Dicionários: B-Trees

(1)

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Dicionários: B-Trees

Estruturas de Dados

2003/04

Aula teórica de 2003.11.12 (T9)

©2003 Salvador Abreu

(2)

Motivação

●

Grandes quantidades de informação

– Requer armazenamento externo (disco)Requer armazenamento externo (disco) – Acesso a disco lento (várias ordens de Acesso a disco lento (várias ordens de

grandeza pior que memória) grandeza pior que memória)

– Procurar organização que minimize acessos _{Procurar organização que minimize acessos} a disco talvez desprezando quantidade de a disco talvez desprezando quantidade de processamento?

processamento?

●

Organização em árvore

– Árvore de grau KÁrvore de grau K

(3)

Exemplo

●

Registo Civil

– Bilhetes de IdentidadeBilhetes de Identidade

– Cerca de 10.000.000 registos diferentesCerca de 10.000.000 registos diferentes – Cada registo:Cada registo:

● Nomes (próprio, pai, mãe): 128 bytes cadaNomes (próprio, pai, mãe): 128 bytes cada

● Datas, locais, etc.: 128 bytesDatas, locais, etc.: 128 bytes

● => Total => Total 1K byte por registo1K byte por registo

●

Servidor

– 1 IPC @ 2GHz, 1000 APS1 IPC @ 2GHz, 1000 APS

– 100 utilizadores simultâneos100 utilizadores simultâneos

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Exemplo: árvore binária

●

Supondo AVL (ou outra binária

equilibrada)

– Profundidade: logProfundidade: log₂₂(10(1077) ~ ) ~ 2727

– Pesquisa feita em média em 27 acesso, a 10 Pesquisa feita em média em 27 acesso, a 10 APS = 2.7s

APS = 2.7s

●

Se variarmos o grau (N) da árvore

– N=5N=5: P=log: P=log₅₅(10(1077) ~ ) ~ 1111; GD = ; GD = 60%60% – N=10N=10: P=log: P=log₁₀₁₀(10(1077) ~ 7) ~ 7; GD = 75%; GD = 75%

(5)

Exemplo

●

Grau suficientemente alto:

– Limite superior sobre o número de acessos a disco: Limite superior sobre o número de acessos a disco: objectivo valor pequeno (3-5 acessos.)

objectivo valor pequeno (3-5 acessos.)

●

Resta saber como fazer...

– Ideia geral: árvore N-ária.Ideia geral: árvore N-ária.

– Cada nó contém K=O(N) chaves.Cada nó contém K=O(N) chaves.

– Busca envolve fazer uma pesquisa (p/ex binária) Busca envolve fazer uma pesquisa (p/ex binária) sobre cada nó.

sobre cada nó.

(6)

B-Tree: Esquema

k₁ k₂ k₃ k_i <k₁ k₁<k<k₂ k>k_i

(7)

O que são: B-Trees

●

Definição (“Propriedade BT”):

– B-Tree de ordem MB-Tree de ordem M

● Nós interiores:Nós interiores:

– Entre ceil(M/2) e M filhos_{Entre ceil(M/2) e M filhos}

– Se tiver N<=M filhos, terá exactamente N-1 chaves_{Se tiver N<=M filhos, terá exactamente N-1 chaves}

● Folhas: todas à mesma profundidadeFolhas: todas à mesma profundidade

– Por construção_{Por construção}

– _{Têm entre 1 e M-1 chaves}_{Têm entre 1 e M-1 chaves}

● Raíz: folha ou tem no máximo M filhosRaíz: folha ou tem no máximo M filhos

– Nós interiores:_{Nós interiores:}

● Referências aos filhos (F[i], i=1..M)Referências aos filhos (F[i], i=1..M)

● Chaves contidas (K[i], i=1..M-1)Chaves contidas (K[i], i=1..M-1)

– FolhasFolhas

(8)

Exemplos simples

●

Ex: B-tree de ordem 3, tb designada por árvore

2-3

– 3: grau máximo dos nós3: grau máximo dos nós

– 2: número máximo de chaves nos nós2: número máximo de chaves nos nós

(9)

B-Tree: Exemplo

15 0 7, 8 12, 13 17, 18 2, 5 10 3

(10)

B-Tree: Pesquisa

●

Simples, semelhante a pesquisa binária

– em cada nó interiorem cada nó interior

● Se X=K[i], encontramosSe X=K[i], encontramos

● Se K[i-1]<X<K[i], procurar no filho F[i]Se K[i-1]<X<K[i], procurar no filho F[i]

– nas folhas_{nas folhas}

(11)

B-Tree: Inserção

●

Inicialmente igual à pesquisa, obtemos a

folha onde seria para inserir

– Forçosamente numa folhaForçosamente numa folha

●

Caso não haja violação da propriedade

BT (i.e. há menos que M valores na

folha):

– Inserimos e pronto.Inserimos e pronto.

– Possivelmente há que ajustar os valores de Possivelmente há que ajustar os valores de mj nos no caminho até à folha

mj nos no caminho até à folha

●

Caso não caiba: temos de repor a

"legalidade"...

(12)

B-Tree: Re-equilibrar (insersão)

●

Dá-se mais um irmão à folha onde se iria

inserir:

● Transita-se uma chave Km (mediana) da antiga folha Transita-se uma chave Km (mediana) da antiga folha

(aumentada com a chave a inserir) para o pai (aumentada com a chave a inserir) para o pai

● Divide-se os valores (<Km, >Km) entre as novas folhasDivide-se os valores (<Km, >Km) entre as novas folhas

●

Caso não seja possível (pai já tem M filhos)

– Dividir o pai em dois:Dividir o pai em dois:

● cada um com a metade dos filhos (que ficam na mesma)cada um com a metade dos filhos (que ficam na mesma)

● Transitando uma chave (mediana) do antigo pai para o Transitando uma chave (mediana) do antigo pai para o

avô avô

●

Caso não seja possível, repetir operação ao

nível do avô, etc... até à raíz

(13)

B-Tree: Re-equilibrar (insersão)

●

Chegando à raíz, e esta estando cheia…

– Cria-se uma Cria-se uma nova raíznova raíz..

● Com a mediana (Km) da antigaCom a mediana (Km) da antiga

– Parte-se a antiga raíz em dois_{Parte-se a antiga raíz em dois}

● Dividindo os valores da raíz anterior (<Km, >Km)Dividindo os valores da raíz anterior (<Km, >Km)

●

Mantém-se os filhos e fica-se com uma árvore

mais profunda

(14)

B-Tree: Exemplo (1)

●

Inserção dos inteiros

0, 5, 10, 15, 2, 7, 12, 17, 3, 8, 13, 18 0, 5, 10, 15, 2, 7, 12, 17, 3, 8, 13, 18 0 0,5 0,5,10 5 0 10 5 0 10, 15 5 0, 2 10, 15 5 0, 2 7, 10, 15 5, 10 0, 2 7 15

(15)

B-Tree: Exemplo (2)

5, 10 0, 2 7 12, 15 5, 10 0, 2 7 12, 15, 17 5, 10, 15 0, 2 7 12 17 15 5 10

(16)

B-Tree: Exemplo (3)

15 0 7, 8 12, 13 17, 18 2, 5 10 3

(17)

B-Tree: remoção

• Semelhante à inserção

Semelhante à inserção

• Se número de elementos da folha resultante

Se número de elementos da folha resultante

>1, não precisa fazer mais nada.

• Se número de elementos da folha = 1

Se número de elementos da folha = 1

– Combinar elemento restante com um irmãoCombinar elemento restante com um irmão

– Se passou a ser filho único, repetir operação ao Se passou a ser filho único, repetir operação ao nível superior

nível superior

– Se se chegar à raíz, toma-se como nova raíz o seu Se se chegar à raíz, toma-se como nova raíz o seu filho único

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B-Tree: análise

• Profundidade máx. duma B-Tree de ordem M

Profundidade máx. duma B-Tree de ordem M

– ceil(logceil(log_floor(M/2)_floor(M/2) N) N)

• Pesquisa

Pesquisa

– Em cada nó, fazemos O(log M) trabalho para Em cada nó, fazemos O(log M) trabalho para

determinar por onde vamos (c/ pesquisa binária) determinar por onde vamos (c/ pesquisa binária)

– pior caso: O(log N)pior caso: O(log N)

• Inserção e remoção

Inserção e remoção

– Como pesquisa, mas podemos ter de fazer O(M) Como pesquisa, mas podemos ter de fazer O(M) para repor as condições

para repor as condições

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B-Tree: usos

• Uso principal: Bases de dados

Uso principal: Bases de dados

– Árvore mantida em disco, não em memóriaÁrvore mantida em disco, não em memória

– Número de acessos a nós = número de acessos a Número de acessos a nós = número de acessos a disco

disco

• Operação sempre muito lentaOperação sempre muito lenta

• Convem que sejam poucos (e grandes)Convem que sejam poucos (e grandes)

• O(logO(log_M_M N) N)

– Na prática, usam-se valores de M que:Na prática, usam-se valores de M que:

• sejam “grandes”sejam “grandes”

• permitam que um nó inteiro caiba num permitam que um nó inteiro caiba num blocobloco de disco de disco (p/ex uma página de VM, tipicamente 8K)

(p/ex uma página de VM, tipicamente 8K)