Fidelidade em Teoria de Campos

(1)

Fidelidade em Teoria de Campos

Rafael dos Santos Silveira

orientador: Mar o Mori oni

(2)

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Fidelidade em Teoria de Campos

Rafael dos Santos Silveira

orientador: Mar o Mori oni

Niterói, Maiode 2015.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

To be broken

Feelings are intense

Words are trivial

Pleasures remain

Sodoes the pain

Words are meaningless

Andforgettable

(10)

(11)

Agradeçoà minhafamília,porter me riado;

ÀIwata, Sakurai,Aonuma,Fils-Aime,eGareld,peloapoioemdiversasfasesdifí eis;

Aos amigos doCas-UFRJ, porterem meajudado noiní io dauniversidade;

Aos amigos doIF-UFF, porterem ajudado aterminar auniversidade;

Ao Google, por mepoupar muito tempo;

Ao meu orientador, pelapa iên ia durante o doutorado;

Ao CNPQ, peloapoionan eiro;

(12)

(13)

In this thesis, we present a method to ompute the quantum delity in eld theory. We

introdu e a repli a tri k to handle the square roots of operators and apply the method

to ompute the delity for freeeld theorieswith dierent masses. We alsoshow howto

(14)

(15)

Nesta tese, apresentamos um método para al ular a delidade quânti a em teoria de

ampos. Apresentamos um método de répli as para lidar om as raízes quadradas de

operadoreseapli amosométodopara al ularadelidadepara ateoriade amposlivres

ommassasdiferentes. Tambémmostramos omoapli arnossométodoemaproximações

(16)

(17)

Sumário

Introdução 1

1.1 Informação lássi ae quânti a . . . 2

1.1.1 Teoria de Shannon . . . 3

1.1.2 Entropia de von Neumann . . . 4

1.2 De oerên ia . . . 5

Fidelidade Quânti a 7 2.1 Introdução . . . 7

2.2 Misturas quânti as . . . 7

2.3 Matriz densidade em teoriade ampos . . . 10

2.4 Fidelidade e misturasquânti as . . . 11

2.5 Formulação de Jozsa-Uhlmann . . . 12

2.6 Exemplo . . . 13

2.7 Propriedades dadelidade de Jozsa-Uhlmann . . . 15

2.8 Exemplo: De aimento exponen ial . . . 16

2.9 Outras medidasde de oerên ia . . . 18

Fidelidade em Teoria de ampos 23 3.1 Fidelidade emTQC . . . 23

3.2 Extensão analíti a: Método darépli a . . . 24

(18)

Campo bosni o em 2D 33

4.1 Introdução . . . 33

4.2 Campo equivalente . . . 34

4.3 Massa equivalente . . . 35

4.4 Cál uloda delidade . . . 38

4.5 Teoremade Gel'and-Yaglom . . . 40

4.6 Análise dadelidade para amposbosni os . . . 43

Apli ações 47 5.1 Teorias interagentes . . . 47

5.2 Fonteexterna onstante . . . 49

Con lusões 51

(19)

Lista de Figuras

2.1 Função Partição . . . 11

2.2 Fidelidade em um aso simplesde de aimento exponen ial. . . 18

2.3 Exemplo do uso daentropia para determinar de oerên ia. . . 20

3.4 Evolução dos ampos,aquimostramos as ondiçõesini iais e nais dos

(2n + 1)n

ampos 27

4.5 Fidelidade para diferentes massa. Podemos notar que para massasmuito diferentes, adelidade iráa zero e émáxima para quando ambas as massas são iguais. 44

4.6 Fidelidade para diferentes dimensões de sistema. Para sistemas menores, hámais han es de similaridadeentre ossistemas. 45

(20)

Introdução

Quandorealizamosumamedida,realizamosuma omparaçãoentre algoque onhe emos,

e tomamos omo padrão, e um objeto ujas ara terísti as queremos identi ar. Dado

isso, é possível ter uma ideia do quão importante omparações são para omovemos o

mundo.

Quando pensamos na qualidade de transmissão, queremos que a mensagem re ebida

seja idênti a à enviada, mas, devido diversos fatores, pode o orrer perda de informação

enviada. Em geral essa perda se deve basi amente a dois efeitos: perda de informação

devido à inuên ia do meio externo, e à falta de re ursos para realizar a transmissão

[1℄ . Uma vez que sistemas quânti os tem sido ada vez mais utilizados para

transmi-tir informação, é ne essário também riar ferramentas para analisar a qualidade dessa

transmissão.

Para estados quânti os puros, esta omparaçãoé simples: basta aprojeçãonoespaço

dos estados entre dois sistemas. O mesmo não o orre para estados referentes a misturas

quânti as. Épre iso deniruma nova projeçãopara poder ompará-las.

A Fidelidade surge omo uma proposta para esta omparação, sendo utilizada para

medir o omportamentode sistemas reais em relação às suas ontrapartes, onsideradas

ideais. Estetipodemedidajávemsendoutilizadas omomedidade qualidadeemrelação

àperda de informação,dada interação omo ambienteemexperimentosquânti os [1,2℄,

teleportação quânti a [3,4℄, e riptograa [ 5℄.

Maspara realizartais omparações, se fazne essário onhe er asmatrizesdensidades

destes sistemas. Estas matrizes, em geral, são onhe idas através de repetidas

(21)

ópi a.

Cardy eCalabrese, emseus trabalhos [6,7℄ trouxeram o on eito de entropia de

ema-ranhamentopara a Teoria Quânti a de Campos(TQC), e abriramas portas para físi os

teóri os se aproximarem da informação quânti a, um território até então pou o

explo-rado por eles. Nestes trabalhos, o uso de ferramentas já onhe idas pelos ampistas,

simpli am o ál ulo daentropia quânti a em teorias om a simetria onforme [6,7℄.

Posteriormente, Cardy e Calabrese al ularam a negatividade [8,9,10℄ de um sistema

utilizandoferramentasdeTQC.Anegatividadeéumamedidadeemaranhamentode um

sistemaquânti o,eédenida omo

N (ρ) ≡

P (|λ

i

| − λ

i

) /2

,onde

λ

i

sãoosautovaloresda transposta par ialde

ρ

,demonstrando queasideiasapresentadasnos primeirostrabalhos poderiamser apli adas além do al ulo daentropia de emaranhamento.

Dado isto, nãoé difí ilimaginarmosoutrasmedidas nas quaispodemos utilizar

ferra-mentasteóri as parasimpli ara obtenção de seus valores.

Nesta tese apresentamos a delidade quânti a omo ferramentade omparação entre

dois sistemas des ritos por misturas quânti as. Após revermos on eitos referentes à

delidade,apresentaremosnosso métodoparao ál ulodadelidadeutilizandoométodo

da répli a para lidar om as raízes quadradas que surgem na expressão da delidade

quânti a.

Utilizaremosnossométodono ál ulodadelidadequânti aemsistemasdes ritospor

teorias de ampos livres, mas que tenhammassas diferentes. Posteriormentemostramos

omo este resultado pode ser apli ado emteorias interagentes.

1.1 Informação lássi a e quânti a

O estudo da teoria da informação foi ini iado por Claude Shannon em [11℄, onde ele

formulou os fundamentos do assunto. Neste artigo, Shannon mostra que o prin ipal

problema em omuni ações é reproduzir om exatidão a mensagem enviada no seu lo al

de re ebimento,ou que, pelomenos,o mais próximoo possível seja.

(22)

reprodução envolvem efeitos quânti os [12℄. Embora o primeiro artigo emteoria lássi a

da informação tenha sido publi ado em 1948, o estudo sistemáti o da área omeçou há

pou omaisdevinteanos,quandoforamabandonadososesforçosdeusarmétodos lássi os

para medire lassi ar informaçãoem sistemasquânti os.

1.1.1 Teoria de Shannon

Shannon[11℄apresentoudoisteoremasquedepoisforamgeneralizadosparaateoria

quân-ti a da informação. No primeiro teorema, é dada uma fórmula apaz de determinar o

máximo que se pode omprimir um sinal aleatório emitido por uma fonte, para que se

possa re uperar osinal original om omáximo de delidade[12℄.

Esteteoremaarmaqueumafonte

X

queemite

n

possíveissinais om probabilidades

p

1

, p

2

, ..., p

n

, pode ser reduzida a

N = (n H(X) + o(n))

bits e ser restaurada om alta e iên ia,onde

H(X)

éaentropia de Shannone

N

será opróximonúmerointeirode bits após

n H(X)

apósa a soma om

o(n)

, que garante este ser um valorinteiro. A entropia édada por

H(X) = H(

{p

i

}) = −

n

X

i=1

p

i

log

2

(p

i

).

(1.1)

O segundo teorema, para situações emque existem limitações físi asfundamentais à

transferên ia de informação (ruído, largura de banda), estabele e a apa idade do anal

emtransmitirinformação. O teoremada odi ação de anal, também hamadoteorema

fundamentalda teoria da informação, determina que,

n

usos de anal de transmissão

N

que apresenta ruído, podem ser transmitidos

n C

− o(n)

bits om maior e iên ia, onde

C

é hamada apa idadedo anal eé dada por

C = max

p(X)

I(X; N(X)) ,

(1.2)

ondea maximizaçãoé feitasobre todas as possíveisdistribuiçõesde probabilidadeem

X

parao enviofeitopelo anal,

N(X)

para osinal re ebido, dadoo envio

X

. A informação mútua,

I(X; Y )

, é denida por

(23)

I(X; Y ) = H(Y )

_{− H(Y |X)}

= H(X) + H(Y )

_{− H(X, Y )}

,

(1.3)

onde

H(X, Y )

éaentropiadadapeladistribuição onjuntade

X

e

Y

,e

H(Y

|X)

é hamada entropia ondi ional de

Y

, dado

X

,e é dada pelaexpressão

H(Y

_{|X) =}

X

i

p

X=X

i

H(Y

|X = X

i

).

(1.4)

A informação mútua é uma medida da quantidade de informação que uma variável

aleatória ontém a er a da outra. Por exemplo, no aso de duas variáveis aleatórias

independentes

X

e

Y

, de probabilidades

p(x)

e

p(y)

,

p(x, y) = p(x)

· p(y)

, a informação mútua resultariaem

0

omo seria esperado.

1.1.2 Entropia de von Neumann

Sendoargumentostermodinâmi os,envolvendooaumentodaentropiaasso iadaao

traba-lhorealizadoporum sistema,vonNeumannfoi apazde deduziroequivalenteàentropia

de informação para um sistema quânti o, a entropia de von Neumann [12℄. Dado um

sistema quânti o des ritopela matrizdensidade

ρ

, sua entropiaé dada por

S(ρ) =

_{−T r[ρ log}

₂

ρ].

(1.5)

Lembrando que

ρ

é uma operador positivo denido, mostra-se que

−T r[ρ log

2

ρ]

é uma grandeza bem denida. Asdemais propriedadespara matrizesdensidade emisturas

quânti as serão apresentadas posteriormente neste trabalho. No aso de

ρ

ser des rita em sua base de autovetores, om autovalores

λ

i

, ela é diagonal, assim omo a matriz

(

_{−ρ log}

₂

ρ)

om autovalores

(

−λ

i

log

2

λ

i

)

, de formaque para este aso,

S(ρ) = H(

{λ

i

}),

(1.6)

(24)

1.2 De oerên ia

Name âni a quânti a, ade oerên iaquânti a éaperda da oerên iaoudoordenamento

das fases entre omponentes de um sistema em uma superposição quânti a. Esta perda

não evitaque diferentes elementos nasuperposição quânti a dafunção de onda onjunta

ambiente e sistema interram entre si. E este efeito é uma das origem do olapso da

função de onda.

Ade oerên ia[13℄,trazdiversasimpli açõesnaimplementaçãodainformaçãoquânti a

em omputadores quânti os reais. Aprin ipal,équesistemasquânti osreaisnun aestão

ompletamente isolados do meio externo, mas sim imersos e interagindo ontinuamente

om o meio. Esta área estuda, a partir do formalismo padrão da me âni a quânti a, a

formaçãode orrelações entre o sistemaquânti o e meio externo,e muitas vezes, oefeito

supressor que ainteração om o meiotraz sobre o sistema quânti o.

Sistemaspodem perder informação para o meio através das mais diversas interações.

Estetipodeestudofoiini iadoporZurekemumartigopubli adoem1991[14℄noqualele

rela ionaperda de informação nas medidas ausada por interações om o meio externo.

Em[15℄, Zurek mostra que, ao ontrário de sistemas lássi os, em sistemas quânti os as

interações externasnão podem ser des onsideradas aose realizaruma medida.

Em sistemas quânti os isolados, a evolução é dada por operadores unitários,ou seja,

estados puros permane em puros. Mas ao interagir om o meio externo, a pureza do

sistema, em geral, é perdida ao longo da sua evolução temporal. Esta inuên ia do

meio pode se dar na forma de a oplamento om seus graus de liberdade ou devido a

(25)

(26)

Fidelidade Quânti a

2.1 Introdução

Sistemaspurosname âni a quânti a são aquelesquepodemser representados atravésde

raio perten ente a um espaço de Hilbert, estando ontida toda informação no elemento

que hamamos estado do sistema. O primeiropostulado da me âni a quânti a dita que

toda informação de um sistema quânti o está denida, em um tempo espe i o

t

0

, por um raio

|ψ(t

0

)

i

perten ente aoespaço dos estados.

Assim omo vetores de um mesmo espaço vetorial, a omparação entre dois sistemas

puros pode ser realizada através do produto es alar entre os estados orrespondentes a

adaum deles. Sejam

|φi

e

|ψi

dois estadosperten entes aum mesmoespaçode Hilbert. Podemos, por exemplo, ompará-los por meiode

hφ|ψi =

Z

dA

hφ|AihA|ψi =

Z

dA φ(A) ψ(A) ,

(2.1)

onde

|Ai

sãoestados onhe idosdosistema,tais omoposiçãooumomentolinear,e

φ(A)

e

ψ(A)

, asprojeçõesdos sistemasnesses estados.

2.2 Misturas quânti as

Diferente de estadospuros, quepodem ser des ritos na forma

|Ψi =

P α

i

|ψ

i

, onde

|ψ

i

formamuma basede estadosdepropriedades onhe idas,misturas quânti as representam

ensembles estatísti os para osistemae são des ritas utilizandomatrizesdensidades,

(27)

ρ =

X

i

p

i

ρ

(puro)

i

=

X

i

p

i

|ψ

i

ihψ

i

| ,

(2.2) om

P

i

p

i

= 1

, isto representa que o sistema tem probabilidade

p

i

de ser en ontrado no estado

|ψ

i

.

Dado um observável qualquer

A

dosistema, seu valoresperado dentrodo ensemble é dado pela soma ponderada por

p

i

dos valores esperados de

A

em ada um dos estados puros

|ψ

i

. Sendo assim,

hAi

ρ

=

X

i

p

i

hψ

i

| A |ψ

i

i = T r[ ρA ] .

(2.3)

A matriz densidade apresenta asseguintes propriedades:

1.

T r[ ρ ] = 1

; 2.

T r[ ρ

2

_{] 6 1}

,sendo igual a 1se, e somentese,

ρ = ρ

puro

=

|ψihψ|

; 3.

hAi

ρ

= T r[ ρA ]

;

4.

ρ

é um operadorhermitiano;

5. seus autovalores são não-negativos e representam a probabilidade de en ontrar o

sistema emum dado estado;

6. satisfaz a equação de von Neumann,

i~

∂

∂t

ρ = [H, ρ]

, onde

H

é o hamiltoniano que des reve o sistema;

7. no aso de sistemas ompostos, perten entes ao espaço

H

A

H

B

, o estado pode ser es rito através do estado

ρ

AB

= ρ

A

ρ

B

, onde

ρ

A

e

ρ

B

representam ada um dos subsistemas e são dados pelos traçospar iais dosistema

ρ

A

= T r

B

[ ρ

AB

] ,

ρ

B

= T r

A

[ ρ

AB

] .

(2.4)

Existeuma maneirapelaqualestadosmistos podem ser representados atravésde estados

(28)

ρ

A

=

X

i

p

i

|ψ

i

ihψ

i

| ,

(2.5)

onde os estados

{|ψ

i

i}

formam uma base ortonormal para o espaço

H

A

. Podemos in-troduzir um segundo sistema des rito pelo espaço

H

B

, que será uma ópia doespaço de Hilbert

H

A

, om uma base ortonormal

{|φ

i

i}

. Podemos denir um estado puro para o sistema omposto

H

A

⊗ H

B

, daseguintemaneira

|ψφi ≡

X

i

√

p

i

|ψ

i

i ⊗ |φ

i

i .

(2.6)

Dessaformaaotomarmosotraçopar ialnoespaço

H

B

nesteestado

|ψφi

re uperamos a matriz densidade

ρ

A

. O sistema

B

, que não possui interpretação físi a, pode ser hamadode um sistema de referên ia, sendo apenas uma ferramentamatemáti a para a

puri ação.

Podemosdemonstrar fa ilmentea validadedesta representação,

T r

B

[ρ

AB

]

= T r

B

[

|ψφihψφ| ]

=

P

ij

√

_p

i

p

j

|ψ

i

ihψ

j

| T r [|φ

i

ihφ

j

|]

=

P

ij

√

_p

i

p

j

|ψ

i

ihψ

j

| δ

ij

=

P

i

p

i

|ψ

i

ihψ

i

|

= ρ

A

,

(2.7)

de forma que o traço par ial no espaço

H

B

nos forne e novamente a matriz densidade original

ρ

A

.

Um aso importanteéode estados assintóti os [6℄[7℄,ouseja

t

→ ∞

,onde já o orreu atermalizaçãodosistema,demodoqueeste seen ontraráemequilíbriotérmi oa

tempe-ratura

T

omum possívelreservatórioea matrizdensidadepar ialdosistema,ex luindo oreservatório, deve ser próxima a

ρ

→

e

−β ˆ

H

S

Z

,

(2.8)

onde,

β = 1/k

B

T

,

Z

≡ T r[e

−β ˆ

H

s

_]

(29)

quânti o.

2.3 Matriz densidade em teoria de ampos

Para des rever a matrizdensidade utilizandoa teoria quânti a de ampospara sistemas

bosni os que interajam om um reservatório térmi o [6℄[7℄, omeçamos dis retizando

o espaço, riando assim, uma oleção de sítios, rotulados pela variável dis reta

~x

, que determina a posição espa ial do sítio. Podemos tratar, assim, problemas om domínios

de espaços nitos, semi-innitosou innitos. Mantemos otempo omo ontínuo.

Denotamos omo

n ˆ

φ

~

x

o

um onjunto de observáveis lo ais e omutantes entre si, om

autovalores

{φ

~

x

}

e autoestados

{|φ

~

x

i}

, ara terizados pelaposiçãonarede

~x

. Os estados produtos

|

Q

~

x

{φ

~

x

}i ≡ ⊗

~

x

|φ

~

x

i

formamumabaseparaosistema omdinâmi ades ritapela hamiltoniana

H

ˆ

.

Por exemplo, poderíamos onsiderar o ampo fundamental de uma teoria bosni a

na rede ou, no aso fermini o, podemos tratar de uma das omponentes do spin em

parti ular. Então o estado assintóti o deste sistema poderá ser des rito omo

ρ

_→

e

−β ˆ

H

S

Z

,

(2.9)

ujoselementossão dados nabase

{|

Q

~

x

{φ

~

x

}i}

por

ρ

"

Y

~

x

{φ

~

x

},

Y

~

x

′

{φ

~

x

′

}

#

=

_h

Y

~

x

{φ

~

x

}|ρ|

Y

~

x

′

{φ

~

x

′

}i =

1 Z(β)

h

Y

~

x

{φ

~

x

}e

−βH

|

Y

~

x

′

{φ

_x

~

′

}i

(2.10)

que pode ser es rita através de uma integral fun ional om ondições de ongurações

ini ial enal

|

Q

~

x

′

{φ

~

x

′

}i

e

|

Q

~

x

{φ

~

x

}i

respe tivamente. Temos

ρ

Q

~

x

{φ

~

x

},

Q

~

x

′

{φ

~

x

′

}

=

1 Z(β)

R [Dφ]δ

φ(y, 0)

₋

Q

~

x

′

{φ

~

x

′

}

×

×δ

φ(y, τ )

₋

Q

~

x

{φ

~

x

}

e

−S

E

[φ]

,

(2.11) onde

S

E

= S

E

[

Q

~

x

{φ

~

x

}, ∂

µ

Q

~

x

{φ

~

x

}] =

R

β

0

L dτ

(30)

Figura2.1: Função Partição

onjunto de deltas indi a a ne essidade de realizar a omparação sítioa sítioda

ongu-raçãodosistema. Afunção de partição

Z[β]

,responsávelpelanormalizaçãoqueassegura que

T r[ρ] = 1

,é en ontrada aoes olhermos

Q

~

x

′

{φ

~

x

′

} =

Q

~

x

{φ

~

x

}

e, tambémpode ser repre-sentada de maneiraanáloga

Z[β]

≡ T r

s

[e

−β ˆ

H

s

]

=

R [Dφ]δ

φ(y, 0)

₋

Q

~

x

{φ

~

x

}

×

×δ

φ(y, τ )

₋

Q

~

x

{φ

~

x

}

e

−S

E

[φ]

.

(2.12)

No asodaintegralfun ional,istotemoefeitodeformarum ilindrode ir unferên ia

β

,juntando as extremidades

τ = 0

e

τ = β

no espaço dos estados. A gura (4.1) ilustra esta ideia.

2.4 Fidelidade e misturas quânti as

Édifí ilrealizaruma omparaçãoentresistemasqueseen ontramemmisturasquânti as,

des ritaspormatrizesdensidadedotipo

ρ =

P

ψ

p

ψ

|ψihψ|

. Adelidadeéapresentada omo uma generalização da projeção entre estados puros

|ψi

, para o aso de estados mistos

ρ

[1℄[20℄. É uma medida omparativa entre dois estados que rela iona quão próximos eles

estão no espaço dos estados quânti os. Mas embora meça a proximidade entre estados,

nãopode ser tomada omométri adesteespaço,apesarde ser possível riartaismétri as

apartir dadelidade [21℄.

Como medida de de oerên ia, ela ompara quanto um sistema real, interagente om

(31)

ρ

real

e

ρ

ideal

,

F (ρ

real

, ρ

ideal

)

, mede a perda de informação que o sistema real sofre ao interagir om omeio externo em relaçãoao sistemaideal, ompletamenteisolado.

2.5 Formulação de Jozsa-Uhlmann

Para formular a expressão de Jozsa-Uhlmann [1℄, onsideremos dois sistemas quânti os,

representados pelas matrizes densidades

ρ

1

e

ρ

2

, orrespondente ao espaço de Hilbert

H

de dimensão

n

.

Sejam

|Φ

1

i

e

|Φ

2

i

um par qualquer de representações por meio da puri ação de S hmidt para

ρ

1

e

ρ

2

, orrespondente ao espaço de Hilbert estendido

H H

′

. Podemos representar

|Φ

1

i

damaneira

|Φ

1

i =

X

i

pλ

i

|e

i

i ⊗ |m

i

i,

(2.13)

onde,

λ

1

, λ

2

, ..., λ

n

são os autovalores de

ρ

1

orrespondentes à base ortonormal de auto vetores

{ |e

1

i, ..., |e

n

i}

,e

{ |m

1

i, ..., |m

n

i}

é uma base ortonormal arbitráriapara

H

′

. Da

mesma formapara

|Φ

2

i

|Φ

2

i =

X

i

√

µ

i

|f

i

i ⊗ |l

i

i.

(2.14)

Podemossupor,semperdadegeneralidade,que

|Φ

1

i

e

|Φ

2

i

perten ema

HH

. Sendo assim,podemosrela ionarasdiversasbasesquetemospara

H

pormeiodetransformações unitárias

V

,

U

1

, e

U

2

|f

i

i = V |e

i

i, |m

i

i = U

1

|e

i

i, |l

i

i = U

2

|e

i

i,

(2.15)

√

_ρ

1

|e

i

i =

pλ

i

|e

i

i ,

√

ρ

2

|f

i

i =

√

µ

i

|f

i

i.

(2.16)

Para estadosdaforma

|φi =

P

i

|f

i

i |f

i

,podemosusar aseguinterelação paraqualquer

(32)

(A

⊗ I)|φi = (I ⊗ A

T

₎

_|φi.

(2.17)

Este resultado pode ser obtido rees revendo a equação em termos da base

|f

i

i |f

j

i

paraoespaço

H H

. eutilizandoofatode que

|φi

temapenas valoresnão nulos quando

δ

ij

difere de zero. Podemos rees rever os estados

|Φ

1

i

e

|Φ

2

i

na forma

|Φ

1

i =

X

i

pλ

i

|e

i

i ⊗ |m

i

i =

X

i

√

_ρ

1

U

1

|e

i

i ⊗ |e

i

i,

(2.18)

|Φ

2

i =

X

i

√

_µ

i

|f

i

i ⊗ |l

i

i =

X

i

√

_ρ

2

U

2 T

V V

T

|e

i

i ⊗ |e

i

i.

(2.19)

Sendo assim aprobabilidadede transição entre

|Φ

1

i

e

|Φ

2

i

é dada por

hΦ

1

|Φ

2

i =

X

i

he

i

|U

1 T †

√

ρ

1

√

ρ

2

U

2 T

V V

T

|e

i

i = T r

h

√

ρ

1

√

ρ

2

U

2 T

V V

T

U

1 T †

i

.

(2.20)

Pode-semostrar[1℄queparaqualqueroperador

A

sobefeitodetransformaçãounitária

U

, feita a maximização,

γ = max

|T r[AU] | = T r[ |A| ]

. A maximação feitasobre a taxa de transição das representações puri adas,obtemos

F (ρ

1

, ρ

2

) = max

|hΦ

1

|Φ

2

i|

2

=

T r

h

(

√

ρ

1

ρ

2

√

ρ

1

)

1

2

i

2

.

(2.21)

Esta expressão pode ser fa ilmente al ulada para matrizesdiagonais,mas há

di ul-dadepara seu ál ulo emvários asos mais omplexos,tais omo matrizesdensidadenão

diagonais,innitas,oumesmo quando obtidasatravésda teoriaquânti a de ampos.

2.6 Exemplo

Umaprimeiraapli açãopossívelpara este resultado éna omparaçãoentre dois sistemas

queapresentam omportamentosdiferentes. Um desses sistemas des ritoex lusivamente

peloestado

|ψi

,eoutro que duranteo experimento pode apresentar osestados

|ψi

, om probabilidadeigual a

1

2

, e

|φi

, om probabilidadetambémigual a

1

(33)

Podemos es rever asmatrizesdensidade de ada sistema, real

ρ

R

eideal

ρ

I

, daforma

ρ

I

=

|ψihψ|

(2.22)

ρ

R

=

1

2 |ψihψ| +

1

2 |φihφ|

(2.23)

A delidade, nos dáque aproximidade entre estes estados édada por

F (ρ

I

, ρ

R

) =

T r

h

(

√

ρ

I

ρ

R

√

ρ

I

)

1

2

i

2

.

(2.24)

Como o estado ini ial é puro, e sua matrizdensidade tambémé o projetor no estado

|ψi

, éválida apropriedade

P

_|ψi

=

|ψihψ| = (P

|ψi

)

2

,

(2.25)

e portanto podemos fa ilmente al ular

√

_ρ

I

, uma vez que,

√

_ρ

I

=

pP

|ψi

=

q

(P

_|ψi

)

2

_{= P}

|ψi

= ρ

I

.

(2.26)

Logo, a delidade pode ser es rita naforma

F (ρ

I

, ρ

R

) =

T r

h

(

|ψihψ|ρ

R

|ψihψ|)

1

2

i

2

,

(2.27)

que pode ser reduzida à

F (ρ

I

, ρ

R

) = T r[ρ

I

ρ

R

]

=

_hψ|ρ

R

|ψi

(2.28)

Substituindo nossa denição para

ρ

R

na expressãoa ima, obtemos

F (ρ

I

, ρ

R

) =

1

2 ,

(2.29)

(34)

2.7 Propriedades da delidade de Jozsa-Uhlmann

A expressão de Jozsa-Uhlmann para delidade, dada pela equação [2.24℄, apresenta 6

propriedadesprin ipais[1℄:

1.

0 6 F (ρ

1

, ρ

2

) 6 1

,onde

F (ρ

1

, ρ

2

) = 1

se, esomentese

ρ

1

= ρ

2

.

2. simetriade tro a:

F (ρ

1

, ρ

2

) = F (ρ

2

, ρ

1

)

.

3. aso um dos sistemas seja puro, por exemplo,

ρ

1

=

|ǫihǫ|

, temos:

F (ρ

1

, ρ

2

) =

hǫ|ρ

2

|ǫi = T r[ ρ

1

ρ

2

]

.

4. onvexidade: uma vez que

ρ

1

, ρ

2

>

0

, e

p

1

+ p

2

= 1

, temos

F (ρ, p

1

ρ

1

+ p

2

ρ

2

) >

p

1

F (ρ, ρ

1

) + p

2

F (ρ, ρ

2

)

.

5.

F (ρ

1

, ρ

2

) > T r[ ρ

1

ρ

2

]

.

6. multipli idade:

F (ρ

1

⊗ ρ

3

, ρ

2

⊗ ρ

4

) = F (ρ

1

, ρ

2

) F (ρ

3

, ρ

4

)

.

Aprimeiraesegunda propriedadesde orremdiretamentedadeniçãodadaanteriormente

para delidade dos sistemas puri ados,

F (ρ

1

, ρ

2

) = max

|hΦ

1

|Φ

2

i|

2

. A ter eirapode ser

deduzidalembrandoqueparaum sistemades ritoporum úni oestado

ρ

1

=

|ǫihǫ|

,temos

ρ

1

= ρ

2

1

= √ρ

1

e substituindoem

F (ρ

1

, ρ

2

) =

T r

h

√

ρ

1

ρ

2

√

ρ

1

1 ₂

i

2

.

Para provar a quarta propriedade, onsideremos

|ǫ

1

i

e

|µ

1

i

puri ações para

ρ

e

ρ

1

respe tivamente que perten em ao espaço

H H

′

e

|ǫ

2

i

e

|µ

2

i

puri ações para

ρ

e

ρ

2

queperten em aoespaço

H H

′′

, es olhidas de formaque

H

′

_⊥H

′′

e

F (ρ, ρ

1

) =

|hǫ

1

|µ

1

i|

2

,

F (ρ, ρ

2

) =

|hǫ

2

|µ

2

i|

2

,

(2.30)

de forma que para o espaço de Hilbert

H (H

′

_{⊕ H}

′′

₎

, o estado

|ǫi = λ

1

|ǫ

1

i + λ

2

|ǫ

2

i

é umapuri ação possívelpara

ρ

dadoque

λ

1

e

λ

2

satisfaçam

|λ

1

|

2

₊

_|λ

2

|

2

= 1

. E oestado

|µi = η

1

|µ

1

i + η

2

|µ

2

i

é a puri ação para o estado

p

1

ρ

1

+ p

2

ρ

2

, desde que

|η

1

|

2

_{= p}

1

e

|η

2

|

2

= p

2

. Sendoassim para um par

λ

1

e

λ

2

arbitráriotemos

(35)

Tomandoo valormáximo através davariação dos parâmetros

λ

F (ρ, p

1

ρ

1

+ p

2

ρ

2

) >

|µ

1

hǫ

1

|µ

1

i|

2

+

|µ

2

hǫ

2

|µ

2

i|

2

.

(2.32)

Substituindo os valores onhe idos, obtemos

F (ρ, p

1

ρ

1

+ p

2

ρ

2

) > p

1

F (ρ, ρ

1

) +

p

2

F (ρ, ρ

2

).

A quintapropriedade de orre diretamente dater eira e quarta propriedades, se zermos a expansãode

ρ

2

omo uma soma ponderada de auto estados.

A demonstração da sexta propriedade de orre do fato de que, para quaisquer

opera-dores

A

e

B

, temos

T r[A

⊗ B] = T r[A] · T r[B]

e

p(A ⊗ B) =

√

A

⊗

√

B

.

São estaspropriedadesquedenem adelidade,sendoasquatroprimeirasne essárias

para que a onsideremos omo uma projeção entre estados, e as duas nais de orrentes

apenas da expressãoobtida por Jozsa-Uhlmann.

2.8 Exemplo: De aimento exponen ial

Considere um sistema de 2 níveis,

|ψi

e

|φi

, onde a energia do estado

|ψi

é superior à orrespondente a

|φi

. Neste experimento preparamos os estados de forma que sejam igualmenteprováveis. Neste aso podemos es rever a matrizdensidade ideal omo

ρ

I

=

1

2 |ψihψ| +

1

2 |φihφ| =







1

2

0

1

2







.

(2.33)

Mas devido aalguma interação om o meioexterno, o orre um de aimentodo estado

|ψi

ao estado

|φi

om onstante de de aimento

α

. Uma maneira de representar este sistema através damatriz densidade seria

ρ

R

(t) =

1

2 e

−αt

|ψihψ| +

1 −

1

2 e

−αt

|φihφ| =







1 −

1

2

e

−αt

0

1 ₂

e

−αt







.

(2.34)

Podemos fazer uma medida da qualidade do experimento através da delidade,

(36)

F (ρ

I

, ρ

R

) =

T r

h

(

√

ρ

I

ρ

R

√

ρ

I

)

1

2

i

2

.

(2.35)

Éfá ilper ebemosqueparatempospróximosaosini iaisosistemasemanterápróximo

ao ideal e portanto, sua delidade se manterá próxima a

1

. Mas se tivermos

t

→ ∞

, o asoserásemelhanteaoapresentadonaseção2.6, então esperamosqueadelidade atinja

ovalor

1

2

.

Para simpli arnosso ál ulo,rees revemos amatriz

ρ

I

naforma

ρ

I

=







1

2

0

1

2







=

1

2 I

2×2

,

(2.36)

Oquenos ajudará, dadoo fatode que sendo

I

2×2

amatrizdensidade

2 × 2

,

√

I

_2×2

=

I

_2×2

. Utilizandoapropriedadedotraço

T r[kM] = k T r[M]

,sendo

k

umes alar,obtemos

F (ρ

I

, ρ

R

) =

1

2 (T r [

√

ρ

R

])

2

.

(2.37)

Por ser diagonal,a matriz

ρ

R

tem sua raiz quadrada fa ilmenteobtida,logo

pρ

R

(t) =







q

1 ₋

1

2

e

−αt

0

0 q

1

2

e

−αt







,

(2.38)

substituindo esta expressão no ál ulo dadelidade e obtemos

F (ρ

I

, ρ

R

) =

1 ₂

q

1 −

1

2

e

−αt

+

q

1

2

e

−αt

2

=

1

2

h

1 +

pe

−αt

₍₂

_{− e}

−αt

₎

i

_,

(2.39)

umaexpressãoquereproduzosresultadosesperadosemostraum omportamentodotipo

de aimentopara adelidade também. A gura(2.2) ilustrao omportamentodeste aso

para

α = 1[t]

−1

(37)

Figura 2.2: Fidelidadeem um aso simples de de aimentoexponen ial.

2.9 Outras medidas de de oerên ia

Quando falamos em medira de oerên ia, estamosfalando emmedir todaa inuên ia do

meio externo que possa ser tratada omo ruído em medidas feitas no sistema, e não

apenas perda de fase doestado quânti o.

Dado o fato de que todo omportamento de um sistema poder ser des rito por meio

de uma matriz densidade ou um onjunto das mesmas, é possível denir medidas de

omparação entre sistemas isolados e sistemas que sofram algum tipo de inuên ia do

meio externo.

Sendo assim, podemosdenir duas ategorias de medidapara de oerên ia: desvio do

sistemade um sistemapuro;ouodesvio dosistemade um sistemades ritoporumúni o

estado ou des ritos por um úni o estado emparti ular. Para ambos asos, omparações

om estados dependentes ou não dotempo.

(38)

externopode exer er sem afetar demaiso sistema quânti o.

Entropia Quânti a

A entropia quânti a [22℄[23℄[6℄, onhe ida omo entropia de vonNeumann, de expressão

S

vN

(t) =

−T r[ρ(t) ln(ρ(t))],

(2.40)

assim omosua equivalente lássi a,forne e uma medidadomínimode re ursos (qubits)

ne essários para a transmissão de uma informação aleatória, além de ser uma forma de

medira orrelaçãoquânti a de uma partedosistema. Ou de maneirasimilarpoderíamos

utilizarsua expressão emprimeira ordem

s

(1)

(t) = 1

− T r[ρ

2

_(t)]

(2.41)

Ambas forne emumamaneirademedir efeitosdomeioexternosobreo sistema

quân-ti oem onsideração. Apesar de não ser um ál ulo omparativoentre estados, forne em

odesviode um estadopuro queimaginamosser oideal. Paraestados puroséfá ilprovar

que

S

_puro

vN

(t) = s

(1)

_puro

(t) = 0.

(2.42)

Qualquer valordiferentejá demonstra um efeitodo meio sobre osistema. Esta

abor-dagem é útil em situações onde sabemos que o sistema pou o se modi a de um estado

purosob efeitode sua dinâmi aouação do meio externo.

Consideremos um sistema de 2 estados que deveria se manter em seu estado

ex i-tado, mas que, devido à ação do meio externo, de aia ao estado fundamental, de forma

semelhante ao apresentado na seção (2.6). Na gura (2.9), vemos o grá o da entropia

quânti a eentropia de primeiraordempara este sistema,quando

α = 1 [1/t]

:

Norma-1

(39)

Figura 2.3: Exemplo douso da entropiapara determinarde oerên ia.

D(ρ, σ)

_≡

1

2 ||ρ − σ||

1

,

(2.43) onde

||M||

1

≡ T r[ |M| ] = T r

h

√

M

†

_M

i

é a norma do traço de um operador de traço nulo

M

. E

A =

√

B

é qualquer matriz positiva que apresente a propriedade

A

· A = B

. A norma-1 tem valores que variam no intervalo

[0, 1]

, onde

D = 0

a onte e para estados idênti os, e

D = 1

para sistemas ortogonais noespaço dos estados.

A norma-1determina, na verdade, a han e de erro emdiferen iar sistemas

ρ

e

σ

no espaço de estados através de medidas. Então, no aso de uma medida de de oerên ia,

podemosinterpretar omoa han edeumsistemarealserdiferetedosistemaquejulgamos

ser ideal.

Normas de S hatten

Há ainda uma outra grandeza asso iada a normas mais gerais, hamadas normas de

S hatten[22℄[25℄,querela ionasistemas omseus estadossem orrelaçõesquânti asmais

(40)

D

p

= min

Ω

0

||ρ − ρ

c

||

p

,

(2.44)

onde a minimizaçãofeitaé sobre todos osestados quânti os sem orrelaçõesquânti as, e

||M||

p

≡

T r

h

(M

†

M)

p

2

i

1 _p

(2.45)

é anorma-pde S hatten. Dentre àsfamíliasde possíveisnormas,sedesta am anorma-1

que o orre para

p = 1

, apresentada omo possível medida para de oerên ia, e

p = 2

, onhe ida omo norma de Hilbert-S hmit ou norma-2, que mede a dis órdia geométri a

[25℄.

Um exemplo: onsideremosdois sistemaspuros, des ritos pelos estados

|ui

e

|vi

per-ten entes ao espaço

H

,e al ulemos afamíliade normasentre estes dois sistemas:

D

p

(ρ

u

, ρ

v

) =

||A||

p

≡

T r

h

(A

†

A)

p

2

i

1 _p

,

(2.46)

onde

A

≡ |uihu| − |vihv|

. Claramente,

A

é um operador hermitiano, de traço nulo e de autovalores

±p1 − |hu|vi|

2

e 0, om multipli idade

(dim(

H) − 2)

. Usando estas informaçõespodemos al ular

D

p

:

D

p

(ρ

u

, ρ

v

)

=

|||uihu| − |vihv|||

p

= 2 (1

_{− |hu|vi|}

2

₎

p

₂

1 _p

= 2

1 p

(1

− |hu|vi|

2

)

1 ₂

.

(2.47)

Mostrando que este ál ulo ébastantesimples entre estados puros.

Dentreasmedidasapresentadas,es olhemostrabalhar omadelidade,porapresentar

uma interpretação mais direta, sendo esta, uma generalização de projeção ou taxa de

transição entre os estados. Apesar daexpressão ser difí ilde ser al ulada para matrizes

densidade om muitos ou innitos graus de liberdade. Para estados térmi os, ontudo,

podemos demonstraratravés donosso trabalhoser possívelrealizareste ál ulopormeio

(41)

(42)

Fidelidade em Teoria de ampos

3.1 Fidelidade em TQC

Até aqui, apresentamos a delidade omo medida de omparação entre dois sistemas

des ritospormatrizesdensidade. Agoramostraremosque,apesardetereminnitosgraus

deliberdade,podemosmediradelidadeentre doissistemasbosni os,quejáatingirama

termalização om seu meioexterno. Esta medidateráoefeitode umaprojeçãonoespaço

dosestadosquânti os, medindo,dadaaevoluçãototaldosistema,oquãoosdoissistemas

são pare idos.

Iremos nosaprofundar no aso de amposbosni osem2dimensões, omopor

exem-plo, na omparação de um sistema real, representado por [6℄[7℄

ρ

R

(β)

→

e

−β ˆ

H

R

Z

R

,

(3.1)

onde

H

ˆ

R

é a hamiltoniana que melhor modela o sistema, in luindo todas as possíveis interações, internasou externas, omum sistemaideal

ρ

I

(β)

→

e

−β ˆ

H

I

Z

I

,

(3.2)

queapresentaevoluçãorepresentadapelahamiltoniana

H

ˆ

I

onsideradaidealoudesejada. A omparaçãoentre osdois sistemas,através dadelidade, é dada por

F (ρ

I

, ρ

R

) =

T r

h

(

√

ρ

I

ρ

R

√

ρ

I

)

1

2

i

2

.

(3.3)

(43)

3.2 Extensão analíti a: Método da répli a

Comoenfatizadoanteriormente,foraos asosemquetemosmatrizesdensidadesdiagonais

oude estados puros,o ál ulode raízes de operadores éuma tarefa bastante ompli ada,

espe ialmentepara misturasquânti as des ritas pelaTQC, ondetais operadores, são em

geral de dimensão innita e não diagonais.

Cal ularemosestasraízesatravésdeumaabordageminspiradanométododasrépli as.

Este método,bastanteutilizadonafísi aestatísti a parao ál ulodaenergialivrede um

sistema,vem daapli açãodarepresentação

Lim

n→0

Z

n

_{− 1}

n

= ln Z ,

(3.4)

onde ini ialmente onsideraremos

n

um número inteiro. É muito mais simples al ular umapotên iainteirade umamatrizdoqueumlogaritmo,realizandoagorao ál ulopara

n

ópias do sistema original, e no nal, tomamos o limite para

n

→ 0

onde supomos a validade daextensão analíti ada expressão(3.4).

Podemos ilustrar este tipo de método por meio de um exemplo simples: estamos

interessados em des obrir afunção

y(x)

que satisfaça aequação diferen ial

dy

dx

= x

1

2

,

(3.5)

rees revendo a equação naforma

dy

dx

= Lim

n→

1

2

x

n

,

(3.6)

e integrando ambos oslados daequação emrelação a

x

,obtemos

y(x) = Lim

n→

1

2

x

n+1

n + 1

+ cte .

(3.7)

Tomando por m o limite, obtemos o resultado

y(x) =

2

3

x

3/2

_{+ cte}

, que satisfaz às

ondições doproblema.

(44)

S

=

_{−T r [ρ ln ρ]}

= Lim

n→1

S

(n)

S

(n)

₌

1 1−n

ln T r [ρ

n

] ,

(3.8) onde

S

(n)

também é onhe ida omo entropia de Rényi.

Umúltimoexemplo simples,emquepodemosapli areste tipode ideia, éen ontrar a

raizquadradade uma matrizde rotaçãoem2dimensões. Podemos es rever umarotação

emduas dimensõesem função doangulo

θ

omo

M =







cos θ

sin θ

− sin θ cos θ







,

(3.9) A matriz

√

M

pode ser obtida atravésde

√

M = Lim

n→

1

2

M

n

= Lim

n→

1

2







cos(nθ)

sin(nθ)

− sin(nθ) cos(nθ)







=







cos

θ

₂

sin

θ

₂

− sin

θ

2

cos

θ

2







(3.10)

De forma quepara realizaro ál ulo desta delidade, denimos uma delidade

gene-ralizada

F

n

(ρ

I

, ρ

R

)

, de maneira análoga para simpli ar o ál ulo das raízes de matrizes naexpressão original. Deniremosesta função naforma:

F

n

(ρ

I

, ρ

R

)

≡ (T r [ ((ρ

I

)

n

ρ

R

(ρ

I

)

n

)

n

]) = (T r [ ρ

n

I

ρ

R

ρ

n

I

ρ

I

n

ρ

R

. . . ρ

n

I

])

,

(3.11)

utilizandoa propriedade í li a do traço:

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) = T r

(ρ

I

)

2n

ρ

R

n

(3.12) de formaque:

F (ρ

I

, ρ

R

) = Lim

n→

1

2

(F

n

(ρ

I

, ρ

R

))

2

.

(3.13)

(45)

3.3 Método das répli as

Partimos dadenição quees olhemos para delidade generalizada,

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) = T r

(ρ

I

)

2n

ρ

R

n

,

(3.14)

rees revemos o traço omo

T r[ ˆ

A ] =

R [Dφ]hφ| ˆ

A

|φi

,

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) =

Z

[Dφ

0

]

hφ

0

| (ρ

I

)

2n

ρ

R

n

|φ

0

i,

(3.15)

e inserimosresoluçõesda identidade, dotipo

I =

R [Dψ

i

]

|ψ

i

ihψ

i

|

, de formaapropriada

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) =

R [Dφ

0

][Dψ

1

]...[Dψ

(2n+1)n

]

hφ

0

|ρ

R

|ψ

1

ihψ

1

|ρ

I

|ψ

2

i

×hψ

2

|ρ

I

|ψ

3

i . . . hψ

(2n+1)n

|ρ

I

|φ

0

i.

(3.16)

Identi amos oselementos

hψ

i

|ρ

j

|ψ

k

i

, omo

hψ

i

|ρ

j

|ψ

k

i =

1 Z

j

(β)

Z

[Dφ

l

]δ

{φ

l

(y, 0)

− ψ

k

}} δ {φ

l

(y, β)

− ψ

i

} e

−S

j

[φ

l

]

,

(3.17)

onde

S

j

[φ

l

]

é a ação des rita pela evolução do ampo

φ

l

om lagrangiana

H

j

. De forma que aexpressão (3.16) possa ser expressa omo

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) =

_(Z

1 R

(β))

n

(Z

I

(β))

2n2

R [Dφ

0

][Dψ

1

]...[Dψ

(2n+1)n

][Dφ

1

]...[Dφ

(2n+1)n

]

×

×δ {φ

1

(y, 0)

− ψ

1

}} δ {φ

1

(y, β)

− φ

0

} e

−S

I

[φ

1 ]

×

× δ {φ

2

(y, 0)

− ψ

2

}} δ {φ

2

(y, β)

− ψ

1

} e

−S

I

[φ

2 ]

× · · · ×

× δ

φ

(2n+1)

(y, 0)

− ψ

(2n+1)

}

δ φ

(2n+1)

(y, β)

− ψ

2n

×

e

−S

R

[φ

(2n+1)

]

× · · · × δ

φ

(2n+1)n

(y, 0)

− φ

0

} ×

δ

φ

(2n+1)n

(y, β)

− ψ

(2n+1)n

e

−S

R

[φ

(2n+1)n

]

.

(3.18)

Podemos simpli aresta equação usandoo fato de que

Z

(46)

Figura3.4: Evoluçãodos ampos,aquimostramosas ondiçõesini iais enaisdos

(2n +

1)n

ampos

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) =

_(Z

1 R

(β))

n

(Z

I

(β))

2n2

R [Dφ

1

]...[Dφ

(2n+1)n

]

×

×δ

φ

1

(y, β)

− φ

(2n+1)n

(y, 0) e

−S

I

[φ

1 ]

×

×δ {φ

2

(y, β)

− φ

1

(y, 0)

1

} e

−S

I

[φ

2 ]

×

× · · · × δ

φ

(2n+1)

(y, 0)

− ψ

(2n)

(y, β)

}

e

−S

R

[φ

(2n+1)

]

×

× · · · × δ

φ

_(2n+1)n−1

(y, 0)

− φ

(2n+1)n

(y, τ )

}

e

−S

R

[φ

(2n+1)n

]

.

(3.20)

Podemos observar uma semelhança om o ál ulo da função partição, os ampos

φ

1

, . . . , φ

(2n+1)n

evoluem de formaa one tar suas ondiçõesini iais enais. A delidade generalizadaseráobtidaaosomarmosas ontribuiçõesdaspossíveisevoluçõesdestes

am-pos. Este tipo de evolução pode ser representada pela gura (3.3). As diferentes ores

indi amqual oregimede evolução ada ampoobede e,azul laropara osistema ideale

azul es uropara o real.

3.4 Campo equivalente

Observando aexpressão obtidanaseção anterior, vemos que oproblema seassemelha ao

problemadeum ampo ontínuo,mas quepossuihamiltonianaquedes revesuaevolução

(47)

deter umafunçãodeonda ontínua. Apli aremosomesmotipode ideiasedes reveremos

o problema do ampobosni o omo um problema dependente doparâmetro

τ

. Aproveitando dasemelhança dotermo presente nadelidade generalizada

Z

n

=

R [Dφ

1

]...[Dφ

(2n+1)n

]

×

×δ

φ

1

(y, β)

− φ

(2n+1)n

(y, 0) e

−S

I

[φ

1 ]

×

×δ {φ

2

(y, β)

− φ

1

(y, 0)

1

} e

−S

I

[φ

2 ]

×

× · · · × δ

φ

_(2n+1)n−1

(y, 0)

− φ

(2n+1)n

(y, β)

}

e

−S

R

[φ

(2n+1)n

]

.

(3.21)

om a denição queusamos para a função partição:

Z =

Z

[Dφ]δ

(

φ(y, 0)

₋

Y

x

{φ

x

}

)

δ

(

φ(y, β)

₋

Y

x

{φ

x

}

)

e

−S

E

[φ]

_,

(3.22)

faremos uso de um ampo equivalente, que onterá toda informação original do nosso

problema. Para tal, pre isamos lembrar que sob uma translação temporal, temos as

seguintes ondições:

y

_{→ y}

′

_{= y}

τ

_{→ τ}

′

_{= τ}

_{− a .}

(3.23)

Neste aso, o ampose omporta daseguinte maneira

φ(y, τ )

→ φ

′

_(y

′

_{, τ}

′

_{) = φ(y, τ + a) ,}

(3.24)

e aação asso iada, denida por

S[φ] =

Z Z

β

0

dy dτ

L[φ(y, τ)],

(3.25)

pode ser es rita naforma

S[φ] =

Z Z

β+a

a

dy dτ

_{L[φ(y, τ − a)] =}

Z Z

β+a

a

dy dτ

′

_L[φ

′

(y, τ

′

)] .

(3.26)

(48)

y

i

→ y

′

i

= y

i

τ

i

→ τ

i

′

= τ

i

− [ (2n + 1)n − i ] β

(3.27)

De formaqueos ampos assumem a forma:

φ

i

(y

i

, τ

i

)

→ φ

′

i

(y

i

′

, τ

i

′

) = φ

i

(y

i

, τ

i

+ [ (2n + 1)n

− i ] β) ,

(3.28)

e a ação asso iadaa ada um:

S

X

[φ

i

] =

Z Z

[ (2n+1)n−i+1] β

[ (2n+1)n−i ] β

dy

i

dτ

i

′

L

X

[φ

′

i

(y

i

, τ

i

′

)] .

(3.29)

Fazendo asubstituição na expressãoda delidade generalizada,obtemos

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) =

_(Z

1 R

(β))

n

(Z

I

(β))

2n2

R [Dψ

1

]...[Dψ

(2n+1)n

][Dφ

1

]...[Dφ

(2n+1)n

]

×

×δ

n

φ

′

1

(y, (2n + 1)nβ)

− φ

′

(2n+1)n

(y, 0)

o

× · · · ×

×δ

n

φ

′

(2n+1)n

(y, β)

− φ

′

(2n+1)n−1

(y, β)

o

×

×e

−

Z Z

β

0 dy

i

dτ

_(2n+1)n

′

L

R

[φ

′

_(2n+1)n

(y

i

,τ

_(2n+1)n

′

)]

×

×e

−

Z Z

2β

β

dy

i

dτ

_(2n+1)n−1

′

L

I

[φ

′

_(2n+1)n−1

(y

i

,τ

_(2n+1)n−1

′

)]

×

× · · · × e

−

Z Z

(2n+1)nβ

[(2n+1)n−1]β

dy

i

dτ

₁

′

L

I

[φ

′

1 (y

i

,τ

′

₁

)]

.

(3.30)

Podemos ver uma semelhança do nosso sistema de

(2n + 1)n

ampos evoluindo no intervalodetempoimaginário

[0, β]

, ada amposevoluindode formaindependente, om um úni o ampo ontinuo equivalente

φ(y, τ )

˜

queevoluino intervalo

[0, (2n + 1)nβ]

om umahamiltoniana

H

˜

dependente do parâmetro

τ

.

(49)

˜

φ(y, τ ) =











φ

(2n+1)n

(y

i

, τ ) ,

0 6 τ < β

φ

_(2n+1)n−1

(y

i

, τ

− β) ,

β 6 τ < 2β

φ

_(2n+1)n−2

(y

i

, τ

− 2β) ,

2β 6 τ < 3β

· · ·

φ

1

(y

i

, τ

− (2n + 1)nβ) ,

[(2n + 1)n

− 1]β 6 τ < (2n + 1)nβ

(3.31)

que evolua om a lagrangianaasso iada

L[ ˜

˜

φ, τ ]

˜

L[ ˜

φ, τ ] =











L

R

,

0 6 τ < β

L

I

,

β 6 τ < (2n + 1)β

L

R

,

(2n + 1)β 6 τ < (2n + 2)β

· · ·

L

I

,

(2n

− 1)nβ 6 τ < (2n + 1)nβ

(3.32)

Com isto, a expressão da delidade pode ser es rita se es olhermos este ampo

equi-valente omo

F

n

(ρ

I

, ρ

R

) =

_(Z

1 R

(β))

n

(Z

I

(β))

2n2

R [D ˜

φ]δ

n ˜

_{φ(y, (2n + 1)nβ)}

_{− ˜}

_{φ(y, 0)}

o

×

×e

−

Z Z

(2n+1)nβ

0 dy dτ ˜

L[ ˜

φ,τ ]

.

(3.33)

Ondedenimosapartirdestaexpressão, umafunçãopartiçãoequivalente

Z

˜

n

asso iada ao ampo equivalente

˜

Z

n

[(2n + 1)nβ]

≡

Z

[D ˜

φ]δ

n ˜

φ(y, (2n + 1)nβ)

_{− ˜}

φ(y, 0)

o

e

−

Z Z

(2n+1)nβ

0 dy dτ ˜

L[ ˜

φ,τ ]

,

(3.34)

(50)

F (ρ

I

, ρ

R

) = Lim

n→

1

2

˜

Z

n

[(2n + 1)nβ]

(Z

R

(β))

n

(Z

I

(β))

2n

2

!

2

.

(3.35)

Esta expressão ompara a evolução dos dois sistemas durante o tempo imaginário

β

, através da relação entre as funções de partição dos ampos originais e de um ampo

(51)

(52)

Campo bosni o em 2D

4.1 Introdução

Para ilustramos omo o método pode ser utilizado, onsideremos um sistema bosni o