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Cálculo Atuarial – 2014 – Professor Dorival Bonora Júnior- avaliação T1 -. Entregada 1ª parte:
03
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09
/
2014
. I. Objetivos:Esta atividade visa à integração entre as partes teórica e prática desta disciplina quanto à utilização de certos recursos de informática para a resolução e interpretação de um problema. Também permite a integração entre outras disciplinas do curso tais como: estatística aplicada e Economia na estruturação desse trabalho.
Nessa atividade em grupo, iremos pesquisar preço e quantidade de dois produtos em mercado (podendo ser atacado ou varejo), com dez pontos diferentes de cada artigo relativo ao tema de cada trabalho, para estabelecer quais as funções ou modelos matemáticos que melhor se ajustam para cada artigo (ou produto pesquisado). A entrega dessa 1a parte da atividade (avaliação T1) será em
03/09/2014 para os itens de 1 a 3. E posteriormente estabelecer as duas regressões múltiplas, obtendo a
função quantidade de um produto em função de seu próprio preço e do preço do outro produto, para depois concluir, via elasticidade cruzada, se esses produtos pesquisados possuem um perfil de bens complementares ou substitutivos. A entrega dessa 2a parte da atividade (avaliação T2) será em
08/11/2014 para os itens 4 a 8.
___________________________________________________________________________________ II. Instruções gerais:
a) A distribuição dos 10 pontos dessa atividade obedecerá:
pontos
2,0
:
problema
do
o
a
ç
interpreta
e
resposta
-pontos
3,0
:
nica
o
eletr
planilha
uma
de
o
a
utilizaç
-pontos
3,0
:
problema
do
modelagem
-pontos
2,0
:
científica
a
metodologi
-~
ˆ
~
b) Dentro de metodologia científica, temos:
ponto
0,5
:
icas
bibliográf
ncias
e
refer
-ponto
1,0
:
)
resposta
da
sentido
(
o
a
conclus
e
mento
desenvolvi
-ponto
0,5
:
)
envolvidas
variáveis
as
ndo
(apresenta
o
a
introduç
ˆ
~
~
c) Cada grupo de até três alunos deverá resolver apenas o exercício indicado em seu respectivo tema; d) O exercício deve ser resolvido dentro de uma metodologia científica, ou seja, contendo: introdução
(proposta do exercício), desenvolvimento (com resolução comentada indicando as passagens efetuadas), além das abordagens junto ao aplicativo no Excel ou outra planilha eletrônica, conclusão (que é a interpretação do resultado numérico do exercício, além da finalidade deste trabalho), referências bibliográficas, e em papel sulfite;
e) Os esclarecimentos ou dúvidas desse trabalho devem ser encaminhados, exclusivamente, ao professor que subscreve essa atividade.
f) Para cada dia de atraso em relação à entrega dessa atividade, haverá uma perda de 1 ponto. Teman___
III. Temas:
1. Margarina e pão de forma 2. Chá e café 3. Cerveja e vinho 4. Lingüiça e queijo. 5. Açúcar e adoçante. 6. Leite e café 7. Arroz e macarrão 8. Papel e caneta
9. Cenoura e batata 10. Jornal Folha e Diário de S. Paulo 11. Calças e camisas 12. Couve e agrião 13. Lapiseira e lápis nº 02 14. Pão de forma e bolacha. 15. Tinta p/a impressora e papel 16. Gasolina e álcool 17. Alho e sal 18. Chocolate e morango 19. Querosene e removedor 20. Bombril e desinfetante. 21. Batata e pimentão 22. Tangerina e mexerica 23. Agulha e botão 24. Alvejante e vassoura 25. Bala de goma e banana 26. Feijão e uva 27. Melão e pêra 28. Limão e pimenta 29. Cera e saponáceo 30. Whisky e vodca. 31. Açúcar e sal 32. Alface e escarola 33. Ervilha e quiabo 34. Tomate e agrião 35. Mel e pão de forma 36. Atum e salmão 37. Manga e laranja 38. Cebola e tempero completo. ____________________________________________________________________________________
IV. Roteiro (como deve ser esquematizada essa atividade):
1. Obter 10 pontos sobre preço e quantidade de dois produtos A e B, do tema desse trabalho.
Onde x e y são preço e quantidade do produto A, e onde p e q são preço e quantidade do produto B.
Esses valores (de preço e quantidade) podem ser obtidos em locais de preços no atacado ou varejo, onde cada grupo de trabalho deverá organizar a coleta de dados num espaço de tempo o mais breve possível, para se evitar problemas de séries temporais como inflação ou deflação, por exemplo.
_________________________________________________________________
2. Para cada produto (A e B), colocar esses pontos obtidos num plano cartesiano, para a “escolha” do tipo de função a se ajustar.
Essas imagens das funções serão obtidas por uma planilha de cálculo, como o editor de gráficos da versão Excel 7.0 da Microsoft, mediante o ajuste adequado de escala de medida de cada gráfico, e daí a tomada de decisão por um ajuste de função via regressão.
Mais tarde nas disciplinas de Estatística do curso de Economia, teremos um instrumental matemático mais adequado e apurado para se apurar o “ajuste efetuado” foi o mais indicado para aquela bateria de pontos.
__________________________________________________________________
3. Com a função escolhida, procede-se a REGRESSÃO (ajuste matemático dos pontos tabelados), para uma das funções a seguir:
a) linear y = a0 + a1 x b) quadrática y = a0 + a1 x + a2 x2 c) polinomial y = a0 + a1 x + a2 x2 + ...+ an xn
d) Exponencial y = abx e) geométrica y = axb f) hiperbólica y =
1
0 1
a
a x
.Para cada figura de produtos (envolvendo preço e quantidade) se faz um único ajuste, ou seja, tem-se uma única função.
x x1 x2 ... xn
y y1 y2 ... yn
p p1 p2 ... pn
V. Metodologia matemática:
As fórmulas de regressão para o ajuste dessas funções podem ser efetuadas na resolução do sistema linear por qualquer procedimento (adição, substituição, comparação, regra de Crammer, Gauss, ou produto matricial).
Se o grupo de trabalho optar pelo uso de microcomputadores para a resolução dos sistemas lineares através de produto matricial, os possíveis caminhos são: a utilização de um software “DERIVE“, a utilização uma planilha de cálculo do tipo EXCEL versão 5.0. ou versão 7.0, ou outras planilhas (ORIGIN, MATHCAD,...).
Algumas funções do Excel utilizadas:
= MATRIZ.INVERSO (matriz) retornando o inverso da matriz fornecida na entrada. = MATRIZ.MULT (array 1, array 2) retornando o produto de 2 matrizes fornecidas. = SOMA ( n1, n2, n 3, ) retornando a soma dos números de uma lista . = SOMAQUAD (n1, n2, n3,...) retornando a soma dos quadrados dos números.
= SOMARPRODUTO (array 1, array 2) executa a multiplicação dos elementos correspondentes das matrizes, retornando a soma desses produtos.
= ÍNDICE (array 1; posição) retornando o cálculo na “posição” desejada para cada elemento da matriz fornecida.
__________________________________________________________________________ VI. Fórmulas de regressão
(para quem optar por fazer os cálculos à mão)
x x1 x2 x3 ... xn
y y1 y2 y3 ... yn
A partir dos pontos colocados junto ao plano cartesiano, procurar “ajustá-los a uma das funções a seguir”: ____________________________________________________________________________ y = a0 + a1 x (linear)
n a
x a
y
x a
x
a
x y
.
(
).
(
).
(
).
( . )
0 1 0 2 1
AX = B A-1.A.X = A-1.B I.X = A-1.B X = A-1.Bn
x
x
x
2 .a
a
0 1
=y
xy
a1 =n
xy
x
y
n
x
x
.
.
2(
)
2 , a0 =y
a
x
n
1 A X B ___________________________________________________________________________ y = a0 + a1 x + a2 x 2 (quadrática) n a
x a
x
a
y
x a
x
a
x
a
x y
x
a
x
a
x
a
x
y
.
(
).
(
).
(
).
(
).
(
).
( . )
(
).
(
).
(
).
(
. )
0 1 2 2 0 2 1 3 2 2 0 3 1 4 2 2
A.X = B X = A-1.Bn
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2 3 2 3 4 .a
a
a
0 1 2
=y
xy
x
y
2.
A X B(1
produto);
p q pq1 p2 p3 ... pn 1 q2 q3 ... qn(
2 produto)
ou
y y
x
x
y
x
y = a0 + a1 x +a2 . x2 + ... + a n . xn (polinomial)
n
x
x
x
x
x
x
x
x
n n n n n
2 1 1 2 .a
a
a
n 0 1
=y
xy
x
ny
.
AX = B X = A-1.B A X B ________________________________________________________________________________ y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 (polinomial do 3 grau) n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 3 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 .a
a
a
a
0 1 2 3
=y
xy
x
y
x y
2 3.
.
ou A X = B X = A-1.B A X B _________________________________________________________________________________ y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 (polinomial de 4 grau) n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 .a
a
a
a
a
0 1 2 3 4
=y
x y
x
y
x y
x
y
.
.
.
.
2 3 4 A X B A X = B X = A-1.B __________________________________________________________________________________y = a. bx log y = log a + x.log b (exponencial
x. n
x
x
x
2 .
=
( . )
x
,
log
log
log
y
a
b
A X = B X = A-1.B A X Bx
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
ou
y = a . xb log y = log a + b.log x (geométrica)
b. n
2 .
b
=
.
,
log
log
log
y
a
x
AX = B X = A-1.B A X B ____________________________________________________________________________1
y
= a0 + a1 x y =1
0 1a
a x
(hiperbólica) n
x
x
x
2 .a
a
0 1
=1
y
x
y
AX = B X = A-1.B A X BIX. Como plotar um gráfico através da planilha eletrônica EXCEL da Microsoft.
x y 0 1,1 1 1,9 2 3,8 3 7,8 4 16,2 5 33,1 y 0 5 10 15 20 25 30 35 1 2 3 4 5 6 preço qua ntida d e y Procedimento:
1) Digitar a tabela de pontos (x;y), onde NÃO pode haver repetição para os valores de x 2) Os valores de x devem estar em ordem crescente;
3) Selecionar a tabela (x;y), tornando-a toda negritada, também pode ser centralizada; 4) Clicar sobre o assistente gráfico, executando:
a) Selecionar gráfico de linhas;
b) Eliminar a seqüência x, para se Ter uma única função esboçada; c) Denominar os eixos (x para preço, e y para quantidade);
d) FINALIZAR, onde o ajuste da escala é automático. Nem sempre a escala adotada é igual para os dois eixos
x
y
x
ouy
x
y
X. Como fazer o ajuste (achar algebricamente) a função pedida através da planilha eletrônica. x y 0 1,1 1 1,9 2 3,8 3 7,8 4 16,2 5 33,1 Título do gráfico y = 0,5057e0,6906x 0 5 10 15 20 25 30 35 1 2 3 4 5 6 preço qua ntida d e y Expon. (y) Procedimento:
1).Copiar, e depois colar o gráfico anterior;
2).Com o botão direito do MOUSE, clicar sobre o gráfico plotado;
3). Adicionar linha de tendência. As opções são: linear, logarítmica, potência, exponencial, média móvel. Observando o gráfico anterior e os modelos apresentados, se faz a escolha. No nosso exemplo, tem-se a escolha da função exponencial, que é a melhor opção após o desenho inicial;
4). Pede-se para exibir a equação da função;
5). FINALIZAR, onde se têm o gráfico, a linha de ajuste em cor diferente, e a equação do ajuste. --- 2º exemplo de gráfico de linhas.
Nesse exemplo os dados (no eixo x) já estão em ordem crescente Meses Indicador março 1,23 abril 1,34 maio 1,46 junho 1,57 julho 1,48 agosto 1,33 setembro 1,21 Meses Indicador 0 1,23 1 1,34 2 1,46 3 1,57 4 1,48 5 1,33 coeficiente de correlação 6 1,21 -0,03454 y = -0,0021x + 1,3829 0 0,2 0,4 0,6 0,81 1,2 1,4 1,6 1,8 1 2 3 4 5 6 7 meses Indicador Indicador Linear (Indicador)
Observação: Se o coeficiente de correlação estiver no intervalo
0
.
80
correlação
1
,
00
, então a aproximação linear é indicada. Os valores acima mostram que não é adequada a aproximação por uma função do 1º grau.Quando adicionar a linha de tendência, escolher uma única opção (dentre as 6) pelo visual inicial. Nesse exemplo os dados no eixo x já estão em ordem crescente.
Meses Indicador março 1,23 abril 1,34 maio 1,46 junho 1,57 julho 1,48 agosto 1,33 setembro 1,21 Meses Indicador 0 1,23 1 1,34 2 1,46 3 1,57 4 1,48 5 1,33 6 1,21 Regressão y = -0,0345x2+ 0,274x + 0,9686 0 0,5 1 1,5 2 1 2 3 4 5 6 7 meses Indicador Polinômio (Indicador)
Para a 2ª parte dessa atividade, temos um exemplo de como calcular as duas elasticidades cruzadas solicitadas para a terminação do perfil dos bens pesquisados. Essa planilha do Excel também será disponibilizada com operações com Matrizes.
Resultou uma elasticidade cruzada ec2 - 0,33. Como ambas as elasticidades são estritamente negativas, então
temos o perfil de bens complementares.
Observações:
