Modelagem Física de Sistemas Mecânicos

(1)

Modelagem Física de Sistemas Mecânicos

Professor:

Luiz Gustavo Cardoso Maria

Última Atualização: Março/2017

OSCILAÇÕES

Um dos mais importantes movimentos que podemos encontrar na natureza é o movimento oscilatório ou movimento de vibração. Dizemos que uma partícula está oscilando quando se move periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio.

Exemplos de movimentos oscilatórios:

-

_{o movimento de um pêndulo;}

-

_{os átomos vibrando em um sólido;}

-

_{vibração de moléculas de ar quando ondas sonoras se propagam;}

-

_{os elétrons executam rápidas oscilações em uma antena de transmissão ou de recepção.}

Apesar das diferenças nas características e nas leis que governam os sistemas que mencionamos, podemos usar a mesma formulação matemática para descrever suas oscilações.

1.1 Definições básicas

1.

_{Movimento harmônico simples (}_mhs₎

Dizemos que um corpo executa movimento harmônico simples ao longo do eixo X quando seu deslocamento, em relação à origem do sistema de coordenadas, é dado pela relação

x(t) = A cos(ωt + φ) . (1)

onde, A, ω e φ são constantes.

2.

ωt ₊φ → _{fase total do movimento}

3.

φ → _{constante de fase ou ângulo de fase (fase para}_t_{= 0)}

4.

A → amplitude; deslocamento máximo em relação à origem

Observação: O deslocamento da partícula varia entre x = −A e x = A

5.

ω → frequência angular ou pulsação do corpo que oscila (rad/s)

6.

_{Período (}_T₎→ _{tempo necessário para o corpo completar uma oscilação}

(2)

. (2)

Isto significa que o mhs é periódico e seu período é dado por (2).

7.

_{frequência (}ν₎→ _{número de oscilações completas por unidade de tempo (}_Hz_ou_s−1₎

. (3)

De (2) e (3),

ω = 2πν . (4)

8.

_Velocidade

A velocidade de uma partícula que executa mhs é obtida a partir da derivada de x(t), dado por (1), em relação ao tempo. Ou seja,

. (5)

9.

Aceleração

Podemos obter a aceleração da partícula derivando (5) em relação ao tempo. Temos então que

. (6)

(3)

Note, no gráfico, que há uma diferença de π/2 entre as fases da velocidade e do deslocamento. Quando o módulo do deslocamento é máximo, a velocidade se anula. Quando o deslocamento se anula, a velocidade atinge seu módulo máximo.

1.2 Movimento harmônico simples

(4)

F = ma . Temos então que

F = ma = −mω2_A_cos(ωt ₊φ_{) =}−mω2_x

ou

F = −kx , (7)

onde

k = mω2 _. ₍₈₎

Esse resultado nos mostra que em um mhs, a força é proporcional e de sentido contrário ao deslocamento. A força dada por (7) é a tipo que aparece quando se deforma uma mola.

Neste caso, k é chamada de constante elástica. De (8), (4) e (2),

(9) e

. (10)

Podemos dizer que a força F dada por (7) é atrativa e o centro atrativo é o ponto O, que é exatamente o ponto de equilíbrio (x = 0 =⇒F = 0).

A energia cinética K, em qualquer instante, é escrita como

, (11)

(5)

(12)

Pode-se notar facilmente de (12) que a energia cinética é máxima em x = 0 e nula nos extremos de oscilação, o que corresponde a x = ±_A_.

A energia potencial é dada por

. (13)

A energia mecânica total é a soma da energia cinética e a potencial. Logo,

. (14)

Gráfico

(6)

Podemos reescrever a equação (14) como

,

donde

. (15)

A equação (15) mostra que a velocidade é máxima em x = 0 e nula nos extremos do movimento (x = ±A).

No estudo que acabamos de fazer concluímos que deveríamos ter uma força dada pela equação (7) para produzir o mhs. O estudo poderia ter sido feito de maneira inversa, isto é, dada uma força como em (7), provar que o movimento resultante é harmônico simples. Como,

F = ma , de (7),

ou

(7)

. (16)

1.3 Aplicações do movimento harmônico simples

1.3.1. Oscilador de Torção

O pêndulo de torção consiste de um corpo suspenso por um fio (figura que segue) de modo que a linha OC passe pelo centro de massa do corpo.

Quando o corpo sofre uma rotação de um ângulo θ, a partir de sua posição de equilíbrio, o fio é torcido e passa a exercer um torque τ sobre o corpo, em torno de OC, que se opõe ao deslocamento θ, com módulo proporcional a θ. Então podemos escrever que, para pequenas torções

τ = −kθ , (17)

onde k é o coeficiente de torção do fio.

Representando por I o momento de inércia do corpo em relação ao eixo OC,

onde α é a aceleração angular. Logo,

, (18)

(8)

; (19)

o período de oscilação tema a forma

. (20)

A partir de (20) podemos determinar experimentalmente o momento de inércia de um corpo, deixando-o suspenso por um fio cujo coeficiente é conhecido e, em seguida, medindo o período T de oscilação.

1.3.2. Pêndulo Simples

Um pêndulo simples consiste de uma partícula de massa m presa em um ponto O por um fio de comprimento L e massa desprezível.

As forças que atuam no pêndulo são a tração T~ no fio e o peso P~, que está decomposto na figura em suas componentes tangencial e normal (radial).

Observação:

Componente tangencial do peso −→força restauradora Componente normal −→força centrípeta

Da figura,

FT = −mgsenθ , (21)

(9)

, (22)

onde

.

De (21) e (22)

ou

. (23)

No limite em que θ é muito pequeno, senθ ≈ θ e a equação (23) toma a forma

, (24)

que é idêntica a` equação (16). Podemos concluir que, dentro da aproximação para ângulos pequenos, o movimento do pêndulo é harmônico simples, com

. (25)

Daí,

. (26)

1.3.3. Pêndulo Físico

(10)

Observação: todos os pêndulos reais são pêndulos físicos. A componente Z do torque que age sobre o corpo é

τz = −mgdsenθ . (27)

Por outro lado,

τz = Iα , (28)

onde

é a aceleração angular. Daí,

e

. (29)

Supondo o regime de pequenas oscilações (θ << 1),

. (30)

Neste caso também, para θ << 1, o movimento angular oscilatório é harmônico simples, com

(11)

. (32)

O pêndulo simples é um caso particular do pêndulo físico. De fato, se fizermos I = mL2 _e_d₌_L_na

equação (32), obtemos

.

1 – Resolva as equações (16), (18), (29) e (30), usando o formalismo de Transformada de Laplace (Ponto de Operação 𝑥₀= 0, 𝑥̇ = 0 𝑜𝑢 𝜃₀= 0, 𝜃̇ = 0.

1.4 Movimento harmônico amortecido

Quando estudamos o oscilador harmônico, supomos as forças conservativas. Na prática, sempre existe dissipação de energia.

Vamos supor que, além da força restauradora

F = −kx , age uma outra força de sentido oposto ao da velocidade,

(12)

onde λ é uma constante. Pela segunda lei de Newton,

ou

. (33)

Podemos reescrever a equação (33) como

, (34)

onde

(35) e

(36) é a frequência angular natural, sem amortecimento.

2 - Resolva a equação (34) usando o formalismo de Transformada de Laplace (Ponto de Operação 𝑥 = 0, 𝑥̇ =

0.)

1.5 Oscilações Forçadas

Examinaremos agora o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa periódica. Podemos supor que, em geral, o período desta força não coincidirá com o período natural do oscilador. A força externa tem o papel de suprir continuamente o oscilador com energia, compensando a dissipação.

Considere

𝐹 = 𝐹0 cos (𝜔𝑓𝑡) , (37)

a força oscilante aplicada a ωf sua frequência. Vamos supor que a partícula esteja sujeita também a uma força

(13)

F 0 ₌−λv .

A equação do movimento é

ou

(38) onde

e

.

3 - Resolva a equação (38) usando o formalismo de Transformada de Laplace (Ponto de Operação 𝑥 = 0, 𝑥̇ =