LOCALIZAÇÃO DE PASSEIOS ALEATÓRIOS. N em d = 1,

LOCALIZAÇÃO DE PASSEIOS ALEATÓRIOS

S. FRIEDLI

Esse texto apresenta o uso de uma técnica desenvolvida durante um trabalho sobre passeios aleatórios feito durante a minha visita no Te-chnion (Haifa, Israel) nos meses de março e abril de 2010, junto com Dmitry Ioe e Nick Crawford 1_.

Seja (Xn)n≥1 o passeio aleatório simples simétrico em Zd: X0 := 0, e

para qualquer um dos 2d vizinhos de x,

P (Xn+1= y|Xn= x) = _2d1 .

Esperança com respeito a P será denotada por E[·]. Considere o tempo local na origem, denido por

L0_N := ]{0 ≤ k < N : Xk = 0} ≡ N −1 X k=0 1{Xk=0}. Como E[L0 N] = PN −1 k=0 P (Xk = 0), P (Xk = 0) = 0 se k é ímpar,

P (Xk = 0) ∼ 1/kd/2 se k é par, temos que

E[L0_N] ∼      √ N em d = 1, log N em d = 2, constante em d ≥ 3.

Logo, em dimensões 1 e 2, apesar do passeio ser recorrente, ele é delo-calizado: L0

N = o(N ).

1. Localização na origem

Neste trabalho consideramos primeiro o problema de localizar o passeio na origem, modicando a sua distribuição de modo a favorecer visitas na origem. Modicamos a distribuição do passeio até o tempo N da

1_{O título em inglês seria Pinning of random walks, mas não conheço a tradução}

usada em português da palavra pinning. O verbo to pin é traduzido por xar, segurar, prender, prender com alnetes.

Z

X

0 N

N

Figura 1. Em d = 1, o passeio aleatório simples é de-localizado (nesta imagem, N = 30, L0

N = 4).

seguinte maneira. Considere a medida de probabilidade P0

N, denida

nas trajetorias simples por

(1) dPN0 dP := (Z 0 N) −1 exp βL0_N
, em que Z0

N := E[exp(βL0N)]é um fator de normalização, e β > 0 é um

parâmetro pequeno.

O comportamento do passeio sob P0

N depende de dois fatores, um

ener-gético o outro entrópico. Primeiro, o passeio tende a car mais perto da origem pois ele ganha um bônus eβ _{(i.é. ele ganha em energia) a}

cada visita na origem. Por outro lado, car perto da origem diminue o número de trajetórias possíveis (i.é. ele perde em entropia).

Para estudar o comportamento do tempo local sob P0

N, em função de β, introduzimos (2) f (β) := lim N →∞ 1 N log Z 0 N.

Segue de um argumento geral (ver por exemplo [1]) que esse limite existe, e que existe um valor crítico βc(d) ∈ [0, ∞) tal que

(

f (β) = 0 se β < βc(d) ,

f (β) > 0 se β > βc(d) .

A fase β < βc(d) chama-se delocalizada, e signica que (sob PN0) o

passeio passa pouco tempo na origem: L0

N = o(N ). A fase β > βc(d)

chama-se localizada; nela, o passeio passa um tempo macroscópico na origem: L0

N cresce linearmente com N. Para ver que valores acima de

tal que f(β) > 0. Seja ρ > 0 tal que γ := βρ − f(β)/2 < 0. Para N grande o suciente temos Z0

N ≥ ef (β)N/2, logo P_N0(L0_N ≤ ρN ) = Z {L0 N≤ρN } eβL0 N Z0 N dP ≤ e βρN ef (β)N/2 ≡ e −γ(β)N _{→ 0 .}

É bem conhecido [1] que em dimensões d ≥ 3, βc(d) > 0, mas que em

dimensões baixas, o passeio é sempre localizado: βc(1) = βc(2) = 0.

Aqui mostraremos que βc(1) = 0usando uma técnica diferente daquela

usada em [1], e que se extende facilmente à situação mais geral que nos interessará na próxima seção.

A prova é baseada na seguinte identidade variacional: (3) log EP[ef] = sup

Q

{EQ[f ] − H(Q|P )} ,

em que H(Q|P ) é a entropia relativa 2 _{de Q com respeito a P . No}

nosso caso, (3) se escreve log Z_N0 = sup

Q

{βEQ[L0N] − H(Q|PN)} ,

em que o supremo é sobre distribuições Q nas trajetórias do passeio simples até o tempo N, e PN é a marginal de P nessas trajetórias.

Para obter uma cota inferior sobre log Z0

N que diverge linearmente com

N, escolheremos uma medida Q que favorece um tempo local L0 N mas

cuja entropia relativa com respeito a PN é pequena. Nos restringiremos

às medidas Q que, como PN, são Markovianas.

Chamaremos de deriva3_{qualquer coleção ε = {ε}

k(x)}k≥0,x∈Z, com −1 <

εk(x) < +1, e para uma dada deriva ε deniremos as probabilidades

de transição

(4) Qε(Xk+1 = x ± 1|Xk= x) :=

1 ± εk(x)

2 .

Esperança com respeito a Qε será denotada por Eε.

Lema 1.1. Para toda deriva ε,

(5) H(Qε|PN) =

N −1

X

k=0

Eε[h(εk(Xk))] ,

2_{Se Q e P são duas distribuições de probabilidade num conjunto nito Ω =} {ω1, . . . , ωn}, então H(Q|P ) := P n j=1Q(ωj) log Q(ωj) P (ωj). 3_{Em inglês: drift}

em que h(s) := −1+s 2 log 1+s 2 − 1−s 2 log 1−s 2 . Em particular, se |εk(x)| ≤ ε∗, então H(Qε|PN) ≤ 1₂ε2∗N. Demonstração. Seja Qε(x1, . . . , xN) := Qε(X1 = x1, . . . , XN = xN), e

P (x1, . . . , xN) := ₂1N. Pela denição da entropia relativa,

H(Qε|PN) = X (x1,...,xN) Qε(x1, . . . , xN) log Qε(x1, . . . , xN) P (x1, . . . , xN) = X (x1,...,xN) Qε(x1, . . . , xN) N −1 X k=0 log ( 1 + εk(xk) se xk+1 > xk, 1 − εk(xk) se xk+1 < xk. = N −1 X k=0 Eε log(1 + εk(Xk))1{Xk+1>Xk}+ log(1 − εk(Xk))1{Xk+1<Xk}  Para todo k, condicionando com respeito a Xk e usando (4) dá

Eε log(1 + εk(Xk))1{Xk+1>Xk} = Eε log(1 + εk(Xk))

1+εk(Xk)

2  .

Fazendo a mesma coisa com o segundo termo mostra (5). A segunda armação segue da desigualdade h(s) ≤ 1

2s 2_.

 Consideremos agora uma deriva constante, apontando para a origem:

(6) εk(x) :=      +ε∗ se x < 0 , 0 se x = 0 , −ε∗ se x > 0 .

Para simplicar a notação, denotaremos a distribuição associada por Qε∗. Mostraremos que para um β > 0 qualquer, ε∗ pode ser tomado

sucientemente pequeno para que βEε∗[L

0

N] − H(Qε∗|PN) divirja

line-armente em N. Pela cota inferior obtida no lema anterior, é necessário mostrar que βEε∗[L

0

N] cresce mais rápido que 1 2ε 2 ∗N. Lema 1.2. (7) Eε∗[L 0 N] ≥ ε∗ 1 + ε∗ N . Demonstração. Dena sgn(s) := +1 se s > 0, −1 se s < 0, e 0 se s = 0. Dena também δk+1X := Xk+1 − Xk. A Fórmula de Tanaka Discreta

diz que (8) |XN| = N −1 X k=0 sgn(Xk)δk+1X + L0N.

Esta fórmula se torna elementar na sua forma local: |Xk+1| − |Xk| = sgn(Xk)δk+1X + 1{Xk=0}.

X Z

0 N

N

Figura 2. Com uma deriva constante, apontando para a origem, o tempo local é da ordem de N (Lema 1.2). Integrando (8) com respeito a Qε∗,

(9) 0 ≤ Eε∗[|XN|] = N −1 X k=0 Eε∗[sgn(Xk)δk+1X] + Eε∗[L 0 N] .

Mas, pela denição da deriva, Eε∗[δk+1X|Xk] = −ε∗sgn(Xk), portanto

Eε∗[sgn(Xk)δk+1X] = Eε∗sgn(Xk)Eε∗[δk+1X|Xk]  = −ε∗Eε∗[sgn(Xk) 2 ] = −ε∗Eε∗[1{Xk6=0}] = −ε∗+ ε∗Eε∗[1{Xk=0}] . Portanto, 0 ≤ −ε∗N + (1 + ε∗)Eε∗[L 0 N]. 

Fixe agora β > 0. Usando a medida Qε∗ na identidade variacional,

assim como os dois lemas acima, log Z_N0 ≥ βEε∗[L 0 N] − H(Qε∗|PN) ≥ β ε∗ 1+ε∗N − 1 2ε 2 ∗N

Tomando ε∗ := β/2, obtemos log ZN0 ≥ β2

8 N, o que dá f(β) ≥ β2

8 > 0.

Portanto, βc(1) = 0.

2. Localização em torno de um outro passeio aleatório Agora consideremos o problema de localizar X ao longo de uma es-trutura aleatória. Para simplicar continuaremos considerando o caso d = 1.

Seja ϕ = (ϕn)n≥0 uma sequência ϕn ∈ Z chamada de ambiente. Fixe

β > 0 e para todo N ≥ 1 dena a medida P_Nϕ por

(10) dPNϕ dP := (Z ϕ N) −1 exp βLϕ_N
, em que Zϕ N := E[exp(βL ϕ N)], e onde Lϕ_N := N −1 X k=0 1{Xk=ϕk} é o tempo local em ϕ. Z 0 N N ϕ X

Figura 3. O pinning de um passeio simples X ao longo de uma estrutura aleatória ϕ.

O caso em que o ambiente é determinístico e plano, ϕ ≡ 0, foi tratado na seção anterior. Aqui suporemos que ϕ é um ambiente aleatório com distribuição P. O resultado principal é o seguinte:

Teorema 2.1. (d = 1) Se ϕ é um passeio aleatório simples simétrico, então para todo β > 0,

(11) lim inf

N →∞

1 N log Z

ϕ

N ≥ c(β) > 0 , para P-quase todo ϕ.

Esse resultado já tinha sido obtido por Ioe e Louidor em um trabalho não publicado [2], usando o Teorema Ergódico Subaditivo. A prova que apresentaremos aqui é baseada na mesma identidade variacional usada na seção anterior, que aqui se escreve

log Z_Nϕ = sup

Q

O resto da prova se adapta, considerando uma deriva que aponta para o ambiente ϕ: (12) εk(x) :=      +ε∗ se x < ϕk, 0 se x = ϕk, −ε∗ se x > ϕk. Z 0 N

Figura 4. Uma deriva em direção ao ambiente ϕ.

Pode ser mostrado, via uma generalização da Fórmula de Tanaka, que o tempo local em ϕ satisfaz (compare com (7))

(13) Eε∗[L ϕ N] ≥ 1 3(ε∗N − M ϕ N) , em que MN = MNϕ := N −1 X k=0 δk+1ϕEε∗[sgn(Xk− ϕk)]

é um martingal com respeito à ltração FN = σ(ϕ1, . . . , ϕN), cujos

incrementos são limitados. Pela desigualdade de Hoeding e o Lema de Borel-Cantelli, MN = o(N ) P-quase certamente.

Referências

[1] Giambattista Giacomin. Random polymer models. Imperial College Press, Lon-don, 2007.

[2] D. Ioe and O. Louidor. Pinning phenomena and models of directed polymers. unpublished, 2007.