MAT TURMA 13 - Semana de novembro de 2020

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MAT2453 - TURMA 13 - Semana 09

25 de novembro de 2020

Prof. Jean Cerqueira Berni

∗

1 Integrais de Funções com Descontinuidades

Deﬁnição 1. Se a função f : [a, b] ⊆ R → R, um número ﬁnito de descontinuidades, por exemplo,

x₀,· · · , x_i,· · · , xn ∈ [a, b], então calculamos

R_b

a f(x)dx usando sua aditividade:

Z _b a f(x)dx= Z _x₁ a f(x)dx+ Z _x₂ x1 f(x)dx+· · · + Z _x_i xi−1 f(x)dx+· · · + Z _b xn f(x)dx

contanto que cada parcela do membro direito acima convergir. Se pelo menos uma das parcelas divergir, diremos queR_ab f(x)dx diverge.

Na ﬁgura a seguir, calcula-se a integral como segue:

Z _b a f (x)dx = Z _x₁ a f (x)dx+ Z _x₂ x1 f(x)dx+ Z _b x2 f (x)dx

x

y

a

x

₁

x

₂

_b

∗_{jeancb@ime.usp.br}

(2)

2 Integrais Impróprias

Seja f :[a,∞[→R uma função contínua, e considere a integral:

A(b) =

Z _b

a f(x)dx

Esta integral faz sentido sempre que b > a. A integral varia conforme b varia, e pelo

Teorema Fundamental do Cálculo, A é uma função contínua de b. Estudaremos o comporta-mento de A(b)conforme b tende ao inﬁnito.

Deﬁnição 2. Se o limite: lim b→∞ Z _b a f (x)dx

existir, ele é denominado a integral imprópria de f no intervalo[a,∞[, e é denotada por:

Z _∞

a f(x)dx. Assim, por deﬁnição, temos:

Z _∞

a f(x)dx :=blim→∞

Z _b

a f(x)dx

Neste caso, dizemos que a integral imprópriaR_a∞ f(x)dx existe ou converge. Se lim_b_→_∞R_ab f(x)dx não for um número real, dizemos que a integral não existe ou que diverge.

É simples compreender o signiﬁcado geométrico de uma integral imprópria no caso em que f(x)≥0: se a integralR_ab f(x)dx expressa a área da região delimitada pela curva y = f(x), o eixo Ox e as retas x = a e x=b.

Podemos, similarmente, deﬁnir as integrais impróprias:

Z _a −∞ f(x)dx =α→−lim∞ Z _a α f(x)dx e: Z _∞ −∞ f(x)dx = Z _c −∞ f(x)dx+ Z _∞ c f(x)dx

A igualdade acima deve ser interpretada como segue: “se cada parcela do membro direito da equação existir, então a integral à esquerda também existe (converge)”

(3)

a _b R_b a f(x)dx f(x) y x Exemplo 3. Calcular: Z _∞ 0 dx 1+x2 Solução: Temos: Z _dx 1+x2 =arctan(x) +C de modo que: Z _∞ 0 dx 1+x2 =_blim_→_∞arctan(x) b a = lim b→∞arctan(b) = π 2

x

y

1

2

(4)

Exemplo 4. Encontrar os valores de α para os quais a integral:

Z _∞

1

dx xα converge e os valores para os quais ela diverge.

Solução: Paraα 6=1 tem-se:

Z _b 1 dx xα = 1 1−αx 1−αb 1 = 1 1−α[b 1−α₋₁_]_, de modo que: Z _∞ 1 dx xα =blim→∞ 1 1−α[b 1−α₋₁_]_. Consequentemente, seα >1 tem-se: Z _∞ 1 dx xα = 1 α−1 e a integral converge. Se α <1, tem-seR₁∞ dx

xα =∞, e a integral diverge. Também, se α=1, temos:

Z _∞ 1 dx x =blim→∞ln(x) b 1 = lim b→∞ln(b) = ∞

Abaixo temos uma ilustração da forma do gráﬁco para os casos em que α =1, α >1 e

α <1

x

y

1

Exemplo 5. Calcular: _Z ∞ −∞ dx 1+x2

(5)

Solução: Escrevemos: Z _∞ −∞ dx 1+x2 = Z ₀ −∞ dx 1+x2 + Z _∞ 0 dx 1+x2

A segunda integral acima vale π₂, conforme já calculamos. Podemos calcular a primeira integral como segue:

Z _a −∞ dx 1+x2 =_α_→−lim_∞ Z _a α dx 1+x2 =_α_→−lim_∞arctan(x) a α = lim α→−∞(arctan(0)−arctan(α)) = π 2 Assim, Z _∞ −∞ dx 1+x2 = π 2 + π 2 =π

2.1 Integrais de Funções Ilimitadas em Intervalos Limitados

Considere as funções f(x) = √1

x e g(x) = 1

x. Podemos determinar a área compreendida entre o gráﬁco da função e o eixo Ox entre ε>0 e x =1, ou seja:

• Para f(x): Z ₁ ε 1 √ xdx =2· √ x 1 ε =2· (1−√ε) • Para g(x): Z ₁ ε dx x =ln|x| 1 ε =−ln|ε|

Pergunta: Será possível calcularmos:

Z ₁ 0 1 √ xdx e Z ₁ 0 1 xdx ? Observamos que:

(1) A função f não está deﬁnida para x = 0, mas para todo x > 0. Assim, é razoável deﬁnirmos: Z ₁ 0 1 √ xdx :=εlim→0+ Z ₁ ε 1 √ xdx=εlim→0+ 2· (1−√ε) =2

(6)

(2) No caso de g, procedendo como acabamos de fazer, teremos: Z ₁ 0 1 xdx =εlim→0+ Z ₁ ε 1 √ xdx=εlim→0+ (−ln|ε|) = ∞

Deﬁnição 6. Seja f :]a, b] →R uma função tal que lim_x_→_a₊ f(x) =±∞. A integral imprópria de

f no intervalo[a, b]é o limite:

Z _b

a f(x)dx =εlim→a+

Z _b

ε f(x)dx

Se o limite existir e for ﬁnito, diremos que a integral imprópria converge. Caso contrário, a integral diverge.

Se a função f : I = [a, b] ⊆ R → R, onde I é um intervalo, tem um número ﬁnito de

pontos, digamos x0,· · · , xn ∈ I tais que: lim

x→xi± f(x) = ±∞ calculamos R_ab f(x)dx como segue:

Z _b a f(x)dx= Z _x₁ a f(x)dx+ Z _x₂ x1 f(x)dx+· · · + Z _x_i x_i−1 f(x)dx+· · · + Z _b xn f(x)dx

contanto que cada parcela do membro direito acima convergir. Se pelo menos uma das par-celas divergir, diremos que R_ab f(x)dx diverge.

Exemplo 7. Determinar se a integral:

Z ₁

−1

1 x2

converge ou diverge.

Solução: Como a função f(x) = 1

x2 é tal que:

lim x→0

1

x2 =∞,

devemos representar a integral como:

Z ₁ −1 dx x2 = Z ₀ −1 dx x2 + Z ₁ 0 dx x2 Sabemos que: Z ₀ −1 dx x2 =_εlim_→₀₋ Z _ε −1 dx x2 =_εlim_→₀₋ 1 x ε 1 =− lim ε→0− 1 ε − 1 −1 =∞

(7)

3 Comprimento de Curvas

Nosso objetivo, nesta seção, é justificar a razoabilidade da definição de uma fórmula para calcular comprimento de curvas que são gráficos de funções definidas em intervalos fechados e limitados que sejam contínuas e deriváveis.

Considere que uma curva C seja o gráﬁco de um função f : [a, b] →R, ou seja:

C=Graf(f) ={(x, f(x))∈ Rn | x ∈ [a, b]}. Em seguida, tomamos uma partição do intervalo [a, b], digamos:

P[a,b] ={a= x0, x1,· · · , xi−1, xi,· · · , xn−1, xn =b}, e podemos aproximar o gráﬁco de f por uma curva poligonal:

a

=

x

0

x

1

x

i−1

x

i

x

n−1

b

=

x

n

y

=

f

(

x

)

x

y

A partiçãoP[a,b] determina um conjunto de pontos do gráﬁco:

{(a, f(a)),(x₁, f(x₁)),(x₂, f(x₂)),· · · ,(x_i, f(x_i)),(x_i+1, f(xi+1)),· · · ,(xn−1, f(xn−1)),(b, f(b))}

Para cada i∈ {1,· · · , i−1, i,· · · , n−1, n}, temos o segmento de reta que une(x_i₋₁, f(x_i₋₁))

a (x_i, f(x_i)), cujo comprimentoℓ_i pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras:

x_i₋₁ x_i

f(xi)

ℓ_i

|f(x_i)− f(x_i₋₁)|

(8)

ℓ_i =

q ∆x2

i + [f(xi)− f(xi−1)]2

Assim, o comprimento deℓ_i é dado por:

ℓ_i =

q

(x_i−x_i₋₁)2_{+ (}_f₍_x

i)− f(xi−1))2

e o comprimento da curva C é aproximadamente igual a:

ℓ(C) ≈ n

∑

i=1 ℓ_i = n

∑

i=1 q (x_i−x_i₋₁)2_{+ (}_f₍_x i)− f(xi−1))2 = = n

∑

i=1 v u u t₍_x i−xi−1)2· " 1+ f(x_i)− f(x_i₋₁) x_i−x_i₋₁ 2# = n

∑

i=1 s 1+ f(x_i+1)− f(xi) ∆xi 2 ·∆xi, que é uma soma de Riemann. Note que limn→∞∆xi =0, de modo que é razoável deﬁnirmos o comprimento da curva como:

ℓ(f) = lim n→∞ n

∑

i=1 s 1+ f(x_i+1)− f(xi) ∆xi ₂ ·∆xi = Z _b a q 1+ f0(x)2_dx

Definição 8. Seja C o gráfico de uma função f : [a, b] → R, contínuaem[a, b] e derivável em ]a, b[. O comprimento da curva, que denotamos por ℓ(C) é definido como:

ℓ(C) =

Z _b

a q

1+ [f0(x)]2_dx

Exemplo 9. Calcular o comprimento da curva y = x₂2, 0≤x ≤1.

Solução: Tem-se f0(x) = x, logo:

L(f) = Z ₁ 0 p 1+x2_dx x=tan(u) ↑ = Z π 4 0 q 1+tan2₍_u₎_·_sec2₍_u₎_du ₌Z π 4 0 sec 3₍_u₎_du Como: Z sec3(u)du = 1 2sec(u)·tan(u) + 1 2ln|sec(u) +tan(u)| +C, resulta que: Z ₁ 0 √ 1x2_dx₌ Z π 4 0 sec 3₍_u₎_du ₌ 1 2 h_√ 2+ln(1+√2) i .

(9)

Exemplo 10. Calcular o comprimento do arco da curva C dada por y = x32 −4 entre os pontos A = (1,−3)e B = (4, 4). Solução: Temos f0(x) = 3 2x 1 2, de modo que: ℓ(C) = Z ₄ 1 s 1+ 3 2x 1 2 ₂ dx= Z ₄ 1 r 1+9 4xdx = 4 9· 1+9 4x 3 2 3 2 4 1 = = 8 2710 3 2 − 8 27 13 4 3 2 = 80 √ 10−13√13 27 .

3.1 Comprimento de Arco de Uma Curva Parametrizada

Por uma curva em R2 entendemos uma função que, a cada t pertencente a um intervalo I associa um ponto (x(t), y(t)) ∈ R2, onde t 7→ x(t), t 7→ y(t) são funções deﬁnidas em I. Dizemos, então, que:

γ : [a, b] → R2

t 7→ (x(t), y(t))

é uma parametrização da curva.

Por abuso de linguagem, vamos nos referir ao lugar geométrico descrito pelo ponto

(x(t), y(t))conforme t percorre o intervalo I como a curva de parametrização γ.

Exemplo 11. Desenhar a curva dada pela parametrização:

γ : R → R

t 7→ (t, 3t)

Solução: x = t, y = 3t ⇒ y = 3x. Conforme t percorre R, o ponto (t, 3t) descreve a reta y =3x.

(10)

x

y

−

3 −

2 −

1

2

3 −

2 −

1

2

3

γ(t) = (t, 3t)

Exemplo 12. Desenhar a curva dada pela parametrização:

γ : R → R

t 7→ (t, t2)

Solução: x = t, y = t2 ⇒ y = x2. Conforme t percorre R, o ponto (t, t2) descreve a parábola y =x2.

x

y

−

3 −

2 −

1

2

3

1

2

3

4

γ(t) = (t, t2₎

(11)

Exemplo 13. Desenhar a curva dada pela parametrização: γ : R → R t 7→ (2 cos(t), sin(t)) Solução: ( x=2 cos(t) y =sin(t) ⇐⇒ ( x 2 =cos(t) y=sin(t) ⇒ x2 4 +y 2 ₌₁

Assim, para cada t ∈ [0, 2π], o ponto (2 cos(t), sin(t)) pertence à elipse x

2

4 +y

2 ₌ _{1. Por}

outro lado, para cada (x, y) na elipse existe t ∈ [0, 2π] tal que: (

x =2 cos(t)

y =sin(t)

Assim, quando t percorre o intervalo [0, 2π], o ponto (2 cos(t), sin(t)) descreve a elipse (veja https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#/media/File:Parametric_ellipse.gif).

x

y

−

3 −

2 −

1

2

3 −

2 −

1

2

γ

(

t

) = (

2 cos

(

t

)

, sin

(

t

))

Exemplo 14. A curva plana C descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta é chamada ciclóide. Suponhamos que a circunferência tenha raio a e o eixo x seja a reta ﬁxa sobre a qual gira a circunferência. Consideremos o ponto P = (x, y) na origem quando o centro da circunferência está em(0, a). A ﬁgura abaixo mostra a circunferência depois de o ponto P ter girado um ângulo de θ radianos.

(12)

y x x a aθ y _θ (πa, 2a) x=a(_θ−sinθ) y=a(1−cosθ) 2πa

Note que após a circunferência girar emθ radianos, x terá o comprimento dado por: x =x(θ) = a·θ−a·sin(θ)

enquanto que:

y =y(θ) =a−a·cos(θ)

Desta forma, a ciclóide é parametrizada por:

γ : [0, 2π] → R2

θ 7→ (a· (θ−sin(θ)), a· (1−cos(θ)))

Nosso objetivo agora é estabelecer a fórmula para o cálculo do comprimento de uma curva dada por sua fórmula paramétrica. A fórmula será estabelecida a partir de considerações geométricas.

Suponhamos que s = s(t), t ∈ [a, b], seja o comprimento do trecho da curva de extremi-dades A = (x(a), y(a)) e P(t) = (x(t), y(t)), em que x = x(t) e y = y(t) são funções com derivadas contínuas. Sejam ∆x, ∆y e ∆z as variações em x, y e s correspondentes à variação ∆t em t, com ∆t >0. Para∆t suﬁcientemente pequeno, temos:

∆s2 ₌_∆x2₊_∆y2 ∆s= q ∆x2₊_∆y2 ₌ s ∆x ∆t 2 + ∆y ∆t 2 ·∆t

Deﬁnimos, portanto, o comprimento da curva dada porγ(t) = (x(t), y(t)), t∈ [a, b]como:

Z _b a s dx dt 2 + dy dt 2 dt

(13)

Solução: Uma parametrização para a circunferência de raio R e com centro na origem é: γ(t) = (R·cos(t), R·sin(t)), t∈ [0, 2π] Temos: dx dt =−R·sin(t) e dy dt = R·cos(t) Assim, segue que o comprimento da circunferência de raio R é:

Z ₂_π 0 s dx dt ₂ + dy dt ₂ dt = Z ₂_π 0 q (−R·sin(t))2+ (R·cos(t))2dt = R· Z ₂_π 0 dt =2·π·R

Exemplo 16. Calcular o comprimento da cicloide parametrizada por:

γ(t) = (a· (t−sin(t)), a· (1−cos(t))), t∈ [0, 2π]

Solução: Temos, neste caso: ( x(t) = a· (t−sin(t)) y(t) = a· (1−cos(t)) e portanto: ( x0(t) = a−a·cos(t) y0(t) = a·sin(t)

Assim, o comprimento da cicloide é:

Z ₂_π 0 q (a−a·cos(t))2_{+ (}_a·_sin₍_t₎₎2_dt ₌ Z ₂_π 0 q

a2−_2a2_cos₍_t_{) +}_a2·_cos2₍_t_{) +}_a2·_sin2₍_t₎_dt ₌

= Z q 2a2−_2a2_cos2₍_t₎_dt ₌√₂·_a Z ₂_π 0 q 1−cos(t)dt

Recorde que 1−cos(2θ) =2·sin2(θ), de modo que tomando θ = ₂t teremos: 1−cos(t) =2 sin2 t 2 e assim: q 1−cos(t) = s 2 sin2 t 2 =√2·sin t 2

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Logo, Z ₂_π 0 q (a−a·cos(t))2_{+ (}_a·_sin₍_t₎₎2_dt ₌√₂·_a Z ₂_π 0 √ 2 sin t 2 dt =2a Z ₂_π 0 sin t 2 dt =8a

4 Cálculo do Volume de Sólidos de Revolução

4.1 Obtidos por rotação em torno do eixo

Ox

Suponha f(x) ≥ 0 contínua em [a, b], com a > 0. Sejam A o conjunto de todos os pontos do plano,(x, y)tais que a ≤x ≤b e 0≤y ≤ f(x), ou seja:

A={(x, y) ∈ R2 | (a≤x ≤b)&(0≤y≤ f(x))}

Seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo Ox do conjunto A. Nosso objetivo nesta seção é mostrar que é razoável tomarmos, como volume de B, o número:

V =2π

Z _b

a x· f(x)dx

SejaP[a,b] ={a= x0 <x1 <· · · <xi−1 <xi < · · · <xn = b} uma partição de [a, b], e seja ξi ∈ [xi−1, xi] qualquer. Denotemos por Ri o retângulo dado por:

R_i ={(x, y) ∈ R2 | (x_i ≤x ≤x_i+1)&(0≤y ≤ f(ξi))} y = f (x) ∆xi f (ξi) x y a _b

O elemento de volume será o disco cilíndrico de volume:

(15)

Como a área da base do disco é π· (f(ξ_i))2, segue que: ∆Vi =π· [f(ξi)]2·∆xi

A soma dos volumes dos n cilindros, que representamos por Vn, é dada por:

Vn =π[f(ξ1)]2∆x1+π[f(ξ2)]2∆x2+· · · +π[f(ξn)]2∆xn =π· n

∑

i=1

[f(ξ_i)]2∆x_i

e nos dá uma aproximação do volume do sólido.

Podemos observar que, à medida que n cresce muito e cada ∆xi (i ∈ {1,· · · , n}) se torna muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que, intuitivamente, entendemos como o volume do sólido de revolução.

0 1 2 0 −1 −2 1 2 0 1 2 0 −1 −2 1 2 0 1 2 0 −1 −2 1 2 0 1 2 0 −1 −2 1 2 0 1 2 0 −1 −2 1 2 0 1 2 0 −1 −2 1 2

(16)

Desta forma, o volume do sólido de revolução poderá ser calculado por: V = lim n→∞ n

∑

i=1 π· [f(ξ_i)]2·∆x_i = Z _b a π· f(x) 2_dx

Exemplo 17. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos xx, da região do gráﬁco da função y =sin(x) e o eixo dos xx, de−π/2 até 3π/2.

−π

2 3₂π

x y

Solução: Aplicando a fórmula que deduzimos, temos:

V =π· Z ₃_π/2 −π/2(sin(x)) 2_dx ₌_πZ 3π/2 −π/2 1 2− cos(2x) 2 dx== π 1 2x− 1 4sin(2x) 3π/2 π/2 = =π· 1 2· 3π 2 − 1 4·sin 2· 3π 2 +1 2 · π 2 + 1 4 ·sin 2· −π 2 = =π· 3π 4 −0+ π 4 +0 =π2

Exemplo 18. A região R, limitada pela curva y= 1₄x2 e o eixo dos xx e as retas x =1 e x = 4, gira em torno do eixo dos xx. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.

(17)

1 4 x y

f(x) = 1

4x

2

Solução: Aplicando a fórmula deduzida, temos:

V =π Z ₄ 1 1 4x 2 ₂ dx = π 16· x5 5 4 1 = π 80[4 5₋₁5_{] =} 1023 80 π

4.1.1 Região delimitada por duas funções

Supondo f , g : [a, b]→R contínuas e tais que:

(∀x ∈ [a, b])(g(x)≤ f(x))

o volume do sólido T, gerado pela rotação da região:

R={(x, y)∈ R2 | (a≤x ≤b)&(g(x) ≤y≤ f(x))}

em torno do eixo dos xx é dado por:

V =π·

Z _b

a ([f(x)]

2_{− [}_g₍_x_)]2₎_dx

Exemplo 19. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos xx, da região limitada pela parábola y = 1

4(13−x

2₎_{e pela reta y}₌ 1

2(x+5).

(18)

−√13−3 1 √13 x y g(x) = 1 2(x+5) f(x) = 1 4(13−x 2₎

Notamos, então, que a região é limitada por cima pela parábola e por baixo pela reta, de modo que f(x) = 1

4(136−x

2₎_{e g}₍_x_{) =} 1

2(x+5). Aplicando a fórmula acima, obtemos:

V =π Z ₁ −3 ( 1 4(13−x 2₎ ₂ − 1 2(x+5) ₂) dx = =π· Z ₁ −3 1 16(169−26x 2₊_x4₎₋1 4(x 2₊_10x₊₂₅₎ dx= π 16 Z ₁ −3 (69−40x−30x2+x4)dx= = π 16 69x−20x2−10x3+ x 5 5 1 −3 = π 16 69−20−10+1 5+207−180+270+ 243 5 = = 1924 80 π

4.2 Obtidos por rotação em torno do eixo

Oy

Neste caso, devemos ter dada uma função x = g(y), para y em certo intervalo[c, d], g contínua. Neste caso, teremos:

V =π

Z _d

c

(19)

x =g(y) ∆yi g(ξi) x y c d

Exemplo 20. A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo Oy e pela reta y = 8 gira em torno do eixo dos yy. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.

Solução: Neste caso podemos escrever:

x=√3 _y

de modo que o volume é:

V =π· Z ₈ 0 [ 3 √ y]2dy =π·3 5 ·y 5 3 8 0 = 3π 5 8 5 3 ₌ 96π 5