Variantes do Split-Step Fourier

Considerando a fórmula de Baker-Haussdorf [23],

[ ]

[

[ ]]

      _{+ + + − +} = ˆ ˆ, ˆ,ˆ ... 12 1 ˆ , ˆ 2 1 ˆ ˆ exp ) ˆ exp( ) ˆ exp(a b a b a b a b a b , (3.1.8)

na qual

[ ]

aˆ,bˆ =aˆbˆ−bˆaˆ denota o comutador entre os operadores aˆe bˆ , verificamos que a solução aproximada (3.1.5) difere da solução exata (3.1.4) por não considerar a não-comutabilidade entre os operadores linear, Dˆ , e não-linear, Nˆ ,

[ ]

Dˆ,Nˆ ≠0. Fisicamente, isto equivale a observar que a ordem de atuação dos operadores linear e não-linear leva a resultados diferentes e que, o resultado “exato” corresponderia à situação na qual ambos operadores atuassem simultaneamente.

Fazendo aˆ=hDˆ e bˆ=hNˆ , em (3.1.8), verificamos que o termo dominante do erro do método de Split-Step Fourier resulta da parcela h

[ ]

Dˆ,Nˆ

2 1 2

. Desta forma, o método de Split-Step Fourier, da forma exposta na subseção anterior, tem precisão até segunda ordem em h [225].

Uma sugestão para reduzir este erro [23] é “simetrizar” o problema, incluindo os efeitos não-lineares, não no princípio, mas na metade de cada passo, como sugere a Figura 3.1.2.

Nesse novo procedimento, (3.1.5) é substituída por:

(

z h T

)

hD

[

N

( )

z dz

]

hD A

( )

z T A z h z ₂ , ˆ exp ´ ´ ˆ exp 2 ˆ exp ,         = +

_∫

+ (3.1.9)

A integral da equação acima também permite que a dependência do operador não-linear com a distância z seja considerada. Na verdade, ela expressa uma contribuição média dos efeitos não-lineares ao longo de todo o passo, diferentemente do que acontecia com a solução (3.1.5), na qual os efeitos não-lineares eram considerados apenas em um ponto.

A dificuldade na consideração desta contribuição média, reside no fato de não conhecermos o campo óptico A

(

z+h,T

)

na ocasião em que precisamos avaliar a integral

( )

´ ´ ˆ _{z dz} N h z z

∫

+ . A solução para este problema requer um procedimento iterativo no qual podemos, após aplicar os efeitos lineares sobre a primeira metade do segmento, armazenar o campo obtido

Figura 3.1.2: Não-Linearidades atuando na metade de cada segmento, no Método de Split- Step Fourier

(

z h T

)

A + /2, . Os efeitos não-lineares são, então, computados pontualmente em

(

z+h/2

)

e uma estimativa do campo em

(

z+h

)

é obtida, aplicando-se o operador linear até o final do passo,

(

z hT

)

A_estimado + , . A seguir, retornamos ao campo armazenado e utilizamos esse valor estimado do campo óptico para calcularmos a integral da (3.1.9), através de algum método de integração (como o do Trapézio ou o de Euler), e introduzimos a contribuição média dos efeitos não- lineares. Por fim, aplicamos novamente o operador linear até o final do passo para obtermos

(

z h T

)

A + , . Este procedimento está ilustrado na Figura 3.1.3

Embora a estratégia explicada no parágrafo anterior seja bastante razoável do ponto de vista físico, uma vez que considera a dependência dos efeitos não-lineares com a distância, se o passo h não for escolhido cuidadosamente, o processo iterativo pode consumir bastante tempo de computação.

Figura 3.1.3: Método de Split- Step Fourier simetrizado, com processo iterativo para considerar a

Uma alternativa usualmente adotada consiste na redução do passo h, de forma que a integral de (3.1.9) possa ser aproximada por exp

( )

h ˆN , similarmente ao que acontece em (3.1.5). Embora esta estratégia aumente, para uma mesma precisão, o número de passos necessários para a determinação do campo óptico a uma dada distância L , ela reduz o número de transformadas e antitransformadas de Fourier realizadas a cada passo. Isso não só reduz o tempo computacional gasto por passo como, também, minimiza o efeito de aliasing.

A fim de compararmos a eficiência de cada uma destas estratégias, podemos tomar como base os tempos indicados na Figura 3.1.4, considerando que apenas uma iteração seja adotada no método iterativo. De acordo com esta figura, se a estratégia de consideração da dependência dos efeitos não-lineares requerer p passos, para fornecer uma dada precisão, seu tempo total de computação será:

(

tNL tNL tTransf tAnti Transf

)

p

t = + + + ₋

∆1 1 2 3 3 (3.1.10)

sendo

t

_NL1 o tempo gasto para a aplicação do operador não-linear em

(

z+h/2

)

, tNL2 o tempo

para calcular a integral da (3.1.9) e aplicar o operador não-linear e t_Transf e t_{Anti−Transf} , respectivamente, os tempos necessários para calcular a transformada e a antitransformada do campo sendo propagado.

Analogamente, se a estratégia que desconsidera a dependência dos efeitos não-lineares requerer q passos, para a mesma precisão da estratégia anterior, o seu tempo total de computação será:

(

tNL tTransf tAnti Transf

)

q

t = + + ₋

∆ 2 1 2 2 (3.1.11)

Os cálculos das transformadas e das antitransformadas de Fourier levam, aproximadamente, o mesmo tempo. Além disso, em uma boa aproximação para os casos mais críticos, nos quais os números de pontos de amostragem do campo é elevado (por exemplo, ≥ 16000), podemos considerar que t_Transf >>t_NL1e t_Transf >>t_NL2.

Considerando essas aproximações, e transportando-as para as equações (3.1.10) e (3.1.11), concluímos que as duas estratégias terão a mesma duração quando q=1,5p. Ou seja, quando a estratégia que despreza a dependência dos efeitos não-lineares com a distância tiver um número de passos 50% maior que o número de passos da estratégia que considera a dependência dos efeitos não-lineares com a distância

Nessa situação limite, ainda devemos ponderar dois pontos. Em primeiro lugar, como dito anteriormente, quanto maior o número de transformadas e antitransformadas, maior poderá ser o

aliasing introduzido. Este ponto é favorável ao método que despreza a dependência dos efeitos

não-lineares com a distância.

Em segundo, temos que considerar a precisão obtida [225]. Essa questão será abordada na subseção 3.1.3, na qual introduziremos um critério para avaliar uma precisão máxima inerente ao método de Split-Step Fourier. Essa "precisão" está, no entanto relacionada a quanto o método de SSF é fisicamente justificável, e não ao sentido matemático da palavra.

Vale a pena ressaltar que, embora existam alguns procedimentos para se determinar qual o tamanho de passo deva ser utilizado [191], [195], [198], muitas vezes, o que se faz é repetir as simulações, para valores de passo cada vez menores, até que resultados bastante similares sejam obtidos.

Em simulações mais complexas, como as de sistemas WDM, o usual é restringir a fase não-linear a cerca de alguns mrad [164], [102]. Esta fase, φ_NL, está relacionada com a potência média do sinal, P , em um passo de comprimento h, através da expressão

eff NL γPh

φ = , (3.1.12)

na qual γ é o parâmtero não-linear e h_eff é o passo efetivo dado por:

α α ) exp( 1 h heff − − = e (3.1.13) α é a atenuação da fibra.

Nos casos reais a atenuação da fibra é diferente de zero e a potência média, P , diminui com a distância. Se fixarmos um valor para a fase não-linear, poderemos ter um passo variável (ou adaptativo) que aumente à medida que o pulso se propaga pela fibra. Essa estratégia, ilustrada na Figura 3.1.5, é bastante conveniente porque reduz o número de passos, diminuindo tanto o tempo de simulação, como o número de transformadas e antitransformadas realizadas (minimizando os efeitos do aliasing).

Implementações sofisticadas do método de Split-Step Fourier podem, ainda, adotar uma estratégia de passo adaptativo na qual seja permitida a diminuição do passo. Isso pode ser de interesse em casos especiais (como os de colisões de sólitons) nos quais a potência de pico aumenta ao longo da propagação. Nessa implementação, é conveniente, por exemplo, que o algoritmo considere a evolução dos valores da potência de pico durante os últimos passos, o que pode acarretar em um aumento no tempo computacional.

Figura 3.1.5: Método de Split- Step Fourier simetrizado com passo variável.

No documento Contribuição para o estudo de não-linearidades em fibras opticas monomodo (páginas 72-78)