Reconstrução Geométrica
a Partir de Imagens
TIC-10.073
Reconstrução Geométrica
a Partir de Imagens
TIC-10.073
Professor Leandro Augusto Frata Fernandes
laffernandes@ic.uff.br
Professor Leandro Augusto Frata Fernandes
laffernandes@ic.uff.br
Material disponível em
http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2016.1/tic-10.073
Aulas 2 e 3
Conteúdo
Geometria Projetiva 2D
Tópicos da Aula
Tópicos da Aula
•
Espaço projetivo 2D
Pontos, retas e cônicas
Transformações e invariantes
Leituras
Hartley and Zissermann, 2nd ed., 2004, Seções 2.1 a 2.4
Espaço Projetivo 2D
Espaço Projetivo 2D
Geometria Projetiva 2D
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 3
Espaço Euclidiano e Espaço Projetivo 2D
Espaço Euclidiano e Espaço Projetivo 2D
ℙ
≡
Representação Homogênea
Representação Euclidiana
Pontos Finitos e Direções
Pontos Finitos e Direções
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 5
x
u
x
u
Representação Homogênea
Representação Euclidiana
x , ,
, para
0
u , , 0
x /, /
u ,
Retas
Retas
l
l
Representação Homogênea
Representação Euclidiana
l , ,
0
x
l 0
l , ,
Produto Vetorial
Produto Vetorial
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u
v
k
u v
u
v
k u v
u v
Reta Comum a Dois Pontos
Reta Comum a Dois Pontos
l
x
x′
l
Válido apenas em
ℙ
.
Intersecção de Retas
Intersecção de Retas
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l
Válido apenas em
ℙ
.
l′
x
x
Dualidade entre Pontos e Retas
Dualidade entre Pontos e Retas
•
Princípio da dualidade
Para qualquer teorema de geometria projetiva 2D há um
teorema dual que pode ser derivado pela troca de papéis
de linhas e pontos no teorema original.
x
l 0
x
x l l’
Cônicas
Cônicas
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Hipérbole
Elipse
Parábola
Cônicas não degeneradas.
" ∞
Cônicas
Cônicas
•
Curvas descritas no plano pela equação
$ " % 0
onde
x , , 1
é um ponto sobre a curva
•
Forma homogênea
$ " %
0
•
Forma matricial
'
/2
/2 $/2
"/2
$/2 "/2
%
x
' x 0
Cinco Pontos Definem uma Cônica
Cinco Pontos Definem uma Cônica
•
Para cada ponto contigo na cônica temos
)
)
)
)
$
)
"
)
% 0
ou
)
,
)
)
,
)
,
)
,
)
, 1 c 0
para
c , , , $, ", %
que leva ao sistema de equações
1
1
1
+
+
+
+
+
+
1
,
,
,
,
,
,
1
c 0
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 13
Retas Tangentes a Cônicas
Retas Tangentes a Cônicas
•
A reta
l é tangente a cônica ' no ponto x
pertencente à
' é dada por
l ' x
l
x
Cônicas Duais
Cônicas Duais
•
Uma linha tangente a cônica
' satisfaz
l
'
∗
l 0
•
Para matriz simétrica não-singular
'
∗
'
.
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 15
Cônicas Degeneradas
Cônicas Degeneradas
•
A cônica é degenerada se a matriz
' não tem
posto completo
Par de linhas l e m (posto 2)
' l m
m l
Linhas repetidas (posto 1)
' l l
l
l
m
Transformações e Invariantes
Transformações e Invariantes
Geometria Projetiva 2D
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 17
Transformação Projetiva
Transformação Projetiva
•
Transformação projetiva é um mapeamento
0 ∶ ℙ
→ ℙ
que pode ser representada por uma matriz
3 não-singular e
3 3, de tal modo que para qualquer
ponto em
ℙ
representado por um vetor
x
0 x 3 x
Transformação de Pontos
Transformação de Pontos
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 19
x
5
3 x
3
0
0
,
,
0
0
,
,
0
0
,
,
0
,
0
,
0
,
3 possui _____ graus de liberdade.
Mapeamento entre Planos
Exemplo de Projeção Central
Mapeamento entre Planos
Exemplo de Projeção Central
Remoção de Distorção Projetiva
Remoção de Distorção Projetiva
•
Manipule
x
5
3 x algebricamente para cada um dos quatro
pares de pontos nas imagens e normalize
6
5
para obter
′=1.
•
As oito equações obtidas formam um sistema sobre os
coeficientes de
3. Resolva o sistema.
•
Aplique
3
.
sobre cada ponto da imagem sem distorção para
amostrar a imagem com distorção.
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 21
C
o
m
d
is
to
rç
ã
o
S
e
m
d
is
to
rç
ã
o
Calibração desnecessária.
Transformação de Retas e Cônicas
Transformação de Retas e Cônicas
•
Transformação de pontos
•
Transformação de retas
•
Transformação de cônicas
•
Transformação de cônicas duais
x
5
3 x
l
5
'
5
'
5∗
Hierarquia de Transformações
Isometrias / Corpo Rígido / Euclidiana
Hierarquia de Transformações
Isometrias / Corpo Rígido / Euclidiana
•
Preserva distâncias, ângulos e áreas
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 23
Translação
Identidade
Rotação
Isometrias
Hierarquia de Transformações
Similaridades
Hierarquia de Transformações
Similaridades
•
Preserva razões entre distâncias,
razões entre áreas, ângulos e
linhas paralelas
Similaridades
Escala Isotrópica
Translação
Identidade
Rotação
Isometrias
Hierarquia de Transformações
Transformações Afins
Hierarquia de Transformações
Transformações Afins
•
Preserva paralelismo, razões entre
distâncias paralelas e entre áreas
TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 25
Escala não-Isotrópica
Reflexão
Cisalhamento
Afins
Escala Isotrópica
Translação
Identidade
Rotação
Isometrias
Similaridades
Hierarquia de Transformações
Transformações Projetivas
Hierarquia de Transformações
Transformações Projetivas
•
Preserva retas e razão anarmônica
de quatro pontos em uma reta
Projetivas
Perspectiva
Escala não-Isotrópica
Reflexão
Cisalhamento
Afins
Escala Isotrópica
Translação
Identidade
Rotação
Isometrias
Similaridades
Representação Matricial
das Transformações
Representação Matricial
das Transformações
•
Isometria
3 dof
•
Similaridade
4 dof
•
Afim
6 dof
•
Projetiva
8 dof
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, ,