Modelo de Rede para Otimizar a Relação
Conflitante Tempo-Custo em Gerenciamento de
Projetos
Lidio Mauro Lima de CamposUniversidade Federal do Pará Faculdade de Sistemas de Informação
Castanhal, Pará, Brasil lidio@ufpa.br
Alberto Sampaio Lima Universidade Federal do Ceará
Fortaleza, Ceará, Brasil albertosampaio@ufc.br
Resumo: Neste trabalho apresentamos um modelo baseado em Programação Linear para resolver o problema da relação conflitante tempo-custo em gerenciamento de projetos. No problema, pelo fato de um projeto ter um tempo específico para ser
desenvolvido caso as atividades sejam
executadas de forma normal o projeto não será completado no prazo. O Modelo de Programação
Linear Proposto resolve esse problema
determinando o prazo ótimo para acelerar determinadas atividades minimizando o custo total do projeto.
Palavras-Chave: Programação linear,
gerenciamento de projetos
Abstract: This work presents a model based on Linear Programming that solves the problem of conflict relationship between cost and time in project management. In this problem, the project has a specific time to be developed, if the activities are executed in the normal way the project won't be completed in time. The proposed model of linear programming solves this problem determining the best period to accelerate activities, minimizing the project total cost.
Keywords: Linear Programming, project
management.
I. INTRODUÇÃO
De acordo com o PMBOK 4 a. Ed (2008), Gerenciamento de Projetos é a aplicação de
conhecimentos, habilidades, ferramentas e técnicas nas atividades do projeto a fim de atender os requisitos do projeto.Para que um projeto seja bem-sucedido, a equipe do projeto deve: Balancear as demandas conflitantes de escopo, tempo, custo, qualidade, recursos e risco para produzir um produto de qualidade.
Não existe um método padrão para tratar o problema da relação conflitante tempo-custo em gerenciamento de projetos. A complexidade aumenta muito quando a quantidade de atividades crescem. Reduzir o prazo de execução de uma atividade aleatoriamente pode elevar bastante o custo. Ao mesmo tempo em que antecipar a conclusão de uma atividade sem investir mais dinheiro, pode comprometer o escopo do projeto (OLIVEIRA,2007).
As redes fornecem uma maneira natural de se exibir graficamente o fluxo das atividades em um projeto importante, como de construção ou um projeto de pesquisa e desenvolvimento. Portanto, uma aplicação importante da teoria de redes está em
auxiliar o gerenciamento de tais projetos.
Atualmente muito se usa a técnica de Pert/CPM que é utilizada para planejamento e controle de projetos, ela é um modelo de otimização de rede e, portanto, se encaixa no tema tratado nessa pesquisa.
O problema genérico que se pretende resolver é o seguinte: Um projeto precisa ser completado dentro de um prazo especifico. Suponha que esse prazo não será atendido caso as atividades sejam realizadas da maneira normal, mas que existam diversas maneiras de se atender a esse prazo gastando-se mais dinheiro, para acelerar algumas
das atividades. Qual é o prazo ótimo para acelerar algumas atividades de modo a minimizar o custo total de realizar o projeto dentro do prazo?
A secção II mostra o problema de
gerenciamento de projetos, a secção III ilustra a relação conflitante tempo-custo em gerenciamento de projetos, a secção IV apresenta um modelo baseado em programação linear que resolve o problema, a secção V mostra os resultados de simulação obtidos, a secção VI apresenta as conclusões.
II. OPROBLEMA DE GERENCIAMENTO DE PROJETOS
Nesse exemplo, a Empresa Brasileira de Construção Civil acaba de ganhar uma concorrência no valor de US$5.4 de milhões para construir uma nova unidade fabril para uma importante indústria. Esse novo cliente necessita que essa nova unidade entre em operação em 40 semanas. A empresa designou um gerente de projetos de construção, para esse projeto a fim de ajudar a garantir que ele permaneça dentro do prazo estabelecido, o mesmo deverá contratar uma série de turmas para executar as diversas atividades de construção em horários diferentes. A Tabela 1.1 mostra a lista das atividades em questão. A terceira coluna fornece
informações importantes para coordenar o
cronograma das turmas.
Uma forma prática de representar o cronograma de execução do projeto é por meio das redes de projetos como mostrado na Figura 1.1. Uma rede usada para representar um projeto é chamada rede de projetos. A mesma é formada por uma séria de nós (mostrada como retângulos ou círculos) e uma série de arcos (indicado por setas) que conectam dois nós diferentes (GOLBART, 2000). A Figura 1.1 mostra uma rede de projetos para o problema apresentado na secção I (Tabela 1.1).
Quanto tempo deve durar o projeto? No exemplo da Tabela 1.1., teríamos um total de 79 semanas. Entretanto essa não é a resposta para a pergunta, pois algumas atividades podem ser executadas (grosso modo) simultaneamente. O que na verdade é relevante é o comprimento de cada caminho da rede. “Um caminho em uma rede de projeto é uma ou mais rotas seguindo do nó INICIO
ao nó TÉRMINO. O comprimento é a soma das durações (estimadas) das atividades no caminho (NOCERA, 2009).” AT Descrição Predecessor es Imediatos Duração Estimada A Escavação - 2 SEMANAS B Fundações A 4 SEMANAS C Levantar Paredes de Alvenaria B 10 SEMANAS
D Instalar teto C 6 SEMANAS E Instalar Tubulação Externa C 4 SEMANAS F Instalar Tubulação Interna E 5 SEMANAS G Fazer Revestimento Externo D 7 SEMANAS H Fazer Pintura Externa E,G 9 SEMANAS I Fazer Instalação Elétrica C 7 SEMANAS J Colocar Chapas para revestimento das paredes F,I 8 SEMANAS
K Instalar Pisos J 4 SEMANAS L Fazer Pintura Interna J 5 SEMANAS M Instalar Acessórios Externos H 2 SEMANAS N Instalar Acessórios Internos K,L 6 SEMANAS
Tabela 1.1 – Lista de Atividades para o Projeto de Construção (Fonte: Hillier et.al. 2010) Caminho Comprimento INICIO→A→B→C→D→G →H→M→TÉRMINO 2+4+10+6+7+9+2=40 semanas INICIO→A→B→C→E→H →M→TÉRMINO 2+4+10+4+9+2=31 semanas INICIO→A→B→C→E→F→ J→K→N→TÉRMINO 2+4+10+4+5+8+4+6=43 semanas INICIO→A→B→C→E→F→ J→L→N→TÉRMINO 2+4+10+4+5+8+5+6=44 semanas INICIO→A→B→C→I→J→ K→N→TÉRMINO 2+4+10+7+8+4+6=41 semanas INICIO→A→B→C→I→J→ L→N→ TÉRMINO 2+4+10+7+8+5+6=42 semanas
Tabela 1.2 – Método do Caminho Crítico para o Projeto de Construção Civil (Fonte: Hillier et.al. 2010)
Os seis caminhos da rede de projetos da Figura 1.1 são dados na Tabela 1.2 juntamente com os cálculos dos comprimentos dos caminhos. Os mesmos variam de 31 a 44 semanas. Segundo o PMI (2008) “A duração estimada de um projeto é igual a comprimento mais longo da rede do projeto. Esse caminho é chamado caminho crítico . Se houver mais de um caminho critico longo de igual comprimento, todos eles serão críticos”.
Portanto, como mostrado na Tabela 1.2 conclui-se que o caminho crítico é de 44 semanas.
Figura 1.1 - A Rede de Projetos para o Problema apresentado.
Assim, se não ocorrer nenhum atraso, o tempo total necessário para completar o projeto deveria ser aproximadamente 44 semanas. Além disso, as atividades nesse caminho crítico são atividades críticas de gargalo em que quaisquer atrasos no seu término têm de ser evitados para impedir atrasos no termino do projeto como um todo. O gerente de projetos deve determinar especificamente quais atividades devem ter durações reduzidas e em que proporção, de modo a atender ao prazo de 40 semanas da forma menos onerosa possível. O CPM
dispõe de excelente procedimento para investigar tais relações tempo-custo de modo que ele usará essa metodologia para resolver a questão.
III–RELAÇÃO CONFLITANTE TEMPO CUSTO EM GERENCIAMENTO DE PROJETOS
Impactar uma atividade refere-se a tomar medidas especialmente dispendiosas para reduzir a duração de uma atividade abaixo do seu valor normal. Essas medidas especiais poderiam adotar um regime de horas extras, contratar mão-de-obra
temporária usar materiais especiais que
economizem tempo, obter equipamento especial . Impactar um projeto refere-se a impactar um número de atividades de modo a reduzir a duração do mesmo (MARTINS, 2007).
O método CPM de relações conflitantes tempo-custo se preocupa em determinar quanto (se realmente existir) impactar cada uma das atividades de forma a reduzir a duração prevista do projeto para algum valor desejado. Os dados necessários para determinar quanto impactar determinada atividade são fornecidos pelo gráfico tempo-custo para a atividade. A Figura 1.2 mostra um gráfico de tempo-custo.
Usando essa metodologia o gerente de projetos reuniu-se com supervisores de grupos de trabalho para calcular as estimativas de impacto das atividades. Por exemplo, o supervisor do grupo responsável por colocar chapas para revestimento das paredes indica que acrescentar dois empregados temporários e usar horas extras possibilitam a redução na duração dessa atividade de oito que é o mínimo possível, para seis semanas.
Dessa forma para a Atividade J (colocar chapas para revestimento das paredes) teríamos: Ponto normal : tempo= 8 semanas, custo = U$$430.00, Ponto impactado : tempo = 6 semanas, custo = U$$490.00, Redução Máxima de tempo = 8-6=2 semanas. Custo impactado por semana reduzida = (U$$490000-U$$430000)/2=U$$30000. O próximo passo foi tomar decisão sobre quais atividades deveriam ser impactadas. Somando-se as colunas custo normal e custo impactado da Tabela 6.3 resulta em Soma dos custos normais = US$ 4,55 milhões, Soma dos Custos impactados = US$6,15 milhões.
Tabela 1.3-– Dados da relação conflitante tempo-custo para as atividades do projeto (Tempo em semanas e custo em US$)
Entretanto a empresa receberá US$ 5,4 milhões para executar esse projeto. Esse pagamento precisará cobrir alguns custos indiretos, além dos custos listados na Tabela 1.3, bem como gerar um lucro razoável para a empresa. Conforme visto na Tabela 1.3, caso todas as atividades fossem executadas de maneira normal, a duração prevista do projeto seria 44 semanas (caso possam ser evitados atrasos). Se, no entanto todas as atividades forem impactadas plenamente, então o cálculo resultaria em 28 semanas, porém com um custo proibitivo (US$6,15 milhões).
O Gerente de projetos ainda quer investigar a possibilidade de impactar parcial ou plenamente apenas algumas atividades para reduzir a duração do projeto para o nível especificado (40 semanas) ?
PROBLEMA: Qual é a maneira menos dispendiosa
de impactar algumas atividades para reduzir a
duração (estimada) do projeto para o nível especificado (40 semanas)?
IV–MODELO BASEADO EM PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA
O problema de determinar a maneira menos onerosa de impactar atividades pode ser expresso de uma forma mais familiar ao ambiente da programação linear como segue:
4.1-Identificação das Variáveis do Problema e Função Objetivo
As variáveis de decisão são:
Xj=redução da atividade j em virtude de
impactar essa atividade j=A,B,...,N. Logo a Função Objetivo será: * N j j j A Min Cust X
, onde Custj é o custoimpactado para redução da atividade j.
MinimizarCusto=100000*XA+50000*XB+80000
*XC+40000*XD+160000*XE+40000*XF+40000* XG+60000*XH+30000*XI+30000*XJ+40000*XK +50000*XL+100000*XM+60000*XN;
Para impor a restrição de que a duração do projeto deve ser menor ou igual ao valor desejado (40 semanas) façamos:
YTERMINO = duração do projeto, isto é, o
horário no qual o nó TERMINO é atingido na rede do projeto, a restrição é então:
YTERMINO ≤ tempo estabelecido para o término do projeto. YTERMINO ≤ 40
Para auxiliar o modelo de PL na designação do valor apropriado a YTERMINO, dados os valores de XA,XB,...XN, é conveniente introduzir no modelo as seguintes variáveis adicionais.
Yj=MOMENTO DE INÍCIO DA
ATIVIDADE J (J=A,B,C....,N), dados os valores
de XA, XB, ...., XN. Uma atividade desta não é necessária para a atividade A, já que ela inicia o projeto recebendo o valor zero. Tratando o nó termino como outra atividade (embora com duração nula), essa definição de yj para a atividade
TÉRMINO também atende à definição de YTERMINO dada no parágrafo anterior.
Para cada atividade (B,C,....N)e cada um de seus predecessores imediatos o horário de inicio
dessa atividade ≥ (horário de inicio + duração) para esse predecessor imediato. Além disso, a
duração de cada atividade é dada pela seguinte fórmula: Duração da atividade j=seu tempo
normal-Xj Para ilustrar essas relações, consideremos a atividade F da rede do projeto Figura 1.1: Predecessor da Atividade F: Atividade E que tem duração=4-XE, Logo a relação entre as atividades F e E é dada por:
Ysucessora ≥ Ypredecesora
imediata+(duração normal da predecessora imediata- redução da atividade predecessora imediata), YF≥YE+4-XE
Para a atividade J, que tem dois
predecessores imediatos : Predecessores imediatos da atividade J Atividade F tem a duração=5-XF,
Atividade I tem duração =7-XI, YJ≥YF+5-XF; YJ≥YI+7-XI;
4.2-Modelo de Programação Linear Completo
A Função objetivo é dada por:
MIN=100000*XA+50000*XB+80000*XC+40
000*XD+160000*XE+40000*XF+40000*XG +60000*XH+30000*XI+30000*XJ+40000* XK+50000*XL+100000*XM+60000*XN;
4.2.1- Restrições de redução máxima
Usando a penúltima coluna da Tabela 1.3, tem-se:
XA<=1;XB<=2;XC<=3;XD<=2;XE<=1;XF<=2;X G<=3;XH<=3;XI<=2;XJ<=2;XK<=1;XL<=2;XM< =1;XN<=3;
As Restrições de Não-Negatividade são dadas por: XA>=0;XB>=0;XC>=0;XD>=0;XE>=0;XF>0;XG >=0;XH>=0;XI>=0;XJ>=0;XK>=0;XL>=0;XM>= 0;XN>=0; YA>=0;YB>=0;YC>=0;YD>=0;YE>=0;YF>0;YG >=0;YH>=0;YI>=0;YJ>=0;YK>=0;YL>=0;YM>= 0;YN>=0;YTERMINO>=0;
As Restrições de Horário de inicio são dadas por : YB>=(2+XA); YC>=YB+(4-XB); YD>=YC+(10-XC);YI>=YC+(10-XC); YE>=YC+(10-XC); YG>=YD+(6-XD); YF>=YE+(4-XE); YM>=YH+(9-XH); YK>=YJ+(8-XJ); YL>=YJ+(8-XJ); YH>=YG+(7-XG); YH>=YE+(4-XE); YJ>=YI+(7-XI); YJ>=YF+(5-XF); YN>=YK+(4-XK); YN>=YL+(5-XL); YTERMINO>=YM+(2-XM); YTERMINO>=YN+(6-XN);
A Restrição de duração de término do projeto é :
YTERMINO<=40;
V–EXPERIMENTOS E ANÁLISE DOS RESULTADOS
Utilizou-se o LINGO para realizar as simulações para o modelo apresentado no item IV.2 Note que na definição das variáveis que indicam o momento de inicio da atividade j(j=B,C,D,...,N) uma destas variáveis não é necessária para a atividade A, já que uma atividade inicia o projeto recebe automaticamente o valo zero(0).
A Figura 1.3 mostra os resultados obtidos para cada variável do problema na janela de resultados (Solution Report).
Tabela 1.4 – Resultados obtidos de Simulação da relação conflitante tempo-custo para as atividades do projeto (Tempo em
semanas e custo em US$)
A Tabela 1.4 apresenta os resultados obtidos após a simulação, como o problema principal consistia em investigar a possibilidade de impactar parcial ou plenamente apenas algumas atividades
para reduzir a duração do projeto para o nível especificado (40 semanas). Percebe-se pelos resultados obtidos que as únicas atividades (Xj) que sofreram redução de duração foram F e J, a Figura 6.4 mostra que esses valores são ambos iguais a 2 semanas. Da Tabela 6.3 percebe-se que o custo impactado por semana reduzida para a atividade F é igual a $40000 e para a atividade J é $30000. Logo como são duas semanas para cada atividade o Custo Impactado Total para ambas é igual a $140000, o que é mostrado na Figura 1.3 (Objective value).
Figura 1.3- Resultados de Simulação usando o LINGO.
Dessa forma o custo total do projeto será (Soma dos custos normais = US$ 4,55 milhões+ Soma dos custos impactados = 140000) $4.690.000.
VI –CONCLUSÃO
Redes de algum tipo surgem em ampla gama de contextos que podem ser avaliados. Essas representações são muito úteis para modelar as relações e conexões entre os componentes de sistemas. Frequentemente, o fluxo de algum tipo tem de ser enviado através de uma rede, de modo que precisa ser tomada uma decisão em relação à melhor maneira de se fazer um procedimento. Os tipos de modelos para otimização de redes
introduzidos nessa pesquisa fornecem uma
ferramenta poderosa para tais tomadas de decisão. O modelo em rede para otimizar as relações conflitantes tempo-custo oferece uma maneira eficiente de se usar um modelo de otimização de redes para desenvolver um projeto de modo que ele possa atender ao prazo estabelecido com um custo total mínimo.
A utilização da Programação Linear para esse tipo de problema é importantíssima, pois à medida que aumentam o número de nós do problema, bem como o número de predecessores imediatos de cada atividade, aumenta a complexidade de solução mesmo por técnicas convencionais.
Referências
[1] Bazarra, M S.Jarvis, J.J. linear Programming and networks flows, 3rd Edition by M.S.1977.
[2] Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J..Introdução à Pesquisa Operacional, oitava edição, McGraw Hill,2010.
[3] PROJECT MANAGEMENT INSTITUTE (PMI), Guia de Conhecimentosem Gerenciamento de Projetos, PMBOK, Quarta Edição, Pensilvânia , 2008.
[4] GOLBARG, M.C, LUNA, H.P.L. Otimização Combinatória e Programação Linear, Modelos e Algoritmos. Editora Campus, Rio de Janeiro, 2000.
[5] MARTINS, JOSE CARLOS. Gerenciando Projetos de Desenvolvimento de Software com PMI, RUP e UML, 4ª Edição.Brasport. 2007.
[6] NOCERA, ROSALDO DE JESUS. Gerenciamento de Projetos. Queen Books. Rio de Janeiro, 2009.
[7] Oliveira, Guilherme Bueno de, MS-Project e Gestão de Projetos, Makron
