FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 3

(1)

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A – 12.º Ano – Versão 3

Nome: ________________________________ N.º Turma:

Apresente o seu raciocínio de forma clara,

indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

(15)

1. Seja A um acontecimento de um espaço de resultados S, tal que

0 p A

 

1

.

Diga, justificando adequadamente, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa.

Se B é outro acontecimento de S, independente de A, então A e B são independentes.

Os acontecimentos A e

B

são independentes se e só se

p A





B





p A

 



p B

 

……… 2

Como A e B são independentes sabemos que

p A





B





p A

   



p B

……… 2

Assim,

p A





B



= p A

 

p A



B



= p A

 

p A

   

p B ……… 2+2 =

p A

 

 



_

1 p B

 



_

=

p A

 



p B

 

c.q.m. ……… 3+3 Portanto a afirmação é VERDADEIRA………1

(15)

2. Usando as propriedades das combinações, determine o valor de n que é solução da equação

1 2 12 2 3 4 5 7 n n n n C  C  C   C  C Usando a lei de Pascal 3 vezes seguidas, temos 1 2 1 1 2 2 2 3 2 3 4 5 3 4 5 4 4 5 n n n n n n n n n n C  C  C   C  C  C   C   C  C  C ……… 6

Assim, a equação inicial reduz-se à equação n3C₅ 12C₇………2

Mas, pela lei da simetria, sabemos que 12C7 12C5………3

(2)

3. Todos os alunos inscritos num clube desportivo praticam pelo menos um dos dois

desportos seguintes: futebol e andebol.

Sabe-se que:



75% dos alunos praticam futebol;



60% dos alunos praticam andebol.

Encontra-se, ao acaso, um aluno inscrito nesse clube.

(15)

3.1. Determine a probabilidade de o aluno encontrado praticar apenas futebol.

Apresente o resultado em percentagem.

Nota: A construção de um diagrama de Venn ou de uma tabela ajuda a perceber o problema.

Sejam os acontecimentos: A: o aluno escolhido pratica Andebol F: o aluno escolhido pratica Futebol

Sabemos que: p A

 

60% e p F

 

75%……… 2





100 p AF  %, pois todos os alunos praticam pelo menos um dos desportos ……… 3

Queremos a probabilidade de o aluno escolhido praticar apenas futebol, isto é, p A



F



……… 3

Sabemos que p A



F



 p F

 

 p A



F



……… 2

Como p A



F



p A

 

p F

 

p A



F



………1

Portanto, 100%60%75%p A



F



 p A



F



35% ………2

Assim, p A



F



75%35%40%………2

(10)

3.2. Sabe-se que o aluno encontrado pratica andebol.

Qual é a probabilidade de esse aluno não praticar futebol?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Pretendemos determinar p F | A

 

……… 2 Sabemos que

  



 

p F A p F | A p A   ……… 2 Temos p F



A



 p A

 

p F



A



60%35%25% ………3 Portanto,

 

25 25 5 60 60 12 % p F | A %    ……… 3

4. Admita que a variável altura, em centímetros, dos alunos inscritos nesse clube desportivo é

bem modelada por uma distribuição normal

N



 ,



.

Na figura seguinte estão representadas:



a distribuição das alturas dos rapazes,

N



170 6,



;



a distribuição das alturas das raparigas,

N c, d





.

(3)

N



170 6,



N c, d





(10)

4.1. Das opções seguintes, indique, justificando, a verdadeira.

(A)

c170 e d6

(B)

c170 e d6

(C)

c170 e d6

(D)

c170 e d6



170 6



N , e N c, d





são distribuições normais com valores médios 170 e c, e desvios padrões 6 e d. Como a distribuição N



170 6,



está à direita, tem maior valor médio (a abcissa da média é maior), portanto, c170……… 3

Como a distribuição N c, d





é mais achatada (a curva está mais próxima do eixo), tem maior desvio padrão, portanto, d6 ……… 4

Assim, c170 e d6 (opção B)……… 3

(15)

4.2. Sabe-se que no clube estão inscritos 63 rapazes.

Calcule o número aproximado de rapazes com altura compreendida entre 170 e 182 cm.

Distribuição normal N



170 6,



, numa população de 63 rapazes.

Sendo X a variável altura, comecemos por determinar p



170X182



……… 1

Como 2170 12 182  , queremos P



X  2



……… 3

Sabemos que p X







0 5, e p



2   X  2



0 9545, ……… 2

Portanto,



170 182



0 9545 0 47725 2

,

p X    , ………ou outro processo………5

Como 0 47725 63 30 0668,   , ……… 3

Cerca de 30 rapazes do clube têm altura entre 170 e 182 centímetros……… 1

5. O António é o melhor marcador de lances livres da equipa de andebol do clube.

Da análise dos seus dados estatísticos concluiu-se que só falha 2 em cada 10 livres.

(10)

5.1. Num determinado jogo a equipa de andebol teve 8 lances livres que foram todos efetuados

pelo António.

Indique, justificando adequadamente, qual dos valores seguintes representa a

probabilidade de o António ter marcado golo em 6 desses 8 lances livres.

(4)

Pretendemos determinar a probabilidade de o António marcar (golo) em 6 de 8 lances livres.

Sendo X a variável “número de golos marcados”, podemos usar a Lei binomial da probabilidade com

8

n provas repetidas (número total de lances livres)………2

Assim,









8 0 8

10

p sucesso  p marcar golo   , e p insucesso





0 2, ……… 2

Portanto, p X



6



8C₆0 8, 60 2, 228 0 8 , 60 2, 20 293601, (opção B) ………3+3

(15)

5.2. Suponha agora que no próximo jogo a equipa dispõe de 9 lances livres.

Determine a probabilidade de o António fazer golo em pelo menos 3 desses 9 livres.

Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas de milésimas.

Sendo X a variável “número de golos marcados”, podemos usar a Lei binomial da probabilidade com

9

n provas repetidas (número total de lances livres)………1 Pretendemos determinar p X



3



, isto é, o António marcar três ou mais golos……… 1 Como o contrário de marcar pelo lemos três golos é marcar 0, 1 ou 2 golos, é mais simples calcular a probabilidade do acontecimento contrário. Assim, p X



3



 1 p X



0



p X



 1



p X



2



……2

Temos, p sucesso





0 8, e p insucesso





0 2, ……… 2

Portanto, p X



0



9C₀0 8, 00 2, 90 2, 9 ……… 2





9 1 8 8 8 1 1 0 8 0 2 9 0 8 0 2 7 2 0 2 p X   C  ,  ,   ,  ,  ,  , ……… 2





9 2 7 7 7 2 2 0 8 0 2 36 0 64 0 2 23 04 0 2 p X   C  ,  ,   ,  ,  ,  , ………2 Logo, p X



3



 1 0 2, 97 2 0 2,  , 823 04 0 2,  , 70 99968, ...0 9997, ………3

6. Num determinado treino da equipa de andebol os sete

jogadores de campo colocam-se em disposição circular, tal

como sugere a figura do lado.

(15)

6.1. Supondo que a escolha das suas posições é aleatória, de

quantas formas o Bernardo (B) pode ficar entre o Fernando

(F) e o Gonçalo (G)?

Numa pequena composição, entre 5 e 10 linhas, explique todos os raciocínios efetuados.

Supondo que o Bernardo já está na “roda”, o Fernando e o Gonçalo têm duas formas para ficarem ao seu lado (um á direita e outro à esquerda ou vice-versa)………5

Ou, só há duas formas de o Bernardo ficar entre o Fernando e o Gonçalo: F-B-G e G-B-F

Colocados estes três jogadores, restam 4 elementos que podem permutar entre si de 4!24 formas ……5 Assim, pelo princípio geral da multiplicação, existem 2 4 !48 formas de o Bernardo ficar entre o Fernando e o Gonçalo ………5

(5)

(15)

6.2. Determine a probabilidade de o Fernando e o Gonçalo ficarem um ao lado do outro.

n.c.p. = 6!………… O número de permutações circulares de n elementos é



n1



!……… 5

n.c.f. = 2 5! ……… 6

Supondo que o Fernando ocupa uma posição qualquer, o Gonçalo tem duas posições para ficar ao seu lado (à direta ou à esquerda) e os restantes elementos da equipa podem permutar entre si de 5! formas. Portanto, 2 5 2 5 2 1 6 6 5 6 3 ! ! p ! !        ………4 Outro processo:

n.c.p. = 7!…………Todas as permutações dos 7 elementos (havendo muitas repetidas)………4

n.c.f. = 7 2 5!  ………6

O Fernando pode ocupar uma das 7 posições, o Gonçalo tem duas posições para ficar ao seu lado (direita ou esquerda), os restantes elementos da equipa podem permutar entre si de 5! formas.

Portanto, 7 2 5 7 2 5 2 1 7 7 6 5 6 3 ! ! p ! !           ……… 5

7. No clube de Andebol há bolas de três cores diferentes: amarelas, brancas e vermelhas,

separadas por caixas, com bolas da mesma cor.

Num determinado dia estavam as caixas com 8 bolas amarelas, 7 brancas e k vermelhas.

8 Amarelas

7 Brancas

k Vermelhas

(10)

7.1. Colocando as bolas amarelas e brancas numa fila, diga, justificando, qual das opções

seguintes representa o número de filas diferentes que se podem formar.

(A)

15A 7

(B)

15 7

C

(C)

15C87!

(D)

P

15

Como as bolas formam uma sequência de 15 objetos, podemos contar as várias formas de ocupar 7 lugares com as bolas brancas (iguais), que são 15C₇6435, ocupando as bolas amarelas os restantes 8 lugares da fila (de uma única forma) ……… 4 Portanto, são possíveis 15 8 15

7 8 7 6435

C  C  C  filas diferentes (opção B) ………3+3

Outro processo:

Se as bolas fossem todas de cores diferentes existiriam 15! formas de as colocar numa fila ………3 No entanto, quando as 8 bolas amarelas, assim como as 7 bolas brancas, permutam entre si originam a mesma sequência. Portanto, o número total de filas diferentes é 15 6435

8 7 !

! ! (opção B) ……… 4+3

(20)

7.2. As 7 bolas brancas foram juntas com as k bolas vermelhas (numa mesma caixa).

Depois, ao acaso, tiraram-se simultaneamente duas bolas.

Seja X a variável aleatória “número de bolas brancas obtidas”.

(6)

i

x

0

1

2 

i



p X



x

a

b 7

15

Determine os valores de k , a e b , apresentando todos os raciocínios efetuados.

Como p X



2



= p obter



2 bolas brancas



= 7

15………1 Temos 7 2 7 2 7 15 k C C    7 2 21 7 15 k C    7 2 45 k C  _ _ 7 2 ₄₅ 2 k A !   



7k



6k



90………… 2+1+1+1+1  _{42 7}_ _k_₆_k__k2_₉₀  _k2_₁₃_k_₄₈_₀_………1+1  13 132 4



48



2 k      13 19 2 k   k   3 k 16………1+0+1

Portanto, como k0, a caixa tinha 3 bolas vermelhas………1 Assim,





3 2 10 2 3 1 0 45 15 C a p X C      e





3 7 1 1 10 2 21 7 1 45 15 C C b p X C       ………4+4

(15)

8. Do desenvolvimento do binómio



x

2



2 

6

resulta um polinómio de grau 12.

Determine, caso exista, o monómio (ou termo) de grau 5 do seu desenvolvimento.

Qualquer termo do desenvolvimento deste binómio é da forma T_p_₁ 6C_p

 

x2 6p 

 

2 p, com

0  

p

6

Assim, 1 6

 

2

12 2

p _p

p p

T

_



C

 

x

 ……… 5+1 No termo de grau 5 temos 12 2 p5, ou seja, 2p12 5  7

2

p ……… 4+1+1

Como p3 5, não é um natural entre 0 e 6, o desenvolvimento de



2



6

2

x  não tem termo de grau 5……3

(20)

9. Nas figuras seguintes estão representados, num referencial ortonormado Oxyz, um octaedro

regular [ABCDEF], cujos vértices pertencem aos eixos coordenados.

(7)

9.1. Escolhem-se, ao acaso, três vértices do octaedro.

Determine a probabilidade de esses vértices definirem um plano paralelo aos planos

coordenados.

Para definir um plano são necessários (e suficientes) 3 pontos não colineares.

Assim, qualquer grupo de 3 pontos (escolhidos entre os 6 vértices do octaedro) define um plano, embora alguns desses planos sejam coincidentes (ou o mesmo), como acontece quando escolhemos 3 dos 4 pontos que estão no plano xOy (por exemplo) ……… 3 Portanto, 6

C

₃



20

representa o número de casos possíveis ………5 Para definirmos um plano paralelo aos planos coordenados temos 3 possibilidades:

- escolhendo 3 dos pontos A, B, C e D, definimos sempre um plano paralelo ao plano xOy; - escolhendo 3 dos pontos A, F, C e E, definimos sempre um plano paralelo ao plano yOz; - escolhendo 3 dos pontos B, F, D e E, definimos sempre um plano paralelo ao plano xOz.

Assim, o número de casos favoráveis é 4

C

₃

   

3 4 3 12

………8 Portanto, a probabilidade pedida é 12 3

20 5

p  ……… 4

9.2. Pretende-se numerar as faces do octaedro com os números de 1 a 8, ficando um número

diferente em cada face, tal como ilustra a figura da direita.

Determine o número de maneiras diferentes de, no máximo, uma das faces concorrentes no

vértice A ficar numerada com números ímpares.

Para ficar, no máximo, uma das faces concorrentes em A numerada com números ímpares temos duas alternativas: ……… 2

- alternativa 1: nenhuma face concorrente em A fica com números ímpares (todas com n.os pares). - alternativa 2: uma das faces concorrente em A fica com número ímpar e as outras com números pares;

Na alternativa 1, existem 4! formas de colocar os 4 números pares (2, 4, 6 e 8) nas faces concorrentes em A; para cada uma dessas formas existem também 4! formas de colocar os 4 números ímpares (1, 3, 5 e 7) nas restantes quatro faces; portanto, existem 4!4!576 de as 4 faces concorrentes em a ficarem com números pares ………6 Na alternativa 2, existem 4C₁ forma de escolher um dos números ímpares (1, 3, 5 ou 7) e 4C₁ formas de o colocar numa das 4 faces; assim, existem 4 4 formas de escolher e colocar um dos números ímpares numa das faces concorrentes em A; para cada uma dessas formas há 4A₃ 24 de escolher e colocar 3 dos números pares (ou 4

C

₃ formas de os escolher e 3! formas de os colocar); finalmente, para cada maneira de numerar as faces concorrentes no vértice A, há 4! formas de colocar os restantes números pelas faces ainda não numeradas; portanto, existem 4 4 24 4   ! 9216 maneiras de numerar as restantes faces do octaedro, satisfazendo a alternativa 2………10 Assim, há 576 9216 9792 formas de, no máximo, 1 face concorrente em A ficar com número ímpar. ………2

Formulário

(8)

BOM TRABALHO

Prof. José Tinoco

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 3