UNIVERSIDADE FEDERAL
FLUMINENSE
Instituto de Matem´
atica e Estat´ıstica
A Desigualdade de Brunn-Minkowski
Franco Manuel D´ıaz Vega
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica da Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisi-tos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de Mestre.
Orientador: Aldo Amilcar Baz´an Pacoricona
A Desigualdade de Brunn-Minkowski
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica da Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisitos necess´arios para a
obten¸c˜ao do grau de Mestre.
´
Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica Aprovada por:
Prof. Dr. Aldo Amilcar Bazan Pacoricona (Orientador)
Prof. Dr. Juan Bautista L´ımaco Ferrel (Co-orientador)
Prof. Dr. Wladimir Augusto das Neves
Prof. Dr. Abraham Enrique Mu˜noz Flores
Ficha Catalogr´afica
Franco, D. V.
A Desigualdade de Brunn-Minkowski Aluno: Franco Manuel D´ıaz Vega, Niter´oi, UFF/IME, 2017
i-iv, 93 p´aginas
Orientador: Aldo Amilcar Baz´an Pacoricona
Disserta¸c˜ao de Mestrado - UFF/IME/ Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matematica,
Referˆencias Bibliogr´aficas: f. 82-83. 1. Introdu¸c˜ao.
2. Resultados B´asicos.
3. Desigualdade cl´assica de Brunn-Minkowski. 4. Desigualdade refinada de Brunn-Minkowski.
Dedicat´
oria
A minha familia e aos matem´aticos Minkowski e Lebesgue.
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus pelo dom da vida e por ter me dado for¸cas para concluir mais esta etapa de meus estudos.
A minha familia pelo apoio incondicional e por terem sido a for¸ca que faz ir em frente.
Um agradecimento especial ao meu orientador, o professor Aldo Amilcar Bazan Pacori-cona, pela sua eficiente orienta¸c˜ao, paciˆencia, boa vontade, sabedoria, pelo exemplo de dedica¸c˜ao a profiss˜ao e por ter aceitado me orientar.
`
A coordena¸c˜ao de P´os-Gradua¸c˜ao pelo apoio nos momentos dif´ıceis .
Aos amigos do mestrado e doutorado da UFF Orlando, Gianfranco, Nina entre outros que de alguma forma me ajudaram a nunca desistir.
Aos funcion´arios da UFF pela aten¸c˜ao e convivˆencia amiga durante a realiza¸c˜ao do curso.
Ao professor Orlando Moreno Vega por seus buenos consejos e motiva¸c˜ao .
`
A CAPES (Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de pessoal de Ensino Superior) pelo apoio financeiro .
Resumo
O objetivo principal desta disserta¸c˜ao ´e estudar a desigualdade de Brunn-Minkowski Refinada: se E, F ⊆ Rn s˜ao dois corpos convexos,
|E + F |n1 ≥ |E|n1 + |F | 1 n ( 1 + A(E, F ) 2 C0(n)σ(E, F ) 1 n )
onde as quantidades A(E, F ) e σ(E, F ) ser˜ao definidas posteriormente. Tamb´em, C0(n)
´
e uma constante que depende de n, e |.| ´e a medida de Lebesgue.
No cap´ıtulo 1 estudaremos os conjuntos convexos, a suma de Minkowski, a medida de Lebesgue e Hausdorff, os teoremas de Brenier, Rademacher e Alexandrov e algumas de-sigualdades ´uteis, as quais v˜ao ser importantes para mostrar as desigualdades de Brunn-Minkowski cl´assica e refinada.
No cap´ıtulo 2 mostraremos a desigualdade cl´assica de Brunn-Minkowski: se E, F ⊆ Rn
corpos convexos, |E + F |1n ≥ |E| 1 n + |F | 1 n
Mostraremos esta desigualdade de trˆes formas diferentes: pelo m´etodo de indu¸c˜ao, atrav´es da desigualdade de Pr´ekopa-Leindler e usando algumas id´eias do Transporte ´Otimo de Massa. Al´em disso, tamb´em estudaremos algumas formas equivalentes desta desigual-dade. Note-se que a constante no lado direito da desigualdade ´e igual a 1.
No cap´ıtulo 3 estudaremos a desigualdade de Brunn-Minkowski refinada, isto ´e, mostraremos que ´e poss´ıvel obter uma maior constante do lado direito da desigualdade. Mais precisa-mente, obteremos a seguinte constante: 1 + A(E,F )2
C0(n)σ(E,F ) 1 n.
Palavras-chave:
Corpo convexo, Desigualdade de Brunn-Minkowski, medida de Lebesgue, medida de Hausdorf, per´ımetro anisotr´opico, desigualdade de Prekopa-Leindler, Transporte de Massa.
Abstract
The main objective of this work is to study the inequality of Brunn-Minkowski : Let E, F ⊆ Rn convex body then
|E + F |n1 ≥ |E|n1 + |F | 1 n ( 1 + A(E, F ) 2 C0(n)σ(E, F ) 1 n )
where A (E, F) is the relative asymmetry, σ(E, F ) relative size, C0(n) is a constant that
depends on n e |.| is The Lebesgue measure.
In Chapter 1 we will study the convex sets, the sum of Minkowski, the Lebesgue and Hausdorf measure, the theorems of Brenier, Rademacher, and Alexandrov, and some useful inequalities that are all important to show classic and refined Brunn-Minkowski inequality.
In chapter 2 we will show the classical inequality of Brunn-Minkowski:
Let E, F ⊆ Rn convex bodies then
|E + F |1n ≥ |E| 1 n + |F |
1 n
We will show by the method of induction, inequality of Prekopa Leindler and mass trans-port and also we will study the equivalences of the inequality. Note that the constant on the right side of the inequality is equal to 1.
In Chapter 3 we will study the Brunn-Minkowski inequality refined ie we will show that it is possible to obtain a greater constant of the right side of the inequality what is 1 + A(E,F )2
C0(n)σ(E,F ) 1 n.
Key words:
Convex body, Inequality of Brunn-Minkonski, Lebesgue measure, Hausdorf measure, Anisotropic perimeter, Prekopa-Leindler inequality, Mass transport.
Sum´
ario
1 Preliminares 3
1.1 No¸c˜oes de An´alise Convexa . . . 3
1.1.1 Conjuntos convexos . . . 3
1.1.2 A aplica¸c˜ao Proje¸c˜ao M´etrica . . . 10
1.1.3 Suporte e Fun¸c˜ao suporte de um conjunto convexo . . . 13
1.1.4 Uma fun¸c˜ao peso sobre dire¸c˜oes definidas sobre Sn−1 . . . . 16
1.1.5 A m´edia de uma fun¸c˜ao . . . 18
1.2 A Soma de Minkowski . . . 20
1.3 Alguns resultados da teoria da medida . . . 22
1.3.1 A Medida de Lebesgue . . . 22
1.3.2 A Medida de Hausdorff . . . 23
1.4 O problema de Monge-Kantorovich . . . 26
1.5 Os teoremas de Rademacher e Alexandrov . . . 26
1.6 Algumas desigualdades importantes . . . 27
2 A Desigualdade de Brunn-Minkowski 33 2.1 Algumas demonstra¸c˜oes . . . 36
2.1.1 Via Pr´ekopa-Leindler . . . 36
2.1.2 Via indu¸c˜ao . . . 37
2.1.3 Via Transporte de Massa . . . 39
2.2 O problema da igualdade . . . 44
2.3 Algumas equivalˆencias . . . 45
3 A Desigualdade de Brunn-Minkowski Refinada 48 3.1 A desigualdade do tra¸co de Poincar´e . . . 51
3.2.1 Limites mais baixos do d´efice . . . 58 3.2.2 Desigualdade do Tra¸co . . . 62 3.2.3 A assimetria relativa . . . 65
Introdu¸
c˜
ao
A desigualdade Brunn-Minkowski ´e um dos resultados fundamentais na teoria de conjun-tos convexos e n´ucleo fundamental da geometria convexa. Desta desigualdade pode-se tirar muitos resultados de grande profundidade e importˆancia, e continua sendo um motivo de estudo e investiga¸c˜ao. Tem sua origem no trabalho do Hermann Brunn em 1887, quem provou a desigualdade de uma forma inteligente, por´em imprecisa, sendo que tamb´em n˜ao foram dadas condi¸c˜oes necess´arias para que a igualdade seja satisfeita. Foi Minkowski quem deu uma demonstra¸c˜ao melhor e completa do resultado para qualquer dimens˜ao, mostrando tamb´em a igualdade.
Esta disserta¸c˜ao est´a dividida em trˆes cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo, mostraremos algumas propriedades dos conjuntos convexos, os teoremas de Brenier, Rademacher e Alexandrov que tem rela¸c˜ao com transporte de masa e algumas desigualdades ´uteis para a prova da desigualdade de Brunn-Minkowski. No segundo cap´ıtulo, enunciamos e prova-mos a desigualdade de Brunn-MInkowski: se E e F dois corpos convexos em Rn ent˜ao
|E + F |1n ≥ |E| 1 n + |F |
1 n .
Nesse cap´ıtulo fornecemos trˆes formas diferentes de provar esta desigualdade: usando a desigualdade de Pr´ekopa-Leindler, atrav´es do princ´ıpio de indu¸c˜ao matem´atica, e apli-cando alguns conceitos do Transporte ´Otimo de Massa. Tamb´em, mostraremos algumas equivalˆencias da desigualdade. ´E importante notar que a igualdade, no caso de desigual-dade de Brunn-Minkowski, acontece quando E e F s˜ao homot´eticos, isto ´e, quando existe λ > 0 e x0 ∈ Rn tal que
E = x0+ λF
No terceiro cap´ıtulo, usando o artigo de A. Figalli, F. Maggi e A. Pratelli (A refined Brunn-Minkowski inequality for convex sets), mostraremos que a constante 1 que aparece
ao lado direito da desigualdade de Brunn-Minkowski pode ser melhorada, obtendo a seguinte desigualdade: |E + F |n1 ≥ |E|n1 + |F | 1 n ( 1 + A(E, F ) 2 C0(n)σ(E, F ) 1 n ) onde:
• A(E,F), a assimetria relativa de E e F: A(E, F ) := inf x0∈Rn ( |E 4 (x0+ λF )| |E| : λ = |E| |F | 1n) • σ(E, F ), o tamanho relativo a E e F:
σ(E, F ) := max |E| |F |,
|F | |E|
• C0(n), uma constante que depende de n e |.| ´e a medida de Lebesgue.
Para obter a constante mencionada linhas acima, primeiramente mostraremos um lema, chamado o Lema de Poincar´e tipo tra¸co:
Lema 0.1. Seja E um corpo convexo tal que Br ⊆ E ⊆ BR para 0 < r < R ent˜ao
n√2 Ln2 R r Z E |∇f | ≥ infc∈R Z ∂E |f − c| dHn−1 para todo f ∈ C∞(Rn) ∩ L∞(Rn)
A seguir, estudaremos o resultado do limite mais baixo do d´efice 1 |E| Z E |∇T (x) − λGId| dx ≤ C(n) p β(E, F ) q β(E, F ) + σ(E, F )−1n
Finalmente, estudaremos a Desigualdade do Tra¸co onde usando limites mais baixos do d´efice e os resultados anteriores, chegando a seguinte desigualdade:
A(E, F ) ≤ C(n) q σ(E, F )n1pβ(E, F ) onde: β(E, F ) = |E + F | 1 n |E|n1 + |F | 1 n − 1
Como esta ´ultima desigualdade ´e equivalente a desigualdade de Brunn-Minkowski refi-nada, teremos a prova procurada.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Neste cap´ıtulo apresentamos alguns resultados necess´arios, para que o leitor possa ter uma melhor compreens˜ao dos conte´udos abordados nos cap´ıtulos seguintes.
1.1
No¸
c˜
oes de An´
alise Convexa
1.1.1
Conjuntos convexos
Nas se¸c˜oes 1.1 e 1.2 estudaremos os resultados de an´alise convexo cuja referencia o pode conseguir em [15] ou em outros livros de convexidade.
Defini¸c˜ao 1.1. Um conjunto A ⊆ Rn ´e convexo se, para todo x, y ∈ A, o segmento [x, y] ⊆ A.
S˜ao exemplos de conjuntos convexos:
1. Hiperplanos: Hµ,α = {x ∈ Rn: hx, µi = α}, onde µ ∈ Rn e α ∈ R.
2. Semiespa¸cos: Hµ,α− = {x ∈ Rn: hx, µi ≤ α}, onde µ ∈ Rn e α ∈ R.
3. Um poliedro, que ´e a intersec¸c˜ao finita de semiespa¸cos.
Defini¸c˜ao 1.2. Os pontos x1, ..., xk ∈ Rns˜ao afinmente independentes se, e somente
se, os vetores x2x1, ..., xkx1 s˜ao linearmente independentes.
Por exemplo, sejam x0 = (0, 2, 0), x1 = (0, 3, 0), x2 = (0, 2, 1) vetores em R3. Note que
αx1x0+ βx2x0 = α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1) = 0. Ent˜ao, tem-se α = β = 0. Isto mostra que os
vetores x0, x1, x2 s˜ao afinmente independentes.
Defini¸c˜ao 1.3. Dizemos que x ∈ Rn´e uma combina¸c˜ao linear convexa de x1, ..., xK ∈
Rn se existem λ1, ..., λK ∈ R n˜ao negativas tais que
Pk
i=1λi = 1 e x =
Pk
Alguns exemplos s˜ao os seguintes:
1. O ponto x ∈ Rn ´e combina¸c˜ao linear convexa de x
1, x2 ∈ Rn se, e somente se,
x ∈ [x1, x2] ´e o segmento entre x1 e x2.
2. Sejam x1, x2, x3 ∈ Rn afinmente independientes. O ponto x ∈ Rn´e combina¸c˜ao linear
convexa de x1, x2, x3 se, e somente se, x est´a na regi˜ao encerrada pelo triˆangulo de Rnde
v´ertices x1, x2, x3.
3. Sejam x1, x2, x3, x4 ∈ Rn afinmente independientes. O ponto x ∈ Rn ´e combina¸c˜ao
linear convexa de x1, x2, x3, x4 se, e somente se, x est´a no tetraedro s´olido fechado de Rn
de v´ertices x1, x2, x3, x4.
Defini¸c˜ao 1.4. Seja A ⊆ Rn n˜ao vazio. A envolt´oria convexa de A, conv(A), ´e o
conjunto dos pontos de Rn que podem escrever-se como combina¸c˜ao linear convexa de um
n´umero finito de pontos de A.
S˜ao exemplos de envolt´oria convexa de conjuntos:
1. Um pol´ıtopo em Rn, que por defini¸c˜ao ´e a envolvente convexa de um n´umero finito de pontos.
2. Se A = {(x, arctan(x)) : x ∈ R}, a envolt´oria convexa de A ´e conv(A) = R × (−π2 ,π2).
Defini¸c˜ao 1.5. Um conjunto A ⊆ Rn diz-se um corpo convexo se ´e convexo, compacto e com interior n˜ao vazio.
S˜ao exemplos: a bola fechada, pol´ıgonos, poliedros, pol´ıtopos, etc.
Lema 1.6. Seja A um conjunto convexo no Rn. Ent˜ao, a combina¸c˜ao convexa dos
elementos x1, ..., xn de A, ´e um elemento de A.
Demonstra¸c˜ao: Seja x a combina¸c˜ao convexa dos elementos x1, ..., xn de A, isto ´e,
x = n X i=1 λixi, onde λi ≥ 0, e n X i=1 λi = 1.
Provamos o lema usando indu¸c˜ao sobre n. Se n = 2, da defini¸c˜ao de convexidade temos que x ∈ A. Agora, vamos supor que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para n − 1 elementos de A. Se λn∈ (0, 1), podemos reescrever x na forma seguinte
x = (1 − λn) n−1 X i=1 λi 1 − λn xi+ λnxn.
Ent˜ao, da hip´otese de indu¸c˜ao, Pn−1
i=1 λi
A seguir, mostramos duas propriedades da envolvente convexa de A. Proposi¸c˜ao 1.7. Se A ⊆ Rn ´e convexo ent˜ao A = conv(A)
Demonstra¸c˜ao: Da defini¸c˜ao da envolt´oria convexa de um conjunto temos A ⊆ conv(A). Agora s´o resta mostrar que conv(A) ⊆ A. Se x ∈ conv(A), existem x1, ..., xk ∈ A, onde
λ1, ..., λk ≥ 0, tais que x = k X i=1 λixi; onde k X i=1 λi = 1.
Ent˜ao, do lema anterior, x ∈ A.
Proposi¸c˜ao 1.8. A envolt´oria convexa de A ´e a interse¸c˜ao de todo os conjuntos convexos de Rn que contem A.
Demonstra¸c˜ao: Seja D(A) a interse¸c˜ao de todos os conjuntos convexos Ci de Rn que
contem A, isto ´e:
D(A) =\
i∈I
Ci, onde Ci ⊆ Rn, A ⊆ Ci.
Como A ⊆ conv(A) e conv(A) ´e convexo ent˜ao D(A) ⊆ conv(A). Por outro lado, se C ⊆ Rn ´e um conjunto convexo arbitr´ario, e A ⊆ C, ent˜ao conv(A) ⊆ conv(C), e j´a que
C ´e convexo, conv(A) ⊆ C. Finalmente, dado que C ´e qualquer convexo que contem A, conv(A) ⊆ D(A).
A seguir, mostraremos alguns resultados topol´ogicos de conjuntos convexos. Proposi¸c˜ao 1.9. Se A ⊆ Rn ´e convexo, os conjuntos int(A) e A s˜ao convexos.
Demonstra¸c˜ao: Sejan x, y ∈ int(A), ent˜ao [x, y) ⊆ int(A) (isto ser´a provado na proposi¸c˜ao 1.12). Como y ∈ int(A), [x, y] ⊆ int(A), e portanto int(A) ´e convexo. Agora mostraremos que A ´e convexo. Para isso, fazemos duas afirma¸c˜oes:
• A soma de Minkowski do conjunto A e de uma bola B(0, r), de centro 0 e raio r pode-se escrever das formas seguintes:
A + B(0, r) = {x = a + b : a ∈ A, kbk < r} , A + B(0, r) = {x ∈ Rn: d(x, A) < r} .
Para provar a primeira igualdade, escolhemos x = a + b ∈ A + B(0, r), de onde d(x, A) = inf
a0∈Ad(x, a
0
Para provar a segunda igualdade, da defini¸c˜ao de ´ınfimo, como d(x, A) < r, ex-iste a ∈ A tal que d(x, a) < r. Como x = a + (x − a) ∈ A + B(0, r), j´a que x − a ∈ B(0, r) ≡ d(x, a) < r, temos o resultado.
• O fecho de A satisfaz as seguintes igualdades:
A = {x ∈ Rn: d(x, A) = 0} , A = \ r>0 {x ∈ Rn : d(x, A) < r} , A = \ r>0 [A + B(0, r)].
Mostramos a primeira igualdade. Se d(x, A) = 0, pela defini¸c˜ao de ´ınfimo, para cada k ∈ N existe ak ∈ A tal que 0 ≤ d(x, ak) < 1k, ent˜ao, quando k → ∞
temos d(x, ak) = 0, logo existe (ak)k≥1 ⊆ A tal que ak → 0, e assim x ∈ A.
Rec´ıprocamente, seja x ∈ A. Se β = d(x, A), devemos mostrar que β = 0. Suponha que β 6= 0. Temos dois casos. Se β > 0, existe n ∈ N tal que
0 < 1
n < inf {d(x, a); a ∈ A} .
Como x ∈ A, para todo > 0, B(x, ) ∩ A 6= φ. Escolhendo = 2n1 temos p ∈ A e d(x, p) < 1
2n. Assim, se p ∈ A : d(x, p) < 1 2n <
1
n < inf {d(x, a); a ∈ A}, o que gera
uma contradi¸c˜ao. Agora, se β = d(x, A) < 0, existe a ∈ A tal que d(x, a) < 0, o que tamb´em gera uma contradi¸c˜ao, e assim β = 0, isto ´e, d(x, A) = 0.
A seguir, mostremos a segunda igualdade. Seja y ∈ T
r>0{x ∈ R
n: d(x, A) < r}.
Escolhendo r = 1/n, onde n ∈ N , 0 ≤ d(y, A) < n1, quando n → ∞ temos:
lim
n→∞d(y, A) = 0 = d(y, A).
Reciprocamente, se y ∈ {x ∈ Rn: d(x, A) = 0}, para todo r > 0 temos d(y, A) < r, de onde y ∈T
r>0{x ∈ Rn/d(x, A) < r} .
Usando as duas afirma¸c˜oes anteriores, A = T
r>0[A + B(0, r)], e j´a que a interse¸c˜ao
arbitr´aria de convexos ´e convexa, temos o resultado.
Defini¸c˜ao 1.10. Dado A ⊆ Rn, denotaremos por af f (A) ao menor subespa¸co afim de
Rnque contem a A, que chamaremos de envolt´oria afim do conjunto A. A dimens˜ao de A ser´a
S˜ao exemplos de aff(A):
1. Se A ´e uma regi˜ao triangular contida em R3, a sua envolt´oria afim ´e um plano.
2. Se A ´e um segmento contido em R3, a sua envolt´oria afim ´e uma reta.
Defini¸c˜ao 1.11. O interior relativo, relintC, de um conjunto C ⊆ Rn ´e o interior de C para a topologia relativa da envolt´oria afim de C. Em outras palavras: x ∈ relintC se, e somente se,
x ∈ af f (C), ∃δ > 0 : (af f (C)) ∩ B(x, δ) ⊆ C. Alguns exemplos de interior relativo:
1. Se C = {x}, ent˜ao af f (C) = {x}, dimC = 0 e relintC = {x}.
2. Se C = [x, x0] um segmento em R3, ent˜ao aff(C) ´e a linha afim generalizada por x e x0, dim(C) = 1 e relintC = (x, x0).
3. Se C um quadrado em R3, ent˜ao af f (C) ´e um plano contido em R3, cuja dimens˜ao
´
e 2, e seu interior relativo ´e um quadrado cujo bordo ´e aberto.
4. Se C = B(x0, δ) ⊆ Rn, ent˜ao af f (C) = Rn, dim(C) = n e relint(C) = int B(x0, δ).
Proposi¸c˜ao 1.12. Seja x0 ∈ relintC e x ∈ C ent˜ao o segmento [x0, x) ⊆ relintC. Demonstra¸c˜ao: Seja x00 = αx + (1 − α)x0 com 0 ≤ α < 1. Como x ∈ C, ent˜ao, para todo > 0 tem-se x ∈ C + B(0, ), pois C =T
>0(C + B(0, )). Mais ainda B(x00, ) = x00+ B(0, ) = αx + (1 − α)x0+ B(0, ) ⊆ α(C + B(0, )) + (1 − α)x0+ B(0, ) = αC + (1 − α)x0 + (1 + α)B(0, ) = αC + (1 − α) x0+ B(0,(1 + α) 1 − α ) .
Como x0 ∈ relintC, x0 ∈ af f (C), de onde existe δ > 0 tal que af f (C) ∩ B(x0, δ) ⊆ C.
Assumindo que af f (C) = Rn, temos x0 ∈ intC, e escolhendo > 0 tal que x0+ B(0,(1 + α)
1 − α ) = B(x
0
,(1 + α) 1 − α ) ⊆ C,
logo, B(x00, ) ⊆ αC + (1 − α)C = C, j´a que C ´e convexo, e portanto x00∈ relintC. Observa¸c˜oes:
i. B(0, λρ) = λB(0, ρ). Mostremos este resultado por doble inclus˜ao: se z ∈ B(0, λρ), z ∈ B(0, λρ) ⇒ kzk < λρ ⇒ 1 λkzk < ρ ⇒ 1 λz < ρ ⇒ 1 λz ∈ B(0, ρ)
e assim, z ∈ λB(0, ρ). Reciprocamente, se z ∈ λB(0, ρ),
z ∈ λB(0, ρ) ⇒ z = λµ; µ ∈ B(0, ρ) ⇒ kzk = kλµk = λ kµk < λρ e assim, z ∈ B(0, λρ).
ii. B(z, λρ) = z + λB(0, ρ). Mostremos este resultado por doble inclus˜ao. Se ω ∈ B(z, λρ),
ω ∈ B(z, λρ) ⇒ kω − zk < λρ ⇒ ω − z ∈ B(0, λρ) ⇒ ω ∈ z + B(0, λρ), e assim, ω ∈ z + λB(0, ρ). Reciprocamente, se ω ∈ z + λB(0, ρ),
ω ∈ z + λB(0, ρ) ⇒ ω = z + λµ; µ ∈ B(0, ρ) ⇒ kω − zk = λ kµk < λρ, e assim, ω ∈ B(z, λρ).
Antes de mostrar a seguinte proposi¸c˜ao daremos alguns exemplos para que assim a prova fique mais clara.
1. Seja A ⊆ R2 um triˆangulo. Nosso objetivo ´e mostrar que int(A) 6= φ. Sejam x
1, x2, x3
os v´ertices do triangulo, isto ´e, vetores afinmente independentes. Como {x1, x2, x3} ⊆ A,
S := conv {x1, x2, x3} = A. Seja x ∈ S. Ent˜ao x = Pki=1λixi com Pki=1λi = 1 ; para
λi ≥ 0. Se λ1 = λ2 = λ3 = 13 onde x = (x1 + x2+ x3)/3, ent˜ao x ∈ intS = intA. O caso
de um triˆangulo em R3 o procedimento ´e similar somente que ser˜ao usados relint(A) e af f (A) j´a que a dimens˜ao topol´ogica do conjunto ´e diferente `a dimens˜ao do espa¸co ambiente.
2. Seja A uma elipse contida num plano em R3. Nosso objetivo ´e mostrar que relint(A) 6=
φ. Sabemos que dim(plano) = 2 = dim(A). Escolhemos x1, x2, x3, pontos afinmente
in-dependentes na fronteira da elipse. Ent˜ao temos um triangulo S de v´ertices x1, x2, x3
contido em A. Definimos o conjunto S := conv {x1, x2, x3} ⊆ A. Se x ∈ S, x =Pki=1λixi
com Pk
i=1λi = 1; para λi ≥ 0. Escolhendo x0 = (x1 + x2+ x3)/3 vemos que x0 ∈ S, e
como λi > 0, x0 ∈ relint(S) ⊆ relint(A), j´a que dim af f (S) = dim af f (A)
Observa¸c˜ao: Si S ⊆ A ent˜ao, n˜ao necessariamente relint(S) ⊆ relint(A). Por exemplo, se K um cubo em R3 e C um lado de K, ent˜ao relint(K) ∩ relint(C) = φ, j´a que dim af f (C) = 2 6= 3 = dim af f (K).
Proposi¸c˜ao 1.13. Seja A ⊆ Rn um convexo n˜ao vazio ent˜ao int(A) 6= φ
Demonstra¸c˜ao: Seja dim(A) = n para qualquer A ⊆ Rn. Ent˜ao, existem {x1, ..., xn+1}
pontos afinmente independentes em A. Definimos S := conv {x1, ..., xn+1} ⊆ A. Se
escolhermos x0 = (x1+ ... + xn+1)/(n + 1), x0 ∈ S, e como n+11 > 0, x0 ∈ int(S) ⊆ int(A),
portanto int(A) 6= φ.
Proposi¸c˜ao 1.14. Seja A ⊆ Rn um convexo. Ent˜ao
a. intA = intA b. A = intA
c. ∂(A) = ∂(A) = ∂(int(A))
Demonstra¸c˜ao: A seguir, provamos as trˆes afirma¸c˜oes dadas no teorema.
a. Como A ⊆ A, int(A) ⊆ int(A). Reciprocamente, seja z ∈ intA. Escolhemos x0 ∈ intA. Se z = x0, nada temos para provar. Agora, seja z 6= x0. Como
z ∈ intA, existe r > 0 tal que B(z, r) ⊆ A. Consideremos o ponto ω = z +r2 z−x0
kz−x0k ∈
B(z, r) ⊆ A. Como x0 ∈ intA e ω ∈ A, pelo lema anterior, [x0, ω) ⊆ intA. Seja
0 < λ = r r+2kz−x0k < 1. J´a que r > 0 e r + 2 kz − x0k > r, 1 r+2kz−x0k < 1 r e assim λ < 1. Logo: λx0+ (1 − λ)ω = r r + 2 kz − x0k x0+ 2 kz − x0k r + 2 kz − x0k z + r 2 z − x0 kz − x0k = r r + 2 kz − x0k x0+ 2 kz − x0k r + 2 kz − x0k 2 kz − x0k z + r(z − x0) 2 kz − x0k = rx0+ 2 kz − x0k z + rz − rx0 r + 2 kz − x0k = (2 kz − x0k + r)z r + 2 kz − x0k = z.
Assim, z = λx0 + (1 − λ)ω, e como 0 < λ < 1, z ∈ (x0, ω) ⊆ [x0, ω) ⊆ intA, e
portanto z ∈ intA.
b. Como int(A) ⊆ A, int(A) ⊆ A. Reciprocamente, seja x ∈ A. Como x ∈ A, escolhemos y ∈ intA, de onde [y, x) ⊆ intA, logo [y, x] ⊆ intA, e portanto x ∈ intA. c. ∂A = A−intA = A−intA = ∂A por i) e ∂(intA) = intA−int(intA) = A−intA =
1.1.2
A aplica¸
c˜
ao Proje¸
c˜
ao M´
etrica
Teorema 1.15. Seja A ⊆ Rn um convexo, fechado e n˜ao vazio. Para cada x ∈ Rn,
existe um ´unico a ∈ A tal que d(x, a) ≤ d(x, y), para todo y ∈ A.
Demonstra¸c˜ao: Dado x ∈ Rn, tomemos r > 0 tal que K = B(x, r) ∩ A 6= φ. Note que
K ´e compacto. Tamb´em, a aplica¸c˜ao dx : K → [0, +∞) definida por dx(y) = d(x, y) =
kx − yk ´e continua em K, isto ´e
∀ > 0, ∃δ > 0 : d(y, p) < δ ⇒ d(dx(y), dx(p)) < .
Com efeito, se p ∈ K,
kdx(y) − dx(p)k = kd(x, y) − d(x, p)k
≤ kx − y − (x − p)k = kp − yk < δ,
e escolhendo δ = , dx ´e continua em K. Assim, como K ´e compacto, existe a ∈ K tal
que d(x, a) ≤ d(x, y) para todo y ∈ K, onde a ´e m´ınimo e tamb´em existe b ∈ K tal que r ≥ d(x, b) ≥ d(x, y), para todo y ∈ K, onde b ´e m´aximo. Note que
y ∈ A/K ⇒ kx − yk > r, y ∈ A ⇒ kx − yk > r ≥ d(x, b), y ∈ A.
Ent˜ao kx − yk > d(x, a), desde que y ∈ A/K. Agora, para a unicidade, usaremos a convexidade de A. Vamos supor que existem a, b ∈ A, diferentes, tais que d(x, a) ≤ d(x, y) e d(x, b) ≤ d(x, y), para todo y ∈ A. Escolhemos c = 12(a + b), que est´a no conjunto A, pois A ´e convexo. Afirmamos que a − b e x − c s˜ao ortogonais. De fato,
ha − b, x − ci = a − b, x − a + b 2 = 1 2ha − b, 2x − a − bi .
Como a − b = (x − b) − (x − a) e 2x − a − b = (x − a) + (x − b), colocando estas express˜oes no lado direito da igualdade acima temos
ha − b, x − ci = 1 2(kx − bk 2− kx − ak2 ) = 1 2(d(x, A) 2− d(x, A)2) = 0.
Logo: kx − ck2 < kx − ck2 + kc − bk2 = kx − bk2, que foi obtido pelo teorema de Pit´agoras. Portanto: d(x, c) < d(x, b) contradizendo o fato de que b est´a a m´ınima distancia de x.
Teorema 1.16. Seja A ⊆ Rn convexo, fechado e n˜ao vazio. Ent˜ao
d(PA(x), PA(y)) ≤ d(x, y),
para quaisquer x, y ∈ Rn.
Demonstra¸c˜ao: Note que x ∈ A se, e somente se, PA(x) = x. De fato, como PA(x) = x,
ent˜ao d(x, A) = d(x, x) = 0, de onde x ∈ A = A. Por outro lado, como kx − PA(x)k ≤
kx − yk, para todo y ∈ A, escolhendo y = x temos 0 ≤ kx − PA(x)k ≤ 0 portanto
x = PA(x).
Agora, dados x, y ∈ Rn, se x ∈ A, PA(x) = x, de onde d(x, PA(y)) ≤ d(x, y). An´alogo
para y ∈ A. Se PA(x) = PA(y) ent˜ao temos 0 ≤ d(x, y), desigualdade que ´e sempre
verdadeira. Sendo assim, vamos supor que x, y /∈ A e PA(x) 6= PA(y). Neste caso,
sejam Hx e Hy os hiperplanos ortogonais ao segmento [PA(x), PA(y)], que pasan por
PA(x) e PA(y) respectivamente, e seja B ⊆ Rn a regi˜ao aberta delimitada por Hx e Hy.
Afirmamos que x, y /∈ B. De fato, se x ∈ B, existe z ∈ (PA(x), PA(y)) ⊆ A tal que
d(x, z) < d(x, PA(x)), mas isto contradiz a defini¸c˜ao de PA(x) , onde xPA(x) e xPA(y)
s˜ao os ˆangulos agudos do triˆangulo PA(x)xPA(y). Portanto x /∈ B e analogamente tem-se
y /∈ B. Finalmente, como x, y /∈ B,
d(x, y) ≥ d(Hx, Hy) = d(PA(x), PA(y))
.
Defini¸c˜ao 1.17. Seja A ⊆ Rn um conjunto convexo n˜ao vazio. Definimos
uA: Rn− A −→ Sn−1; uA(x) =
x − PA(x)
kx − PA(x)k
Assim uA(x) ´e um vetor normal unit´ario associado a x no ponto PA(x) ∈ ∂(A) e tamb´em
definimos a semireta normal a ∂(A) em PA(x) exterior a A:
RA(x) = {PA(x) + λuA(x) : λ ≥ 0}
e com estas defini¸c˜oes mostraremos nosso seguente teorema.
Teorema 1.18. Seja A ⊆ Rn um convexo, fechado n˜ao vazio e x ∈ Rn − A. Ent˜ao PA(y) = PA(x) ; ∀y ∈ RA(x)
Caso I: y ∈ [PA(x), x]
De fato: d(x, PA(y)) ≤ d(x, y) + d(y, PA(y)) ≤ d(x, y) + d(y, PA(x)) = d(x, PA(x), ent˜ao
d(x, PA(y)) ≤ d(x, PA(x) e aplico defini¸c˜ao a PA(x) , temos PA(x) = PA(y)
Caso II: y /∈ [PA(x), x] ent˜ao x ∈ [PA(x), y]
Considero o segmento [PA(x), PA(y)] que est´a contido em A por ser A convexo, queremos
mostrar que se reduce a um ponto. Pego q ∈ [PA(x), PA(y)] tal que qx//PA(y)y. Por
pro-porcionalidade d(x,PA(x))
d(x,q) =
d(y,PA(x))
d(y,PA(y)) ent˜ao d(x, q) = d(x, PA(x))
d(y,PA(y))
d(y,PA(x)) ≤ d(x, PA(x))
e se tem d(x, q) ≤ d(x, PA(x)) ent˜ao d(x, q) = d(x, PA(x)) ; por defini¸c˜ao de PA(x) e
q ∈ A por ser convexo. Logo d(x, PA(x)) = d(x, PA(x))d(y,Pd(y,PA(y))
A(x)) ent˜ao d(y, PA(y)) =
d(y, PA(x)). Portanto PA(x) = PA(y) ; por defini¸c˜ao de PA(y)
Teorema 1.19. Seja A ⊆ Rn fechado com a propriedade que, para cada ponto de Rn tem-se um ´unico ponto mais pr´oximo em A. Ent˜ao A ´e convexo.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que A n˜ao ´e convexo. Sejam os pontos x, y ∈ Rn com [x, y] ∩
A = {x, y}. ´E poss´ıvel escolher ρ > 0 tal que B = B(x+y2 , ρ), satisfazendo B ∩ A = φ, j´a que A ´e fechado. Se = denota a fam´ılia de bolas fechadas B0 tais que B ⊆ B0 e int(B0) ∩ A = φ, da compacidade de B, temos que existe uma subcobertura finita de B, de elementos de =. Chamamos de C a bola de maior raio desta subcobertura finita. Afirmamos que C ∩ A 6= φ. Para mostrar isto, suponhamos que C ∩ A = φ. Como C ´
e compacto e A ´e fechado, existe m ∈ C e n ∈ A tal que d(A, C) = km − nk ≥ 0. Se d(C, A) = 0 ent˜ao km − nk = 0 portanto m = n ∈ C ∩ A, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois estes conjuntos s˜ao disjuntos. Como d(C, A) > 0, podemos aumentar um pouco mais o raio da bola C, isto ´e uma contradi¸c˜ao com a maximalidade de C. Mais precisamente: definindo R0 = R + d(C, A) ; onde C0 = B(x+y2 , R0), vamos mostrar que C ⊆ C0. Seja z ∈ C, ent˜ao z − x+y2 ≤ R < R0, e portanto z ∈ B(x+y2 , R0) ⊆ C0. Agora, se o centro de C, que chamaremos de w, ´e diferente ao centro de B, escolhendo z ∈ C temos kz − wk ≤ R < R0, e portanto z ∈ B(w, R0) ⊆ C0. Assim, temos que existe p ∈ C ∩ A, e
da hip´otese do teorema, este ´e o ´unico ponto na interse¸c˜ao de C e A.
Se ∂B e ∂C tem um ponto em comum, seja esse ´unico ponto q; de outra maneira seja q o centro da bola B. Para > 0 suficientemente pequeno, a bola C + (p − q) ⊇ B, e esta bola n˜ao intersecta o conjunto A. Portanto a fam´ılia = contem um elemento com maior
raio que a bola C, uma contradi¸c˜ao.
1.1.3
Suporte e Fun¸
c˜
ao suporte de um conjunto convexo
Dado H ⊆ Rn um hiperplano, denotamos por H+, H− os dois semiespa¸cos fechados cuja
fronteira ´e H.
Defini¸c˜ao 1.20. Dado A ⊆ Rn e x0 ∈ A, um hiperplano H ⊆ Rn diz-se hiperplano de
suporte de A em x0, se ele satisfaz:
a. x0 ∈ A ∩ H.
b. A ⊆ H+ ou A ⊆ H− (se A ⊆ H+, dizemos que H+ ´e o semiespa¸co de suporte de A em x0 ; de forma similar se A ⊆ H−).
Suponha que H ´e o hiperplano de suporte de A em x0 ∈ ∂A com A ⊆ H−. Ent˜ao
H = Hu,α = {x ∈ Rn: hx, ui = α} ; H− = Hu,α− = {x ∈ R
n: hx, ui ≤ α}
para certo u ∈ Rn/ {0} e α ∈ R.
Teorema 1.21. Seja A ⊆ Rn fechado, convexo e n˜ao vazio. Consideremos PA : Rn →
A, a aplica¸c˜ao proje¸c˜ao m´etrica, e uma aplica¸c˜ao uA : Rn/A −→ Sn−1. Ent˜ao, dado
x ∈ Rn/A, o hiperplano H = P
A(x) + huA(x)i ⊥
´
e um hiperplano de suporte de A em PA(x), e uA(x) ´e o vetor normal exterior a A em PA(x).
Demonstra¸c˜ao: Vamos verificar as duas condi¸c˜oes para que H = PA(x) + huA(x)i ⊥
seja um hiperplano de suporte de A en PA(x).
1. Como PA(x) ´e a proje¸c˜ao do ponto x no conjunto A, PA(x) ∈ A. Por outro lado,
PA(x) = PA(x) + 0, ent˜ao PA ∈ H = PA(x) + huA(x)i ⊥ , pois 0 ∈ huA(x)i ⊥ e uA(x) ∈ huA(x)i. Portanto, PA(x) ∈ A ∩ H.
2. Agora mostramos que A ⊆ H− = {y ∈ Rn/ hy − P
A(x), uA(x)i ≤ 0} onde H =
PA(x) + huA(x)i ⊥
= {y ∈ Rn/ hy − PA(x), uA(x)i = 0}. A ´ultima igualdade ´e
ver-dadeira, pois y − PA(x) ∈ huA(x)i ⊥
´e equivalente a y ∈ PA(x) + huA(x)i ⊥
. A seguir, suponha que existe z ∈ A tal que hz − PA(x), uA(x)i > 0. Definimos o
zt est´a em A, pois A ´e convexo. Agora, seja a fun¸c˜ao f : [0, 1] −→ R definida por
f (t) = kzt− xk 2
. Note que, da defini¸c˜ao de zt temos
f (t) = kPA(x) + t(z − PA(x)) − xk 2 = kPA(x) − xk2+ 2t hPA(x) − x, z − PA(x)i + t2kz − PA(x)k2 Derivando f obtemos f0(t) = 2t kz − PA(x)k 2 + 2 hPA(x) − x, z − PA(x)i . A seguir, escolhemos t = 0 em f0: f0(0) = 2 hPA(x) − x, z − PA(x)i = −2 hx − PA(x), z − PA(x)i = −2 kx − PA(x)k x − PA(x) kx − PA(x)k , z − PA(x) = −2 kx − PA(x)k huA(x), z − PA(x)i ,
de onde f0(0) < 0. Ent˜ao, existe > 0 tal que f (t) < f (0), isto ´e, f (t) = kzt− xk 2 < kPA(x) − xk 2 = f (0), de onde kzt− xk < kPA(x) − xk ; zt∈ A, o que contradiz a defini¸c˜ao de PA(x).
Teorema 1.22. Seja A ⊆ Rn fechado e convexo, dado z ∈ ∂A, ent˜ao existe um
hiper-plano de suporte de A em z.
Demonstra¸c˜ao: A prova ser´a feita em duas etapas:
1. Suponha que A ´e limitado, ent˜ao existe R > 0 tal que A ⊆ B(0, R). Por um lema provado anteriormente, PA(S) = ∂A ; onde S = Sn−1(0, R). Portanto, dado
z ∈ ∂A, existe x ∈ S tal que PA(x) = z. Como S ⊆ Rn/A, ent˜ao, pelo lema, temos
que H = PA(x) + huA(x)i ⊥
´
e o hiperplano suporte de A em PA(x) = z.
2. Se A n˜ao ´e limitado, escolhemos z ∈ ∂A, e consideramos o conjunto Az = A ∩
B(z, 1), que ´e fechado, convexo e limitado. De forma similar ao item anterior, H ´e um hiperplano suporte de Az em z. S´o resta provar que H ´e tamb´em hiperplano
suporte de A em z. Suponha que H n˜ao ´e um hiperplano suporte de A em z. Seja H− o semiespa¸co fechado limitado por H que contem a Az. Se existisse y ∈ A/H−
ent˜ao (z, y] ⊆ Rn/H−. Como z, y ∈ A ent˜ao [z, y] ⊆ A e φ 6= (z, y]∩[z, y]∩B(z, 1) ⊆ (z, y] ∩ (A ∩ B(z, 1)). Logo (z, y] ∩ (A ∩ B(z, 1)) 6= φ. Isto contradiz as inclus˜oes (z, y] ⊆ Rn/H− e Az ⊆ H−.
Teorema 1.23. Se A ´e limitado, dado u ∈ Rn/ {0}, existe um hiperplano de suporte de
A com vetor normal exterior u.
Demonstra¸c˜ao: Seja u ∈ Rn/ {0}. Consideremos a fun¸c˜ao altura f
u : A −→ R tal
que fu(x) = hx, ui. J´a que a fun¸c˜ao fu ´e continua e A ´e compacto, fu tem um m´aximo
absoluto x0 ∈ A. Isto implica que A ⊆ {x ∈ Rn/ {x, u} ≤ fu(x0)} = Hu,f−u(x0), onde
Hu,fu(x0) ´e um hiperplano suporte de A em x0 com vetor normal exterior u.
Teorema 1.24. Seja A ⊆ Rn fechado com int(A) 6= φ, tal que para cada x
0 ∈ ∂A, existe
um hiperplano de suporte de A em x0. Ent˜ao A ´e convexo.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que A n˜ao ´e convexo, isto ´e, que existem x, y ∈ A e z ∈ [x, y]/A. Se escolhermos a ∈ int(A), como os extremos do segmento [a, z] verificam que a ∈ int(A) e z /∈ A, existe b ∈ (a, z) ∩ ∂A. Das hip´oteses, existe um hiperplano H suporte de A em b. Seja o semiespa¸co determinado por H que contem a A. Como a ∈ int(A) temos que a /∈ H , logo a ∈ H−/H. Como b ∈ H , deduzimos que a reta que passa por
a e b corta transversalmente H , portanto z /∈ H−. De fato: suponha que z ∈ H− ent˜ao
hz, ui ≤ α, onde H = {w ∈ Rn/ hw, ui = α}. Por hip´otese, b ∈ H ent˜ao, em particular
escolhemos w = b. Logo: Dz,kz−bkz−b E ≤ Db,kz−bkz−b E ent˜ao hz, z − bi − hb, z − bi ≤ 0. Portanto kz − bk2 ≤ 0 isto ´e z = b, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Agora, se x, y ∈ A ⊆ H−, como H− ´e convexo, ent˜ao [x, y] ⊆ H−. Logo z ∈ [x, y] ⊆ H−, de onde z ∈ H−, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Teorema 1.25. Cada conjunto A, convexo, fechado e n˜ao vazio em Rn ´e a interse¸c˜ao
de todo os semiespa¸cos de suporte que cont´em a A.
Demonstra¸c˜ao: Seja = o conjunto de todos os semiespa¸cos de suporte de A. Ent˜ao
A ⊆T
S∈=S. Por outro lado, se existisse x ∈
T
S∈=S /A, o hiperplano PA(x)+huA(x)i ⊥
seria um hiperplano suporte de A que n˜ao cont´em x. Logo, o semiespa¸co de suporte de A em PA(x) n˜ao contem x, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Agora estudemos a fun¸c˜ao suporte de um conjunto A. Seja A ⊆ Rn um conjunto
fechado e convexo. Considere a fun¸c˜ao
hA: Rn −→ R ∪ {+∞}
u 7→ hA(u) = sup a∈A
Note que hA(0) = 0. Denotaremos por Dom(hA) = {u ∈ Rn : hA(u) < ∞}. A restri¸c˜ao
hA : Dom(hA) −→ R se chama a fun¸c˜ao suporte de A. A interpreta¸c˜ao geom´etrica de
hA(u) para u ∈ Sn−1∩ Dom(hA) ´e que hA(u) representa a altura m´axima que A alcan¸ca
respeito ao hiperplano ortogonal a u. Agora seja u ∈ Dom(hA)/ {0}. Consideremos o
hiperplano afim
H(A, u) = {x ∈ Rn: hx, ui = hA(u)} .
O semiespa¸co fechado limitado por H(A,u) que contem a A ´e H−(A, u) = {x ∈ Rn : hx, ui ≤ hA(u)} .
Teorema 1.26. Seja A, A0 ⊆ Rn convexos fechados. Ent˜ao,
a. Existe x ∈ Rn tal que h
A(u) = hx, ui ∀u ∈ Rn se, e somente se, A = {x}.
b. hA+x(u) = hA(u) + hx, ui , ∀x ∈ Rn, u ∈ Dom(hA).
c. hA(λu) = λhA(u), ∀λ ≥ 0, u ∈ Dom(hA).
d. hA(u + v) ≤ hA(u) + hA(v); ∀u, v ∈ Dom(hA).
e. hA≤ hA0 se, e somente se, A ⊆ A0.
Demonstra¸c˜ao: Provaremos e., pois ele ser´a usado no cap´ıtulo 2. Seja Hu,α um
hiper-plano de suporte de A0, com o semiespa¸co de suporte Hu,α− . Ent˜ao
sup
a∈A
ha, ui = hA(u) ≤ hA0(u) = sup
a0∈A0
ha0, ui = α,
logo A ⊆ Hu,α− . Como este semiespa¸co de suporte foi arbitr´ario, deduzimos que A est´a contido na interse¸c˜ao de todo os semiespa¸cos de suporte de A0, e pelo teorema anterior, A est´a contido em A0.
1.1.4
Uma fun¸
c˜
ao peso sobre dire¸
c˜
oes definidas sobre S
n−1Referˆencia [7]. Dado um corpo E que contem a origem em seu interior, hemos introduzido uma fun¸c˜ao de peso nas dire¸c˜oes definidas para v ∈ Sn−1 como:
kvkE := sup {x.v : x ∈ E}
1) ¿O que acontece se o origem n˜ao pertenece no interior de E?
Seja E = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2+ 1} onde se tem que 0 /∈ E. Lembre que λE =(p1, p2) ∈ R2 : (p1, p2) = λ(x, y); (x, y) ∈ A
Como (x, y) ∈ E ent˜ao y ≥ x2+ 1 e agora: (p1, p2) ∈ λE ⇒ p2 λ ≥ p1 λ 2 + 1 ⇒ p2 ≥ p2 1 λ + λ portanto: λE = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x 2 λ + λ ; λ > 0. Observamos que (0, 0) /∈ λE. J´a que se
λ → +∞ ⇒ y → +∞ e λ → 0+ ⇒ y → +∞
2) Mostremos que kkE ´e uma seminorma
1) kvkE ≥ 0 j´a que 0 ∈ E
2) kvkE = 0 se e somente se v = 0 mas isso ´e falso porque v ∈ Sn−1
3) Provar que kλvkE = λ kvkE, para isso estudaremos dois casos:
3.1) Para λ > 0: kλvkE = sup {x.λv : x ∈ E} = λsup {x.v : x ∈ E} = λ kvkE 3.2) Para λ < 0: kλvkE = sup {x.λv : x ∈ E} = λinf {x.v : x ∈ E} = −λsup {x.v : x ∈ E} = |λ| kvkE 4) kv1+ v2kE = sup {x.(v1+ v2) : x ∈ E} = sup {x.v1+ x.v2 : x ∈ E} ≤ sup {x.v1 : x ∈ E} + sup {x.v2 : x ∈ E} = kv1kE + kv2kE
Portanto: kkE ´e uma seminorma.
No cap´ıtulo 3 mostraremos um lema. Seja E um corpo convexo tal que Br ⊆ E ⊆ BR
para 0 < r < R. Ent˜ao n√2 Ln2 R r Z E |∇f | ≥ inf c∈R Z ∂E |f − c| dHn−1
para todo f ∈ C∞(Rn) ∩ L∞(Rn). Mostraremos um resultado muito importante para poder usar na prova de nosso lema
r ≤ kvkE ≤ R; ∀ v ∈ Sn−1
De fato: primeiro mostraremos a desigualdade do lado ezquerdo
x.v ≤ kxk kvk = kxk ≤ R ⇒ kvkE = sup {x.v : x ∈ E} ≤ R
Agora mostremos a outra desigualdade. Como E contem o origem se tem Br(0) ⊆ E e
dado um x0 ∈ Sr se tem kx0k = r e como x0.v = kx0k kvk cosθ = rcosθ e vai acontecer
em algum instante que x0//v e se tem x0.v = r ent˜ao
kvkE = sup {x.v : x ∈ E} ≥ sup {x.v : x ∈ Br} ≥ r.
1.1.5
A m´
edia de uma fun¸
c˜
ao
Referˆencia [7]. No cap´ıtulo 3 mostraremos o seguinte resultado Z E |∇f | ≥ τ (E) Z ∂E |f − m| dHn−1, onde m ´e a media de f em E e |Ft∩ E| ≤ |E| 2 , ∀t ≥ m e |Ft∩ E| > |E| 2 , ∀t < m Ft = {x ∈ Rn: f (x) > t} ; t ∈ R
Veamos algumos exemplos:
1) Seja f (x) = 3 e E = (−1, 1) temos: a. Para t = 1.5 |F1.5∩ (−1, 1)| = |R ∩ (−1, 1)| = |(−1, 1)| = 2 > 1 = |(−1, 1)| 2 b. Para t = 2 |F2∩ (−1, 1)| = |R ∩ (−1, 1)| = |(−1, 1)| = 2 > 1 = |(−1, 1)| 2 c. Para t = −1 |F−1∩ (−1, 1)| = |R ∩ (−1, 1)| = |(−1, 1)| = 2 > 1 = |(−1, 1)| 2
observamos que para t < 3 estamos em |Ft∩ E| > |E| 2 , para todo t < m d. Para t = 3 se tem |F3∩ (−1, 1)| = |φ ∩ (−1, 1)| = |φ| = 0 < 1 = |(−1,1)| 2 e isso
con-tinuar´a valendo ∀t ≥ 3, j´a que estamos no caso |Ft∩ E| ≤ |E|
2 , ∀t ≥ m. portanto temos
m = 3
2) Seja f (x) = sen(x) e E = (−1, 1) temos que:
a. Para t = 0 |F0∩ (−1, 1)| = (0, π 2] ∩ (−1, 1) = |(0, 1)| = 1 = |(−1, 1)| 2 b. Para t = 12 F12 ∩ (−1, 1) = ( π 6, π 2] ∩ (−1, 1) = ( π 6, 1) = 1 − π 6 < 1 = |(−1, 1)| 2 c. Para t = 1 |F1∩ (−1, 1)| = |φ ∩ (−1, 1)| = |φ| = 0 < 1 = |(−1, 1)| 2 observamos que para t ≥ 0 estamos no caso |Ft∩ E| ≤
|E| 2 , para todo t ≥ m d. Para t = −12 F−12 ∩ (−1, 1) = (−π 6 , π 2] ∩ (−1, 1) = (−π 6 , 1) = 1 + π 6 > 1 = |(−1, 1)| 2 e. Para t = −1 |F−1∩ (−1, 1)| = (−π 2 , π 2) ∩ (−1, 1) = |(−1, 1)| = 2 > 1 = |(−1, 1)| 2 observamos que para t < 0 estamos no caso |Ft∩ E| >
|E|
2 , ∀t ≥ m. Portanto temos que
m = 0.
Por outro lado seja g = max {f − m, 0} e seja Gt= {x ∈ Rn : g(x) > t}. A continua¸c˜ao
daremos exemplos para a fun¸c˜ao g
3) Seja f (x) = sen(x) e m = 0 ent˜ao g(x) = max {sen(x), 0} = sen(x)+|sen(x)|2
g(x) = (
sen(x) ; x ∈ (2kπ, (2k + 1)π); k ∈ Z 0 ; x ∈ [(2k + 1)π, (2k + 2)π] ; k ∈ Z
Observamos que g(x) ≥ 0.
4) Seja f (x) = sen(x) e m = 0 ent˜ao g(x) = max {−sen(x), 0} = −sen(x)+|sen(x)|2
g(x) = (
−sen(x) para x ∈ h(2k + 1)π, (2k + 2)πi , k ∈ Z 0 para x ∈ [2kπ, (2k + 1)π] , k ∈ Z Observamos que g(x) ≥ 0.
1.2
A Soma de Minkowski
Defini¸c˜ao 1.27. Dados dois conjuntos A, B ⊆ Rn, definimos a soma de Minkowski
de A e B como o conjunto de todas las somas de elementos de A e B, isto ´e: A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
Das propriedades da soma usual no Rn, ´e imediato que a soma de Minkowski ´e associativa, comutativa e tem elemento neutro (o conjunto unit´ario 0), assumindo que φ+A = A+φ = φ para todo A ⊆ Rn. Note que A + B = S
a∈A(a + B) =
S
b∈B(A + b). A partir desta
observa¸c˜ao, temos as seguintes propriedades: • Se A ou B ´e aberto, A + B ´e aberto. • Se A e B s˜ao conexos, A + B ´e conexo. • Se A e B s˜ao compactos, A + B ´e compacto. • Se A e B s˜ao convexos, A + B ´e convexo.
Outra opera¸c˜ao de conjuntos que podemos considerar ´e o produto por escalares. Este pode-se entender como uma homotetia, isto ´e, dados A ⊆ Rn e λ ∈ R, definimos
λA = {λa : a ∈ A} .
Em particular, o conjunto −A = (−1)A ´e o sim´etrico de A, em rela¸c˜ao a origem. Alguns exemplos da soma de Minkowski e o produto por escalares, s˜ao os seguintes:
1. Dados x ∈ Rne A ⊆ Rn, o conjunto x + A = x + A = {x + a : a ∈ A} ´e o transladado de A com respeito ao vetor x.
2. Qualquer bola aberta Br(x) pode-se escrever em termos da bola unidade como
Br(x) = x + rB1(0) e o resultado ´e similar para bolas fechadas. Mais geralmente, se
x, y ∈ Rn; λ, µ ∈ R e r, s ≥ 0, ent˜ao
λBr(x) + µBs(y) = Bλr+µs(λx + µs)
λBr(x) + µBs(y) = Bλr+µs(λx + µs)
O resultado para combina¸c˜oes lineares de mais de duas bolas ´e imediato.
3. Dado um conjunto A y r ≥ 0, a suma A + Br(0) (resp. A + Br(0)) tem uma
interpreta¸c˜ao especial j´a que consiste em colocar a bola Br(0) (resp. Br(0)) centrada em
cada ponto de A: A + Br(0) = [ a∈A Br(a) = {x ∈ Rn: dist(x, A) < r} A + Br(0) = [ a∈A
Br(a) = {x ∈ Rn: dist(x, A) ≤ r} ; desde que A seja fechado.
Teorema 1.28. Sejam A, B ⊆ Rn n˜ao vazios. Ent˜ao
conv(A) + conv(B) = conv(A + B).
Demonstra¸c˜ao: Primeiro, vamos provar que conv(A + B) ⊆ conv(A) + conv(B). Seja x ∈ conv(A + B). Ent˜ao, existem a1, ..., ak ∈ A; b1, ..., bk ∈ B; λ1, ..., λk≥ 0 tais que
k X i=1 λi = 1; x = k X i=1 λi(ai+ bi) e assim x = Pk i=1λiai + Pk
i=1λibi ∈ conv(A) + conv(B). Reciprocamente, seja z ∈
conv(A) + conv(B). Vamos mostrar que z ∈ conv(A + B). Seja z = x + y ∈ conv(A) + conv(B). Ent˜ao, existem a1, ..., ak ∈ A; b1, ..., bm ∈ B e λ1, ..., λk, µ1, ...µm ≥ 0 tais que
z = x + y = k X i=1 aiλi+ k X i=1 biµi = m X j=1 µj k X i=1 aiλi+ k X i=1 λi m X i=1 biµi = X 1≤i≤k, 1<j<m λiµj(ai+ bi), e assim z ∈ A + B.
Teorema 1.29. Se A e B s˜ao conjuntos convexos, A+B ´e convexo.
Demonstra¸c˜ao: Seja x, y ∈ A+B e λ ∈ [0, 1]. Ent˜ao x = ax+bx ; onde ax ∈ A, bx ∈ B.
Tamb´em, y = ay + by ; onde ay ∈ A, by ∈ B. Portanto:
λx + (1 − λ)y = λ(ax+ bx) + (1 − λ)(ay+ by = [λax+ (1 − λ)ay] + [λbx+ (1 − λ)by],
e assim, o segmento [x, y] est´a contido em A + B. Teorema 1.30. Se A ´e convexo e λ ∈ R, λA ´e convexo
Demonstra¸c˜ao: Sejam x, y ∈ λA ent˜ao x = λa1 e y = λa2 onde a1, a2 ∈ A. Portanto:
(1 − t)x + ty = (1 − t)λa1+ tλa2 = λ((1 − t)a1+ ta2)A,
e assim, o segmento [x, y] est´a contido em λA.
1.3
Alguns resultados da teoria da medida
1.3.1
A Medida de Lebesgue
A medida de Lebesgue ´e a forma estˆandar de definir um comprimento, ´area ou volume aos subconjuntos de um espa¸co eucl´ıdeo. Usa-se na an´alise, especialmente para definir a integral de Lebesgue. Os conjuntos aos que ´e poss´ıvel associar um tamanho denominamos Lebesgue-mensur´aveis, ou simplesmente mensur´aveis (´e muito importante saber qual ´e a medida que est´a se usando).
Defini¸c˜ao 1.31. Seja BR a σ−´algebra de Borel na reta R. A medida de Lebesgue
uni-dimensional de um conjunto A ⊂ BR ´e definida por
L1(A) = inf ( ∞ X i=1 diam(Ki) : A ⊂ ∞ [ i=1 Ki, Ki ⊂ R ) ,
onde diam(Ki) representa o diˆametro do conjunto Ki. A medida de Lebesgue Ln sobre o
Rnm ´e o completamento de L1×...×L1 sobre a σ-´algebra Borel do Rn. Nesta disserta¸c˜ao,
denotaremos por |A| a medida de Lebesgue de um conjunto A ∈ BRn.
Alguns exemplos de medidas de Lebesgue de conjuntos s˜ao os seguintes:
1. Se A ´e um intervalo fechado [a, b], su medida de Lebesgue ´e o comprimento b-a. O intervalo abierto (a,b) tem a mesma medida, pois a diferen¸ca entre os dois conjuntos tem
medida nula.
2. Se A ´e o produto cartesiano de dois intervalos [a, b] e [c, d], isto ´e, um retˆangulo, a medida de Lebesgue de A ´e (b-a)·(d-c).
3. O conjunto de Cantor ´e um conjunto n˜ao enumer´avel com medida de Lebesgue nula.
A medida de Lebesgue no Rn tem as seguentes propiedades:
a. Se A ´e o produto cartesiano de intervalos Ik, (1 ≤ k ≤ n), isto ´e, se A = I1×I2×...×In,
ent˜ao A ´e Lebesgue-mensur´avel e |A| = |I1| .|I2|...|In|, onde |I| denota o comprimento
do intervalo I.
b. Se A ´e uma uni˜ao disjunta de uma quantidade finita ou enumer´avel de conjuntos Lebesgue-mensur´aveis, A ´e Lebesgue-mensur´avel.
c. Si A ´e Lebesgue-mensur´avel, tamb´em seu complementar ´e Lebesgue mensur´avel. d. |A| ≥ 0 para todo conjunto Lebesgue-mensur´avel A.
e. Se A e B s˜ao Lebesgue-mensur´aveis, e A ⊆ B, ent˜ao |A| ≤ |B|.
f. A uni˜ao e interse¸c˜ao enumer´avel de conjuntos Lebesgue-mensur´aveis s˜ao Lebesgue-mensur´aveis.
g. Se A ´e um subconjunto aberto o fechado de Rn, ´e Lebesgue-mensur´avel.
h. Se A e Lebesgue-mensur´avel e x ´e um elemento de Rn, a transla¸c˜ao definida por A + x = {a + x : a ∈ A} ´e tamb´em Lebesgue-mensur´avel e, mais ainda, tem a mesma medida que A.
Teorema 1.32. (Alesker-Dar-Milman) Sejam X,Y dois conjuntos abertos convexos lim-itados de Rn com volume 1. Ent˜ao, existe ψ : X −→ Y , de classe C1, que preserva a
medida de Lebesgue, e tal que para todo λ > 0
X + λY = {x + λψ(x); x ∈ X} . Demonstra¸c˜ao:
1.3.2
A Medida de Hausdorff
A medida de Hausdorff generaliza a ideia de comprimento, ´area e volume. A medida de dimens˜ao zero conta o n´umero de pontos num conjunto si o conjunto ´e finito, o ´e infinito si o conjunto o ´e. A medida unidimensional calcula o comprimento de uma curva suave em Rn. A medida bidimensional de um conjunto em R2 proporcional a seu ´area
e an´alogamente a medida tridimensional de um conjunto em R3 ´e proporcional a seu volume.
Defini¸c˜ao 1.33. Seja A um subconjunto do Rn. Se δ > 0, definimos
Hk,δ(A) = inf ( ∞ X i=1 (diamDi)k: A ⊂ ∞ [ i=1 Di, diamDi ≤ δ ) ,
com a conven¸c˜ao que inf φ = ∞. Note que, quando δ vai diminuindo, os valores de Hk,δ
v˜ao aumentando. Finalmente, definimos Hk = lim
δ→0Hk,δ.
´
E poss´ıvel mostrar que Hk´e uma medida exterior sobre o Rn. Restrinngindo esta medida
exterior aos conjuntos de Borel do Rn, temos que Hk ´e uma medida sobre o Rn. A esta
medida chamaremos de medida de Hausdorff k-dimensional de A.
Um exemplo do uso da medida de Hausdorff ´e o seguinte: consideremos D = S1 e f (x) = 1 1+kxk2. Ent˜ao Z S1 1 1 + kxk2dH 1 = Z S1 1 2dH 1 = 1 22π = π
Teorema 1.34. (F´ormula da Co-area) Seja u : Rn −→ R uma fun¸c˜ao Lipschitz e assumimos que, para quase todo r ∈ R, o conjunto de n´ıvel {x ∈ Rn : u(x) = r} ´e suave. Se f : Rn −→ R ´e cont´ınua e integr´avel,
Z Rn f (x) |∇u(x)| dx = Z +∞ −∞ Z u=r f (x)dHn−1(x) dr Demonstra¸c˜ao: Ver [?] ou [?].
Corol´ario 1.35. Seja f : Rn −→ R cont´ınua e integr´avel. Ent˜ao, para cada ponto
x0 ∈ Rn Z Rn f (x)dx = Z +∞ 0 Z ∂Br(x0) f (x)dHn−1(x) dr
A seguir, alguns exemplos.
1. Sejam ωn e σn o volume da bola unit´aria B1 de Rn e a medida de Sn−1,
respectiva-mente. Sabemos que
|Br(x)| = rnωn, Hn−1(∂Br(x)) = rn−1σn
Vamos mostrar que, se n ≥ 2, σn = nωn. Aplicando o corolario 1.32, onde f = 1, temos
ωn = Z B1 dx = Z 1 0 Z ∂Br dHn−1 dr = Z 1 0 Hn−1(∂Br)dr = σn Z 1 0 rn−1dr = σn n 2. Seja n ≥ 1. Vamos mostrar que ωn = π
n 2 n 2Γ( n 2) . Sabemos que Γ(1) = 1 e Γ(12) = √π. Ent˜ao ω1 = π12 1 2Γ( 1 2) = 2, ω2 = π 1Γ(1) = π.
Vamos mostrar o caso geral por indu¸c˜ao. Suponha que a afirma¸c˜ao ´e v´alida para n-2 com n ≥ 3. Escolhemos x ∈ B1e escrevemos x = (x0, x00), onde x0 = (x1, x2) e x00 = (x3, ..., xn)
tal que x0 ∈ D1 =(x1, x2) ∈ R2 : x21+ x 2 2 < 1 e x00 ∈ (B1)x0 = {x00 ∈ Rn−2 : (x0, x00) ∈ B1} = {(x3, ..., xn) ∈ Rn−2 : x23 + ... + x2n < 1 − x21− x22} .
Aplicando o teorema de Fubini e usando a hip´oteses de indu¸c˜ao, temos:
ωn= Z B1 dx = Z D1 dx0 Z (B1)x0 dx00 = Z D1 ωn−2(1 − x21− x 2 2) n−2 2 dx1dx2 = ωn−2 Z 2π 0 dθ Z 1 0 (1 − r2)n−22 rdr = 2π n ωn−2 = 2π n πn−22 n−2 2 Γ( n−2 2 ) = 2π n πn−22 Γ(n2) = πn2 n 2Γ( n 2) .
Teorema 1.36. (Teorema de Morse-Sard). Seja Ω ⊆ Rn um conjunto aberto e seja
f : Ω −→ Rn uma fun¸c˜ao de classe Cn−m+1 com n ≥ m, de C1. Se m > n, o conjunto
de pontos cr´ıticos de f tem medida de lebesgue zero. Demonstra¸c˜ao: ver [5]
1.4
O problema de Monge-Kantorovich
Problema 1.37. (O problema de transporte ´otimo de Monge). Seja P (Rn) o espa¸co
das medidas de probabilidade sobre o Rn. O problema de Monge ´e achar uma aplica¸c˜ao
T : (Rn, µ) → (Rn, ν) tal que minimize a integral
Z
Rn
c(x, T (x))dµ(x)
onde µ ∈ P (Rn) e ν(B) = µ(T−1(B)). A ´ultima igualdade pode-se escrever como ν = T µ.
Problema 1.38. (Formula¸c˜ao equivalente de Kantorovich). Na formula¸c˜ao dada por Kantorovich, o objetivo ´e achar uma medida de Borel de probabilidade γ ∈ P (Rn× Rn)
tal que
γ(A × Y ) = µ(A), γ(X × B) = ν(B);
onde A e B s˜ao conjuntos de Borel no Rn; (Rn, µ) e (Rn, ν) s˜ao espa¸cos onde µ, ν ∈
P (Rn), e que minimize a integral
Z
Rn×Rn
c(x, y)dγ(x, y).
Teorema 1.39. (Teorema de Brenier). Sejam µ e ν duas medidas de probabilidade no Rn, tal que µ ´e nula para conjuntos de dimens˜ao de Hausdorff no m´aximo n-1. Ent˜ao, existe exatamente uma aplica¸c˜ao mensur´avel T tal que ν = T µ e T = ∇ψ, para alguma fun¸c˜ao convexa ψ, no sentido que para quaisquer tais duas aplica¸c˜oes, elas coincidem µ− quase sempre.
Demonstra¸c˜ao: ver [2, 3]
1.5
Os teoremas de Rademacher e Alexandrov
Teorema 1.40. (Teorema de Rademacher). Seja U ⊆ Rn um conjunto aberto e f : U −→ Rm uma fun¸c˜ao localmente lipchitziana. Ent˜ao, f ´e diferenci´avel em quase todo
ponto de U.
Demonstra¸c˜ao: ver [10]
Corol´ario 1.41. Seja f uma fun¸c˜ao convexa definida num aberto convexo no Rn. Ent˜ao,
Demonstra¸c˜ao: ver [10]
Teorema 1.42. (Teorema de Alexandrov). Seja U ⊆ Rn um conjunto aberto e f : U −→
Rm uma fun¸c˜ao convexa. Ent˜ao, f ´e duas vezes diferenci´avel em quase todo ponto de U.
Demonstra¸c˜ao: ver [10] ´
E poss´ıvel mostrar que a matriz ”Hessiana” da fun¸c˜ao f ´e sim´etrica e n˜ao negativa.
1.6
Algumas desigualdades importantes
Afirma¸c˜ao: λ1 ≤ λG ≤ λn onde λG ´e a media geom´etrica.
De fato: λn
1 ≤ λ1...λn ≤ λnn ent˜ao λ1 ≤ n
√
λ1...λn≤ λn
Agora como λ1 ≤ λG≤ λn ent˜ao λk− λn≤ λk− λG ≤ λk− λ1
caso 1: λk > λG ent˜ao λk− λG ≤ λk− λ1 ≤ λn− λ1
caso 2: λk < λG ent˜ao |λk− λG| ≤ |λk− λn| = λn− λk≤ λn− λ1
Teorema 1.43. (Desigualdade da media aritm´etica-geom´etrica com pesos). Sejam x1, ..., xn
e t1, ..., tn numeros positivos e Pn i=1ti = 1. Ent˜ao xt1 1...x tn n ≤ x1t1+ ... + xntn.
Demonstra¸c˜ao: Como xti
i = etiLnxi e a fun¸c˜ao f (x) = ex ´e convexa, temos:
xt1 1...x tn n = e t1Lnx1...etnLnxn = et1Lnx1+...+tnLnxn = f (t1Lnx1+ ... + tnLnxn) ≤ t1f (Lnx1) + ... + tnf (Lnxn) = t1eLnx1 + ... + tneLnxn = t1x1+ ... + tnxn
Teorema 1.44. (Desigualdade de Young). Sejam p, q > 1 tal que 1p +1q = 1, e a, b ≥ 0. Ent˜ao ab ≤ a p p + bq q.
Demonstra¸c˜ao: Se a = 0 ou b = 0, o lado esquerdo da desigualdade ´e 0, e o lado direito ´
e n˜ao negativo, ent˜ao a desigualdade ´e satisfeita. Sejam a > 0 e b > 0. Sabemos que f (x) = ex ´e uma fun¸c˜ao convexa, isto ´e, eαx+βy ≤ αex+ βey, onde α + β = 1. Fazendo
as mudan¸cas de vari´avel α = 1p, β = 1q, x = pLna e y = qLnb temos:
eLna+Lnb≤ 1 pe pLna+1 qe qLnb ⇒ eLn(ab) ≤ 1 pe Lnap +1 qe Lnbq portanto ab ≤ 1 pa p +1 qb q.
Teorema 1.45. (Desigualdade de H¨older). Sejam f, g fun¸c˜oes mensur´aveis e p, q > 1 tal que 1p + 1q = 1. Ent˜ao
Z Rn f gdµ ≤ Z Rn fpdµ 1pZ Rn gqdµ 1q Demonstra¸c˜ao: Ver [4].
Teorema 1.46. (Desigualdade de Pr´ekopa Leindler). Sejam 0 < λ < 1 f, g, φ : Rn −→
[0, +∞), fun¸c˜oes mensur´aveis n˜ao negativas tais que para todo r, s ∈ Rn
φ(λr + (1 − λ)s) ≥ f (r)λg(s)1−λ. Ent˜ao Z Rn φ(x)dx ≥ Z Rn f (x)dx λZ Rn g(x)dx 1−λ . Demonstra¸c˜ao: Ver [8]
Teorema 1.47. Sejam λA e λG a m´edia aritm´etica e a m´edia geom´etrica de 0 < λ1 ≤
... ≤ λn, respectivamente. Ent˜ao 7n2(λA− λG) ≥ 1 λn n X k=1 (λk− λG)2
Demonstra¸c˜ao: A prova ser´a dividida em v´arias etapas que pode encontrar na re-ferˆencia [6]
1. Afirmamos que, dados s, t ∈ (0, ∞), Lns ≤ Lnt + s − t
t −
(s − t)2 2max {s, t}2.
Assumindo, sem perda de generalidade, que s < t, podemos escrever a desigualdade acima da forma seguinte:
Lns t − 1 + 1 ≤s t − 1 − 1 2 s t − 1 2 , e fazendo x = s/t − 1 temos 1 2x 2− x + Ln(x + 1) ≤ 0, x ∈ (−1, 0).
Ent˜ao, o nosso objetivo ser´a mostrar a ´ultima desigualdade. Para isso, definimos uma fun¸c˜ao ψ : (−1, 0) → R por ψ(x) = 12x2 − x + Ln(x + 1). Derivando esta
fun¸c˜ao, obtemos que 0 ´e um ponto cr´ıtico dela, e que a fun¸c˜ao ´e cˆoncava. Assim, ψ satisfaz a desigualdade procurada, o que implica que a desigualdade
Lns ≤ Lnt + s − t
t −
(s − t)2
2max {s, t}2, ´e v´alida para todo s, t ∈ (0, ∞).
2. Como λG ´e a m´edia geom´etrica dos valores λk, temos
Ln(λG) = Ln ( Qn k=1λk) 1 n = 1 nLn ( Qn k=1λk) = n1Ln(λ1...λn) = n1(Lnλ1 + ... + Lnλn) = 1n Pn k=1Lnλk
Agora, escolhendo s = λk e t = λA na desigualdade acima, obtemos
Ln(λG) = 1 n n X k=1 Lnλk≤ 1 n n X k=1 Ln(λA) + λk− λA λA −(λk− λA) 2 2λ2 n Note que λA= λ1+ ... + λn n ≤ nλn n = λn. Assim, Ln(λG) ≤ 1 n n X k=1 Ln(λA) + 1 n n X k=1 λk− λA λA − 1 n n X k=1 (λk− λA)2 2λ2 n , e como 1 n n X k=1 λk− λA λA = 1 n λ1+ ... + λn− nλA λA = 1 λA λ1+ ... + λn− nλA n = 1 λA (λA− λA) = 0,
temos Ln(λG) ≤ Ln(λA) − 1 2nλ2 n n X k=1 (λk− λA)2. Fazendo z = (1/2nλ2 n) Pn k=1(λk−λA)
2, a ´ultima desigualdade implica que eLn(λG) ≤
eLn(λA)−z, de onde
λG≤ eLn(λA)e−z = λAe−z.
3. Afirmamos que z ∈ [0, 1/2]. De fato,
0 ≤ z = 1 2nλ2 n n X k=1 (λk− λA)2 = 1 2nλ2 n (λ1− λA)2+ ... + (λn− λA)2 = 1 2nλ2 n λ2 1+ ... + λ 2 n− 2λA(λ1+ ... + λn) + nλ2A = 1 2λ2 n λ2 1+ ... + λ2n n − 2λ 2 A+ λ 2 A = 1 2λ2 n λ2 1+ ... + λ2n n − λ 2 A ≤ 1 2λ2 n λ2 1+ ... + λ2n n ≤ 1 2λ2 n nλ2 n n = 1 2, portanto z ∈ [0, 1/2].
4. Afirmamos que a desigualdade
1 − e−t ≥ 3t 4,
´e v´alida para todo t ∈ [0, 1/2]. De fato, seja f (t) = 1 − e−t−3t
4, ent˜ao derivando f
temos que t = −Ln(3/4) ´e um ponto cr´ıtico. Derivando novamente temos f00(t) = −e−t, de onde a fun¸c˜ao ´e concava, e o ponto t = −Ln(3/4) ´e um m´aximo. Logo,
como f (0) = 0, f (−Ln(3/4)) = 0.034 > 0, f (12) = 0.018 > 0, e a fun¸c˜ao ´e concava temos que f (t) = 1−e−t−3t
4 ≥ 0 para todo t ∈ [0, 1/2] e lembrando que λG ≤ λAe −z, e a defini¸c˜ao de z, temos λA− λG ≥ λA− λAe−z = λA(1 − e−z) ≥ λA 3z 4 = λA 3 4 1 2nλ2 n n X k=1 (λk− λA)2 = 3λA 8nλ2 n n X k=1 (λk− λA)2 ≥ 3 8 1 n 1 λ2 n λn n n X k=1 (λk− λA)2 = 3 8 1 n2 1 λn n X k=1 (λk− λA)2.
5. Afirmamos que a seguinte desigualdade ´e verdadeira: n X k=1 (λk− λG)2 ≤ 2 n X k=1 (λk− λA)2+ 2n(λA− λG)2. Note que n X k=1 (λk− λG)2 = (λ1 − λG)2+ ... + (λn− λG)2 = λ21+ ... + λ2n− 2λG(λ1+ ... + λn) + nλ2G = λ21+ ... + λ2n− 2λGnλA+ nλ2G, e tamb´em 2 n X k=1 (λk− λA)2+ 2n(λA− λG)2 = 2[(λ1− λA)2+ ... + (λn− λA)2] + 2n(λA− λG)2 = 2λ21+ ... + 2λ2n− 4nλAλG+ 2nλ2G.
Ent˜ao, usando as duas ´ultimas igualdades, podemos reescrever a afirma¸c˜ao acima: λ21+ ... + λ2n− 2λGnλA+ nλ2G≤ 2λ 2 1+ ... + 2λ 2 n− 4nλAλG+ 2nλ2G que ´e equivalente a 2nλAλG− nλ2G ≤ λ 2 1+ ... + λ 2 n.
Faremos a prova da ´ultima desigualdade pelo absurdo, isto ´e, vamos supor que 2nλAλG− nλ2G > λ21+ ... + λ2n. Ent˜ao n X k=1 (λk− λG)2 ≤ λ21+ ... + λ 2 n− 2λGλn+ nλ2G < 2nλAλG− nλ2G− 2λGλn+ nλ2G,
mas isto implica quePn
k=1(λk− λG)2 < 0, o que ´e um absurdo.
6. Afirmamos que (λA−λG)2 ≤ λn(λA−λG). Note que esta desigualdade ´e equivalente
a λA− λG ≤ λn, o que segue das desigualdades λA ≤ λn≤ λn+ λG.
Finalmente, n X k=1 (λk− λG)2 ≤ 2 n X k=1 (λk− λA)2+ 2n(λA− λG)2 ≤ 16 3 n 2λ n(λA− λG) + 2nλn(λA− λG) ≤ 16 3 n 2λ n(λA− λG) + n2λn(λA− λG) < 7n2λn(λA− λG)
Teorema 1.48. Para todo s ∈ (0, 1/2] e 1/m ∈ [0, 1) temos sm1 + (1 − s) 1 m − 1 ≥ (2 − 2 1 m)s 1 m
Demonstra¸c˜ao: Primeiro note que podemos reescrever esta desigualdade da forma seguinte −sm1 + (1 − s) 1 m + (2s) 1 m − 1 ≥ 0, A seguir, definimos f (s) := −sm1 + (1 − s) 1 m + (2s) 1
m − 1. Nosso objetivo ser´a mostrar
que esta fun¸c˜ao ´e cˆoncava. Para simplicar as contas, fazemos m1 = x. Derivando f temos
f0(s) = −xsx−1 − x(1 − s)x−1+ 2xxsx−1 = 0. Fazendo a derivada de f igual a zero obtemos
s0 = 1 −1+2x 1/(x+1) 1 + −1+21 x 1/(x−1),
o ´unico ponto cr´ıtico de f . Derivando f0 temos
f00(s) = −x(x − 1)sx−2+ x(x − 1)(1 − s)x−2+ 2xx(x − 1)sx−2 = x |{z} + (x − 1) | {z } − (sx−2(−1 + 2x) | {z } + + (1 − s)x−2 | {z } + ) < 0,
Assim a fun¸c˜ao ´e cˆoncava, e j´a que s0 ´e um ponto cr´ıtico de f , este ponto ser´a um ponto
Cap´ıtulo 2
A Desigualdade de
Brunn-Minkowski
Na matem´atica, a desigualdade de Brunn-Minkowski ´e uma desigualdade que relaciona o volume (o mais geralmente as medidas de Lebesgue) de subconjuntos Lebesgue men-sur´aveis do espa¸co euclidiano. A vers˜ao original do teorema de Brunn-Minkowski (Her-mann Brunn 1887, Her(Her-mann Minkowski 1896) aplica-se a conjuntos convexos. A gener-aliza¸c˜ao para considerar conjuntos n˜ao convexos aqui se debe a L. A. Lyusternik (1935). Esta desigualdade tem aplica¸c˜oes em an´alise e geometri,a e tamb´em tem equivalˆencias com outras desigualdades como por exemplo com a desigualdade de Prekopa-Leindler.
A desigualdade de Brunn-Minkowski ´e a seguinte: se K e L s˜ao dois corpos convexos em Rn, e 0 < λ < 1, (2.1) |(1 − λ)K + λL|1n ≥ (1 − λ) |K| 1 n + λ |L| 1 n
onde |.| e + denotam a medida de Lebesgue e a suma de Minkowski, respectivamente. A igualdade acontece se, e somente se, os corpos convexos K e L s˜ao homot´eticos, isto ´e:
∃λ > 0, x0 ∈ Rn: K = x0+ λL
Alguns exemplos s˜ao os seguintes cuja demonstra¸c˜ao segue a referˆencia [8]:
1. Sejam K, L ⊂ R2 tais que K ´e um quadrado, cujo lado tem comprimento l, e um disco
de centro (0, 0) e raio > 0. Ent˜ao
|K + B| = |K| + 4l + |B| ≥ |K| + 2l√π + |B| = |K| + 2p|K| |B| + |B| =|K|12 + |B| 1 2 2 .
Portanto |K + B|12 ≥ |K| 1 2 + |B|
1 2.
2. Sejam X e Y cubos no Rn com arestas de tamanho x
i e yi na dire¸c˜ao da i-´esima
coordenada. Ent˜ao X+Y ´e o cubo de aresta xi+ yi. Assim,
|X| = n Y i=1 xi, |Y | = n Y i=1 yi e |X + Y | = n Y i=1 (xi+ yi).
Agora, usando a desigualdade aritm´etica-geom´etrica temos
n Y i=1 xi xi+ yi !n1 + n Y i=1 yi xi+ yi !n1 ≤ 1 n n X i=1 xi xi+ yi + 1 n n X i=1 yi xi+ yi = 1 n n X i=1 xi+ yi xi+ yi = 1. Portanto: n Y i=1 xi !n1 + n Y i=1 yi !1n ≤ n Y i=1 (xi+ yi) !n1 .
3. Sejam A, B ⊂ R2 definidos por
A = [a, b] × {a} B = {a} × [a, b] Note que |A| = |B| = 0, e
A + B = [a, b] × {a} + {a} × [a, b] = [a, b] × [a, b] ⇒ |A + B| = (b − a)2.
Ent˜ao (b − a)2 > 0 + 0. Portanto para os segmentos A e B no R2 temos a desigualdade
estrita.
4. Seja C ⊆ Rnum subconjunto compacto. Definimos o conte´udo exterior de Minkowski
da fronteira de C da forma seguinte: lim
t→0+
|C + tB| − |C|
t =: M (∂C)
sendo B a bola unit´aria de Rn. No caso da fronteira ser regular, o conte´udo de Minwkoski
coincide com o volume. Agora, como no exemplo 1, seja K um quadrado de comprimento de lado l, e B uma bola de centro (0, 0) e raio . Lembremos que B = B, onde B ´e a
bola unit´aria. Sabemos que
Ent˜ao
lim
→0+
|K + B| − |K|
= lim→0+(4l + |B|) = 4l
6. Seja ωn := |B|, onde B ´e a bola unit´aria do Rn. Ent˜ao, o volume da fronteira de B
´
e o menor entre todos os volumes das fronteiras dos subconjuntos A de Rn compactos, convexos, com interior n˜ao vazio,e com fronteira regular, de volume ωn. De fato, seja
A ⊆ Rn com |A| = ω
n. Definimos f (t) := |A + tB| para todo t ≥ 0. Ent˜ao
d dt(f (t) 1 n) = 1 nf (0) 1 n−1f0(0) = 1 n|A| 1 n−1Hn−1(A) Note que: f0(0) = lim t→0+ f (t) − f (0) t = limt→0+ |A + tBn| − |A| t = H n−1(A)
quando A tem fronteira regular. Por outro lado d dt(f (t) 1 n) = lim t→0+ f (t)n1 − f (0) 1 n t = limt→0+ |A + tB|1n − |A| 1 n t Usando a desigualdade de Brunn-Minkowski temos
|A + tB|n1 ≥ |A| 1 n + |tB| 1 n = |A| 1 n + t|B| 1 n de onde 1 n|A| 1 n−1Hn−1(A) = lim t→0+ |A + tB|n1 − |A| 1 n t ≥ |B| 1 n e assim Hn−1(A) ≥ n|B|n1|A|1− 1 n = nω 1 n nω 1−1n n = nωn = Hn−1(B). Portanto Hn−1(A) ≥ Hn−1(B).
7. Usando o conte´udo exterior de Minkowski e a desigualdade de Brunn-Minkowski, podemos provar a desigualdade Isoperim´etrica
|K| |B| n1 ≤ H n−1(K) Hn−1(B) n−11
onde K ´e um conjunto compacto, simplesmente conexo, com interior na vazio, e fronteira suave; e B ´e a bola unit´aria n-dimensional. De fato, sabemos que
Hn−1(K) = lim
→0+
|K + B| − |K|
Pela desigualdade de Brunn-Minkowski e pelo binomio de Newton temos S(K) ≥ lim →0+ |K|n1 + |B| 1 n n − |K| = n |K| n−1 n |B| 1 n.
Por outro lado
Hn−1(B) = n |B| ⇒ n |B|n1 = n |B| |B| 1 n−1= Hn−1(B) |B| 1 n−1, ent˜ao temos Hn−1(K) ≥ Hn−1(B) |B|n1−1|K| n−1 n
e esta desigualdade implica que
Hn−1(K) Hn−1(B) ≥
|K| |B|
n−1n
2.1
Algumas demonstra¸
c˜
oes
2.1.1
Via Pr´
ekopa-Leindler
Esta prova segue a referˆencia [8]. Definimos as fun¸c˜oes f := 1X , g := 1Y e φ =:
1(1−λ)X+λY, onde 1E´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica, e X, Y s˜ao conjuntos Lebesgue mensur´aveis.
Note que
(2.2) φ((1 − λ)x + λy) ≥ f1−λ(x)gλ(y),
pois, se x /∈ X, f (x) = 0 e j´a que φ(x) ´e sempre n˜ao negativa, segue a desigualdade acima. De forma similar ´e o caso y /∈ Y . Agora, se x ∈ X e y ∈ Y , ent˜ao (1 − λ)x + λy ∈ (1 − λ)X + λY , de onde
f (x)1−λg(y)λ = 1 = φ((1 − λ)x + λy),
e assim temos (2.2). Ent˜ao, usando a desigualdade de Pr´ekopa-Leindler obtemos |(1 − λ)X + λY | = Z Rn 1(1−λ)X+λYdx ≥ Z Rn 1Xdx 1−λZ Rn 1Ydx λ = |X|1−λ|Y |λ .
Esta desigualdade ´e conhecida como forma multiplicativa de Brunn-Minkowski. Escolhendo λ = |Y | 1 n |Y |n1+|X|n1 > 0, e e definindo Y 0 := |Y |−1n Y e X0 := |X| −1 n X, da
desigualdade anterior aplicada a X0 e a Y0 obtemos
|(1 − λ)X0+ λY0| = (1 − λ) |X| −1 n X + λ |Y | −1 n Y ≥ |X0|1−λ|Y0|λ = |X|−1|X|1−λ |Y |−1|Y |λ = 1, de onde X + Y |X|n1 + |Y | 1 n ≥ 1, o que ´e equivalente a |X + Y |1n ≥ |X| 1 n + |Y | 1 n.
2.1.2
Via indu¸
c˜
ao
A seguinte prova segue a demonstra¸c˜ao dada em [14].
1. Provamos a desigualdade de Brunn-Minkowski unidimensional. Sejam K0 e K1
inter-valos compactos em R e a0 = inf (K0) e b1 = sup(K1). Afirmamos que (a0+ K1) ∩ (b1+
K0) = {a0+ b1}. De fato, se x ∈ (a0+ B) ∩ (b1+ A), ent˜ao x = a0+ b, para todo b ∈ B
e x = b1+ A, para todo a ∈ A, portanto x = a0+ b1. A outra inclus˜ao ´e imediata. Por
outro lado temos
(2.3) (a0+ K1) ∪ (b1+ K0) ⊆ K0+ K1
pois x ∈ (a0+ K1) ∪ (b1+ K0) implica que x ∈ a0+ K1 ou x ∈ b1+ K0, e assim x = a0+ b
ou x = b1+ a, e portanto x ∈ K0+ K1. Lembrando a medida de Lebesgue ´e invariante
por transla¸c˜oes temos a seguinte igualdade:
|K0+ b1| + |K1+ a0| = |K0| + |K1| ,
logo,
|(a0+ K1) ∪ (b1+ K0)| = |a0+ K1| + |b1+ K0| − |(a0+ K1) ∩ (b1+ K0)| = |K1| + |K0| .
