GABARITO – GE2 APLICAÇÕES DO MHS
GE2.11) PROBLEMAS
GE2.11.1) Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma exploradora do espaço constrói um pêndulo simples de 50,0 cm de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de g neste planeta?
Utilizando a equação que nos fornece o período de um pêndulo simples, temos:
(
)
2 2 2 2 2 2 27
,
10
136
100
500
,
0
4
4
4
2
s
m
g
s
m
g
Lf
g
T
L
g
g
L
T
=
⇒
×
×
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
π
π
π
π
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
GE2.11.2) Enche-se uma esfera oca com água através de um pequeno orifício. A esfera é suspensa por um fio longo, posta para oscilar e, enquanto a água escorre pelo orifício no fundo, observa-se que, inicialmente, o período aumenta e, em seguida, diminui. Explique este fenômeno.
O sistema (fio/esfera com água) é um pêndulo físico. Logo, para pequenas oscilações, o período T desse sistema é dado por:
Mgd
I
T
=
2
π
onde d é a distância do ponto de fixação do fio ao centro de massa da esfera.
Neste caso, temos essencialmente 3 variáveis no sistema: a massa, o momento de inércia e a distância d, do centro de massa ao ponto de fixação.
À medida que a água vai escorrendo pelo orifício a massa diminui.
Também a distribuição de massa, descrita pelo momento de inércia muda de uma casca esférica cheia de água pendurada por um fio, por um conjunto de casca esférica semi-preenchida com água, cuja massa decresce até uma casca esférica vazia; ou contendo somente ar no interior .
E o centro de massa varia e conseqüentemente a distância d varia desde o centro da esfera até uma ponto de mínimo devido à água que escorre até ao centro da casca esférica, quando a mesma não contém mais água.
O cálculo da variação do período depende então da variação destas três grandezas que dependem das dimensões e densidade da casca esférica e fluxo da água que escorre, bem como do comprimento do fio.
Critério de correção: 100% para a justificativa correta ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incompleto.
GE2.11.3) Como é afetado o período de um pêndulo quando seu ponto de sustentação se desloca:
(a) horizontalmente no plano de oscilação, com aceleração a ;
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se horizontalmente com uma aceleração a o pêndulo pára de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma aceleração horizontal a, e dessa forma, o pêndulo deve alcançar uma posição em que a resultante das forças que atuam sobre ele irá produzir uma aceleração resultante igual a a.
(b) verticalmente para cima, com aceleração a;
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para cima com uma aceleração a o período do pêndulo diminui. Pois, a força restauradora que tende a trazer o sistema de volta a posição de equilíbrio é igual:
θ θ sen sen ma mg F ma P F ma F rest x x rest − = + = + =
∑
θ θ sen sen ma mg Fret =− −Supondo o eixo y positivo no sentido para cima (contrário à aceleração gravitacional). Para pequenos ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para que ocorra o MHS, e o período do pêndulo dado por:
(
)
a
g
L
T
a
g
L
m
m
T
+
=
+
=
π
π
2
2
Como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo diminui.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória mas incompleta. (Essa questão já foi pedida no guia de estudo, G.E.2.3.5)
(c) verticalmente pra baixo, com aceleração a < g e a > g
θ θ sen sen ma mg F ma P F ma F rest x x rest = + = + =
∑
θ θ sen sen ma mg Frest =− +para pequenos ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para que ocorra o MHS, e o período do pêndulo dado por:
(
)
a
g
L
T
a
g
L
m
m
T
−
=
−
=
π
π
2
2
como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo aumenta.
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para baixo com uma aceleração a > g o pêndulo para de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma aceleração vertical a, e dessa forma, o pêndulo alcança uma posição em que a resultante das forças que atuam sobre ele irá “puxa-lo” para baixo com uma aceleração resultante igual a a.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória mas incompleta.
(d) Alguns destes casos se aplicam a um pêndulo montado em um carro que desce por uma ladeira?
A situação em que um pêndulo é montado em um carro que desce uma ladeira, pode ser considerada como uma mistura dos casos (a) e (c) anteriores, com a < g no caso (c).
Critério de correção: 100% ou 0%.
GE2.11.4) Um pêndulo físico consiste em um disco sólido uniforme de massa M = 563g e raio R = 14,4 cm, mantido no plano vertical por um eixo preso a uma distância d = 10,2 cm do centro do disco, conforme mostrado na figura ao lado. Desloca-se o disco de um pequeno ângulo e, em seguida, ele é liberado. Encontre o período do movimento harmônico resultante.
s
T
gd
d
R
T
Mgd
Md
MR
T
Mgd
I
T
907
,
0
2
1
2
2
1
2
2
2 2 2 2=
+
=
+
=
=
π
π
π
onde, o teorema dos eixos paralelos foi utilizado para calcularmos o momento de inércia do disco em relação ao ponto d.
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
GE2.11.5) Uma mola de massa desprezível e constante k = 400 N/m está suspensa verticalmente e um prato de 0,200 kg está suspenso em sua extremidade inferior. Um açougueiro deixa cair sobre o prato de uma altura de 0,40 m uma posta de carne de 2,20 kg. A posta de carne produz uma colisão totalmente inelástica com o prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule:
(a) a velocidade do prato e da carne logo após a colisão;
Utilizando a conservação de energia, para o momento imediatamente antes da posta de carne colidir com o prato, temos:
s
m
v
gh
v
mv
mgh
80
,
2
2
2
1
2=
=
=
tendo em vista que a colisão é totalmente inelástica, e utilizando o principio da conservação da quantidade de movimento, temos:
(
)
s
m
v
m
M
Mv
v
m
M
v
Mv
mv
Mv
Mv
f f f f f57
,
2
=
⇒
+
=
⇒
+
=
+
=
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
m
x
k
Mg
x
kx
Mg
kx
F
0538
,
0
−
=
=
−
=
−
−
=
a energia mecânica desse sistema é dada por:
(
)
J
E
kx
v
m
M
E
U
K
E
f50
,
8
2
1
2
1
2 2=
+
+
=
+
=
utilizando o valor de E obtido acima, podemos calcular o valor da amplitude de oscilação do sistema:
m
x
k
E
x
kx
E
206
,
0
2
2
1
max max 2 max=
=
=
Critério de correção: 100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.
(c) o período do movimento.
Utilizando a equação para o período do sistema massa-mola, temos:
s
T
k
m
M
T
487
,
0
2
=
+
=
π
GE2.11.6) Um bloco de massa M repousa sobre uma superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal cuja constante é k. A outra extremidade da mola está presa a uma parede, como na figura ao lado. Um segundo bloco de massa m repousa sobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é µe. Ache a amplitude
máxima da oscilação para que o bloco superior não deslize sobre o
bloco inferior.
Estando o segundo bloco em repouso sobre o primeiro, os dois blocos devem estar sujeitos a mesma aceleração a. Assim, os dois blocos estão sujeitos a uma aceleração a dada por:
(
)
m
M
kx
a
a
m
M
kx
+
−
=
⇒
+
=
−
O segundo bloco está sujeito a uma força cujo módulo é ma. Logo, a amplitude máxima de oscilação que esse sistema pode ter, sem que o bloco superior deslize, é dada por:
(
)
k
m
M
g
x
m
M
kx
m
mg
ma
mg
e m e e+
=
+
=
=
−
µ
µ
µ
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto.
GE2.11.7) Um ovo de 50,0 g fervido durante muito tempo está preso na extremidade de uma mola cuja constante é k = 25,0 N/m. Seu deslocamento inicial é igual a 0,300 m. Uma força de amortecimento F = - bv atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de 0,100 m em 5,00 s. Calcule o módulo da constante de amortecimento b.
( )
(
)
(
)
(
)
s kg b t m b e e m t x m t x t e x t x m bt m bt m bt m 3 2 2 2 10 11 , 8 300 , 0 200 , 0 ln 2 ln 300 , 0 200 , 0 ln 300 , 0 200 , 0 200 , 0 5 300 , 0 0 cos − − − − × = − = = = = = = = + ′ = ω φCritério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos).A resposta é dada com três significativos.
GE2.11.8) Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco (m = 1,91 kg), uma certa mola (k = 12,6 N/m) e uma força amortecedora F = - bvx. Inicialmente, o bloco oscila com
amplitude de 26,2 cm; por causa do amortecimento, a amplitude reduz-se para três quartos desse valor inicial, após quatro ciclos completos.
(a) Qual o valor de b?;
2 2 2 2 2 2 − = ′ = − = ′ m b m k T m b m k π ω π ω
Primeiramente devemos encontrar o período de oscilação do sistema. Feito isso, podemos calcular o valor de b.
( )
(
)
(
)
(
)
− = − − = − = = = = = = = + ′ = − − − 4 3 ln 2 4 4 3 ln 2 2 2 4 3 ln 2 ln 4 3 ln 262 , 0 262 , 0 4 3 262 , 0 4 3 4 262 , 0 0 cos 2 2 2 2 4 2 m b m k m b m b m k m T m b e e m T t x m t x t e x t x m bT m T b m bt m π π φ ω s Kg mk b 0,155 / 1 ) 4 / 3 ( ln 16 2 2 = + = πCritério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos.
(c) Qual a quantidade de energia dissipada durante esses quatro ciclos? A quantidade de energia dissipada
∆
E
é dada por:(
)
J
E
kx
E
kx
x
k
E
U
U
E
m m m i f189
,
0
16
16
9
2
1
2
1
4
3
2
1
2 2 2−
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos.
GE2.11.9) Considere as oscilações forçadas de um sistema bloco-mola amortecido. Mostre que na ressonância:
(a) a amplitude das oscilações é xm = Fm/bω ;
A equação de movimento de um oscilador massa-mola amortecido forçado é dada por:
( )
=
(
ω
′′
t
−
β
)
G
F
t
x
mcos
ondeG
=
m
2(
ω
′′
2−
ω
2)
2+
b
2ω
′′
2 . Na ressonânciaω
′′
=
ω
, para pequenos amortecimentos. Logo,(
)
ω
ω
ω
ω
ω
b
F
b
F
x
b
m
F
x
m m m m m=
′′
=
′′
+
−
′′
=
2 2 2 2 2 2 Critério de correção: 100% ou 0%.(b) a velocidade máxima do bloco oscilante vmáx = Fm/b.
