Proposta de Teste Intermédio Matemática A 11.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor - - 20

GRUPO I

 Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro

opções, das quais só uma está correta.

 Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à

opção que selecionar para responder a esse item.

 Não apresente cálculos nem justificações.

 Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Num certo problema de programação linear, pretende-se maximizar a função objetivo, definida por L x y.

A região admissível está representada na figura 1. Relativamente a este problema, podemos afirmar que: (A) Não tem solução.

(B) Tem apenas uma solução. (C) Tem apenas duas soluções. (D) Tem mais do que duas soluções.

2. Considere, num referencial o. n. Oxyz, o plano α definido pela equação x y 2z1. Qual das condições seguintes define uma reta paralela ao plano α ?

(A) 2x2y4z3 (B) 2 0 x z y         (C) 2 4 4 x y z   (D) 2 0 1 x z y       Figura 1 x y O 1 3 3 1

3. Sejam A e B dois pontos distintos num referencial o. n. xOy.

Nesse referencial, o lugar geométrico dos pontos P que satisfazem a condição AP AB 0

é:

(A) a mediatriz do segmento de reta [AB]; (B) a circunferência de raio [AB];

(C) a circunferência de diâmetro [AB];

(D) a reta que passa pelo ponto A e é perpendicular a AB.

4. Considere a função f, de domínio \ 2

 

f x x

 

 .

Seja g a função definida por g x

 





Em qual das opções seguintes as retas definidas pelas suas equações são as assíntotas do gráfico da função g?

(A) x2 e y3 (B) x 1 e y 1 (C) x 3 e y 4 (D) x 1 e y1

5. Num referencial o. n. Oxyz, sejam α,  e  os planos definidos pelas equações: : x z 0

   : x z 0 : z0 A interseção dos planos α,  e  é:

(A) uma reta; (B) um ponto; (C) um plano; (D) o conjunto vazio.

O A B C D E V x y z GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Na figura 2, está representada, num referencial o. n. Oxyz, a pirâmide quadrangular regular [ABCDV].

Sabe-se que:

 a equação 2x y 2z 6 0 define o plano ABC;

 o ponto A pertence ao eixo Oz;

 o ponto V tem coordenadas





1.2. Sabe-se que o ponto E é o centro da base da pirâmide. 1.2.1. Defina a reta VE por uma equação vetorial. 1.2.2. Determine as coordenadas do ponto E.

1.3. Escreva uma condição cartesiana que defina a superfície esférica de centro no ponto V e que passa na origem do referencial.

2. Na figura 3, está representado um prisma triangular regular [ABCDEF] de altura igual a 3 e aresta da base igual a 2.

B E

3. Na figura 4, está representado, num referencial o. n. xOy, o círculo trigonométrico.

Os pontos A e B são os pontos de interseção da circunferência com os semieixos positivos

Ox e Oy, respetivamente.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto

A nem com o ponto B.

Para cada posição do ponto P, sabe-se que:

 a reta r é tangente à circunferência no ponto P;

 o ponto Q é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox;

 α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOP 0, 2



 _ 

 _ _

 .

Considere a função f, de domínio 0, 2       , definida por

 

3.1. Mostre que a área do triângulo [OQP] é dada por f

 



 

2

f   .

3.3. Para um certo valor de  pertencente ao intervalo 0, 2       sabe-se que:





 



3.4. Determine a equação reduzida da reta r quando a abcissa de P é igual a 3 5. A B O P Q x y  r Figura 4

4. Considere a função f, de domínio \

 

 

3 3

g x x  x  x .

4.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação ( ) 4f x  . Apresente a resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

4.2. Na figura 5 estão representados, em referencial o. n. xOy:

 parte do gráfico da função f;

 as retas r e s, assíntotas do gráfico de f ;

 o quadrilátero [ABCD].

Sabe-se que:

 A é o ponto de interseção da reta r

com o eixo Oy;

 D é o ponto de interseção da reta s

com o eixo Ox;

 B e C são os pontos de interseção do

gráfico de f com os eixos coordenados. Determine a área do quadrilátero [ABCD]. 4.3. Sabendo que a função f

g não tem zeros, determine os zeros da função f g.

FIM f B C D A s r x y O Figura 5

COTAÇÕES

GRUPO I (5  10 pontos) 50 pontos

GRUPO II 1. 45 pontos 1.1. 10 pontos 1.2. 25 pontos 1.2.1. 10 pontos 1.2.2. 15 pontos 1.3. 10 pontos 2. 15 pontos 3. 40 pontos 3.1. 10 pontos 3.2. 5 pontos 3.3. 15 pontos 3.4. 10 pontos 4. 50 pontos 4.1. 20 pontos 4.2. 15 pontos 4.3. 15 pontos Total 200 pontos