+ 4x10+ 3x9+ 2x8+ x7+ x6.
Teorema 2.5 O coe ciente de xp na expansão de (1 + x + x2+ x3+ )n é igual a
Cn+p 1p .
Demonstração: Pelo Teorema 2.4, uma vez que (1 + x + x2+ x3+ )n=
1 1 x
n = (1 x) n procedendo a troca de x por x e a de por n, temos (1 x) n =
1 X i=0 n i ( x)i = 1 X i=0 n i
( 1)ixi, utilizando a de nição do coe ciente binomial
generalizado, temos que o coe ciente de xp é dado por,
n p ( 1)p= ( n)( n 1)( n 2) ( n p + 1)( 1)p! p n p ( 1)p= ( 1)p(n)(n + 1)(n + 2) (n + p 1)( 1)p! p n p ( 1)p= (n)(n + 1)(n + 2) (n + p 1)p! n p ( 1)p= (n + p 1)(n + p 2) (n + 1)n(n 1)!p!(n 1)! n p ( 1)p= (n + p 1)!p!(n 1)! n p ( 1)p= n + p 1 p
Polinômios formais cujos coe cientes são relacionados às soluções de algum pro-blema de contagem são chamados de funções geradoras (polinomiais). Para o leitor interessado recomendamos [6]. Para terminar este capítulo apresentaremos um
exem-2.3 Binomial Generalizado e Funções Geradoras 39 plo prático nos quais os cálculos dos coe cientes de xn podem ser feitos com o uso do
teorema binomial generalizado, ou seja, sem recorrer ao auxílio computacional.
Exemplo 2.6 De quantas maneiras diferentes podemos escolher 10 alunos para formar uma equipe para representar a escola em uma exposição, se nessa sala de aula existem alunos de quatro bairros diferentes da cidade?
Resolução: Como não há nenhuma restrição quanto ao número de alunos de um deter-minado bairro, podemos de nir a função geradora que "controla"o número de alunos de um determinado bairro, assim, 1 + x + x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8+ x9+ x10,
entretanto são 4 bairros, logo a resposta a esse problema será encontrado pelo coe ci-ente de x10 na expansão, (1 + x + x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8+ x9+ x10)4 = 1 x11 1 x 4 , de modo que, (1 + x + x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ + x10)4 = (1 x11)4(1 x) 4, ca fácil
obser-var que o coe ciente de x10 não está no desenvolvimento de (1 x11)4, uma vez que
(1 x11)4 = 1 4x11 + 6x22 4x33 + x44, então precisaremos aplicar o Teorema 2.3
no desenvolvimento de (1 x) 4, assim, (1 x) 4 = 1 X i=0 4 i ( x)i, o coe ciente de x10 é de nido por, 4 10 ( 1)10 = 4:5:6:7:8:9:10:11:12:1310! = 13 10 = 286
A EQUAÇÃO DE FERMAT
Neste capítulo abordaremos as equações diofantinas conhecidas como equação de Fermat, em um primeiro momento iremos desenvolvê-las por um processo mais acessível para alunos e professores do ensino básico, em seguida iremos mostrar essas equações em tópicos mais avançados que são os domínios Z [i] e Z [w], onde usaremos Z [i] para exibir todas as soluções de x2+ y2 = z2, com x; y; z 2 Z e Z [w] para mostrar que
x3+ y3 = z3, com x; y; z 2 Z, não possui solução. O caso de x4+ y4 = z4, também
não possui solução ou seja,com x; y; z 2 Z, o que provaremos por descendência. Finalizaremos demonstrando que se n = 2p + 1, com p primo, n também primo, então xn+ yn = zn, não possui solução inteira (teorema de Sophie Germain's) e para
isto, precisaremos fazer uma breve abordagem na teoria de Grupos.
3.1 Grupos, Anéis e Ideais
De nição 3.1 Um conjunto G, munido de uma operação é um grupo se, para quais-quer a; b; c 2 G são válidas as propriedades:
(a) Associatividade: a (b c) = (a b) c, 8a; b; c 2 G (b) Elemento neutro: Existe e 2 G tal que a e = e a = a.
(c) Elemento inverso: Dado a 2 G, existe um elemento a 1 2 G tal que a a 1 =
a 1 a = e.
3.1 Grupos, Anéis e Ideais 41 Se para quaisquer a; b 2 G, é satisfeita a propriedade a b = b a, dizemos que G é um grupo abeliano.
De nição 3.2 A ordem de um grupo é o seu número de elementos.
De nição 3.3 Seja G um grupo e n 2 G. Se existe m 2 Z tal que nm = U(n) é
chamado de ordem de n. Entretanto, se m = 0 diremos que a ordem de n é zero. Usaremos a notação U(n) para a ordem de n. Uma melhor abordagem sobre a função U(n), pode ser encontrada na De nição1.9.
De nição 3.4 Seja A um conjunto não vazio e duas operações de nidas nele (que chamaremos de adição, " + ", e multiplicação, ":"). O conjunto A é um anel se são válidas as propriedades:
(a) Associatividade aditiva: (a + b) + c = a + (b + c), 8a; b; c 2 A (b) Comutatividade aditiva: a + b = b + a, 8a; b 2 A
(c) Elemento neutro aditivo: Existe 0 2 A tal que a + 0 = 0 + a = a
(d) Elemento inverso aditivo: Para a 2 A existe um único a tal que a + ( a) = ( a) + a = 0
(e) Associatividade da multiplicação: a (bc) = (ab) c, 8a; b; c 2 A (f) Comutatividade da multiplicação: a:b = b:a, 8a; b 2 A
(g) Elemento neutro multiplicativo: Existe 1 2 A tal que a:1 = 1:a = a, 8a 2 A (h) Leis Distribuitivas: a: (b + c) = a:b + a:c e (a + b) :c = a:c + b:c, 8a; b; c 2 A.
Chamaremos (A; +; :) de anel e na de nição formal as propriedades (f) e (g), não são estritamente necessárias, sendo que um anel com tais propriedades é denominado anel comutativo com unidade. Além dessas propriedades, temos:
(1) A é um anel sem divisores de zero se, para quaisquer a; b 2 A, ab = 0 então ou a = 0 ou b = 0.
(2) A é um anel de integridade se A é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero.
(3) A é um corpo se é um anel de integridade, onde todo elemento não-nulo possui inverso multiplicativo, ou seja,
3.2 Equações de Fermat numa perspectiva básica
Teorema 3.1 As soluções (x; y; z) da equação x2+y2= z2, com x; y; z 2 Z não nulos
são dadas por (x; y; z) = (2uvd; (u2 v2) d; (u2+ v2) d), onde d; u; v são inteiros
não nulos com u 6= v, mdc (u; v) = 1 e u e v com paridade distintas ( d representa a multiplicidade da solução racional da equação diofantina pitagórica).
Demonstração: Sejam x; y; z inteiros positivos quaisquer satisfazendo a equação x2+
y2= z2 e os demais casos análogos, d é o mdc (x; y), então d2 divide z2 e daí temos
que d divide z. Existem portanto inteiros não nulos, a; b; c, mdc (a; b) = 1, tais que (x; y; z) = (da; db; dc) de modo que x2+ y2 = z2 se, e somente se a2+ b2= c2, neste
caso é su ciente determinarmos as soluções (a; b; c) da equação, sujeita à condição mdc (a; b) = 1 que por sua vez implica mdc (a; c) = 1 e mdc (b; c) = 1.
Dado um inteiro qualquer, temos que 2 deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4, e daí
c2 = a2+ b2 deixaria resto 2 quando dividido por 4, o que é um absurdo. Como a e b
são primos entre si não podem ser ambos pares, há então duas possibilidades a é ímpar e b é par e a outra a é par e b é ímpar, analisando a primeira possibilidade.
Se a for ímpar e b par, então c também é ímpar. De a2+b2= c2, obtemos b2= c2 a2
implica que b2 = (c a) (c + a), conclui-se que mdc (c a; c + a) = 2, podemos
en-tão escrever b 2 2 = c a 2 2 + c + a 2 2 . Note que c a 2 e c + a 2 , são primos entre si. Mas se o produto de dois naturais primos entre si
c a 2 e
c + a 2
é um quadrado perfeito, então cada um deles deve ser um quadrado perfeito. Existem então inteiros positivos primos entre si u e v, tais que c a = 2v2, c + a = 2u2 é
daí (a; b; c) = (u2 v2; 2uv; u2+ v2). Como u2+ v2 = c é impar, u e v devem ter
paridades distintas.
Algumas equações diofantinas podem não ter soluções, além das triviais, uma ferra-menta poderosa para provar a existência ou inexistência de soluções dessas equações é o método Descendência In nita, cuja criação é atribuída ao matemático francês Pi-erre de Fermat (1601 1665). Esse método consiste em assumirmos uma existência de solução inteira e positiva e a partir dela, mostrarmos que podemos obter outra solução de valor inteiro positivo menor que a anterior, prosseguindo assim, construímos uma
3.2 Equações de Fermat numa perspectiva básica 43 seqüência in nita decrescente de valores positivos, mas pelo principio da boa ordem (que que todo conjunto não-vazio de números naturais possui um menor elemento) e ai chegaremos a uma contradição, concluindo assim que o problema não tem solução. Proposição 3.1 A equação x2+ y2 = 3z2 não tem soluções inteiras não nulas.
Demonstração: Suponhamos que a equação dada tenha soluções (x; y; z) em inteiros positivos não nulos, assim, seja (a; b; c) a solução que tenha a coordenada z = c mínima. Sabemos que se um inteiro n não for múltiplo de 3, então o seu quadrado n2
deixa resto 1 quando dividido por 3. Daí a e b tem que ser ambos múltiplos de 3, ou seja, existem inteiros r e s, tais que a = 3r e b = 3s, assim 9r2+ 9s2 = 3c2 o que
implica em 3 (r2+ s2) = c2, portanto c é múltiplo de 3, logo existe um inteiro de
modo que c = 3, por m, temos 3 (r2+ s2) = 92 e daí, r2+ s2= 32, ora dizer que
o terno (r; s; ) é solução da equação dada, com = c3 < c que contraria o fato da coordenada c ser mínima.
Proposição 3.2 A equação diofantina xn+yn = znnão tem soluções inteiras não nulas,
se n for um inteiro positivo múltiplo de 4.
Demonstração: Suponhamos que n = 4, onde é um inteiro positivo. Se xn+ yn=
zn, então temos que (x)4+ (y)4 = (z2)2, ou seja, (x; y; z2) será uma solução
da equação a4 + b4 = c2, assim, o problema ca reduzido a se mostrar que esta
última equação não tem soluções além das triviais. Suponhamos por absurdo que a, b e c sejam inteiros positivos que satisfaçam a equação a4 + b4 = c2, além disso,
para aplicarmos o método da Descendência In nita de Fermat, vamos incluir a hipótese adicional de que c seja mínima, isto é, que não exista uma outra solução (a1; b1; c1),
em inteiros positivos, com c1 < c. Então, a e b são primos entre si, pela Proposição
3.1, existem inteiros positivos primos entre si u e v, tais que a2 = u2 v2, b2 = 2uv
e c = u2+ v2. Como a2+ v2 = u2, ainda pela Proposição 3.1, temos que existem
inteiros positivos primos entre si, p e q, tais que a = p2 q2, v = 2pq e u = p2+ q2,
daí, segue que b2= 2uv = 4pq (p2+ q2), como p e q são relativamente primos, ambos
relativamente primos com p2+ q2, agora, sendo 4pq (p2+ q2) um quadrado perfeito,
devemos ter p, q e p2+ q2 também quadrados perfeitos, portanto, existem positivos
; ; de modo que p = 2, q = 2 e p2+ q2= 2daí segue que 4+ 4= 2, sendo
