UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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RESUMO – SÉRIE DE FOURIER

REVISÃO DE ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES PARA SÉRIE DE FOURIER • INTEGRAIS INDEFINIDAS > Int(cos(C*x),x)=simplify(int(cos(C*x),x)); = d ⌠ ⌡ ⎮cos C x( ) x sin C x( ) C > Int(sin(C*x),x)=simplify(int(sin(C*x),x)); = d ⌠ ⌡ ⎮sin C x( ) x − cos C x( ) C > Int(x*cos(C*x),x)=expand(int(x*cos(C*x),x)); = d ⌠ ⌡ ⎮xcos C x( ) x cos C x( ) + C2 xsin C x( ) C > Int(x*sin(C*x),x)=expand(int(x*sin(C*x),x)); = d ⌠ ⌡ ⎮xsin C x( ) x sin C x( ) − C2 xcos C x( ) C > Int(x^2*cos(C*x),x)=expand(int(x^2*cos(C*x),x)); = d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮x2cos C x( ) x x − + 2_{sin C x}₍ ₎ C 2sin C x( ) C3 2 xcos C x( ) C2 > Int(x^2*sin(C*x),x)=expand(int(x^2*sin(C*x),x)); = d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮x2sin C x( ) x − x + + 2_{cos C x}₍ ₎ C 2cos C x( ) C3 2 xsin C x( ) C2 • INTEGRAIS DEFINIDAS

Para k =1,2,3,... seguem as integrais resolvidas e usadas por Fourier:

1)

∫

− = π πsen(kx)dx 0 2)

∫

− = π πcos(kx)dx 0 3) π π π =

∫

− sen (kx)dx 2 4) π π π =

∫

− cos (kx)dx 2 5)

∫

( )⋅cos( ) =0 − π πsen kx kx dx 6) π π π π x sen kx dx k cosk 2 ) ( =− ⋅

∫

− 7)

∫

⋅cos( ) =0 − π πx kx dx 8)

∫

− ⋅ = L Lsenx cosx dx 0

• sen(−θ)=−sen(θ) (Função Ímpar) • cos(−θ)=cos(θ) (Função Par) • sen(kπ)=0 para k =1,2,3,... • para

⎩ ⎨ ⎧− = Par for se , 1 Ímpar for se , 1 ) ( cos k k kπ k =1,2,3,...

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• FUNÇÃO PERIÓDICA (de período P): f(x) = f(x + P)

• FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

Definição: Se diz função ímpar aquela que verifica a identidade: f(-x) = -f(x) enquanto par f(-x) = f(x). A função ímpar é simétrica em relação ao ponto de origem do sistema de coordenadas cartesianas (ponto (0, 0)), enquanto a função par é simétrica em relação ao eixo vertical (eixo das ordenadas). Ex. Funções Pares: f(x) = x2 e f(x) = cos (x); Funções ímpares: f(x) = x e f(x) = sen (x)

SÉRIE DE FOURIER - SEJA f(x) UMA FUNÇÃO DEFINIDA DE -π ATÉ π

Fourier concluiu que uma função genérica f(x) pode ser escrita como soma de senos e cossenos.

... ) 3 ( ) 2 ( ) ( ... ) 3 ( cos ) 2 ( cos ) ( cos 2 )

(x = a0 +a₁ x +a₂ x +a₃ x + +b₁sen x +b₂sen x +b₃sen x +

f ou

[

]

∑

∞ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = 1 0 _cos₍ ₎ ₍ ₎ 2 ) ( k k k k x b sen k x a a x f

• CÁLCULOS DOS COEFICIENTES

dx x f a

∫

− = π π π ( ) 1 0 ak =

∫

₋ f x ⋅ k⋅x dx π π π ( ) cos( ) 1 b_k

∫

f x sen k x dx − ⋅ ⋅ = π π π ( ) ( ) 1 RESULTADOS ANTECIPADOS

Coeficientes da Série de Fourier

Função ak =

∫

[

f x ⋅ k⋅x

]

dx π π π ( ) cos( ) 1

_[

_]

dx x k sen x f b_k =

∫

π ⋅ ⋅ π π ( ) ( ) 1 Ímpar ak =0 bk ≠0 Par a_k ≠0 b_k =0

SÉRIE DE FOURIER - FUNÇÕES DE PERÍODO GENÉRICO - f(x) DEFINIDA DE -L ATÉ L

... 3 2 1 ... 3 cos 2 cos 1 cos 2 ) ( 1 2 3 1 2 3 0 _⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + = L x sen b L x sen b L x sen b L x a L x a L x a a x f π π π π π π Ou

∑

∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + = 1 0 cos 2 ) ( k k k L x k sen b L x k a a x f π π

• CÁLCULOS DOS COEFICIENTES

dx x f L a L L

∫

− = 1 ( ) 0 dx L x k x f L a L L k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ =

_∫

− π cos ) ( 1 _k 1 L ( ) L k x b f x sen L L π − ⋅ ⎛ ⎞ = ⋅ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠

∫

dx

NOTA IMPORTANTE: Se a função dada é uma função ímpar, então aparecerá apenas os termos bk,

pois os mesmos são os coeficientes do seno, que é uma função ímpar. Por outro lado se função dada é par aparecerá apenas os termos ak, pois os mesmos são os coeficientes do cosseno, que é uma função

par.

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RESUMO MAIS DETALHADO – SÉRIE DE FOURIER Teoria: Adaptada de:

1) RICIERI, A. P. Série de Fourier – Polinômios e outros bichos. São Paulo: Prandiano, 1993. 2) http://www.seara.ufc.br/tintim/matematica/fourier/

• FUNÇÃO PERIÓDICA: f(x) = f(x + P)

• FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

Definição: Se diz função ímpar aquela que verifica a identidade: f(-x) = -f(x) enquanto par f(-x) = f(x).

Fourier concluiu que uma função genérica f(x) pode ser escrita como soma de senos e cossenos.

... ) 3 ( ) 2 ( ) ( ... ) 3 ( cos ) 2 ( cos ) ( cos 2 )

(x = a0 +a₁ x +a₂ x +a₃ x + +b₁sen x +b₂sen x +b₃sen x +

f ou

[

]

∑

∞ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = 1 0 ) ( ) ( cos 2 ) ( k k k k x b sen k x a a x f Isto é:

“Dada a função f(x), definida em um certo intervalo, quais são os valores dos coeficientes: a0, ak e bk,

para que a soma de senos e cossenos os represente?” • CÁLCULOS DOS COEFICIENTES

Seja f(x) uma função definida de -π até π.

Cálculo de a0 Essa função pode ser representada de dois modos:

Representação de Descartes Representação de Fourier

Por serem curvas idênticas, as áreas sob seus traçados também são iguais:

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Área (Descartes) = Área (Fourier)

Aplicando o Cálculo Integral, tem-se:

dx x k sen b x k a a dx x f _k k k

∫

∑

∫

− ∞ = − ⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = π π π π ( ) ₂ ( cos( ) ( ) 1 0 ⇒ dx x k sen b x k a dx a dx x f k k k

∫ ∑

∫

− ∞ = − − ⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _⋅ + = π π π π π π ( ) ₂ ( cos( ) ( ) 1 0 ⇒

[ ]

x a k x b sen k x dx a dx x f k k k

∑∫

∫

∞ = − − − = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 1 0 ) ( ) ( cos ( 2 ) ( π π π π π π ⇒

∑

∫

∞ = − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _⋅ + ⋅ = 1 0 cos( ) ( ) ) ( k k k k x dx b sen k x dx a a dx x f π π π π π π π

As integrais da direita valem zero, pois:

[

]

∑

∫

∞ = − = ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 0 0 0 ) ( k k k b a a dx x f π π π Isto é: dx x f a

∫

− = π π π ( ) 1 0 Cálculo de a_k

O valor de a_k é obtido multiplicando a soma de funções senos e cossenos por

[

cos(k⋅x)dx

]

e integrando de −π a π . Como,

[

]

∑

∞ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = 1 0 _cos₍ ₎ ₍ ₎ 2 ) ( k k k k x b sen k x a a x f Temos: + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫

− − π π π π k x dx a dx x k x f cos( ) 2 ) ( cos ) ( 0

∑

∞₌

∫

−

∫

− ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _⋅ _⋅ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _⋅ _⋅ _⋅ + 1 )) ( cos ) ( ( )) ( cos ) ( cos ( k k k k x k x dx a sen k x k x dx a π π π π

NOTA IMPORTANTE: Por mera comodidade algébrica não será escrito o símbolo de somatório: fica implícito k variar de um ao infinito.

Assim, podemos, simplificadamente escrever:

dx x k x k sen b dx x k a dx x k a dx x k x f

∫

k

∫

k

∫

− ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ π π π π π π π

π ( ) cos( ) ₂ cos( ) cos ( ) ( ) cos( )

2 0

Do anexo I (coleção de integrais), temos:

0 0 2 ) ( cos ) ( ⋅ ⋅ = 0 ⋅ + ⋅ + ⋅

∫

− ak bk a dx x k x f π π π Ou seja: dx x k x f a_k

∫

− ⋅ ⋅ = π π π ( ) cos( ) 1 5

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Cálculo de bk

De forma semelhante, o valor de é obtido multiplicando a soma de funções senos e cossenos por e integrando de k b

[

sen(k⋅x)dx

]

−π a π . Como,

[

]

∑

∞ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = 1 0 _cos₍ ₎ ₍ ₎ 2 ) ( k k k k x b sen k x a a x f Temos: + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫

− − π π π π sen k x dx a dx x k sen x f ( ) 2 ) ( ) ( 0

∑

∞

∫

= − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _⋅ _⋅ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _⋅ + 1 2 )) ( ( )) ( ) ( cos ( k k k k x sen k x dx b sen k x dx a π π π π

NOTA IMPORTANTE: Por mera comodidade algébrica não será escrito o símbolo de somatório: fica implícito k variar de um ao infinito.

Assim, podemos, simplificadamente escrever:

dx x k sen b dx x k sen x k a dx x k sen a dx x k sen x f

∫

k

∫

k

∫

− ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ π π π π π π π π ( ) ( ) ₂ ( ) cos( ) ( ) ( ) 2 0

Do anexo I (coleção de integrais), temos:

π π π ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

∫

− ak bk a dx x k x f 0 0 2 ) ( cos ) ( 0 Ou seja: dx x k sen x f b_k

∫

− ⋅ ⋅ = π π π ( ) ( ) 1

Fourier concluiu, finalmente, que uma função f(x) definida de −π a π pode ser escrita em termos da soma de funções trigonométricas:

(

)

∑

∞ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = 1 0 ) ( ) ( cos 2 ) ( k k k k x b sen k x a a x f Desde que: • a

∫

f x dx − = π π π ( ) 1 0 • a_k

∫

f x k x dx − ⋅ ⋅ = π_π π ( ) cos( ) 1 , k=1,2,3,... • b_k

∫

f x sen k x dx − ⋅ ⋅ = π π π ( ) ( ) 1 , k=1,2,3,... RESULTADOS ANTECIPADOS

Dos exemplos dados anteriormente podem-se antecipar os valores dos coeficientes e de uma função apenas observando a paridade (função par, simétrica em relação ao eixo da vertical) ou imparidade (função impar, simétrica em relação à origem do sistema cartesiano) da mesma:

k

a bk

) (x f

Coeficientes da Série de Fourier Função a_k =

∫

π

[

f x ⋅ k⋅x

]

dx π π ( ) cos( ) 1

_[

_]

dx x k sen x f b_k =

∫

π ⋅ ⋅ π π ( ) ( ) 1 Ímpar ak =0 bk ≠0 Par a_k ≠0 b_k =0 Tábua de Fourier 6

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FUNÇÕES DE PERÍODO GENÉRICO

A Série Trigonométrica que representa uma função de período 2L é construída com facilidade. O próprio Fourier escreveu:

“...é muito simples perceber a extensão desses resultados para funções definidas de −L a L. Basta repetir o procedimento que permitiu calcular a ,₀ a_k eb_k das funções f(x) definidas de −π a π...” Seja uma função f(x) de período 2L:

Queremos representá-la por uma soma de senos e cossenos:

... 3 2 1 ... 3 cos 2 cos 1 cos 2 ) ( 0 ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ ₃ _⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + = L x sen b L x sen b L x sen b L x a L x a L x a a x f π π π π π π Assim,

∑

∞ = ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + = 1 0 cos 2 ) ( k k k L x k sen b L x k a a x f π π

Os coeficientes a ,₀ a_k eb_k foram obtidos por Fourier assim: Cálculo de a₀

Multiplicou a série nos dois membros por dx e integrou de −L a L.

dx x f L a L L

∫

− = 1 ( ) 0 Cálculo de ak

Multiplicou a série nos dois membros por dx L x k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π⋅ cos e integrou de −L a L. dx L x k x f L a L L k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ =

∫

− π cos ) ( 1 Cálculo de bk

Multiplicou a série nos dois membros por dx L x k sen ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π⋅ e integrou de −L a L. 1 ( ) L k L k x b f x sen L L π − ⋅ ⎛ ⎞ = ⋅ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠

∫

dx 7