Sobre as algebras e hiper-reticulados CW

SÔBRE AS ÁLGEBRAS E

HIPER-RETICULADOS Cw

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estátistica e Ciências da Computação da Uni-versidade Estadual de Campinas, para obtenção

do título de Mestre em Matemática.

CAMPINAS

1 9 7 1

BIBLIOTECA DO IMECC DA

Tardiamente,

Prefácio

Observações sobre a notação Introdução

Capitulo I

- As álgebras Cw

- Filtros e Ideais de uma álgebra C..J - Morfismos de álgebra C...J

- Aplicações ao cálculo CuJ Capítulo 11 - Hiper-reticulado Cw

Comentários

Bibliografia 9 11 13 17 19 23 33 39 43 45

PREFÁCIO

Nesta tese, apresentamos, de modo sistemáti-co, alguns resultados referentes

à

teoria das ~ebrM Cw,

muitos

dos quais foram por nós obtidos e public~

dos anteriormente.

Os conceitos básicos, as notações etc., uti-lisados neste trabalho estão descritos nas "Observa-çoes sÔbre a notação".

No Capitulo I, introduzimos os conceitos de Álgebra Cw , de Filtro, de Ideais e de Morfismos de uma álgebra Cwi obtemos alguns resultados relativos a tais noçÕes e, em seguida, empregamos alguns ctêstes resultados na obtenção de informações a respeito do cálculo Cw

No Capitulo li, propomos uma nova algebriza-çao do cálculo Cw e demonstramos um teorema que

êste nÔvo tipo de estrutura às álgebras Cw.

liga

Agradecemos ao Prof. N.C,A, da Costa a dedi-caçao com que nos orientou durante êste.s dois anos que estivemos com êle trabalhando e, sobretudo, a sua sem pre renovada paciência para conosco.

zemos de alguns dos itens aqui abordados. Ainda que tenha sido indireta a colaboração do referido profes-sor neste trabalho, vemo-nos na obrigação de agradecer ao Prof. Tourasse o incentivo que nos tem dado e, so-bretudo, o excepcional exemplo que tem sido para to-dos aquêles de seu convÍvio.

Por fim, agradecemos, também, ao Pro f. Rubens M. Marques, que tornou possível1 do ponto de vista ma

OBSERVAÇ0ES SÔBRE A NOTAÇÃO

No que segue, serao usados, entre outros, os seguintes simbolos:

[n] - para referência bibliográfica

J -

denotando o cálculo de predicados clássico, de primeira ordem contendo apenas os dois símbolos de predicados

E:

e

=.

1~

,

Pw - denotando respectivamente o conjunto das fórmulas e das fórmulas atÔmicas do cálculo

Cw.

rz-

a significando que a e um teorema de '

l

( "r-;7j-

a, caso contrário).

significando fÓrmula ' _válida

I(F•

que

a

a e

em (

171fa

_'

caso

contrário).

se e

-

como abreviatura de se, e

sÕmente

se.

As noçoes de consistência e consistência ab-soluta mencionadas no que segue coincide com as dadas

em [ 9] .

Os demais sÍmbolos, notações e conceitos sao, a menos de adaptações Óbvias, os mesmos usados nos trabalhos relacionados na bibliografia.

Um dos pontos mais marcantes do desenvolvi-mento da Matemática nos Últimos anos foi 1 sem dÚvida,

a constatação de que a quase totalidade de sqas no-ções podia ser reduzida

à

simples noção de conjunto. Um conjunto

é,

do ponto de vista intuitivo, uma cole-ção de objetos. Assim,

é

natural ter-se pensado em precisar tal noção dizendo-se que:

lQ) TÔda "propriedade" P(x) determina um con junto (o conjunto dos objetos que satisfaz a proprie-dade P).

29) Dois conjuntos X e Y sao iguais see todo objeto de um

é

também objeto do outro.

Ou, ainda, de modo mais formal, dizendo-se que os co~ juntos são objetos satisfazendo o seguinte sistema de axiomas:

I) ]x'l;ty (y(x :::l.Çl(y)), onde

lp

é

uma fÓrmula de

1 .

2) 1;/x'c/y\jz (x

=

y õ (zEx õ zEy)).

~stes axiomas constituem, essencialmente, a definição de conjunto dada por Frege"

Infelizmente,

é

fato conhecido que com base neste sistema podemos demonstrar a existência de um conjunto R (conjunto de Russell) para o qual se tem

14

que:

sendo, portanto, tal sistema inconsistente. Como no cálculo de predicados /. o conceito de inconsistência e inconsistência absoluta coincidem, vem que a teoria de conjuntos referida torna-se trivial.

As várias soluções propostas para êste pro-blema deram origem às diversas teorias de conjuntos, como, por exemplo, certas formas de teorias baseadas nos tipos lÓgicos, a teoria de Von Neumann-Bernays-G~ del, a teoria de Zermelo-Fraenkel, a teoria de Quine etc., tendo tÔdas estas teorias em comum o fato de

o-riginarem-se principalmente de restrições feitas

so-

'

bre a fÓrmula ~ do esquema de axiomas 1 e manterem i-nalterada a lÓgica subjacente.

natural, a seguinte pergunta:

Surge, então, de modo Seria possível manter os axiomas 1 e 2 inalterados e modificar a lÓgica su~

jacente, de tal modo que as propriedades elementares dos conjuntos permanecessem válidas e o nÔvo sistema absolutamente consistente? Tal pergunta foi respond! da por Curry e Moh Shaw-Kwei, mostrando 1

b.isicamen-te1 que num cálculo de predicados contendo a

implica-ção, a conjunção e os quantificadores intuicionistas, a formulação do esquema de axioma 1, sem restrições s§ bre ~,acarreta a inconsistência absoluta do sistema. Assim, a nosso ver, a menos que percamos as caracte-risticas fundamentais do cálculo/ , limitando os re-sultados obtidos, não podemos dispensar as restriçÕes sÔbre ~ . Contudo,

é

possível, com uma ligeira

modi-ficação na lÓgica subjacente, estudarmos teorias de conjuntos onde, por exemplo, a existência do conjunto R de Russell não torna o sistema inconsistente;

permi

tindo-nos, assim, analisar as propriedades de tais conjuntos. Para tanto, o Prof. N.C.A. da Costa cons-truiu os cálculos

em certo sentido,

proposicionais C , l.;;,:n.çul· (onde, n

c

_n

é

mais forte do que cn+l.) Diversos sao os problemas ainda em aberto re !ativos a êstes cálculos e, em particular, ao cálculo Cw. Neste trabalho, nos propomos expor alguns resul-tados concernentes

à

algebrização do cálculo _{C101 •}

CAPÍTULO I

AS ÁLGEBRAS C

w

Uma álgebra Cw e um reticulado implicativo, na acepção de Curry [2], munido de um operador ve-rificando os seguintes postulados:

e p~~~ P·

Designaremos por

G.:::::

<A, :::,::::1, 1\, V l> uma álgebra C~ , onde A

I

0

e a relação de equiva-lência _{e compat1vel com as operaçoes} '

'

_{~ , A}

v,

'

'

ou

seja, onde tais operações são monótonas relativamente a

As álgebras Cw podem ser interpretadas como uma tradução algébrica do cálculo Cw [5].

Exemplos de álgebras Cw

l . l . T~da álgebra de Boole

é

uma álgebra Cw.

1. 2. Seja A == { a 1, a2, O } ; da em A pela partição operaçoes ::::,) , A ₁ V e belas: -" a equivalência

defini-{h,

a

2) , {O} }

e as

::::J

o

_al "2 11

o

al "2

o

al al al

o

o o

o

al

o

al al al

o

al al "2

o

al al

_o

a2 al al

v

o

_{al a2}

o

o

_{al al}

o

_"l al al al al al

o

"2 al al al a2 al

O sistema

a==<A,

::,::::>,A ,V, ' 1>

é,

nes

te caso, um exemplo de álgebra Cw [13].

De modo análogo ao que e feito para reticul~ dos, uma álgebra Cu~ também tem uma representação gr~ fica, com a diferença de que enquanto nos reticulados os pequenos circulas do gráfico representam elementos do reticulado representado, nas álgebras Cw cada um dêstes cÍrculos representa uma classe de equivalência da álgebra considerada. Assim, por exemplo, a repre-sentação gráfica da álgebra Cw do exemplo 2

é

a se-guinte:

19

Filtros e Ideais de uma álgebra Cw.

Definição 1.1. Seja

G.=

<A,=,~

11\ ,V, 1

,

J>

uma álgebra Cw e

0

1-

fÇ A. Dizemos que F

é

um fil tro de

G

see são verificadas as seguintes condiçÕes, para todos a, b

E

A :

Fl

-

a, tE F

a A b E F

F2 -

a E F

aVbEF

F3

aEF

e b

_-

a 9bEF

Exe~lo~ de filtros:

1.3, Se encararmos a álgebra de Boole,

a ,

como uma álgebra Cw, então, todo filtro da álgebra de Boole,

G.,

é

também um filtro da álgebra

c..,.,G..

1.4.

Em

tÔda álgebra

c,.,

G.c

(A, ~.::.:»,I\

,v

, ,

,

1)

,

os conjuntos A e 1 = (aE A' a" 1} sao exem-plos de filtros de

c.

Teorema 1.1. Para que uma parte F de uma álgebra Cw,

G.

=<A,

o;:'

, / \ , V , ' , I > seja um filtro de

ú ,

e necessário e suficiente que uma das condiçÕes I, II ou III abaixo seja satisfeita, quai~ quer que sejam a, bEA:

rEF

I I a E F e a~ h€ F b€F aEF e b=a l> b€F

r

,I~

III al\b€ F a, h

E

F a€ F e b=.a===P bEF

Demonstração -

Seja

F

um

filtro.

Como

a€ F e a <h

implica

b;:: aVb, vem,

por

F2, que a V b

E

F e, por F

3, que b

E

F. As duas outras condições de I

sao trivialmente satisfeitas em decorrência da

hipót~

se.

Mostremos que I ==S> li. Com efeito, se F

:F

0,

então existe a

E

A tal que a

E

F, Como 1;=. a, vem que 1

E

F. Por outro lado, se a e a~b pertencem a F tem-se ai\ (a:=:Jb)EF e, como a/\(a:Jb).o;;;;b, b€' F. A terceira condição de li

é

consequência ime-diata de I .

(ai\ b::>a) que a€ F

Vejamos, agora, que li ~III. Ora, como

=

(al\b=:>b)

=

l€F, vem, do e b

E

F. Reciprocamente,

fato de al\b€F, a=> (b:=Jal\ b)

=

=(a/\ b)3(al\ b)

=

lEF. Logo, de a, b€F segue-se que al\b€F.

Finalmente, mostremos que a condição III im-plica que F

é

um filtro. Com efeito, se a€F, en-tão (aVb)/\a~a€F. Logo, aVbEF. Ademonstra-çao fica completa observando-se que as condiçÕes F

1 e F

3 seguem-se trivialmente de I I I .

_{s ~-·s-L-1}

_o

_{T E...., ~~} ______ .

_{u o}

..=o---=·"C··-~ _{'f: É}

_{c c}

DA

21

Definição 1.2. Um subconjunto I , nao vazio,

de uma álgebra Cw, e '

denominado um ideal ou filtro dual see forem verifica dos os seguintes postulados, para todos a, bEA:

Il - _{a, b€ I ~ a V b ( l}

I2

-

aEI

_"

a!\ bE I I3

-

aEI e b

=a

~ bE:I

O leitor poderá mostrar 11_{dualmente" que vale}

o seguinte resultado ("dual11 _{do Teorema 1.1.)}

ideais:

para

Teorema 1.2. Seja

Ú.=

<A,

:=,J,/\,

V, I> uma álgebra Cw. Para que um subconjunto I de A se

ja um ideal de

Ci

é

necessário e suficiente que uma das condiçÕes I ou II seguintes seja satisfeita, para todo a, bE:A.

{

I

1-

~ I a, bEI ;:,. a V b ( I a

E:

I e b=a b€1

{

I

I

~ I I aVb(I ~ a, bE I a

E

I e b

=a

- · b( I

Teorema 1. 3. Todo ideal prÓprio

{)_=.(A,:::,= ,/'.,V,

(prÓprio) maximal.

I o

(Teorema do ideal maximal) de uma álgebra C,.; ,

1:> , está contido em um ideal

Demonstração - A demonstração dêste teorema e feita exatamente do mesmo modo que a correspondente para o caso das álgebras de Boole.

Ao contrário do que ocorre nas álgebras de Boole, as noções de filtro e ideal de uma ~lgebra Cw,

embora

11

_duais

11

_{uma da outra, apresentam diferenças}

sensíveis, devendo-se isto principalmente ao fato das álgebras Cw não terem, em geral, primeiro

(como será visto mais adiante).

elemento

Notemos que se {Fk}k{K

é

uma familia

de uma álgebra

Cu-~,

li ,

então /J.K Fk

é

tam-de filtros

bém um filtro de Ú •

tes definições:

Isto nos permite dar as

seguin-Definição 1.3. Seja uma álgebra Cw,

0

I

Mç- A e todos os filtros de Ú tais que

G.

=

~~

:::õ.,=',",v, ',

1>

{F} k ké.K a famÍlia de Ms Fk qualquer que seja k€ K. Denominamos de filtro gerado por M, e notaremos por M, ao filtro

Definição 1.4. Seja

0..=

<A, =,:=,,1\,V, ' , 1) uma álgebra Cu,~ e

R1

;i

w=

A. Diremos que M

é

absolu-tamente inconsistente see M

=

A e absolutamente consistente,, em caso contrário" Diremos ainda que

23

M

e inconsistente see existe aE

A tal que

a e a 1

pertencem a M, e .2.Q!!Sist~te em caso contrário.

Morfismos de álgebra Cw.

Definição 1.5. Consideremos as álgebras Cw

G..=<A,

=,~,/\,V,',

C>

e

f3=<B,

::::,:=~,/\,V,',

I>,

e seja f uma aplicação de A em B • Diremos que f

é

um morfismo ou um homomorfismo de

a

em

-B

see f pr! serva a estrutura de

G..,

i.e., se sao satisfeitas as

seguintes condições, para todo a, b

E:

A

a

=

b f(a) õ f(b) f(a ~ b) = f(a) t f(b), operações 1\ ,

V ,

::::>. f(a') = (f(all'

onde

r-

e uma das '

As noções de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo são definidas de modo usual.

Teorema 1.4. Seja f um morfismo da álge-bra Cw Ú.=<A,

=,=>,1\,V,

6 =- (B, =:, =>, 1\ , V 1 1 , l) Então, o conjunto r-l(F)ç A I> na álgebra Cw e

F

um filtro de

B .

é

um filtro de

a'

Demonstr·açào - Com efeito, _{a 11 a 2 ( r-1 (F)} see f(a

1), f(a2)

€

F see f(a1)/\f(a2) = f(a1/\ a2) EF see a

11\a2( f-1 (F). Por outro lado, se a

por-tanto, f(a

2)€F; logo, a2

€

f-1

(F), e fica completa a demonstração.

O teorema seguinte nos fornece algumas infor maçoes importantes referentes às álgebras Cv.~.

Consideremos o sistema

8::::<c,

:,=:~,I'\,

V, ',1) definido da seguinte maneira:

C= AUB, onde A ::::{ai: ifN}; B

={t

1: i6N} sendo N o conjunto dos inteiros positivos •

.;:;;<=CXC. tal que:

(a.,a.)E

;;;;

se e i~j,

1 J (a.,b.)E:

1 J

<

para

todo i ' j (b.,b.)E:

<

para todo _{i '} j

1 J

:=c;;;

ex c

tal que:

(x,ylE

~ se e

(x,y)E

.ç

e

(y ,xlE

>Ç /\: C>< C - C tal que:

1\(a.,a.) =1\(a.,a.) =a

1. see (a.,a.)E,~

1 J J 1 1 J

J\(a

1,bj) =/\(bj,ai) =ai para todo i, j , 1\(t.,b.) =·b. para todo i , j ;

1 J J

V:

ex

c~

c

tal que:

V(a. ₅a,) =V(a.,a.) =a. see

1 J J 1 1.

V(a. ~ b.) =V ( b. 9a.) == b. para

1 J J 1 J (a.,a.)f.:Ç J 1 todo i 1 j , V( b .. 1 b.) = b. para todo i, j ; 1 J J

:=l : C-" C --·--- C tal que:

~ (a.,a.) =aJ. see (a.,a.)€~ e i Í j ,

L J J L

;::>(a.,a.)=b. see (a.,a.)~~

l J J l. J

~ (a

1,bj) =--==>(bi,bj)

=

bj para todo i, j :::::::db.,a.) =a. para todo i, j ;

1 J J : C - C tal que ' (a . ) = 1 ' ( b.) o 1 para todo para todo i i 25

Nestas condições, pondo-se 1

=

b

1, vale o seguinte resultado:

Teorema 1.5. O sistema

8

acima descrito uma álgebra Cw ,

.

e

Notação - Escreveremos x õY em lugar de (x,y)€t' (resp. (j(x,y)) se

f

é

uma das relações (resp. operações binárias) acima definida. Escrevere mos, também, x' para designar a imagem do elemento x pelo operador

Demonstraçào do Teorema 1.5. - O leitor po-derá constatar, por meio de uma verificação imediata, que~

é

uma quase-ordem (i.e., reflexiva e transiti-va) e que as operações 1\ , V satisfazem as seguintes

condições:

i) x,,.,y.:;.x e x/\y~y.

iii) XV Y-;;, X e XV Y-:;;.Y,

i v) z:;;..x e

z,y

~

z

;;>-X V y,

quaisquer que sejam x, y

E

c • Assim,

<c,

_'=-,"

,v>

e um reticulado na acepçao de Curry. (ver

[2] ) .

Vejamos que as condições seguintes também sao verificadas, para todo x,y,z C:

v) x.A(x:ly),f';.y,

vi) X/\ z~y=='l> Z-.fX-::Jy.

Com efeito, seja x =a.

1 e y =a.; _J tem-se, então,

dois casos a considerar: (ver o gráfico de na Fig. ( 2) ) •

lQ) a.:G a. e

i h

(i.

e.'

a.< ai);

J 1 _J

20) a.~ a ..

1 _J

No primeiro caso, a.::>a.=a .•

l. J J Logo,

a. A

'

(a. ;>a.) 1 J

a . A a . = a .•

' J J

Portanto, vale a propri~

dade v .

Por outro lado, se ai11z = a

1Abk

=

a1. Assim, portanto, vi) verdadeira. -se que ou a₁ k ak.

vem Portanto,

sendo ver da de ira. Se,

z = b k tem-se a 1/\z.Saj Se, agora, e falsa, e, z = ak, tem-No caso de ser ak .<f a 1 , aiA z~aj--9

zs

a 1:oaj, porem1 que a,/1.

'

falso e ak ~ a 1 e, por conseguinte, vi) verdadeirao e No segundo caso, (a : J a . ) -1 J a_ l A b. J

=

Logo, a.::::> a ::: b. o ' J J e vale v) o

27

Notando--se que z~ bj = ai?aj qualquer que seja z ,

vem que

vi)

e também válida.

X = b,. 1 Suponhamos, Neste caso, agora, que X ?y = b. J y = b., e J x =a. ou 1

e, pela mesma razao do caso anterior, valem v) e vi).

Finalmente, se X = b. J e b .?a.

=

e J 1 assim v) . Como plica z~b.?a. J 1 bjA (bjJa 1) z = b.Az, J ;::: b . " J vem que =a. 1 ou seja, vale

1 y = a. 1 vem que = ai valendo b.Az~a. im-J 1 vi).

Dês te modo, podemos concluir que

~~

o;,==>'"

,v>

acepção de Curry.

e um reticulado implicativo na O leitor poderá completar fàcilme~ te a demonstração, observando que valem ainda as con-dições seguintes:

vi i) viii)

xvx'-1~

x"

~

x

1

quaisquer que seja x~C.

o

I

Fig. (2) a

Corolário 1. O operador ! de uma álgebra Cw

nao

é,

em geral, monótono relativamente a

=·

Demonstração - Considere-se os elementos b 1 e _b2 da álgebra

e

.

É imediato que b

1 '= b2 e

b'

=

_"l

l

t

bl

=

b2·

Corolário

2. Uma álgebra possui primei:r\w .el,emed·o-~

Cw, em geral, na o

-il)e:nronstraçã.o -

t1hvia.

~Prmr

exermplo, a álge

bra

f! . )

Corolário 3. O teorema dos ultra-filtros

(11dual" do Teorema 1.3.) não

é

válido, em geral, para

álgebras C...;.

Demonstração - Com efeito, em

e

nao existe ultrafiltros (prÓprios).

Corolário 4. Em uma álgebra C na o vale, em geral, a lei de Peirce. (I.e., não se tem, em geralj que (x::>y)~x,:Çx.)

Demonstração - Basta notar que em

/1

tem-se

O resultado seguinte nos mostra que muito em bora seja falso o teorema dos ultrafiltros para as ál gebras C~.o,~ ~ podemos sempre imergir uma álgebra C..;

a

, em uma outra₉

G.

'

~ na qual vaie o referido teore ma,_

29

Teorema 1.6. TÔda álgebra Cw,

O. ,

pode ser imersa em urna álgebra Cw,

G. ,

possuirtdo primeiro ele menta,

Demonstração- Seja O.=<A, =:,::;~,v,A, ', 1> uma álgebra Cw. Se

O.

possui primeiro elemento, o teorema

é

trivial. (Basta tomar

d..

=

G. • )

Suponha-mos, pois, que não possui primeiro elemento e consi deremos dois elementos

?

_e

_o

1 nao pertencentes a

A.

Notemos por

Ó.

""<J,

de Á= AU {010₁ } e

=,

::>,

Â,

v,

as relações

1>

o sistema on-~, -;; , Â,

V,

i sao definidas da seguinte forma:

(1) e a equivalência que se obtém de

acresceu-(2) ( 3) (4) (5) tando-se

à

classe 1 = { to

o

1 e considerando-se ma nova classe. aE:.A: a

=

1} o o conjunto

{O}

.

o o o ? , / I , V,

'

coincidem com

-::;}' 1\ '

v •

'

rAa

~ a A0

1 ~ a ~ Ova=avo

para

todo 0

1 V a ~

a vo

1 ~ 01 para todo at:Á _o OAa ~ a _1\ O ~

o

para todo a€A

r

? a

~ 1 para todo aCA

a ?O ~ a para todo a E. AU _{{ oJ}

l""

01

1 _para todo a[..Á

o

1 ~a ~ a para todo a<Av{o}

Jo;

~ 01

to'

1 =

o{

~ o elemen-como u

em

A o o a~A

.

Mostremos que o sistema ()..

é

uma álgebra C"-" Para tanto devemos provar que:

l)

é

uma relação de equivalência

2) y A X

.

e X V y y V X

.

e

5) x~(x:)y)~y (onde a~b significa a· a.Áb)

.

6) x/\z~Y===P z~X':)y

.

. .

7)

x

V

x'

=

l

.

8) X 1 1 ~X

.

quaisquer que .sejam x,y,z f. A. É claro que nos res-tringimos ao caso em que um dos elementos x,y,z pe~ tence a

{o,o

1

t

devido

à

condição (2),

1 e 2 são consequências imediatas das

defi-.

nições de e A

.

respectivamente.

3) Com efeito, se x= O, x;\ (yVx) =

= ÜA (yyO) = OAy- 0 = X. Se por outro lado, y = Q

vem que xÁ(y.,jx) =

x/do../x)

=

X /1. X :::: X, Suponha-mos 1 agora x = 0

1, Neste caso xÁ (y

V

x) =

= 0

1

Á

(yY,01) = 01,.\ 01 = o1 = x. Finalmente, se y=Ol' tem-se x--Z(y\/x) = xÃCo

1 Vx)

=

xJ\01 = x.

11_Dualmente11

, xV (yAx) ':? x" Logo1 vale 3o

4)

E

clar·o que se um dos elementos x9y ou z

31

O leitor poderá observar que se tem, também,

xÁ (yi.z) ~ (xÃy)Âz na hipÓtese de ser um dos ele mentos x,y ou z igual a

o

1, Além disto, que 11 dual-mente11 xV(yVz)

é

(xVy)\íz.

.

5

e

6)

Com efeito,

se x=O e yéA

.

O :!f y.

Além disto,

.

. .

z~l qualquer que seja zé.A. Logo, xAz = Ollz~y

implica z ~ 1 = x ~ y. Suponhamos, agora, que y =O e x€.Au{o

1}. Neste caso, xÁ(x;y) = xÃ(x;O)

=

.

.

= X/\Ü = O~x" Por outro lado, se .x/\z~OJ vem que z6x e, por conseguinte, z = x!\z~O = x?O. Seja, agora1 y = O e x E. A, Então,

. 1 . . =X;\ (x~0

₁

) = XA l = x,:f0

1. Além disto, z~0

1

para todo z€Á. Portanto, xÁz~0

1

~ z~x;y = 0

1. Finalmente, se x=0

1 e

ytAV {o},

vem que

xÂ(x~y)

=

o

1

~(0

1

.;y)

=' o

1Ây = y . • Com.o

z=0

1

~z

para todo z&.A, segue-se que z = 0

1A z~y implica

O leitor com uma simples observação poderá concluir que valem, ainda, as propriedades 7 e 8, com pletando a demonstraçá:o.

,!?efiniçâo L6o Seja

Ó..

"'(Â,

~.;,

Â

1

V,;,

i>

uma álgebra Cw. Denominamos de reticulado (irnplic~. tiv~) associado a (À. , a todo reticulado imp.licativo

isomorfo a_ álgebra quociente de <A,

:o,?

,A, V,

~

pela equival~ncia = •

Teorema 1.7. Todo reticulado associado a uma álgebra CIOJ 1

0..=

<A, :::, :;:p 1 1\ 1 v,

1

, 1> ,

é

uma

álgebra de Heyting ou um filtro maximal de uma álge-bra de Heyting, caso exista ou não em

elel)'lento.

um primeiro

Demonstração

Se existe em

~um primeiro

elemento~ a proposição

é

trivialmente verdadeira. Se, por outro, Q. não possui primeiro elemento, considere-mos então, a álgebra

ci

definida no teorema 1.6. (an terior). Pode-se ver, sem dificuldade, que

é

uma álgebra de Heyting e que todo reticulado associado a

O..

é

isomorfo ao fil-tro maximal de

Ó.

I=

consti tu:ldo por

(á..

I=)-

{o} .

Teorema 1.8. TÔda álgebra Cw

é

associada a uma álgebra de Heyting de conjuntos abertos de um es-paço topolÓgico ou a um filtro maximal de uma tal ál-gebra.

Demonstração~ Consequência do Teorema 1.7. e do fato de que tÔda álgebra de Heyting

é

isomorfa a uma álgebra de Heyting de conjuntos abertos.

33

AplicaçÕes ao Cálculo CvJ

Consideremos o sistema

I

C..;

I

=

<1 ...

}1

~~?

, A '

v~

o conjunto das fÓrmulas do cálculo

_C.J

onde:

1vJ

é

a :;;; b see _{~w a?b} definidas de

e ~...J b ~a , as operaçoes :J

A, V, _{1 = Pr-:7Pl•}

claro, então, que

I

Cw

I

é

uma álgebra CvJ e modo usual e

a E. {xe

1w:

x:;

1}

see se e a . É

Teorema 1. 9, Seja a €

"J...;.

As condições são equivalentes:

seguintes

(i) Para tÔda álgebra Cw, 0 , ~ a .

(ii) ~ a.

"'

Demonstração Claro, pois em

= (B, :;_,-=>, A, V, ' , lB) valem "todos os axiomas do cálculo C e a classe 1

8 ::= { b

~B

: b

~

IB}

é

fecha da para a regra de modus ponens" Por outro lado, se

rfc-w

a , então,

a~

l , e portanto

f:{c...,l

a ,

Teorema 1.10.

IC...JI

é

a álgebra livre gera-da pelo conjunto Pw (das fÓrmulas atÔmicas do cálcu-lo C..J) na categoria onde os objetos são as álgebras

Cw e as flechas os morf1.smos de álgebra C...J.

Oemonstraçüo, Com efeito, seja

a.ú,

:=,:;:~,A 1 V, '

_'

1) uma álgebra

c'",

Se

definida por:

l) h(p) = f(p) para todo p f. P₀

2) h(a•) = (h(a))'

3) h(a ~ b) = h(a) ~ h(b) onde ~representa uma das operaçoes :::J , A , v , então o seguinte diagrama

é

co

mutativo:

A

Mostremos que h

é

um morfismo de álgebra C Para tanto, se a, b €.

1..,J ,

escreveremos

a(p. , ••• ,p. ), b(p. , ••.

,p.)

para indicar que as

1₁ 1_{n J1 Jk}

fÓrmulas atômicas p. , ••• ,p. e p. , .•• ,p. sap as

1₁ 1_{n J1 Jk}

componentes de a e b respectivamente.

Suponhamos,

então,

que a

-

b. Assim,

I Cw a J b e

>-c.,

b ? a e, portanto,

"ir

a""b e

'G

b-::::>a.

Em

particular, h(a)Jh(b) = a(h(p, ), . . . ,h(p. )) ? b(h(p. ), •.• , 1 1 1n Jl . . . . h(p, )) " l "b(h(p. ), . . . ,h(p. ));:;> ' Jk J 1 Jk

a(h(pi ), . . . ,h(pi )) = h(b)?h(a).

Logo, h(a) ~ h(b) e h(b)~ h(a), ou seja, h(a) : h(b).

35

A unicidade de h decorre trivialmente da prÓpria definição de h

Teorema 1.11. A lei de Peirce,

( {a':J b) J a) ::>a) ,

na o

é

teorema do cálculo C"".

Demonstração - Considerem-se os elementos a

1, a2 G..C (da álgebra

fJ ,

p. tão, que:

). ~imediato,

en-Teorema 1.12. Não existe uma fÓrmula

a

t.1w

tal que

~w'

a?b qualquer que seja b G:

fw.

Demonstração - Se tal fÓrmula existisse, a álgebra

f2

(p. teria primeiro elemento.

Teorema 1.13. Para tÔda fÓrmula a [

1w

tem-se que "la na o e teorema do cálculo

cw.

Demonstração

-0-=<A,

:.=,?,/\,v,

1

,17

e as relações ~, :> , A,

v

(ver Fig.(3)):

b

-

al

-l

bi ~ b. _J para todo Consideremos , onde A = a álgebra

{a

₁} U \bi} definidas como i ' j CuJ HN segue

A

v

t/l(a1,bi) 1\(bi,bi)

{v

(a₁ ,a₁) V(a 1,bi) a' ~ b1 1 b' ~ "1 1 bi_+l ~ ~ _1\(bi,al) ~ b. para J ~ "1 ~ _V(bi,al) ~ b1

=:>!a. ..

,li>

.J

• J

-=

a par·a l ~ _1\(al,al) ~ "1 para todo i, j ~ _V(bi,bj)

=

b. para J

i,j

para todo i, j i b, para i=l,2, •.. 1 {b1' b2'

''ó'

bn' . . . } Fig. (3) todo todo

Mostremos que dada uma fÓrmula a b.

1

w existe uma avaliaçâo v :

P w - -

A tal que

i

Com efeito, isto se verifica para as fÓrmu~ las atÔmicas (de comprimento zero), Vejamos que se

37

tal afirmativa

é

válida para as fÓrmulas de comprime~ to ..:::: n , então

é

válida também pâra as fÓrmulas de comprimento n+l.

Seja a

'!...;

de comprimento n+l. então, que a _{e de uma das seguintes formas:} '

1º) a=bAc 2Q) a"' bvc

3Q) a = b :> c

4Q) a = i h

Tem-se,

Como nossa afirmativa

é

válida para as fÓrmu las de comprimento off n , seja v(b) = v(c) = bk. É imediato, então, que v(a) = bk no primeiro, segundo e terceiro casos. Por outro lado, se v(b) ~ bk+l

então v(a) ::: v(jb) = bk .

demonstração.

Hiper-reticulados Cw .

Definição 2.1. Seja .(A,

-G-)

um sistema qu~ se ordenado (i. e., A

J

0

e ~ reflexiva e transitiva). Notaremos por a~ b o conjunto de todos os Ínfimos do par (a, b) 6- A xA, e por a 'V b o conjunto de to-dos os supremos do mesmo par. Dizemos que o sistema

<A,

:!f)

é

um

hiper-reticulado (abreviadamente h-re-ticulado) see .Ó. a b

1-

0

1-

a

'V

b para todo a,b GA.

Os h-reticulados podem ser caracterizados co

mo um sistema junto

A

ft

~

"P(A) -

{~}

'

<A,Ó., \] : ) , constituÍdo por um con e duas aplicações Ó e \] de A X A em satisfazendo as seguintes condições, quaisquer que sejam a,b,c EA

IH) aVb==b'Va1 H2) x !S a 'i/ b e y 6 b <:1 c ~ x V c "" a V y, H3) xfaAb~ a~aVx, Hl *) a A b

=

b 4 a, H2*) xéa.âb e yG.bAc~x/J.c=aAy, H3*) x t. a Vb ~ a €. a J).x (ver [10])

Com isto queremos dizer que se <A, il,

"'>

e um sistema satisfazendo as condiçOes Hl-·H3*, entào as seguintes afirmaçOes são verdadeiras:

40

lQ) aE.atl.b see béaVb para todo a,b6.A. 2Q) Definindo-se em A a relação a ~h see a E a 1l b, tem-se que ~

é

uma quaSe ordem e a b b

(resp. a V b) o conjunto dos Ínfimos (resp. supremos) dos elementos a,b GA.

Notação: Seja <A,

fi:>

um sistema quase ord~ nado, X, Y partes de A, e x €. A. Usaremos a expre~

sao X<:Y como abreviatura da seguinte sentença: "P!!-. r a todo xt:.X e

Y6Y

tem-se que X ~yl1 • No caso

de ser X =

{x}

'

escreveremos, simplesmente, X ~Y.

Faremos, também, uso da

notação

"dual" X~ Y.

Se o conjunto 1 = {a f A: fÔr na o vazio, então o denominaremos de Último elemento de (A, ~). "Dual mente", definimos o primeiro elemen-to O de

Definição 2.2. Um h-reticulado implicativo

(A' A

I

v

j t>

>

é

caçiiol> de AXA

um h-reticulado munido de uma apl! em

P

(A) -

{%}

1 satisfazendo as

seguirttes condiçÕes1 quaisquer que sejam a,b9c EA:

11) x bat> b - - 3 > a.Õx ~b

12) a.Dc~b ac~at> b

I 3) x€.at;>b e y

=.

x (onde y - x significa que X$ y e y~ x),

•

'

Definição 2.3.

Um h-reticulado Cw , e um h-reticulado <(A, A , V ,

t-o , '"/

provido de um oper~ dor ' · A~A, satisfazendo as condições seguintes:

a'Va'==l e a11_~

a,

qualquer que seja a € A.

Podemos traduzir convenientemente algumas das noções do CapÍtulo I, sÔbre reticulado (de Curry), para a linguagem dos hiper~reticulados, mantendo ain-da válidos os resultados demonstrados. Contudo, isto não será feito aqui. Limitaremos nosso estudo

à

aná-lise das relações que existem entre êste tipo de es-trutura e as álgebras C.j.

Comecemos por observar que se

Ú.::::<A,:,?,A,V,

1

_1>

_{e uma álgebra Cv, en}

tão notando-se por

a ' a classe dos elementos de equivalentes a a e definindo-se as aplicações ~

/l ,

V

como segue:

r>,A,V

AxA

f'

(A)

-

{~}

(a,b) ~ a 1\ b , (a,b) ~ a 1/ b ,

(a ₁ b)

---

a::>b ,

tem-se que o sistema

<A,

t::-,

A ,

V ,

e um

'

A

h· -·reticulado Cw A Tal h-reticulado C...., sera denotado

42

(A, t7,

/J.,

V,

1> , podemos (com o auxilio do axio ma da escolha) associar a êle uma álgebra Cw

1) , pondo-se:

1 Q) a

=

b se e a$ b e b ~a;

2Q) para cada par de objetos _a,b6A:

30) a~bE.at>b, aJ\bE.aâb, avb~a'9'b; o prÓprio operador ' 40) l e . l .

Desta forma podemos dizer, a grosso modo,que os h-reticulados Cw provêm das álgebras

C..v,

conside rando-se irrelevante a particular escolha do valor atribuÍdo ao elemento a OC b na classe

~

(on-de

ex

repr·esenta .1\ ,

v

ou ::;, ) . Isto nos parece, de certa forma, natural, uma vez que e precisamente esta

.

idéia que no caso do cálculo proposicional clássico nos leva a identificar as fórmulas de uma mesma elas se, quando passamos

à

álgebra quociente, Infel izmen·-te, o mesmo nao pode ser feito em nosso caso, devido

.

O estudo das álgebras Cw , apresentado no CapÍtulo I,

é

a nosso ver, ainda bastante incompleto, tanto como estudo algébrico destas estruturas em si, pois, por exemplo, a noção de sub-álgebra e suas rela çÕes com as imagens homomorfas nâo foram abordadas; bem como1 no que diz respeito às aplicações ao

cálcu-lo CIV. Seria interessante, por exemplo, obtermos u-ma álgebra C..; , O. 1 a qual nos fornecesse um método

efetivo de decidir se uma fÓrmula

é

ou não teorema do cálculo Cw,

No Capitulo 11, o caráter inicial do nosso estudo torna-se ainda mais visÍvel. Pr~ticamente ne-nhum resultado foi apresentado a respeito dos h-reti-cu lados Cu), É claro que, como dissemos, algumas das reaçoes e resulta dos concernentes às álgebras C

v,

e!. tendeu-se de modo Óbvio para a linguagem dos h··retic~ lados C....> • Contudo, o conceito de morfismo e os re-sultados que envolvem tal noção devem ser melhor estu dados. Se quisermos, por exemplo, obter um resultado análogo,ao

1lr1c.,1l

Teorema lo lO", para o h-reticulado CvJ mantendo a idéia subjacente ao conceito de

11_{li"Vre gerado", somos levados a introduzir' o confeito}

de hiper-categoria. Infelizmente, toào éste estudo esta alnda em fase de elaboraçio, o que nos 1.mpossib~ lita de os apresentar no momen"too

44

Finalmente, gostaríamos de concluir êste tra balho dizendo que ao nosso ver a teoria dos sistemas formais inconsistentes não se prende Unicamente a ' análise de certos tipos de paradoxos, mas, tem seu interêsse justificado devido principalmente aos se-guintes f a tos:

lº) De que o estudo dêstes sistemas nos

for-nece informações a respeito dos prÓprios sistemas for

mais consistentes.

2Q) De estarmos certos de que tais sistemas nos fornecem um nôvo enfoque

à

teoria dos "fuzzy sets'' e da "lÓgica dos conceitos imprecisos". (Cfr.

[7]

e

[13] .)

3Q) Da algebrização dos mesmos nos levar a consideração dos hiper-sistemas.

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