Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A

Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

Taxa de Variação e Derivada

TPC nº 6 (entregar no dia 14 – 01 – 2011)

1. Na figura junta estão representados, em referencial o.n. xOy: O círculo trigonométrico

A recta r, de equação x=1

O ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por extremidade a semi-recta O A

i

O ponto B, intersecção do prolongamento da semi-recta O A

i

com a recta r.

1.1. Como a figura sugere, a ordenada de B é 8 . Sem recorrer à calculadora, determine o valor de

(

)

5sen 2 cos 3 2 π   + α + π − α    

1.2. Considere agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1.

Sejam

( )

r,s as coordenadas do ponto P.

Seja t a recta tangente à circunferência no ponto P. Seja Q o ponto de intersecção da recta t com o eixo Ox Prove que a abcissa do ponto Q é 1

r.

2. Na figura está representada, num referencial o.n. Oxy, a circunferência de equação

(

x−3

) (

2+ y 1−

)

2 =25. O ponto C é o centro da circunferência.

2.1. O ponto A, de coordenadas

(

0, 3−

)

, pertence à circunferência. A recta t é tangente à circunferência no ponto A. Determine a equação reduzida da recta t.

2.2. R e S são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é 25

6

(2)

3. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz.

Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado. O ponto P pertence ao plano ABC.

O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que é sempre vértice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados.

O plano ABC é definido pela equação x+2y+3z=9.

3.1. Seja αa abcissa do ponto P

(

α ∈

] [

0,3

)

Mostre que o volume do prisma é dado, em função de α, por V

( )

α = α − α3 2 3

3.2. Seja r a recta que contém o ponto A e é perpendicular ao plano ABC.

Determine uma equação vectorial da recta r.

3.3. Escreva uma equação do plano paralelo a ABC e que passa em O.

4. Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 160 hectares. Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho. Sabe-se que

o custo de produção de um hectare de trigo é 1500 euros, o custo de produção de um hectare de milho é 1000 euros, e que

cada hectare de trigo dá um lucro de 600 euros, cada hectare de milho dá um lucro de 500 euros.

Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que 200000 euros nesta produção, quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro máximo?

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Taxa de Variação e Derivada TPC nº 6 – Proposta de resolução

1. Na figura junta estão representados, em referencial o.n. xOy: O círculo trigonométrico

A recta r, de equação x=1

O ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por extremidade a semi-recta O A

i

O ponto B, intersecção do prolongamento da semi-recta O A

i

com a recta r.

1.1. Como a figura sugere, a ordenada de B é 8 . Sem recorrer à calculadora, determinemos o valor de

(

)

5sen 2 cos 3 2 π   + α + π − α    

Comecemos por simplificar a expressão dada:

(

)

5sen 2 cos 3 5 cos 2 cos 3 cos

2 π   + α + π − α = α − α = α    

Calculemos agora o valor de cosα sabendo que α é um ângulo do 3º quadrante e tgα = 8 utilizando a fórmula 1 tg2 1₂ cos + α = α:

( )

2 2 2 2 1 1 1 1 1 8 9 cos cos 9 3 cos cos + = ⇔ = ⇔ α = ⇔ α = ± α α e como α é um ângulo do

3º quadrante será cos 1 3

α = −

Finalmente concluímos 5sen 2 cos 3

(

)

3 cos 3 1 1

2 3 π     + α + π − α = α = × − = −        

1.2. Consideremos agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1.

Sejam

( )

r,s as coordenadas do ponto P.

(4)

Provemos que a abcissa do ponto Q é 1 r.

Comecemos por calcular o declive de OP=

( )

r,s

: m s r

=

Calculemos o declive de t que é perpendicular a OP . 1 r m m m s ′= − ⇔ ′= −

Determinemos a ordenada na origem de t considerando que P é um ponto de t: 2 2 2 r r s r 1 s r b b s b b s s s s + = − × + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = porque

o ponto P pertence à circunferência de centro na origem e raio 1 pelo que as suas coordenadas verificam a equação x2+y2 =1 da circunferência ou seja r2+s2 =1 Vamos escrever uma equação de t: y r x 1

s s

= − +

Determinemos agora a abcissa do ponto Q que pertence a recta t e tem ordenada zero:

r 1 1

0 x rx 1 x

s s r

= − + ⇔ = ⇔ =

Está agora provado que a abcissa de Q é 1 r .

2. Na figura está representada, num referencial o.n. Oxy, a circunferência de equação

(

) (

2

)

2

x−3 + y 1− =25. O ponto C 3,1 é o centro da circunferência.

( )

2.1. O ponto A, de coordenadas

(

0, 3−

)

, pertence à

circunferência. A recta t é tangente à circunferência no ponto A. Determinemos a equação reduzida da recta t.

Comecemos por calcular o declive do vector

(

) ( ) (

)

CA= 0, 3− − 3,1 = − −3, 4 . O declive é m 4 4 3 3 − = = − O declive da recta t é m 3 4 ′ = − e a ordenada na origem é b= −3

A equação reduzida da recta t é y 3x 3 4

= − −

2.2. R e S são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é 25 6

π

. Determinemos o valor do produto escalar CR CS⋅

.

(5)

Comecemos pela fórmula da área de um sector circular 2 r 25 25 25 r 5 2 6 2 6 3 α ₌ π_{∧ = ⇔} α ₌ π_{⇔ α =} π CR CS 5 5 cos 25 3 2 π ⋅ = × × =

3. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz.

Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado. O ponto P pertence ao plano ABC.

O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que é sempre vértice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados.

O plano ABC é definido pela equação x+2y+3z=9.

3.1. Seja αa abcissa do ponto P

(

α ∈

] [

0,3

)

Mostremos que o volume do prisma é dado, em função de α, por V

( )

α = α − α3 2 3

P é um ponto do plano que tem abcissa e

ordenada iguais a α então α + α +2 3z= ⇔9 3z= − α ⇔ = − α9 3 z 3

A cota de P é a altura do prisma quadrangular cuja base tem lado α, então

(

)

2 3

V= α × α × 3− α ⇔ = α − αV 3

3.2. A recta r contém o pontoA 9,0,0 , ponto onde o plano intersecta o eixo das abcissas:

(

)

x+ × + × = ⇔ =2 0 3 0 9 x 9 e é perpendicular ao plano ABC, tem como vector director o vector normal ao plano n 1,2,3

(

)

Uma equação vectorial da recta r pode ser

(

x, y, z

) (

= 9,0,0

) (

+k 1,2,3 ,k

)

∈ℝ

3.3. Escrevamos uma equação do plano paralelo a ABC e que passa em O. O vector normal ao plano pedido é o mesmo do plano ABC então a equação será do tipo x+2y+3z=D. Como o plano passa na origem 0+ × + × = ⇔ =2 0 3 0 D D 0 e a equação pedida é

x+2y+3z=0

4. Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 160 hectares. Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho. Sabe-se que

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e que

cada hectare de trigo dá um lucro de 600 euros, cada hectare de milho dá um lucro de 500 euros.

Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que 200000 euros nesta produção, quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro máximo?

Comecemos por definir as variáveis: x – número de hectares de trigo y – número de hectares de milho Restrições: x+ ≤y 160⇔ ≤ − +y x 160 x≥50 y≥30 1500x+1000y≤200000⇔ ≤ −y 1,5x+200 Função objectivo: 600x+500y=L

Não esquecendo que:

Se um problema de programação linear tem uma solução, esta está localizada num dos vértices da região admissível.

Se um problema de programação linear tem múltiplas soluções, pelo menos uma delas está localizada num dos vértices da região admissível.

Em qualquer dos casos o valor correspondente da função objectivo é único.

Concluímos que a solução é plantar 80 hectares de trigo e 80 hectares de milho, obtendo-se o lucro máximo de 88000 euros.

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 50 100 150 D: 340 3 ,30

((((

))))

C: (50, 30) B: (80, 80) A: (50, 110) D A C B

(7)

Taxa de Variação e Derivada

TPC nº 6 – Critérios de classificação

1. 25

1.1. 12

• Simplificar 5sen 2 cos 3

(

)

2 π   + α + π − α     5 • Calcular cosα 5

• Calcular o valor pedido 2

1.2. 13

• Calcular o declive de OP

2

• Calcular o declive de t 4

• Calcular a ordenada na origem de t 4

• Calcular a abcissa de Q 3 2. 25 2.1. 12 • Calcular o declive de CA 2 • Calcular o declive de t 4

• Identificar a ordenada na origem de t 2

• Escrever a equação reduzida de t. 4

2.2. 13

• Calcular a ângulo dos dois vectores 6

• Identificar a norma dos vectores 4

• Calcular o produto escalar dos vectores 3

3. 25

3.1. 10

• Identificar a aresta da base do prisma 2

• Calcular a cota de P e identificá-la como altura do prisma 5

• Calcular o volume do prisma 3

3.2. 10

• Concluir as coordenadas de A 3

• Identificar o vector normal ao plano 2

• Escrever uma equação vectorial da recta 5

3.3. 5

• Identificar o vector normal ao plano 2

• Calcular D 2

• Escrever uma equação do plano 1

4. 25

• Definir as variáveis 4

• Definir as restrições 8

• Definir a função objectivo 2

• Desenhar a região admissível 5

• Encontrar a solução 4