Distribuição dos Números Primos

Distribuição dos Números Primos

Rafael Afonso Barbosa

1

, Antônio Carlos Nogueira

2

1_{Bolsista do PET-Matemática da Universidade Federal de Uberlândia} 2_{Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia}

Introdução

Historicamente, um problema que tem recebido uma atenção considerável por parte dos matemáticos é a distribuição dos números primos. Algumas questões relacionadas são: 1) Quantos números primos existem?

2) Existe algum polinômio com coeficientes inteiros que possua em seu conjunto imagem somente números primos?

3) Existem primos em progressão aritmética?

4) Quantos primos existem menores que certo inteiro?

Neste trabalho apresentaremos soluções para cada uma destas questões, podendo assim compreender melhor como os números primos estão distribuídos no conjunto dos números inteiros.

1

Números primos

Começaremos discutindo algumas questões básicas como, por exemplo, a quantidade de números primos, teorema fundamental da aritmética, dentre outras.

Definição 1.1: Um número p∈Ν se diz primo se: i) p≠0 e p≠1.

ii) Os únicos divisores de p são1 e p .

Teorema 1.1:

Todo inteiro n>1 pode ser expresso como produto de primos. Dem:

i) Se n é primo, então n=n, que é produto de primos.

ii) Se n é composto, então n=n₁×n₂, onde 1<n1 <n e 1<n2 <n.

iii) Se n₁ e n₂ são, então n é produto de primos caso contrário, proceda como no passo (ii) e assim sucessivamente, um número finito de passos.

r r

p

p

p

p

=

α1

×

α2

×

...

×

α 2 1 

Teorema 1.2: (Teorema Fundamental da aritmética)

A fatoração de qualquer inteiro 1

>

n em primos é única, a menos da ordem dos fatores. Dem:

Suponha por contradição que exista um inteiro 1<n₁ <n com duas fatorações distintas. Dividindo pelos primos comuns as duas representações teríamos uma igualdade da forma: s r

q

q

q

p

p

p

n

=

₁

×

₂

×

...

×

=

₁

×

₂

×

...

×

Onde os p_i` e s q<sub>i</sub>` são primos não necessariamente distintos, mas com nenhum s primo dede lado direito da igualdade ocorrendo do lado esquerdo.

Daí, p₁|q₁×q₂×...×q_s. Logo, p1|q_i para algum i =1,2,...,s. O que é um absurdo, pois p1 ≠qi,i=1,2,...,s, ou seja, mdc(qi,p1)=1,∀i∈{1,2,...,s}.

Teorema 1.3:

Existem infinitos números primos. Demonstração de Euclides:

Suponhamos por contradição que exista um número finito de primos p₁,p₂,...,p_r. Façamos n= p₁×p₂×...×pr +1 e seja p um primo que divide n. Esse número p não pode ser igual a nenhum dos números p₁,p₂,...,p_r porque então ele dividiria

1 ...

2

1× × × =

− p p pr

n , o que é impossível. Assim p é um primo distinto de p1,p2,...,pr e,

por conseqüência, p1,p2,...,pr não podem formar o conjunto de todos os números primos. 

Demonstração de kummer:

Suponhamos que exista um número finito de primos p₁ < p₂ <...< p_n. Seja 2

...

2

1× × × >

= p p p_n

N , pelo teorema fundamental da aritmética temos que o inteiro N −1 teria um fator primo p_i que dividiria também N . Então p_i dividiria N − N( −1)=1, o que é absurdo. 

Demonstração de Hermite:

Basta mostrar que para todo número natural n existe um número primo p>n. Tome

então N = n!+1, pelo teorema fundamental da aritmética temos que existe um número primo p

qualquer dividindo N. Se N −1 então p<n divide n!, então como p divide N e divide n!

teríamos que p dividiria n!−N =1, o que é absurdo. Logo, N−1. Demonstração de Goldbach:

Daremos aqui somente a idéia utilizada por Goldbach em sua demonstração. Basta achar uma sucessão infinita a₁,a₂,a₃,... de números naturais, primos entre si, dois a dois, isto é, sem fator primo comum. Se p₁ é um fator primo de a₁, p₂ um fator primo de a₂,..., p_num fator primo de an,..., então p1,p2,p3,...,pn,... são todos distintos.

Uma seqüência infinita de números naturais, primos entre si dois a dois, descoberta pro Goldbach e, independentemente a mesma demonstração foi descoberta por Hurwitz em 1891 é a seguinte.

Os números de Fermat ₌22n ₊1

n

F (para n≥0) são, dois a dois, primos entre si. Por recorrência sobre m demonstra-se que F_n −2=F₀×F₁×...×F_m−1; então, se n<m, Fn

divideF_m −2. Se existisse um primo p que dividisse simultaneamente F_n e F_m, dividiria 2

−

m

Demonstração de Euler:

Se p é um número primo qualquer, então 1/p<1. Daí, a soma da série geométrica de razão 1/p e primeiro termo 1 é dada por:

p

p

k k

1

1

1

1

0

₋

=

∑

∞ =

Igualmente, se q é outro número primo, então:

q

q

k k

1

1

1

1

0

₋

=

∑

∞ =

Multiplicando membro a membro as duas igualdades acima, obtemos:

q

p

q

pq

p

q

p

₁

1

1

1

1

1

...

1

1

1

1

1

1

_{2 2}

−

×

−

=

+

+

+

+

+

+

O primeiro membro é a soma dos inversos de todos os inteiros naturais da forma h k

q p (com h≥0, k ≥0), cada um sendo contando uma e uma só vez, porque a expressão de cada número natural, como produto de primos é única.

Supõe-se que p1,p2,p3,...,pr formam a totalidade dos números primos. Para cada

r i=1,2,3,..., , tem-se: i k k i

p

p

₁

1

1

1

0

₋

=

∑

∞ =

Multiplicando, membro a membro, essas r igualdades, obtêm-se:

∏

∏ ∑

= = ∞ =

₋

=

r i i r i k k i

p

p

1 1 0

₁

1

1

)

1

(

E o primeiro membro, uma vez efetuadas às operações, é a soma dos inversos de todos os números naturais, cada um contado uma só vez, como resulta do teorema fundamental.

É sabido que a série

_∑

∞

=1

1

n n

é divergente e, como seus termos são positivos, a ordem de soma dos termos é irrelevante; O primeiro membro da igualdade será então infinito, enquanto que o segundo membro será finito. Isto é absurdo. 

Demonstração de Saidak:

Toma-se uma seqüência crescente de números N₁,...N_K,... de tal modo que cada termo NK tenha pelo menos K fatores primos. Dessa forma, conclui-se que existem infinitos

A seqüência inicia comN >0, como N₁ e N₁+1 não tem divisores primos em comum, o produto N₂ = N₁(N₁+1) possui ao menos 2 divisores. Do mesmo modo, N₂ e

1

2 +

N não tem fatores em comum, logo N₃ = N₂(N₂ +1) possui ao menos 3 fatores primos. O processo pode continuar indefinidamente, definindo-se sempre NK = NK−₁(NK−₁+1) e cada NK terá no mínimo K fatores primos. 

A seguir vamos apresentar uma nova demonstração para a existência de infinitos números primos.

Teorema 1.4:

Considere a seqüência de números naturais da forma =2 −pn 1

n

R , p é primo impar. Sempre temos que R_n+1 =R_n×k e mdc(R_n,k)=1, ∀n∈N.

Dem: Observe que2 1 1 (2 ) 1) (2 1)((2 ) 1 (2 ) 2 ... 2 1) + + + + − = − = − − − + n n n n n n _{p p p p p p p p} p . Suponha que mdc₍₂pn −_1,(2pn₎p−1+₍₂pn₎p−2 +_...+₂pn +₁₎=d_{, daí vem que}

1 2

1

2pn − =dx⇒ pn =dx+ substituindo na expressão acima temos:

1 1 ... ) 1 ( ) 1 ( 1 2 ... ) 2 ( ) 2 ( 1 2 1 2 + + + + + + + = + + + + − − − − dx dx dx p p p p p p pn n n

Como cada uma das potencias podem ser escritas da forma dm+1, temos que 1 1 1 1 ... 1 1 _{2 2} 1 + +dm + + +dm − + + +dx+ + dm _p , fazendo M =m₁ +m₂ +...+m_p−2 e observando que o 1 aparece p−2 vezes, segue que:

p x M d dx p dM dx dm dm dm n n n n n n n n n p p p p p p p p p p p p p p p p + + = + + + + + + + − + = + + + + + + + + + + + + + = + + + + − − − − − − − ) ( 1 2 ... ) 2 ( ) 2 ( 1 1 2 1 2 ... ) 2 ( ) 2 ( 1 1 1 ... 1 1 1 2 ... ) 2 ( ) 2 ( 2 1 2 1 2 2 1 2 1

Logo, como d divide (2 ) 1 (2 ) 2 ... 2 1 + + + + − − n n n _{p p p p} p _{temos que} p d p d| ⇒ = ou d ₌1. Observe que: ) 1 (mod 1 − ≡ p p ) 1 (mod 1 2 _{≡ × ≡ −} p p p p ) 1 (mod 1 2 3 _{≡ × ≡ −} p p p p

Daí vem quepn ≡1(modp−1)_,

N n∈ ∀ , ou seja, pn t p n N ∈ ∀ + − = ( 1) 1, . Logo: 1 2 ) 2 ( 1 2 1 2 ( 1) 1 1 − × = − = − p− t+ p− t pn

Pelo teorema de Euler que diz se mdc(a,m)₌1⇒aϕ(m) ≡1(modm),∀a,m∈Z. Temos ) (mod 1 2 1 p p ≡ − _{. Segue que:} ) (mod 1 1 2 1 1 2 ) 2 ( 1 2 1 2 ( 1) 1 1 p t p t p pn ≡ − × ≡ − × = − = − − + −

Logo, p não divide2 −_pn 1

, então (2 1,(2 ) 1 ... 2 1) 1 = + + + − = _pn _pn _p− _pn mdc d .

Como cada número da seqüência é o anterior vezes pelo menos mais um numero primo que não aparece na decomposição do mesmo, podemos afirmar que existem infinitos números primos. 

1.1

Primos em certas progressões aritméticas

Vamos agora fazer algumas observações interessantes relacionadas às varias maneiras que os números primos podem ser escritos usando o algoritmo de divisão de Euclides.

Sabemos pelo algoritmo da divisão que todo inteiro pode ser escrito da seguinte maneira:

,

4n 4 +n 1, 4 +n 2, 4 +n 3

Tendo em vista que n4 e 4 +n 2 são sempre pares. Então todos inteiros primos estão em duas progressões:

* 4 +n 1

1, 5, 9, 13, 17, 21,... *4 +n 3

3, 7, 15, 19,...

É claro que estas progressões contem os números primos. Uma questão que surge então é quantos primos existem em tais progressões. Vamos então fazer uma demonstração usando o argumento parecido com o de Euclides para a infinitude dos números primos.

Lema 1.1.1:

O produto de dois ou mais inteiros da forma 4 +n 1 é da mesma forma. Dem:

Tome k = n4 +1 e k' = m4 +1, tendo em vista que é suficiente considerar o produto de apenas dois inteiros. Multiplicando-os temos:

1 ) 4 ( 4 1 4 4 16 ) 1 4 ( ) 1 4 ( ' + + + = + + + = + × + = ×k n m nm n m nm n m k

O que conclui a demonstração. 

Teorema 1.1.1:

Existem infinitos números primos da forma 4 +n 3. Dem:

Suponha pro contradição que existem finitos números primos da forma4 +n 3, são elesp1,p2,p3,...,pr. Considere N tal que:

3 ) 1 ... ( 4 1 ... 4 _{1 2 3} − = _{1 2 3} − + = p p p pr p p p pr N

Sendo N =r1r2r3...rt sua fatorização em primos. Como n é impar temos que rk ≠2 k,∀ ,então

cada rk é da forma 4 +n 1 ou 4 +n 3. Pelo lema temos que o produto dos inteiros da forma

1

4 +n é da mesma forma, como N é da forma 4 +n 3 temos que algum ri = n4 +3, mas ri

não pode ser igual a algum p1,p2,p3,...,pr, pois se fosse teríamos queri |1. O que é absurdo.

Daí, temos que existem infinitos números primos da forma 4 +n 3. 

A existência da infinidade de números primos da forma 4 +n 1 também é verdadeira, mas em sua demonstração é necessário desenvolver alguns mecanismos matemáticos.

Teorema 1.1.2

: Existem infinitos primos da forma 6 +n 5. Dem:

Sabemos que todos os primos maiores que exceto 2 e 3 são da forma 6 +n 5 ou 6 +n 1, observe que o produto de números da forma 6 +n 1 são da mesma forma. Cosindere um número q da forma 5 ) 1 ... ( 6 1 ... 6 _{1 2 3} − = _{1 2 3} − + = p p p pr p p p pr q

Em que p1,p2,p3,...,pr sejam todos os primos da forma 6 +n 5. Como q é da forma 6 +n 5

algum dos qi' também será. Mas se isto acontecesse teríamos que tal s qi dividiria 1. O que é

absurdo. Então existem infinitos números primos da forma 6 +n 5.

Teorema 1.1.3:

Se a e b são primos entre si, então todo primo impar divisor de a2 +b2 é da forma 4 +n 1.

Não faremos a demonstração do teorema acima, mas o tomaremos como verdadeiro para demonstrar a infinitude de primos da forma 8 +n 5.

Teorema 1.1.4:

Existem infinitos primos da forma8 +n 5. Dem:

Considere q, tal que:

2 2 2 2 2 _{5 7 ... 2} 3 × × × + = p q

é a soma de dois quadrados que não tem fator em comum. O quadrado de um número impar 1

2 +m é 4m(m+1)+1. Observe que m pode ser par ou ímpar, vamos analisar ambas as situações: * m=2r 1 8 1 ) 1 2 ( 8 1 ) 1 2 )( 2 ( 4 r r+ + = r r+ + = n+ *m= r2 +1 1 8 1 ) 1 3 2 ( 8 1 ) 2 2 4 4 ( 4 1 ) 2 2 )( 1 2 ( 4 _{+ + + =} 2 _{+ + + + =} 2 _{+ + + = +} n r r r r r r r

Temos então que o quadrado de um número impar é sempre da forma 8 +n 1. Daí, segue que q é da forma8 +n 5. Pelo teorema 5 todos os primos impares que dividem q são da forma 4 +n 1, entretanto eles também são da forma 8 +n 1 ou 8 +n 5, já que 8 +n 3 e 8 +n 7 não podem ser escritos da forma 4 +n 1, e como o produto de dois números 8 +n 1 é da forma temos que existe pelos menos um fator de q da forma 8 +n 5. Se tal fator fosse menor que p teríamos que ele dividiria _{2 , o que é absurdo, pois ele é ímpar. Logo, existem infinitos} 2

primos da forma 8 +n 5.

Teorema 1.1.5:

(Dirichlet) Se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a

progressão aritmética ,... 3 , 2 , ,a b a b a b a + + +

Contém infinitos números primos.

Teorema 1.2.6:

Não existe uma progressão aritmética formada apenas por números primos. Dem:

Seja a progressão a,a+b,a+2b,a+3b,..., suponha a+nb= p onde p é primo. Se colocarmos n_k =n+kp, =k 1,2,3,..., temos: kpb p kpb nb a b kp n a b n a+ _k = +( + ) = + + = + Então temos que a+n_kb é divisível por p. 

Discutiremos agora um famoso problema sobre os números primos. Por séculos os matemáticos tentam encontrar uma fórmula que fornecesse somente primos, por exemplo:

41 ) ( ₌ 2 _{+ +} n n n f

Este polinômio assume valores primos para n variando de 0 ate 39. Observe a tabela:

n f(n) n f(n) n f(n) 0 41 14 251 28 853 1 43 15 281 29 911 2 47 16 313 30 971 3 53 17 347 31 1033 4 61 18 383 32 1057 5 71 19 421 33 1063 6 83 20 461 34 1231 7 97 21 503 35 1301 8 113 22 547 36 1373 9 131 23 593 37 1447 10 151 24 641 38 1523 11 173 25 691 39 1601 12 197 26 743 13 223 27 797

No entanto, isto não é verdade para os casos n = 40 e n = 41:

2 41 41 41 40 ) 40 ( = × + = f e f(41)=41×42+41=41×43 Mas para n = 42 temos que f(42)=1747 é um número primo.

Vamos provar que não é possível encontrar um polinômio com coeficientes inteiros que tivesse como conjunto imagem somente números primos.

Tome 2 ₀ 2 1 1 ... ) (n a n a n a n an a

f = _k k + _k− k− + + + + com todos os coeficientes inteiros e 0

≠

k

a . Fixado o valor de n, n=n₀, f(n₀)= p é um número primo. Agora, para algum inteiro t, consideremos a expressão f(n₀ +tp):

0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (n tp a n tp a n tp a n tp a n tp a f + = _k + k + _k + k− + + + + + + − ) ( ) ... ( ) (n₀ tp a n₀ a ₁n₀ 1 a₂n₀2 an₀ a₀ pQ t f + = _k k + _k− k− + + + + + ) ( ) ( ) (n₀ tp f n₀ pQ t f + = + )) ( 1 ( ) ( ) (n₀ tp p pQ t p Q t f + = + = +

Onde Q(t) é um polinômio em t com coeficientes inteiros. Nós consideramos quep| f(n₀ +tp), consequentemente, como todos os valores de f(n) são números primos

p tp n

f( 0 + )= para qualquer inteiro t. Como se trata de um polinômio de grau k ele não pode assumir o mesmo valor mais de k vezes, nós encontramos então uma contradição.

Teorema 1.1.7: Teorema dos números primos

O teorema dos números primos é um importante resultado sobre a distribuição dos números primos. Este resultado foi primeiramente demonstrado independentemente por dois matemáticos franceses Jacques Hadamard e Charles Jean De La Valle-Poussin através do estudo da função zeta de Riemann.

Seja π(n) a função de contagem dos números primos, que retorna o numero de primos entre 1 e n. Então vale o limite:

n

n

p

n

n

n

_n n n

/

ln

1

lim

ln

)

(

lim

∞ → ∞ →

=

≈

π

N π(n) n n n ln / ) ( π 10 4 0,921 100 25 1,151 1000 168 1,161 10.000 1229 1,132 100.000 9.592 1,104 1.000.000 78.498 1,084 10.000.000 664.579 1,071 100.000.000 5.761.455 1,061 1.000.000.000 50.847.534 1,054 10.000.000.000 455.052.511 1,048 100.000.000.000 4.118.054.813 1,043 Tabela de π(n) e n n n ln / ) ( π

2

Números Perfeitos

Vamos estudar agora outro tipo de número especial são os chamados números perfeitos.

Definição 2.1:

Um inteiro positivo n é chamado de número perfeito se n for igual à soma de seus divisores positivos, excluindo o próprio n.

A soma dos divisores positivos de um inteiro n, cada um deles menores que n, é dada por φ(n)-n. Deste modo, a condição “n é perfeito” é equivalente a dizer

φ

(n)-n= n

.

Por exemplo:

φ(6) =1+2+3+6=12

φ(28) =1+2+4+7+14+28=2.28 Então 6 e 28 são números perfeitos.

Teorema 2.1

: Se 2 −k 1 _{é primo 1}

≥

k , então =2k−1×(2k −1)

n é perfeito e todo numero perfeito par é desta forma.

Dem:

Tome 2k −1= p, primo, e considere = ×(2k−1)

p n temos mdc(2k−1,p)=1,sabemos que: ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1 1 p p n

ϕ

k

ϕ

k

ϕ

ϕ

= × − = − × ) 1 ( ) 1 2 ( ) (n = k − × p+

ϕ

n n) (2k 1) (2k) 2 ( = − × =

ϕ

Tornando n um número perfeito.

Vamos provar agora que todo número perfeito par é desta forma. Tome n=2k−1×m, onde m é um número inteiro impar e k ≥2. Temos que mdc(2k−1,m)=1,daí

) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1 1 m m m n

ϕ

k

ϕ

k

ϕ

k

ϕ

ϕ

= × − = − × = − ×

Sabemos que para um número perfeito temos

ϕ

(n)=2n=2k ×m, consideraremos então: ) ( 1 2 2 m m× k = k − ×

ϕ

Temos então que 2k −1|2k×m, mas 2 −k 1 _{e 2 são relativamente primos, então} k

m

k _1)|

2

( − ; Daí m=(2k −1)×M.

Substituindo este valo na equação anterior temos

ϕ

(m)= 2k×M . Como m e M são divisores de m M <m, nós temos: M M m m M k k × = + ≥ = × ( ) 2 2

ϕ

Fazendo

ϕ

(m)=m+Ma implicação é uma igualdade se m tiver somente dois divisores positivos, M e m. Considerando m primo tem-se que M = 1; em outras palavras,

1 2 ) 1 2 ( − × = − = k k M

m é um numero primo, o que completa a prova. 

Então o problema de encontrar números perfeitos se reduz a procurar primos da forma 1

2 −k _.

Lema 2.1:

Se k −1

a é primo (a>0,k ≥2), então a = 2 e k é primo também. Dem: Podemos escrever ) 1 ... )( 1 ( 1 1 2 + + + + − = − − − a a a a ak k k

Onde, na presente situação:

1 1 1 ... 2 1 > + ≥ + + + + − − a a a ak k Mas da hipótese k −1

a é primo, o outro fator na decomposição tem que ser 1; isto é, a−1 =1 então a=2.

Se k fosse um número composto, teríamos k =r×s, com 1<r e 1<s. Deste modo ) 1 ... ) ( ) )(( 1 ( 1 ) ( 1_{= − = −} 1₊ 2 _{+ + +} − r s r r s− r s− r k a a a a a a

E cada fator da direita é mairo que 1. Mas isto viola a primaridade de k −1

a , então temos k gerando uma contradição. Logo k é primo. 

Para p = 2, 3, 5, 7, os valores 3, 31, 127 de 2 −p 1 _{são primos, então temos:} 6 ) 1 2 ( 2_× 2 _{− =}

28 ) 1 2 ( 22_× 3 _{− =} 496 ) 1 2 ( 24_× 5 _{− =} 8128 ) 1 2 (

26_× 7 _{− = , são todos números perfeitos.}

Teorema 2.2

: T

odo numero perfeito ar n, termina com 6 ou 8, ou seja, n≡6(mod10) ou ) 10 (mod 8 ≡ n . Dem:

Seja n um número perfeito par, n pode ser escrito como ₌2k−1_×(2k ₋1)

n , onde

1

2 −k _{é primo. De acordo com o lema nterior, o expoente k é primo. Se k = 2, então n = 6 o}

que está deacordocom o teorema. Vamos provar para k > 2, dividiremos o prova em duas partes. Sabemos que pode ser 4 +m 1 ou 4 +m 3.

Se k = m4 +1, então m m m m m m n=24 (24 +1−1)=28 +1−24 =2×162 −16 Como16 ≡t 6(mod10), _{para todo inteiro positivo t.}

Usando congruência temos: ) 10 (mod 6 6 6 2× − ≡ ≡ n Agora, se k = m4 +3: m m m m m m n=24 +2(24 +3 −1)=28 +1−24 =2×162 +1−4×16 Como 16 ≡t 6(mod10) _temos:

) 10 (mod 8 12 6 4 6 2× − × ≡− ≡ ≡ n

Conseqüentemente todo numero perfeito partermina em 6 ou 8. 

Conclusão

Neste trabalho obtivemos importantes informações sobre o problema da distribuição dos números primos, podendo assim compreender um pouco melhor o mistério e o fascínio causado nos matemáticos pelos chamados números primos.

Bibliografia

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[4] Ribenboim P., Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2001.