MATEMÁTICA COMERCIAL APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
A partir de agora, iremos começar os estudos de matemática comercial. O objetivo deste curso é propiciar uma introdução dinâmica sobre o assunto, de maneira a ajudar você no raciocínio matemático, tornando-o, aos poucos, apto a conseguir desenvolver habilidades e análises de questões financeiras que envolvam juros simples, descontos e juros com postos.
Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento, a utilização de outras bibliografias.
1. INTRODUÇÃO
Hoje em dia, é muito comum falar-se em juros, taxa de juros, taxa SELIC, aumento dos juros do cheque especial, etc.
Vamos começar entendendo o que são juros. Juro é um atributo de uma aplicação financeira, ou seja, uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pede emprestado) pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).
Neste curso, aprenderemos os dois tipos de juros: juros simples e juros compostos. Vamos ver do que trata cada um deles.
Os juros simples são acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação, ou seja, o regime de juros simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial.
Juros compostos são acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando, com esta soma, um novo capital.
A grande diferença entre esses dois tipos de juros é que, no final das contas, quem financia por juros simples obtém um montante (valor total a pagar) inferior ao valor do montante a ser pago por quem financia por juros compostos.
O regime de juros simples não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas a análise desse tema, como introdução à matemática comercial, é importante. No Brasil, costuma-se utilizar o regime de juros compostos.
Agora, vamos definir alguns termos utilizados no mercado financeiro e que serão muito úteis no aprendizado de matemática comercial:
• capital: chamamos de qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica)
empresta para outra durante certo tempo;
• juro: o custo do empréstimo;
• taxa de juros: valor do juro em certa unidade de tempo, expresso como uma
• montante: soma do capital com juro. Taxa de juros
É a taxa de juros que indica qual será a remuneração paga pelo dinheiro emprestado, por um determinado período de tempo. Normalmente, é expressa na forma percentual, e em seguida a especificação do período de tempo a que se refere:
10% a.a. (a.a. significa ao ano); 30% a.t. (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por cem, ou seja, na forma decimal, portanto, sem o símbolo %: 0,15 a.m. (a.m. significa ao mês);
0,10 a.q. (a.q. significa ao quadrimestre). Por exemplo:
taxa de 11% ao ano, ou 11% a.a.; taxa de 25% ao ano, ou 25% a.a.
Isso significa dizer que para cada R$ 100,00 emprestados, receberemos R$ 11,00 de juros no caso de 11% a.a., e no caso de 25% a.a., para cada R$ 100,00 emprestados, a pessoa/instituição receberá R$ 25,00 de juros.
Temos como nomenclatura de cada um desses:
Fluxo de caixa
O fluxo de caixa é um gráfico contendo informações sobre entradas e saídas de capital, realizadas em determinados períodos de tempo, demonstrando, assim, graficamente, as transações financeiras nesse determinado período. O tempo é representado na horizontal (linha de tempo), dividido pelo número de períodos relevantes para análise, ou seja, com os valores indicados nos respectivos tempos.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo, enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma
seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que se tem na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que se terá no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
Vamos observar o exemplo abaixo.
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$ 5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente, e que se continue a depositar mensalmente valores de R$ 1.000,00 durante os cinco meses seguintes. No sexto mês, quer-se conhecer o valor futuro da reunião desses depósitos.
Para obter o valor futuro desse capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.
2. JUROS SIMPLES
Como já dito anteriormente, juros simples são acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação, ou seja, o regime de juros simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial.
Consideremos um capital C, aplicado a juros simples à taxa i por período, durante n períodos de tempo. Sendo assim:
J = C x i x n
Onde: J = juros C = capital
i = taxa da aplicação
Para o montante, ou seja, a soma do capital a ser resgatada com juro, temos a seguinte fórmula: M = C (1 + i x n) M = C + J i = MC - 1 Onde: J = juros C = capital i = taxa da aplicação
n = tempo que durou a aplicação M = montante
Temos uma dívida de R$ 2.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em dois meses. Os juros que pagaremos serão:
J = C x i x n
J = 2000 x 0.08 x 2 = 260.
Exemplo 2
Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. Solução Dias Taxa (%) 360 10,5 1 x 360x = 36
x = 0,03% a.d., ou seja, r = 0,03% a.d. Portanto,
i = 0,03/100 = 0,0003 M = C . (1 + (i x n))
Observe que expressamos a taxa i e o período n na mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Daí ter encontrado a taxa diária dividindo a taxa por 360, para obter o valor equivalente em dias, já que um ano comercial possui 360 dias.
Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. por quatro meses e quinze dias. r = 13%
i = 13/100 = 0,13
4m15d = 4,5 meses. Para transformar em trimestre, usamos a regra de três: Meses Trimestre 3 1 4,5 x 3x = 4,5 x = 1,5 trimestre j = 1.200 x 0,13 x 1,5 = 234. Exemplo 4
Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00 aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. Temos: J = C x i x n Dias Taxa (%) 360 36 1 x 360x = 36
x = 0,1% a.d., ou seja, r = 0,1% a.d. Portanto, i = 0,1/100 = 0,001.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40.000 x 0,001 x 125 = R$ 5.000,00.
Exemplo 5
Qual é o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
Dias Taxa(%) 30 1,2 1 x 30x = 0,04
x = 0,04% a.d., ou seja, r = 0,04% a.d. Portanto,
i = 0,04/100 = 0,0004.
Temos imediatamente: J = C.i.n, ou seja: 3.500 = C.(0,0004).(75).
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Logo,
3.500 = C x 0,0004 x 75 = P . 0,030. Daí, vem:
C = 3.500 / 0,030 = R$ 116.666,67.
Exemplo 6
Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.C Dados: r = 1 50% i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = C (1 + i.n) Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses.
3. VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL
Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 11.000,00 a ser paga daqui a cinco meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento?
Valor atual ou valor presente (V): valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. N = valor nominal
V = valor atual ou presente i = taxa da aplicação
n = tempo que durou a aplicação Esquematicamente:
4. DESCONTO SIMPLES
Para uma pessoa que faz uma dívida tomando algum dinheiro emprestado, tendo que pagar esse valor emprestado em data futura, é normal que entregue ao credor (aquele de quem tomou emprestado o dinheiro) um título de crédito, que é o comprovante da dívida.
Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, caso o devedor queira resgatá-lo antes da data de vencimento estabelecida no título de crédito, poderá obter, com isso, um abatimento denominado desconto. O desconto é uma das aplicações mais comuns da regra de juro.
A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o preço.
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são:
nota promissória: é um comprovante da aplicação de um capital com
vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira;
duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa
física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato;
letra de câmbio: assim como a nota promissória, é um comprovante de uma
aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
Existem algumas situações em que o devedor quer efetuar o pagamento do título antecipadamente. Nesse caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
Também pode ocorrer de o credor necessitar de dinheiro antes da data do vencimento estabelecida junto ao devedor. Nesse caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro, como, por exemplo, um banco, e efetuar o desconto da duplicata. É claro e justo que este último obtenha um lucro correspondente ao juro do capital que adianta ao credor, de acordo com o período que ainda falta para o vencimento do título; assim, o banco paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito. Resumidamente, ocorre que a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro imediato.
Como exemplo desse caso, imagine uma empresa que emitiu uma duplicata no valor de R$ 20.000,00 para vencimento em quatro meses. Em determinado momento, antes de completar esse prazo, a empresa necessitou de dinheiro para seu fluxo de caixa. Foi, então, ao banco, que ofereceu um adiantamento de R$ 18.500,00 em troca da duplicata. Dizemos, nesse caso, que o banco propôs um desconto de R$ 1.500,00 (R$ 20.000 - R$ 18.500,00).
Quando existe um benefício obtido de comum acordo, como o citado anteriormente, dado pela diferença entre as duas quantidades, esse benefício recebe o nome de desconto. As operações anteriormente citadas são denominadas operações de
desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título.
As operações de descontos de duplicatas e notas promissórias, sendo bastante comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizada chamada desconto comercial ou bancário.
Nomenclatura
Valor nominal (N) (ou valor futuro, ou valor de face, ou valor de resgate) é o valor
indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento).
Prazo de vencimento do título (n) é o número de dias compreendido entre o dia
em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, então, incluindo o último e não o primeiro.
Desconto (D) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o
valor nominal e o valor atual, ou seja: D = N - Vd.
D = N x d x n
e
Vd = N - D Exemplo 1
Uma duplicata de R$ 21.000,00 foi descontada num banco três meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4,5% a.m.
a) Obtenha o desconto;
b) obtenha o valor líquido recebido pela empresa; c) calcule a taxa efetiva de juros e o fluxo de caixa.
a) D = N x d x n D = 21.000 x 0,045 x 3 D = R$ 2.835,00. b) Vd = N – D Vd = 21.000 – 2.835 = R$ 18.165,00. c) i = M/C – 1 i = 21.000/18.165 – 1 i = 0, 143 = 14,3% a.m. Exemplo 2
Uma duplicata de R$ 150,00 foi quitada dois meses antes do vencimento com taxa de desconto comercial simples de 15% ao mês. Pergunta-se:
a) qual o valor do desconto? b) Por quanto ela foi quitada?
Dados: valor nominal: N = R$ 150,00 Taxa: i = 0,15 a.m. Período: n = 2 meses.
a) Temos: D = N x d x n
d = 150,00 . 0,15 . 2
d = R$ 45,00 (valor do desconto).
b) Logo, o valor atual: temos: Vd = N – D
45,00 = 150,00 – Vd
A = R$ 105,00 (valor atual) (valor com desconto).
5. RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO E JUROS SIMPLES
Suponha a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estando na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i), sendo N o valor nominal do título e D o desconto.
O fluxo de caixa da operação de desconto, do ponto de vista do banco, é:
Exemplo 1
Se a taxa de desconto comercial for de 6% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata emitida tiver o prazo de pagamento estabelecido para cinco meses, qual é a taxa mensal de juros simples da operação?
d = 6% a.m. n = 5 meses i=?
Exemplo 2
Se uma duplicata foi emitida com prazo de vencimento de quatro meses e foi descontada antecipadamente em um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 4% a.m., qual foi a taxa de desconto utilizada?
Exemplo 3
Qual é a taxa que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 2% ao mês, pelo prazo de cinco meses?
Dados: taxa de descontos: i = 0,02 a.m. Período: n = 5 meses.
Temos:
Logo:
Exemplo 4
Qual é a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de juros simples de 5% a.m. num período de nove meses?
Dados: taxa de juros: i= 0,05 a.m. Período: n = 9 meses. Temos:
Logo:
Assim, a taxa de juros simples de 5% a.m. equivale à taxa de desconto comercial simples de 3,448% a.m. com antecipação de nove meses.
6. JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é conhecido como “juro sobre juro”, pois o juro incide sempre sobre o capital anterior. As financeiras, bancos, optam pela aplicação dos juros
compostos, pois há uma possibilidade maior de lucro, ou seja, os juros sobre juros representam a mágica da multiplicação do dinheiro.
O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma con fiável e sistemática acumulação de riqueza.
Albert Einstein Vejamos:
1. depositamos um valor em uma aplicação;
2. após um mês, teremos o dinheiro aplicado mais o valor dos juros;
3. no mês seguinte, os juros incidirão sobre o montante acumulado e assim sucessiva mente.
Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa).
C = capital; i = taxa; n = tempo; M = montante.
Sabendo que o montante é o capital mais a taxa vezes o capital aplicado (M = C +
i.C), veremos agora o raciocínio de como ficaria essa aplicação de período em período. O montante ao término do primeiro período será:
M1 = C + i . C.
O montante ao término do segundo período será:
Como se trata de regime de juros compostos, o capital aplicado nesse segundo período da aplicação será o montante do período anterior, e não o capital inicial, como é feito no regime de juros simples. Portanto, o segundo montante será:
M2 = M1 + i . M1.
O montante ao término do terceiro período será: Seguindo o mesmo raciocínio do
segundo período, teremos: M3 = M2 + i . M2.
Com a aplicação nesses três períodos, obtivemos três fórmulas: M1 = C + i . C M2 = M1 + i . M1 M3 = M2 + i . M2. Colocando os termos em evidência, teremos:
Substituindo o montante 1 no segundo montante, os termos: M2 = C*(1 + i) (1 + i)
M2 = C*(1 + i)2.
Substituindo o montante 2 no terceiro montante, os termos: M3 = C*(1 + i)2*(1 + i)
M3 = C*(1 + i)3.
Se seguirmos essa sequência, veja as aplicações seguintes: Ao término do quarto período:
M4 = C*(1 + i)4. Ao término do n-ésimo período:
Mn = C*(1 + i)n.
Após a generalização, passados n períodos, o montante será dado pela seguinte fórmula:
M = C*(1 + i)n ao final do n-ésimo período.
Variações da fórmula:
Exemplo 1
Carlos aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m. a juros compostos. Qual será o montante, ao final de três, seis e doze meses respectiva mente?
Ao final de três meses:
M3 = 400*(1 + 0,02)3 = 400 . 1,061 = 424,48.
M6 = 400*(1 + 0,02)6 = 400 . 1,126 = 450,46.
Ao final de um ano (doze meses):
M12 = 400*(1 + 0,02)12 = 400 . 1,26 = 507,29. Exemplo 2
Considere o capital inicial (principal C) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o primeiro mês, teremos:
M1 = 1.000 * 1,1 = 1.100 = 1.000*(1 + 0,1). Após o segundo mês, teremos:
M2 = 1.100 * 1,1 = 1.210 = 1.000*(1 + 0,1)2.
Após o terceiro mês, teremos:
M3 = 1.210 * 1,1 = 1.331 = 1.000*(1 + 0,1)3.
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos, evidentemente: M = 1000*(1 + 0,1)n.
De uma forma genérica, teremos para um principal C, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n: M = C (1 + i)n.
Exemplo 3
Suponha que dispomos de R$ 10.000,00 para investir e são duas as alternativas presentes no momento. O produto A oferece rentabilidade líquida mensal de 0,5%, enquanto o produto B oferece rentabilidade líquida de 1% (perceba que referencio a rentabilidade como líquida porque devemos, sempre, descontar a inflação do valor mensal apresentado pelos bancos e instituições financeiras).
Decidimos que esse dinheiro ficará aplicado por trinta anos, já que planejamos usá-lo apenas para a aposentadoria. A equação já pode ser resolvida:
M = ? (Vamos descobrir) C = 10.000 i = 0,005 (A) e 0,01 (B) n = 360 meses (30 anos) MA = 10.000*(1 + 0,005)360 = 10.000*6,022575 = R$ 60.225,75. MB = 10.000*(1 + 0,01)360 = 10.000*35,49641 = R$ 359.496,41.
Observe que com o produto A, teremos, ao final dos trinta anos, R$ 60.225,75. Já o produto B, “apenas” 0,5% mais rentável, trará um saldo final de R$ 359.496,41, cerca de seis vezes mais do que o do produto A. Vale notar que essa formulação é válida para uma única aplicação investida por n períodos. Quando consideramos aplicações periódicas, como a aplicação de um montante todos meses, a conta é diferente.
Exemplo 4
Em quanto tempo um capital aplicado a juros compostos de 5% a.m. dobra? Dados : log2= 0,301 e log1,05=0,0021
M = C*(1 + i)n M = 2C 2C = C*(1 + i)n 2 = C*(1 + i)n 2 = (1 + 0,05)n 2 = 1,05n.
Aplicando log em ambos os lados da equação, temos: log 2 = log 1,05n log 2 = n . log 1,05 0,301 = n . 0,0021 n = 0,301/ 0,0021 n = 143,33 meses. Exemplo 5
Um montante ou valor principal, mês a mês, de uma aplicação de R$ 2.000,00 à taxa de 8% a.m., em um período de seis meses, no regime de juros compostos.
Exemplo 6
Um capital de R$ 300,00 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de 10% ao mês. Calcule o montante dessa aplicação após dois meses.
M = C*(1 + i)n
Capital ou principal: C = 300 Taxa i = 10% = 0,1 Períodos de capitalização: n = 2 Substituindo, temos : M = 300*(1 + 0,1)² M = 300*(1,1) ² M = 300*(1,21) M = 300*1,21 = 363,00.
Então, o montante da aplicação fornecida nesse problema após dois meses é de R$ 363,00.
Exemplo 7
Um dono de empresa consegue um empréstimo de R$ 30.000,00 que deverá ser pago no fim de um ano, acrescido de juros compostos de 3% ao mês. Quanto o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo estabelecido?
M = C*(1 + i)n
Capital ou principal: C = 30.000,00 Taxa i = 3% = 0,03 Períodos de capitalização: n = 12.
Substituindo, temos : M = 30.000 x (1 + 0,03)12 M = 30.000 x (1,03) 12 M = 30.0000 x (1,4257)
M = 30.000. x 1,4257 = 42.771.
Então, o dono da empresa deverá pagar, ao final do prazo, o valor de R$ 42.771,00.
Exemplo 8
Calcule o capital que, aplicado à taxa composta de 4% a.m., dará origem a um montante de R$ 4.650,00 no fim de oito meses.
M = C*(1 + i)n M = 4.650 i = 4% = 0,04 n = 8 M = C*(1 + i)n, portanto, C = M / C*(1 + i)n C = 4.650 / (1 + 0,04)8 C = 4.650 / (1,04) 8 C = 4.650 / (1,3685) C = 4.650 / (1,3685) C = 3.397,88.
Então, o capital procurado é de R$ 3.397,88.
Exemplo 9
Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.
Solução
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado, teremos doze capitalizações.
C = R$ 600 i = 4% = 0,04
n = 12
M = C*(1 + i)n M = 600*(1 + 0,04)12 M = 600*(1,04)12
M = 600 * 1,60103 M = R$ 960,62.
Exemplo 10
O capital R$ 600,00 foi aplicado durante nove meses à taxa de 5% ao mês. Qual é o valor dos juros compostos produzidos?
Solução
C = R$ 600 i = 5% = 0,05
n = 9 (as capitalizações são mensais)
M = C * (1 + i)n M = 600 * (1,05)9 M = R$ 930,80.
O valor dos juros será: J = 930,80 – 600 J = R$ 330,80.
Exemplo 11
Qual é a aplicação inicial que, empregada por um ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, torna-se igual a R$ 477,62?
Solução
M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C * (1 + i)n
477,62 = C * (1,03)6
C = 477,62 / 119405 C = R$ 400,00.
Exemplo 12
Qual é o montante obtido de uma aplicação de R$ 550,00 feita por quatro meses a uma taxa de 20% ao ano?
M = C * (1 + i) n
M = 550 * (1 + 0,20)4/12
M = R$ 584,46
Referências bibliográficas
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