Implementação de método numérico para simulação de vibrações não lineares

(1)

Escola de Engenharia

Curso de Gradua¸

c˜

ao em Engenharia Mecˆ

anica

Vitor Ferreira Serrano & Ciro de Hollanda Sodr´e

Ribeiro

Implementa¸c˜

ao de m´etodo num´erico para simula¸c˜

ao de

vibra¸c˜

oes n˜

ao lineares

Niter´

oi – RJ

2019

(2)

1 Vitor Ferreira Serrano & Ciro de Hollanda Sodr´e Ribeiro

Implementa¸cão de método numérico para simula¸cão de vibra¸cões não lineares

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Gradua¸cão em Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do Grau de Engenheiro Me-cânico.

Orientador: Prof. Dr. Heraldo Silva da Costa Mattos

Niter´oi – RJ 2019

(3)

Bibliotecária responsável: Fabiana Menezes Santos da Silva - CRB7/5274

S487i Serrano, Vitor Ferreira

Implementação de Método Numérico para Simulação de Vibrações Não Lineares / Vitor Ferreira Serrano, Ciro de Hollanda Sodré Ribeiro ; Heraldo Silva da Costa Mattos, orientador. Niterói, 2019.

41 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Mecânica)-Universidade Federal Fluminense, Escola de Engenharia, Niterói, 2019.

1. Método Runge Kutta de quarta ordem. 2. Amortecimento não linear. 3. Python. 4. Produção intelectual. I. Ribeiro, Ciro de Hollanda Sodré. II. Mattos, Heraldo Silva da Costa, orientador. III. Universidade Federal Fluminense. Escola de Engenharia. IV. Título.

(4)

-iii Vitor Ferreira Serrano & Ciro de Hollanda Sodr´e Ribeiro

Implementa¸cão de método numérico para simula¸cão de vibra¸cões não lineares

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Gradua¸cão em Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do Grau de Engenheiro Me-cânico.

Aprovado em 06 de Dezembro de 2019.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Heraldo Silva da Costa Mattos - Orientador Universidade Federal Fluminese - UFF

MSc. Camila Ranucci de Luca Universidade Federal Fluminense - UFF

MSc. Fernanda Felix Enne Universidade Federal Fluminese - UFF

Niter´oi – RJ 2019

(5)

Resumo

Esse trabalho tem três objetivos básicos: (1) implementar um código na linguagem Python para aproximar a solu¸cão de equa¸cões diferenciais ordinárias usando a técnica de Runge-Kutta de quarta ordem; (2) Estudar numericamente as vibra¸cões e o amorteci-mento de impacto de um ve´ıculo usando o modelo linear clássico massa-mola-amortecedor; (3) Propor e estudar numericamente um sistema de amortecimento não-linear elasto-viscoplástico. O problema linear, por ter solu¸cão anal´ıtica, permite comparar essa solu¸cão com a aproxima¸cão numérica e estimar o erro envolvido, validando o código. O estudo de vibra¸cões não lineares está se tornando cada vez mais importante devido aos novos materiais poliméricos usados em diferentes aplica¸cões, entre elas a absor¸cão de energia e prote¸cão contra impactos. A análise numérica preliminar feita no caso não linear mostra o potencial dessas aplica¸cões e estimula o prosseguimento de estudos experimentais.

Palavras-chave: M´etodo de Runge Kutta de quarta ordem, Amortecimento n˜ao linear, Python

(6)

v

Abstract

The present study had three basic goals: (1) to implement a code using the Python language to approximate the solution of ordinary differential equations using the Runge-Kutta 4th order method; (2) To perform the numerical analysis of vibrations and impact damping of a vehicle using the classic linear mass-spring-damper linear model; (3) To pro-pose and elasto-viscoplastic model for the damping system and to perform the numerical analysis of the system behavior. Since the linear problem has an analytical solution, it is possible to compare this solution with the numerical approximation and to estimate the error involved, validating the code. The study of nonlinear vibrations is becoming increasingly important due to the new polymeric materials used in different applications, including energy absorption and impact protection. The preliminary numerical analy-sis made in the nonlinear case shows the potential of these applications and encourages further experimental studies.

(7)

Dedicamos esse trabalho à todos que nos aju-daram e nos apoiaram até aqui. À todos que fazem parte de nossas vidas e que já passa-ram por ela, mas que nunca serão esquecidos.

(8)

vii

Agradecimentos

Agradecimento I:

Agrade¸co aos meus pais, Valmir e Angela, que sempre prezaram muito pela minha educa¸cão e sempre me apoiaram em todos os momentos de minha vida. O que sou hoje é reflexo do carinho deles. Às demais pessoas que já passaram ou estão na minha vida que apoiam e me aturam, muito obrigado por compartilhar essa jornada comigo.

Agradecimento II:

Gostaria de agradecer primeiro a Deus que tornou tudo poss´ıvel: `

A minha fam´ılia e aos meus pais, José e Rosalia, que foram minha primeira escola, ensinaram-me os bons valores, a prática do bem, a ética de se fazer o que é certo e a buscar a igualdade e a justi¸ca. Eles não mediram esfor¸cos para me oferecer o melhor que puderam. Estendo esse agradecimento à minha avó, minha segunda mãe, e a todas as amigas que trabalharam em minha casa que com sua do¸cura e amor me ensinaram a viver. Aos meus melhores amigos, Raphael e Lu´ısa, que estiveram sempre comigo nos momentos alegres e tristes, passaram comigo por muitas fases da vida, mas nunca desisti-ram e me ajudadesisti-ram a atravessar todas as dificuldades. Ajudadesisti-ram-me também a conhecer a mim mesmo e a lutar pelos nossos direitos.

Aos meus amigos, com os quais partilho as mesmas bandeiras e esperan¸cas, agra-de¸co por todos momentos importantes que tivemos, todas as viagens e partilhas. Todas as vitórias e também as derrotas. Obrigado a todos voluntários que acreditam, se somam aos projetos e ajudam a construir um mundo melhor.

`

As duas escolas que passei, gostaria de agradecer muito pela minha forma¸c˜ao, me tornaram um ser humano mais equilibrado e cr´ıtico. Centrinho e Gaylussac me concede-ram um amplo conhecimento geral, acadˆemico e de vida. Constru´ıram valores em mim que guardarei para sempre.

(9)

`

A Igreja e aos padres, gostaria de agradecer pelos amigos que são, pela forma¸cão em busca da Equidade em favor dos menos favorecidos. Por todas oportunidades que tive de servir ao próximo, aos que tinham fome ou quaisquer outras necessidades. Cada grupo, cada debate e cada evento me fizeram ser uma pessoa melhor.

`

A faculdade sem a qual não poderia ter essa forma¸cão tão ampla e benéfica. E aos professores por partilharem seus conhecimentos comigo com tanto prazer e zelo. Obrigado por todas as horas gastas na dedica¸cão à docência confeccionando e corrigindo provas, preparando materiais e aulas.

A todos os meus colegas de faculdade, que me apoiarem sempre nas dificuldades em todos os momentos de estudos antes das provas, mas também nos momentos de churrasco, Choppadas e cantareiras. Em especial gostaria de agradecer ao Vitor, por todo esfor¸co e dedica¸cão na constru¸cão desse projeto, sem você nada disso seria poss´ıvel.

(10)

ix

Lista de Figuras

2.1 Desenhos esquem´aticos de casos de vibra¸c˜oes simplificados . . . 5

2.2 Funcionamento do Metodo Runge Kutta 4 ordem [1] . . . 8

2.3 Comunidade online: stackoverflow . . . 9

3.1 Modelo Linear . . . 10

3.2 Solu¸c˜ao Anal´ıtica . . . 11

3.3 Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,02 . . . 13

3.7 Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,02 (superamortecido) . . . 16

3.11 Modelo N˜ao Linear . . . 19

3.12 Influˆencia do dt . . . 21

3.13 Velocidade x Tempo . . . 22

3.14 Acelera¸c˜ao x Tempo . . . 22

3.15 Posi¸c˜ao x Tempo . . . 23

3.16 Deforma¸c˜ao Pl´astica x Tempo . . . 23

5.1 Fun¸c˜ao Runge Kutta 4a Ordem em Python . . . 26

5.2 Fun¸c˜ao Runge Kutta 4a _{Ordem em Python com Stoperror} _{. . . .} ₂₇

5.3 Implementa¸c˜ao do c´odigo para o caso linear . . . 27

(11)

Lista de Tabelas

3.1 Resultados Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,02 . . . 13

3.5 Compara¸cão do tempo de processamento em rela¸cão ao dt . . . 16 3.6 Compara¸cão do tempo de processamento em rela¸cão ao dt (superamortecido) 18

(12)

Conte´

udo

Resumo iv Abstract v Agradecimentos vii Lista de Figuras ix Lista de Tabelas x 1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Motiva¸c˜ao . . . 2 1.2 Objetivo . . . 2 1.3 Metodologia . . . 2

2 Revisão Bibliográfica 4 2.1 Vibra¸cões Mecânicas . . . 4

2.1.1 Classifica¸c˜ao de Vibra¸c˜oes . . . 4

2.1.2 Componentes de Sistemas Discretos . . . 5

2.2 Vibra¸c˜oes N˜ao Lineares . . . 5

2.2.1 Fontes de n˜ao linearidade . . . 6

2.3 M´etodos Num´ericos . . . 6

2.3.1 Runge Kutta de 4a _{Ordem . . . .} ₆

2.4 Python . . . 8

3 Aplica¸cão do Método Numérico 10 3.1 Caso Linear . . . 10

3.1.1 Resolu¸c˜ao Anal´ıtica . . . 11 xi

(13)

3.1.2 Runge-Kutta 4a _{para solu¸c˜}_{ao linear . . . .} ₁₁

3.1.3 Solu¸c˜ao Num´erica . . . 12

3.2 Caso N˜ao-Linear . . . 18

3.2.1 Runge-Kutta 4a ordem para solu¸c˜ao n˜ao-linear . . . 20

3.3 Discuss˜ao de Resultados . . . 21

4 Conclus˜ao 24 4.0.1 Trabalhos Futuros . . . 24

Referências Bibliográficas 25 5 Appendix 26 5.1 Código Fonte . . . 26

(14)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

A análise matemática de vibra¸cão de um modelo f´ısico pode ser dividida em 4 passos: Modelagem do sistema, formula¸cão das equa¸cões matemáticas de governo, solu¸cão destas equa¸cões de governo e interpreta¸cão f´ısica dos resultados.[3]

No primeiro passo de uma análise de vibra¸cões, identifica-se a natureza do sistema e todas as variáveis f´ısicas relevantes que estão envolvidas.

No segundo passo, aplica-se as leis conhecidas da f´ısica e os princ´ıpios de dinˆ a-mica para se obter as equa¸cões que regem o comportamento do sistema. As restri¸cões geométricas, tal qual as rela¸cões cinemáticas entre deslocamento, velocidade e acelera¸cão, geralmente são necessárias para completar a modelagem matemática do sistema e para formular as equa¸cões iniciais e/ou de contorno.[3]

No terceiro passo, solu¸cões anal´ıticas ou numéricas são aplicadas para o desenvol-vimento de uma equa¸cão ou modelo, que represente o movimento futuro do problema.

Por fim, o quarto passo é a interpreta¸cão f´ısica dos resultados obtidos. Sendo isso, fundamental para a valida¸cão do modelo matemático e confirma¸cão de sua acuracidade.

Muitos problemas de engenharia podem ser modelados matematicamente, sendo uma representa¸cão idealizada e simplificada de algum fenômeno natural. As solu¸cões das equa¸cões devem respeitar os aspectos mais relevantes no comportamento do problema modelado. No entanto, muitas vezes não é poss´ıvel justificar a utiliza¸cão de hipóteses simplificadoras que modificam a natureza do problema, tal como a linearidade. Isso quer dizer, não se pode for¸car um problema a satisfazer hipóteses que permitiriam a obten¸cão de uma solu¸cão exata. Assim, se faz necessário a utiliza¸cão de métodos numéricos para a sua solu¸cão.[2]

(15)

1.1 Motiva¸

c˜

ao

Quando se fala em vibra¸cões, seu comportamento f´ısico só pode ser demonstrado, em sua maioria, através de modelos matemáticos não-lineares devido à sua alta comple-xidade e variáveis envolvidas no ambiente em questão.

Como esse modelos matemáticos, em sua maioria, somente podem ser resolvidos através de métodos numéricos, o tema desse trabalho foi escolhido visando obter um melhor entendimento da resolu¸cão desse tipo de problema e a aquisi¸cão de novos conhe-cimentos no processo de desenvolvimento desses modelos

Tendo a compreensão de métodos numéricos almejada e a domina¸cão da linguagem de programa¸cão escolhida nesse trabalho, acredita-se que abre-se um caminho não só para a resolu¸cão de diversos outros problemas clássicos da engenharia, mas também para diversos problemas modernos que lidamos no mercado de trabalho na atualidade.

Assim, esse trabalho visa aplicar os conhecimentos adquiridos durante o curso com os fundamentos de uma ferramenta de programa¸cão para que, a união dessas informa¸cões sirva de carga para o sucesso profissional.

1.2 Objetivo

O objetivo desse trabalho é expor o desenvolvimento e implementa¸cão do método de Runge Kuta de 4a _{ordem para solu¸c˜}_{ao de um modelo de vibra¸c˜}_{ao n˜}_{ao-linear, discorrer}

erros envolvidos, sua constru¸cão na linguagem de programa¸cão e interpreta¸cão f´ısica dos resultados.

O propósito é otimizar o modelo matemático de forma que possa ser utilizado para a solu¸cão de problemas reais de vibra¸cão não-lineares de materiais elasto-viscoplásticos e ao fim do trabalho ter conhecimento suficientes de Python para realizar análises mais complexas e desenvolver o código mais rápido

1.3 Metodologia

Estabelecido um problema simplificado de vibra¸cão linear em que seja poss´ıvel realizar a sua solu¸cão anal´ıtica, será criado uma representa¸cão em espa¸co de estados a ser resolvida a partir das equa¸cões que o regem. Assim, o método numérico de

(16)

Runge-3 Kutta de 4a _{ordem ser´}_{a escrito em Python e implementado no problema para encontrar}

sua solu¸cão. Como nesse primeiro momento, o problema escolhido é linear, os resultados dos métodos de solu¸cão anal´ıtico e numérico serão amplamente discutidos. Varia¸cões dos inputs, configura¸cões do método e suas particularidades também serão discorridos visando a valida¸cão da programa¸cão realizada.

Tendo o código numérico inicial validado, a segunda parte do trabalho é o estabele-cido um problema real de vibra¸cão não-linear, ligeiramente parecido com inicial utilizado. Realizando modifica¸cões no código prevenidos de assuntos discutidos no primeiro mo-mento visando sua otimiza¸cão e melhor resolu¸cão do novo problema, o segundo modelo será resolvido e seus resultados f´ısicos discutidos.

Assim, será poss´ıvel ter uma análise detalhada de uma simula¸cão de impacto, obtendo resultados comportamentais do material escolhido e nuances do método numérico escolhido.

(17)

Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

2.1 Vibra¸

c˜

oes Mecˆ

anicas

2.1.1 Classifica¸

c˜

ao de Vibra¸

c˜

oes

As vibra¸cões mecânicas podem ser dividas nos seguintes critérios:

Quanto à excita¸cão: Livres (vibram sem sua frequência natural e não há for¸ca de excita¸cão externa) ou for¸cadas (vibra na frequência de excita¸cão).

Quanto ao amortecimento: Amortecidas ou n˜ao amortecidas.

Quanto ao deslocamento: Retil´ıneo, torsional, ou combina¸cão de ambos. Quanto as propriedades f´ısicas: Discreto (número finito de graus de liberdade) ou cont´ınuo (número infinito de graus de liberdade).

Esse trabalho será focado os casos de vibra¸cões livres, amortecidas, retil´ıneas e discretas, onde pode-se fazer diretas referências a casos do cotidiano, simplificadamente aplicadas.

(18)

5

Figura 2.1: Desenhos esquem´aticos de casos de vibra¸c˜oes simplificados [7]

2.1.2 Componentes de Sistemas Discretos

Sistemas Dinâmicos são descritos por equa¸cões diferenciais e, se diferenciam dos Estáticos, devido à sequência de sa´ıda depender da sequência de entrada.

Os sistemas não-lineares são aqueles que variam no tempo e também não atendem ao princ´ıpio da superposi¸cão.

Eles podem ser distintos entre Cont´ınuos ou Discretos, caso as componentes dos vetores de estado pertencerem ao grupo dos n´umeros Reais ou Inteiros, respectivamente. Os sistemas Discretos, podem variar por causa do tempo ou por eventos pontuais e ainda variam caso as componentes dos vetores de estados forem definidas por tempos Reais quaisquer (Tempo Cont´ınuo) ou Naturais espec´ıficos (Tempo Discreto).

Nesse trabalho, ser´a focado casos de Sistemas Dinˆamicos, variantes no tempo, n˜ ao-lineares, de Estado Discreto, Dirigidos por Eventos e de Tempo Discreto.

2.2 Vibra¸

c˜

oes N˜

ao Lineares

A natureza é essencialmente não linear a sua descri¸cão a partir de modelos não lineares é mais realista. Assim, os modelos de vibra¸cões não lineares englobam uma variedade maior de fenômenos da natureza.

(19)

pois o princ´ıpio da superposi¸cão linear não é válida [7], ou seja, a resposta do sistema para a soma de todos os seus est´ımulos não é igual a resposta se cada est´ımulo fosse aplicado separadamente.

2.2.1 Fontes de n˜

ao linearidade

Nota-se que se pode considerar não linearidades f´ısicas (ou materiais) ou geom´ etri-cas dos sistemas envolvidos. Do ponto de vista f´ısico, pode-se considerar não linearidades constitutivas como comportamento elásticos não lineares, plasticidade ou outros fenˆ ome-nos correlatos. Do ponto de vista geométrico, podemos pensar em impactos ou grandes deslocamentos. [7]

2.3 M´

etodos Num´

ericos

A utiliza¸cão de métodos numéricos para a solu¸cão de equa¸cões diferenciais ordin´ a-rias com problema de valor inicial é de fundamental importância e será resolvido através do método de diferen¸cas finitas. A ideia geral desses métodos é a discretiza¸cão do dom´ınio e a substitui¸cão das derivadas presentes no problema por aproxima¸cões envolvendo o valor numérico da fun¸cão.[4]

Alguns exemplos desse tipo de método são: Método de Euler, trapézio, Runge-Kutta e predictor corrector. Após análise das particularidades de cada método, levando em conta o poder computacional exigido para se obter resultados satisfatórios para o presente trabalho, foi escolhido o método de Runge Kutta de quarta ordem para ser trabalhado.

2.3.1 Runge Kutta de 4

a

Ordem

O método de Runge-Kutta é provavelmente um dos métodos mais populares e o de quarta ordem é um dos mais utilizados para obter solu¸cões aproximadas de valor inicial. Cada método de Runge-Kutta consiste em comparar um polinômio de Taylor apropriado para eliminar o cálculo das derivadas, fazendo-se várias avalia¸cões da fun¸cão a cada passo. O método de Runge-Kutta pode ser entendido como um aperfei¸coamento do método de Euler, com uma melhor estimativa da derivada da fun¸cão.[1] No método

(20)

7 de Euler a estimativa do valor de yn+1 ´e realizado com o valor de yn com a derivada no

ponto xn No m´etodo de Runge-Kutta, busca-se uma melhor estimativa da derivada com a

avalia¸cão da fun¸cão em mais pontos no intervalo [xn,xn+1]. Um método de Runge-Kutta

de ordem n possui um erro da ordem de 0(hn+1).[4]

De modo geral, o m´etodo de Runge-Kutta ´e dado por

yi+1 = yi+ h(inclina¸c˜ao) (2.1)

onde inclina¸cão é uma constante que é obtida através do cálculo da inclina¸cão em vários pontos no interior do subintervalo. A ordem do método indica o número de pontos usado em um subintervalo para determinar o valor da inclina¸cão, o método de Runge-Kutta de segunda ordem utiliza a inclina¸cão em dois pontos, o método de terceira ordem utiliza três pontos, e assim por diante.[3]

A equa¸cão clássica para o método Runge Kutta de 4 ordem é

yi+1= yi+ 1 6(K1+ 2K2+ 2K3+ K4) (2.2) Onde: K1 = f (xi, yi)K2 = f (xi+ 1 2h, yi 1 2K1h)K3 = f (xi+ 1 2h, 1 2K2h)K4 = f (xi+ h, K3h) (2.3) O método clássico de Runge-Kutta e ilustrado esquematicamente na figura 2.2. Os gráficos a, b, c e d, mostram a determina¸cão do passo. Dentro da figura 2.2 O gráfico (a) mostra o passo k1 e como ele foi utilizado para o k2; O gráfico (b) mostra como o passo k2 e utilizado para achar o k3; O gráfico (c) mostra como k3 e utilizado para achar k4; O gráfico (d) ilustra a aplica¸cão da equa¸cão tal, onde o passo e usado pra calcular y+1 utilizando a media dos passos k1,k2, k3 e k4.[1]

(21)

Figura 2.2: Funcionamento do Metodo Runge Kutta 4 ordem [1]

2.4 Python

Para este trabalho, a linguagem escolhida para se escrever e resolver o método numérico foi a Python, criada e lan¸cada por Guido Van Rosum em 1991. Essa linguagem está se tornando cada vez mais comum na indústria 4.0 com o crescimento de novas áreas que trabalham com grandes dados, ciência de dados e machine learning, além de ser comumente utilizada para fins acadêmicos no ramo de engenharia.

Em resumo, Python é uma linguagem funcional, ou seja, faz uso principalmente de fun¸cões matemáticas e o valor de retorno é o resultado das fun¸cões de entrada; In-terpretada: significa que ela é executada por um interpretador para posteriormente ser executada pelo processador; Imperativa: descreve as a¸cões por meio de comandos que variam o estado de um programa; Orientada para objetos (POO): contém dados na forma de campo e códigos na forma de procedimentos; De alto n´ıvel: significa ser próxima à lin-guagem humana, o que permite ser facilmente aprendida e não requere conhecimento em um n´ıvel elevado sobre o processamento de computadores para masterizá-la; De tipagem dinâmica: não exige declara¸cão de dados pois são capazes testar e escolher as variáveis durante a própria execu¸cão.

Os principais pontos para esse escolha são: (1) ter um gerenciamento de memória automático o que a torna automatizadamente eficiente; (2) ser orientada a objetos, o que

(22)

9 facilita a programa¸cão; (3) vasta biblioteca de fun¸cões prontas e otimizadas que se pode utilizar;(4) tipagem dinâmica, diferente da linguagem aprendida no curso e (4) grande comunidade de usuários e fóruns de discussão, o que facilita muito no suporte a eventuais problemas. Abaixo pode-se ver o fórum pt.stackoverflow.com onde usuário de diversas linguagens se ajudam e discutem sobre sua utiliza¸cão com o mundo. Uma das maiores comunidades de usuários é em rela¸cão ao Python.

(23)

Cap´ıtulo 3

Aplica¸

c˜

ao do M´

etodo Num´

erico

3.1 Caso Linear

Para a valida¸cão do método numérico, em um caso linear, Foi escolhido um pro-blema em que seja conhecida sua solu¸cão anal´ıtica para realizar a compara¸cão dos re-sultados. Um caso clássico de vibra¸cão, próximo ao problema não linear desejado, será representado a seguir.

O exemplo escolhido é uma representa¸cão de um automóvel com sistema de amorte-cimento contra impactos. Esse sistemas, pode ser dimensionado nesse primeiro momento como um sistema massa-mola-amortecedor, conforme a figura abaixo.

(24)

11 Sendo corpo de massa m a uma velocidade V, possuindo um amortecedor de coe-ficiente de amortecimento c e uma mola de contante elástica k acoplados. O objetivo, é escrever uma equa¸cão que descreva o movimento do corpo.

3.1.1 Resolu¸

c˜

ao Anal´ıtica

Pode-se encontrar em diversas literaturas, sua solu¸c˜ao anal´ıtica: [7]

x(t) = e−2mc t D1e √ (_2mc )2₋k m t + D2e √ −( c 2m)2− k m t (3.1) Onde suas constante s˜ao definidas pelas condi¸c˜oes iniciais do problema.

Neste caso, vamos considerá-lo como subamortecido, para que a sua visualiza¸cão seja interessante. Assim, a rela¸cão c2_{− 4mk 6 0 deve ser verdadeira [7].}

Escolheu-se assim, as seguintes condi¸c˜oes iniciais:

v = 10m/s2; c = 800N s/m ; k = 50000N/m ; m = 250kg (3.2) Pode-se visualizar a solu¸c˜ao no gr´afico a seguir:

Figura 3.2: Solu¸c˜ao Anal´ıtica

3.1.2 Runge-Kutta 4

a

para solu¸

c˜

ao linear

A forma mais simplória de se escrever a lógica do método de Runge Kutta descrito acima, é a representada abaixo em pseudo-código.

(25)

Input: Parˆametros do problema: Massa, velocidade inicial, coeficientes de mola e amortecimento, dt, no _{de passos}

Output: Posi¸c˜ao e velocidade a cada instante

Receba os valores dos parˆametros e crie a matriz A e Z0 for i = 0 to n´umero de passos desejado do

Calcule o valor de K1, utilize o k anterior para calcular o k adjacente at´e o k4 calcule o z com os valores de k1, k2, k3 e k4

adicione os resultados no vetor de posi¸c˜ao e velocidade end

Plote velocidade e Posi¸c˜ao em rela¸c˜ao ao tempo

Algorithm 1: C´odigo Runge Kutta 4a _{ordem simples}

Na próxima sessão, o código será validado para um caso não linear, que possui uma solu¸cão anal´ıtica conhecida. Haverá uma discussão sobre os erros envolvidos, sua otimi-za¸cão, e como será adaptado para a finalidade desejada, que é a resolu¸cão de um caso de vibra¸cão não linear. Assim, também pode-se estudar a sua convergência. Diferentemente de um caso linear, em que pode-se realizar a compara¸cão entre os resultados numéricos e anal´ıticos, na maioria dos casos não lineares isso não é poss´ıvel de ser realizado.

3.1.3 Solu¸

c˜

ao Num´

erica

Para comparar-se a efetividade do método numérico aplicado. visualiza¸cões e ta-belas foram montadas, variando-se o dt utilizado, isto é, o passo do método e plotando o resultado das duas solu¸cões sobrepostos. O erro utilizado foi o erro relativo [4]

Erro(%) = |Ra− Rn Ra

| × 100% (3.3) Onde Ra e Rn representam, respectivamente, os resultados anal´ıticos e num´ericos.

Assim, dado o código descrito em 3.1, e a solu¸cão anal´ıtica proposta em 3.2, pode-mos ver a evolu¸cão da solu¸cão conforme a escolha do valor de dt.

(26)

13

Figura 3.3: Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,02

Tempo (s) Xa (m) Xn (m) Erro (%)

1 0,03976 0,06879 58,33256 1,5 0,01420 0,02478 43,71289 2 0,00138 -0,00959 96,42742 2,5 -0,00197 -0,02323 177,939

Tabela 3.1: Resultados Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,02

(27)

1 0,03977 0,05091 22,39612 1,5 0,01420 0,01650 9,50232 2 0,00138 -0,00431 49,97257 2,5 -0,00196 -0,01051 71,50235

Tabela 3.2: Resultados Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,01

1 0,03977 0,04462 9,76004 1,5 0,01420 0,01484 2,64133 2 0,00138 -0,00143 24,63457 2,5 -0,00196 -0,00586 32,67546 Tabela 3.3: Resultados Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,005

(28)

15

1 0,03976 0,04063 1,74546 1,5 0,01420 0,01427 0,25787 2 0,00137 0,00083 4,84705 2,5 -0,00195 -0,00269 6,14527 Tabela 3.4: Resultados Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,001

Como se pode observar nos gráficos acima e mostrados nas tabelas, o método das diferen¸cas finitas Runge Kutta de 4a ordem torna-se preciso quanto menor for o intervalo de tempo dt escolhido. Pode-se verificar isso através dos erros relativos nas tabelas. Além disso, com o estudo feito baixo, rodou-se o mesmo código com o intuito de avaliar a a influência da escolha do dt no tempo de processamento do programa. Assim, pode-se tomar critérios para escolher um dt adequado futuramente para a resolu¸cão do código não linear.

(29)

dt no _passos _{loop (ns)} _{total (s)} 0,02 250 41,9 0,016189 0,01 500 41,9 0,019234 0,005 1000 42,1 0,028955 0,0025 2000 57 0,056375 0,001 5000 71,8 0,155143 0,0001 50000 71,7 1,501796

Tabela 3.5: Compara¸c˜ao do tempo de processamento em rela¸c˜ao ao dt

Atento ao fato de que, o tempo de processamento necessário para a resolu¸cão desse código é linearmente proporcional ao dt escolhido. Para as ordens de grandeza que o trabalho se propõe a trabalhar, pode-se verificar que os estudos a prosseguir, não demandarão uma preocupa¸cão com o poder computacional dispon´ıvel para se obter uma análise com a acurácia desejada.

Como o caso a ser resolvido a seguir é superamortecido, uma análise semelhante foi realizada nesse fase de valida¸cão do código. Consegue-se observar uma evolu¸cão seme-lhante de acordo com a escolha do dt, como representado abaixo:

(30)

17

Figura 3.8: Anal´ıtico vs Num´erico com dt=0,01 (superamortecido)

(31)

O mesmo estudo do tempo de processamento foi realizado, e suas conclus˜oes est˜ao alinhadas com o caso anterior pois os resultados foram semelhantes.

dt no _passos _{loop (ns)} _{total (s)}

0,02 250 47,1 0,018198 0,01 500 47,1 0,021621 0,001 5000 80,7 0,174397 0,0001 50000 81,3 1,678957

Tabela 3.6: Compara¸c˜ao do tempo de processamento em rela¸c˜ao ao dt (superamortecido)

3.2 Caso N˜

ao-Linear

Os modelos de vibra¸cão não lineares, raramente possuem solu¸cões anal´ıticas, em métodos diretos apenas para casos extremamente espec´ıficos. Desta forma, técnicas ro-bustas e universais precisam trabalhar com versões linearizadas dessas equa¸cões, o que permite o uso dos método descrito anteriormente nesse trabalho.

Para a solu¸cão do caso não linear proposto neste trabalho e exemplificado na fi-gura 3.1, pode-se utilizar o mesmo conceito discorrido na sessão anterior. Porém, iremos realizar modifica¸cões no código para que seja poss´ıvel a sua resolu¸cão e para garantirmos a convergência nos resultados.

(32)

19

Figura 3.11: Modelo N˜ao Linear Para este caso de amortecimento, temos que:

m¨x = F (x, ˙x) (3.4) F = k(x − xp) (3.5) ˙xp = F c N ; xp = (t = 0) = 0 (3.6) ˙xp = F − F y c N ; F = Fy+ C( ˙xp)N1quandoF > Fy (3.7)

Onde k, c e N s˜ao constantes positivas que caracterizam o amortecedor e xp

re-presenta sua deforma¸cão plástica. Para a resolu¸cão do código, a seguinte mudan¸ca de variáveis deve ser realizada: z1 = x, z2 = ˙x, z3 = xp, tomando assim, a nota¸cão vetorial

final em espa¸cos de estados dessa resolu¸c˜ao:

˙z =      ˙ z1 ˙ z2 ˙ z3      ; f (z, t) =      f1(z, t) f2(z, t) f3(z, t)      =      z2 −k m(z1 − z2) (k(z1−z3)_c )N      ; z0 =      0 v 0      (3.8)

Diferentemente da solu¸cão linear, aqui não temos um modelo para compararmos e vermos se a simula¸cão está convergindo. Porém, com as análises anteriores de dt e os erros relativos envolvidos, pode-se tirar conclusões suficientes para modificar o código se iniciar o modelo com bons parâmetros que farão com que seus resultados sejam aceitáveis e próximos à realidade.

(33)

3.2.1 Runge-Kutta 4

a

ordem para solu¸

c˜

ao n˜

ao-linear

Até o momento, tem-se escolhido a quantidade de passos do código como ”input”, ou seja, quantas vezes nosso método numérico irá calcular o próximo valor da variável desejada é escolhido manualmente. Com uma ligeira modifica¸cão no código, pode-se otimizá-lo, para que seja poss´ıvel realizar um estudo de convergência do modelo.

O novo c´odigo ´e descrito a seguir:

Input: Parˆametros do problema: Massa, velocidade inicial, coeficientes de mola e amortecimento, dt, erro, no m´aximo de passos

Output: Posi¸cão, velocidade e deforma¸cão plástica a cada instante

Receba os valores dos parˆametros e crie a matriz A e Z0 e inicie o valor de i como 0 while i < nomaximodepassos to and Z[i + 1] − Z[1] < erro do

Calcule o valor de K1, utilize o k anterior para calcular o k adjacente at´e o k4 calcule o z com os valores de k1,k2,k3, k4 e dt

adicione os resultados no vetor de posi¸cão, velocidade e deforma¸cão Adicione 1 à variável i

end

Plote velocidade, Posi¸cão e deforma¸cão em rela¸cão ao tempo

Algorithm 2: C´odigo Runge Kutta 4a ordem com crit´erio de parada

Utilizando critérios de erro absoluto, baseados nos estudos anteriores para o caso linear, levando em considera¸cão conceitos como underflow explicados anteriormente na linguagem escolhida podemos saber o número de passos exatos em que a condi¸cão do erro é satis-feita, assim, descobrindo a quantidade de passos necessários para o programa representar adequadamente o problema proposto.

Consegue-se mostrar de uma forma simples, que o dt escolhido, ainda influencia em muito no resultado obtido para o caso linear, Como mostrado abaixo.

(34)

21

Figura 3.12: Influˆencia do dt

3.3 Discuss˜

ao de Resultados

Tendo o código completo do jeito planejado, simula¸cões do comportamento do impacto foram realizadas. O material escolhido para o teste é um Pol´ımero Nylon com as seguintes propriedades:

c = 500N s/m ; k = 4000N/m (3.9) Este material foi escolhido devido a ampla aplica¸cão de pol´ımeros dessa natureza vem sendo cada vez mais comumente utilizado em toda a indústria. As condi¸cões de contorno escolhidas para a simula¸cão de impacto estão descritas a seguir:

v = 2, 7m/s2; m = 50kg (3.10) Os inputs do método numérico fora deliberados como abaixo, levando em conta a acurácia do resultado desejada e o poder computacional desejado para atingir tal. Assim, tando o dt quando o stoperror escolhidos foram baseados nos resultados do cap´ıtulo do anterior:

dt = 10 × 10−5; stoperror = 10 × 10−9 (3.11) E então, resolvendo o código como proposto em algorithm2 com as proprieda-des mencionadas acima, consegue-se expressar os resultados da equa¸cão de estado 3.8,

(35)

tornando poss´ıvel uma análise do comportamento do material em seu impacto. Abaixo, observado como a velocidade decai no tempo, pode-se obter o tempo de dura¸cão do im-pacto, isto é, da velocidade inicial até o momento em que o carro para completamente.

Figura 3.13: Velocidade x Tempo

Obtendo esse estudo da solu¸cão da equa¸cão 3.8, pode-se ir além e verificar o com-portamento da acelera¸cão no teste. Representado abaixo na figura 3.14, pode observar um máximo de desacelera¸cão de 1.2g. Levando em conta estudos que mostram que a partir de 7g, já come¸ca a ser maléfico para o ser humano, o material escolhido obteve um bom resultado ao teste submetido.

Figura 3.14: Acelera¸c˜ao x Tempo

(36)

23 até a sua total parada, e o efeito sofrido pelo material, isto é, a deforma¸cão plástica que o mesmo foi submetido. Ambos também resultados da solu¸cão da equa¸cão 3.8

Figura 3.15: Posi¸c˜ao x Tempo

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Cap´ıtulo 4

Conclus˜

ao

Nesse trabalho, foi implementado um código na linguagem Python em busca de solu¸cão de equa¸cões diferenciais ordinárias; analisar as vibra¸cões e impacto de um ve´ıculo e propor o estudo de um sistema de amortecimento não-linear elasto-viscoplástico.

Quanto o m´etodo Runge Kutta de 4a _{ordem, para a solu¸c˜}_{ao das equa¸c˜}_{oes o mesmo}

se mostrou bastante eficiente quanto comparado à solu¸cões anal´ıticas, sem demandar tamanho gasto computacional. A linguagem escolhida se demonstrou extremante eficiente e de fácil utiliza¸cão. Todo e qualquer problema com sua tipografia e peculiaridades, foram facilmente resolvidos devido devido à comunidade que utiliza o Python para diversas áreas da engenharia, e computa¸cão.

Na simula¸cão do impacto do caso não linear, obteve-se resultados esperados devido ao material escolhido. E o trabalho em si permitiu uma boa análise do seu comportamento. Como o objetivo proposto do material era servir de amortecedor em um impacto, obteve-se bons resultados de desacelera¸cão e coerentes para uma frenagem segura para o ser-humano.

4.0.1 Trabalhos Futuros

O trabalho mostrou o grande potencial de aplica¸cão desse tipo de material no uso da absor¸cão de energia de impacto, estimulando o prosseguimento para novos estudos ex-perimentais. Assim como a análise teórica de outros materiais envolvidos para averiguar o seu comportamento. Também, como trabalhos futuros, pode-se destacar altera¸cão do sistema a ser estudado, com o objetivo de realizar diversas outras simula¸cões de compor-tamento não lineares e se aprofundar no assunto e influência das propriedades do material.

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25

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[8] MARC, S. W.;DAVID, L. M.;STEPHEN, V. M.,GUIDELINE FOR SAFETY HU-MAN EXPOSURE TO IMPACT ACCELERATION, Naval Biodynamics Labora-tory, 2004

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Cap´ıtulo 5

Appendix

5.1 C´

odigo Fonte

Figura 5.1: Fun¸c˜ao Runge Kutta 4a Ordem em Python

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27

Figura 5.2: Fun¸c˜ao Runge Kutta 4a Ordem em Python com Stoperror

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