Método Primal-Dual de Pontos Interiores Aplicados ao Problema de Fluxo de Potência Ótimo com Restrições de Reserva

(1)

M´

etodo Primal-Dual de Pontos Interiores Aplicados

ao Problema de Fluxo de Potˆ

encia ´

Otimo com

Restri¸c˜

oes de Reserva

Mayk Vieira Coelho FEEC - UNICAMP

Av. James Maxwell 30 Cidade Universit´aria Bar˜ao Geraldo 13083-852 - Campinas-SP Brasil

mayk@cose.fee.unicamp.br Secundino Soares Filho

FEEC - UNICAMP

Av. James Maxwell 30 Cidade Universit´aria Bar˜ao Geraldo 13083-852 - Campinas-SP Brasil

dino@cose.fee.unicamp.br Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira

IMECC - UNICAMP

Rua S´ergio Buarque de Holanda, 651 Campinas, SP, Brasil

aurelio@ime.unicamp.br

Resumo

O método de pontos interiores primal-dual será desenvolvido para o problema de minimiza¸cão das perdas na gera¸cão e transmissão do fluxo de potência ótimo DC de um sistema de potência hidrotérmico considerando restri¸cões de reserva de energia em um subconjunto de geradores, será explorada ainda a estrutura matricial resultante, objetivando uma implementa¸cão eficiente. Além disso, estudos de caso serão feitos utilizando o sistema elétrico IEEE30.

Palavras-chave. Fluxo de Potência Ótimo, Pontos Interiores, Reserva de Potência. ´

Area principal - EE - Energia El´etrica

Abstract

The primal-dual interior point method is developed for the minimization of loss problem in the generation and transmission of the DC power flow hidrotermic system considering power reservation constraint in a subset of generating units. The resulting matrix structure is exploited aiming at an efficient implementation. Case studies are performed using the IEEE30 power system.

Keywords. Optimal Power Flow, Interior Point Methods, Power Reservation. Main area - EE - Electrical Energy

(2)

1 Introdu¸c˜

ao

Desde o surgimento dos métodos de pontos interiores para programa¸cão linear, códigos com-putacionais baseados nessas idéias vêm se apresentando como alternativas para resolu¸cão de problemas de grande porte [Adler et al., 1989, Gondzio, 1996, Oliveira and Sorensen, 2005].

Na área de sistemas de potência o advento dos métodos de pontos interiores trouxe à tona uma nova linha de pesquisa. Estes métodos são reconhecidos atualmente por sua robustez [Momoh et al., 1999, Quintana et al., 2000] principalmente devido ao tratamento eficiente de desigualdades.

Neste trabalho será desenvolvido o método de pontos interiores primal-dual para o problema de minimiza¸cão das perdas na gera¸cão e transmissão do fluxo de potência ótimo CC de um sistema de potência hidrotérmico considerando restri¸cões de reserva de potência em um sub-conjunto de geradores, será explorada ainda a estrutura matricial resultante, objetivando uma implementa¸cão eficiente. Será feita ainda uma compara¸cão com o modelo sem restri¸cões de reserva de potência [Oliveira and Soares, 2000].

Quando um sistema de potência sofre uma contingência, como a perda de unidades de trans-missão ou de gera¸cão, podem ser verificados desequil´ıbrios no conjunto carga-gera¸cão ou ex-trapola¸cões nos limites de capacidade dos circuitos de transmissão. Nestas situa¸cões torna-se necessário o emprego de medidas corretivas que eliminem estas viola¸cões operativas, recondu-zindo o sistema a um ponto de opera¸cão seguro.

Dentre o conjunto de medidas corretivas dispon´ıveis, destacam-se o redespacho de potência ativa, reservando ou não potência, o controle de tensão e o corte de carga.

O servi¸co ancilar de reserva de potência é provido por geradores conectados à rede elétrica e sincronizados com o sistema. Este servi¸co visa disponibilizar uma quantidade extra de potência ativa, que pode ser imediatamente utilizada durante uma situa¸cão de contingência para resta-belecer o equil´ıbrio no conjunto carga-gera¸cão.

Para que esta reserva de potência seja disponibilizada, torna-se necessário que os geradores reduzam a gera¸cão de potência ativa durante a opera¸cão normal do sistema, com objetivo de reservar uma parcela de sua capacidade de gera¸cão para situa¸cões de contingência.

A reserva de potência é um produto fundamentalmente diferente da energia. Enquanto que para a energia negociada sua utiliza¸cão é programada antecipadamente, a reserva de potência deve estar dispon´ıvel para ser usada imediatamente, caso ocorra uma contingência no sistema.

A oferta para a reserva de potência é feita por geradores, que também atendem o mercado de energia [Allen and Ilic, 2000].

Esta quantidade da reserva de potˆencia dispon´ıvel depende do n´ıvel de confiabilidade e de seguran¸ca que se quer.

No Brasil, OIS (Operador Independente do Sistema) pode requisitar, para garantir uma opera¸cão eficiente e segura do sistema, o redespacho de um gerador reduzindo sua potência ativa a fim de permitir que o mesmo forne¸ca mais reserva de potência[Rodr´ıgues and Saavedra, 2007].

(3)

2 Formula¸c˜

ao Matem´

atica

Será apresentado agora o modelo de fluxo de potência ótimo (CC) com reserva de potência operacional: min αft_Rf ₊ _β¡_pt_{Qp + c}t_p¢ s.a Af = Ep − l Xf = 0 p + r_e = p_u vt_r e ≥ τ fl ≤ f ≤ fu p_l ≤ p ≤ p_u 0 ≤ re≤ reu (1) onde:

• m, n e g s˜ao os n´umeros de barras, linhas de transmiss˜ao e de geradores respectivamente;

• f : Vetor n × 1 de fluxo de potência ativa; • p: Vetor g × 1 de gera¸cão de potência ativa; • re: Vetor g × 1 de reserva de potência ativa;

• Γ: Conjunto dos geradores com reserva de potˆencia;

• τ : m´ınimo de reserva de potência exigida em um subconjunto Γ de geradores; • Q: Matriz diagonal g × g da componente quadrática do custo de gera¸cão; • R: Matriz diagonal n × n de resistência das linhas;

• l: Vetor m × 1 de demanda de potˆencia ativa; • X: Matriz (n − m + 1) × n de reatˆancia das linhas;

• E: matriz de ordem m × g com cada coluna contendo exatamente um elemento igual a 1,

correspondendo `as barras de gera¸c˜ao, e os demais elementos nulos;

• c: Vetor g × 1 da componente linear do custo de gera¸cão; • A: Matriz m × n de incidência da rede de transmissão;

• fu, fl, pu, pl e reu: Vetores de limites de fluxo, de gera¸cão de potência ativa e de reserva de potência requisitada respectivamente;

• α e β: pondera¸c˜oes dos objetivos a minimizar.

• v ´e um vetor g × 1 tal que vi = (

1 se o gerador i ∈ Γ 0 caso contr´ario

(4)

O sistema de transmissão é representado por um fluxo de carga CC com limites no fluxo de carga ativo. Para que as variáveis de gera¸cão (p) e de transmissão (f) possam ser expressas simul-taneamente no modelo, as leis de Kirchhoff são apresentadas separadamente [Carvalho et al., 1988].

O conjunto de restri¸cões para este problema é linear onde, as duas primeiras restri¸cões representam a rede de gera¸cão/transmissão, representando as leis de Kirchhoff pra nós e circuitos respectivamente.

A terceira e quarta equa¸cões representam a defini¸cão e a restri¸cão de reserva de energia respectivamente, as demais equa¸cões representam as capacidades de gera¸cão e transmissão do sistema e o limite de reserva de energia. A inclusão de reserva de energia torna redundante o limite superior da capacidade de gera¸cão das usinas.

A fun¸cão de perdas na gera¸cão hidráulica (pt_{Qp + c}t_{p) com Q matriz diagonal modela as} três formas mais importantes de perda:

• Varia¸c˜oes na cota de jusante;

• Perdas na tubula¸cão de adu¸cão da unidade geradora; • Perdas associadas à eficiência do par turbina-gerador.

O custo de gera¸cão associado às termoelétricas também é uma fun¸cão quadrática indepen-dente para cada gerador. Portanto, utilizando o modelo descrito para minimizar as perdas na gera¸cão hidráulica e custos na gera¸cão térmica, as duas componentes da fun¸cão objetivo são quadráticas com variáveis separáveis, uma vez que a matriz R também é diagonal.

Vale ressaltar que os métodos de pontos interiores para problemas com esta caracter´ıstica apresentam desempenho similar ao obtido para problemas lineares. Em particular, o esfor¸co por itera¸cão é virtualmente o mesmo em ambas as situa¸cões.

3 Aplicando o M´

etodo Primal-Dual de Pontos Interiores

Colocando o problema (1) na forma padrão, com ajuda de algumas mudan¸cas de variáveis e o acréscimo de variáveis de folga, obtém-se a seguinte formula¸cão:

min α µ 1 2f t_{Rf + c}t ff ¶ + β µ 1 2p t_{Qp + c}t pp ¶ s.a Bf −Ep =b bl p + re = pu vt_r e− s = τ f + s_f = f_u p + sp = pu re+ sre = reu (f, p, re, s, sf, sp, sre) ≥ 0 onde c_f = Rf_l , c_p = c + Qp_l, la_{= Ep} l− Afl− l e lb= −Xfl B = " A X # , E =b " E 0 # , bl = " la lb # . Reescrevendo as restri¸c˜oes na forma matricial tˆem-se:

(5)

T q = b onde T =          B −Eb 0 0 0 0 0 0 I I 0 0 0 0 0 0 vt _{−I 0 0 0} I 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 I          q =             f p r_e s s_f s_p sre             e b =          b l pu τ fu pu r_eu          .

O que resulta no seguinte problema dual associado:

max blt_{y + p} utyr+ τtw + futwf + ptuwp+ rteuwre−α₂ftRf −β₂ptQp s.a Tt_{y ≤ C} onde y =          y yr w wf wp wre          e C =             α(c_f + Rf ) β(cp+ Qp) 0 0 0 0 0            

Acrescentando as vari´aveis de folga e fazendo as mudan¸cas de vari´aveis:

wf := −wf, wp := wp, e wre := −wre tˆem-se max blty + putyr+ τtw − futwf − putwp− rteuwre−α₂ftRf −β₂ptQp sa Bt_{y − w} f + zf − αRf = αcf −Ebt_{y + y} r− wp+ zp− βQp = βcp yr+ wτ − wre+ zre = 0 (w, wf, wp, wre, zf, zp, zre) ≥ 0

Logo tˆem-se as condi¸c˜oes de otimalidade:

(P ) =                  Bf −Ep =b bl p + re = pu vtre− s = τ f + sf = fu p + sp = pu re+ sre = reu (C) =                        F Zfe = µe P Z_pe = µe ReZree = µe sw = µ S_fW_fe = µe SpWpe = µe SreWree = µe

(6)

(D) =      Bt_{y − w} f + zf − αRf = αcf −Ebt_{y + y} r− wp+ zp− βQp = βcp yr+ wτ − wre+ zre = 0

onde as vari´aveis F , P , Re, Sf, Sp, Sre, Zf, Zp, Zre, Wf, Wp e Wre s˜ao da forma Λ = diag(λ) e

e ´e um vetor de uns.

Aplicando o método de Newton às condi¸cões de otimalidade têm-se as dire¸cões de Newton:

                                                               B∆f −E∆p = rb _{f p} ∆p + ∆r_e = r_pres vt_∆r e− ∆s = rres ∆f + ∆s_f = r_f ∆p + ∆s_p = r_p ∆re+ ∆sre = rre Bt_{∆y − ∆w} f + ∆zf− αR∆f = ryf −Ebt_{∆y + ∆y} r− ∆wp+ ∆zp− βQ∆p = ryp ∆yr+ v∆w − ∆wre+ ∆zre = rwz F ∆z_f + Z_f∆f = r_zf P ∆zp+ Zp∆p = rzp Re∆zre+ Zre∆re = rzre s∆w + w∆s = r_sw Sf∆wf + Wf∆sf = rswf Sp∆wp+ Wp∆sp = rswp S_re∆w_re+ W_re∆s_re = r_swre onde rf p = bl − Bf +Epb rτ = τ − vtre+ s r_pres = p_u− p − r_e rf = fu− f − sf rp = pu− p − sp r_sre = r_eu− r_e− s_re ryf = α(cf + Rf ) − Bty + wf− zf r_yp = β(c_f + Qp) +Ebt_{y + w} p− zp rwz = −yr− vw + wre− zre rzf = µe − F Zfe r_zp = µe − P Z_pe rzre = µe − ReZree rsw = µ − sw r_swf = µe − S_fW_fe rswp = µe − SpWpe rswre = µe − SreWree

No sistema anterior vamos isolar as dire¸c˜oes de Newton referentes as “vari´aveis de folga”, primais e duais, exceto ∆w:

∆zf = F−1(rzf− Zf∆f ) ∆zp = P−1(rzp− Zp∆p) ∆zre = Re−1(rzre− Zre∆re) ∆wf = S_f−1(rswf − Wf∆sf) ∆wp = Sp−1(rswp− Wp∆sp) ∆wre = Sre−1(rswre− Wre∆sre) ∆s = vt_∆r e− rres ∆s_f = r_f − ∆f ∆sp = rp− ∆p ∆sre = rre− ∆re

Substituindo esses valores nas dire¸c˜oes de Newton obtidas acima chega-se ao seguinte sistema reduzido:

(7)

                   B∆f −E∆p = rb f p ∆p + ∆re = rpres Bt_{∆y − D} f∆f = eryf −Ebt_{∆y + ∆y} r− Dp∆p = eryp ∆y_r+ v∆w − D_re∆r_e = er_wz s∆w + wτt∆re = ersw onde D_f = S_f−1W_f + F−1_Z f + αR Dp = Sp−1Wp+ P−1Zp+ βQ D_re = S−1 re Wre+ Re−1Zre e ryf = ryf+ S_f−1rswf − S−1_f Wfrf − F−1rzf e ryp = ryp− P−1rzp+ Sp−1(rswp− Wprp) e rwz = rwz+ Sre−1(rswre− Wrerre) − R−1e rzr e rsw = rsw+ wres

observe que D_f, D_p e D_re s˜ao matrizes diagonais.

Agora, isolando as dire¸c˜oes de Newton relacionadas as vari´aveis primais do sistema anterior: ∆f = −D−1_f (reyf− Bt∆y)

∆p = −D−1

p (reyp+Ebt∆y − ∆yr) ∆re = −D−1re(rewz− v∆w − ∆yr)

Substituindo estas dire¸c˜oes no sistema reduzido acima tˆem-se o seguinte:

     ¯ M ∆y −EDb −1 p ∆yr = ref p

−D−1_p Ebt∆y + Dyr∆yr+ D−1rev∆w = repres

wvt_D−1 re∆yr+ (s + wvtDre−1v)∆w = rbsw onde ¯ M = BD_f−1Bt₊_EDb −1 p Ebt Dyr = D−1re + D−1p e rf p = rf p+ BDf−1eryf−EDb p−1eryp e rpres = rpres+ Dp−1eryp+ D−1rerewz b rsw = resw+ wτtD−1rerewz

Da segunda equa¸c˜ao do sistema anterior obt´em-se

∆yr= D−1yr(erpres+ D−1p Ebt∆y − Dre−1v∆w)

Substituindo ∆y_r nas equa¸c˜oes restantes tˆem-se o seguinte sistema:

( M ∆y + U ∆w = rb_{f p} wVt∆y + h∆w = ¯rsw onde M = M −¯ EDb _p−1D_yr−1D_p−1Ebt U = EDb −1 p D−1yrD−1rev h = s + wτt_D−1 rev − wvtDre−1Dyr−1Dre−1v b r_{f p} = re_{f p}+EDb −1 p D−1yrrpre e rpres = rpres+ D−1p reyp+ Dre−1erwz ¯ r_sw = rb_sw− wτt_D−1 reDyr−1repres

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O sistema obtido pode ser resolvido como em [Oliveira and Lyra, 2004] da seguinte forma:          ∆w = r¯sw− wVty0 h + wUt_y₁ ∆y = y₀+ y₁∆w onde y0 = M−1ref p y1 = −M−1U

Assim o fluxo de potência ótimo com restri¸cões de reserva de potência operacional pode ser resolvido aplicando-se o método primal-dual de pontos interiores com a mesma eficiência obtida no problema sem essas restri¸cões.

4 Estudos de Casos

Foram feitos alguns estudos de casos utilizando o sistema IEEE 30. Inicialmente serão feitos estudos de análise de sensibilidade do modelo básico, não exigindo uma reserva de potência. Esses estudos consistem em altera¸cões nos valores de α e de β, no custo de alguns geradores e do limite de fluxo de potência em algumas linhas de transmissão do sistema.

Em seguida serão feitos estudos de casos exigindo reserva de potência. Afim de comparar resultados, a mesma reserva será exigida para diversos subconjuntos de geradores. Será feita ainda uma compara¸cão com os resultados obtidos utilizando o modelo sem restri¸cões de reserva de potência.

A linguagem de programa¸c˜ao utilizada foi MATLAB 6.5 em um processador Intel r°CoreTM₂

CPU 6600 2, 4GHz com 2GB de mem´oria RAM.

Para a convergência do método foi utilizada uma precisão na ordem de 10−8

O sistema IEEE 30 possui 30 barras sendo 6 delas geradores, com uma demanda de 283, 4M W . Na Figura 1 pode-se observar seu diagrama unifiliar.

Figura 1: Diagrama unifiliar do Sistema IEEE30.

Afim de simplificar a interpreta¸c˜ao dos resultados, ser˜ao considerados os seguintes dados iniciais:

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• A potˆencia m´ınima gerada de cada gerador ser´a considerada com sendo 0M W , ou seja, p_l= 0;

• Fun¸cão de custo quadrático pura, isto é, no sistema 1, a fun¸cão objetivo com cp = 0

• Geradores de custos iguais, ou seja, matriz Q = I;

• Limite de Fluxo fu = 200M W nas linhas de transmiss˜ao ´e fl= −fu;

• Geradores sem limites de produ¸c˜ao;

Iniciando os estudos de casos, minimizando apenas perdas nas linhas de transmissão (T) (alpha = 1 e β = 0) faz com que os geradores mais próximos das cargas produzam maior potência, visto que não há limites para a produ¸cão de cada gerador, o despacho obtido produz a menor perda poss´ıvel.

Como a matriz Q = I, minimizar apenas o custo na gera¸cão (G) (α = 0 e β = 1) faz com que o despacho de potência ótimo distribua de forma uniforme a potência entre os geradores do sistema, já que ainda não é imposto um limite de gera¸cão entre eles que impessa essa uniformidade.

Reduzindo o custo do gerador 1 pela metade e dobrando o do gerador 5 (Gc) é de se esperar que este último produza metade da potência obtida pelos que não tiveram seus custos alterados, da mesma forma, espera-se que o primeiro, por ser mais barato, produza o dobro da potência obtida por estes geradores. Esses despachos podem ser observados na Figura 3 ´ıtens (T), (G) e (Gc).

Agora mantendo o cen´ario anterior, e impondo os limites de produ¸c˜ao (Gcl) da Tabela 1 o ´

unico gerador no estudo (Gc) que viola seu limite é o 1, desta forma, este gerador at´ınge sua máxima produ¸cão e a potência deixada de ser produzida passa a ser distribu´ıda entre os demais geradores.

Até então observou-se o despacho de potência sem considerar limites de gera¸cão, para os testes de agora em diante os limites serão os seguintes:

Gerador 1 2 5 8 11 13 Limite (MW) 55 55 70 70 60 60

Tabela 1: Limites de gera¸c˜ao de potˆencia nos geradores do sistema IEEE 30

O limite de fluxo máximo de potência na linha de transmissão 9-11 (Gclf) foi reduzido para 25MW. Como esta é a única linha de transmissão do gerador 11 (ver Figura 1) é de se esperar que sua produ¸cão diminua para 25MW, fazendo com que a potência restante seja distribu´ıda entre os demais geradores ainda com capacidade.

Finalizando os estudos de casos, agora será feito com que o modelo minimize as perdas nas linhas de transmissão e o custo na gera¸cão (TGclf), para isso será considerado α = cm e β = 1, onde cm é o custo marginal dos geradores no estudo anterior. Os despachos para esses estudos podem ser observados na Figura 2 ´ıtens (Gcl), (Gclf) e (TGclf).

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Figura 2: Despachos de potˆencias sem exigˆencia de Reserva.

Observe que mesmo o gerador 5 sendo mais caro que os demais, este atingiu seu limite de produ¸cão, já o gerador 1, o mais barato, teve menor produ¸cão. Isso se dá devido a proximidade dos geradores das cargas do sistema.

Assim, os testes feitos at´e o momento asseguram a funcionabilidade do modelo.

4.1 Reserva de Potˆencia no sistema IEEE 30

Os testes a seguir serão feitos para minimizar os custos na gera¸cão (G), com os limites impostos aos geradores na tabela 1, exigindo 70M W de reserva de potência em cada conjunto Γn espe-cificado. Esta escolha foi feita simplesmente para que haja uma maior visualiza¸cão dos efeitos provocados no despacho de potência ao se exigir uma reserva em um determinado subconjunto de geradores do sistema.

Assim, para iniciar seja Γ1 = {5, 8}. A Figura 3 Γ1 ilustra o despacho obtido:

Note que os gerador 5 e 8 satisfazem a exigência de reserva, reduzindo sua produ¸cão, o que faz com que os demais aumentem para satisfazer a demanda do sistema (comparar Fig. 3 G com Fig. 3 Γ1. Note também que os geradores que estão com reserva de potência produzem, entre si,

a mesma quantidade. Os demais geradores tamb´em apresentam o mesmo comportamento entre eles.

Agora aumentando o n´umero de geradores com exigˆencia de reserva, sendo Γ2= {2, 5, 8}. A

Figura 3 Γ2. ilustra o despacho obtido:

Observe que este despacho de potˆencia, al´em de satisfazer a reserva exigida em Γ2, apresentou

o mesmo comportamento do despacho em Γ₁, uniformizando a potˆencia produzida entre os geradores de cada grupo. O mesmo pode ser notado na Figura 3 Γ3., que ilustra o despacho de

potˆencia com reserva em Γ3= {1, 2, 5, 8, }.

Figura 3: Despachos de potˆencias com exigˆencia de Reserva.

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atingiu seu limite de produ¸cão, caso isso acontecesse, a distribui¸cão uniforme de potência acon-teceria entre os demais geradores fora da reserva com seus limites ainda não atingidos.

A tabela 2 resume os resultados obtidos para o sistema IEEE30: Reserva

Testes Itera¸c˜oes Tempo(s) Natural(Mw) Alcan¸cada (Mw)

Γ0 8 0,010 86,62

-Γ1 11 0,018 45,54 70

Γ2 9 0,014 53,31 70

Γ3 9 0,014 61,08 70

Tabela 2: Dados Obtidos: Testes com IEEE30

Conclus˜

oes

Dos dados da Tabela 2 pode-se tirar as seguintes conclusões: 1) Quanto a varia¸cão do número de itera¸cões:

1.1) Quanto maior é o número de geradores com restri¸cão de reserva, menor será o número de itera¸cões;

1.2) Quanto menor for a diferen¸ca entre a reserva de potência exigida e a reserva natural do subconjunto Γ, menor será o número de itera¸cões.

2) O valor da fun¸cão objetivo, quando exigido reserva de potência, tende a obtida pelo modelo sem restri¸cões de reserva quando o número de geradores com esta restri¸cão aumenta; 3) O tempo de processamento do modelo com restri¸cões de reserva é praticamente o mesmo

que o do modelo sem tais restri¸c˜oes;

Assim conclui-se que para o sistema IEEE 30 os testes foram satisfat´orios. Os testes tamb´em foram feitos para alguns sistemas maiores:

Figura 4: Tabela de resultados para sistemas maiores

Nos sistemas da Tabela acima, o conjunto Gamma com restri¸cões de reserva tiveram no máximo 20 geradores. Os resultados também foram satisfatórios para esses sistemas.

Referˆ

encias

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(12)

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