Curso de Geometria Analítica

Curso de Geometria Analítica

Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis

Resumo Teórico 10 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos.

I. PONTO e PONTO:

Sejam, no espaço, os pontos A=(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2). Temos duas posições relativas a

considerar:

i. A

≡

B, os pontos são coincidentes. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será igual a zero e teremos então: |B-A|=

√

(x2− x1)2+ (y2−y1) 2 +(z2−z1) 2 = 0.

ii. A

≡

B, os pontos são distintos. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será diferente de zero e teremos então: |B-A|=

√

(x2− x1)2+ (y2−y1) 2 +(z2−z1) 2

≠

0.

Assim ao calcularmos a distância entre dois pontos identificamos sua posição relativa e no caso de serem distintos, esta distância os identificará.

Exemplificando: Dados A=(1,-2,3) e B=(-1,1,-3), temos (B-A)=(-2,3,-6), calculando sua distância teremos |B-A|=

√

(-2)2_{+ (3)} 2 _+(-6) 2 ₌

√

_{49 = 7}

_≠

_{0, portanto os pontos são distintos.}

II. PONTO e RETA: → Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e a reta r:(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c). Sendo (a,b,c)=V, o

vetor da direção da reta e (x0,y0,z0) = A um ponto conhecido da reta, temos duas posições

relativas a considerar:

i. Q

∈

r, o ponto está na reta. Neste caso a distância entre A e r será igual a zero.

ii. Q

∉

r, o ponto não está na reta. Neste caso a distância entre A e r será diferente de zero. Assim ao calcularmos a distância entre o ponto e a reta identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer à reta, esta distância os identificará.

→

A distância entre um ponto Q =(x1,y1,z1) e uma reta r: P= A + t V, pode ser determinada como

segue: •Q → |(Q−A) ∧ V | DQr Distância entre Q e r DQr =  |V| • 

→

A V → → → Exemplificando: Dados Q=(1,-2,3) e r:P=A+tV, sendo A=(-1,1,-3) e V=(1,-1,1), temos |V|=√3 e (Q-A)=(2, -3, 6). Calculando a distância entre Q e r teremos :

|(2,−3, 6) ∧ (1, -1, 1)| |(3, 4, 1)| √26

Distância entre Q e r DQr =  =  =  = √ 26/3 u.c.

|(1,-1,1)| √3 √ 3

Concluimos assim que Q

∉

r, o ponto não está na reta, pois DQr

≠

0. Neste caso a distância entre Q e r é de √ 26_/

3

≅

8,66 u.c (Unidades de Comprimento).

Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e o Plano

π

: ax + by +cz + d = 0. Temos duas posições

relativas a considerar:

i. Q

∈

π

, o ponto pertence ao plano. Neste caso a distância entre Q e

π

será igual a zero. ii. Q

∉

π

, o ponto não pertence ao plano. Neste caso a distância deles será diferente de zero. Assim ao calcularmos a distância entre o Ponto e o Plano identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer ao Plano, esta distância os identificará.

A distância entre um ponto Q =(x1,y1,z1) e um Plano

π

: ax + by +cz + d = 0, pode ser

determinada como segue:

|a x1+by1+cz1+d|

Distância entre Q e

π

: DQπ= 

√

a2 _{+ b}2 _{+ c}2

IV. RETA e RETA: Sejam no espaço as retas r1:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e r2:(x,y,z)=( x2,y2,z2)+t(a2,b2,c2).

→ →

Sendo (a1,b1,c1)=V1 e (x1,y1,z1) = A1 , (a2,b2,c2)=V2 e (x2,y2,z2) = A2, os vetores da direção e os

pontos conhecidos das retas r1 e r2 respectivamente, temos quatro posições relativas a considerar:

i. r1

≡

r2 : r1 coincide com r2, isto é as retas são coincidentes. → →

Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a

distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).

ii. r1

∥

r2 : r1 é paralela à r2, isto é as retas são paralelas. → →

Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a

distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2

≠

0).

iii. r1

╳

r2: r1 intercepta r2, isto é as retas são concorrentes. → →

Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, um único ponto comum e a

distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).

iv. r1

ℵ

r2: r1 não é paralela nem intercepta r2, isto é as retas são reversas. → →

Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, nenhum ponto comum e a

distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2

≠

0).

Verificamos portanto que para determinar a posição relativa entre duas retas é necessário comparar suas direções, através da verificação da Dependência Linear dos vetores de suas direções, e ainda, calcular a distância entre as mesmas. A dependência linear verificamos através da comparação das coordenadas dos vetores, enquanto que a distância determinamos como segue:

a) As retas são Paralelas: Calculamos a distância de um ponto de uma das retas (r1) até a outra (r2), isto é o cálculo da distância é o mesmo de um ponto e reta e a formula será: →

|(A2−A1) ∧ V1 |

Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = 

b) As retas são Reversas:A distância é o módulo segmento de reta perpendicular comum a ambas as retas dadas. Assim basta calcular o módulo do vetor projeção do vetor (A2−A1) na → →

direção do vetor V1 ∧ V2, isto é, a formula do cálculo da distância ente as retas será: → →

|(A2−A1) X (V1∧ V2 )|

Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = 

|(V1∧ V2 )| Observamos que:

1. Para o caso de retas concorrentes e reversas é necessário calcular o ângulo

ϕ

formado pelas direções das mesmas. Este cálculo, já conhecido, será:

→ → V1 x V2

ϕ

= arco cos  → → |V1|•|V2|

2. Para o caso das retas serem concorrentes é necessário calcular o ponto P =(x,y,z) de intersecção das retas. Este ponto será determinado através da solução do sistema de equações formado pelas equações das retas na forma simétrica isto é:

x-x0 y-y0 z-z0  =  =  a b c

V. RETA e PLANO: Sejam no espaço a reta r:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e o Plano

π

: ax + by +cz + d = 0 .

→ →

Sendo W=(a,b,c) o vetor normal do plano , V=(a1,b1,c1), o vetor da direção da reta e A=(x0,y0,z0)

um ponto conhecido da reta. Temos duas posições relativas a considerar:

i. r

⊂

π

, a reta está contida no plano. Neste caso a distância entre r e

π

será igual a zero e os → → → →

vetores W e V serão ortogonais, isto é o produto escalar W x V = 0.

ii. r

⊄

π

, a reta não está contida no plano. Neste caso teremos duas posições a considerar: → →

a) r //

π

, a reta é paralela ao plano. Neste caso o produto escalar W x V = 0, a distância entre r e

π

será diferente de zero e é calculada como a distância do ponto A à

π,

isto é: |a x1+by1+cz1+d|

Distância entre

r

e

π

: Drπ= 

√

a2 _{+ b}2 _{+ c}2

b) r _╳

π,

a reta é concorrente, isto é, intercepta o plano. Neste caso W x V

≠

0, isto é, o produto escalar dos vetores será diferente de zero, a distância entre r e

π

será igual a zero e devemos calcular o ângulo de incidência da reta ao plano e o ponto de intersecção P=

r

∩

π

, entre o plano e a reta.

Determinação do ângulo

ϕ

de incidência da reta no plano: → →

w V

→ → V x W

θ ϕ ϕ= 

90o

_{- θ  ,}

_sendo

_{θ =}

_{arco cos}

_{}

• A → →

P |V|•|W|

r

Para determinar o ponto de intersecção P=

r ∩ π,

entre o plano e a reta, determinamos a solução do sistema das equações na forma simétrica da reta e na forma geral do plano, isto é:

x-x1 y-y1 z-z1

 =  =  e ax + by + cz + d =0 a1 b1 c1

VI. PLANO e PLANO: Sejam no espaço os Planos

π

1: a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e

π

2: a2x + b2y +c2z + d2 = 0

→ →

Sendo W1=(a1,b1,c1) o vetor normal do plano

π

1 e W2=(a2,b2,c2), o vetor normal do plano

π

2.

Temos três posições relativas a considerar:

i.

π

1

≡

π

2 :

π

1 coincide com

π

2, isto é os planos são coincidentes. → →

Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a

distância entre

π

1 e

π

2 igual a zero ( Dπ1π2 = 0).

ii.

π

1

∥

π

2 :

π

1 é paralela à

π

2, isto é os planos são paralelos. → →

Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a

distância entre r e s diferente de zero (Dπ1π2

≠

0).

iii.

π

1

╳

π

2:

π

1 intercepta

π

2, isto é os planos são concorrentes, isto é se interceptam segundo uma reta

r.

→ →

Neste caso teremos W1 e W2 com direções diferentes, isto é LI, uma única reta comum, a

distância entre

π

1 e

π

2 igual a zero (Dπ1π2 = 0) e um ângulo

ϕ

entre os dois planos.

Distância entre dois planos paralelos: Calculamos a distância de um ponto qualquer de

π

1 á

π

2 isto é:

|a2 x1+b2y1+c2z1+d2| Distância entre

π

1 e

π

2 : Dπ1π2 = 

√

a22 + b22 + c22

Ângulo

ϕ

entre dois planos Concorrentes: Calculamos o ângulo entre

π

1 á

π

2 como segue:

π

1 W1

θ

ϕ

π

2 W2

r

→ →

W1 x W2

ϕ= 

180o

_{- θ  ,}

_sendo

_{θ =}

_{arco cos}

_{} → → | W1|•| W2|

Reta r de intersecção dois planos Concorrentes: Podemos determinamos a reta de intersecção entre

π

1 á

π

2 de duas formas como segue:

1. Determinando dois pontos comuns A e B, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos

π

1 e

π

2, escrevendo em seguida a equação vetorial da

reta: → →

P = A + t V, sendo V = (B-A).

2. Determinando um ponto comum A, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos

π

1 e

π

2 e o vetor que tem a direção da reta através de

→ → → → V = W1

∧

W2 , obtendo assim a equação vetorial da reta: P = A + t V.

Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.