FÍSICA MODERNA I AULA 19

FÍSICA MODERNA I

AULA 19

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto Pelletron – sala 114

rizzutto@if.usp.br

1o. Semestre de 2014

Monitor: Gabriel M. de Souza Santos

Universidade de São Paulo

Instituto de Física

Página do curso:

2

OPERADORES – OBSERVÁVEIS RESUMIDAMENTE

x

i

p











ˆ

1- no caso da posição o operador é o próprio valor da posição:



  



























x

t

dx

x

i

t

x

p

p

*

(

,

)



(

,

)

x

x

ˆ



2 - no caso do momento, operador é dado por:

3 - no caso da energia, operador é dado por:

t

i

E









ˆ



  

























x

t

dx

t

i

t

x

E

E

*

(

,

)



(

,

)

3

OBSERVÁVEIS - VALOR ESPERADO

Temos então que o valor esperado de qualquer grandeza que depende da posição, do momento, da energia pode ser determinado através de:



  





























x

t

dx

t

i

x

i

x

f

t

x

E

p

x

f

(

,

,

)

*

(

,

)

ˆ

,



,



(

,

)

O valor médio de uma grandeza em mecânica quântica é normalmente chamado de valor esperado, que é o valor que se espera obter de uma medida daquela grandeza.

Observe que não esperamos necessariamente que o valor de uma

4

Elétron em uma caixa

Podemos associar a probabilidade de localizar a partícula em um estado com menor energia usando uma função de onda para o elétron (associar ao elétron uma onda cossenoidal)

Função de onda ... 3 , 2 , 1 , 2 2 cos ) (             n a x a x a n A x



a

A probabilidade que a partícula seja encontrada em um ponto na coordenada x entre –a/2 e a/2 é :

dx

x

x

x

P

dx

x

x

P

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

* 2











        x a n A x n



2 2 2 cos ) (



         2 / 2 / 2 2 cos ) ( a a dx x a n A x P 

Onda fixa nas ponta separada por uma distância a, terá l/2 comprimentos

de onda: 2

l

n a 

0 50 100 x (pm) n = 1 0 50 100 x (pm) n = 2 0 50 100 x (pm) n = 3 0 50 100 x (pm) n = 15

Elétron em uma caixa

... 3 , 2 , 1 , cos ) ( 2 2 2          x n a n A x n



6

Qualquer função que satisfaz

esta equação é dita normalizada

1

)

(

2







  

dx

x

Mudança de variável

No nosso caso:

1

cos

)

(

2 / 2 / 2 2









 a a

d

a

A

x

P







Já que a partícula deve ser encontrada em algum lugar ao longo do eixo x, a soma das probabilidade sobre todos os valores de x deve ser 1.

1 cos ) ( 2 / 2 / 2 2        



  a a dx x a A x P  0 50 100 x (pm) n = 1 dx a d x a       2  a A a A 2 1 2 2     -a/2 a/2 Constante de normalização

7

Qual o valor médio do momento

para a função de onda do estado

fundamental da partícula dentro

desta caixa:



 















2 / 2 / 2

cos

2

a a

dx

x

a

x

a

x



0 50 100 x (pm) n = 1

-a/2 a/2 _{Função par}

... 3 , 2 , 1 , 2 2 cos ) (             n a x a x a n A x







   









2 / 2 / * 2 / 2 /

)

,

(

)

,

(

)

,

(

a a a a

dx

t

x

x

t

x

dx

t

x

xP

x

Função ímpar

Como a integral é sobre um valor ímpar em

uma região simétrica a integral é nula

0





x

0 50 100 x (pm)

n = 2

Elétron em uma caixa

... 3 , 2 , 1 , cos ) ( 2 2 2          x n a n A x n





 















2 / 2 / 2 2

2

cos

a a

dx

x

a

x

A

x



Função par Função ímpar

Como a integral é sobre um valor ímpar em uma

região simétrica a integral é nula

0





x

x

O valor médio da posição do elétron na caixa no _{estado n=2 é em x=0}

Observe que não esperamos necessariamente que o valor de uma

medida que tenha uma alta probabilidade seja igual ao valor esperado.

9

Qual o valor médio do momento

da partícula dentro desta caixa:

Vimos que :

dx x a x i x a a p a a                



  ) (cos cos 2 /2 2 /    0 50 100 x (pm) n = 1 -a/2 a/2 ... 3 , 2 , 1 , 2 2 cos ) (             n a x a x a n A x







    









2 / 2 / *

)

,

(

)

,

(

)

,

(

a a

dx

t

x

p

t

x

dx

t

x

pP

p

Como a probabilidade da partícula estar se movendo no sentido positivo do eixo x é igual a probabilidade de estar se movendo no sentido oposto, o momento médio é nulo.

0





p

p

dx x a sen x a a a i p a a              



  ) cos 2 ) ( 2 / 2 /     Função impar Função par

10

Qual o valor médio do momento

ao quadrado da posição da

partícula dentro desta caixa:

_{, 1,2,3...}

2 2 cos ) (             n a x a x a n A x



a

p











2 dx a p a a   



          /2 2 / 2 2 2 _

x

i

p











ˆ

Sabemos que:







































































2 ₂2 2 2 2

a

x

x

i

x

i















































x

i

x

i

p

ˆ

2





vale 1 2 2 2 2 a p   

O momento médio quadrático:

Que é uma medida das flutuações em torno da média, pois a partícula pode ser

encontrada com momento _{p mE}

ou mE p 2 2    

11

Qual o valor da energia cinética média?

2 2 2 2 2

033

.

0

)

1

6

(

2

a

a

x













Vimos que:

que é o valor que havíamos determinado anteriormente por Sommerfeld 2 2 2 2 a p  



2 2 2 2 2 2 2

8

4

2

1

2

ma

h

a

h

m

m

p

E











O mesmo vale para o <x

2

>?

Que não é zero embora

<x> = 0.



_x

2





₀

_.

₁₈

_a

Posição média quadrática,

considerada como uma medida das flutuações em torno da média.

As flutuações existem porque a partícula não é sempre encontrada na mesma posição mas em várias posições.

  57 . 0 18 . 0 2 2            x p a a x p x p 

consistente com o limite de

2 

12

Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger

A mecânica clássica não pode ser utilizada em sistemas nos quais as

características de onda das partículas são manifestadas. Para entender as trajetórias destas partículas que mostram propriedades ondulatórias

necessitamos de uma nova mecânica (chamada mecânica quântica) Da segunda lei de Newton:

A solução desta equação é consistente com os experimentos em várias situações físicas

2 2 dt x d m F 

As funções de onda da mecânica quântica podem ser derivada de equação diferencial

fundamental conhecida como Equação de Schrödinger, que possui o mesmo status da equação da mecânica clássica de Newton. É um postulado que não tem descrição “a priori”, somente é consistente as solução desta e o experimento.

No lugar das equações de movimento da mecânica clássica da qual a

posição exata da partícula no espaço a cada momento pode ser calculada, usaremos a mecânica quântica que fornece funções de onda que contem tudo que pode ser conhecido sobre a partícula de acordo com o principio de incerteza

13

Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger

Esperamos que a Equação de Schrödinger incorpore os seguintes princípios fundamentais:

• A conservação de energia: este principio é tão básico que sua exclusão é impensável.

• A hipótese de de Broglie: mecânica quântica esta especificamente

relacionada a partículas que mostram distintas propriedades de ondas. O princípio de conservação de energia é definido pela equação:

p c

E

E

E





m p E_c 2 2

 Substituindo a equação de de Broglie:

l h p  m h E_{c 2} 2 2l 

Vamos assumir, por simplicidade, que a parte da função de onda da partícula independente do tempo, em uma dimensão, pode ser escrita como:

14

Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger

A derivada segunda desta equação é:

l  2  k

Asenkx





Esta equação é a forma unidimensional da

equação de

Schrödinger

independente do tempo

      ) ( 8 ) ( 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 p p E E h m dx d h m E E dx d       m E E h E E m h E p p c ) ( 2 2 2 2 2 2      l l  l     2 2 2 2 2 2 2 2 4 sin       dx d k kx A k dx d

15

Exercício: Partícula dentro de uma caixa

Uma partícula se encontra no estado fundamental dentro de um poço quadrado infinito de comprimento L. Calcule a probabilidade que esta partícula seja encontrada entre X=L/4 e x=3L/4

, 0 , ) ( x x L L n Asen x n          



A densidade de probabilidade é dado por: _n2(x)

2 1 2 cos 1 2 1 2 cos 1 2 1 2 0 2 2 0 0 2 2 2 L A dx x L n A sen dx x L n sen A dx L L L n                   







     Normalização:

O seno se anula para os extremos da integral:

L A  2

16

Exercício: Partícula dentro de uma caixa

Uma partícula se encontra no estado fundamental dentro de um poço quadrado infinito de comprimento L. Calcule a probabilidade que esta partícula seja encontrada entre X=L/4 e x=3L/4

, 0 , ) ( 1 x x L L Asen x          



A função de onda do estado fundamental é dada por:





        4 / 3 4 / 4 / 3 4 / 2 2 2 1 ) ( L L L L dx x L sen A dx x P               _        _               



4 2 4 3 2 2 4 4 3 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 cos 1 2 1 2 ) ( 4 / 3 4 / 4 / 3 4 / L L sen L L sen L L L L x P x L sen L x L x P dx x L L x P L L L L      





_                1 1 2 4 2 1 ) (  L L L x P 818 . 0 1 2 1 ) (     x P

É maior que ½ o qual é esperado para uma partícula clássica que gasta tempos iguais em todas as partes dentro da caixa

17

Exercício:

Uma partícula dentro da caixa De tamanho L , 0 , ) ( x x L L n Asen x n          



A densidade de probabilidade é dado por: P(x) 2(x)

n   Normalização: L A  2 0 50 100 x (pm) n = 1

















x

a

sen

L

x

2



2 1

2

)

(

O valor mais provável de x, é dado pelo valor de x onde P(x) é máxima: 2 L x_mp  Primeiro estado:





     









xP

x

t

dx

x

t

x

x

t

dx

x

(

,

)

*

(

,

)

(

,

)

18

Exercício:

Uma partícula dentro da caixa

De tamanho L (estado fundamental)

















x

a

sen

L

x

)

2



(

1

Qual o valor médio da posição: <x>

















L

dx

x

L

xsen

L

x

0 2

2



2

L

x

x





0 50 100 x (pm) n = 2         x L sen L x) 2 2



( 2 2 2

Segundo estado excitado

O valor mais provável de x, é dado pelo valor de x onde P(x) é máxima:

4 3 4 L e L x_mp  2 L x x  