P U C R S
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO ARMADO II
FLEXÃO COMPOSTA
Prof. Almir Schäffer
PORTO ALEGRE MAIO DE 2006
FLEXÃO COMPOSTA
1- Notações principais
As = área da seção da armadura Ac = área da seção de concreto e, ex, ey = excentricidades
e1, e1x, e1y = excentricidades de 1a ordem e2, e2x, e2y = excentricidades de 2a ordem
e1min, e x1 min, e y1 min = excentricidades mínimas de 1a ordem N = força normal
M, Mx, My = momentos
M1, M1x, M1y = momentos de 1a ordem M2, M2x, M2y = momentos de 2a ordem
M1 , M xmin 1 min, M y1 min = momentos mínimos de 1a ordem M1d, M1xd, M1yd = momentos de cálculo de 1a ordem M2d, M2xd, M2yd = momentos de cálculo de 2a ordem
ν e µ = esforços solicitantes relativos (adimensionais)
ρ = taxa geométrica de armadura
2- Generalidades
Na seção transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão composta quando na mesma atuam, simultaneamente:
- uma força normal (N); - um momento fletor (M); e - uma força cortante (V).
No caso particular da força cortante ser nula, a solicitação de flexão composta é chamada também de tração ou compressão excêntrica.
Considere-se uma força normal atuando na seção transversal de um pilar com excentricidade e (Fig. 1a). Para transladar esta força, de seu ponto de aplicação para o centro de gravidade da seção, é necessário acrescentar o momento
M N e= . (1)
que resulta da translação (Fig. 1b). As solicitações representadas nas figuras 1a e 1b são equivalentes.
FIGURA 1
Quando a excentricidade da força normal é pequena, toda a seção transversal do pilar é comprimida (Figs. 2a e 2b). Para excentricidades maiores, uma parte da seção é comprimida e a outra é tracionada (Fig. 2c).
Eixo do pilar G P N e S Eixo do pilar G S N M a) b)
FIGURA 2
O plano que contém o momento fletor é chamado plano de solicitação (PS). A solicitação de flexão composta pode ser classificada, de acordo com a direção do traço PS sobre a seção transversal da peça, em:
- reta (ou normal); e - desviada (ou oblíqua).
A solicitação é reta quando o traço PS coincide com um dos dois eixos principais de inércia da seção (Figs. 3a e 3b). A solicitação é desviada quando o traço PS não coincide com nenhum dos dois eixos (Fig. 3c).
FIGURA 3 G N S a) G P N e S b) G P N e S c) G X=PS Y P e G X Y=PS P e G X Y P e a) b) c) PS ex ey
3- Cálculo de seções solicitadas por flexão composta
3.1- Taxas de armadura
São definidos dois tipos diferentes de taxas de armadura: - a taxa geométrica de armadura; e
- a taxa mecânica de armadura.
A taxa geométrica de armadura é a relação entre a área da seção da armadura e a área da seção do concreto que a envolve.
ρ = AAs
c (2)
A taxa mecânica de armadura é a relação entre a resistência de cálculo da armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve.
ω =NNsd = A fA f cd s yd c cd . . (3)
Dividindo membro a membro a eq. (2) pela (3), obtém-se a relação existente entre as duas taxas de armadura.
ρ ω= .ffcd
yd (4)
3.2- Uso de ábacos (diagramas de interação)
O dimensionamento de seções de concreto armado, solicitadas por flexão composta, é, em geral, um problema bastante complexo. Para simplificar a solução destes problemas, na prática, podem ser usados ábacos (também chamados diagramas de interação) preparados para este fim.
Os ábacos mais usados no nosso meio técnico são, provavelmente, os que estão publicados nos livros do Montoya [1] e do Pfeil [2].
Na figura seguinte apresenta-se um destes ábacos. Para entrar no ábaco deve-se calcular previamente os esforços relativos
ν = A fNd c cd. (5.1) e µ= A f hMd = A f hN e = ν eh c cd d c cd . . . . . . (5.2)
Estes esforços são as coordenadas de um ponto P(ν, µ) do ábaco. Marcando este ponto P(ν, µ) no ábaco obtém-se ω. Conhecido ω calcula-se ρ com a equação (4) e em seguida As com a equação (2).
FIGURA 4
Se ω <0 então nenhuma armadura é necessária, devendo-se no entanto usar uma armadura mínima; se ω >1 então é necessário aumentar a seção de concreto.
Existem ábacos para diferentes tipos de seções transversais de pilares (retangular, circular, duplo T, etc...), para diferentes resistências de aço e para diferentes disposições de armaduras nas seções (no caso da seção retangular, armadura igual nos quatro cantos, igual em dois lados, igual nos quatro lados, etc...).
Exemplos. Ver exercícios 1, 2 e 3 no polígrafo de exercícios. = 0,0
= 0,5 = 1,0
O
3.3- Solução aproximada para solicitações desviadas
Dada a complexidade da solução dos problemas de flexão composta em seções de concreto armado, recorre-se, na falta de soluções mais precisas, à soluções aproximadas. Uma destas soluções, para solicitações desviadas, procedente da Resistência dos Materiais, é apresentada a seguir (ver também NBR 6118, item 17.2.5.2).
A verificação de uma seção solicitada por uma força normal N atuando com excentricidades ex e ey (Fig. 5a) pode ser substituída pelas verificações desta seção para duas solicitações retas, numa das quais a força normal N atua com uma excentricidade exo (Fig. 5b) e na outra com uma excentricidade eyo (Fig. 5c), sendo
exo e eyo maiores que ex e ey (respectivamente) satisfazendo a seguinte condição: ex ex ey ey o + o ≤1 (6) FIGURA 5
As excentricidades exo e eyo podem ser escolhidas de várias maneiras diferentes, devendo no entanto satisfazer a condição (6). Algumas possibilidades são as seguintes:
1a solução:
Arbitrar o valor de exo e calcular o valor de eyo com a equação (6).
G X Y P ex G X Y P ey G X Y P a) b) c) ex ey o o e
2a solução: Escolher
exo =2. ex (7.1)
eyo =2.ey (7.2)
Estes dois valores satisfazem sempre a condição (6). 3a solução:
Escolher
exo =eyo =ex ey+ (8)
Estes dois valores também satisfazem sempre a condição (6).
A 3a solução é particularmente interessante para peças de seção quadrada cheia com armadura igual nos quatro cantos ou igual nos quatro lados, porque, neste caso, como as duas solicitações retas são iguais entre si, é necessário fazer uma só verificação. No caso de peças de seção retangular cheia com armadura igual nos quatro cantos ou igual nos quatro lados também é possível fazer uma só verificação escolhendo ex ex ey hy hx o = + . (9.1) ou então ey ey ex hx hy o = + . (9.2)
Exemplos. Ver exercícios 4 e 5 no polígrafo de exercícios. 3.4- Hipóteses básicas
No cálculo de seções de concreto armado, solicitadas por flexão composta, são feitas as seguintes hipóteses básicas (ver também NBR 6118, item 17.2.2): a) as seções transversais planas antes da deformação permanecem planas após a
b) o diagrama tensão deformação do concreto é o diagrama parábola-retângulo; as tensões de tração no concreto são nulas (Fig. 6a);
FIGURA 6
c) o diagrama tensão-deformação do aço é o diagrama reta-retângulo, tanto na compressão como na tração (Fig. 6b);
d) o estado limite último de ruptura é atingido quando o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto atingir o encurtamento de ruptura do concreto ou quando o alongamento da barra mais tracionada de aço atingir o alongamento plástico limite do aço.
Para calcular as tensões no concreto e no aço, em função da deformação específica, de acordo com os diagramas de cálculo anteriores, podem ser criadas as funções (programas de computador)
σc=σ εc( ) (10.1)
e
σs=σ εs( ) (10.2)
respectivamente.
O encurtamento de ruptura do concreto (εR) é calculado, em função do encurtamento da fibra menos comprimida de concreto (ε2) como segue.
0,85.fcd 0,002 0,0035 0 c s fyd fyd yd yd a) b)
Se ε2 ≤0, então εR =0 0035, (11.1) senão se ε2 ≤0 002, εR =0 0035 0 75, − , .ε2 (11.2) senão εR =0 002, (11.3)
O alongamento plástico limite do aço (εL) é dado por:
εL = −0 010, (12)
3.5- Soluções numéricas (programas de computador)
3.5.1- Generalidades
As soluções numéricas usadas nos problemas de flexão composta são baseadas em processos iterativos. Estes processos iterativos envolvem quantidades enormes de operações aritméticas, que, para serem realizadas, requerem o uso de programas de computador.
A seguir descreve-se a solução usada no programa FlexãoComposta, desenvolvido para o dimensionamento da armadura de seções de concreto armado, retangulares, solicitadas por flexão composta. A solução usada foi escolhida em função da simplicidade e em função segurança que apresenta na convergência do processo iterativo.
3.5.2- Convenção de sinais
No programa FlexãoComposta foi usada a seguinte convenção de sinais: N = força normal (+ = compressão; - = tração)
Mx e My = momentos fletores (+ = compressão no I quadrante)
ε = deformação específica (+ = encurtamento; - = alongamento)
3.5.3- Deformação específica num ponto genérico da seção
Quando são conhecidos (dados) a deformação específica no centro de gravidade da seção (εg) e as rotações específicas da seção em relação aos eixos X e Y (φx e φy), a deformação específica num ponto genérico P(x,y) da seção pode ser calculada com a equação (Figs. 7a e 7b)
ε ε= g+φy.x+φx. y (13)
FIGURA 7
3.5.4- Esforços resistentes da seção
Conhecidos (dados) εg, φx e φy, os esforços resistentes da seção são calculados como segue:
a) Seção de concreto
A área da seção de concreto é dividida num certo número (nc) de pequenas áreas Aci (Fig. 8a). Quanto menores estas áreas, mais precisos os resultados.
O P Myd Nd Mxd x y X Y Nd Myd P G x a) b) g y S S' S''
FIGURA 8
A deformação específica no elemento genérico Aci é dada por
εci =εg+φy.xci+φx.yci (14) e a tensão de cálculo, neste elemento, conforme a equação (10.1), por
σci =σ εc c( i) (15) Os esforços resistentes provenientes deste elemento genérico da seção de concreto são dados por
Nci =Ac ci.σ i (16.1) Mxci =Nc yci. i (16.2) Myci =Nc xci. i (16.3) e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de concreto, por
Nc= Nci (17.1) Mxc= Mxci (17.2) Myc= Myci (17.3) (i = 1, nc) X Y X Y O O Ac i As i xc yc xs ys i i i i a) b)
b) Seção de aço
A área da seção de aço é distribuída, na seção da peça, num certo número (ns) de barras de áreas Asi (Fig. 8b).
A deformação específica na barra genérica Asi é dada por
εsi =εg+φy.xsi+φx.ysi (18) e a tensão de cálculo, nesta barra, conforme a equação (10.2), por
σsi =σ εs s( i) (19) Os esforços resistentes provenientes da barra genérica da seção de aço são dados por
Nsi =As si.σ i (20.1) Mxsi =Ns ysi. i (20.2) Mysi =Ns xsi. i (20.3) e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de aço, por
Ns= Nsi (21.1)
Mxs= Mxsi (21.2)
Mys= Mysi (21.3)
(i = 1, ns) c) Soma
Os esforços resistentes totais são dados pela soma dos esforços resistentes do concreto e do aço:
Nr Nc Ns= + (22.1)
Mxr Mxc Mxs= + (22.2)
Myr Myc Mys= + (22.3)
3.5.5- Condições de equilíbrio
Para que exista equilíbrio na seção é necessário que os esforços resistentes de cálculo sejam iguais aos esforços solicitantes de cálculo, isto é:
Nr Nd= (23.1)
Mxr Mxd= (23.2)
Myr Myd= (23.4)
Para satisfazer estas condições de equilíbrio, os valores das variáveis
εg, φx e φy, devem ser escolhidos convenientemente. 3.5.6- Algorítmo
O algorítmo usado no programa FlexãoComposta, para o cálculo da taxa de armadura necessária para a seção de uma peça de concreto armado solicitada por flexão composta foi o seguinte:
a) escolhe-se a seção de concreto e a distribuição da armadura nesta seção;
b) escolhe-se uma taxa geométrica de armadura (a mais alta permitida pela norma ou a mais alta que se pretende usar); no programa foi usado ρ =0 08, ;
c) calcula-se as áreas das seções das barras da armadura de acordo com a distribuição escolhida em a); com isto as seções de concreto e de aço ficam completamente determinadas;
d) calcula-se εg, φx e φy de tal modo que sejam satisfeitas as condições de equilíbrio dadas pelas equações (23); para tal foi usada uma combinação dos processos iterativos de Newton-Raphson (para sistemas de equações não lineares) e de Gauss (para sistemas de equações lineares diagonais);
e) calcula-se as deformações específicas máxima e mínima do concreto (ε1 e ε2) e do aço (ε3 e ε4);
f) se ε1≤εR e ε4 ≥εL então o estado limite último não foi alcançado; diminui-se ρ, fazendo ρ ρ= − ∆ρ (∆ρ =0 001, , por exemplo) e reinicia-se o processo em c); senão passa-se ao passo seguinte;
g) o estado limite último foi alcançado; se ρ =0 08, então é necessário aumentar a seção de concreto; senão, a taxa de armadura necessária para a seção é ρ + ∆ρ.
4- Pilares
4.1- Generalidades
Os pilares são peças que trabalham principalmente à compressão.
Exemplos de pilares: pilares de edifícios, de pontes, de teatros, ginásios de esportes, estádio de futebol, etc.
Como normalmente a força de compressão não é centrada na seção, a solicitação dos pilares é, geralmente, de flexão composta com compressão (ou de compressão excêntrica).
4.2- Classificação dos pilares de edifícios
Os pilares de edifícios podem ser classificados, de acordo com a posição que ocupam no edifício, em planta, em (Fig. 9):
canto extremidade
intermediário
viga
- pilares de canto;
- pilares de extremidade; e - pilares intermediários.
4.3- Momentos nos pilares de edifícios
Num pórtico de edifício, carregado apenas com cargas verticais aplicadas nas vigas, as deformações se apresentam, aproximadamente, conforme se mostra na figura seguinte.
FIGURA 10
Nos pilares intermediários (como o pilar P2 por exemplo) os giros dos nós geralmente são pequenos e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares, nestes nós, também são pequenos, podendo ser desprezados. Consequentemente, a solicitação dos pilares intermediários é de compressão simples (ou muito próxima desta).
Nos pilares de extremidade (como o pilar P1, por exemplo), os giros dos nós são consideráveis e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares, nestes nós, também são consideráveis (Figs. 10 e 11). Conseqüentemente a solicitação dos pilares de extremidade é de flexão composta reta.
FIGURA 11
Já os pilares de canto estão sujeitos à momentos em relação aos dois eixos principais de inércia da seção e, portanto, a solicitação dos pilares de canto é de flexão composta desviada.
Nos pilares de extremidade os momentos nos nós podem ser calculados, de modo aproximado, com um esquema de cálculo simplificado (Fig. 12), obtido a partir da observação de que a) os momentos nos pilares se anulam aproximadamente no centro dos pilares (Figs. 10 e 11), onde, então, podem ser imaginadas rótulas e b) a viga, no pilares intermediários, não gira, onde, então, pode ser imaginado um engaste perfeito. sup 2 inf 2 vig FIGURA 12 NA MA VA NB MB VB A B M N V
O cálculo aproximado é o seguinte (ver também NBR 6118, item 14.6.7.1, c): Coeficientes de rigidez das peças (viga, pilar superior e pilar inferior):
vig vig vig I. 4 r = (24.1) rsup sup sup .I = 6 (24.2) rinf inf inf .I = 6 (24.3)
r r= vig+rsup +rinf (24.4) Momento de engastamento perfeito da viga no nó do pilar de extremidade:
M=... (25)
Momentos nas extremidades das peças:
M M r r r vig = + . sup inf (26.1) M M r r sup = . sup (26.2) M M r r inf = . inf (26.3)
Nos pilares de canto as fórmulas anteriores podem ser aplicadas nas duas direções principais.
4.4- Momento mínimo
A excentricidade de 1a ordem a considerar no cálculo dos pilares não pode ser menor que a mínima dada por (NBR 6118, item 11.3.3.4.3)
e1min =0 015 0 03, + , . h (27) onde e1 e h (h = altura da seção na direção considerada) são medidas em min metros.
A consideração desta excentricidade mínima, admite-se, cobre os efeitos das imperfeições locais nos pilares (desaprumos e falta de retilineidade dos eixos dos pilares).
A norma não fornece nenhuma informação sobre como esta excentricidade deve ser considerada no cálculo. Parece, no entanto, que ela deve ser considerada, separadamente, primeiro numa direção principal da seção e depois na outra. Isto significa que os pilares devem ser verificados para duas hipóteses diferentes de solicitação excêntrica, a saber:
a) a força normal atuando com excentricidades
= ) y 1 e ; y 1 e ( Maior x 1 e ey ex min (28.1)
b) a força normal atuando com excentricidades
= y 1 e ) x 1 e ; x 1 e ( Maior ey ex min (28.2) 5- Disposições normativas
5.1- Dimensões das seções
A menor dimensão da seção transversal de um pilar (b), qualquer que seja sua forma (Fig. 13), não pode ser menor que 19 cm (NBR 6118, item 13.2.3), isto é:
b≥19cm (29.1)
FIGURA 13
É necessário observar também (NBR 6118, item 18.4.1): b a
b a
a≤5. b (29.2) 5.2- Armaduras longitudinais mínima e máxima
As armaduras longitudinais mínima e máxima dos pilares são dadas por (NBR 6118, item 17.3.5.3): ) f N . 15 , 0 ; A %. 4 , 0 ( Maior As yd d c min = (30.1) Asmax =8%.Ac (30.2)
O limite máximo aplica-se inclusive na região das emendas das barras. 5.3- Bitola da armadura longitudinal
O diâmetro das barras da armadura longitudinal não pode ser menor que 10 mm nem maior que 1/8 da menor dimensão da seção (NBR 6118, item 18.4.2.1), isto é: mm 10 ≥ φ (31.1) φ ≤ b 8 (31.2)
5.4- Distribuição transversal da armadura longitudinal
Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra da armadura longitudinal em cada vértice (Figs. 14a e 14b); em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas no perímetro (Fig. 14c) (NBR 6118, item 18.4.2.2).
FIGURA 14
5.5- Espaçamento transversal da armadura longitudinal
O espaçamento transversal (e) da armadura longitudinal deve atender aos seguintes limites (NBR 6118, item 18.4.2.2):
) DMA . 2 , 1 ; ; mm 20 ( Maior e≥ φ (32.1) ) b . 2 ; cm 40 ( Menor e≤ (32.2)
(DMA = dimensão máxima do agregado) 5.6- Estribos
A bitola (φt) e o espaçamento ( et) da armadura transversal deve atender aos seguintes limites (NBR 6118, item 18.4.3):
) 4 ; mm 5 ( Maior t ≥ φ φ (33.1) )) 50 CA ( . 12 ; b ; cm 20 ( Menor et ≤ φ − (33.2)
5.7- Proteção da armadura longitudinal contra a flambagem
Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal localizadas nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo, 20.φt dos cantos (Fig. 15), desde que neste trecho de comprimento 20.φt não existam mais de duas barras (NBR 6118, item 18.2.4).
20.
φ
t20.
φ
tFIGURA 15
Para barras não protegidas contra a flambagem é necessário prever estribos suplementares.
6- Efeitos de 2a ordem (locais)
6.1- Definições
Os momentos (excentricidades) de 2a ordem são os acréscimos de momentos (excentricidades) provenientes das deformações que ocorrem nas estruturas (Fig. 16).
e1 e2 ~e1
M1 M1+M2
a) P b) P
FIGURA 16
No estudo dos pilares a norma usa um chamado comprimento equivalente de um pilar ( e) que pode ser determinado como segue (ver também NBR 6118, itens 15.6 e 15.8.2):
a) para pilares vinculados nas suas duas extremidades (Fig. 17a): ) h ; ( Menor o e = + (34.1)
b) para pilares engastados numa extremidade e livres na outra (Fig. 17b): ) h . 5 , 0 ; ( Menor . 2 o e = + (34.2)
o
h h o
a) b)
Pilar Pilar
FIGURA 17
O índice de esbeltez de um pilar (conforme definição da resistência dos materiais) é dado por:
a) para a seção qualquer
λ = e
i (35.1)
b) para a seção retangular
λ = 3 46, .h e (35.2)
c) para a seção circular
λ = 4. e
d (35.3)
6.2- Excentricidade de 2a ordem
Se o índice de esbeltez de um pilar for inferior à 35, os efeitos locais de 2a ordem não precisam se considerados (NBR 6118, item 15.8.2); se estiver entre 35 e 90, os efeitos locais de 2a ordem podem ser determinados por métodos aproximados (NBR 6118, item 15.8.3.3).
Dentre os métodos aproximados o mais simples de usar é o chamado método do pilar-padrão com curvatura aproximada (NBR 6118, item 15.8.3.3.2). De acordo com este método, a excentricidade de 2a ordem a ser considerada é dada por
e2= 10e2.1r (36)
sendo que a curvatura do pilar pode ser avaliada por 1 0 005 0 5 0 005 r = h + ≤ h , .( , ) , ν (37)
Usando o limite superior da curvatura dado pela equação (37) e substituindo este valor na equação (35), resulta :
e h e 2 2000 2 = . (38)
Esta equação permite calcular a excentricidade de 2a ordem de modo aproximado, porém simples e favorável à segurança. Se for desejada precisão maior, então deve-se usar as equações (36) e (37).
As excentricidades finais obtém-se somando esta excentricidade de 2a ordem às excentricidades dadas pelas equações (28).
