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esolução das atividades complementares
M
atemática
M2 — Trigonometria nos triângulos
p. 42
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A hipotenusa BC de um triângulo retângulo mede 30 cm e o ângulo ABCˆ mede 60°. Qual é a medida dos catetos?2
Um avião se aproxima de um aeroporto A, em linha reta. Ao atingir um ponto B, o piloto é avisado de que deve alterar sua rota para aterrissar em um outro aeroporto,C, distante 60 km de A.
Um mapa indica que a reta que liga A a C é perpendicular à trajetória que o avião percorria, e o piloto verifica que deve fazer um giro de 60° com o avião. Qual distância o avião deverá percorrer para chegar a C?
15 cm; 15 3 cm Resolução: sen B AC BC x x x cm sen C A ˆ ˆ 5 5 5 5 5 → sen 60° → → 15 3 30 3 2 30 B B BC y y y cm → sen 30° → → Os catetos med 5 5 5 30 12 30 15 eem 15 cm e 15 3 cm. 40 3 km Resolução:
C.E.: x é a distância que o avião deverá percorrer para chegar a C.
sen AC BC x x 60 3 2 60 ° 40 3 Portanto, a distânc 5 → 5 → 5 iia é 40 3 km. B A x C y 30 cm 60o 30o x
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Um prédio foi construído de forma que sua porta de entrada está 1,20 m acima do nível da calçada. O arquiteto projetou uma rampa que ligará a calçada à porta de entrada do prédio e terá uma inclinação de 30° com a horizontal. Qual é o comprimento dessa rampa?4
Um barco navega em um rio, segundo uma linha reta PQ, distante 20 m de uma das margens. Ao atingir um ponto A, o piloto faz um giro de 120° para a direita do movimento do barco e se dirige, em linha reta, para um ponto B da margem. Calcule a distância que separa A de B.2,40 m Resolução:
Fazendo x o comprimento da rampa, vem: sen 30° 1,20 x 1,20 x 2,40 5 → 1 5 → 5 2 x O comprimento da rampa é 2,40 m. 40 3 3 m Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
O triângulo ABC é retângulo; portanto: sen x x 60 20 3 2 ° 40 3 3 Logo, a distância entre
5 5 → 5 e é 40 3 3 m. A B x 20 m A Q C B P 60o 120o
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Um homem viaja de ônibus em uma estrada com um longo trecho MN em linha reta ao lado de um campo. Ao passar por um ponto A, ele avista uma casa C, de modo que o ângulo CÂN mede 60°. Após percorrer 600 m, ele está em um ponto E e vê a casa de forma que CÊN mede 135°. Calcule a distância que a casa está da estrada. (Se necessário, use2 51 41, e 3 51 73, .)
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Uma torre de transmissão de energia elétrica está localizada em um terreno plano. Uma pessoa em um ponto X a avista sob um ângulo de 60°. Ao se afastar, segundo uma linha reta que liga a torre ao ponto X, essa pessoa percebe que, após percorrer 20 m, avista a torre segundo um ângulo de 30°. Qual é a altura da torre? 380,22 m Resolução:
CÊN é um ângulo externo do triângulo; portanto, o ângulo interno mede 45°. Seja x a distância entre a casa e a estrada.
Os triângulos ACD e CDE são retângulos, então: no triângulo ACD, temos tg 60° , e no triâ
5 x 5
y 3
nngulo CDE, temos tg 45°
600 .
5
2 5
x
y 1
Das duas equações, obtemos o sistema: x 5 y 3 (II
x y II ) ( ) 56002 Isolando em (II), temos:y y . Substituindo em (I) e considera
56002 x y nndo 3 1,73, vem: x (600 1,73x 2, 5 5 2 x) 3 → x 51 038 2 → 773x 51 038 → x 380,22 m x 600 � y y A M D C E 60o 45o 135o N 10 3 m Resolução:
Os triângulos ABX e ABY são retângulos em B. No triângulo ABX, temos tg 60° h
a , e no t
5 3 5 rriângulo ABY, temos tg 30° 5 5 .
1 3 3 a h20 3 A B a h X 20 m Y 60o 30o
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Em um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AC, prolonga-se o cateto BC até um ponto D tal queC está entre B e D e med BDA 5 30°. Calcule a medida de CD, sabendo que o ângulo  do triângulo mede ( ˆ ) 30° e AB 5 50 3.
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Uma praça tem forma triangular e é delimitada pelas ruas Acre, Pará e Amazonas. Deseja-se abrir uma passagem para ciclistas ligando a rua Amazonas à rua Pará, perpendicularmente à rua Amazonas. Qual deverá ser a largura dessa passagem para que a abertura d (ver figura) na rua Pará tenha no mínimo 2 m? (Se necessário, use 351 71, .)100 Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
O triângulo ABC é retângulo, então:
tg30 3 y y
3 50 3 50
°
O triângulo ABD também é
5 5 → 5 rretângulo, portanto: tg 30° 5 5 1 5 1 3 3 y50 3x 5050 3xx → (501x) 3 5150 3 → x 5100 Logo, CD 5 100. A B y C x D 30o 30o 50 3 no mínimo 1,71 m Resolução: Seja EC // x.
No triângulo DEC, Cˆ 530°, Eˆ 590° e EC 5x, enttão:
cos 30°5 3 5 5 51,71 m
2 2x → x 3
Ou seja, a largura mínima é 1,71 m.
A B x E 2 mC D 30o 30o
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Os lados de um triângulo medem 6 cm, 8 cm e 12 cm. Calcule o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.p. 48
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Calcule o cosseno do maior ângulo de um triângulo de lados 12 cm, 15 cm e 18 cm.11
Os lados menores de um paralelogramo medem 3 cm e sua diagonal menor mede 13 cm. Determine a medida dos lados maiores, sabendo que o menor ângulo desse paralelogramo mede 60°.2 11 24
Resolução:
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo; portanto, Â é o maior ângulo.
Aplicando a lei dos cossenos, temos: 122 5 62 1 82 2 2 ? 6 ? 8 ? cos x 144 5 36 1 64 2 96 cos x cos x 5 244 5 2 96 1124 A C B x 8 cm 12 cm 6 cm 1 8 Resolução:
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo; portanto, Â é o maior ângulo.
Aplicando a lei dos cossenos, temos: 182 5 122 1 152 2 2 ? 12 ? 15 ? cos x 324 5 144 1 225 2 360 cos x 245 5 2360 cos x cosx 5 45 cosx 5 360 → 18 A C B x 15 cm 18 cm 12 cm 4 cm Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ADC, temos: ( 13)2 32 2 2 3 60° 5 1x 2 ? ? ?x cos B A C D x x 3 cm 3 cm 60o 13 cm
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Em um ABC tem-se AC 5 4 cm, BC 5 3 cm e o ângulo  medindo 30°. O seno do ângulo Bˆ vale: a) 12 c) 22 e) 34 b) 2
3 d) 34
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A área de um paralelogramo ABCD é 30 3 m . O lado AB mede 6 m e forma com AD um ângulo de 30°. 2Calcule a medida de AD.
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
Pela lei dos senos, temos: 3
30 4 13
2
4 2
3 sen ° 5 sen B → 5 sen B → sen B5
10 3 m Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
área do paralelogramo 530 3 m2
Os triângulos ABD e BDC são congruentes pelo caso LLL; logo, a área do triângulo ABD515 3 m2.
S 5 ? x sen? 5 x x m ? ? 5 5 6 30 2 6 1 2 2 10 3 ° 15 3 15 3 Logo, A → → D D 5 10 3 m. B C D A x 6 m 30o B A C 3 cm 30o 4 cm
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Na figura, AC5 2 cm AB, 52 2 cm e med A( ˆ )5 45°. Calcule a área do ABC.14
A figura mostra os pontos A e B, um em cada margem de um rio, que deverão ser ligados por uma ponte. Para determinar o comprimento da ponte, um engenheiro marcou um ponto C, na mesma margem de A, e mediu os ângulos BAC e BCAˆ ˆ , obtendo 64º e 50º, respectivamente. Mediu também a distância AC, obtendo 14 m. Determine qual é a medida de AB, usando as seguintes aproximações: sen 50º 5 0,77; sen 64º 5 0,90; e sen 66° 5 0,91. 11,85 mResolução:
Esquematizando o problema, temos:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°; portanto, B 5 180° 2 64° 2 50° 5 66°. Pela lei dos senos, temos:
14 sen 66° 5 senx50° → 0,9114 5 0,77x → x 511,85 Portanto, AD mede 11,85 m. A 14 m C 50° 64° B x Resolução: SABC 5 ° ? ? 5 ? 5 2 2 2 45 2 4 2 2 2 2 2 sen S ABC → A área do ABC é 2 cm2. A B 45° C 2 cm 2 2 cm 2 cm2
