André Luís Corte Brochi Professor da Faculdade Interativa COC
Resolução de problemas
Oficina de Matemática
Fundamental II
Conteúdo
• Elementos teóricos sobre resolução de
problemas.
• Sugestões de atividades sobre resolução de
problemas envolvendo operações, variações
proporcionais e equações.
• Discussão sobre o ensino da matemática
através da resolução de problemas.
Construção ou memorização
• O aluno procura atender às exigências do
professor.
• Se o grau de exigência está “acima” da
capacidade de raciocínio/abstração, ele vai
procurar memorizar alguns procedimentos
que lhe permitem chegar aos resultados
esperados pelo professor.
• “Treinar” não resolve o problema.
• O aluno deve estar preparado para enfrentar
O papel do professor
• Não deve expor suas certezas.
• Deve criar, oferecer oportunidades para que o aluno procure suas soluções (resoluções,
respostas).
• Desafiar os alunos a resolverem situações novas e representarem tais resoluções
utilizando esquemas, textos, desenhos, linguagem matemática.
• Motivar o aluno a procurar “novas soluções”
Construção de conceitos
• Os alunos podem desenvolver habilidades de
comunicação, formulação de hipóteses,
senso crítico, raciocínio lógico.
• Regras de dedução são construídas aos
poucos através da interação com o meio,
respeitando os conhecimentos já construídos
pelo aluno.
• O aluno deve ser estimulado a:
9 realizar experiências;
9 estabelecer relações;
O que é um problema?
• Questão ou situação difícil de tratar.
• Aborrecimento, contrariedade, conflito.
• Disfunção, mau funcionamento.
• Questão proposta para investigação, debate
ou solução, em qualquer área do
conhecimento.
• Questão para ser solucionada mediante
cálculos.
Os problemas na matemática
• Muitas vezes são apresentados de forma
desmotivadora.
• Geralmente são trabalhados envolvendo
somente o conteúdo que acabou de ser
abordado.
• Costumam envolver apenas a aplicação de
operações ou técnicas.
Como abordá-los?
Discutindo alguns aspectos
• Auxiliar no desenvolvimento do senso crítico e
de análise do aluno, estimulando sua
capacidade de seleção das informações
importantes.
• É mais importante preparar o aluno para
aprender coisas novas do que lhe transmitir
um grande volume de informações.
• Devem envolver apenas a aplicação de
operações ou técnicas ou tem outra função?
8Como abordá-los?
Discutindo alguns aspectos
• Ajudar no desenvolvimento do raciocínio
autônomo do aluno, na sua capacidade de
relacionar o que é tratado na escola com
situações cotidianas.
Vídeo
Conhecimento matemático
Créditos: Programa Salto Para o Futuro / TV
Escola
Objetivos da resolução de
problemas (Dante, 1997)
• Fazer o aluno pensar produtivamente.
• Desenvolver seu raciocínio.
• Ensiná-lo a enfrentar situações novas.
• Oferecer oportunidades ao aluno de se
envolver com as aplicações da matemática.
• Tornar as aulas mais interessantes e
desafiadoras.
• Proporcionar condições para que o aluno
Tipos de problemas
• Exercício de reconhecimento: tem o objetivo
de fazer com que o aluno reconheça
(identifique, lembre) um conceito,
procedimento, fato específico, técnica etc.
Exemplos:
a)Dois quilogramas equivalem a quantos
gramas?
b)O que é um número primo?
Tipos de problemas
• Exercício de algoritmos: pode ser resolvidos
passo a passo, através da utilização de certos
algoritmos (adição, subtração etc); objetiva
treinar habilidades na execução de algoritmos.
Exemplos:
a)Calcule o valor da expressão . . .
b)Efetue a operação 456 : 3.
Tipos de problemas
• Problema-padrão (convencional): envolve a
aplicação direta de um ou mais algoritmos
(previamente aprendidos); não exige qualquer
estratégia.
Exemplos:
a)Maria tinha três estojos de lápis de cor com
12 lápis em cada. Como perdeu 3 lápis, com
quantos ficou?
b)Meu pai tem 30 anos a mais que eu. Se
somarmos nossas idades, o resultado é 42.
Tipos de problemas
• Problema-processo (heurístico ou não
convencional): desenvolve no aluno a capacidade
de planejar, elaborar estratégias gerais de
compreensão do problema, tentar soluções e
avaliar a adequação do raciocínio desenvolvido e os resultados encontrados; preocupa-se em
valorizar o processo.
Exemplo:
Os integrantes de um grupo contendo 6 alunos
desejam se dividir em grupos de 2 para realizar um trabalho solicitado pela professora. De quantas
formas diferentes eles poderão efetuar essa
Tipos de problemas
• Problema de aplicação (situação-problema ou
problema do cotidiano): é elaborado a partir de
situações do dia-a-dia dos alunos; requer a utilização de conceitos, técnicas e processos
matemáticos; também preocupa-se em valorizar o
processo.
Exemplos:
a)Estimar o gasto a mais acarretado por um
vazamento de água na residência de determinado aluno.
b)Calcular a quantidade de tinta necessária para
pintar uma parede a partir de informações sobre as dimensões dessa parede e sobre o rendimento da tinta que será utilizada.
Problema de aplicação
(cotidiano)
• Exige conhecimento específico.
• Incentiva a coleta de informações e organização
dos dados.
• Promove a construção e análise de
tabelas/gráficos/esquemas.
• Mostra a necessidade de utilização de cálculos
envolvendo diferentes unidades de medidas.
• Requer avaliação dos resultados e elaboração
de relatório com as conclusões.
Tipos de problemas
Problema de lógica: geralmente se apresenta em
forma de textos como histórias e diálogos em que os dados e a solução não são numéricos; propicia que a criança desenvolva estratégias que favoreçam a leitura e compreensão, o levantamento de
hipóteses, a análise dos dados e diferentes registros de resolução
Exemplo:
Tenho 10 pilhas contendo 100 tijolos cada. Todos os tijolos têm o mesmo peso, 500g, com exceção dos que estão em uma das pilhas, que pesam 100 g a mais. Utilizando uma balança uma única vez, como posso descobrir em qual das pilhas estão os tijolos mais pesados?
Tipos de problemas
Problema recreativo: é caracterizado como
aquele que envolve jogos do tipo quebra-cabeças, aspectos históricos curiosos que interessam,
intrigam, envolvem e desafiam os alunos; envolve a criatividade e a possibilidade de encontrar uma ou várias soluções para um único problema, o
desenvolvimento de estratégias e diferentes registros.
Vídeo
Resolução de problemas (medidas e cálculos)
Crédito: Revista Nova Escola – Editora Abril
Interatividade
(Adaptação do Program Pró-letramento do MEC) Em uma comunidade ribeirinha, que vive
praticamente da pesca, a professora propõe o seguinte problema:
“Zé Pedro pescou 3 peixes de manhã e 2 peixes no final da tarde. Quantos peixes Zé Pedro
pescou?”
•Que tipo de problema é esse?
•Discuta e proponha um problema para os alunos dessa comunidade.
Vídeo
Matemática no sítio
[Matemática em toda parte]
Crédito: TV Escola – Ministério da Educação
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/
mec/12540
Interatividade
• Na sua opinião, qual é a importância dos
problemas no ensino da matemática?
• Você costuma utilizar problemas em sua
aula?
• Com que frequência?
• Com que tipo de problema você costuma
trabalhar?
• Que avaliação você faz com relação à
utilização dessa estratégia em sala de aula,
no que se refere à motivação do aluno?
Etapas de resolução de
problemas
• Compreensão do problema
• Elaboração de um plano
• Execução do plano
• Realização do retrospecto ou verificação
Problema 1
(Adaptação de atividade da revista Nova Escola) “Um campo de futebol é drenado por dois
jardineiros em seis horas. Qual o tempo
necessário para apenas um jardineiro drenar um terço do mesmo campo de futebol?”
Problema 1
Primeira etapa
• Primeiramente, deixe que os alunos tentem resolver o problema, em grupos.
• Em seguida faça a pergunta intermediária: “Em quanto tempo apenas um jardineiro executaria a tarefa de drenar o campo de futebol?”
• Promova discussão entre os grupos sobre as informações utilizadas e as estratégias para se chegar a elas.
• Pergunte aos alunos qual a relação entre os
dois problemas propostos e qual é a vantagem de dividir a resolução em etapas. 26
Problema 1
Segunda etapa
• Mostre como a regra de três simples pode ser utilizada na resolução desse problema,
destacando as grandezas inversamente
proporcionais tempo e número de jardineiros. • Sabendo que um jardineiro gasta doze horas
para drenar o campo inteiro, o aluno não terá
dificuldade para determinar quanto tempo gasta para drenar um terço do campo.
• Proponha outros problemas de regra de três composta.
Problema 2
(Enem 2009 - adaptado) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos
aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias
trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, qual foi a quantidade de alimentos arrecadados ao final do
Problema 3
(Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um
orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas,
faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído
pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das
Interatividade
Que estratégia você propõe resolver esse problema?
Como você o classifica?
Problema 4
O dono de uma loja deseja distribuir um prêmio de R$ 1.000,00 entre seus dois funcionários, Celso e Enzo. O primeiro já está há 4 anos na loja e o
segundo completou 18 meses. No último ano, Celso faltou 3 vezes e Enzo apenas uma vez. Se você
fosse o dono dessa loja, como você dividiria esse prêmio? Explique seus motivos.
Problema 4
• Proponha aos alunos que discutam formas de distribuição, sempre justificando os motivos da escolha.
• Estimule-os, com perguntas, a pensar em uma
forma de distribuição que leve em consideração o tempo de serviço na loja e o número de faltas no último ano.
• Peça aos alunos que façam uma análise com
relação à variação das grandezas envolvidas no problema (direta ou inversa).
• Desafie seus alunos a encontrarem estratégias diferentes de resolução.
Vídeo
Matemática no transporte [Matemática em toda
parte]
Créditos: TV Escola – Ministério da Educação
Problema 5
(Disponível em:
http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/ed_ p01.html)
O inspetor Cameron entra na sala e encontra o corpo de uma mulher. Quatro pessoas estavam na sala quando as luzes se apagaram logo antes do crime. Uma destas pessoas é o assassino. No depoimento à polícia, os suspeitos declaram o
seguinte:
Alice: Eu sei quem a matou. Ben: Eu a matei.
Carol: Ben a matou.
Problema 5
Donald: Eu sei que Ben e Carol não são culpados.
A investigação revela que nenhum dos suspeitos é confiável e Cameron corretamente conclui que todos estão mentindo. De qualquer forma, o
inspetor descobre o assassino. Quem matou a mulher? (Caso esse problema esteja muito fácil, tente resolvê-lo supondo que o inspetor
soubesse que apenas um dos suspeitos está mentido.)
Problema 6
Uma cooperativa de colheita propôs a um
fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6
horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por
trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro
argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com
gasto inferior a R$ 25.000,00.
Problema 6
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria a) manter sua proposta.
b) oferecer 4 máquinas a mais.
c) oferecer 6 trabalhadores a mais.
d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
Problema 7
(Enem 2009 – versão 1)
Segundo a Associação Brasileira de Alumínio
(ABAL), o Brasil foi campeão mundial, pelo sétimo ano seguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5% do que foi utilizado no
mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhão de reais anuais em função da reutilização de latas no
Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando assim um “emprego” e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. 38
Problema 7
Essa renda, em muitos casos, serve como
complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.
Revista Conhecimento Prático Geografia, no 22 (adaptado)
Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em torno de
a) R$ 173,00 b) R$ 242,00 c) R$ 343,00 d) R$ 504,00 e) R$ 841,00
Sugestões de links
• Sugestão de aula - Netname:
http://www.netname.com.br/conteudo/pagina/0,6313,E MB-636-2632-,00.html
• Como resolver problemas matemáticos -Netname:
http://www.netname.com.br/bcoresp/bcoresp_mostra/ Matematica/0,6674,EMB-972-7577,00.html
Sugestões de links
• Problemas, história e relação entre temas matemáticos:
http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/pitagoras .html
• Matemática Recreativa e o Centenário do Almanaque Bertrand* :
http://files.fisica-interessante.com/matematica_divertida_almanaque_ bertrand.pdf
Referências Bibliográficas
BRASIL. Secretaria de Educação Básica.
Pró-letramento: programa de formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino
Fundamental. Brasília, 2007. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília : MEC/SEF, 1997.
BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira: ENEM – Brasília :
MEC. Disponível em:
Referências Bibliográficas
BUSHAW, D.; BELL, M.; POLLAK, H.; THOMPSON, M.; USISKIN, Z. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. 9ª ed. São Paulo: Ática, 1997.
MACHADO, N. J. Matemática e realidade: análise dos
pressupostos filosóficos que fundamentam o ensino
da matemática. 4a ed. São Paulo: 1997.
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática:
como dois e dois: a construção da Matemática. São