O CAMINHO RETO PARA O ESPAÇO-TEMPO CURVO
Tradução livre do segundo capítulo do livro “Was Einstein right?”, de Clifford M. Will. QUANDO a astronauta Sally K. Ride era estudante de pós-graduação na Universidade de Stanford, em meados dos anos 70, ela de alguma forma perdeu a oportunidade de assistir meu curso sobre a teoria de Einstein. Quando o ensinei, ela havia completado a maior parte dos cursos e estava profundamente envolvida na pesquisa em astronomia de raios-X que formaria a base da sua tese de Doutorado. No entanto, em última análise, ela teve uma experiência mais próxima e mais pessoal do conceito subjacente a toda a gravitação do que eu jamais terei. Ela experimentou a ausência de peso, ou o aparente desaparecimento da gravidade, que ocorre dentro de qualquer nave em órbita ou em queda livre.
Depois de quase um quarto de século vendo astronautas em órbita no noticiário noturno da televisão, tomamos a ideia de ausência de peso como garantida, e agora pensamos principalmente em seus efeitos fisiológicos sobre os astronautas, ou em suas possíveis aplicações industriais ou farmacêuticas. Mas, para Einstein, a ideia era profunda, pois para ele significava que o espaço-tempo deveria ser curvo.
A proposta de que o espaço-tempo deve ser curvo foi um produto do gênio de Einstein, ao tomar uma simples observação experimental, combiná-la com um experimento imaginário idealizado (chamado de gedanken ou “de pensamento”) que incorpora a essência do experimento original, e pressionar o resultado até o seu limite lógico. Nesse caso, o resultado observacional foi o fato de que os corpos caem com a mesma aceleração. Isso nos remete à imagem de Galileo Galilei jogando objetos do topo da Torre de Pisa.
Einstein tomou essa observação simples e imaginou o que isso implicaria para um observador dentro de um laboratório fechado em queda livre. É claro que, em 1907, quando Einstein começou a refletir sobre essa questão, isso tinha que ser um experimento de pensamento puro, pois o início da era espacial ainda estava cinquenta anos no futuro e o voo de Sally Ride demoraria outros 26 anos. No entanto, a falta de peso ou o desaparecimento da gravidade que esse observador experimentaria parecia tão significativo para Einstein que ele o elevou ao status de um princípio, que ele chamou de princípio da equivalência. “Equivalência” surgiu da ideia de que a vida em um laboratório em queda livre era equivalente à vida sem gravidade. Também veio da ideia inversa de que um laboratório no espaço vazio distante que estivesse sendo acelerado por foguetes seria equivalente a um em repouso em um campo gravitacional. A partir dessa equivalência, Einstein concluiu que o espaço-tempo deve ser curvo. Antes de tentarmos entender essa notável conclusão sobre o espaço-tempo, vamos cobrir o terreno mais familiar do espaço. A maioria de nós está familiarizada com a imagem Euclidiana do espaço. Em um momento ou outro, examinamos os livros e teoremas de Euclides sobre geometria plana e aprendemos, entre outras coisas, que linhas retas paralelas nunca se cruzam, que os ângulos internos de um triângulo somam 180° e assim por diante. Ficamos à vontade com essas ideias porque estão de acordo com a nossa experiência cotidiana com folhas de papel e tampos de mesa. O tipo de espaço descrito pelos postulados de Euclides é chamado de espaço plano.
Na verdade, alguns tipos de espaços curvos podem ser entendidos com muita facilidade. Um exemplo é a superfície de uma esfera (veja a figura 2.1). Ela viola os postulados de Euclides, porque na superfície de uma esfera, as linhas “mais retas” são os “grandes círculos”. Exemplos de grandes círculos são os meridianos e o equador. Em qualquer espaço curvo, essas linhas são chamadas de geodésicas. Mas observe que dois meridianos, que são paralelas entre si no equador, na verdade se cruzam nos polos; uma clara violação dos postulados de Euclides. Da mesma forma, podemos formar um triângulo cujos ângulos internos somam mais de 180°. Por exemplo, considere um triângulo formado pela linha de 0° de longitude, a linha de 90° de longitude e o equador. O ângulo interno total não é 180°, mas três ângulos retos, ou 270°. Outro
exemplo de superfície curva é a superfície de uma sela, que parece côncava em uma direção (ao longo da coluna do cavalo), mas convexa na outra direção.
Esses exemplos são fáceis de entender porque são espaços de menor dimensão do que aquele em que vivemos, duas dimensões em vez de três. Podemos ver esses espaços de fora; eles podem ser imersos em nosso espaço tridimensional e, assim, visualizados. Obviamente, mesmo que não seja necessário imergir um certo espaço em outro de maior dimensão para determinar suas propriedades geométricas, sempre nos sentimos mais confortáveis se pudermos fazê-lo.
Esse fato dificulta a visualização de um espaço tridimensional curvo. Ficar fora desse espaço e visualizá-lo exigiria uma quarta dimensão espacial, e isso claramente não está à nossa disposição. É em parte por isso que os matemáticos levaram dois mil anos depois de Euclides para considerar a questão dos espaços tridimensionais curvos, ou mesmo espaços de dimensão superior. Finalmente, no século XIX, matemáticos como Carl Friedrich Gauss, Wolfgang Bolyai, Nikolai Lobachevski e Georg Friedrich Riemann começaram a conseguir expressar as propriedades de tais espaços matematicamente (embora não pictoricamente).
Um passo mais difícil de visualizar, é claro, é um espaço-tempo quadridimensional curvo. Mas por que deveríamos nos preocupar com o espaço-tempo em oposição ao espaço comum? A teoria da relatividade especial de Einstein fornece a resposta. A relatividade especial substituiu os conceitos Newtonianos de espaço e de um tempo absoluto separado por uma única estrutura geométrica chamada espaço-tempo, na qual os graus de liberdade espaciais e o tempo são tratados em pé de igualdade e podem ser inter-relacionados. Por exemplo, a taxa com que o tempo flui depende do estado de movimento do observador: um relógio em um laboratório em movimento parece marcar o tempo mais devagar do que um conjunto de relógios idênticos distribuídos por um laboratório de referência. Como outro exemplo, dois eventos ou ocorrências em dois locais diferentes podem ser vistos como simultâneos por um observador, mas serão vistos como não simultâneos por um
observador em movimento. Foi Hermann Minkowski (1864-1909) quem desenvolveu a ideia de que um “continuum espaço-temporal” era a geometria subjacente às relações de tempo e espaço propostas pela relatividade especial.
Por mais difícil que seja lidar com o espaço-tempo quadridimensional da relatividade especial, pelo menos ele é, de certa forma, Euclidiano. Para um determinado observador, a parte espacial tridimensional comum de seu mundo tem as propriedades de um espaço plano usual.
No entanto, é exatamente isto que Einstein propôs: que o espaço-tempo é curvo, não plano, e que essa curvatura é produzida pelos efeitos gravitacionais da matéria. Mais do que isso, ele sugeriu que, de fato, a curvatura do espaço-tempo é, em certo sentido, idêntica ou equivalente à gravitação. Quando você pensa sobre isso, este é um salto verdadeiramente surpreendente de imaginação. Em um certo momento, pensava-se que a gravidade era o resultado de uma “ação à distância” e que os corpos se atraíam por meio dessa ação. Essa era a ideia de Newton e forma a base subjacente à gravitação Newtoniana. De acordo com essa ideia, dados dois corpos, havia uma “ação” entre eles que os levaria a se atrair com uma força proporcional a cada uma de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Mas, em meados do século XIX, essa ideia tinha sido suplantada pelo conceito de “campo”. Na imagem de campos, um corpo produz em torno de si um campo de força, que existe independentemente de um segundo corpo estar presente para senti-lo e ser atraído. O campo de força está relacionado a um potencial gravitacional, cuja variação no espaço determina a força. Qualquer corpo possui um potencial gravitacional. Esse conceito de “campo” ou “potencial” veio do novo entendimento do eletromagnetismo que estava sendo desenvolvido naquele momento. Por exemplo, a existência do campo magnético de um ímã podia ser demonstrada borrifando limalhas de ferro em uma folha de papel que cobria o ímã. As linhas de força que emanavam dos polos podiam ser claramente vistas no padrão das limalhas de ferro. A aplicação de campos à eletricidade e ao magnetismo transita naturalmente à gravitação.
O que Einstein propôs foi uma terceira alternativa. Na visão de Einstein, um corpo gravitacional distorce o próprio tecido do espaço e do tempo ao seu redor. Um segundo corpo que entra na vizinhança do primeiro simplesmente responde às distorções do espaço-tempo que encontra. Para ver como Einstein poderia dar esse salto, partindo da igualdade de aceleração dos corpos e do seu princípio de equivalência, até a ideia de espaço-tempo curvo, voltemos ao exemplo de um espaço curvo bidimensional, a superfície de uma esfera. Imagine um mundo bidimensional, muito parecido com o do livro do século XIX, Flatland, de E. A. Abbott, mas aqui confinado à superfície de uma esfera. Os habitantes bidimensionais desta “Esferolândia” começaram a aprender algo sobre suas propriedades geométricas construindo um conjunto de réguas de platina muito retas, colocando três delas para formar um triângulo e medindo a soma dos ângulos internos. Para sua surpresa, eles descobrem que a soma é 195°, e não 180°, o que eles esperavam pelo seu conhecimento da geometria do plano Euclidiano. O postulado inicial (lembre-se, eles não podem sair do mundo para vê-lo) é que existe um campo de força que atua sobre a platina, fazendo com que ela se dobre de maneira a fazer com que os ângulos internos excedam 180°. Para testar ainda mais esse postulado, eles refazem o mesmo experimento usando réguas de alumínio, com
exatamente o mesmo resultado. Depois de experimentar várias substâncias diferentes em suas réguas, eles concluem que o que quer que esteja acontecendo é universal - afeta todas as réguas da mesma forma. Em seguida, os esferolandenses tentam réguas mais curtas e constroem um triângulo menor. Desta vez, a soma é 187°. Triângulos menores produzem uma soma menor de ângulos. À medida que os triângulos ficam cada vez menores, a soma dos ângulos se aproxima cada vez mais do valor normal de 180°.
O que os esferolandenses devem concluir a partir desta série de experimentos? Existem forças em seu mundo que fazem com que as réguas se dobrem de maneira que os triângulos se comportam daquela forma? O fato de todas as réguas se comportarem exatamente da mesma maneira sugere que o fenômeno tem menos a ver com as próprias réguas do que com a natureza subjacente da Esferolândia. Talvez, diz um esferolandense imaginativo, nosso mundo seja realmente curvo, não plano; isso explicaria as experiências com triângulos, especialmente sua universalidade. Além disso, quando restringimos nossa atenção a regiões progressivamente menores, o efeito da curvatura se torna cada vez menor e, portanto, o mundo parece cada vez mais equivalente a um mundo plano, no sentido Euclidiano. Portanto, a Esferolândia é um espaço que é curvo em grande escala, mas parece aproximadamente plano em pequenas escalas (veja a figura 2.2). Esta é, obviamente, uma observação com a qual estamos familiarizados na superfície da Terra.
Einstein usou uma linha de raciocínio semelhante para saltar do princípio da equivalência para a ideia do espaço-tempo curvo. Os corpos de platina e alumínio caem com a mesma aceleração; portanto, talvez a força gravitacional que age sobre eles tenha menos a ver com os próprios corpos do que com o espaço-tempo subjacente. Assim como a Esferolândia é curva, talvez aqui o espaço-tempo seja curvo, e as trajetórias dos corpos em queda livre apenas reflitam as curvas naturais do espaço-tempo. Além disso, podemos nos colocar em um laboratório em queda livre e descobrir que flutuamos livremente; parece que não sentimos forças gravitacionais. Se o laboratório for suficientemente pequeno, qualquer objeto que trouxermos flutuará livremente conosco, como se a gravidade estivesse ausente. Esta é apenas uma aproximação, é claro, porque sabemos, por exemplo, que em um laboratório em queda livre acima da Terra, a força da gravidade no topo do laboratório é um pouco mais fraca que na base, então haverá ainda um pequeno efeito residual da gravidade. Esses efeitos são chamados de forças
menor for o laboratório, menores essas forças de maré residuais se tornam, e mais perto chegamos de uma situação completamente livre de gravidade. Portanto, em um pequeno laboratório em queda livre, os corpos se movem em linhas retas como se a gravidade estivesse ausente ou como se nosso laboratório fosse um referencial inercial. É como dizer que o espaço-tempo dentro do laboratório é, pelo menos aproximadamente, o espaço-tempo plano da relatividade especial, assim como o espaço na Esferolândia era aproximadamente o espaço plano Euclidiano na escala dos menores triângulos.
Além disso, argumentou Einstein, isso deveria se aplicar não apenas aos movimentos mecânicos dos corpos, mas também a todas as leis da física, incluindo o eletromagnetismo e a estrutura atômica, e a quaisquer leis não gravitacionais que possam ser descobertas no futuro (como a mecânica quântica e as leis que governam partículas elementares). Em outras palavras, todas as equações matemáticas que governam tais leis não gravitacionais da física, quando aplicadas a um referencial em queda livre, deveriam ser escritas da forma que normalmente as escrevemos no espaço-tempo plano da relatividade especial.
E como os corpos livres se movem no espaço-tempo curvo? Assim como linhas localmente retas na Esferolândia correspondem aos grandes círculos da esfera, ou geodésicas, no espaço-tempo as trajetórias de corpos em queda livre correspondem a geodésicas, as linhas “mais retas” possíveis. Esse foi o salto de Einstein. O princípio da equivalência significa que o espaço-tempo é curvo, mas, para um observador em queda livre, ele parece localmente plano. As forças gravitacionais que sentimos quando não estamos em um laboratório em queda livre são apenas uma consequência da curvatura do espaço-tempo.
Isso não é um teorema rigoroso, é claro. Não é a única interpretação possível do princípio da equivalência. No entanto, é elegante, é simples (conceitualmente, se não matematicamente) e é atraente. A maioria dos grandes avanços teóricos são guiados por esses tipos de critério. Isso não é suficiente para garantir que estejam corretos, no entanto. O árbitro final é o experimento. Neste livro, encontraremos muitos experimentos projetados para testar as consequências do espaço-tempo curvo e da teoria específica que Einstein construiu para fornecer conteúdo matemático preciso ao postulado do espaço-tempo curvo.
Como o princípio da equivalência desempenha um papel crucial, precisamos revisar sua história e seus fundamentos experimentais.
Apesar da forte influência da versão Aristotélica da mecânica, que sustentava que corpos mais pesados caem mais rapidamente do que corpos leves, havia oponentes a essa visão, mesmo na antiguidade. Por exemplo, Ioannes Philiponos (quinto ou sexto século d.C.) registrou, presumivelmente por experiência, “... se você deixar dois pesos, um muitas vezes mais massivo que o outro, caírem da mesma altura, verá que... a diferença no tempo de queda é muito pequena”. Outros que reconheceram a igualdade das acelerações de queda livre incluem Giambattista Benedetti, que propôs a igualdade em 1553, Simon Stevin, que a testou experimentalmente em 1586, e Galileo Galilei (1564-1642), cuja suposta experiência na Torre de Pisa se tornou parte do folclore científico popular. Galileu assumiu seu cargo de professor na Universidade de Pisa em 1589, três anos após a publicação dos resultados de Stevin, e permaneceu lá até 1592. Não há
documentos contemporâneos relatando qualquer experimento na Torre. O único relato que temos foi escrito pelo último aluno de Galileu, Viviani, que só nasceu em 1622. É mais provável que Galileu tenha tratado a equivalência das acelerações de queda livre como uma regra óbvia do senso comum, e que a experiência de observar objetos caírem de “uma torre alta” em Pisa tenha sido mais uma demonstração dessa regra do que um experimento que levou à sua descoberta.
Não foi até Isaac Newton (1642-1727) que a regra foi elevada ao status de princípio fundamental da mecânica. Newton a considerou como uma pedra angular, à qual dedicou o parágrafo de abertura de seu grande tratado de 1687 sobre mecânica, o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Para Newton, o princípio da equivalência significava que a massa de qualquer corpo, ou seja, a propriedade de um corpo (conhecida como inércia) que regula sua resposta a uma força aplicada, deve ser igual ao seu peso, ou seja, a propriedade que regula a força exercida nele pela gravidade. A consequência disso é que todos os corpos devem cair em um campo gravitacional com a mesma aceleração, independentemente de sua estrutura ou composição.
Newton não parou por aí. Ele também elevou o princípio a uma questão experimental, tentando testá-lo com boa precisão. Se o princípio da equivalência estiver correto, o período de um pêndulo de um determinado comprimento não deve depender da massa ou da composição do objeto suspenso, porque a aceleração do objeto é independente de sua massa ou composição. Na verdade, o período depende apenas do comprimento do pêndulo e do valor comum da aceleração gravitacional. Newton suspendeu caixas de madeira idênticas de fios de um metro e meio de comprimento. Encheu uma caixa de madeira e a outra com o mesmo peso de ouro e pôs o par de pêndulos em movimento. Ele observou que os pêndulos se mantinham em fase com alta precisão. Repetições do experimento usando prata, chumbo, vidro, areia, sal, água e trigo levaram ao mesmo resultado, com a conclusão de que a massa (inercial) e o peso (a massa gravitacional) dos materiais são iguais, ou que suas acelerações são iguais, com precisão de uma parte em mil. Outras melhorias, por um fator de cerca de 100, foram feitas no século XIX e no início do século XX. No entanto, as experiências com pêndulos são limitadas em precisão por vários fatores, incluindo os efeitos das correntes de ar criadas pelos pêndulos oscilantes e a dificuldade de sincronizar objetos com precisão (imagine cronometrar um pêndulo de período de 3 segundos com uma precisão de centésimos ou milésimos de segundo).
Não foi até o final do século XIX que Roland von Eotvos (1848-1919) conseguiu uma melhora significativa na precisão, usando um novo e elegante esquema. Eotvos era um físico eminente, já tendo feito descobertas fundamentais sobre o efeito da temperatura na tensão superficial dos líquidos, a propriedade que faz gotas de água sobre uma mesa formarem tampos arredondados. Em 1889, como resultado de suas realizações, ele foi eleito presidente da Academia Húngara de Ciências. Mas, a essa altura, ele havia voltado a maior parte da sua atenção para a questão das medidas gravitacionais.
Eotvos usou um dispositivo conhecido como balança de torção, que ele havia desenvolvido originalmente para medir variações na aceleração local da gravidade para fins de estudos geológicos. Dois pesos estão presos às extremidades de uma haste e a haste é suspensa por um fio de um ponto que leva a um equilíbrio horizontal (o ponto não precisa estar exatamente no centro da haste, se os dois pesos forem diferentes). Descrito assim, este é um desenho experimental pouco
interessante, porque apenas mede as forças gravitacionais relativas nos dois objetos. Também precisamos de uma força inercial, como aquela exercida pela corda no pêndulo nos experimentos de Newton. Felizmente, a Terra nos fornece essa força automaticamente, como resultado de sua rotação. Diferentemente da força gravitacional, que é direcionada para o centro da Terra, a força (inercial) centrífuga é direcionada para fora, perpendicularmente ao eixo de rotação da Terra (veja a figura 2.3). Na latitude de Budapeste, onde os experimentos de Eotvos foram realizados, a força centrífuga é cerca de 400 vezes menor que a força gravitacional e é direcionada a 47° da vertical, em direção ao sul. Suponha agora que os dois pesos sejam feitos de materiais diferentes. Se a força
inercial agisse com uma proporcionalidade diferente em relação à força gravitacional nos dois materiais, haveria um torque resultante, ou uma força de torção, que causaria uma leve rotação da haste em torno de um eixo vertical, até que fosse interrompida pelo torque de restauração do fio torcido. A orientação da haste em relação ao laboratório pode ser medida de várias maneiras. Obviamente, isso não nos diz nada, porque não sabemos qual seria a posição de repouso da haste se a força inercial fosse desligada (infelizmente, não podemos parar a rotação da Terra desligando um interruptor). No entanto, se todo o aparelho, incluindo o suporte para o fio, for girado em 180°, o torque faria com que a haste girasse na direção oposta e parasse em uma orientação diferente. Se não houvesse diferença nos efeitos inerciais sobre os diferentes materiais, não haveria torque e, portanto, não haveria diferença na direção da haste nas duas configurações do aparato. Esse tipo de experimento é chamado de experimento “nulo”, porque o resultado esperado, se o princípio da equivalência for válido, é uma diferença nula entre duas medições.
Em duas séries de experimentos, em 1889 e em 1908, Eotvos e seus colegas usaram a platina como um peso e diferentes materiais – cobre, água, amianto, alumínio e outros – como o outro. Depois de correções às forças gravitacionais exercidas no aparelho pelos próprios pesquisadores, eles não encontraram torques anômalos. Concluíram que a massa, ou “massa inercial”, e o peso, ou “massa gravitacional” de diferentes materiais são iguais a menos de algumas partes em um bilhão. Outra maneira de dizer isso é que corpos diferentes sofrem a mesma aceleração em um campo gravitacional com precisão de algumas partes em um bilhão.
Esses experimentos antecederam o trabalho de Einstein sobre gravitação, mas, aparentemente, quando ele propôs seu princípio de equivalência como fundamento da teoria gravitacional em 1907, ele não os conhecia. Em vez disso, ele aceitou a universalidade da aceleração de queda livre como um fato. Em 1912, no entanto, ele havia sido informado das experiências de Eotvos e se referiu a elas extensivamente nos escritos subsequentes.
As experiências de Eotvos representaram o estado da arte por quase sessenta anos. Finalmente, grandes melhorias foram feitas no início dos anos 1960 e, novamente, por volta de 1970, por dois grupos, o primeiro na Universidade de Princeton, liderado por Dicke, o segundo na Universidade Estadual de Moscou, liderado por Vladimir Braginsky. Esses grupos tinham duas coisas a seu favor. A primeira era uma ideia inteligente: substituir a força gravitacional da Terra pela do Sol, substituir a força centrífuga de rotação da Terra por aquela devida ao movimento orbital da Terra ao redor do Sol e, finalmente, deixar a própria Terra fazer o trabalho de girar o laboratório em torno da linha Terra-Sol. Embora a força gravitacional do Sol sobre os corpos seja cerca de 1.000 vezes menor, o ângulo entre a direção do fio de suporte e o Sol é maior, e muitas fontes de ruído e erro são eliminadas por não ser necessário girar o aparato manualmente. A segunda coisa que esses grupos tinham a seu favor era a tecnologia da época, incluindo excelentes fibras para suportar a haste, bons sistemas de vácuo para eliminar os efeitos das correntes de ar, sistemas automatizados de controle de temperatura e sofisticadas técnicas elétricas e ópticas para determinar a orientação da vara. Se o princípio da equivalência for falso, à medida que a Terra gira, a haste deve primeiro girar em uma direção quando o Sol estiver “acima” e, 12 horas depois, girar na outra direção. Os pesquisadores só precisaram procurar rotações da haste que variavam em um período de 24 horas. Em nenhum experimento nenhuma variação foi encontrada, até os limites de precisão, citados como 1 parte em 100 bilhões pelo grupo Princeton e como 1 parte em um trilhão pelo grupo Moscou. Portanto, corpos de composições diferentes caem em direção ao Sol com a mesma aceleração com enorme precisão.
Uma conclusão interessante e importante pode ser extraída desses resultados. Como a massa de um núcleo atômico é composta pelas massas dos nêutrons e prótons individuais, mais o equivalente em massa da energia interna devida às forças fortes que ligam o núcleo e porque elementos diferentes, como alumínio e platina, contêm quantidades diferentes de energia nuclear interna por unidade de massa, então a energia das forças nucleares deve se comportar da mesma forma que a energia de repouso das próprias partículas nucleares. Uma conclusão semelhante se aplica à energia eletromagnética associada às forças entre os prótons e elétrons carregados. No capítulo 7, perguntaremos se a energia gravitacional também cai com a mesma aceleração.
As experiências que descrevi empregaram corpos macroscópicos da escala do laboratório e qualquer conclusão que tiramos sobre a maneira pela qual partículas ou energias atômicas caem sob a ação da gravidade é necessariamente um tanto indireta. O que podemos dizer diretamente sobre corpos com dimensões atômicas? Por exemplo, elétrons individuais caem com a mesma aceleração que corpos comuns? Infelizmente, essa é uma pergunta extremamente difícil de responder experimentalmente. Como o elétron é carregado, o menor campo elétrico residual no aparelho causa acelerações que dominam sobre os efeitos gravitacionais em estudo. Por esse motivo, o melhor experimento Eotvos em partículas atômicas individuais foi realizado usando nêutrons, que são eletricamente neutros. Embora sejam instáveis fora do núcleo atômico, sua longa vida útil (1.000 segundos) permite inúmeras observações interessantes. Em um experimento realizado em 1975 na Universidade Técnica de Munique, nêutrons lentos de um reator nuclear foram emitidos na direção horizontal. Após uma distância de cerca de 100 metros, os nêutrons caíram uma altura mensurável, e o pequeno ângulo pelo qual seu movimento se desviou da horizontal, cerca de três décimos de milésimo de grau, pôde ser medido refletindo-os na superfície
de uma mistura líquida de chumbo e bismuto. Com uma precisão de 1 parte em 10.000, o ângulo concordava com o que você esperaria se os nêutrons caíssem com a mesma aceleração dos corpos macroscópicos.
Como o princípio da equivalência é tão importante, os experimentalistas estão sempre procurando maneiras de melhorar a precisão de seus testes ou encontrar novas maneiras de testá-lo. Algumas de suas ideias incluem o uso de temperaturas extremamente baixas, quase zero absoluto, para reduzir os erros causados por flutuações térmicas, e a realização de experimentos no espaço, para reduzir as fontes ambientais de ruído que afetam qualquer laboratório terrestre - por exemplo, distúrbios sísmicos (incluindo caminhões passando) e efeitos atmosféricos, como mudanças na pressão barométrica. Talvez alguma futura missão espacial encontre Sally Ride ajudando a montar um experimento de Eotvos em órbita.
Até agora, descrevi como Einstein deu o salto intuitivo do princípio da equivalência para o espaço-tempo curvo, e descrevi com algum detalhe o suporte experimental a esse princípio, mas não falei muito sobre o que realmente é o espaço-tempo curvo. Infelizmente, isso exigiria um detalhamento matemático que está além do escopo deste livro. Nosso objetivo aqui é tentar entender qualitativamente quais são as consequências observáveis do espaço-tempo curvo e como essas consequências podem ser traduzidas em experimentos reais.
Agora, todos os efeitos observáveis sobre os quais falarei neste livro são extremamente pequenos e muitos deles são bastante sutis. Mas e os efeitos grosseiros e cotidianos da gravidade, como o lançamento de uma bola de vôlei na Terra ou a órbita do
ônibus espacial ao redor da Terra? Afirmei acima que a proposta de Einstein era que a gravitação fosse, em certo sentido, equivalente a um espaço-tempo curvo. Mas como o movimento de uma bola de vôlei está relacionado ao espaço-tempo curvo? Einstein postulou que o movimento de um corpo em queda livre, como uma bola lançada ou um planeta em órbita, segue ao longo de uma geodésica, uma “linha reta” do espaço-tempo curvo. Como podemos reconciliar isso com o que observamos sobre o movimento de uma bola ou planeta, que certamente não é parecido com uma linha reta?
A reconciliação é realmente muito fácil, uma vez que aprendemos a distinguir espaço-tempo do espaço. A melhor maneira de fazer isso é desenhar uma imagem que inclua algumas das dimensões espaciais, bem como a dimensão do tempo. Obviamente, não podemos desenhar todas as quatro dimensões do espaço-tempo em uma página bidimensional, mas, se ignorarmos uma das dimensões espaciais, poderemos usar a perspectiva para representar as duas dimensões espaciais, mais o tempo. Esses chamados
“diagramas espaço-temporais” são uma ferramenta popular para falar sobre a relatividade geral e especial.
Vamos primeiro considerar o problema da bola de vôlei (veja a figura 2.5). Imagine Sally Ride, que também é uma excelente jogadora de tênis e vôlei, sacando sobre a rede, a uma altura de 10 metros, e a bola caindo a uma distância de 10 metros. (Normalmente, é claro, o saque de Sally é uma bala devastadora que deve viajar à metade da velocidade da luz, como aprendi da maneira mais difícil durante as partidas no horário de almoço atrás do ginásio de Stanford.) A trajetória da bola de vôlei é uma parábola, certamente nada parecida com uma linha reta. No entanto, vamos considerar o movimento da bola num diagrama espaço-temporal. A base do diagrama mostra uma linha que registra a altura da bola (paralela à página) e, perpendicularmente a ela (na página), uma linha é traçada entre os pontos inicial e final da bola para registrar sua trilha no solo. A terceira dimensão espacial não é mostrada. A linha vertical no diagrama espaço-temporal é a direção do tempo. Agora, uma vez que sabemos que devemos tratar o espaço e o tempo em pé de igualdade, devemos dar-lhes as mesmas unidades. Mas como fazemos isso se as distâncias espaciais são medidas em metros, digamos, e o tempo é medido em segundos? A maneira de fazer isso é através da velocidade da luz, que, de acordo com a relatividade especial, é uma constante universal, tendo o mesmo valor quando medida em qualquer referencial inercial. Portanto, se tomarmos um intervalo de tempo de 1 segundo e o multiplicarmos pela velocidade da luz, aproximadamente 300 milhões de metros por segundo, teremos algo com unidades de comprimento. Esse comprimento é apenas a distância percorrida pela luz em 1 segundo (300.000 quilômetros). Se agora olharmos o tempo usando unidades de distância, diríamos que “1 metro de tempo” corresponde ao tempo necessário para a luz percorrer 1 metro ou cerca de 3,3 nanossegundos (1 nanossegundo é igual a um bilionésimo de segundo). Fomos orientados a tratar o tempo e o espaço igualmente; portanto, se marcarmos distâncias nas linhas espaciais do diagrama espaço-temporal em intervalos de 1 metro, também devemos marcar intervalos de 1 metro na linha correspondente ao tempo. Vamos desenhar agora a trajetória da bola de vôlei no diagrama espaço-temporal, sendo cada ponto determinado pela distância horizontal a partir de Sally, pela altura e pelo tempo correspondente. Imediatamente temos problemas. O tempo necessário para a bola atingir seu ponto mais alto é de apenas 1,4 segundos, mas na linha do tempo, isso corresponde a 430.000 quilômetros, ou um pouco mais que a distância até a Lua. E isso é apenas metade da trajetória da bola! Claramente, nosso diagrama espaço-temporal não caberá em uma página deste livro. No entanto, começamos a ver o sentido em que a trajetória da bola de vôlei é geodésica ou “reta”. A trajetória começa no ponto de partida; depois, à medida que avançamos na linha do tempo, ela se move para dentro da página, bem como para a direita. Continuando ao longo da linha do tempo (agora estamos além da distância até a Lua), vemos que a trajetória para de se mover para a direita e começa a se mover para a esquerda, continuando a entrar na página. Finalmente, no topo do diagrama, a trajetória alcança seu fim. É claro que a trajetória é curva, mas, porque a estendemos na direção temporal para que tivesse mais de duas vezes a distância até a Lua, teríamos dificuldade em olhar para qualquer pedaço da curva e dizer que é algo além de uma linha reta. O ponto é que, quando olhamos para a trajetória da bola no espaço, ela descreve uma parábola, mas, quando a vemos no espaço-tempo, ela é quase uma linha reta. O fato de que a trajetória no espaço-tempo é quase reta é uma consequência da pequenez da curvatura espaço-temporal da Terra.
Outra ilustração disso é a órbita do ônibus espacial ao redor da Terra. No espaço, a órbita é quase um círculo. Mas no espaço-tempo, o tempo necessário para incorporar uma órbita do ônibus espacial, cerca de uma hora e meia no tempo, seria de cerca de 1,6 bilhões de quilômetros, ou além da órbita de Saturno. No espaço-tempo, a órbita do ônibus espacial seria uma hélice, mas tão esticada na direção do tempo que também não seria muito diferente de uma linha reta.
Na linguagem do espaço-tempo curvo, o sistema solar é considerado um sistema de “campo fraco” ou “baixa curvatura”. As trajetórias espaço-temporais dos corpos em queda livre são geodésicas que se desviam apenas ligeiramente das linhas retas comuns. Como consequência, os efeitos do espaço-tempo curvo que vão além das características grosseiras dessas trajetórias são apenas pequenas correções e, portanto, são difíceis de detectar e medir. Foi isso que tornou a gravitação experimental um desafio por setenta anos.
Uma observação final. Em nenhum lugar deste capítulo as palavras “relatividade geral” apareceram até agora. Tudo o que discuti é uma consequência direta do princípio da equivalência e do salto de Einstein para o espaço-tempo curvo. Essa é uma ideia tão fundamental que agora a consideramos totalmente separada da relatividade geral, embora, na mente de Einstein, as duas estivessem inextricavelmente ligadas. O experimento de Eotvos é visto como um dos principais testes da validade da ideia geométrica da gravitação; é um experimento tão básico que é necessário muito esforço para realizá-lo e muito mais esforço será necessário para melhorá-lo o máximo possível no futuro. Se uma violação da universalidade da aceleração de queda livre aparecesse em algum nível, seria necessária uma revisão completa de nossa imagem do espaço-tempo.
O que é, então, a relatividade geral? A relatividade geral é realmente uma entidade teórica separada. Ele assume a validade da ideia de um espaço-tempo curvo, mas continua respondendo ao tipo de pergunta que evitamos fazer neste capítulo, a saber, quão curvo é o espaço-tempo? O princípio da equivalência apenas nos diz que é curvo; não pode nos dizer quanto. A relatividade geral fornece um conjunto de equações matemáticas, chamadas “equações de campo”, que permitem calcular quanta curvatura espaço-temporal é gerada por um determinado pedaço de matéria, como o Sol, a Terra ou uma pedra. Embora Einstein tivesse uma compreensão física clara do princípio da equivalência e do espaço-tempo curvo desde 1907, ele levou mais oito anos para chegar às equações da relatividade geral. Parte desse tempo foi gasta aprendendo a matemática do espaço-tempo curvo, e parte dele foi perdida seguindo pistas por becos teóricos cegos, mas finalmente, durante um período intenso e exaustivo de três semanas em novembro de 1915, ele fez seu segundo grande salto de imaginação e obteve as equações de campo em sua forma final. A teoria estava agora completa. As equações de campo determinam quanta curvatura existe e o princípio da equivalência nos diz como a matéria responde a ela: corpos em queda livre se movem ao longo das geodésicas.
O princípio da equivalência é tão poderoso e tão bem verificado pelo experimento de Eotvos que a maioria das teorias modernas que foram propostas como alternativas à relatividade geral também se baseiam no espaço-tempo curvo, exatamente da mesma maneira. Tais teorias estariam de acordo com todas as afirmações feitas neste capítulo. Elas diferem da relatividade geral apenas nas equações de campo que fornecem para determinar quanta curvatura existe. Testes experimentais de teorias gravitacionais podem, portanto, ser divididos em duas classes: aqueles que testam o
princípio da equivalência, como o experimento de Eotvos, e aqueles que testam teorias gravitacionais específicas. Antes de falarmos sobre a última classe de testes, devemos discutir um experimento que Einstein inventou como um teste de relatividade geral, mas que agora percebemos que é realmente outro teste do princípio da equivalência e, portanto, é tão fundamental quanto o experimento de Eotvos. Esse teste é conhecido como desvio gravitacional para o vermelho.
