Contribuição para o Estudo de
Não-Linearidades em Fibras Ópticas
Monomodo
Marcelo Luís Francisco Abbade
Orientador: Prof. Dr. Edson Moschim
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Departamento de Telemática
Laboratório de Tecnologia Fotônica
Tese Apresentada à FEEC da UNICAMP, como parte dos
requisitos exigidos para a obtenção do título de
Doutor em Engenharia Elétrica
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Edson Moschim (FEEC- UNICAMP)
Prof. Dr. Mário Hugo Zamorano Lucero (Universidad de Tarapacá- Chile)
Dr. Felipe Rudge Barbosa (Fundação CPqD)
Prof. Dr. Eric Alberto de Mello Fagotto (PUC- Campinas)
Prof. Dr. Hugo Enrique Hernandéz Figueroa (FEEC- UNICAMP)
Prof. Dr. Luiz Carlos Kretly (FEEC- UNICAMP)
R
ESUMO
O objetivo deste trabalho é a implementação de um método numérico eficiente que viabilize o estudo de efeitos não-lineares em fibras ópticas mono-modo, no software
PC-Simfo. O método de Split-Step Fourier, escolhido para este propósito, é bastante utilizado
para a solução da Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger e está bem descrito na literatura. Entretanto ele recebe algumas críticas quanto à sua justificação física e quanto à escolha de um parâmetro, o passo longitudinal, do qual depende a precisão de seus resultados. Nós elaboramos critérios de validação que implicam a existência de passos mínimo e máximo, a partir dos quais podem ser inferidos os limites de validade física do método e um valor-guia de passo, útil para usuários com pouca experiência em simulações de não-linearidades em fibras. O algoritmo implementado foi extensivamente confrontado com resultados da literatura, com os quais sempre mostrou uma excelente concordância.
Como uma aplicação de nossa implementação numérica, nós apresentamos resultados de simulações do PC-Simfo que sugerem que o fenômeno de Mistura de Quatro Ondas pode ser utilizado para multiplexar opticamente dois canais. Esta multiplexação requer que a potência do bit 0 seja deslocada para um valor não-nulo. A co-propagação de canais com codificação OOK modificada por fibras Altamente Não-Lineares gera, através da Mistura de Quatro Ondas, sinais com codificação ASK-4- que duplicam a taxa de transmissão dos canais originais. A utilização de esquemas de codificação que, como o prosposto, melhorem a eficiência espectral está em acordo com esforços recentemente relatados na literatura.
A
BSTRACT
The objective of this work is to implement an efficient numerical method that permits PC-Simfo to be a useful software for studying nonlinear effects in single mode optical fibers. The Split-Step Fourier method, chosen for this purpose, is very utilized for solving the Generalized Nonlinear Schrödinger Equation and is well described in literature. However, there is some criticism about its physical justification and around the choice of a parameter, the longitudinal step, on which the precision of the method strongly depends. We elaborate some criteria that imply the existence of a minimum and a maximum step size, which may be utilized to establish physical validity boundaries for the method and to estimate a secure step-size for users with low-experience in optical communication simulations. Algorithm has been extensively tested and confronted with literature results, always exhibiting an excellent agreement to these.
As an application of this numerical implementation, we present simulation results that suggest that Four Wave Mixing can be used for optical multiplexing. This multiplexing demands that bit 0 optical power to be shifted to a non-zero value. Modified OOK codification channels co-propagating through a Highly Nonlinear Fiber will generate, through Four Wave Mixing, signals with ASK-4 codification- that duplicate original bit rate. The utilization of different codes that, as proposed here, increase spectral efficiency is in full agreement with recent efforts reported in literature.
Dedico esta Tese
Aos meus pais, Pedrina e Pedro, Aos meus Avós, Deolinda, Hercílio,
Nenê (in memorian) e Albino (in memorian) e, Principalmente, à minha esposa Regina e Ao meu filhinho Eric.
A
GRADECIMENTOS
Este Doutorado foi realizado no Laboratório de Tecnologia Fotônica (LTF), do Departamento de Telemática (DT) da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação-UNICAMP. Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Edson Moschim, não só pela orientação mas também pela compreensão nos momentos em que atravessei algumas dificuldades dentro e fora do trabalho. Também agradeço aos colegas de estudo do LTF, que se tornaram grandes amigos. Entre eles, merecem destaque Sandro M. Rossi, pelas inúmeras e valiosas discussões a respeito de meu trabalho e por ter, atenciosamente, me ensinado a programar usando a Linguagem C; Luiz C. Kakimoto, pela paciência ao me ajudar na implementação das rotinas gráficas para as fibras não-lineares; e Iguatemi E. Fonseca, por sua ajuda fundamental nas fases de implementação e testes iniciais do algoritmo de
Split-Step Fourier e, também, pelas frutíferas discussões sobre aplicações de efeitos não-lineares
que, ainda hoje, mantemos.
Meus agradecimentos especiais ao Prof. Dr. Eric Alberto de Mello Fagotto por ter promovido minha vinda para o LTF (permitindo que eu entrasse em contato com o fascinante estudo das não-linearidades em fibras) e ao Dr. Felipe Rudge Barbosa, pesquisador do CPqD, pelas inúmeras horas de discussão acerca da conclusão deste trabalho.
Agradeço ainda ao CNPq pelo suporte financeiro a este trabalho.
Durante estes anos de doutorado, muitas pessoas mantiveram contato comigo, dentro e fora do meu ambiente de trabalho. A elas, também, deixo meus agradecimentos:
À Janete S. Domenico, pela revisão ortográfica e gramatical deste texto. Aos alunos do DT: Fabiano, Marina, Mateus, Raulison, Veloso e Zeev.
Aos meus grandes amigos da Física: André, Carlos, Ebenézer, Eduardo Guéron, Emílio, Manoel, Harry, Rafael e Ximenes; e a todos amigos da UFSCar.
Aos amigos de outros cursos: Flávio, Cássia e Ricardo.
Aos amigos de Paulínia: Alan, Daniel, Maria Helena, Odirlei, Thiago, Wilza e ao Sr. Leal.
Aos meus inestimáveis amigos: Marcelo A. M. E. Santo e Marcelo Zanotello. Ao meu inesquecível cão Pacato (in memorian). Valeu, amigão!
A meus parentes. Sobretudo a meus avós: Deolinda, Hercílio, Nenê (in memorian) e Albino (in memorian), que sempre incentivaram meus estudos, e a meus sogros Apparecida e Antônio pela enorme ajuda nos últimos anos.
A meus pais: Pedrina e Pedro, por terem me dado todas as condições para que eu estudasse e, principalmente, pela ajuda nos momentos difíceis da minha vida.
E, principalmente, à minha esposa Regina e a meu filhinho Eric, a quem muito amo, pela compreensão de minha ausência durante os períodos de produção deste trabalho.
S
UMÁRIO
Página
Resumo i Abstract ii Dedicatória iii Agradecimentos iv Sumário viLista de Figuras viii
Lista de Tabelas xiv
Tabela de Acrônimos xv
1- INTRODUÇÃO 1
1.1 Introdução Histórica e Evolução Sistêmica 1
1.2 Proposta da Pesquisa 7
1.3 Organização do Trabalho 10
2- PROPAGAÇÃO DE PULSOS POR FIBRAS ÓPTICAS 13
2.1 Equação de Propagação em uma Fibra Óptica Monomodo Não-Linear 13
2.1.1 Equação Não-Linear de Schrödinger (ENLS) 17
2.1.2 Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger (ENLGS) 23
2.2 Descrição dos Efeitos Previstos pela ENLGS 27
2.2.1 Propagação de um Único Canal 28
2.2.2 Propagação de Múltiplos Canais (Sistemas WDM) 38
3- MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUÇÃO DA ENLGS 51
3.1 Método de Split-Step Fourier 51
3.1.1 Split-Step Fourier 51
3.1.2 Variantes do Split-Step Fourier 54
3.2 Métodos de Diferenças Finitas 66
3.3 Método da Colocação 67
3.4 Justificativas para Escolha do Método 71
4- IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE SPLIT-STEP FOURIER NO PC-SIMFO
73
4.1 Implementação do Método de Split-Step Fourier no PC-Simfo 73
4.1.1 Parâmetros de Entrada e Opções de Cálculo 74
4.1.2 Modelos de Dispersão e Valores-Padrão das Fibras Não-Lineares 80
4.1.3 Algoritmos de Implementação do Método de Split-Step Fourier no PC-Simfo
82
4.2 Testes com o Modelo Implementado 92
5- MULTIPLEXAÇÃO ÓPTICA DE CANAIS ATRAVÉS DA FWM 107
5.1 Princípios Teóricos 107
5.2 Detecção dos Sinais ASK-4 Ópticos 110 5.3 Geração de Canais ASK-4 através da Mistura de Quatro Ondas 113
5.3.1 Eficiência do Processo de Mistura de Quatro Ondas 114
5.3.2 Condições de Otimização para Multiplexação Óptica de Canais através da FWM.
116
5.3.3 Dispositivo Multiplexador a Fibra 117 5.4 Otimização da Detecção e Transmissão de Sinais ASK-4 Ópticos 123 5.5 Vantagens, Restrições e Possíveis Aplicações para a Multiplexação
Óptica através da Mistura de Quatro Ondas
130
6- CONCLUSÕES 137
Publicações e Apresentações em Conferências Durante o Doutorado 141
REFERÊNCIAS 143
L
ISTA DE
F
IGURAS
Figura
Legenda
Página
3.1.1 Linearidades e Não-Linearidades atuando independentemete em simplificação adotada pelo Método de Split- Step Fourier.
53
3.1.2 Não-Linearidades atuando na metade de cada segmento, no Método de Split- Step Fourier simetrizado.
55
3.1.3 Método de Split- Step Fourier simetrizado, com processo iterativo para considerar a dependência dos efeitos não-lineares com a distância.
56
3.1.4 Comparação entre os tempos computacionais do Método de Split-Step Fourier simetrizado para os casos em que a dependência dos efeitos não-lineares com a distância é ou não considerada.
57
3.1.5 Método de Split- Step Fourier simetrizado com passo variável.. 60
4.1.1 Camadas de Funcionalidades dos Programas para Propagação dos Efeitos Não-Lineares
83
4.1.2 Fluxograma da Execução dos Programas para Propagação dos Efeitos Não-Lineares.
84
4.1.3 Fluxograma Ilustrando a Classificação das Simulações. 85
4.1.4 Fluxograma Esquematizando o Procedimento de Cálculo Adotado no Caso de Simulações de Efeitos Lineares.
86
4.1.5 Fluxograma Esquematizando o Procedimento de Cálculo Adotado no Caso de Simulações de Efeitos Não-Lineares, sem atenuação, da Classe 2 (ENLS) ou 3 (ENLGS).
87
4.1.6 Fluxograma Esquematizando o Procedimento de Cálculo Adotado no Caso de Simulações de Efeitos Não-Lineares, sem atenuação, da Classe 2 (ENLS) ou 3 (ENLGS).
89
4.1.7 Fluxograma Esquematizando o Procedimento de Cálculo Adotado no Caso de Máxima Precisão Relativa do SSF.
Figura
Legenda
Página
4.2.1 Simulações para a propagação de pulsos gaussianos, sob regime de dispersão de primeira ordem. As distâncias de propagação são
D L z=2 e z=4LD e T0 =100 ps, α =0dB /km e ( ) 1 . 0 − = Wkm γ . (a) Fibra STD: nm c =1550 λ , D(1312nm)=0ps/(nm.km) e
(
nm)
ps(
nmkm)
D1550 =17 / . . (b) Fibra DS: λc =1553nm,(
nm)
ps(
nmkm)
D1550 =0 / . e D(
1553nm)
=0,2 ps/(
nm.km)
. 934.2.2 Simulações para a propagação de pulsos gaussianos, sob regimes de dispersão de primeira e segundas ordens. A distância de propagação é z =5LD´ e T0 =10 ps, α =0dB /km e ( ) 1 . 0 − = Wkm γ .
O comprimento de onda da portadora é escolhido para que
( )
02 λc =
β ou que β3
( )
λc =T0 β2( )
λc . (a) Fibra STD: ( nm) ps (nmkm)D1312 =0 / . e D
(
1550nm)
=17 ps/(
nm.km)
; (b) Fibra DS:(
nm)
ps(
nmkm)
D1550 =0 / . e D
(
1553nm)
=0,2 ps/(
nm.km)
; (c)Simulações de [23]; (d) Fibra STD com algoritmo modificado para tornar β2 e β3 independentes do comprimento de onda.
94
4.2.3 Simulações para a propagação de pulsos gaussianos, sob regime de dispersão de primeira ordem. As distâncias de propagação são
D L z=2 e z =4LD e T0 =100 ps, α =0dB /km e ( ) 1 . 0 − = Wkm γ . (a) Fibra STD: nm c =1550 λ , D(1312nm)=0ps/(nm.km) e
(
nm)
ps(
nmkm)
D1550 =17 / . . (b) Fibra DS: λc =1553nm,(
nm)
ps(
nmkm)
D1550 =0 / . e D(
1553nm)
=0,2ps/(
nm.km)
. (a) FibraSTD, regime de dispersão anômala: (b) Fibra STD, regime de dispersão normal: (c) Fibra DS, regime de dispersão anômala: (d) Fibra DS, regime de dispersão normal: (e) Fibra DS, regime de
Figura
Legenda
Página
4.2.4 Simulações para a propagação de pulsos secante hiperbólica, sob regime de dispersão (a) anômala e (b) normal
98
4.2.5 Self-Steepening atuando durante a propagação de pulso gaussiano 100
4.2.6 Auto-Desvio de Freqüência Induzindo o Decaímento de Sólitons de Segunda Ordem
100
4.2.7 Seqüências de bits propagadas em 2 canais (a) e (b) e XPM observada no primeiro canal quando: (c) ∆λ =0,2nm e (d)
nm 4 , 0 = ∆λ 101
4.2.8 Comparação entre o Espectro do Ganho da Instabilidade Modulacional Previsto pela Equação (2.2.25b) e o Resultante de Simulações no PC-Simfo.
102
4.2.9 Espectros Resultantes da FWM entre dois canais em
nm
8 , 1549
1 =
λ e , para fibras: STD (a), DS (b), LS (c), TW (d), HNL1 (e) e HNL2 (f).
103
4.2.10 Fator de correlação entre as potências obtiddas em simulações com uma fase não-linear típica e em simulações com a fase não-linear mínima. Os demais parâmetros utilizados nas simulações são os mesmos indicados na Figura 4.2.2, com a exceção que o parâmetro não-linear é alterado para
1 1 4 − − = W km γ . 105
5.1.1 (a) Canais Geradores Com Modulação OOK Deslocada, f1 e f2, Gerando Canais de Codificação ASK-4 em fl .(b) Dibits associados
à Multiplexação Óptica
108
5.2.1 (a) Circuito de Decisão responsável pela recuperação dos Tributários Binários. (b) Limiares de tensão para recuperação dos tributários binários.
111
5.3.1 Eficiência, η, da Mistura de Quatro Ondas em função do Espaçamento, ∆λ, entre os Canais Geradores.
Figura
Legenda
Página
5.3.2 Potência do Canal Gerado, em fl= 2f2- f1, pela Mistura de Quatro
Ondas, Normalizada com Relação a Potência dos Canais Geradores, em função do Comprimento da Fibra.
115
5.3.3 Tela do PC-Simfo com dispositivos para simulação do dispositivo de simulação proposto. A tela também ilustra a propagação e a recepção do canal ASK-4 proposto.
118
5.3.4 Simulação Sugerindo (a) a Multiplexação Óptica de 2 Canais de 2,5 Gb/s-NRZ, com (b) Geração de um Canal ASK-4 de 5 Gb/s.
119
5.3.5 Simulação Sugerindo (a) a Multiplexação Óptica de 2 Canais de 10 Gb/s-NRZ, com (b) Geração de um Canal ASK-4 de 20 Gb/s.
120
5.3.6 Simulação Sugerindo (a) a Multiplexação Óptica de 2 Canais de 10 Gb/s-RZ, com (b) Geração de um Canal ASK-4 de 20 Gb/s.
121
5.3.7 Simulação Sugerindo (a) a Multiplexação Óptica de 2 Canais de 40 Gb/s-RZ, com (b) Geração de um Canal ASK-4 de 80 Gb/s.
122
5.3.8 Potência de Pico de um Sinal ASK-4, gerado a partir da Multiplexação Óptica de Canais com Codificação OOK, na Saída de uma Fibra Altamente Não-Linear.
123
5.4.1 Bits transmitidos (a) em fi= 193,4 THz e fj= 193,5 THz, com
potência de pico de 14, 4 mW e (b) Sinal ASK-4 Resultante da Multiplexação, com níveis de Potência Quase-otimizados para dominância do Ruído Térmico. Bits transmitidos (c) em fi= 193,4
THz e fj= 193,5 THz, com potência de pico de 144 mW e (d) Sinal
ASK-4 Resultantes da Multiplexação, com níveis de Potência Quase-otimizados para dominância do Ruído Térmico.
125
5.4.2 Bits transmitidos (a) em fi= 193,4 THz e fj= 193,5 THz, com
potência de pico de 36 mW e (b) Sinal ASK-4 Resultante da Multiplexação, com níveis de Potência Quase-otimizados para dominância do Ruído ASE. Bits transmitidos (c) em fi= 193,4 THz
Figura
Legenda
Página
5.4.2 ASK-4 Resultantes da Multiplexação, com níveis de Potência Quase-otimizados para dominância do Ruído ASE.
126
5.4.3 Geração de Dois Canais ASK e propagação por um Sistema WDM. 127
5.4.4 Diagrama de Olho Após Propagação de Sinal ASK-4 por Enlace WDM de 2 Canais, com 100 km de extensão: (a) Fibra DS,
nm 8 , 0 = ∆λ ; (b) Fibra DS, ∆λ =1,6nm; (c) Fibra TW, nm 8 , 0 = ∆λ ; (d) Fibra TW, ∆λ=1,6nm. 128
5.4.5 (a) Canais OOK utilizados para geração do Sinal ASK-4 (b) Canal ASK-4 propagado por 100kmde fibra DS, em sistema WDM com espaçamento entre canais de ∆f =100GHz. (c) Diagram de Olho do Sinal ASK-4 após amplificação em EDFA de 30dB de ganho de baixas potências e Potência de Saturação de 30mW.
129
A.1 Janela do PC-Simfo. Os componentes utilizados estão dispostos para simular um sistema WDM de 8 canais. A partir da esquerda, observamos os seguintes componentes: Gerador Elétrico NRZ/RZ, Driver Elétrico, Conversores Eletro-ópticos, Filtros Gaussianos, Acopladores 2x1, Atenuador Óptico, Fibra Não-Linear de Dispersão Deslocada, Atenuador Óptico, Filtro Gaussiano, Fotodiodo, Pré-Amplificador, Filtro de Butterworth. Também observamos alguns Analisadores Ópticos de Espectro (OSA) e blocos utilizados parasalvar em arquivo a saída de alguns componentes de interesse.
165
A.2 Janela do PC-Simfo. Os componentes utilizados estão dispostos para simular um sistema WDM de 8 canais. A partir da esquerda, observamos os seguintes componentes: Gerador Elétrico NRZ/RZ, Driver Elétrico, Conversores Eletro-ópticos, Filtros Gaussianos, Acopladores 2x1, Atenuador Óptico, Fibra Não-Linear de Dispersão Deslocada, Atenuador Óptico, Filtro Gaussiano,
Figura
Legenda
Página
A.2 Fotodiodo, Pré-Amplificador, Filtro de Butterworth. Também observamos alguns Analisadores Ópticos de Espectro (OSA) e blocos utilizados parasalvar em arquivo a saída de alguns componentes de interesse. Computacional em Situações Usuais.
170
A.3 (a) Simulação de Efeitos de Dispersão de Segunda Ordem, para fibras Standard e DS Cada fibra possui um comprimento diferente-componentes em azul- ilustrando a possibilidade de realização simultânes de vários experimentos, permitida pelo PC-Simfo. (b) Janela de Saída da Potência Óptica, obtida após a simulação do experimento. (c) Janela de Saída para Visualização do Chirp, obtida após a simulação do experimento. (d) Janela de Saída de Resultados, obtida após a simulação do experimento.
L
ISTA DE
T
ABELAS
Tabela
Título
Página
2.1.1 Considerações feitas para a dedução da Equação Não-Linear de Schrödinger e suas respectivas restrições de validade.
24
2.2.1 Resumo dos Efeitos de Propagação em Fibras Ópticas Monomodo. 50
3.1.1 Tempos computacionais do Método de Split-Step Fourier simetrizado: Efeitos não-lineares (a) dependentes da distância e (b) independentes da distância.
60
4.1.1 Parâmetros de Entrada e Opções de Cálculo para os Modelos das STD, DS, LS, True Wave, HNL1 e HNL2.
75
4.1.2 Atenuação, Coeficiente Não-Linear, Dispersões e Bandas de Validade para os Modelos das Fibras STD, DS, LS, True Wave, HNL1 e HNL2.
81
4.1.3 Classes de Simulação Utilizadas para Reduzir o Tempo Computacional em Situações Usuais.
85
5.2.1 Razão entre as Potências dos 4 Níveis Gerados pela Multiplexação Óptica, através da Mistura de Quatro Ondas.
112
A.1 Lista dos Componentes de simulação disponibilizados na Versão de Desenvolvimento do PC-Simfo , utilizada neste trabalho (Últimas modificações do código incorporadas em 12 de janeiro de 2001).
L
ISTA DE
A
CRÔNIMOS
Acrônimo
Termo em Português
Termo Estrangeiro
AON Redes Totalmente Ópticas All Optical Networks ASK Chaveamento por Desvio deAmplitude
Amplitude Shift Keying
DFB Realimentação Distribuída Distributed FeedBack
DSF Fibra de Dispersão Deslocada, normatizada pela Recomendação G. 653 do ITU-T
Dispersion Shifted Fiber
EDFA Amplificador a Fibra Dopada copm Érbio
Erbium Doped Fiber Amplifier
ENLGS Equação Não-Linear
Generalizada de Schrödinger
ENLS Equação Não-Linear de Schrödinger
FWM Mistura de Quatro de Ondas Four Wave Mixing
HNL- DSF Fibra Altamente Não-Linear de Dispersão Deslocada
High Non Linear- Dispersion Shifted Fiber
LSF Long Span Fiber, da Corning
Acrônimo
Termo em Português
Termo Estrangeiro
NZDF Fibra de Dispersão Não-Nula Non-Zero Dispersion Fiber
OOK Chaveamento Liga-Desliga On-Off Keying
SBS Espalhamento Estimulado Brillouin
Stimulated Brillouin Scattering
SDH Hierarquia Digital Síncrona Synchronous Digital Hierarchy SOA Amplificador Óptico à
Semicondutor
Semiconductor Optical Amplifier
SPM Auto-Modulação de Fase Self Phase Modulation SRS Espalhamento Estimulado Raman Stimulated Raman Scattering
SSF Split-Step Fourier
STDF Fibra Padrão, normatizada pela Recomendação G. 652 do ITU-T
Standard Fiber
TDM Multiplexação por Divisão em Tempo
Time Division Multiplexing
TWF True Wave Fiber, da Lucent
Technologies WDM Multiplexação por Divisão em
Comprimento de Onda
Wavelength Division Multiplexing
C
APÍTULO
1-
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, procuramos contextualizar nossa pesquisa em relação ao cenário atual dos Sistemas de Comunicações Ópticas.
Na primeira seção, apresentaremos uma introdução sobre alguns aspectos da evolução desses sistemas. Serão destacados os principais fenômenos de transmissão que impõem limitações físicas aos sinais que trafegam por fibras ópticas.
A seguir, na Seção 1.2, exporemos os objetivos de nossa pesquisa e introduziremos os principais resultados obtidos nesta tese. A organização de nosso trabalho será descrita na Seção 1.3.
1.1 Introdução Histórica e Evolução Sistêmica
As primeiras fibras ópticas foram produzidas na década de 1920 [1], baseadas no princípio de guiamento da luz a partir da reflexão interna total. Embora este princípio fosse conhecido desde o século XIX [2], o desenvolvimento das fibras experimentou seu primeiro grande avanço apenas nos anos 50 do século passado [3], quando uma camada de revestimento (casca) com índice de refração pouco inferior ao do, agora chamado, núcleo das fibras passou a ser utilizada.
No final dos anos 60, as perdas proporcionadas por este meio ainda eram relativamente altas, atingindo a casa dos 1000 dB/km [4] e sendo comparáveis às perdas dos cabos metálicos utilizados em redes de telecomunicações. No entanto, a partir dos anos 70, o avanço no processo de fabricação das fibras reduziu sua atenuação para cerca de 20 dB/km [5] e, por volta de 1979, atingiu um valor de cerca de 0,25 dB/km, [6]- [7], muito próximo ao limite mínimo teórico imposto pelo espalhamento Rayleigh [8] para a região espectral de 1,55 µm.
Esta baixíssima atenuação, estendendo-se por uma largura de banda com cerca de 20 THz [9], não se verifica em outros materiais e fez com que as restrições impostas aos sistemas de transmissão por fibras ópticas passassem a ser determinadas por outros fenômenos, como dispersão e efeitos não-lineares.
As primeiras fibras a serem utilizadas em sistemas de telecomunicações foram as fibras ópticas multi-modo. Nestas, o campo eletromagnético se propaga com diferentes configurações (modos) [10], cada uma tendo sua própria velocidade efetiva de propagação. Devido a esta
desses sistemas a alguns quilômetros, antes que o sinal precise ser regenerado eletronicamente. As fibras multi-modo ainda são utilizadas, sobretudo para conectar redes de computadores a baixos custos, mas não serão abordadas neste trabalho devido às suas limitações em alcance e taxa de transmissão, restritos a até alguns quilômetros e algumas centenas de Mb/s [9].
As fibras monomodo, que possuem apenas uma configuração de campo para cada polarização possível, começaram a ser utilizadas pelos sistemas de telecomunicações no início da década de 1980. Estas fibras não apresentam dispersão intermodal e sua capacidade sistêmica é tipicamente limitada pela dispersão cromática (ou intramodal) [11]- [22], pelos efeitos não-lineares [23] e pelo ruído de amplificadores ópticos [9], além da sensibilidade do receptor, a algumas dezenas de quilômetros e alguns Gbits/s.
As primeiras fibras monomodo, conhecidas como Fibras Padrão (STDF- Standard Fiber) e atualmente descritas pela recomendação G. 652 do ITU-T [24], possuíam dispersão nula na janela de 1,3 µm (segunda janela) e ainda eram limitadas pela atenuação desta janela. A fim de aumentar a distância entre regeneradores, no final dos anos 80, houve uma migração para a janela de baixas perdas, em 1,55 µm (terceira janela).
Entretanto, a crescente exigência pelo aumento da taxa de transmissão de bits fez com que a dispersão da terceira janela, cerca de 17 ps/(nm.km), começasse a comprometer o desempenho das Fibras Padrão. Apesar da introdução de fontes de largura espectral relativamente estreita, como os lasers DFB [9], a dispersão cromática da terceira janela motivou o desenvolvimento da Fibra de Dispersão Deslocada (DSF- Dispersion Shifted Fiber), que possui tanto dispersão nula como atenuação mínima na terceira janela. Estas fibras são normatizadas pela recomendação G. 653 do ITU-T [25].
Antes de prosseguirmos discutindo como a transmissão por fibras é limitada pelos efeitos não-lineares durante a propagação de sinais, devemos ressaltar dois pontos sobre os sistemas de comunicações ópticas.
O primeiro deles é que a geração dos sinais é feita de maneira eletrônica. No estado da arte atual, a geração de sinais eletrônicos, que serão posteriormente convertidos para o domínio óptico, está limitada a cerca de 40 Gb/s [26], através de técnicas de Multiplexação no Domínio do Tempo (TDM- Time Domain Multiplexing). Estas taxas de transmissão de bits estão, admitindo-se que cada Hertz codifique 1 bit/s, muito aquém da largura de banda proporcionada pelas fibras.
Uma tecnologia que vem sendo amplamente utilizada, a fim de melhor aproveitar os recursos oferecidos pelas fibras, é a Multiplexação por Divisão em Comprimentos de Onda
(WDM- Wavelength Division Multiplexing) [27]-[36]. Nesta tecnologia, cada canal é transmitido em um dado comprimento de onda, espaçado dos outros canais por um certo valor que, como veremos nesta tese, poderá influenciar criticamente o desempenho do sistema [31], [32].
O segundo ponto a ser enfatizado na evolução dos sistemas de fibra óptica é o desenvolvimento dos Amplificadores de Fibra Dopados a Érbio (EDFA- Erbium Doped Fiber Amplifiers), ocorrido no final dos anos 80 [37]. Estes dispositivos, que operam na janela de 1,55 µm, substituíram os regeneradores eletrônicos, eliminando as conversões opto-eletrônicas e eletrônico-ópticas não desejadas, movendo o gargalo eletrônico para a periferia das redes. Outras grandes vantagens dos EDFAs incluem a transparência ao tipo de modulação e à taxa de bits e, também, a capacidade de amplificar uma largura de banda de 30-40 nm (cerca de 4 THz) [23]. A restrição imposta pelos EDFAs ao alcance dos sistemas de fibras ópticas resulta, principalmente, do ruído ASE (Amplified Stimulation Emission) introduzido em cada amplificador que pode se tornar o fator limitante do sistema, dependendo do número de amplificadores utilizados em cascata e dos níveis de potência utilizados [38]-[39].
Retornando aos fenômenos de transmissão em fibras ópticas, os efeitos não-lineares desempenham um papel crucial na propagação de sinais por fibras ópticas, advindo da resposta não-linear da sílica (ou de qualquer material do qual a fibra seja constituída) a um campo eletromagnético externamente aplicado [23]. Fundamentalmente, a origem desta resposta não-linear está relacionada ao movimento anarmônico dos elétrons ligados sob a influência do campo aplicado e é tanto mais relevante quanto maiores forem os níveis de potência utilizados ou quanto menor for o espaçamento, em freqüência, entre os canais.
Os efeitos não-lineares podem ser divididos em duas classes. Na primeira delas, temos aqueles efeitos que ocorrem devido à dependência existente entre o índice de refração e a potência óptica. Entre estes efeitos, podemos citar a Automodulação de Fase (SPM- Self Phase
Modulation) [40]- [59], a Modulação Cruzada de Fase (XPM- Cross Phase Modulation) [31],
[32], [50]-[75], a Mistura de Quatro Ondas (FWM- Four Wave Mixing) [28], [29], [39], [58], [76]- [103] e a Instabilidade Modulacional (MI- Modulation Instability) [63]- [68], [88], [104]-[121]. Estão também nesta classe os efeitos não-lineares de ordem superior, como o
Self-Steepening [122]- [123] e o Auto-Desvio de Freqüência [119]- [121], relevantes na propagação
ocasionando um alargamento espectral do pulso em questão. Se este alargamento atuar na mesma direção que o causado pela dispersão, a SPM pode aumentar significativamente as penalidades provocadas pela dispersão. Caso contrário, a automodulação de fase pode compensar os efeitos dispersivos e, sob condições especiais, gerar pulsos solitônicos [53], [54], [86], [107], [124]-[130].
No caso de sistemas transmitindo informações em diferentes comprimentos de onda, como os sistemas WDM, o desvio de fase induzido em um dado canal também será proporcional à intensidade dos pulsos em outros canais. Essa dependência dá origem ao fenômeno conhecido por Modulação Cruzada de Fase [31], [32], [60]-[75], que pode ser bastante relevante, principalmente, em sistemas que operam com Fibras de Dispersão Deslocada, altas taxas de transmissão e espaçamento entre canais relativamente pequeno.
Também em sistemas WDM, a Mistura de Quatro Ondas [28], [29], [39], [58], [76]- [103] dá origem a novos sinais em canais cuja freqüência da portadora corresponde à freqüência de batimento entre até 3 outros canais presentes no sistema. Ao contrário da Automodulação de Fase e da Modulação Cruzada de Fase, esse fenômeno é independente da taxa de transmissão de bits e é criticamente dependente da dispersão da fibra e do espaçamento entre canais [9]. Em particular, sistemas que adotam um espaçamento constante entre canais, como é o caso dos sistemas que seguem a Recomendação G. 692 do ITU-T [131], podem experimentar crosstalk gerado pela FWM.
É importante citar que a opção por trabalhar com canais espaçados desigualmente é bastante estudada [132]- [133]. Entretanto, essa possibilidade diminui o número de canais totais que podem ser disponibilizados na fibra.
A Mistura de Quatro Ondas só é relevante em situações especiais, nas quais a condição de casamento de fase é, ao menos aproximadamente, obedecida [85]. Como isso ocorre quando a dispersão da fibra é aproximadamente nula, as Fibras de Dispersão Deslocada, projetadas para minimizar as penalidades devidas à atenuação e à dispersão, têm seu desempenho comprometido em sistemas WDM com canais igualmente espaçados.
Tal limitação tem motivado, nos últimos anos, a fabricação de fibras com dispersão baixa, porém não-nula, na região de 1,55 µm. Estas fibras são conhecidas como Fibras de Dispersão Não-Nula (NZDF- Non Zero Dispersion Fiber) e suas características geométricas e propriedades de transmissão estão descritas na recomendação G. 655 do ITU-T [134]. Exemplos comerciais de
fibras NZDF são a Fibra LS (Long Span) [135], da Corning Corporation, e a Fibra True Wave [136], da Lucent Technologies.
A Instabilidade Modulacional [63]- [68], [88], [104]- [121] é um efeito que proporciona a transferência de potência de canais de alta potência para pequenas perturbações situadas em determinadas faixas de freqüências nas proximidades destes canais. Ela pode ser induzida tanto pela SPM como pela XPM [64], [65]. No primeiro caso, ela ocorrerá apenas no regime de dispersão anômala e, no segundo caso, será observada em ambos regimes, mas será mais intensa, também, no regime de dispersão anômala [23]. Este efeito pode comprometer os sistemas de comunicação óptica, amplificando, por exemplo, o ruído dos amplificadores ópticos.
A outra classe de efeitos não-lineares compreende os efeitos de espalhamento devidos à interação entre o campo eletromagnético e os fônons (vibrações moleculares) do meio que constitui a fibra. Nessa classe, enquadram-se os fenômenos de Espalhamento Estimulado Brillouin [28], [137]- [146] (SBS- Stimulated Brillouin Scattering) e Espalhamento Estimulado Raman (SRS- Stimulated Raman Scattering) [141], [147]-[152].
No Espalhamento Estimulado Brillouin [28], [137]- [146], os fônons envolvidos no processo são acústicos e a interação ocorre em uma estreita largura de banda, da ordem de 20 MHz em 1,55 µm. O SBS, que é relevante para potências acima de um dado limiar, não causa interação entre canais distintos, mas pode criar uma distorção significativa dentro do próprio canal, ocasionando uma transferência de potência para as componentes de menor freqüência do sinal. Uma característica importante do SBS é que as componentes realçadas na freqüência de Stokes se propagam na direção oposta à do sinal, depletando sua potência e requerendo mecanismos que impeçam sua interação com os dispositivos transmissores.
O Espalhamento Estimulado Raman [141], [147]-[152] também só será relevante para potências acima de um certo limiar [150]. Entretanto, ao contrário do que ocorre no SBS, a interação no SRS, devido à participação de fônons ópticos, estende-se por uma largura de banda da ordem de várias dezenas de THz. Assim, esse processo tende a acoplar a potência de diferentes canais. O SRS atua tanto na direção de propagação, na qual é dominante, como na direção reversa.
Além dos problemas inerentes à propagação dos sinais descritos até aqui, existem muitos outros que ainda precisam ser resolvidos. Entre eles, destacamos dois.
canais espaçados a 100 GHz [131] e 10 Gb/s em cada canal. Assim, um sistema operando com um número de canais superior a 8 terá uma eficiência espectral muito próxima a 0,1 bit/s/Hz.
Uma possibilidade para aumentar a eficiência espectral é abandonar a tradicional modulação OOK (On-Off Keying) [9], na qual o bit 1 é codificado por uma determinada potência óptica e o bit 0 pela ausência de potência óptica, e adotar uma modulação multi-nível. Encontramos na literatura recente várias obras a esse respeito [153]- [165]. Entre elas, destacamos o trabalho de Ono et. al. [160], no qual uma eficiência espectral de 0,6 bit/s/Hz é atingida, utilizando-se modulação duobinária. Na verdade, esse mesmo trabalho demonstra a possibilidade de obtenção de uma eficiência espectral de 1 bit/s/Hz, incluindo, também, uma técnica de Multiplexação por Intercalação de Polarização (Polarization Interleave Multiplexing).
Outro problema que merece nosso destaque é a questão de conversão de comprimentos de onda [98], [102], [117], [166]- [172]. Um determinado nó óptico experimentando alta quantidade de tráfego, pode ter de enviar para um mesmo enlace dois sinais que chegam, por enlaces diferentes, em um mesmo comprimento de onda. Embora existam algumas estratégias para minimizar a probabilidade desta situação ocorrer, esse é um problema que as Redes Ópticas de Segunda Geração ainda precisam resolver. A conversão de comprimentos de onda é uma das soluções possíveis.
Tal conversão pode ser feita de diversas maneiras. Talvez, a mais simples seja através da conversão de um dos sinais para o domínio eletrônico, seguida da modulação de uma nova portadora óptica [9]. Esta estratégia tem, entretanto, todas as desvantagens de se trabalhar no domínio eletrônico e contraria as tendências atuais de migração para Redes Totalmente Ópticas (AON- All Optical Network) [69], [99], [166]- [169].
Outras estratégias encontradas na literatura podem fazer uso dos Amplificadores Ópticos de Semicondutores (SOA- Semiconductor Optical Amplifiers) [98], [100], [102], [165], [166], [170], [172] ou do fenômeno de Mistura de Quatro Ondas em Fibras Altamente Não-Lineares de Dispersão Deslocada (HNL-DSF- High Nonlinearity- Dispersion Shifted Fiber) [101].
1.2 Proposta da Pesquisa
O trabalho apresentado nesta tese faz parte de um projeto do grupo do Laboratório de Tecnologia Fotônica que visa ao desenvolvimento de um software, chamado PC-Simfo
[173]-[181], capaz de simular os efeitos concernentes à geração, transmissão e recepção de sinais em redes ópticas.
Os propósitos para o desenvolvimento deste software abrangem as possibilidades de se desenhar, analisar e planejar o desempenho de redes de comunicações ópticas, de forma relativamente barata, além de permitir a pesquisa de fenômenos físicos relacionados àquelas atividades.
Outra potencialidade do PC-Simfo, que vem sendo satisfatoriamente explorada nos últimos anos, está relacionada com o ensino. A utilização de simulações para complementar as explicações teóricas, a cerca dos sistemas de comunicação óptica, dadas em aula, tem apresentado grande êxito e boa repercussão entre alunos e outros profissionais da área.
Obviamente, todas essas possibilidades estão sujeitas às restrições inerentes a qualquer ambiente de simulação [182], [183]. Os resultados obtidos em simulações ganham confiabilidade à medida que sua confrontação com resultados experimentais e/ ou expectativas teóricas é satisfatória. Entretanto, em nosso caso, a ausência de laboratórios de comunicações ópticas dificulta a confrontação com experiências que se poderiam propor. Assim, nossos resultados devem ser comparados com outros já apresentados na literatura.
Um dos nossos objetivos foi o estudo e a implementação de um método numérico eficiente para a simulação dos efeitos não-lineares em fibras ópticas. A importância deste estudo pode ser verificada ao notarmos que, em grande parte das simulações de sistemas ópticos de interesse atuais, como os sistemas WDM citados anteriormente, pelo menos 60% do tempo de simulação é despendido com os cálculos realizados na fibra óptica.
Como será detalhado nos capítulos seguintes, foi implementada uma rotina numérica eficiente que resolve a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger (ENLGS) [23], [184]-[186], permitindo, dentro de certas aproximações, o estudo de todos os efeitos não-lineares acima citados, para pulsos com larguras temporais mínimas de 50 fs em fibras monomodo.
Embora pulsos com largura de 6 fs sejam relatados na literatura [187], o limite suportado por nosso modelo, equivalente a uma largura espectral de 20 THz, é suficiente para explicar os efeitos observados nos sistemas de comunicação óptica atuais e nos que devem ser utilizados nos próximos anos.
A rotina implementada leva em consideração os parâmetros de maior relevância para cada situação e procura realizar um número mínimo de operações, de acordo com os dados de entrada
O método numérico de Split-Step Fourier (SSF) [44], [49], [125], [184], [188]- [193], escolhido para essa implementação, pode ser até uma ordem de grandeza mais rápido [186] que outros métodos utilizados para simulações [194]- [211]. Entretanto, encontramos na literatura algumas críticas à sua fundamentação teórica [23], [212]- [214].
A principal delas está relacionada com a suposição, admitida pelo método, de que os efeitos lineares (dispersão cromática e atenuação) e não-lineares atuam separadamente no espaço [214]. Embora esta suposição possa ser considerada uma boa aproximação se admitirmos que essa escala de separação espacial, chamada de passo, é suficientemente pequena, ela cria um problema do ponto de vista de implementação. Isto porque mesmo os usuários experientes precisam saber quanto é “suficientemente pequeno” e informar este dado como entrada para a simulação [195], [198]. Se o valor informado for muito grande, o usuário poderá obter resultados muito imprecisos. Esse problema é agravado pelo fato de que simulações diferentes podem requerer passos bastante distintos.
Contornamos tal problema, desenvolvendo um algoritmo simples que permite avaliar os tamanhos máximo e mínimo de passo que seriam suportados pelo método. A partir desses valores, calculamos um passo médio e oferecemos a opção para que o usuário utilize esse passo.
Como será visto em capítulos posteriores, nossos testes verificam que esse passo médio sempre resulta em simulações precisas. Entretanto, o preço pago pelo usuário que faz esta opção é que as simulações ficam sempre mais lentas que o necessário.
Além disto, o estabelecimento de um valor mínimo de passo, associado ao fato de que a utilização do método é tão mais justificada quanto menor for esse passo, permite que tracemos um critério para determinar a “precisão” máxima inerente ao método. Aqui, o termo “precisão” não está relacionado com o sentido numérico da palavra, mas, sim, com a garantia de que os pressupostos teóricos da formulação do método são respeitados.
Quanto aos diferentes tipos de fibra, foram implementados modelos para as fibras STD [24], DS [25], LS [135], True Wave [136] e HNL-DSF [102]. Ao optar por um desses modelos, o usuário visualiza os parâmetros de entrada típicos do modelo escolhido. Embora ele possa alterar esses valores, a rotina implementada não permite que valores fora dos intervalos de validade de cada modelo sejam utilizados.
A inclusão de novos modelos de fibra que possam ganhar interesse para o ambiente pode ser feita de maneira bem simples, desde que os parâmetros de entrada sejam os mesmos que os adotados nos modelos implementados. As únicas alterações necessárias são a especificação da
variação da dispersão cromática com o comprimento de onda e os valores padrão dos parâmetros de entrada do novo modelo.
As rotinas implementadas foram extensivamente testadas e confrontadas com resultados teóricos e encontrados na literatura. Em todos os casos, verificamos uma excelente concordância entre os nossos resultados e os utilizados para comparação.
Por fim, o outro importante objetivo de nosso trabalho foi a utilização do software PC-Simfo para estudo dos fenômenos não-lineares relevantes nas transmissões de sistemas de comunicações ópticas.
Sugerimos e verificamos, através de simulações, a possibilidade de geração óptica de um sinal de quatro níveis, proveniente da interação gerada pela mistura de quatro ondas entre dois outros canais propagados por fibras de dispersão deslocada e por fibras altamente não-lineares.
Uma característica essencial para a obtenção desse canal de quatro níveis, com modulação ASK-4 (Amplitude Shift Keying- 4) [162], é a alteração da modulação OOK [9], através do deslocamento do nível de potência óptica do bit 0 para um valor não-nulo, nos dois canais utilizados para sua geração. Dessa forma, cada um dos quatro níveis de potência do canal gerado conterá informação sobre 2 bits, um de cada canal inicial, duplicando a eficiência espectral.
Nossas simulações mostram a viabilidade de duas estratégias que podem ser utilizadas para explorar esses resultados.
Na primeira delas, nós de Redes Totalmente Ópticas que experimentam grande quantidade de tráfego poderiam utilizar a propagação de sinais de quatro níveis para aumentar a eficiência espectral [160]. A desvantagem da adoção desse método está na possível redução das distâncias cobertas por esses enlaces, uma vez que, como discutiremos neste trabalho, os níveis de potência dos sinais de quatro níveis serão relativamente altos.
Outra estratégia é a manutenção da eficiência espectral através do aumento do espaçamento entre canais. A vantagem desse procedimento é que, com canais mais espaçados, os efeitos não-lineares serão menos relevantes e o limite de alcance dos enlaces passa a ser preponderantemente determinado pelo ruído introduzido pelos amplificadores ópticos.
Em ambos os casos é necessário, de alguma forma, manter a correlação entre os bits transportados pelos canais a serem multiplexados.
1.3 Organização do Trabalho
Organizamos os assuntos a serem abordados neste trabalho da seguinte forma:
No Capítulo 2, apresentaremos a equação não-linear generalizada de Schrödinger (GNLSE) que, sob determinadas aproximações, descreve a propagação de pulsos ópticos por fibras. O nosso principal objetivo é apresentar quais são estas aproximações para determinar os limites de validade do modelo implementado.
Também, neste capítulo, faremos uma discussão sobre os principais fenômenos de propagação relevantes para a compreensão dos resultados obtidos na presente tese. Tais assuntos são bastante conhecidos e estão amplamente discutidos em toda a literatura já indicada e poderiam ser abordados em um anexo deste trabalho. Entretanto, optamos por discuti-los neste capítulo a fim de mantermos certa linearidade em nosso texto. O leitor com conhecimentos dos fenômenos de transmissão em fibras ópticas é remetido ao capítulo seguinte.
No Capítulo 3, discutiremos alguns métodos numéricos utilizados para determinar o comportamento dos pulsos que se propagam por fibras ópticas. Enfatizaremos o método de
Split-Step Fourier, utilizado na implementação das rotinas das fibras não-lineares ao PC-Simfo. Ainda
neste capítulo, descreveremos o critério proposto para a determinação da “precisão” do método de split-step Fourier. Tal critério constitui uma das principais contribuições de nosso trabalho por dois motivos. Primeiramente, até o ponto ao qual se estende nosso conhecimento, a literatura carece de critérios que estabeleçam os limites de validade e precisão do método de Split-Step Fourier. Em segundo, porque, em decorrência dessa carência, usuários com pouca experiência na simulação de efeitos não-lineares em fibras, que constituem parte do público-alvo do PC-Simfo, terão certa dificuldade para obter resultados confiáveis.
A seguir, no Capítulo 4, descreveremos, com detalhes, o modelamento utilizado para a implementação das rotinas que simulam as fibras não-lineares e apresentaremos os resultados de testes realizados para validação do algoritmo utilizado.
O Capítulo 5 trata de uma aplicação da ferramenta desenvolvida para a simulação dos efeitos não-lineares em fibras ópticas. Nossa proposta é que o fenômeno de Mistura de Quatro Ondas seja utilizado para a geração de canais com o dobro da eficiência espectral de canais com modulação OOK. A geração e a propagação destes canais são discutidas detalhadamente nas seções que compõem este capítulo. A apresentação desses assuntos também constitui parte importante de nosso trabalho, pois, novamente, os pontos aqui apresentados não são, ao menos para nosso conhecimento, abordados pela literatura.
No Capítulo 6, fazemos uma análise dos resultados que obtivemos em nosso trabalho. Apresentamos uma síntese e realizamos uma crítica sobre os principais pontos apresentados. Levantamos, também, algumas possibilidades para a continuação de nossa pesquisa.
Finalmente, o Anexo I apresenta as principais características da versão do PC-Simfo utilizada durante este trabalho. Ressaltamos que algumas ferramentas importantes de simulação já disponíveis, como as relacionadas ao ruído, não foram utilizadas devido à sua recente implementação e conseqüente falta de testes.
Nota: É importante lembrar que, assim como na grande maioria das áreas tecnológicas, há uma presença muito grande de termos estrangeiros, sobretudo em Inglês, no jargão da área de comunicações ópticas. No desenrolar de nosso texto, sempre optamos por utilizar a tradução desses termos, exceto nos casos em que o Português ainda não apresenta um termo consagrado pelo uso. Entretanto, observamos que raramente os acrônimos dos termos em Português são adotados pelos pesquisadores de nosso país. Seguindo esta tendência, sempre que utilizarmos um acrônimo, consideraremos o termo original em Inglês. Como regra, além da lista de acrônimos, sempre que mencionarmos um termo, colocaremos entre parênteses seu acrônimo correspondente seguido de sua equivalência, ambos em Inglês.
C
APÍTULO
2-
PROPAGAÇÃO DE PULSOS EM FIBRAS
ÓPTICAS
Neste capítulo, discutiremos alguns aspectos relevantes à propagação de pulsos por fibras ópticas.
Na seção 2.1, apresentaremos a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger (GNLSE- Generalized Nonlinear Schrödinger Equation), que descreve dentro de certos limites, a propagação de pulsos por fibras. Indicaremos algumas aproximações e/ou considerações que são feitas em sua dedução e mostraremos quais são seus limites de validade. Entretanto, não nos aprofundaremos na dedução matemática destas equações, que podem ser facilmente encontradas na bibliografia indicada [23], [126], [184]-[186], [199]. Aqui, pretendemos, apenas, apresentar os principais pontos dos fenômenos não-lineares em fibras ópticas, relevantes para os sistemas de telecomunicações atuais e que devem ser considerados na implementação de nossas rotinas no ambiente PC-Simfo.
Na seção 2.2, discutiremos o significado e algumas conseqüências de cada um dos termos da GNLSE. Enfatizaremos a influência dos fenômenos não-lineares nos sistemas de Multiplexação por Divisão em Comprimento de Onda, amplamente utilizados nos dias de hoje, e que serão abordados no Capítulo 5.
2.1 Equação de Propagação em uma Fibra Óptica Monomodo no
Regime Não-Linear
Como todos os fenômenos eletromagnéticos, a propagação de pulsos por fibras ópticas é descrita pelas Equações de Maxwell [215]:
t B E ∂ ∂ − = × ∇ ! ! , (2.1.1a) t D J H f ∂ ∂ + = × ∇ ! ! ! , (2.1.1b) f D=ρ ∇.! e (2.1.1c) 0 . = ∇B! (2.1.1d)
nas quais E!, H! , D!, B!, J!f e ρf representam, respectivamente, o vetor campo elétrico, o vetor campo magnético, a densidade de fluxo elétrico, a densidade de fluxo magnético, a densidade de corrente e a densidade de cargas do meio.
As densidades de fluxo D! e B!aparecem em resposta aos campos E!e H! , que se propagam pelo meio, e estão relacionadas entre si através das seguintes relações constitutivas 52, [10]: P E D! =ε0!+ ! e (2.1.2a) M H B! =µ0 ! + ! (2.1.2b)
sendo P! e M! , respectivamente, as polarizações elétrica e magnética induzidas; ε0 é a
permitividade do vácuo e µ0 é a permeabilidade do vácuo.
Como a fibra é um meio não-magnético (M! =0!) e sem cargas livres (ρf =0 e Jf =0 !
), as equações de Maxwell para esse meio podem ser reescritas, utilizando-se (2.1.2a) e (2.1.2b), em termos dos campos elétrico e magnético:
H t E! ! ∂ ∂ − = × ∇ µ0 , (2.1.3a) t P t E H ∂ ∂ + ∂ ∂ = × ∇ ! ! ! 0 ε , (2.1.3b) P E! .! . 0∇ =−∇ ε e (2.1.3c) 0 . = ∇H! (2.1.3d)
Tomando o rotacional de (2.1.3a) e utilizando a bem conhecida relação
0 0 2 1 µ ε = c , na
qual c denota a velocidade da luz no vácuo, obtem-se [23], [215]:
2 2 0 2 2 2 1 t P t E c E ∂ ∂ − ∂ ∂ − = × ∇ × ∇ ! ! ! µ (2.1.4)
Em geral, a avaliação de P! exige procedimentos de mecânica quântica [23]. Entretanto, longe das condições de ressonância do meio, como é o caso das fibras para sistemas de telecomunicações, que operam no intervalo de 0,5 a 2 mµ , pode-se utilizar uma relação fenomenológica como [215]:
(
! !! # !!! ")
! + + + ⋅ = E EE EEE P ε0 χ(1) χ(2) : χ(3) (2.1.5)Nesta equação, χ(i)
(
i=1,2,...)
é a susceptibilidade elétrica de i-ésima ordem. Para levar em conta os efeitos de polarização da luz, χ(i) é um tensor de tipo( )
i+1 .A susceptibilidade linear χ(1) representa a contribuição dominante para P!. Seus efeitos são incluídos através do índice de refração linear n
( )
ω e do coeficiente de atenuação linear α( )
ω dados, respectivamente, por [23]:( )
ω[
χ~(1)( )
ω]
Re 2 1 1+ = n e (2.1.6a)( )
ω ω[
χ( )
ω]
α ~(1) Im nc = (2.1.6b)e relacionados com a constante dielétrica linear do meio, dependente da freqüência, através de [23]:
( )
2 2 + = ω α ω ε n i c (2.1.6c)A susceptibilidade de segunda ordem χ(2) é nula para meios que possuem simetria de inversão em escala molecular. Como SiO2 é uma molécula simétrica, a contribuição de
) 2 (
χ
pode ser, normalmente, desprezada no caso das fibras de sílica [216].) , ( ) , ( ) , (r t P r t P r t P! ! = !L ! + !NL ! (2.1.7a)
sendo P!L( tr!, ) a parte linear da polarizabilidade, dada por:
( )
t t E r t dt t r PL( , ) ´ ( , ´) ) 1 ( 0 ! ! ! ! ⋅ − =∫
∞ ∞ − χ ε (2.1.7b) e )PNL( tr, ! !a parte não-linear, obtida através de [23]:
= ) , ( tr P!NL !
(
1 2 3)
1 2 3 1 2 3 ) 3 ( 0 t t,t t ,t t E(r,t )E(r,t )E(r,t )dtdt dt ! ! ! ! ! ! # − − −∫ ∫∫
−∞∞ χ ε (2.1.7c)As equações (2.1.4), (2.1.5), (2.1.7b) e (2.1.7c) fornecem um formalismo geral para tratar os efeitos não-lineares de mais baixa ordem em fibras ópticas. Através delas, pode-se obter uma equação que descreva o comportamento dos pulsos que se propagam, nas bandas de interesse em telecomunicações, pela fibra.
Para fazer isso, substituí-se (2.1.7a) em (2.1.4) e utiliza-se a bem conhecida identidade de operadores diferenciais vetoriais:
( )
E E E! =∇∇⋅ ! −∇2! × ∇ × ∇ , (2.1.8)admitindo a condição de guiamento fraco, ∇⋅D! =ε∇⋅E! =0. Assim, obtém-se:
2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 1 t P t P t E c E L NL ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∇ ! ! ! ! µ µ (2.1.9)
2.1.1 Equação Não-Linear de Schrödinger
A equação (2.1.9) descreve adequadamente a propagação de pulsos por fibras ópticas. A única aproximação feita até agora é que a polarizabilidade não-linear, dada pela equação (2.1.7c), leva em conta apenas as contribuições não-lineares de terceira ordem.
Entretanto, para resolver esta equação, é conveniente fazer uma série de aproximações e simplificações. Tais procedimentos, que resultarão no desenvolvimento da chamada Equação Não-Linear de Schrödinger (ENLS), também permitirão que visualizemos, com maior facilidade, a ação dos diversos fenômenos que atuam sobre os pulsos que se propagam pelas fibras.
Primeiramente, considera-se que P!NL seja uma perturbação à polarizabilidade total induzida. Isto é razoável, uma vez que os efeitos não-lineares são relativamente fracos em fibras de sílica [23].
Admite-se que o campo óptico é quasi-monocromático, isto é, que a largura espectral do sinal, f∆ , é pequena em relação à freqüência da portadora do mesmo, f [23]. Como 0 f é da0
ordem de 100 THz, nas regiões de interesse das fibras em telecomunicações, essa aproximação restringe as equações que estarão sendo desenvolvidas a descrever pulsos com duração mínima de 0,1 ps (10 THz).
Tal aproximação, conhecida como aproximação do envelope lentamente variável ou aproximação para-axial, permite que os vetores de campo e de polarizabilidade induzida sejam escritos como o produto entre uma função lentamente variável no tempo e um termo que descreve as oscilações da portadora.
Assim, admitindo-se, ainda, que a polarização do campo óptico seja mantida ao longo da fibra, por exemplo, na direção de xˆ, pode-se escrever o campo elétrico e as contribuições linear e não-linear da polarizabilidade como [23]:
[
( , )exp( ) . .]
ˆ 2 1 ) , (r t x E r t i 0t cc E! ! = ! −ω + , (2.1.10a)[
( , )exp( ) . .]
ˆ 2 1 ) , (r t x P r t i 0t cc P!L ! = L ! −ω + e (2.1.10b)[
]
1 − + = ! ω ! !nas quais c.c. representa o complexo conjugado do termo anterior.
Por fim, uma última simplificação admitida [23] é que a resposta não-linear do meio é instantânea, eliminando a dependência temporal de χ(3). Assim, a equação (2.1.7c) pode ser reescrita na forma: ) , ( ) , ( ) , ( ) , (r t 0 (3) E r t E r t E r t P!NL ! =ε χ #! ! ! ! ! ! (2.1.11)
Esta simplificação despreza a contribuição das vibrações moleculares à susceptibilidade não-linear. Em geral, tanto os elétrons, como o núcleo, levarão um certo tempo para responder à ação do campo óptico [23], sendo a resposta nuclear inerentemente mais lenta. Para fibras de sílica, o tempo de resposta vibracional, ou de resposta Raman, ocorre em uma escala de tempo de 60-70 fs [23].
Assim, o limite imposto anteriormente para a largura mínima de pulso deve ser reconsiderado para ~1 ps.
Iniciando a derivação da Equação Não-Linear de Schrödinger, substitui-se (2.1.10b) em (2.1.7b) e obtém-se uma expressão para a polarizabilidade linear:
(
) ( )
[
(
)
]
( ) (
ω ω ω)
[
(
ω ω)
]
ω χ ε ω χ ε d t i r E dt t t i t r E t t t r P xx xx L 0 0 ) 1 ( 0 0 ) 1 ( 0 exp , ~ ~ ´ ´ exp ´ , ´ ) , ( − − − = − − =∫
∫
∞ ∞ − ∞ ∞ − ! ! ! , (2.1.12)na qual χ~xx(1)
( )
ω e E~( )
r!,ω representam, respectivamente, as transformadas de Fourier de χxx(1)( )
t e de E ,( )
r! t .1
1 Em nossa notação, se
( )
t
F é uma função do tempo, F~
( )
ω será sua Transformada de Fourier, dada por:( )
F( )
t[
i( )
t]
dt F~ω∫
∞ exp ω ∞ − =( )
tF pode ser obtida a partir de F~
( )
ω , através da Antitransformada de Fourier:( )
( )
ω[
( )
ω]
ω π F i td t F =∫
∞ − ∞ − exp ~ 2 1Analogamente, substituindo (2.1.10c) em (2.1.7c) e desprezando os termos que oscilam na freqüência da terceira harmônica, 3 f , obtemos uma expressão para a componente não-linear da0
polarizabilidade:
( )
r t E( )
r tPNL !, =ε0εNL !, , (2.1.13)
na qual
ε
NL é a contribuição não-linear à constante dielétrica, dada por:( )
2 ) 3 ( , 4 3 t r E xxxx NL ! ! χ ε = . (2.1.14)Assim, com os resultados de (2.1.12) e (2.1.13), a equação (2.1.9) é reescrita sob a forma:
( )
( )
= ∂ ∂ − ∇2 12 2 2, , t t r E c t r E ! !(
) ( )
[
(
)
]
− − ∂ ∂ −∫
∞ ∞ − ´ , ´ exp 0 ´ ´ ) 1 ( 0 2 2 0 t t E r t i t t dt t ε χxx ω µ !( )
(
E r t)
t2 0 NL , 2 0 ! ε ε µ ∂ ∂ − (2.1.15)Em conseqüência da aproximação de envelope lentamente variável e do pressuposto caráter perturbativo da polarizabilidade não-linear, podemos considerar que εNL é aproximadamente constante [15], [217] e escrever (2.1.15) no domínio da freqüência, substituindo as derivadas temporais,
t
∂ ∂
, por iω. Fazendo isto, obtém-se a Equação de Helmholtz:
( )
~ 0 ~ 2 0 2 + = ∇ E ε ω k E (2.1.16)( )
ω χxx( )
ω εNL ε = + ~(1) +1 (2.1.17)
Em analogia com as equações (2.1.6), a dependência entre a constante dielétrica, o índice de refração total, n~, e o coeficiente de absorção total, α~, é dada pelas equações (2.1.18) abaixo:
( )
2 2 ~ ~ + = ω α ω ε n i c , (2.1.18a) 2 2 ~ n n E n = + ! e (2.1.18b) 2 2 ~ α α E! α = + (2.1.18c)Nestas expressões, o índice de refração não-linear, n , e o coeficiente de absorção não-linear,2 2
α , estão relacionados com o tensor de susceptibilidade de terceira ordem através de:
( )
(3) 2 Re 8 3 xxxx n n = χ e (2.1.19a)( )
(3) 0 2 Im 4 3 xxxx nc χ ω α = . (2.1.19b)A equação (2.1.16) pode ser resolvida pelo método de separação das variáveis, admitindo-se uma solução da forma:
(
r) ( ) (
F x y A z) ( )
i z E 0 , 0 exp 0 ~ , , ~ ! ω −ω = ω −ω β , (2.1.20)na qual β0 é o número de onda, que será determinado posteriormente. Assim, mediante a aproximação
( )
, 0~ 2 2 ≅ ∂ ∂ z z A ω
, justificável devido à hipótese que ~A
( )
z,ω varia lentamente com z [23], (2.1.16) pode ser dividida no seguinte par de equações:( )
,( ) ( )
,[
2 ~2( )
]
( )
, 0 0 2 2 2 2 = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ y x F k y y x F x y x F ω β ω ε e (2.1.21a)( )
[
]
A i z A~ ~ 0 β β ω β +∆ − = ∂ ∂ (2.1.21b)O número de onda β
( )
ω corresponde aos autovalores que devem ser determinados.O coeficiente α2 é consideravelmente menor que α nas fibras de sílica [23]. Desta forma,
para resolver (2.1.21a), pode-se utilizar o procedimento de teoria de perturbação de primeira ordem, no qual a constante dielétrica é aproximada por:
(
n+∆n)
≅n + n∆n= 2 2 2
ε , (2.1.22)
sendo ∆n uma pequena perturbação expressa através de:
0 2 2 2k i E n n= + α ∆ (2.1.23)
Seguindo este procedimento, no caso de fibras monomodo, a função F
( )
x,y pode ser aproximada por uma gaussiana:( )
(
)
− + =exp 2 2 2 , w y x y x F , (2.1.24)na qual w é um parâmetro ajustável. Os autovalores, β~
( )
ω , são dados por:( ) ( )
ω β ω ββ~ = +∆ (2.1.25)
e ∆β é calculado a partir da relação de normalização:
( )
( )
∫ ∫
∫ ∫
∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∆ = ∆ dxdy y x F dxdy y x F n k 2 2 0 , , β (2.1.26)Substituindo β~
( )
ω em (2.1.21b) e expandindo β( )
ω em Série de Taylor em torno de 0 ω ω = ,( )
(
)
(
)
(
)
3 0 3 2 0 2 0 1 0 6 2 ω ω β ω ω β ω ω β β ω β = + − + − + − , (2.1.27) na qual 0 ω ω ω β β = = n n n d d , (2.1.28)obtemos a seguinte expressão para a amplitude ~A
( )
z,ω :( )
ω β(
ω ω)
β(
ω ω)
β( )
ω , ~ 2 1 , ~ 2 0 2 0 1 A z i z z A − + − +∆ = ∂ ∂ (2.1.29)Nesta última equação, foram considerados apenas os termos até a segunda ordem da expansão de β
( )
ω . Essa aproximação é válida, desde que a consideração de pulso quasi-monocromático seja correta e que β2 não seja muito próximo de zero.Finalmente, aplicando-se a Transformada de Fourier Inversa nos dois membros de (2.1.29) e incluindo a participação dos efeitos de atenuação e não-lineares, através da dependência entre ∆β e ∆n, obtém-se a Equação Não-Linear de Schrödinger:
A A i A t A i t A z A 2 2 2 2 1 2 2 γ α β β + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ , (2.1.30)
