Convergência de séries de Fourier

Convergência de séries de Fourier

Recorde-se que:

Sendo f uma função definida num intervalo a, b , excepto, eventualmente, num número finito de pontos, diz-se que f é

seccionalmente contínua em a, b se:

i) o intervalo a, b pode ser subdividido num número finito de

intervalos em cada um dos quais f é contínua, excepto, eventualmente, nos extremos desses subintervalos;

ii) os limites laterais da função nos pontos extremos destes

subintervalos existem (e são finitos).

Definição: Diz-se que uma função f é seccionalmente suave em a, b se f for seccionalmente contínua em a, b e a sua função

derivada também for seccionalmente contínua em a, b .

Notação: Sendo f uma função real definida em , representamos

por f x e f x os seus limites laterais à direita e à esquerda de

x, respectivamente.

Teorema (Teorema da Representação em Série de Fourier):

Seja f uma função periódica de período 2 e seccionalmente suave em , . Então, a série de Fourier de f é convergente (em ) e, para cada x , , a sua soma é dada por

f x f x

2 , se x , ;

f f

Nota: Repare-se que, sendo f uma função periódica de período

2 , então f f e f f , pelo que

f f 2 f f 2 f f 2 ,

ou seja, também nos extremos do intervalo a soma da série é igual à média dos limites laterais no ponto.

Corolário: Seja f uma função periódica de período 2 e

seccionalmente suave em , . Então:

nos pontos x em que f é contínua, a soma da sua série de Fourier é igual a f x ;

em cada ponto de descontinuidade, a soma da série de Fourier é igual à média dos limites laterais da função no ponto. Isto é, a0 2 n 1 ancos n x bnsen n x f x , se f é contínua em x f x f x 2 , se f não é contínua em x

Nota 1: Nestas condições, caso f seja contínua em , , então f é contínua em e, portanto, a função coincide com a soma da

Exemplo 4: No Exemplo 1 viu-se que, sendo f a função de

período 2 definida em , por

f x 1 , se x 0 2 , se 0 x , tem-se que f x 3 2 2 m 1 sen 2m 1 x 2m 1 .

Como f é seccionalmente suave em , , esta série é convergente em .

Como f é contínua em , \ 0 , em , tem-se

3 2 2 m 1 sen 2m 1 x 2m 1 f x , x , \ 0 3 2 , x , 0, .

Note-se que, como f tem período 2 , conclui-se mesmo que 3 2 2 m 1 sen 2m 1 x 2m 1 f x , se x k , para k 3 2 , se x k , com k

Exemplo 5: No Exemplo 3 viu-se que, sendo f a função de

período 2 definida em 0, 2 por

f x 1 , se 0 x 1 0 , se 1 x 2 , tem-se que f x 1 2 2 m 1 sen 2m 1 x 2m 1 .

Como f é seccionalmente suave em 0, 2 , esta série é convergente em .

Como f é contínua em 0, 2 \ 1 , em 0, 2 tem-se

1 2 2 m 1 sen 2m 1 x 2m 1 f x , x 0, 2 \ 1 1 2 , x 0, 1, 2 .

Note-se que, como f tem período 2, conclui-se mesmo que 1 2 2 m 1 sen 2m 1 x 2m 1 f x , x 1 2 , x .

Propriedades

É imediato que uma função constante é periódica de período T (para qualquer T 0) e a sua série de Fourier é a própria função constante.

Proposição: Sejam f e g funções periódicas de período T. Então:

os coeficientes de Fourier da função f g são iguais à soma dos correspondentes coeficientes de Fourier das funções f e g;

os coeficientes de Fourier da função cf são iguais ao produto por c dos correspondentes coeficientes de Fourier da função f.

Observação: Através destas propriedades podemos obter os

coeficientes de Fourier de uma função a partir dos coeficientes de Fourier de outras funções, cujos coeficientes sejam

conhecidos ou sejam mais fáceis de calcular.

Por exemplo, no exercício 8 considerou-se a função f, periódica de período 10, definida por

f x 0 , se 5 x 0

3 , se 0 x 5 ,

e calcularam-se directamente os coeficientes de Fourier desta função, tendo-se concluído que

f x 3

2

m 1

6

2m 1 sen 2m 1 5 x .

Os cálculos podem simplificar-se, tendo em conta que subtraindo 3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 x y f -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 x y g f 3₂ Assim, f x 3

2 g x , com g função periódica de período 10 definida por g x 3 2 , se 5 x 0 3 2 , se 0 x 5 .

Uma função constante admite qualquer período positivo, pelo que os coeficientes de Fourier de f são a soma dos coeficientes de g e da função constante 3

2 .

Como g é ímpar, para esta função tem-se:

an 0, para n 0, 1, bn 4 T 0 5 f x sen n x dx com T 10 e 2 10 5 . Logo, bn 4 10 0 5 ₃ 2 sen n 5 x dx 35 0 5 sen n 5 x dx 3 5 n5 cos n ₅ x ₀ 5 ₃ n cos n cos 0

Assim, g x m 1 6 2m 1 sen 2m 1 5 x . Como 3 2 32 então f x 3 2 m 1 6 2m 1 sen 2m 1 5 x

(série cujos coeficientes são a soma dos coeficientes das duas séries de Fourier).

Extensões de funções por Séries de Fourier

Até este ponto, considerámos apenas funções períódicas, das quais era dada a expressão num intervalo de amplitude igual ao seu período fundamental (para as quais obtivémos a

correspondente série de Fourier).

Dada uma função f definida apenas num intervalo 0, L (e seccionalmente contínua no intervalo), podemos estender esta função ao intervalo L, L e de seguida considerar a sua

extensão periódica, com período 2L, com a correspondente série de Fourier.

Esta extensão pode ser feita de muitas maneiras, de acordo com os objectivos pretendidos, sendo frequente considerarmos a extensão par ou a extensão ímpar da função (para tirar partido das propriedades destas funções).

No primeiro caso, a série de Fourier associada será uma série de cossenos e no segundo caso será uma série de senos.