Modelos Dinâmicos e Estáticos de Sobrevivência com Fragilidade Espacial

(1)

Universidade Federal do Rio de Janeiro

MODELOS DIN ˆ

AMICOS E ESTAT´ICOS DE

SOBREVIVˆ

ENCIA COM FRAGILIDADE

ESPACIAL

Leonardo Soares Bastos

(2)

UFRJ

Modelos Dinˆ

amicos e Est´

aticos de

Sobrevivˆ

encia com Fragilidade Espacial

Leonardo Soares Bastos

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários para obten¸cão do grau de Mestre em Ciências Estat´ısticas.

Orientador: Dani Gamerman

Rio de Janeiro Dezembro de 2003

(3)

Modelos Dinˆ

amicos e Est´

aticos de

Sobrevivˆ

encia com Fragilidade Espacial

Leonardo Soares Bastos Orientador: Prof. Dani Gamerman

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Programa de Pós-gra-dua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universi-dade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários para obten¸cão do grau de Mestre em Ciências Estat´ısticas.

Aprovada por :

Presidente, Prof. Dani Gamerman

Prof. H´elio S. Migon

Profa_{. Silvia Shimakura}

Rio de Janeiro Dezembro de 2003

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Bastos, Leonardo Soares

Modelos Dinâmicos e Estáticos de Sobrevivência com Frag-ilidade Espacial / Leonardo Soares Bastos. - Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2003.

xi, 163f.: il.; 31cm.

Orientador: Dani Gamerman

Disserta¸cão (mestrado) - UFRJ/IM/ Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica, 2003.

Referˆencias Bibliogr´aficas: f.137-142.

1. Análise de Sobrevivência. 2. Estat´ıstica Bayesiana. 3. Estat´ıstica Computacional. 4. Modelos Dinâmicos I. Gamerman, Dani II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática. III. T´ıtulo.

(5)

Resumo

Modelos Dinˆ

amicos e Est´

aticos de

Sobrevivˆ

encia com Fragilidade Espacial

Resumo da Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica, Instituto de Matemática, da Universidade Fede-ral do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários para obten¸cão do grau de Mestre em Ciências Estat´ısticas.

Os Modelos de sobrevivência com fragilidade espacial além de explicar qual é o efeito de covariáveis no risco de um indiv´ıduo falhar, eles visam descrever a heterogeneidade não observada entre as unidades em estudo com alguma informa¸cão espacial, introduzida no termo latente (fragilidade). A modelagem será inicialmente baseada nos modelos de riscos proporcionais onde a fun¸cão de risco de base será ajustada de três maneiras: supondo uma forma paramétrica, usando processos Gama e usando modelos dinâmicos. Uma outra forma de modelagem é baseada em modelos dinâmicos de so-brevivência que supõem covariáveis dependentes do tempo. A fragilidade espacial será modelada usando processos Gaussianos. As estimativas serão obtidas através de métodos computacionais baseados em MCMC. A aplica¸cão será feita a dois conjuntos de dados: um estudo de sobrevivência de pessoas residentes na Inglaterra que sofrem de Leucemia e uma estudo do tempo no emprego nos munic´ıpios do Rio de Janeiro no setor industrial.

Palavras-chave: Análise de sobrevivência Bayesiana, Modelos de sobrevivência dinâmicos, Modelos Semiparamétricos, Geoestat´ıstica.

(6)

Abstract

Spatial Frailty Dynamic and

Static Survival Models

Abstract da Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de

Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica, Instituto de Matemática, da Universidade Fede-ral do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários para obten¸cão do grau de Mestre em Ciências Estat´ısticas.

Spatial frailty survival models besides explaining which is the covari-ates effect in the risk of an individual to fail, aim at describing non-observed heterogeneity between the units in the study with some spatial information, introduced in a latent term (frailty). The modeling will be initially based on proportional risk models where the baseline hazard function will be adjusted in three ways: assuming parametric form, using Gamma processes and using dynamic models. Another form of modeling is based on survival dynamic models, that assume that the covariates effect can change over time. The spatial frailty will be modeled using Gaussian processes. The estimates will be based on computational methods using MCMC. The models will be ap-plied to two data sets: a study of survival of residents in England who suffer from Leukemia and a study of the employment duration time in the indus-trial sector in the State of Rio de Janeiro.Key-words: Bayesian Survival Analysis, Dynamic Survival Models, Semiparametrics Models, Geostatistics.

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Agradecimentos

Em primeiro lugar a Deus. (E aos seus santos tamb´em.) `

A Tha´ıs pelo apoio em todos os sentidos e por simplesmente ter apare-cido na minha vida.

Ao clã dos Bastos, pelo apoio que eu sempre tive durante a minha caminhada meu pai (Francisco), minha mãe (Cleusa) e meu único irmão (Breno).

Gostaria de agradecer a todos os professores que me fizeram seguir por esse caminho. Principalmente ao professor Dani, que pra mim foi uma honra tˆe-lo como orientador durante o mestrado, e as professoras Rosangela e Cibele Queiroz da UFMG, que me orientaram durante a gradua¸c˜ao e eu serei eternamente grato a elas.

Não poderia de deixar de agradecer aos meus amigos. Os amigos do bairro (Palmeiras-BH), dando um destaque para Lúcio (Sasaki Kojiro ou Lucin), Jason (Peacemaker), Gleison (Piledrivermaker), Valéria (Val) e Flávia Komatsuzaki (Flavinha) que foram grandes companheiros e estão quase sempre on-line. Aos amigos da UFMG, Cristiano (Negão), Inara, Paula (Paulete), Roseli (Aose), Leonardo (Léo Giradi), Rafael e mais alguns que

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estudaram comigo ou fizeram parte das horas de truco no centro de estudos, nas longas viagens pro ENESTE e nas festas e calouradas da Federal. E no Rio, eu destaco Aline, Cristiane, Rafael e o Zim, quero dizer o Gustavo, que s˜ao pessoas que eu admiro.

Outros fatos extremamente importantes nesse per´ıodo que passei cur-sando o mestrado foram: O Cruzeiro Esporte Clube, que no ano de minha defesa conseguiu a tr´ıplice coroa ganhando o campeonato estadual, a Copa do Brasil (pela quarta vez) e o campeonato brasileiro (t´ıtulo inédito para o clube). O Metal que sempre foi o fundo musical durante o desenvolvimento dessa disserta¸cão, algumas bandas eu posso destacar Nightwish, Sratovarius, Symphony X, Blind Guardian, Angra e Shaman. E para finalizar as revistas que li em sua grande maioria Mangás que eu gostaria de destacar Samurai X, Cavaleiros do Zod´ıaco e Dragon Ball.

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Sum´

ario

1 Introdu¸cão 1 1.1 Conceitos Básicos . . . 2 1.2 Especifica¸cão da Verossimilhan¸ca . . . 4 1.3 Modelos de Regressão . . . 5 1.4 Modelos de Fragilidade . . . 7 1.5 Sumário da disserta¸cão . . . 8

2 Inferˆencia Bayesiana 11 2.1 Conceitos B´asicos . . . 12

2.2 Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . 14

2.2.1 Amostrador de Gibbs . . . 15

2.2.2 Algoritmo de Metropolis-Hastings . . . 16

(10)

2.3 Modelos Dinˆamicos . . . 20

2.4 Geoestat´ıstica . . . 23

3 Modelos Estáticos de Sobrevivência 29 3.1 Defini¸cão do Modelo . . . 30

3.2 Coeficientes de Regress˜ao . . . 31

3.3 Fun¸c˜ao de Risco de Base . . . 32

3.3.1 Processos Param´etricos . . . 33

3.3.2 Processos Gama . . . 35

3.3.3 Processos Correlacionados . . . 38

3.3.4 Outros processos a priori . . . 41

3.4 Estudo Simulado . . . 42

4 Modelos de Fragilidade Espacial 50 4.1 Por que usar modelos com Fragilidade Espacial? . . . 51

4.2 O Modelo . . . 52

4.3 Coeficientes de Regress˜ao . . . 54

4.4 Fun¸c˜ao de Risco de Base . . . 54

4.4.1 Processos Param´etricos . . . 55

(11)

4.4.3 Processos Correlacionados . . . 57 4.5 Fragilidade Espacial . . . 58 4.6 Estudo simulado . . . 60

5 Modelos Dinˆamicos de Sobrevivˆencia com e sem Fragilidade

Espacial 76

5.1 Modelo Dinâmico de Sobrevivência . . . 78 5.2 Modelo Dinâmico de Fragilidade Espacial . . . 81 5.3 Estudo Simulado . . . 85

6 Aplica¸c˜ao a dados reais 96

6.1 Dados de Leucemia na Inglaterra . . . 97 6.2 Dados de tempo no emprego . . . 114

7 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros 134

Referˆencias Bibliogr´aficas 137

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

O objetivo desta disserta¸cão é apresentar uma análise Bayesiana de modelos de sobrevivência com fragilidade espacial. Esses modelos além de explicar o risco do indiv´ıduo de falhar sob o efeito de covariáveis, como os modelos de regressão em análise de sobrevivência, visam descrever a heterogeneidade não observada entre as unidades em estudo levando em considera¸cão alguma informa¸cão espacial das observa¸cões.

O modelo de fragilidade espacial é uma extensão do modelo de frag-ilidade, proposto inicialmente por Clayton (1978), onde ao efeito aleatório introduzido na fun¸cão de risco será incorporado uma estrutura espacial. Essa estrutura será modelada usando processos gaussianos utilizados em Geoestat´ıstica, onde a informa¸cão espacial está contida na estrutura de cor-rela¸cão dos dados. Os modelos de fragilidade espacial são bem mais recentes que os modelos de fragilidade, Carlin e Banerjee (2002) e Henderson et al. (2002) abordaram esse tema em seus trabalhos, os primeiros usando modelos Condicionais Autoregressivos (CAR) e os segundos usando modelos Gama

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Multivariados. Extendendo os modelos de fragilidade espacial será apresen-tada uma modelagem com parâmetros variando no tempo, usando modelos dinâmicos.

Na Se¸cão 1.1 serão descritos os conceitos básicos em análise de so-brevivência. Na Se¸cão 1.2 será descrito como a fun¸cão de verossimilhan¸ca é especificada. Na Se¸cão 1.3 serão descritos os modelos de regressão em análise de sobrevivência e como são introduzidas as covariáveis no modelo. Na Se¸cão 1.4 será feita uma breve apresenta¸cão dos modelos de fragilidade onde será mostrado como o efeito de fragilidade é incorporado ao modelo. Um sumário dessa disserta¸cão será apresentado na Se¸cão 1.5 .

1.1 Conceitos B´

asicos

Os dados de sobrevivência consistem no tempo até a ocorrência de um de-terminado evento, que será chamado de morte ou falha. Uma caracter´ıstica desse tipo de dado é a possibilidade da não observa¸cão do evento de interesse em algumas observa¸cões, que pode ser uma censura ou um truncamento. Dados truncados são aqueles que para entrar no estudo foram sujeitos a um condicionamento. Dados censurados são divididos em três tipos; censura à direita, onde tudo que se sabe é que o evento ainda não ocorreu até o instante observado, censura à esquerda, onde tudo o que se sabe é que o evento ocorreu em algum instante de tempo antes do in´ıcio do estudo, e censura intervalar, é aquela em que se sabe que o evento ocorreu dentro de um intervalo de tempo conhecido. Nesta disserta¸cão apenas a modelagem com censura à direita será abordada. A ocorrência ou não de censura será indicada por uma variável indicadora de falha, que vale 1 se a observa¸cão falhou e 0 se foi censurada.

(14)

Além do tempo de sobrevivência e da variável indicadora de falha, os da-dos de sobrevivência podem conter um conjunto de variáveis observáveis que podem estar relacionadas com estes tempos. Estas variáveis são conhecidas por covariáveis ou variáveis explicativas. Quando os tempos de sobrevivência estão relacionados com as covariáveis diz-se que a popula¸cão é heterogênea. Caso contrário a popula¸cão é dita homogênea.

Seja T uma variável aleatória (v.a.) que representa o tempo de so-brevivência de uma observa¸cão com fun¸cão de densidade f (t). A fun¸cão de sobrevivência, S(t), é definida por

S(t) = P r(T > t) (1.1)

onde T é uma variável aleatória cont´ınua não negativa.

A formula¸cão dos modelos de sobrevivência é feita usualmente pela fun¸cão de risco, h(t), definida por

h(t) = lim

∆→0+

P r(t < T < t + ∆|T > t)

∆ (1.2)

e a fun¸c˜ao de risco acumulada, H(t), ´e dada por

H(t) =

Z _t

0 h(u)du, t > 0 (1.3)

Será assumido que os tempos de sobrevivência são variáveis aleatórias absolutamente cont´ınuas. Portanto, a fun¸cão de risco determina completa-mente a distribui¸cão de probabilidade destes tempos. As principais rela¸cões entre f , S e h são definidas a seguir. De (1.1), obtém-se que

f (t) = −d dtS(t), (1.4) e de (1.2) tem-se que h(t) = lim ∆→0+ P r(t < T < t + ∆|T > t) ∆

(15)

= 1 P r(T > t)∆→0lim+ P r(t < T < t + ∆) ∆ = f (t) S(t) (1.5)

Como T ´e uma v.a. positiva, h(t) = 0, t < 0. Substituindo (1.4) em (1.5) e resolvendo a equa¸c˜ao para S(t),

S(t) = exp ½ − Z _t 0 h(u)du ¾ = exp {−H(t)} . (1.6)

Note que a fun¸cão de risco é suficiente para especificar a distribui¸cão de probabilidade da variável, pois pode-se escrever a fun¸cão de densidade de probabilidade como fun¸cão da fun¸cão de risco, ou seja, usando (1.5) e (1.6) tem-se que f (t) = h(t) exp ½ − Z _t 0 h(u)du ¾ . (1.7)

1.2 Especifica¸c˜

ao da Verossimilhan¸ca

A contribui¸cão para a fun¸cão de verossimilhan¸ca para uma observa¸cão que fal-hou é a fun¸cão de densidade, mas se a observa¸cão for censurada a informa¸cão que se tem em mãos é que a observa¸cão sobreviveu até aquele instante de tempo, portanto a contribui¸cão para a fun¸cão de verossimilhan¸ca de um in-div´ıduo que foi censurado é a fun¸cão de sobrevivência. A distin¸cão entre falha e censura é feita através da variável indicadora de falha, δ. Desta forma, a contribui¸cão, p(t), para a fun¸cão de verossimilhan¸ca de uma observa¸cão é dada por:

p(t) = f (t)δ_S(t)1−δ_. _(1.8)

(16)

supõe-se independência e que as obsupõe-serva¸cões supõe-sejam provenientes de uma mesma popula¸cão, homogênea ou não. A fun¸cão de verossimilhan¸ca é dada por

L(t1, . . . , tn) = n Y i=1 p(ti) = n Y i=1 f (ti)δiS(ti)1−δi. (1.9)

Usando as rela¸cão (1.5) e (1.6) em (1.9) a fun¸cão de verossimilhan¸ca é reescrita por L(t1, . . . , tn) = n Y i=1 h(ti)δiexp ½ − Z _t_i 0 h(u)d(u) ¾ . (1.10)

1.3 Modelos de Regress˜

ao

Frequentemente os dados de sobrevivência são provenientes de popula¸cões heterogêneas, implicando na observa¸cão de um conjunto de covariáveis jun-tamente com os tempos de sobrevivência. Portanto, é interessante conhecer a influência das covariáveis nos tempos de sobrevivência, justificando o in-teresse nos modelos de regressão.

O efeito das covariáveis em análise de sobrevivência é expresso através da fun¸cão de risco. Nesta disserta¸cão, serão considerados apenas efeitos multiplicativos. O principal modelo multiplicativo é o modelo de riscos pro-porcionais ou modelo de Cox, (Cox, 1972), que é definido por

h(t|X, β) = h0(t)G(X; β) (1.11)

onde t é o tempo observado, X = (X1, . . . , Xp) é o vetor de covariáveis. Os

co-eficientes β = (β1, . . . , βp)T s˜ao conhecidos por Coeficientes de Regress˜ao.

(17)

é uma fun¸cão positiva, usualmente G(X; β) = exp{Xβ} e que também será a fun¸cão utilizada nessa disserta¸cão. Assim (1.11) é reescrito como

h(t|X, β) = h0(t) exp{Xβ}. (1.12)

Este modelo é chamado de modelo de riscos proporcionais, pois a razão das taxas de falha de dois indiv´ıduos é constante no tempo, isto é, a razão das fun¸cões de risco para dois indiv´ıduos diferentes, i e j, é

h(t|Xi, β)

h(t|Xj, β)

= h0(t) exp{Xiβ}

h0(t) exp{Xjβ}

= exp{Xiβ − Xjβ}

que não depende do tempo. A fun¸cão de verossimilhan¸ca para os modelos de regressão de riscos proporcionais é obtida, aplicando (1.12) em (1.10)

L(β, h0) = n Y i=1 ³ h0(ti)eXiβ ´_δ_i expn−H0(ti)eXiβi o (1.13) onde H0(ti) ´e a fun¸c˜ao de risco de base acumulada, i = 1, . . . , n.

Quando a fun¸cão de risco de base, h0(t), é especificada, ou seja, a fun¸cão

tem uma forma paramétrica conhecida, o modelo é chamado paramétrico. Mas quando a fun¸cão h0(t) é não especificada, o modelo é dividido em duas

partes: uma paramétrica, associada aos coeficientes de regressão e a outra não paramétrica, associada à fun¸cão de risco de base. Esse modelo é conhecido por semiparamétrico.

O modelo de riscos proporcionais supõe que as covariáveis não de-pendem do tempo como extensão para o modelo de Cox. Seja X(t) = (X1(t), . . . , Xp(t)) um conjunto de covariáveis no tempo t, a versão do modelo

de Cox com variáveis dependentes do tempo é dada através da substitui¸cão de X por X(t) em (1.12), ou seja,

(18)

Uma outra extensão para os modelos de Cox com variáveis dependentes do tempo foi proposta por Gamerman (1991). Ele propôs uma classe de modelos baseada em modelos dinâmicos, que elimina o problema da suposi¸cão de riscos proporcionais e faz com que o modelo de riscos proporcionais seja um caso particular, essa abordagem será utilizada nessa disserta¸cão.

Uma outra forma de incluir covariáveis no modelo é usando modelos adi-tivos, onde o principal modelo é o modelo de Aalen (1980). Essa modelagem assim como, a classe de modelos de Gamerman(1991) e a classe extendida dos modelos de Cox (1972), aceita covariáveis dependentes do tempo. A fun¸cão de risco do modelo de Aalen é dada por

h(t|X(t)) = α0(t) + ζ(X(t)α(t)) (1.15)

onde α(t) = [α1(t), . . . , αp(t)]T e α0(t) são fun¸cões não especificadas, X(t) =

(X1(t), . . . , Xp(t)) é o vetor de covariáveis dependentes do tempo e ζ(.) é uma

fun¸c˜ao positiva usualmente ζ(x) = x.

1.4 Modelos de Fragilidade

Os modelos de fragilidade são caracterizados pela introdu¸cão de um efeito aleatório na fun¸cão de risco. Clayton (1978) e Vaupel, Manton e Vallard (1979) foram os primeiros a trabalhar com esta classe de modelos, o nome fragilidade foi introduzido no segundo trabalho. A forma usual de se intro-duzir a fragilidade no modelo de Cox é

h(t|X, β) = h0(t)u exp(Xβ) (1.16)

onde u é a fragilidade. Assume-se que u tem média 1 e variância descon-hecida, ξ. Usualmente assume-se também uma distribui¸cão Gama para ξ.

(19)

Note que se u = 0 o modelo (1.17) se reduz ao modelo de riscos propor-cionais (1.12). Procedimentos de inferência para esses modelos podem ser encontradas em Klein e Moeschberger (1997), sob um ponto de vista clássico, Clayton (1991) e Silva (2001) apresentam métodos bayesianos para estes modelos, o segundo autor também apresenta modelos aditivos de fragilidade.

Em algumas aplica¸c˜oes ´e conveniente escrever o modelo (1.16) como

h(t|X, β) = h0(t) exp(Xβ + w) (1.17)

onde w é a fragilidade, que segue uma distribui¸cão com média 0 e variância σ2_.

Note que se σ = 0 o modelo (1.17) se reduz ao modelo de risco proporcionais, (1.12). Supor que w tem distribui¸cão normal é o mesmo que supor que u tem distribui¸cão log-normal, pois w = log(u), e McGilchrist e Aisbett (1991) modelaram a fragilidade usando a distribui¸cão log-normal.

1.5 Sum´

ario da disserta¸c˜

ao

Os resultados básicos em análise de sobrevivência que serão utilizados nessa disserta¸cão foram apresentados neste cap´ıtulo. O procedimento de inferência será apresentado no Cap´ıtulo 2, onde será descrito de uma forma geral a inferência Bayesiana, apresentando as defini¸cões básicas, os métodos com-putacionais bayesianos com ênfase aos métodos de amostragem de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC), uma apresenta¸cão breve sobre Mod-elos Dinâmicos, Estatistica Espacial e métodos de compara¸cão de modMod-elos.

No Cap´ıtulo 3 serão apresentados os procedimentos de inferência para os Modelos Estáticos de Sobrevivência, ou modelos de Regressão de Cox. O modelo em questão é modelo de Cox (1.12), que tem como quantidades

(20)

desconhecidas a fun¸cão de risco de base e os coeficientes de regressão. A fun¸cão de risco de base será abordada de três maneiras distintas, a primeira usando uma modelagem paramétrica, a segunda usando processos gama, in-troduzidos em análise de sobrevivência por Kalbfleish (1978) e, finalmente, usando processos correlacionados baseados em modelos dinâmicos, introduzi-dos em análise de sobrevivência por Gamerman (1991). Para os coeficientes de regressão será assumido uma distribui¸cão a priori. Essa metodologia será aplicada a dados simulados.

No Cap´ıtulo 4 serão apresentados os Modelos Estáticos de Fragilidade Espacial e será explicado como um efeito aleatório com uma estrutura es-pacial é incorporado aos Modelos Estáticos. A fun¸cão de risco de base e os coeficientes de regressão serão abordados de maneira equivalente à abor-dagem dos Modelos Estáticos com o acréscimo do termo da fragilidade. A Fragilidade Espacial será abordada usando processos Gaussianos usados em Geoestat´ıstica, onde será assumido alguma fun¸cão de correla¸cão espacial para explicar a rela¸cão de dependência espacial entre as observa¸cões. Para encer-rar o cap´ıtulo será feito um estudo simulado

No Cap´ıtulo 5, os Modelos Dinâmicos em Sobrevivência serão apre-sentados. Logo em seguida os Modelos Dinâmicos em Sobrevivência serão extendidos com a introdu¸cão de uma estrutura espacial, resultando nos Mo-delos Dinâmicos de Fragilidade Espacial. O procedimento de inferência será descrito, onde serão definidas distribui¸cão a priori para os parâmetros descon-hecidos. Um estudo simulado será desenvolvido para os Modelos Dinâmicos com e sem Fragilidade Espacial.

No Cap´ıtulo 6, as metodologias dos Cap´ıtulos 3, 4 e 5 ser˜ao aplicadas a dados reais. O primeiro conjunto de dados ´e um banco de dados de pessoas

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residentes no Noroeste da Inglaterra que sofrem de leucemia. Esse conjunto de dados foi utilizado no trabalho de Henderson et al. (2003), com dados cedidos pelo autor. O outro conjunto de dados contém o tempo médio no emprego em cada munic´ıpio do estado do Rio de Janeiro para os grandes se-tores de emprego definidos pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE). Estes dados foram cedidos pelo Ministério do Trabalho e Emprego (MTE).

No Cap´ıtulo 7, serão apresentadas as conclusões da disserta¸cão, uma breve discussão computacional e propostas para trabalhos futuros. E em seguida, no Apêndice serão apresentadas todas as distribui¸cões a posteriori omitidas na disserta¸cão.

(22)

Cap´ıtulo 2

Inferˆ

encia Bayesiana

Todos procedimentos de inferência que serão utilizados nessa disserta¸cão são completamente Bayesianos. Portanto, neste Cap´ıtulo serão descritos os con-ceitos necessários para se fazer inferência Bayesiana. Na Se¸cão 2.1 serão definidos a distribui¸cão a priori de alguma quantidade desconhecida e como se atualiza essa distribui¸cão, usando o Teorema de Bayes, a partir de um conjunto de dados observados relacionados com a quantidade desconhecida de interesse, para se obter a distribui¸cão a posteriori. Na Se¸cão 2.2 serão descritos métodos computacionais para o cálculo da distribui¸cão a posteri-ori, dando ênfase aos métodos de amostragem de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC). Outras técnicas que serão utilizadas nessa disserta¸cão serão apresentadas. Na Se¸cão 2.3 serão descritos de forma resumida os Mo-delos Dinâmicos, com uma ênfase nos moMo-delos dinâmicos de primeira ordem. Na Se¸cão 2.4 será feita uma introdu¸cão à Estat´ıstica Espacial descrevendo as três grandes subdivisões da Estat´ıstica Espacial: Geoestat´ıstica, Dados de

´

(23)

2.1 Conceitos B´

asicos

Um problema de inferência estat´ıstica é conhecer o comportamento de uma quantidade desconhecida, θ, que descreve o comportamento de uma determi-nada caracter´ıstica de uma certa popula¸cão. A quantidade θ assume valores em um conjunto denotado por Θ, conhecido por espa¸co paramétrico.

Seja H a informa¸cão inicial sobre o parâmetro de interesse. Essa informa¸cão será descrita em termos probabil´ısticos, podendo ser resumida através de p(θ|H). Se a informa¸cão contida em H é suficiente para descrever o comportamento de θ, isto é tudo que se precisa.

Mas na maioria das vezes a informa¸cão inicial H não é suficiente para descrever de forma razoável o comportamento do parâmetro. Portanto, é necessário obter mais informa¸cão sobre θ. O que se faz usualmente é a ex-perimenta¸cão, isto é, realiza-se um experimento com a popula¸cão de interesse, uma amostragem dessa popula¸cão. Observa-se quantidades aleatórias, deno-tadas por X, que dependem do parâmetro θ. Antes de observar os valores de

X deve-se conhecer a distribui¸c˜ao amostral de X dada por p(x|θ, H). Ap´os

observar o valor de X, a informa¸c˜ao sobre θ foi aumentada, ou seja, mudou de H para H∗ _{= H ∩ {X = x}.}

Agora a informa¸cão sobre θ é resumida por p(θ|x, H). Em termos pro-babil´ısticos essa passagem de p(θ|H) para p(θ|x, H) é feita através do Teo-rema de Bayes1_.

Teorema 2.1 (Teorema de Bayes) Seja p(θ|H) a distribui¸c˜ao inicial da

1_{O Teorema de Bayes foi introduzido pelo Reverendo Thomas Bayes em dois artigos} em 1793 e 1794, publicados ap´os sua morte, como mencionado em Barnett (1973).

(24)

quantidade desconhecida θ e p(x|θ, H) a distribui¸cão amostral de X dado θ. A distribui¸cão atualizada para θ é

Como a fun¸c˜ao do denominador do Teorema de Bayes n˜ao depende de

θ, ele pode ser reescrito como

p(θ|x) ∝ p(θ)p(x|θ).

Note que a informa¸cão inicial H foi omitida, mas apenas para simplificar a nota¸cão, pois é um fator comum em todos os termos. O Teorema de Bayes é uma regra de atualiza¸cão de probabilidades sobre θ, partindo de uma distribui¸c˜ao a priori p(θ) para a distribui¸cão a posteriori p(θ|x) usando a informa¸cão contida nos dados p(x|θ) conhecida por fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca.

Toda inferência será feita com base na distribui¸cão a posteriori, de onde obtém-se as estat´ısticas necessárias para resumir o comportamento de

θ. Dentre as principais estat´ısticas a posteriori pode-se citar: • a m´edia a posteriori, E(θ|x):

E(θ|x) = Z θ∈Θθp(θ|x)dθ • o quantil α a posteriori, Q(α): Q(α) = ( θ0 _{∈ Θ :} Z _θ0 −∞p(θ|x)dθ = α ) , α ∈ (0, 1);

(25)

• o intervalo 100(1 − α)% de credibilidade a posteriori, (L, U ): (L, U ) = ( (L0, U0) ⊂ Θ2 : Z _U0 L0 p(θ|x)dθ = 1 − α ) , α ∈ (0, 1);

se o intervalo é simétrico, então L = Q(α/2) e U = Q(1 − α/2).

Para mais detalhes sobre aspectos te´oricos envolvendo inferˆencia sob o ponto de vista Bayesiano podem ser consultados os livros de Migon e Gamer-man (1999) e O’Hagan (1994).

Muitas vezes a distribui¸cão a posteriori não tem forma fechada, pois a integral no denominador do Teorema de Bayes não possui solu¸cão anal´ıtica. Portanto, a distribui¸cão a posteriori tem que ser obtida através de métodos numéricos. Na próxima Se¸cão será apresentado um breve introdu¸cão aos métodos de simula¸cão de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC).

2.2 Monte Carlo via Cadeias de Markov

A difusão da aplica¸cão dos métodos Bayesianos esteve limitada até aos anos 90 pelo fato da distribui¸cão a posteriori em muitas situa¸cões práticas serem analiticamente intratáveis. Nas ultimas décadas vários métodos numéricos foram propostos visando ultrapassar essa limita¸cão, nomeadamente, os métodos baseados em aproxima¸cões assintóticas, aproxima¸cões de Laplace, aprox-ima¸cões via quadratura Gaussiana e métodos baseados em simula¸cão es-tocástica. Boas descri¸cões desses métodos podem ser encontradas em Tan-ner (1996) e Gamerman (1997). Mas a aplica¸cão dos médodos Bayesianos come¸cou realmente a se difundir após a introdu¸cão dos métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov, de onde destacam-se o amostrador de Gibbs e o algoritmo de Metropolis-Hastings.

(26)

2.2.1 Amostrador de Gibbs

Geman e Geman (1984) propuseram um esquema de amostragem uma dis-tribui¸cão2 _{explorando as distribui¸cões condicionais completas através de um}

algoritmo iterativo que define uma cadeia de Markov. Embora esse trabalho fosse de conhecimento de parte da comunidade cient´ıfica estat´ıstica, este ar-tigo foi destinado à área de processamentos de imagens e foi publicado em revista da área. Isso provavelmente levou ao atraso de sua apreensão e com-preesão pela comunidade como uma técnica poderosa de abordagem de pro-blemas dos mais variados de estat´ıstica Bayesiana. Esse erro de desenvolvi-mento foi reparado pelo trabalho de Gelfand e Smith (1990) que comparam o amostrador de Gibbs com outros esquemas de simula¸cão estocástica.

O amostrador de Gibbs, ( Geman e Geman, 1984), é essencialmente um esquema amostral de uma cadeia de Markov cujo núcleo de transi¸cão é formado pelas condicionais completas. Para descrever o algoritmo, suponha que a distribui¸cão de interesse é a distribui¸cão a posteriori p(θ|x) com θ = (θ1, . . . , θS) e considere também que todas as condicionais completas a

pos-teriori p(θi|, θ−i, x) i = 1, . . . , n estejam dispon´ıveis e que sabe-se gerar

amostras de cada uma delas. Portanto, o esquema de amostragem ´e dado por:

2_{A distribui¸cão que Geman e Geman estavam interessados chama-se distribui¸cão de} Gibbs, que dá nome ao amostrador, usada em Mecânica Estat´ıstica e tem a seguinte forma f (x1, . . . , xn) ∝ exp · − 1 kTE(x1, . . . , xn) ¸

onde k é uma constante positiva, T é a temperatura e E é a energia do sistema, fun¸cão positiva.

(27)

Amostrador de Gibbs I - Inicialize θ(0) _{= (θ}(0)

1 , . . . , θ(0)S ) e k = 1

II - Obtenha um novo valor para θ(k) _{a partir de θ}(k−1) _{atrav´es de}

sucessivas gera¸c˜oes de valores. Para i = 1 at´e S, fa¸ca: gere um valor para θ_i(k) de

θ_i(k)∼ p(θi|θ1(k), . . . , θ(k)i−1, θi+1(k−1), . . . , θ(k−1)S , x)

III - Fa¸ca k = k + 1 e volte para II e repita o procedimento at´e alcan¸car a convergˆencia.

A medida que o número de itera¸cões aumenta, a cadeia se aproxima da sua distribui¸cão de equil´ıbrio. Assim, assume-se que a convergência é atingida em uma itera¸cão cuja a distribui¸cão esteja próxima da distribui¸cão de equil´ıbrio, p(θ|x), e não no sentido formal e inating´ıvel do número de itera¸cões tendendo ao infinito.

2.2.2 Algoritmo de Metropolis-Hastings

O algoritmo de Metropolis foi apresentado inicialmente por Metropolis et

al. (1953) e generalizado por Hastings (1970) resultando no algoritmo de

Metropolis-Hastings. Esse método é usado geralmente quando é dif´ıcil gerar amostras da condicional completa a posteriori . Neste caso, gera-se valores do parâmetro a partir de uma distribui¸cão proposta e esse é aceito ou não com uma certa probabilidade de aceita¸cão.

(28)

distribui¸c˜ao a posteriori p(θ|x) com θ = (θ1, . . . , θS). Considere tamb´em que

todas as condicionais completas a posteriori p(θi|θ−i, x). i = 1, . . . , n estejam

dispon´ıveis mas não se sabe gerar amostras diretamente de cada uma e que amostras de um novo valor de θi serão geradas a partir de uma distribui¸cão

proposta condicional ao valor atual de θi, q(θ(p)i |θ(a)i ), onde θ(p)i ´e o valor

proposto e θ_i(a) ´e o valor atual3_{, para i = 1, . . . , n. Portanto o esquema de}

amostragem ´e dado por:

Algoritmo de Metropolis-Hastings I - Inicialize θ(0) _{= (θ}(0)

1 , . . . , θ(0)S ) e k = 1

II - Obtenha um novo valor para θ(k)_{a partir de θ}(k−1)_{atrav´es de}

sucessivas gera¸c˜oes de valores. Para i = 1 at´e S, fa¸ca: (i) Gere uma proposta para θ_i(k) de

θ(p)_i ∼ q(θi|θi(k−1))

(ii) Aceite a proposta com probabilidade de aceita¸c˜ao dada por α = min   1, p(θ(p)_i |θ_i(a), x)q(θ_i(k−1)|θ(p)_i ) p(θ_i(k−1)|θ(a)_i , x)q(θ(p)_i |θ_i(k−1))   

onde θ_−i(a)= (θ(k)₁ , . . . , θ_i−1(k), θ(k−1)_i+1 , . . . , θ_S(k−1)).

III - Fa¸ca k = k + 1 e volte para II e repita o procedimento at´e alcan¸car a convergˆencia.

O algoritmo de Metropois-Hastings ´e bastante geral, e pode, pelo menos

3_{Entenda por valor atual o valor de θ exatamente antes da proposta ser gerada, ou} seja, o valor atualizado da itera¸c˜ao anterior.

(29)

em princ´ıpio, ser implementado com qualquer distribui¸cão condicional com-pleta a posteriori e para qualquer proposta. Entretanto sob o ponto de vista prático, a escolha da proposta é crucial para o bom desenvolvimento do algoritmo, ou seja, para sua convergência para a distribui¸cão a posteriori. Algumas propostas mais comuns são:

Cadeias Sim´etricas:

Quando a distribui¸cão proposta é simétrica em torno da itera¸cão ante-rior, isto é, q(θ(p)_i |θ_i(k−1)) = q(θ_i(k−1)|θ(p)_i )

α = min   1, p(θ(p)_i |θ(a)_−i, x) p(θ(k−1)_i |θ(a)_−i, x)   

Dentre as cadeias sim´etricas destaca-se o passeio aleat´orio, θ(p)_i =

θ_i(k−1)+ e, onde e tem um distribui¸c˜ao sim´etrica em torno zero. Cadeias independentes

Quando a proposta n˜ao depende do passo anteriori, ou seja, q(θ(p)_i |θ_i(k−1)) =

q(θ(p)_i ), e a probabilidade de aceita¸c˜ao ´e dada por

α = min   1, p(θ(p)_i |θ_−i(a), x)q(θ_i(k−1)) p(θ(k−1)_i |θ_−i(a), x)q(θ_i(p))   

Um caso particular de cadeias independentes é quando a distribui¸cão proposta é a distribui¸cão a priori para θi, neste caso a probabilidade

de aceita¸cão é dado somente pela fun¸cão de verossimilhan¸ca, isto é,

α = min   1, p(x|θ(p)_i , θ_−i(a)) p(x|θ_i(k−1), θ(a)_−i)   

Um outro caso particular de cadeias independentes é quando a dis-tribui¸cão proposta é a própria condicional completa a posteriori, isto

(30)

´e, q(θ(p)_i ) = p(θ_i(p)|θ(a)_−i, x). Fazendo isto, a probabilidade de aceita¸c˜ao

é igual a um. Gerar da condicional completa e aceitar sempre em um algoritmo iterativo é a defini¸cão do amostrador de Gibbs, portanto o amostrador de Gibbs é um caso particular do algoritmo de Metropolis-Hastings.

Para maiores informa¸cões veja em Gilks et al. (1996), onde são apre-sentados conceitos e resultados com aplica¸cões dos métodos de simula¸cão de Monte Carlo via Cadeias de Markov em inferência Bayesiana e não-Bayesiana.

2.2.3 Verifica¸c˜

ao de Convergˆ

encia

Os método de MCMC são uma ótima ferramenta para resolu¸cão de muitos problemas práticos na análise Bayesiana. Porém, algumas questões rela-cionadas à convergência nestes métodos ainda merecem bastante pesquisa. Uma questão que pode surgir é “Quantas itera¸cões deve ter o processo de simula¸cão para garantir que a cadeia convergiu para o estado de equil´ıbrio?” A resposta definitiva para esta questão poderá nunca ser dada, visto que a distribui¸cão estacionária será na prática desconhecida, mas pode-se sempre avaliar a convergência das cadeias detectando problemas fora do per´ıodo de aquecimento4_{. Para eliminar uma poss´ıvel auto-correla¸cão das cadeias}

sele-ciona a partir do burn-in a cada k itera¸c˜oes, o tamanho de k ser´a chamado de lag.

Uma análise de convergência em métodos de simula¸cão pode ser feita preliminarmente analisando os gráficos ou medidas descritivas dos valores

4_{O per´ıodo de aquecimento limitado superiormente pelo burn-in, onde burn-in ´e a} itera¸c˜ao tal que acredita-se que a partir dela a cadeia convergiu.

(31)

simulados da quantidade de interesse, θ. Os gráficos mais frequentes são o gráfico de θ ao longo das itera¸cões e um gráfico da estimativa da distribui¸cão a posteriori de θ, por exemplo um histograma ou uma densidade kernel. As estat´ısticas usuais são a média, o desvio padrão e os quantis (2,5%; 50%; 97,5%).

Uma segunda fase de avalia¸cão de convergência em métodos de MCMC faz-se usando algumas técnicas de diagnóstico de convergência. As técnicas mais populares são: Geweke (1992) que usa resultados baseados em análise espectral, Heidelberger e Welch (1983) que também usa resultados baseados em análise espectral, Raftery e Lewis (1992) que permite calcular quantas itera¸cões são necessárias para uma cadeia atingir a distribui¸cão estacionária através da estima¸cão de quantis a posteriori com uma precisão previamente fixada e Gelman e Rubin (1992) que usa resultados baseados na análise de variância clássica para duas ou mais cadeias simuladas com valores inici-ais diferentes. Estes métodos e outros foram comparados no trabalho de Cowles e Carlin (1996), onde se chegou a conclusão de que não se pode afirmar qual deles é o mais eficiente. As técnicas de Geweke, Heidelberger-Welch, Raftery-Lewis, Gelman-Rubin e outras estão implementadas no pa-cote CODA ( Cowles et al., 1997) executável no freeware R.

2.3 Modelos Dinˆ

amicos

Nesta se¸cão será feita uma introdu¸cão aos modelos dinâmicos, uma ampla classe de modelos com parâmetros variando no tempo, adequados à mode-lagem de séries temporais e regressão.

(32)

Os modelos dinˆamicos foram apresentados por Harrison e Stevens (1976) e est˜ao bem estruturados em West e Harrison (1997).

Os modelos lineares dinâmicos são caracterizados por duas equa¸cões: a equa¸cão de observa¸cão dada por

Yt= Ftβt+ ²t, ²t∼ N(0, σt2) (2.1)

e pela equa¸c˜ao de sistema dada por:

βt= Gtβt−1+ ut, ut∼ N(0, Ut) (2.2)

onde no instante t, Yt denota a s´erie de observa¸c˜oes independentes

condi-cionalmente em θt e σ2t, Ft ´e um vetor de constantes conhecidas (vari´aveis

explicativas), βt = (β1t, . . . , βpt)T ´e um vetor-coluna com p coeficientes, Gt

é uma matriz de termos conhecidos que define a evolu¸cão sistemática dos parâmetros, ²t e ut são erros mutuamente independentes e, σ2t e Ut, as

variâncias dos erros associados à observa¸cão e ao vetor de parâmetros, res-pectivamente. O modelo é completado com a seguinte distribui¸cão a priori:

β1|D1 ∼ N(m1, C1), onde D0 ´e a informa¸c˜ao relevante a priori sobre β1.

Em resumo, um modelo linear dinâmico fica completamente especifi-cado pela quádrupla {Ft, Gt, σt2, Ut}. Note que os modelos de séries

tempo-rais s˜ao caracterizados por Ft = F e Gt = G, ∀t e os modelos est´aticos de

regress˜ao s˜ao caracterizados por Gt= Ip e Ut= 0.

Uma das principais caracter´ısticas de um modelo linear dinâmico é que a cada instante de tempo as informa¸cões existentes são descritas pela distribui¸cão a posteriori do vetor de estado βt. Em cada instante de tempo,

os seguintes passos são feitos: evolu¸cão, previsão e atualiza¸cão. No modelo

(33)

Evolu¸cão - De (2.1) tem-se que a distribui¸cão a priori em t é:

βt|Dt−1 ∼ N(at, Rt) (2.3)

onde at = Gtmt e Rt= GtCt−1GTt + Ut.

Previsão - De (2.3) chega-se que a distribui¸cão preditiva um passo a frente é:

yt|Dt−1 ∼ N(ft, Qt) (2.4)

onde ft= Ftat e Qt = FtRtFT + σt2.

Atualiza¸c˜ao - Usando a verossimilhan¸ca (2.1), a priori (2.3) e o Teorema de Bayes tem-se que

βt|Dt ∼ N(mt, Ct) (2.5)

onde

Dt = {yt, Dt−1},

mt = at+ RtFtT(Qt+ Vt)−1(yt− ft),

Ct = Rt− RtFtT(Qt+ Vt)−1FtRtT.

Suponha que sejam feitas S observa¸cões do experimento Y , isto é, Y = (Y1, . . . , YS). Suponha também o modelo {1, 1, σ2, U }, ou seja,

Yj = βj + ej, ej ∼ N(0, σ2), (2.6)

βj = βj−1+ uj, uj ∼ N(0, Uj), j = 2, . . . , S (2.7)

onde Uj = Ubj, bj ´e um valor conhecido e, completando o modelo β1 ∼

(34)

Desta forma a distribui¸cão conjunta a priori pra β = (β1, . . . , βp)T é dada por p(β) = p(β1) S Y i=2 p(βi|βi−1) ∝ exp ½ −1 2(β − m) T_{Λ(β − m)} ¾ (2.8) que é o núcleo da distribui¸cão normal multivariada, ou S-variada, com média

m e matriz de variˆancias Λ−1_{, denotada por}

β ∼ NS(m, Λ−1) (2.9) onde m = (m, . . . , m)T e (2.10) Λ =                  1 C + b11U − 1 b2U . . . 0 0 − 1 b2U 1 b2U + 1 b3U . . . 0 0 0 − 1 b3U . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 bS−1U + 1 bSU − 1 bSU 0 0 . . . − 1 bSU 1 bSU                  . (2.11)

2.4 Geoestat´ıstica

Com o crescimento das técnicas de georeferenciamento, os bancos de da-dos mais atuais contém entre outras informa¸cões a posi¸cão espacial das ob-serva¸cões. Esta posi¸cão espacial pode ser cont´ınua, com a posi¸cão exata de cada indiv´ıduo, onde se tem as suas coordenadas geográficas ou a posi¸cão espacial, determinada por alguma região que contenha esse indiv´ıduo, por exemplo bairro, mun´ıcipio, estado, etc. Esta informa¸cão espacial em

(35)

deter-minados estudos é relativamente barata de ser obtida. Por exemplo, em uma pequisa médica saber o endere¸co do paciente é bastante simples.

Dados com informa¸cão espacial vem sendo amplamente estudados em problemas de estat´ıstica aplicada (Cressie, 1993), pois em muitas situa¸cões a posi¸cão espacial pode influenciar o resultado do evento de interesse. Os mo-delos que incorporam alguma informa¸cão espacial visam explicar de alguma forma essa “influência” no resultado do evento de interesse. O conjunto de técnicas estat´ısticas para modelar dados com informa¸cão espacial é conhecido por Estat´ıstica Espacial.

A Estat´ıstica Espacial considera os valores amostrais como sendo real-iza¸cões de fun¸cões aleatórias com distribui¸cão no espa¸co e, nesse caso, o valor de um ponto é fun¸cão da sua posi¸cão na região de estudo. Outro fator que também é levado em considera¸cão na estat´ıstica espacial é a posi¸cão relativa dos pontos amostrados. Assim, a similaridade entre valores amostrais é quan-tificada em fun¸cão da distância entre amostras, representando tal rela¸cão o fundamento desse campo especial da estat´ıstica aplicada.

Segundo Cressie (1993), existem três grandes subdivisões da estat´ıstica espacial: Geoestat´ıstica, dados de área e padrão de pontos. Em Geoes-tat´ıstica se tem interesse em conhecer o comportamento de algum processo que varia continuamente na região de estudo. Nos Dados de Área, assim com em Geoestat´ıstica, se tem interesse em conhecer o comportamento de algum processo, mas os dados estão distribu´ıdos discretamente sob região de interesse, ou seja, os pontos observados pertencem a sub-regiões que estao contidas na região de interesse. E no Padrão de Pontos, diferente da duas abordagens anteriores, se tem interesse em conhecer a posi¸cão espacial na qual um evento irá ocorrer. Nessa disserta¸cão o interesse é em descrever

(36)

o comportamento de um processo que pode ocorrer em qualquer lugar no espa¸co. Portanto, será utilizado apenas técnicas de Geoestat´ıstica e Dados de Área, dando uma ênfase à primeira abordagem, pois esta abordagem será adotada na inferência para o termo de fragilidade espacial.

A idéia básica de Geoestat´ıstica é que observa¸cões próximas tem com-portamento similar e, à medida que a distância entre as observa¸cões aumenta, essa similaridade tende a diminuir. Os objetivos da análise de Geoestat´ıstica são: estima¸cão e previsão. A estima¸cão refere-se à inferência de parâmetros do processo gerador das observa¸cões. A previsão ou interpola¸cão refere-se a inferência em locais não-observados.

Defini¸c˜ao 2.1 (Processos Gaussianos) A fun¸c˜ao W (.) assumindo valores

w(s) para s ∈ D, segue um Processo Gaussiano com fun¸cão de média m(.) e fun¸cão de variância C(., .) denotado por

W (.) ∼ P G (m(.), C(., .)) .

Se para todo s1, s2, . . . , sn ∈ D e n = 1, 2, . . ., a distribui¸c˜ao conjunta de

W (s1), W (s2), . . . , W (sn) ´e normal multivariada com parˆametros dados por

E(W (si)) = m(si) e

Cov(W (si), W (sj)) = C(si, sj).

Seja W (.) um processo espacial Gaussiano estacion´ario isotr´opico5 _com

m´edia zero, mais podem ser encontrados em Cressie (1993), ou seja,

W (.) ∼ N(0, R(., .)) (2.12)

5_{Um processo é dito isotrópico quando a estrutura de correla¸cão depende apenas da} distância entre as observa¸cões e é a mesma em qualquer dire¸cão.

(37)

para s1, s2, . . . , sn ∈ D, R(si, sj) = σ2ρ(dij), onde ρ(dij) ´e a fun¸c˜ao de

cor-rela¸cão espacial e dij = ||si− sj|| é a distância entre si e sj, ∀i, j.

As principais fun¸cões de correla¸cão espacial usadas em Geoestat´ıstica são: Esférica, Gaussiana, exponencial, exponencial potência e a Matérn. A fun¸cão de correla¸cão esférica é dada por

ρ(d; φ) =      1 −3 2 ³ d φ ´ − 1 2 ³ d φ ´₃ 0 < d < φ 0 d > φ , φ > 0. (2.13)

Note que o parˆametro φ trunca a correla¸c˜ao espacial.

A fun¸cão de correla¸cão é Exponencial Potência é dada por

ρ(d; φ, κ) = exp ( − Ã d φ !_κ) , φ > 0, κ ∈ (0, 2]. (2.14) Essa fun¸cão é bastante popular pois ela tem como casos particulares as fun¸cão Exponencial, quando κ = 1, e Gaussiana, quando κ = 2.

A fun¸cão de correla¸cão Matérn é dada por

ρ(d; φ, κ) =n2κ−1_Γ(κ)o−1 Ã d φ !_κ Kκ Ã d φ ! , φ > 0, κ > 0, (2.15) onde Kκ(.) denota a fun¸c˜ao Bessel de terceiro tipo de ordem κ.

Seja W = (W (s1), W (s2), . . . , W (sn)) uma amostra de observa¸c˜oes de

um processo pertecente a uma regi˜ao D, onde si indica a posi¸c˜ao espacial

do indiv´ıduo i na regi˜ao D e W (si) o valor do processo observado para o

indiv´ıduo i, i = 1, . . . , n. Como a inferência para os parâmetros do processo será feita sob o ponto de vista Bayesiano, tem-se que:

W |Σ ∼ Nn(0, Σ) (2.16)

onde Σ = σ2_{R, R}

ij = ρ(dij; θ) i, j = 1, . . . , n e θ depende da fun¸c˜ao de

(38)

A distribui¸cão a posteriori dos parâmetros do processo gerador de W é obtida através do Teorema de Bayes combinando uma distribui¸cao a priori

p(σ2_{, θ) com a verossimilhan¸ca (2.16):} p(σ2, θ|W ) ∝ p(σ2, θ)(σ2)−n2 |R|− 1 2 × exp ½ − 1 2σ2W T_R−1_W ¾ (2.17) onde |A| é o determinante da matriz A e p(σ2_{, θ) é a distribui¸cão a priori dos}

parˆametros da estrutura espacial.

Prever valores não observados a partir dos dados observados é um dos objetivos da Geoestat´ıstica. Krige (1951) foi o pioneiro em previsão de valores distribu´ıdos no espa¸co. Portanto a técnica de prever valores não observados no espa¸co recebeu o nome de Krigagem. Sob o ponto de vista Bayesiano a Krigagem é feita a partir da distribui¸cão preditiva.

Seja W(obs) _{= (W (s}

1), . . . , W (sn) uma amostra observada no espa¸co e

W(prev) _{= (W (s}

n+1), . . . , W (sn+P) o conjunto de valores que se deseja prever.

Será assumido que W (.) segue um processo Gaussiano Estacionário Isotrópico com média 0. Logo o par (W(obs)_{, W}(prev)₎T _{tem distribui¸cão normal}

multi-variada com m´edia 0 e matriz de variancias Σ = σ2_{R, R}

ij = ρ(dij; θ), {i, j} = 1, . . . , n + P , com dij = ||si− sj||, ou seja,    W (obs) W(prev)   ∼ Nn+P       0 0   , σ2    R (obs) _R(obs),(prev) R(prev),(obs) _R(prev)   ,    (2.18) onde R(obs) _{= R} ij, {i, j} = 1, . . . , n, R(obs)(prev) = Rij, i = 1, . . . , n, j =

n + 1, . . . , n + P , R(prev)(obs) _{= [R}(obs)(prev)_]T _{e R}(prev) _{= R}

ij, {i, j} = n +

1, . . . , n + P .

Logo, usando uma propriedade da distribui¸cão normal multivariada a distribui¸cão condicional de W(prev)_{dado a amostra observada e os parâmetros}

(39)

da estrutura espacial (σ2_{, θ), ´e dada por} W(prev)_|W(obs) _{∼ N} P ³ µ(prev)|(obs)_{, Σ}(prev)|(obs)´ _(2.19) onde

µ(prev)|(obs) _{= R}(prev),(obs)_R(obs)−1_W(obs)

e

(40)

Cap´ıtulo 3

Modelos Est´

aticos de

Sobrevivˆ

encia

Neste Cap´ıtulo serão apresentados os procedimentos de inferência sob o ponto vista Bayesiano para o modelo de Cox. A fun¸cão risco do modelo de Cox se divide em um produto de outras duas fun¸cões, uma que depende apenas do tempo de falha, a fun¸cão de risco de base, e a outra fun¸cão que depende apenas das covariáveis, ou variáveis explicativas, isto é, variáveis que não dependem do tempo. Além disso, mais adiante serão apresentados mode-los de sobrevivência dinâmicos, onde o efeito das covariáveis pode variar no tempo. Portanto, o modelo de Cox será chamado de Modelo Estático de Sobrevivência por não ter coeficientes dependentes do tempo. Na Se¸cão 3.1 o Modelo Estático de Sobrevivência será formalmente apresentado, explici-tando suas quantidades desconhecidas: os coeficientes de regressão e a fun¸cão de risco de base. Serão descritos para este modelo, na Se¸cão 3.2, os proce-dimentos de inferência para os coeficientes de regressão, onde será assumida

(41)

uma distribui¸cão a priori. A fun¸cão de risco de base, por ser uma fun¸cão cont´ınua no tempo, não permite elicitar diretamente a distribui¸cão a priori. Desta forma, na Se¸cão 3.3, a fun¸cão de risco de base será abordada usando três formula¸cões distintas, a primeira usando uma modelagem paramétrica, a segunda usando processos Gama, introduzidos em análise de sobrevivência por Kalbfleish (1978) e, finalmente, usando processos correlacionados basea-dos em modelos dinâmicos, introduzibasea-dos em análise de sobrevivência por Gamerman (1991). Finalizando, na Se¸cão 3.4 será feito um estudo simulado para o Modelo Estático de Sobrevivência.

3.1 Defini¸c˜

ao do Modelo

O Modelo Estático de Sobrevivência, ou Modelo de Cox, vem sendo ampla-mente utilizado em estat´ıstica aplicada, principalampla-mente na área biomédica. Ele foi proposto por Cox (1972). Este modelo já foi apresentado anterior-mente e sua fun¸cão de risco é dada em (1.12), onde se tem interesse na fun¸cão de risco de base, h0, e nos coeficientes de regressão, β.

A distribui¸cão a posteriori para β e h0 é dada atráves da atualiza¸cão da

distribui¸c˜ao a priori via Teorema de Bayes com a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca (1.13): p(β, h0|[dados]) ∝ p(β, h0) n Y i=1 ³ h0(ti)eXiβ ´_δ_i expn−H0(ti)eXiβ o . (3.1)

Ser´a assumido que β e h0s˜ao independentes a priori. Portanto, p(β, h0) =

p(β)p(h0). Essas distribui¸c˜oes a priori ser˜ao exploradas a seguir. Outro

de-talhe importante, a distribui¸cão a posteriori (3.1) não possui forma anal´ıtica fechada portando um esquema de amostragem via MCMC será utilizado.

(42)

Nas próximas se¸cões será descrito como obter as condicionais completas a posteriori de β e h0.

3.2 Coeficientes de Regress˜

ao

Os coeficientes de regressão serão modelados com a suposi¸cão de que eles não dependam do tempo, esta é uma imposi¸cão do próprio modelo. A distribui¸cão a priori para os coeficientes de regressão é dada por

p(β) ∝ exp ½ −1 2(β − m) T_V−1_{(β − m)} ¾ (3.2) onde p(β) é o núcleo da fun¸cão de densidade da distribui¸cão Normal com média m e variância V . Os hiperparâmetros m e V são valores conhecidos que descrevem o conhecimento subjetivo que se tem a priori do comportamento dos coeficientes. Uma priori não informativa é dada quando aumenta-se as variâncias da priori indefinidamente.

A condicional completa dos coeficientes de regressão é obtida através da combina¸cão da priori (3.2) com a verossimilhan¸ca (1.10) usando o Teorema de Bayes p(β| · · ·) ∝ exp ½ −1 2(β − m) T_V−1_{(β − m)} ¾ × exp ( _n X i=1 h Xiβδi − H0(ti)eXiβ i) (3.3)

onde p(θ| · · ·) define a distribui¸c˜ao condicional completa a posteriori do parˆametro

θ.

Note que a distribui¸cão (3.3) não é uma distribui¸cão conhecida, isto é, não se sabe gerar amostras diretamente dela. Portanto, os coeficientes serão

(43)

gerados conjuntamente atrav´es do seguinte passeio aleat´orio como proposta

β(p) _{= β}(a)_{+ u,} _{u ∼ N(0, V}

β), (3.4)

onde β(p) _{´e o vetor de coeficientes propostos, β}(a) _{´e o vetor coeficientes da}

itera¸cão atual. O valor proposto será aceito ou não de acordo com a pro-babilidade de aceita¸cão dada pelo m´ınimo entre 1 e a razão das condicionais completas, (3.3), de β(p) _{e β}(a)_.

3.3 Fun¸c˜

ao de Risco de Base

Como a fun¸cão h0 é uma fun¸cão cont´ınua, não é poss´ıvel especificar uma

distribui¸cão diretamente para ela. Logo se faz necessário o uso de técnicas indiretas para estimar a fun¸cão de risco de base. Essas técnicas podem ser paramétricas que visam diminuir o número de parâmetros a ser estimados para que a fun¸cão de risco de base fique bem especificada ou não-paramétricas que visam dar mais flexibilidade ao modelo, sendo desnecessário supor a dis-tribui¸cão dos tempos de falha. Na abordagem paramétrica será utilizada a distribui¸cão Weibull, por ser simples e mais flex´ıvel que a distribui¸cão exponencial. A abordagem não-paramétrica é mais flex´ıvel que a abor-dagem paramétrica, consequentemente é mais robusta. Nessa aborabor-dagem serão utilizados os processos Gama com incrementos independentes. Uma terceira abordagem que é uma mistura entre as abordagens paramétrica e não-paramétrica, pois é especificada uma distribui¸cão Exponencial por Partes para o tempo de base, como na abordagem paramétrica. Por ser uma dis-tribui¸cão onde o número de parâmetros pode ser muito grande, essa aprox-ima¸cão para a fun¸cão de risco pode ser também considerada uma abordagem não-paramétrica.

(44)

Quando se usa uma modelagem não-paramétrica para a fun¸cão de risco de base e para os coeficientes de regressão uma modelagem paramétrica, o modelo é dito semi-paramétrico. Uma boa revisão de modelos semi-paramétricos para vários tipos de dados de sobrevivência pode ser encontrada em Sinha e Dey (1997).

3.3.1 Processos Param´

etricos

Os processos paramétricos são aqueles onde se conhece a distribui¸cão de base, ou seja, conhece-se a forma da fun¸cão de risco de base, esta depende de um conjunto finito de parâmetros que precisam ser estimados. Dentre as distribui¸cões usuais, tem-se a distribui¸cão exponencial cuja fun¸cão de risco é dada por

h(t) = λ, λ > 0. (3.5)

Note que a distribui¸cão exponencial tem fun¸cão de risco constante. É a fun¸cão mais simples em termos matemáticos, mas em contra-partida não se adequa bem a situa¸cões práticas.

Um distribui¸cão mais flex´ıvel que a distribui¸cão exponencial é a dis-tribui¸cão Weibull, proposta por Weibull (1951) em estudos de tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela tem a propriedade da fun¸cão de risco ser monótona, isto é, ela é crescente, decrescente ou constante. Logo a dis-tribui¸cão exponencial é um caso particular. A fun¸cão de risco da log-normal é dada por

h(t) = αλtα−1_, _{{α, λ} > 0.} _(3.6)

Se α = 1 tem-se a distribui¸c˜ao exponencial com parˆametro λ.

(45)

utilizada para descrever tempo de vida de produtos e indiv´ıduos. A fun¸cão de risco não tem forma anal´ıtica fechada, mas o comportamento da fun¸cão risco é que à medida que aumenta o tempo a fun¸cão de risco cresce, atinge um valor máximo e depois decresce.

Por ser mais flex´ıvel que a distribui¸cão exponencial e ter forma fechada, será assumido que o tempo de base segue uma distribui¸cão Weibull com parâmetros α e λ, forma e escala respectivamente. Vale lembrar que nada impede o uso de outras distribui¸cões como exponencial, log-normal ou qual-quer outra distribui¸cão paramétrica. Portanto, a fun¸cão de risco de base é dada por

h0(t) = αλtα−1, {α, λ} > 0. (3.7)

Substituindo (3.7) em (1.13) temos que

L(α, λ, β) = n Y i=1 ³ αλtα ieXiβ ´_δ_i expn−λtα ieXiβ o . (3.8)

Será assumido a priori que os parâmetros da distribui¸cão Weibull seguem a seguinte distribui¸cão

α ∼ Gama(aα, bα) (3.9)

λ ∼ Gama(aλ, bλ), (3.10)

onde X ∼ Gama(a, b), significa que X tem distribui¸c˜ao Gama com parˆametros

a > 0 e b > 0, tal que E(X) = a

b e V (X) = ba2 e o n´ucleo da fun¸c˜ao de

densi-dade é dado por p(x) ∝ xa−1_{exp{−bx}. Os hiperparâmetros da distribui¸cão}

a priori, (aα, bα, aλ, bλ), s˜ao escolhidos de acordo com o conhecimento que se

tem a priori sobre α e λ.

(46)

do Teorema de Bayes tem-se a seguinte condicional completa: p(α, λ| · · ·) ∝ αaα−1_e−bαα_λaλ−1_e−bλλ ∝ n Y i=1 (αλtα i) δi_expn_−λtα ieXiβ o . (3.11)

Desta forma, a condicional completa de λ ´e dada por

p(λ| · · ·) ∝ λaλ+ Pn i=1δi−1exp ( −λ Ã bλ+ n X i=1 tα ieXiβ !) ,

que é o núcleo da distribui¸cão Gama. A condicional completa de α é dada por p(α| · · ·) ∝ αaα−1_e−bαα n Y i=1 (αλtα_i)δi_expn_−λtα ieXiβ o . (3.12)

A distribui¸cão (3.12) não é uma distribui¸cão conhecida. Portanto, α será gerado da seguinte forma

log(α(p)_{) = log(α}(a)_{) + u,} _{u ∼ N(0, V}

α), (3.13)

onde a fun¸c˜ao de densidade de α(p) _{dado α}(a) _´e

p(α(p)|α(a)) ∝ exp ½ − 1 2Vα (α(p)− α(a))2 ¾ ₁ α(p).

O valor proposto para α ser´a aceito com probabilidade dada pelo m´ınimo entre 1 e p, onde p ´e dado por

p = p(α (p)_{| · · ·)p(α}(a)_|α(p)₎ p(α(a)_{| · · ·)p(α}(p)_|α(a)₎ = p(α (p)_{| · · ·)α}(a) p(α(a)_{| · · ·)α}(p). (3.14)

3.3.2 Processos Gama

Nesta se¸cão será apresentada uma aproxima¸cão não-paramétrica para a fun¸cão

(47)

e diz que a priori H0(t) ´e um processo que

E(H0(t)) = H∗(t), uma fun¸c˜ao positiva conhecida,

V (H0(t)) =

H∗_(t)

c ,

e os incrementos dH0(t) s˜ao independentes e seguem uma distribui¸c˜ao Gama

com parˆametros de forma e escala cdH∗_{(t) e c, respectivamente. Ou seja,}

dH0(t) ∼ Gama(cdH∗(t), c),

onde a fun¸c˜ao dH∗_{(t) e a constante c s˜ao escolhidos a priori descrevendo o}

conhecimento inicial do processo. Note que Menores valores de c maior a variabilidade do processo H0(t) a priori.

Teorema 3.1 Se dX(t) ∼ Gama(dQ(t), r), ∀t ∈ (a, b) ent˜ao

Z _b

a dX(t) ∼ Gama

ÃZ _b

a dQ(t), r

!

Prova: Usando a fun¸cão geradora de momentos e a suposi¸cão de que os incrementos são independentes tem-se que

MRb

adX(t)

(u) = Pt∈(a,b)MdX(t)(u)

onde P ´e denominado integral produto1 _{definido como limite de produtos}

finitos, analogamente ao usual operador R, que é definido como o limite de somas finitas. Como dX(t) tem distribui¸cão Gama então

MRb adX(t) (u) = Pt∈(a,b) µ _r r − u ¶_dQ(t) = µ _r r − u ¶Rb adQ(t)

1_{O uso do operador P foi introduzido em an´alise de sobrevivˆencia no trabalho de Gill} e Johansen (1990).

(48)

que é a fun¸cão geradora de momentos da distribui¸cão Gama com parâmetros

R_b

adQ(t) e r. 2

Portanto, o processo a priori para H0(t) ´e dado por

p(dH0(t)) ∝ dH0(t)cdH

∗_(t)−1

e−cdH0(t) _(3.15)

com dH0(t) e dH0(u) independentes ∀(t, u) > 0, com t 6= u.

Esse processo ´e conhecido por Processo Gama com incrementos inde-pendentes. Aqui ser´a chamado apenas por Processo Gama. Usando o fato que h0(ti) = dH_dt0(t)

¯ ¯ ¯

t=ti a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca (1.13) pode ser reescrita

por L(h0) ∝ n Y i=1 Ã dH0(ti) dt !_δ_i exp ½ − Z _t_i 0 dH0(u)e Xiβ ¾ . (3.16)

Note que os termos que dependem somente de β foram considerados con-stantes e omitidos. Combinando a priori (3.15) com a verossimilhan¸ca (3.16) tem-se que no instante de falha ti a condicional completa para dH0(ti), i =

1, . . . , n ´e p(dH0(ti)| · · ·) ∝ dH0(ti)cdH ∗_(t i)+δi−1 × exp   −dH0(ti)(c + X j∈R(ti) eXjβ₎    (3.17)

e para o instante t ∈ (ti−1, ti), i = 1, . . . , n a condicional completa de dH0(t)

´e p(dH0(t)| · · ·) ∝ dH0(t)cdH ∗_(t)−1 × exp   −dH0(t)(c + X j∈R(ti) eXjβ₎   . (3.18)

Note que (3.17) e (3.18) são o núcleo de duas distribui¸cões Gama com parâmetros (cdH∗_(t i) + δi, c + P j∈R(ti)e Xjβ) e (cdH∗(t), c +P j∈R(ti)e Xjβ),

(49)

respectivamente. Como (3.18) ´e valido para todo t no intervalo (ti−1, ti)

ent˜ao usando o Teorema 3.1 tem-se que

Z _t_i ti−1 dH0(t)| · · · ∼ Gama  _c Z _t_i ti−1 dH∗(t), c + X j∈R(ti) eXjβ   _(3.19)

onde R(t) é o conjunto de ´ındices das observa¸cões sob risco, ou seja, é o conjunto de ´ındices das observa¸cões que ainda não falharam ou não foram censuradas no instante de tempo t.

Note que a posteriori o processo que governa H0(t) n˜ao ´e mais cont´ınuo

como assumido a priori e os pontos de descontinuidade s˜ao os instantes de falha, ou seja, o processo a posteriori para H0(t) ´e um processo discreto com

probabilidade 1, com pontos de descontinuidade dados pelos instantes de falha. Essa observa¸c˜ao foi feita por Burridge (1981).

3.3.3 Processos Correlacionados

Esta especifica¸cão foi usada por Gamerman (1987) e aproxima a distribui¸cão dos tempos de falha usando a distribui¸cão exponencial por partes. Esta utiliza uma parti¸cão do eixo do tempo, ou seja, um conjunto pré-especificado de grupos de intervalos dados por

Ii =              [0, a1], i = 1, (ai−1, ai], i = 2, . . . , J (aJ, ∞), i = J + 1 (3.20)

com 0 < a1 < . . . < aJ < ∞, a seguinte fun¸c˜ao de risco