Optimização do servomecanismo de um disco rígido

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Modelação e Simulação

2013/14

Trabalho de Laboratório nº 2

Optimização do servomecanismo de um disco rígido

Objectivo

Após realizar este trabalho, o aluno deverá ser capaz de utilizar o SIMULINK para optimizar um funcional de custo que envolve a resolução duma equação diferencial e avaliar o desempenho de soluções sub-óptimas.

Bibliografia

• Manuais do MATLAB e SIMULINK (disponíveis em pdf na secção “Laboratórios” da página da disciplina).

Elementos a entregar

Cada grupo deverá entregar por email um relatório sucinto respondendo às questões do enunciado. As respostas às questões de preparação prévia, identificadas nos enunciados como “Em casa”, deverão ser manuscritas e entregues em papel. A parte correspondente às questões de simulação deverá ser gerada automaticamente através da função “Publish” do MATLAB, e entregue por via electrónica conjuntamente com os ficheiros MATLAB/SIMULINK utilizados. Ambas as partes deverão conter um cabeçalho com a identificação do trabalho e a identificação dos alunos (número e nome). As respostas a cada questão deverão ser identificadas pelo seu número. As respostas devem ser concisas.

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Modelação e Simulação 2013/2014 – Guia do Trabalho 2

Nota importante:

Quer neste trabalho, quer nos subsequentes, os relatórios devem ser originais e corresponder ao trabalho efectivamente realizado pelo grupo que o subscreve. Relatórios não originais ou correspondentes a software ou outros elementos copiados terão nota zero, sem prejuízo de procedimentos disciplinares previstos pela Lei Portuguesa ou pelos regulamentos do IST.

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Descrição do problema

Neste trabalho estuda-se o posicionamento das cabeças de leitura/escrita de um disco rígido, avaliando-se estratégias de actuação do braço que as suporta para conseguir um reposicionamento rápido.

Fig. 1 – Estrutura mecânica dum disco rígido.

A fig. 1 mostra a estrutura mecânica dum disco rígido. A superfície do disco contém milhares de pistas de gravação (tracks) concêntricas, que são lidas ou escritas por uma cabeça magnética. A cabeça é suportada por um sistema de suspensão e transporte, pairando a muito curtas distâncias (da ordem de μm) da superfície do disco em rotação. Um servomotor movimenta o braço, posicionando a cabeça sobre a pista pretendida, sendo desejável que esta operação seja precisa e rápida. O sistema mecânico em estudo consiste no servomotor, braço, e cabeça magnética. A entrada do sistema é uma tensão, 𝑢, aplicada ao servomotor, sendo a saída, 𝑦, a posição radial da cabeça sobre o disco. Aproximar-se a dinâmica deste sistema por

!!y= au ! b!y

onde 𝑎 é uma constante de aceleração e 𝑏 modela o efeito do atrito. Em unidades apropriadas o módulo da entrada de controlo não pode exceder o valor máximo 1 e tomam-se os valores numéricos nominais 𝑎 = 1, 𝑏 = 0. O posicionamento da cabeça pode ser formulado, de forma canónica, como um problema de actuação que leva o estado do sistema duma configuração

inicial (em unidades apropriadas) 𝑦 0 = 1, 𝑦 0 = 0 para 𝑦 𝑇 = 0, 𝑦 𝑇 = 0,

sendo desejável que o intervalo T seja o menor possível. O objectivo deste

the servo performance. Here the initial value means the values of the states during mode switching. However, the robust perfect tracking (RPT) controllers developed by Chen (2000) have enough robustness against external disturbances and are independent of initial values. It is capable of rendering the Lp-norm ð1ppoNÞ of the

resulting tracking error arbitrarily small for any initial conditions. Hence, the use of these controllers during mode switching eliminates the need for initial value compensation. In this paper, such a controller is used in track following mode to follow the track precisely against various disturbances and plant uncertainty at high frequency. We propose in this paper a new MSC design, which uses a proximate time-optimal servome-chanism (PTOS) controller for track seeking, and an RPT controller for track following. These controllers are combined through a suitable mode switching condition.

This paper first briefly describes a head-positioning system of disk drives. Also, a plant model is derived to implement the proposed method. This is done in Section 2. Section 3 gives the main theoretical framework of the paper. In particular, Sections 3.1 and 3.2 recall the design procedures of the PTOS and RPT techniques, whereas in Section 3.3, the MSC technique is proposed together with a detailed derivation of a set of mode switching conditions. The application of these control-lers to an HDD is given in Section 4 and the simulation and experimental results are reported in Section 5. Finally, the concluding remarks are drawn in Section 6.

2. An HDD

Fig. 1 shows a typical HDD with a voice-coil motor (VCM) actuator servo system. On the surface of a disk, there are thousands of data tracks. A magnetic head is supported by a suspension and a carriage, and it is suspended several microinches above the disk surface. The VCM actuator initiates the carriage and moves the

plant, that is, the controlled object, consists of the VCM, the carriage, the suspension, and the heads. The controlled variable is the relative head position. The control input u is a voltage to a current amplifier for the VCM and the measurement output y is the head position in tracks. The frequency response of a commercially available HDD servo system from u to y is shown as a solid line in Fig. 2. This drive will be used in our experimental test. It is quite conventional to approximate the dynamics of the VCM actuator by a second-order state space model as

’ x ¼ Ax þ Bu ¼ 0 1 0 0 " # x þ 0 a " # u; x ¼ y v; ! ; ð1Þ where x is the state, which consists of the displacement y (in micrometer) and the velocity v of the [read/write] (R/ W) head; u is the control input (in V) constrained by

juðtÞjpumax ð2Þ

and a ¼ Kt=Jais the acceleration constant, with Ktbeing

the torque constant and Ja being the moment of inertia

of the actuator mass. Thus, the transfer function from u to y of the VCM model can be written as

Gv1ðsÞ ¼

a

s2: ð3Þ

The frequency response shows that the servo system has many mechanical resonance frequencies over 1 kHz: In general, it is difficult to model these high-frequency modes exactly. However, if we only consider the first dominating resonance frequency, a more realistic model for the VCM actuator should be given as

GvðsÞ ¼ a s2 o2 n s2_{þ 2zo} ns þo2n ; ð4Þ

whereon corresponds to the resonance frequency andz

is the associated damping coefficient. To design and implement the proposed controller, an actual HDD is taken and the model is identified through a series of frequency response tests. Fig. 2 shows the frequency response of a Maxtor HDD (Model 51536U3). It is obtained using a laser doppler vibrometer (LDV) and an HP make dynamic signal analyzer (HP35670A). Using the measured data from the actual system (see, Fig. 2), and the algorithms of Eykhoff (1981) and Wang, Yuan, Chen, and Lee (1998), we obtain a fourth-order model for the HDD actuator as

GvðsÞ ¼

6:4013 % 107

s2

% 2:467 % 108

s2_{þ 2:513 % 10}3_{s þ 2:467 % 10}8: ð5Þ

This model will be used throughout the rest of the paper in designing appropriate controllers and in simulation.

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trabalho é comparar diferentes estratégias para controlo do braço da

unidade de disco.

O trabalho proposto enfatiza os aspectos relacionados com a optimalidade do sinal de comando do braço, e com a forma de lidar com os erros de posicionamento. A obtenção duma solução analítica para um problema formal de controlo óptimo não se enquadra nos objectivos da disciplina de

Modelação e Simulação1_{, adoptando-se aqui uma abordagem baseada em}

simulação.

Trabalho a realizar

1. (Em casa) Considere sinais de controlo 𝑢(𝑡) obtidos por concatenação de pares de impulsos semelhantes (fig. 2). Um sinal 𝑢(𝑡) pode ser expresso

como uma sobreposição de duas réplicas deslocadas e escaladas (no tempo

e em amplitude) de impulsos 𝑝_!(𝑡) descritos pela expressão

1_{A solução analítica é dada pelas técnicas de Controlo Óptimo e estuda-se no 2º ciclo, na disciplina de} Fig. 2 – Estrutura dos sinais a aplicar ao sistema.

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p_!(t) = 1, t <1! ! 2 1 2 1+ cos " ! t ! 1! ! 2 " # $ % & ' ( ) * + , -, 1! ! 2 . t . 1+ ! 2 0, t >1+ ! 2 , / 0 1 1 1 2 1 1 1

onde 0 ≤ 𝛽 ≤ 1 se designa habitualmente por coeficiente de rolloff. Comece

por relacionar as amplitudes das duas réplicas, U1 e U2, para que 𝑦 𝑇 = 0. De seguida calcule 𝑦(𝑇) em função de U1, T1, e 𝛼 > 0. Atendendo a que 𝑦 𝑇 − 𝑦 0 = −1, expresse U1 em função de T1. Finalmente, imponha a restrição 𝑈! , 𝑈! ≤ 1, para obter o valor mínimo admissível para T1 (e T).

2. Simule o sistema com entradas compostas de acordo com a alínea

anterior para diferentes valores de 𝛼 e 𝛽, confirmando os resultados analíticos. Qual a estratégia de actuação óptima?

3. Considere uma versão perturbada do sistema nominal com 𝑎 = 0.99 e

𝑏 = 0.1. Estude por simulação a dependência do erro de posição/velocidade final em função de 𝛼 e 𝛽 para sinais de controlo projectados para o sistema nominal. Estabeleça um critério de custo que pondere a duração do sinal de controlo e o respectivo erro, e determine a estratégia de actuação óptima para o sistema perturbado à luz desse critério.

4. (Em casa) Tome agora 𝛼 = 1 e 𝛽 = 0, correspondente a actuação com um par de impulsos rectangulares de duração idêntica e amplitudes simétricas ±1. Quando a entrada do sistema é constante mostre que no

plano de fase 𝑦, 𝑦 o estado do sistema percorre uma trajectória parabólica.

A fig. 3 ilustra a estratégia correspondente, que conduz o estado do sistema para a origem em dois passos. Ao conjunto dos dois ramos de parábola que convergem na origem chama-se curva de comutação. A fig. 4a ilustra uma forma de realizar esta actuação usando uma arquitectura de controlo em malha fechada. Explique o princípio de funcionamento da estrutura e determine, justificando, a função que deve ser realizada pelo subsistema da figura.

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5. Realize simulações que ilustrem o funcionamento do sistema em

malha fechada da fig. 4b, verificando a sua equivalência com a estratégia de malha aberta usada anteriormente2_{para impulsos rectangulares. Discuta}

vantagens e inconvenientes dos dois tipos de solução, particularmente na presença de perturbações nos parâmetros 𝑎 e 𝑏. Justifique as caraterísticas do sinal de controlo que obteve em malha fechada (o fenómeno visível após

2_{Para evitar problemas numéricos no cálculo da evolução do modelo é aconselhável substituir o bloco}

“Sign” por uma saturação em ±1 com uma estreita zona linear. Isto consegue-se ligando um bloco de ganho elevado em cascata com um bloco de saturação em ±1. Atenção aos parâmetros deste bloco,

Fig. 3 – Diagrama de comutação com entrada bi-nível simétrica.

(a)

(b)

Fig. 4 − Controlo do sistema em cadeia fechada (a) Estrutura ideal (b) Estrutura para simulação

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convergência do estado do sistema para a vizinhança da origem é conhecido por chattering). Este comportamento é problemático?

6. (Em casa) A fig. 5 apresenta uma arquitectura de controlo modificada

que evita o chattering na entrada. Em traços gerais este método altera a curva de comutação, especificando um intervalo ±𝑦_! em torno da origem onde o seu andamento passa a ser linear, e atribuindo à curva uma espessura não nula no plano de fase. O mapeamento do subsistema “Subsys” é dado pela expressão

f (x) = k1 k2 x, se x ! yl sgn(x) 2 x " 1 k₂ # $ % & ' (, se x > yl, ) * + + , + +

onde as constantes 𝑘_! = 1/𝑦_!, 𝑘_! = 2𝑘_! asseguram que a curva de comutação e a sua derivada são contínuas. Dê um significado mais preciso a esta descrição sumária, analisando o sistema da fig. 5 e representando a sua característica de comutação no plano de fase.

7. Implemente este sistema em SIMULINK e compare a evolução do

estado e do sinal de controlo com o caso do sistema básico em cadeia fechada. Quantifique a degradação no tempo de resposta e discuta o seu impacto. Compare também com a resposta do sistema linear que se obtém retendo apenas o ramo superior da função 𝑓(𝑥) definida acima, estendido para todo o 𝑥.

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8. Simule o sistema da fig. 5 com referências não nulas, aplicando na entrada “Ref” sinais constantes por troços e outros com andamento linear por troços. Comente a fidelidade de seguimento que obteve nos dois casos.