UM MODELO PARA ANÁLISE DO FLUXO ATRAVÉS DAS FUNDAÇÕES DE BARRAGENS DE CONCRETO. J.F. Da Silva Filho a, E.M. Da Gama b. Resumo

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UM MODELO PARA ANÁLISE DO FLUXO ATRAVÉS DAS FUNDAÇÕES DE BARRAGENS DE CONCRETO

J.F. Da Silva Filhoa, E.M. Da Gamab

a

Consultor em Engenharia Geotécnica, Rua Paraíba 476 sala 1203, 30130140 Belo Horizonte -MG, Brasil.

b

Professor do Departamento de Minas, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Belo Hori-zonte, Brasil.

Resumo

A determinação das subpressões, na base de barragens de con-creto apoiadas em rochas contínuas permeáveis, exige a realiza-ção de uma análise de percolarealiza-ção. Este tipo de análise é bas-tante complexo, principalmente pela presença dos drenos, perfu-rados em suas fundações, que lhe confere um caráter tridimensi-onal. Um enfoque numérico para este problema é apresentado. Uma comparação com os resultados obtidos através de solução analítica, disponível na literatura, é realizada e os resultados ob-tidos mostram que a solução numérica proposta é adequada para utilização prática. Sugere-se que a solução proposta possa ser usada no projeto de barragens de concreto, assentes sobre ma-teriais rochosos contínuos e permeáveis, incluindo aquelas cuja geometria e/ou condições geológicas não permitem a aplicação da solução analítica.

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Abstract

The determination of the uplift pressures in concrete dams, res-ting on continuous rocks, constitutes a complex three-dimensional seepage analysis problem due mainly to the presence of drains perforated in the foundations. Because of the difficulties involved this type of analysis is seldom performed in dam design practice. A numerical approach to solve this problem is presented. A com-parison with a closed form solution available in the literature is performed and the results obtained shows that the proposed nu-merical model is adequate for practical purposes. It is suggested that the proposed solution could be used in most cases of con-crete dam design, including those where geological or geometri-cal conditions would not allow the use of the closed form solution.

(3)

1. Introdução

Uma das tarefas mais importantes, do projeto geotécnico de bar-ragens de concreto, é a determinação de sua estabilidade ao deslizamento.

A Figura 1 mostra o sistema de forças que atuam em uma barra-gem de concreto típica. A correlação entre estas foças, de forma a manter o equilíbrio, é dada pela expressão:

(

)

H H cA tg U P Fs j m− + Θ − = . (1)

onde Fs é o coeficiente de segurança ao deslizamento, P é o

peso da estrutura (kN), Hm é a força devida ao reservatório de

montante (kN), Hj é a força devida ao reservatório de jusante

(kN), U é a força resultante das subpressões atuantes na base

(kN), Θ é o ângulo de atrito na base (0), c é a coesão na base

(4)

A coesão e o ângulo de atrito são propriedades dos materiais de fundação. Os outros componentes são função da geometria da barragem, com exceção das subpressões que são tanto função das permeabilidades dos materiais de fundação quanto da geo-metria do sistema de drenagem subsuperficial da barragem.

Assim, os únicos componentes da expressão (1), que podem ser manipulados pelo projetista, são o peso da estrutura (P) e a força resultante das subpressões (U).

A expressão (1) mostra que o coeficiente de segurança aumenta com o peso da estrutura e diminui com a força resultante das subpressões. Como o peso da estrutura pode ser alterado, atra-vés de modificações na sua geometria, uma diminuição da força resultante das subpressões permitiria reduzir o volume de con-creto da estrutura.

Assim, como as subpressões tem uma forte influência tanto na estabilidade quanto no custo da estrutura, sua determinação é provavelmente a tarefa mais importante do engenheiro responsá-vel pelos aspectos geotécnicos do projeto de uma barragem de concreto.

(5)

2. Solução Analítica

A solução analítica desenvolvida por Muskat [1] para análise do fluxo convergente a uma linha de poços, perfurada em material homogêneo e isotrópico e localizada entre dois canais de água, foi usada por Casagrande [2] para determinar as subpressões atuantes na base de uma barragem de concreto contendo uma galeria de drenagem, com drenos lisos, conforme indicado na Fi-gura 2.

A expressão utilizada por Casagrande [2] para a determinação das supressões, na base da barragem, foi a seguinte:

( )

a x a d y a x a d y d a h y x s c π π π π π 2 cos 2 cosh 2 cos 2 cosh ln 4 , −       − −       + = (2)

onde s(x,y) é a pressão (mca) em um ponto de coordenadas (x,y), localizado no plano xy que contém a base da barragem (m), hc é a carga total (m), "a" é o espaçamento entre os drenos (m)

and "d" é a distância entre a face de montante e a linha de drenos (m).

(6)

As simplificações necessárias para a obtenção da expressão (2) foram as seguintes:

- fluxo permanente e laminar e água incompressível; - material de fundação homogêneo, saturado,

incompres-sível e isotrópico;

- drenos lisos com comprimento igual à espessura das fundações;

- fluxo apenas de montante, não ocorrendo fluxo a jusante da linha de drenos;

- uma única linha de drenos; - base da barragem horizontal.

Estas simplificações impõem limitações para a aplicação da solu-ção analítica, representada pela expressão (2), a casos reais. Como exemplo, a Figura 3 mostra uma seção de uma barragem de concreto típica que viola as simplificações acima, nos segui n-tes itens:

- mais de uma linha de drenos;

- drenos menores que a espessura das fundações; - a base da barragem não é horizontal;

(7)

3. Solução Numérica

Para contornar as limitações da expressão (2), uma solução nu-mérica foi desenvolvida, através do método dos elementos finitos, obedecendo a seguinte seqüência:

- desenvolvimento de um modelo para análises tridimensi-onais de meios contínuos permeáveis;

- desenvolvimento de um modelo para simular o fluxo em drenos de seção circular;

3.1. Análises 3D em materiais contínuos e permeáveis

Em meios rochosos contínuos o fluxo de água ocorre através dos poros do maciço e, para representá-lo, dois tipos de elementos finitos foram utilizados: hexaedros regulares, com oito nós, e prismas triangulares regulares com seis nós. Seguindo o pro-posto por Simunek et al [3], cada hexaedro é subdividido em cin-co tetraedros e cada prisma triangular é dividido em três tetrae-dros, na forma indicada na Figura 4.

(8)

Assim, basta determinar a matriz de rigidez para um tetraedro já que os outros elementos podem ser obtidos através de uma montagem adequada de tetraedros.

A Figura 5 mostra uma tetraedro limitado pelos pontos nodais I, J, K e L e também um sistema global de coordenadas XYZ. Para um tensor de permeabilidades, simétrico, é possível definir um sistema de coordenadas X'Y'Z', chamado de sistema principal, onde o tensor é diagonal e as permeabilidades cruzadas são to-das iguais a zero. Assumindo a validade da lei de Darcy, tem-se para o caso tridimensional:

Vx' = kx' ix'

Vy' = ky' iy' (3)

Vz' = kz' iz'

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), K x' é o

coefi-ciente de permeabilidade na direção X' (m/s), ix' é o gradiente

(9)

As equações (3) podem ser representadas pela expressão de Hubbert [4]:       ₊ ∂ ∂ − = _K P g V x x x x ' ' ' ' ρ     + ∂ ∂ − = _K P g V y y y y ' ' ' ' ρ (4)       ₊ ∂ ∂ − = K P g V z z z z _' ' ' ' ρ

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), K x' é o

coefi-ciente de permeabilidade na direção X' (m/s), P é a pressão num

ponto no interior do elemento (kN/m2), ρ é a densidade da água

(kN/m3), gx' é a aceleração da gravidade na direção X' (m/s2), ix' é

o gradiente hidráulico na direção X', etc.

Assumindo uma variação linear de P, no interior do tetraedro, tem-se que:

(10)

P = α1 + α2x' + α3y'+ α4z' (5) Em forma matricial:

{ }

            = α α α α 4 3 2 1 ' ' ' 1 x y z P (6)

As pressões nos pontos nodais são então:

                            =             α α α α 4 3 2 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1 z y x z y x z y x z y x P P P P l l l k k k j j j i i i l k j i ∴

{ }

P

[ ]

φ

{ }

α_i i i = (7) Invertendo (7) tem-se:

{ }

[ ]

_i

{ }

Pi T i φ α = (8) Substituindo (6) em (8):

{ }

P = 1 x' y'z'

[ ]

{ }

Pi i T φ ∴

{ }

P =

[ ]

N

{ }

Pi (9)

(11)

A expressão (9) pode ser escrita da seguinte forma:

{ }

            = P P P P N N N N P l k j i l k j i (10)

onde, segundo Zienkiewicz [5]:

(

' ' '

)

6 1 z d y c x b a V N i i i i i= + + +

(

' ' '

)

6 1 z d y c x b a V Nj= j+ j + j + j (11)

(

' ' '

)

6 1 z d y c x b a V Nk= k+ k + k + k

(

' ' '

)

6 1 z d y c x b a V Nl= l+ l + l + l e: ' ' ' 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1 det 6 z y x z y x z y x z y x V l l l k k k j j j i i i = (12)

(12)

sendo "V" o volume do tetraedro e: ' ' ' ' ' ' ' ' ' det z y x z y x z y x a l l l k k k j j j i= ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 det z y z y z y b l l k k j j i=− (13) ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' det z x z x z x c l l k k j j i =− 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' det y x y x y x d l l k k j j i=−

As outras constantes são obtidas através de uma rotação cíclica dos índices, na ordem i, j, k, l.

Das expressões acima tem-se que:

=                   ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ' ' ' z y x P P P           d d d d c c c c b b b b V l k j i l k j i l k j i 6 1             P P P P l k j i (14)

(13)

          − =         K K K V V V z y x z y x ' ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 0                       +                       g g g P P P P d d d d c c c c b b b b V z y x l k j i l k j i l k j i l k j i ' ' ' 6 1 ρ ρ ρ (15) onde:

[ ]

          − = K K K k z y x ' ' ' 0 0 0 0 0 0 (16) and:

[ ]

B =           d d d d c c c c b b b b l k j i l k j i l k j i (17)

De acordo com Desai e Cristian [6], em termos de coordenadas globais:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

         =         z z z y z x y z y y y x x z x y x x V V V z y x , ' cos , ' cos , ' cos , ' cos , ' cos , ' cos , ' cos , ' cos , ' cos         V V V z y x ' ' ' (18)

(14)

[ ]

                  + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =                   + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ g P g P g P C g P g P g P z z y y x x T z z y y x x ρ ρ ρ ρ ρ ρ ' ' ' ' ' ' (19)

Assim, a expressão (15) pode ser escrita como:

[ ] [ ] [ ]

C k C V V V T z y x − =        

[ ]

                      +             g g g P P P P B V z y x l k j i ρ ρ ρ 6 1 (20)

onde Vx, Vy e Vz são as velocidades do fluxo, em termos de

coor-denadas globais.

De acordo com Desai [8], o fluxo nos nós é igual a :

[ ]

        − =             V V V B Q Q Q Q z y x T l k j i 6 1 (21) Substituindo (20) em (21):

(15)

[ ]

B Q Q Q Q T l k j i 6 1 =            

[ ] [ ][ ]

C k C T

[ ]

                      +             g g g P P P P B V z y x l k j i ρ ρ ρ 6 1 (22) A matriz

[ ]

B V K T 36 1 =

[ ] [ ][ ] [ ]

C k C T B (23)

é a matriz de rigidez do tetraedro.

3.2. Fluxo em drenos lisos

A Figura 6 indica um elemento finito unidimensional, limitado pe-los nós I e J, que representa um dreno circular com fluxo na dire-ção X'. Indica-se ainda, um sistema de coordenadas globais XYZ.

Assumindo que a lei de Darcy, para tubos circulares lisos, possa representar o fluxo de água nos drenos, tem-se que:

Vdreno ν 32 2 D g = i (24)

(16)

Onde Vdreno é a velocidade do fluxo no dreno (m/s), g é a

acelera-ção da gravidade (m/s2), Dé o diâmetro do dreno (m) and ν é a

viscosidade cinemática da água.

A equação (24) pode ser escrita como:

Vx' = K x' i x' (25)

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), Kx' é o

coefi-ciente de permeabilidade do dreno liso, "equivalente" ao coefici-ente de permeabilidade K de um meio poroso, na direção X' (m/s) e ix' é o gradiente hidráulico na direção X'.

Comparando-se as equações (24) e (25), tem-se:

Kx' ν 32 2 D g = (26)

A equação (25), de acordo com Hubbert's [4], pode ser expressa da seguinte forma:       ₊ ∂ ∂ − = K P g V x x x x _' ' ' ' ρ (27)

(17)

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), Kx' é o

coefi-ciente de permeabilidade na direção X' (m/s), P é a pressão em

um ponto no interior do elemento (kN/m2), ρ é a densidade da

água (kN/m3) e gx' é o componente da aceleração da gravidade,

na direção X' (m/s2).

Assumindo uma variação linear para P, no interior do dreno:

P = α1 + α2x' (28) E, em forma matricial:

{ }

      = α α 2 1 ' 1 x P (29) Da equação (28) tem-se: α2 ' = ∂ ∂ x P (30)

Aplicando a equação (28) aos nós I e J:

              =       α α 2 1 ' 1 ' 1 x x P P j i j i (31)

(18)

A inversão de (31) permite determinar α1 e α2:             − − − =       P P x x x x j i i j i j 1 1 ' ' ' ' 1 2 1 α α (32)

A substituição de (30) e (32) em (27) permite determinar a veloci-dade no dreno:

{ }

[ ]

[

]

[ ]{

K g

}

P P x x K V x _x j i i j x x' ' 1 1 ' ' ' ' 1 ₋ _ρ       − − − = (33)

O fluxo nos nós I e J pode ser expresso por:

      Θ − Θ +                 − − =       sen sen ' ' ' ' ' ' g k A g k A P P L k A L k A L k A L k A Q Q x x j i x x x x j i ρ ρ (34)

onde Qi é o fluxo no nó I (m3/s), Qj é o fluxo no nó J (m3/s), Aé a

área da seção transversal do dreno (m2), Kx' é o coeficiente de

permeabilidade "equivalente" do dreno (m/s), Pi é a pressão no nó I (kN/m2), Pj é a pressão no nó J (kN/m2), Θ é o ângulo entre as direções X e X' (0), ρ é a densidade da água (kN/m3) e gé a aceleração da gravidade (m/s2).

(19)

Na expressão (34), a matriz:

{ }

          − − = L k A L k A L k A L k A K x x x x ' ' ' ' (35)

é a matriz de rigidez do elemento dreno.

3.3. Solução do sistema de equações

Seguindo o exposto em Kealy and Busch [7], considerando-se todos os elementos conectados a um nó "M" qualquer, a conti-nuidade do fluxo neste nó será assegurada por:

∑

= = m i i M

Q

1 0 (36)

onde "m" é o número total de elementos conectados ao nó "M" e "i" é o elemento a partir do qual

Q

i

(20)

4. Verificação da precisão do modelo

A Figura 7 mostra uma barragem de concreto, apoiada em mate-rial homogêneo e isotrópico, juntamente com os dados necessá-rios para utilização da solução analítica (2).

A Figura 8 indica a malha de elementos finitos tridimensionais, utilizada para a análise da percolação nas fundações da barra-gem indicada na Figura 7.

Os resultados obtidos pelas duas soluções estão indicados na Figura 9 e na Figura 10 que mostram os diagramas de subpres-são na base da barragem de concreto, tanto no sentido monta n-te-jusante quanto no sentido ombreira-ombreira.. As duas seções foram traçadas passando pelos drenos.

5. Conclusões

Os resultados das análises, indicadas na Figura 9 e na Figura 10, mostram uma aderência muito boa entre os resultados obtidos através da solução analítica e através do modelo numérico pro-posto, para as subpressões na base da barragem.

(21)

Embora a solução numérica tenha eliminado a maioria das limita-ções da solução analítica, ela ainda possui algumas limitalimita-ções como as que exigem que o material de fundação seja contínuo e que os drenos sejam lisos. Apesar destas limitações, os resulta-dos das análises indicaram que a solução numérica proposta pode ser utilizada, de forma adequada, em análises de percola-ção de casos reais de barragens de concreto.

(22)

Referências bibliográficas

[1] Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media. Ann Arbor: J.M. Edwards: 1946.

[2] Casagrande A. Control of seepage through foundations and abutments of dams. Primeira "Rankine lecture". Milestones in soil mechanics. London: Institution of Civil Engineers: 1975:1-21.

[3] Simunek J, Huang K, van Genuchten M Th. The Swms3d code for simulating flow and solute transport in three-dimensional variably-saturated media. Riverside. California. Research re-port no. 139: U.S. Salinity Laboratory: 1995.

[4] Hubbert MK. The Theory of Ground-Water Motion. J. Geol. Vol. 48. No. 8. Parte 1: 1940: 785-944.

[5] Zienkiewicz OC. The finite element method. London: McGraw-Hill: Terceira edição: 1977.

(23)

[6] Desai CS e Christian JT. Numerical methods in geotechnical engineering. Nova Iorque: McGraw-Hill: 1977.

[7] Kealy CD e Busch RA. Determining Seepage Characteristics of Mill Tailings Dams by the Finite Element Method. Washi n-gton: US Bureau of Mines Report of Investigation: RI-7477: 1971.

[8] Desai CS e Abel JF. Introduction to the finite element method. Nova Iorque: Van Nostrand Reinhold: 1972.

[9] Da Silva Filho JF. Modelo numérico para a análise do fluxo tri-dimensional de água através das fundações de barragens de concreto assentes sobre rochas contínuas permeáveis. Tese de doutorado apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas, da Universidade Federal de Minas Gerais: 2002.

(24)

(25)

Figura 2 - Barragem de concreto com uma galeria de drenagem e uma linha de drenos

(26)

Figura 3 - Seção transversal - Estruturas da tomada d'água e casa de força

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Figura 9 - Diagrama de subpressões na base de gem de concreto - Seção montante-jusante

(33)

Figura 10 - Diagrama de subpressões na base de gem de concreto - Seção ombreira-ombreira