Resistência dos Materiais - FEUP.pdf

(1)

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

Aula Teórica de 17 – 09 – 2002

Introdução

Introdução à disciplina de Resistência de Materiais 1. Enquadramento no plano de estudos. Objectivos. Programa e conteúdo da disciplina. Método de ensino e de avaliação. Bibliografia.

(2)

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Programa, Conteúdo e Métodos de Ensino das Matérias da Disciplina

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1

Curso de Engenharia Civil

2002 - 2003

(3)

1 1 – INTRODUÇÃO

• Tabuleiro de uma Ponte

• Lajes, Vigas e Pilares

• Teoria das Peças Lineares

G x y z G G linha do eixo médio (C.G.) HOMOGÉNIO MATERIAL _ISOTRÓPICO EST. DEFORMAÇÃO (∆_l) MODELOS DE CÁLCULO RESISTÊNCIA DE

MATERIAIS EST. TENSÃO (σ e τ)

VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA (dimensionamento, etc.) Secção transversal do tabuleiro

(4)

2 2 – ENQUADRAMENTO NO PLANO DE ESTUDOS

(1º e 2º anos) (2º ano) (3º, 4º e 5º anos)

Ciência dos Materiais: Teoria de Estruturas 1 e 2

Mecânica 1 Materiais de Cosntrução 1e 2

Mecânica 2 Estruturas de Betão 1 e 2

Mecânica dos Sólidos

RESISTÊNCIA

DE

MATERIAIS

Cadeiras de Projecto (várias)

3 3 – OBJECTIVOS

• Conteúdo programático adequado às futuras implicações na análise de

problemas reais

de engenharia civil;

• Introduzir o cálculo estático da determinação dos

seis esforços

instalados numa

secção tranversal genérica de uma barra linear no espaço;

• Apresentar com detalhe a

teoria das peças prismáticas

em termos da teoria das

tensões , da teoria das extensões e a descrição constitutiva dos materiais;

• Apresentar as estruturas reticuladas

isostáticas

e

uma vez hiperestáticas

sujeitas a esforços de tracção-compressão e de flexão pura, simples, plana e

desviada;

• Introduzir as

convenções gerais de sinais

utilizadas na análise de estruturas;

• Apresentar

problemas

que dirijam a atenção do formando para as aplicações

(5)

4 4 – PROGRAMA E CONTEÚDO DA DISCIPLINA DE “RM 1”

• São propostos

cinco capítulos

previstos para 39 aulas teóricas

• A

sequência

e a

programação das matérias

é a seguinte:

• CAPÍTULO 1 – Introdução:

consta de uma introdução em que são apresentados os ojectivos, o conteúdo, o programa da disciplina e ainda o método de avaliação. Recorda-se, igualmente, conceitos estáticos de equilíbrio de estruturas assimilados nas disciplinas de Mecânica. A E B C D F G H I J 30 kN/m [m] 1.0 4.0 1.0 3.0 B E _F C A D G VA VD HA 50kN

• CAPÍTULO 2 – Princípios fundamentais:

apresenta os conceitos básicos acerca do comportamento dos materiais, lei constitutiva, bem como a teoria das peças lineares, na formulação que é habitual em Resistência de Materiais.

F F N A B O y u u y

• CAPÍTULO 3 – Critérios gerais de segurança:

introdução aos critérios de verificação de segurança em termos de acções e de resistência dos materiais envolvidos. Definição de coeficientes de segurança e simplificação dos mesmos no caso das situações a estudar em Resistência de Materiais.

Rd

Sd

≤

σ

(6)

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002 •

CAPÍTULO 4 – Tracção e compressão simples:

aplicação da teoria das peças

prismaticas a barras deformáveis de estruturas reticuladas sujeitas somente a esforços axiais. Desprezar o efeito de instabilidade elastica das barras em compressão.

P VB V H A A HB P VB V H A A P VB V H A A V Mola C ou ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

•

CAPÍTULO 5 – Flexão: aplicação da teoria das peças prismaticas a barras deformáveis

de estruturas reticuladas sujeitas principalmente a esforços de flexão. Os temas base são: Diagramas de esforços N, V e M; Tensões normais em flexão pura, simples, plana e desviada; Vigas constituídas por dois materias.

G G S S p P₁ P2 z y x

secção transversal genérica

G S S P₁ P2 z x N T M y M x V x V Análise da secção S-S M M P 1.50_m H= 2kN [cm] 3.0 3.0 15.0 b

(7)

• O período lectivo de Resistência de Materiais 1 distribui-se por

catorze

semanas

5 5 – MÉTODO DE ENSINO E DE AVALIAÇÃO

• O ensino é realizado em

trés aulas teóricas

, de duração de 1 hora cada e em

duas aulas práticas

, de duração de 2 horas cada , por semana.

• Aulas teóricas

são de exposição oral da matéria, no quadro e com a projecção

de transparências ou de multimédia para uma melhor organização e ilustração

das matérias. No fim de cada assunto são formulados e resolvidos alguns

problemas-tipo. As transparências exibidas nas aulas teóricas são disponíveis

aos formandos por intermédio de uma web-page

(endereço a divulgar brevemente)

.

• Aulas práticas

são, sobretudo, destinadas à resolução de fichas de trabalho com

problemas propostos para resolução, capítulo a capítulo, com apoio do

Assistente das práticas. Nestas, evitar-se-ão as introduções teóricas das

matérias. Alguns textos de apoio teórico-práticos estão disponíveis aos

formandos por intermédio de uma web-page

(endereço a divulgar brevemente)

.

• Método de Avaliação da disciplina

- é efectuada com base nas regras descritas

na Ficha da Disciplina e as actuais Normas Gerais de Avaliação

(consultar web-page da SiFEUP)

.

(8)

6 6 – BIBLIOGRAFIA

Em virtude da grande abrangência da Resistência de Materiais 1 e 2, resulta

impossível indicar um livro único de texto que, de forma plenamente satisfatória,

dê cobertura a todas as matérias da disciplina. Contudo recomenda-se os livros

seguintes:

Principal

• Mecânica e Resistência dos Materiais - V. Dias da Silva, Ediliber Ed., Coimbra,

1995.

• Resistência de Materiais - William Nash, , Ed. McGraw-Hill de Portugal, Lda,

2001

Complementar

• Sebenta de Resistência de Materiais - J. Mota Freitas, FEUP, 1978.

• Résistance des Matériaux (1º volume) - Charles Massonnet, Dunod, Paris, 1968

• Vários textos de “suporte teórico e colecção de exercícios resolvidos” para

apoio à disciplina de “Resistência de Materiais 1” – Luis F. P. Juvandes,

FEUP, 2001, publicado electronicamente no endereço:

http://www..fe.up.pt/~juvandes.

• Resistência dos Materiais (1º volume) - S. P.Timoshenko, Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1976.

• Tabelas Técnicas – J. S. Brazão Farinha e A. Correia dos Reis, Edição P.O.B,

Setúbal, 1993.

• Regulamento de Estruturas de Aço para Edifícios (REAE) - Imprensa

Nacional, 1986

• Regulamento de Segurança e Acções para Edifícios e Pontes - Imprensa

Nacional

• Mecânica dos Sólidos (volumes 1 e 2) - S. P.Timoshenko /Gere, Livros

Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro.

(9)

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 - ANO LECTIVO 2002/2003 NORMAS DE AVALIAÇÃO

1. Modo de avaliação de conhecimentos

A avaliação de conhecimentos será efectuada através de avaliação distribuída com exame final, nos termos do parágrafo 3º do Artº 1º das Normas Gerais de Avaliação (NGA).

2. Frequência

2.1 – Condições para obtenção de frequência

Para obtenção de frequência o aluno não pode exceder o número limite de faltas às aulas práticas de acordo com o parágrafo 1º do Art. 4º das NGA. No presente ano lectivo tal limite é fixado em 7 faltas.

2.2 – Componente distribuída da avaliação

A componente distribuída da avaliação consta da resolução de três fichas individuais em três aulas práticas, em datas fixadas com uma antecedência mínima de 1 semana. Os alunos que por razões de força maior, devidamente justificadas, não participem na resolução de alguma ficha, realizarão tal ficha em data a definir. Estas fichas serão corrigidas e classificadas na escala de 0 a 20 valores.

Será atribuída uma classificação de frequência aos alunos que tenham satisfeito as condições referidas em 2.1. Tal classificação é a média aritmética das três classificações obtidas nas três fichas individuais.

3. Exame final

Só têm acesso a exame final os alunos que tenham obtido frequência (Artº 7º das NGA). Os exames finais são escritos e sem consulta, tendo a cotação máxima de 20 (vinte) valores.

4. Classificação final

A classificação final será calculada através da média ponderada da classificação de frequência e da

classificação do exame final, arredondadas à décima, atribuindo-se peso 25% à primeira e peso 75% à

segunda.

A classificação final máxima, por via exclusiva de provas escritas, está limitada a 16 (dezasseis) valores; para a obtenção de classificação superior é necessário realizar uma prova oral suplementar.

5. Alunos dispensados de frequência

A avaliação de conhecimentos para os alunos dispensados de frequência ao abrigo do parágrafo 3º do Artº 4º as NGA será efectuada por um de três critérios:

- Critério adoptado para os alunos ordinários descrito nos pontos 1 a 4; - Realização de exame final com componente distribuída da avaliação; - Realização de exame final sem componente distribuída da avaliação.

Os alunos devem declarar a sua opção antes da realização da primeira ficha individual.

(10)

Aula Teórica de 18 – 09 – 2002

Princípios Fundamentais de RM

Teoria da Peças Lineares ou Barras. Hipóteses fundamentais de RM em termos do material (hip. da continuidade, hip. da homogeneidade, hip. da isotropia) e das deformações (hip. da proporcionalidade, hip. das pequenas deformações). Princípio geral do equilíbrio. Conceitos de Esforço e Tensão. Princípio do Corte, princípio de Saint-Vennant e hipótese de Navier-Bernouilli. Identificação dos esforços internos em Peças Lineares.

(11)

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M”

FOTO 1 – Edifício com estrutura linear.

FOTO 2 – Vigas de cobertura com secção variável (forma contínua).

FOTO 3 – Viga de apoio das longarinas de secção variável (relação pequena da secção vs. vão).

(12)

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M”

1 1 – TEORIA DA PEÇAS LINEARES ou BARRAS

G x y z G G linha do eixo médio (C.G.)

Nocção de

Peça linear

;

• Sólido gerado

por uma área plana “S” que se desloca ao longo de uma linha

GG´;

• O

eixo médio da barra

(linha GG´) é uma linha contínua, não apresenta pontos

singulares e a secção transversal é sempre prependicular a esta;

• A

forma

e a

dimensão

da secção transversal podem variar de modo lento e

contínuo;

• As

dimensões

da secção transversal são consideravelmente menores que o

comprimento do eixo da barra e que o raio de curvatura em qualquer ponto;

A E B C D F G H I J 30 kN/m [m] 1.0 4.0 1.0 3.0 B E _F C A D G VA VD HA 50kN

(13)

2 2 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE “RM”

• MATERIAL

•

Hip. Continuidade

: os sólidos reais são constituídos

por meios contínuos.

•

Hip. Homogeneidade

: as propriedade mecânicas são

as mesmas em qualquer ponto do sólido.

•

Hip. Isotropia

: as propriedade mecânicas são iguais em

todas as direcções em torno de um ponto.

• DEFORMAÇÃO

•

Hip. Proporcionalidade

: num sólido contínuo as

deformações relacionam-se em todos os seus pontos com as tensões, em termos lineares e homogéneos.

•

Hip. das Pequenas Deformações

: os materiais

apresentam deformações pequenas quando comparadas com as dimensões das estruturas.

(14)

3 3 – PRINCÍPIO GERAL DO EQUILÍBRIO

Acções Esforços Deformações A E B C D F G H I J Reacções

Equilíbrio

6 equações Estruturas no espaço •

Equações gerais da estática

3 equações Estruturas plana

Hipo-estáticas _{Sem equilíbrio}

•

Estruturas

Isostáticas Hiper-estáticas Com equilíbrio

• EXEMPLOS:

P VB V H A A P VB V H A A HB P VB V H A A

HIPO - ESTÁTICA ISOESTÁTICA HIPER - ESTÁTICA

4

(15)

• Princípio do Corte –

princípio da igualdade da acção e da reacção. G G S S p P1 _P 2 z y x

• Princípio de Saint-Vennant –

Quando uma secção de uma peça está suficientemente afastada dos pontos de aplicação das forças exteriores, o estado de tensão nessa secção não depende da forma como essas forças estão aplicadas, mas únicamente da resultante.

• Hipótese de Navier-Bernouilli –

Uma secção plana de uma peça linear não deformada

mantem-se plana após a deformada. i

(16)

• Identificação dos esforços internos nas Peças Lineares

G G S S p P₁ P₂ z y x

G S S P₁ P₂ z x N T M y M x V x V Análise da secção S-S M M

Admitindo-se:

• TEORIA DAS PEÇAS

LINEARES • HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE RM. • PRINCÍCIOS FUNDAMENTAIS DE RM

S-S

EQUILÍBRIO

Esforços:











Forças Momento N - Esforço Axial V_x V_y Esforço Transverso T - Momento Torçor M_y M_x Momento Flector

(17)

Esforços reduzidos nos E.P.C.I. (x, y) y x M M N ⇒      (x,y)=σ_N +σ_Mx +σ_My σ T y V V (x,y)=τ_Vx +τ_Vy +τ_T τ ⇒      ⇒ ⇒

Tensões normais em flexão composta

Tensões de corte RESISTÊNCIA DE MATERIAIS - 1

S-S

(Estuda-se)











N - esforço axial

V_y- esforço transverso vertical

M_x- momento flector segundo XX

z N x M y V x

y eixo de solicitação (e. s.)

y

V = V

x

M = M

(18)

Aula Teórica de 20 – 09 – 2002

Princípios Fundamentais de RM

Materiais de RM. Materiais Elásticos (perfeitamente ou parcealmente). Lei Constitutiva do material. Regimes elástico e linearmente elástico. Lei de Hooke. Material dúctil e material frágil. Tabela com as propriedades de alguns materias da construção civil. Ensaio de tracção simples. Determinação do esforço axial, da tensão normal e da deformação axial instalados na barra. Princípio da Sobreposição dos Efeitos.

(19)

MATERIAIS DE “R M”

1 1 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS

• Contínuos • Homogéneos • Isotrópicos

2 2 – PROPRIEDADE - Elasticidade

• Exemplos: acções em barras

Perfeitamente elástico –

[1]

Recuperação da forma inicial após a descarga das acções

δ

=

δ

elástico

• Material Elástico

Parcealmente elástico –

[2]

Apresenta deformação residual após a descarga das acções

(20)

3 3 – LEI CONSTITUTIVA

• Forma geral–

Força = F (Deslocamento)

ou

Tensão = F (Deformação)

Fases de comportamento do material:

O – Origem

P –

Limite de Proporcionalidade

Regime Elástico

E –

Limite de Elasticidade

R – Capacidade máxima (ruína)

C – Rutura (Colapso)

• Leis constitutivas de alguns materiais:

Regime Linear Elástico

P = K

δ

ou

σ = K ε

σ σ σ

Aço macio Aço duro Aço de alta

resistência

Ferro fundido

(21)

• Conceitos:

Dúctil

- Apresenta apreciável deformação antes de

atingir a rotura

Exemplo: Aço macio e o alumino

Frágil

-

Material

A rotura é precedida de uma deformação reduzida

Exemplo: Ferro fundido, betão, aço duro, vidro, pedra

• Lei de Hooke (Robert Hooke, 1678)

(Ensaio de tracção simples)

Regime linear elástico

σ = E ε

Lei de Hooke

[3]

E –

Módulo de elasticidade longitudinal ou Módulo de Young

Hipóteses - Barra de

secção constante

e “P” aplicada

normal à secção

-

Válidos

- Princípio do Corte Cálculo dos esforços (N)

- Princípio de Saint-Vennant Cálculo das tensões (σ) - Princípio de Navier-Bernouilli Cálculo das deformações (δ)

(22)

Esforço Axial na secção (z) –

N(z)

Tensão Normal na secção (z) -

σ(z)

N(z)

σ(z) = P/A (z) = N/A (z)

[4]

Deformação de uma barra de comprimento “L” -

∆L

ou

ε

Alongamento ∆L

(+)

• Deformação (

∆L

)

Encurtamento ∆L

(-)

∆L= L

final

– L

inicial

[5]

• Extensão (

ε

)

adimensional

ε = ∆L /L

[6]

Relação Tensão vs. Deformação – Lei de Hook

σ = E ε

[4] + [5]+ [6]

Material em regime linear elástico (troço OP) Barra de secção transversal constante (A = const.)

Válida para:

(23)

4

(24)

5 5 – PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS

• Admitindo

Hipótese das

pequenas deformações

Material a trabalhar em

regime linear elásticos

(25)

Aula Teórica de 24 – 09 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples

Convenções gerais de Resistência de Materiais. Capítulo de Tracção – Compressão simples. Esforço axial e tensão normal. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de estruturas simples. Exemplos de aplicação.

(26)

CONVENÇÕES DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

1 1 – Barras: Esquerda / Direita

e d e d e d d e

2 2 – Sinais/sentidos positivos dos esforços numa barra

d

e

+

V

N

M

V

N

M

3 3 – Representação dos diagramas de esforços (N, V, M)

N , V M e d

+

T _T T

(27)

TRACÇÃO - COMPRESSÃO

1 1 – ESFORÇO AXIAL / TENSÃO NORMAL

• Exemplo 1

A B 100 kN 100 S S 0 x 5 m 0 A 100 S S 0 x

(

AA→SS

)

:: SS - SS−SS∴ NN

( )

xx =100100kNkN( ( tracçãotracção))

( )

x 100kN

(

tracção

)

N 5 x 0 : AB = < ≤ e d SECÇÃO S-S

( )

=

∑

(

)

i peça da eixo ao // Forças x N

σ

(z) = N(z) / Área

Diagrama de Esforços “N”

50 3 + N (kN) z z z z z N= 100 z

(28)

• Exemplo 2

(29)

2 2 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS

• Exemplo 1 – Barra simples

(30)

• Exemplo 2 – Barra simples

(31)

Aula Teórica de 25 – 09 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de estruturas formadas por associação de barras. Conceito de barra infinitamente rígida. Efeito da variação da temperatura. Exemplos de aplicação. Conceito de Segurança de uma estrutura. Critérios de verificação de segurança em serviço e em ruína.

(32)

2 2 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS (continuação)

• Exemplo – Associação de barras

P P P

M

Mé

ét

to

o

do

d

o

G

Gr

r

áf

á

fi

ic

co

o

–

A

An

na

al

lí

ít

ti

ic

co

o

• Movimento de Corpo Rígido (Domínio das Pequenas Deformações)

B

a

r

a

s

D

e

f

o

r

m

á

v

e

i

s

(

E

≠

i

n

f

i

n

i

t

o

)

B

(33)

• Exemplo 3 – Associação de barras deformáveis

M

Mé

ét

to

o

do

d

o

G

Gr

r

áf

á

fi

ic

co

o

–

A

An

na

al

lí

ít

ti

ic

co

o

P B A C NBC NAC 1) EQUILIBRIO DO NÓ “B” K K = ⊕ = ⇒ = Σ = Σ BC AB y x N N 0 f 0 f Dados : A = 65 cm2 E = 206 GPa B A C B’ BV BH α cos ∆l_BC ∆lBC ∆_l_AB

2) DEFORMAÇÃO DAS BARRAS

N N BC CB AB AB l l ∆ → ⊕ ∆ → ⊕ 3) DESLOCAMENTO DO NÓ MÉTODO: 2 BARRAS CONCORRENTES E COM “∆_l” ⇒ PERMITR DETERMINAR O DESLOCAMENTO DO NÓ DE CONCORRÊNCIA 4.0 m 3.0 m + 400 kN - 500 kN

(34)

• Exemplo 4 – Associação de barras (deformáveis e infinitamente rígidas)

(35)

3 3 – EFEITO DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA (

∆

T)

T

1

– temperatura de fabrico da barra

T

2

– temperatura aplicada à envolvente exterior da barra

∆T = Τ

2

− Τ

1

temperatura diferencial

(

+

ou

-

)

• Material

α -

coeficiente de dilatação térmica

(36)

4

(37)

• Serviço

(Estado Limite de Utilização)

Limitar deformações:

p z y Eq. da Deformação y (z) = ? _ϕ (z) = ?

Válido:

Elástico (Lei de Hooke)

(troço OA)

Regime

Elástico – Plástico

(troço OAB)

A B O y u u y

Cálculos

sem majorar

as acções sobre a estrutura:

δ

P

≤

δ

limite

(38)

• Ruína

(Estado Limite de Último)

Limitar Tensões (Esforços):

A E

B C D

F G H I J

Conceitos de

VALORES DE CÁLCULO

(índices

Sd

;

Rd

):

1 – Valor de Cálculo da Tensão Actuante

(

σ

_Sd_;

τ

_Sd

)

2– Valor de Cálculo da Tensão Resistente

(

σ

_Rd_;

τ

_Rd

)

σ

Sd

≤

σ

Rd

(39)

Aula Teórica de 27 – 09 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples. Dimensionamento de barras sujeitas a esforços axiais (continuação). Exemplo de aplicação. Conceito de coeficiente de Poisson. Lei de Hooke generelizada (deformação axial). Variação de secção transversal e de volume de uma barra.

(40)

5 5 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA EM TRACÇÃO - COMPRESSÃO

• Exemplo

• Ver. Seg. em

S

ERVIÇO

(limitar a deformação)

Barra

mais desfavorável

Ponto

mais desfavorável

• Ver. Seg. à

RUÍNA

(limitar a tensão)

N

máx

Barra

mais desfavorável

σ

máx

Cálculo:

N

máx

σ

máx

σ

Rdx

-

Imposto pelo Regulamento do Material

Problemas possiveis:

DIMENSIONAMENTO (

A = ?

)

CAPACIDADE MÁXIMA (

N

máx

= ?

)

(41)

(42)

6 6 – DEFORMAÇÃO GENERALIZADA

• EIXO LONGITUDINAL (ZZ) – deformação da aresta “dz”

dz

• dz + ∆dz = dz (1 + ε

z

)

• ε

z

= ∆dz / dz

• ELEMENTO DE ÁREA (plano X Y) – variação da área da secção transversal

dx

• dx + ∆dx = dx (1 + ε

x

)

• ε

x

= ∆dx / dx

dy

• dy + ∆dy = dy (1 + ε

y

)

• ε

y

= ∆dy / dy

A

0

= dxdy

• A =

A

0

(1 + ε

x

) (1 + ε

y

)

= A

0

(1 + ε

x

+ ε

y

+ ε

x

ε

y

)

= A

0

(1 + ε

x

+ ε

y

)

• ε

A

= (A - A

0

) / A

0

= (

ε

x

+

ε

y

)

(43)

• ELEMENTO DE VOLUME – variação do volume do de um sólido

V

0

= dxdydz

• V =

V

0

(1 + ε

x

) (1 + ε

y

) (1 + ε

z

)

= V

0

(1 + ε

x

+ ε

y

+ ε

z

+ ε

x

ε

y

+ ε

x

ε

z

+ ε

y

ε

z

+ ε

x

ε

y

ε

z

)

= V

0

(1 + ε

x

+ ε

y

+ ε

z

)

• ε

V

= (V - V

0

) / V

0

= (

ε

x

+

ε

y

+

ε

z

)

7 7 – LEI DE HOOKE GENERALIZADA

• Válidos

• Material Isotrópico

• Lei constitutiva do material = tipo linear

• Domínio das pequenas deformações

Tensões Normais (

σ)

σ

x

• ε

1x

= σ

x

/ Ε

x

• ε

1y

= ε

1z

=

- K

1

ε

1x

σ

y

• ε

2y

= σ

y

/ Ε

y

• ε

2x

= ε

2z

=

- K

2

ε

2y

σ

z

• ε

3z

= σ

z

/ Ε

z

• ε

3x

= ε

3z

=

- K

3

ε

3z

Mod. Elasticidade Longitudinal

Ε

x

= Ε

y

= Ε

z

=

Ε

Coeficiente de Poisson

K

1

=

K

2

=

K

3

=

ν

(44)

• Princípio da Sobreposição dos Efeitos

σ

x

+

σ

y

+

σ

z

• ε

x

= ε

1 x

+ ε

2x

+ ε

3x

=

σ

x

/ Ε

–

ν [σ

y

/ Ε

+

σ

z

/ Ε]

• ε

y

= ε

1y

+ ε

2y

+ ε

3y

=

σ

y

/ Ε

–

ν [σ

x

/ Ε

+

σ

z

/ Ε]

• ε

z

= ε

1z

+ ε

2z

+ ε

3z

=

σ

z

/ Ε

–

ν [σ

x

/ Ε

+

σ

y

/ Ε]

Tensões Tangênciasi (

τ)

τ

x

+

τ

y

+

τ

z

• γ

x

=

1/ G

τ

xy

• γ

y

=

1/ G

τ

xz

• γ

z

=

1/ G

τ

yz Modulo de Distorção

• G

= E / 2(1+

ν)

[ 1 ] e [ 2 ] - Lei de Hooke Generalizada para materiais isotrópicos

• Variações de

Áreia

e de

Volume

de um sólido

[ 1]

[2]

1 / K

K = Módulo de Compressibilidade

Volumétrica

(45)

• Algumas Conclusões:

• σ

x

>

σ

y

>

σ

z

• ε

x

>

ε

y

>

ε

z

• E

>

0

• G

>

0

• K

>

0

• 1 + ν

> 0

ν

> -1

• 1 - 2ν

> 0

ν

< 0,5

-1

> ν > 0,5

• ν = 0,5

• Material Incompressível

• K = infinito

ε

V

= 0

• ν = 0

• G = E / 2

• K = E / 3

ε

_V

= 3

ε

_m

(46)

Aula Teórica de 01 – 10 – 2002

Esforço e deformação axial em barras de secção varialvel. Efeito do peso próprio. Barras de igual resistência. Exemplos. Trabalho de deformação. Módulos de resiliência e de tenacidade.

(47)

8 8 – TEORIA DAS PEÇAS LINEARES (algumas aproximações)

• Barras não prismáticas –

casos especiais

Barras de secção variável

[ A (z)]

Barras sujeitas ao peso próprio

[ q(z)]

Peças de eixo curvo (Tubos)

(48)

• Exemplo 1 –Barra prismática sujeita a

carga concentrada

e ao

peso

(49)

(50)

• Exemplo 3 –Barra composta por

tramos prismáticos de secção

(51)

(52)

9

(53)

(54)

Aula Teórica de 02 – 10 – 2002

Cargas aplicadas bruscamente segundo o eixo da barra (continuação). Exemplo de aplicação. Barras constituidas por dois materiais. Conceito de homogeneização. Exemplos de aplicação.

(55)

8 8 – CARGAS APLICADAS BRUSCAMENTE

• Exemplos –

Cravação de estacas no solo; cabos de suporte de elevadores.

• Condições

-

Despresar o peso próprio

da barra e da espera

-

Material em

Regime Elástico – Linear

(56)

(57)

(58)

9 9 – PEÇAS CONSTITUÍDAS POR MAIS DO QUE UM MATERIAL

• Problema:

• Secção

não isotrópica

.

• Distribuição de tensões normais

não é uniforme

.

• Problema

hiperestático

.

• Hipóteses:

• Barra constituida por

dois

materiais.

• Secção constante

ao longo da barra.

• Materiais

perfeitamente solidarizados

entre si.

• Materiais em

regime elástico – linear

(

σ

máx

≤

σ

E

)

• Válido:

(59)

(60)

• Conceito de

Homogeneização

da secção

(61)

(62)

Aula Teórica de 04 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas

Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão. Equilibrio de forças e compatibilidade de deformações. Problemas uma vez hiperestáticos. Exemplos de aplicação com estruturas formadas com barras deformáveis, infinitamente rígidas e com molas elásticas e sujeitas a cargas aplicadas.

(63)

1 1 – INTRODUÇÃO ÀS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

• Exemplos

P R_A R_B V P 1 P VB V H A A P R_A R_C R_B V P 1 2 A ; E₁ ₁ A ; E₂ ₂ HB P V_B V H A A P VB V H A A V Mola C

ou

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

(64)

• Exemplos

VARÃO ROSCADO [Aperto da porca]

2.0 m 1.8 m 5mm varão roscado Aperto da porca p - Passo da rosca VARIAÇÃO DE TEMPERATURA [∆t ; ∆t ] A [m] 4.0 B aço cobre [ t ]∆ _∆t

SOBREPOSIÇÃO DE EFEITOS [Forças; ∆δ; ∆t]

P [m] 2.0 3.0 3.0 A B C D 2.0 3.0 E ∆δ ∆t

(65)

• Acções sobre as estruturas a estudar em RM

AC

ÇÕE

S

NUM

A

ES

T

R

U

T

UR

A

(em RM

)

1º

F

O

RÇA

S

/

M

O

M

E

NT

O

S

D

IR

E

CT

AM

ENT

E

AP

L

IC

A

D

O

S;

2º

-

V

A

RI

AÇ

ÕE

S

DE

T

E

M

P

E

R

A

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UR

A

(

);

d

imi

n

u

iç

ão

(

∆

t

∆

t

)

a

u

m

e

nt

o

(

)

3º

-

ASS

E

N

TA

M

E

NT

O D

E

AP

OIO

S

/

D

E

F

E

IT

O

S

D

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A

BR

IC

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tr

aduz

idos por um

desl

ocam

ent

o

de um

nó (

)

δ

-

+ A

(66)

2 2 – PEÇAS SUJEITAS A CARGAS EXTERIORES

• Exemplo 1

EX

EM

P

L

O

-1

2. U

m

a

b

a

rr

a

A

B

de

se

cç

ão

ci

rc

u

la

r

é

co

nst

it

u

íd

a

por

d

o

is

m

a

te

ri

ai

s,

c

onf

or

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e

r

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p

re

sen

ta

do

na

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igur

a

, l

ig

a

d

o

s

d

e

m

o

do

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im

poss

ív

el

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alqu

er

m

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vim

ento

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la

ti

vo

en

tr

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os

do

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m

a

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ri

ais

.

a

) P

ar

a

um

a

c

ar

g

a

ax

ia

l

P

=

10 0kN

d

e

te

rm

in

e as

te

n

sõ

es

no

rm

ai

s i

n

st

al

ad

as

n

o

m

a

te

ri

al

1 e

no

mat

e

ri

al

2 .

b

) Par

a a

m

esma

c

ar

g

a

de

te

rm

in

e o des

loc

am

en

to do pon

to B

.

Da

do

s:

M

a

te

ri

al 1

-

E

=

7

0 G

P

a

A

=

9 cm

M

ater

ia

l 2

-

E

=

21

0 G

P

a

A

=

2 c

m

1 2 2 2 3. 5 m 2 1 2 1 P= 10 0k N

N

=

60 kN

N

=

40 kN

2 1 1 2

- Ba

rra

s

c

o

n

stí

tu

id

as

p

o

r d

o

is

m

ate

ri

a

is

(67)

• Exemplo2

EXEMPL

O

-2

N = N = 31 .6 2 AD CD N = 49.40 BD A = A = A AD BD C D E = E = E AD B D C D MA TE R IA L : 4. 0 m 3 .0 m 3 .0 m AB C P= 1 0 0 kN D - A p licação de fo rças

(68)

• Exemplo 3 – Comportamento de uma mola (elástico)

E

X

EM

P

LO

3

3 . A f igur a r epr es e n ta um a e st ru tu ra c ons ti tu ída por um a b arr a r ígi d a e p o r d o is ti ra n te s d e aço co m as se g u in tes car act e rí st ic as: E = 20 0 GP a A = 1 0 c m Te n são d e c ed ên ci a: 235 M P a a ) C a lc u le o s e sf o rç o s a xi ai s n o s ti ra n tes e o d esl o camen to ver ti cal d o n ó p a ra P = 20 0 kN . AB C C 2 N = 21 4. 592 k N BD N = 15 4. 506 k N CD N = BD R = mo la MO L A : K = 4X 10 kN /m 4 P [m ] 4. 0 4. 0 3. 0 AB C D P AB C D E b ) O me s m o q u e a) ad mi ti n d o a n o va estr u tu ra in d icad a.

- A

p

lic

a

çã

o

de

fo

rç

a

s

(69)

3 3 – CÁLCULO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS - METODOLOGIA

E

S

T

RUT

UR

A

S

H

IP

E

R

E

S

TÁ

TIC

A

S

()

G

R

AU 1

1 º

- I

M

P

Ô

R

U

M

A DE

FO

RM

A

DA CO

M

P

A

T

ÍV

E

L

CO

M

A

E

S

TR

UT

UR

A;

2 º

- I

D

E

N

TI

F

ICA

R AS

I

NCÓ

G

N

IT

AS

E

S

F

O

R

Ç

O

S

/R

E

A

C

Ç

Õ

E

S

E

OS

S

E

U

S

E

N

T

ID

O

S

;

3 º

- ESC

R

EVER

A

S

EQ

U

A

Ç

Õ

ES:

3 .1

C

O

M

P

A

T

IB

IL

ID

A

D

E

DE

F

O

R

M

AÇ

ÃO

(

)

3 .2

E

Q

UI

L

ÍBR

IO

(

)

1 e

q

.

at

é ao

máxi

mo

de 3

eq.

(70)

Aula Teórica de 08 – 10 – 2002

Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Efeitos da variação de temperatura e de deformações impostas a barras da estrutura (aperto de um varão roscado, defeito de fabrico e assentamento de apoio). Exemplos de aplicação.

(71)

4 4 – PEÇAS SUJEITAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA

• Exemplo 1

EXEMPL

O

4

a) A fi g u ra r ep rese n ta u m vei o d e c o b re i n s er id o n o in ter io r d e u m tu b o d e aço . A m b o s o s mater iai s estão p e rf ei ta men te s o lid ar iz ad o s n as ex tr emi d ad es atr avé s d e d u as p la c as r íg id as e . Se o v ei o d e c o b re s o fr er u m a d imi n u ição d e t emp er atu ra d e 20 ºC , q u al o va lo r d o s es fo rç o s n o s mater iai s? Aç o: E = 206 GP a A = 5 c m = 1 .25 x 10 / º C Co br e : α E = 120 GP a A = 6 c m = 1 .5 x 1 0 / º C b ) C o n si d er e a estr u tu ra r ep re sen ta d a n a f ig u ra , c o m as seg u in tes ca ra ct er ís ti cas t am b ém in d icad as . D eter m in e o esfo rç o n a est ru tu ra so b a cção d e u m a v ar ia ção d e t em p er at u ra d e + 10 ºC n a b a rr a . E = 200 GP a A = 2 0 c m = 1 .0 x 10 / ºC K= 4 x 1 0 kN /m α α Ba rr a A B : Mol a: AB AB S S 2 S -5 -5 C C C 2 N = -N = 12. 713 kN CS A [m ] 4. 0 B aço co br e N = +R = -13 .3 3 k N AB m C C C -5 2 ∆t = +1 0º C AB C [m ] 5. 0 R = k ∆ mm 4

-

Ap

lic

ação

de

u

m

a va

ria

ção

de

t

e

mpe

ra

tu

ra

(72)

5 5 – PEÇAS SUJEITAS A DEFORMAÇÕES IMPOSTAS

• Exemplo – Aperto de um varão roscado ou um parafuso

PARAFUSO

cabeça

espiga dn _{parte roscada}

da espiga “b” PORCA dn p = passo da rosca (=1 volta na porca) Z on a r o sc ad a = = =

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE PARAFUSOS

VÁSTAGO CABEZA PA R A FU SO TI PO Diámetro de la caña dn mm Diámetro interior d1 mm Longitud roscada b mm Longitud de la salida x mm Longitud del chaflán z mm Espesor k mm Medida entre caras s mm Medida entre aristas e mm Radio del acuerdo r mm Diámetro del agujero d mm 4 d A 2 n π = cm2 4 ' d ' A 2 π = cm2 M 10 10 8.160 17.5 2.5 1.7 7 17 19.6 0.5 11 0.785 0.580 M 12 12 9.853 19.5 2.5 2 8 19 21.9 1 13 1.131 0.843 M 16 16 13.546 23 3 2.5 10 24 27.7 1 17 2.011 1.57 M 20 20 16.933 25 4 3 13 30 34.6 1 21 3.142 2.45 (M 22) 22 18.933 28 4 3.3 14 32 36.9 1 23 3.801 3.03 M 24 24 20.319 29.5 4.5 4 15 36 41.6 1 25 4.524 3.53 (M 27) 27 23.319 32.5 4.5 4 17 41 47.3 1 28 5.726 4.56 M 30 30 25.706 35 5 5 19 46 53.1 1 31 7.069 5.61 (M 33) 33 28.706 38 5 5 21 50 57.7 1 34 8.553 6.94 M 36 36 31.093 40 6 6 23 55 63.5 1 37 10.179 8.17

(73)

• Exemplo 2 – Aperto de um varão roscado

EX

EM

P

L

O

5

Q u e t e ns õ es s e pr oduzi rã o num p ara fu so d e a ço e n u m t u b o d e c o bre , q u an d o se d e r ¼ d e v o lt a à p o rc a. Da do s : A ço : p a ss a d a r o s ca = p = 3 m m A = 6 c m ; E = 2 06 G P a C o b re : A = 1 2 c m ; E = 1 20 G P a N = -N = 66 .5 11 k N AC SS 2 2 CC = 75 c m c s A c s B

-

Ap

ert

o

d

e u

m

V

arã

o

ro

sca

d

o

(74)

• Exemplo 3 – Aperto de um varão roscado

(75)

(76)

Aula Teórica de 09 – 10 – 2002

Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Comportamento de uma estrutura, formada por barras de mateial elástico – perfeitamente plástico, até à ruína devido ao efeito de uma carga crescente. Determinação da lei carga vs. deslocamento (comportamento elastico-plastico). Esforços e deformações residuais nas barras após descarga da estrutura. Exemplo de aplicação.

(77)

6 6 – COMPORTAMENTO ELASTO - PLÁSTICO

• Exemplo 1 - UMA BARRA DE AÇO

A B O y u u y

Fe

360

• AÇO

Fe 430

Fe

510

F F N

• Material

DÚCTIL

⇒ presença de patamar de cedência

• Em

TERMOS DE CÁLCULO –

diagrama da lei constitutiva do material

A B O D C C´ D´ B´ A´ y y -+ COMPRESSÃO TRACÇÃO

+

_{Material Elástico Perfeitamente Plástico}

OAB

- Carregamento (tracção)

BC

- Descarga

OA

– comportamento

linear elástico

AB

– comportamento

plástico

(patamar de cedência)

' B ' OA

- Carregamento (compressão)

' C ' B

-

Descarga

Admite-se que

σ

_P =

σ

_E

(78)

Comportamento:

TROÇO OA

PONTO “A”

- Regime elástico (R.E) [ σ ≤ σy ]

• válido Lei Hooke ∴

⇒

∆

l =

_EA

Nl

- Início da plastificação da secção

•

σ

=

σ

y

=

N

_A

máx

⇒

N

máx

=

σ

y

A

tensão de cedência do material

TROÇO AB - Regime plástico (R.P.)

Nmáx Nmáx=

σ

y xA

σ

= const. =

σ

_y

EM CARGA

Fim do carregamento • A barra sofre deformação a tensão constante, isto é, _{a barra está em cedência sem poder absorver mais}

esforço (PLASTIFICOU)

Comportamento:

DOMÍNIO OA - Material sempre em Regime Elástico (R.E.)

A

O

y

• Na descarga as deformações são eliminadas totalmente porque o material nunca plastificou

σ

= 0

σ

=

σ

_y

ε

= 0

ε

=

ε

_y

σ

= 0

ε

= 0

carga desc.

DOMÍNIO AB - Após o ponto “A” o material entrou em Regime Plástico

(R.P.) EM DESCARGA A B’’ C O r B’

B • Uma vez em patamar de cedência, a descarga faz-se

paralelamente ao troço OAdo regime elástico

Descarga é feita sempre em R. Elástico

• εr = deformação residual (irreversível) após descarga