SEQUÊNCIAS
Seqüência ou sucessão é todo conjunto ordenado de números que escrevemos entre parênteses e separados um a um por vírgulas ou ponto e vírgula.
Exemplos: (3, 8, 6,1, 2, 8, 2, 5) (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...) (4, 7, 10, 13, 16, 19...)
• Os elementos de uma seqüência são denominados “termos da seqüência”.
• Numa seqüência: a1 indica o primeiro termo;
a2 indica o segundo termo;
a3 indica o terceiro temo;
. . .
an indica o enésimo do termo.
• Uma seqüência pode ser infinita ou finita.
Igualdade
Duas seqüências são iguais se têm todos os elementos correspondentes iguais.
Lei de Formação
É um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma seqüência e a ordem em que se apresentam. Há três tipos de lei de formação:
a) Por fórmula de recorrência
São dados um termo da seqüência e uma fórmula que expressa cada termo em função do termo anterior.
Vamos resolver!
01. (UECE) Os termos da sucessão a1, a2,
a3,..., an estão relacionadas pela fórmula
an = 1 + 2.an-1, onde n = 1, 2, 3, ... . Se a1 = 0, então
a6 é:
A) 25 B) 27 C) 29 D) 31
b) Expressando cada termo em função de
sua posição
É dada uma fórmula que permite o cálculo de cada termo em função da sua posição dentro da seqüência.
02. (UFPE) A soma dos três termos iniciais da seqüência an = 2 . 3 n . ∀ n ≥ 1, é: A) 74 B) 76 C) 78 D) 80 E) 82
c) Por propriedades dos termos
Todos os termos da sequência satisfazem a uma mesma propriedade.
03. (UCSAL) Considere a seqüência − − ,... 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ,
1 na qual um termo e seu sucessor têm sinais opostos e denominadores consecutivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é:
A 14 1 - D) 12 1 B) 13 1 - E) 13 1 C) 12 1
-PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a uma constante que denominamos razão e representamos por r. É dada pela seguinte fórmula de recorrência:
∈ ≥ ∈ + = = − r, n N; n 2; a,r R. a a a a 1 n n 1 Exemplos: (1, 5, 9, 13, 17, ...) → a1= , r = classificação:
(11, 8, 5, 2, -1, ...) → a1= , r = classificação: (5, 5, 5, 5, 5, 5) → a1= , r = classificação:
Notações Especiais
• P.A. de três termos: (x – r , x, x+ r) ou (x, x + r, x + 2r) • P.A. de quatro termos:(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), onde r = 2y ou (x, x + r, x + 2r, x + 3r)
• P.A. de cinco termos: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) ou (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r)
Vamos resolver!
04. (PUC/RS) As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética de razão 20º. O menor ângulo desse triângulo mede: A) 30º
B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º
05. (AFA) Num pentágono, os ângulos internos estão em progressão aritmética. Qual o 3º termo, em graus, dessa progressão? A) 54 B) 108 C) 162 D) 216
Termo Geral
Qualquer termo de uma P.A. pode ser obtido em função do primeiro e da razão através da seguinte fórmula: 1).r -(n + a = an 1 onde: a1 = 1º termo (a1 ∈ R) n = nº de termos (n ∈ Ν; n > 1) r = razão (r ∈ R)
an = enésimo termo ou termo geral.
06. (PM-Ba/07) Considere que a seguinte sequência de figuras foi construída segundo um certo critério.
Se tal critério for mantido para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser: (A) 61 (B) 63 (C) 65 (D) 67 (E) 69
07. (UFBA) Numa P.A. o primeiro termo é 1 e a soma do enésimo com o número de termos é 2. A razão dessa progressão é: A) 2n – 1 B) 2n – 2 C) n – 1 D) 1 E) – 1
Propriedades
• Se (a,b,c) é P.A., então 2b = a + c
• Numa P.A., a soma dos termos extremos é igual à soma dos termos eqüidistantes dos extremos:
a1 + an = a2 + an - 1 = ... = ap + an-p+ 1
• Numa P.A., com numero impar de termos, o termo médio (central) é a média aritmética dos extremos
2 a a am 1 n + = onde 2 1 n m= +
• Numa P.A., se Si é a soma dos termos de ordem
impar e Sp é a soma dos termos de ordem par,
então:
Si – Sp = am e S1 + Sp = Sn
• Se am,an,ape a são termos quaisquer de uma q
P.A. e m + n = p + q, então am +an=ap+aq.
08. (UNIFOR) Sabe-se que a seqüência (x – 2, 3x, 4x + 8, ...) é uma progressão aritmética. O décimo primeiro termo dessa progressão é:
A) 128 B) 144 C) 158 D) 162 E) 166
Soma dos n primeiros termos da P.A.
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. pode ser determinada pela seguinte formula:
2 n ). a + a ( = Sn 1 n onde: n
S = soma dos n primeiros termos a1 = 1º termo (a1 ∈ R)
n = nº de termos (n ∈ Ν; n > 1) an = enésimo termo ou termo geral.
09. (UFBA) Uma pedra rolando, sem impulso, numa ladeira, percorre 4m no primeiro minuto, 9m no segundo minuto, 14m no terceiro minuto e assim sucessivamente. Para a pedra percorrer 99m gastará x minutos. Calcule x.
10. (FGV) A soma dos 50 primeiros termos de uma P.A. na qual a6 + a45 = 160, é: A) 3480 B) 4000 C) 4200 D) 4320 E) 4500
11. (FESP-SP) A soma dos múltiplos de 9 compreendidos entre 65 e 249 é: A) 2835 B) 3150 C) 5670 D) 4328 E) 2941
12. (UFRN) O valor da expressão
∑
= − = 20 1 n 1) (3n E , é: A) 610 B) 1220 C) 1830 D) 2440 E) 3050Resolva em casa!
13. (UECE) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) uma
progressão aritmética. Se a2 + a5 = 8 e a8 = 7, então
a3 + a7 é igual a: A) 8 D) 3 32 B) 3 28 C) 10
14. (UFPB) Um sargento tentou colocar 130 soldados sob seu comando, em forma de um triangulo, pondo um soldado na primeira fila, dois na segunda, três na terceira e assim por diante. No final, sobraram 10 soldados. Quantas filas foram formadas?
15. (UNEB) Um carro custa R$ 23.000,00 que deve ser pago em 25 prestações, de modo que cada uma exceda a anterior em R$ 50,00. O valor da ultima prestação é de:
A) R$ 320,00 D) R$ 1.520,00 B) R$ 920,00 E) R$ 1.840,00 C) R$ 1.200,00
16. (UFC) Entre os números 500 e 600, existem p múltiplos do número 7. Encontre o valor de p.
17. (UFBA) Uma indústria foi implantada com um ritmo de produção tal que garantiu um aumento mensal constante até o 59º mês, quando afinal a produção mensal se estabilizou. A soma da produção do 2º mês com a do 4º foi igual a 40 unidades e a do 3º mês com a do 6º, igual a 55 unidades. Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01) A industria produziu 15 unidades o 1º mês de funcionamento.
(02) Até o 59º mês, o aumento mensal da produção era de 5 unidades.
(04) Ao fim de 6 meses de atividades, a industria já tinha produzido um total de 145 unidades. (08) Aos 24 meses de atividades a industria estava produzindo 125 unidades.
(16) A industria estabilizou sua produção, ao alcançar o marco de 300 unidades mensais.
18. (UFPE) Um professor resolveu presentear seus cinco melhores alunos com livros de valores equivalentes a quantias diferentes. Os valores dos livros recebidos pelos alunos devem estar em progressão aritmética e a soma dos três valores maiores deve ser cinco vezes o total recebido pelos outros dois. Se cada um deve receber um livro de valor equivalente a uma quantidade inteira de reais, qual a menor quantia (positiva) que o professor vai desembolsar na compra dos livros?
A) R$ 90,00 D) R$ 120,00 B) R$ 100,00 E) R$ 130,00 C) R$ 110,00
19. (UFBA) Durante 15 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorreu 40 km; no segundo 60km; no terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o ultimo dia quando percorre x km. Calcule
10 x
20. (UESB/07) Um auditório possui 15 poltronas na primeira fila, 17 na segunda e 19 na terceira; as demais filas se compõem na mesma seqüência. Sabendo-se que esse auditório tem 735 poltronas e n filas, pode-se afirmar que o valor de n é igual a
01) 21 04) 63
02) 42 05) 65
03) 56
21. (UNIVASF/09) Os 25 DVDs de uma coleção estão alinhados em ordem crescente de preço. Além disso, o preço de cada DVD, a partir do segundo, é superior em R$ 2,00 ao preço do DVD que o antecede. Se o DVD mais caro custou sete vezes o preço do mais barato, quanto custou a coleção inteira?
A) R$ 792,00 D) R$ 798,00 B) R$ 794,00 E) R$ 800,00 C) R$ 796,00
Vença o desafio!
22. (UFC) Seja g(x) uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros, e que associa a cada inteiro par o valor -1 e, a todo impar, o triplo do seu valor g(1) + g(2) + g(3) + ... + g(2k), com k inteiro é igual a:
A) 3 k2 – k D) k – 3k3 B) 2 k3 – 3 E) k2 – 1 C) 3 k3 – k
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Definição
Observe as seguintes seqüências de números reais: a) (3,6,12,24,48,...) b) (8,4,2,1, 2 1 ,...) c) (3,3,3,3,...) d) ( -2, 6, -18, 54, -162, ...) e) (4, 0, 0, 0, 0, ...)
Em cada uma delas o quociente entre um termo qualquer, a partir do segundo termo, e seu antecessor, é constante. Essas seqüências chamam-se progressões geométricas (P.G.). O quociente entre um termo e seu antecessor chama-se razão, que representamos por q e nos exemplos acima valem respectivamente 2, 2 1 , 1, -3 e 0.
Classificação
• Crescente,se a > 0 e q > 0 ou 1 1 a < 0 e 0 < q < 1 • Decrescente,sea > 0 e 0 < q < 1 ou 1 a < 0 e q >1 1 • Oscilante ou alternante, se q < 0. • Constante, se q = 1. • Estacionária, se a ≠ 0 e q = 0 . 1Notações Especiais
• P.G. de três termos: ) xq , x , q x ( ou (x, xq, xq2) • P.G. de quatro termos: ( 3 , xy, xy3 y x , y x ) , em que q= y2 ou (x, xq, xq², xq³) • P. G. de cinco termos: ( 2 , x, xq, xq2 q x , q x ) ou (x, xq, xq2, xq3,xq4)Termo Geral
1 -n 1 n=a .q a a1 = 1º termo (a1 ∈ R) n = nº de termos (n ∈ Ν; n > 1) q = razão (r ∈ R)an = enésimo termo ou termo geral.
Vamos resolver!
01. (UNIFOR) O 30º termo da seqüência ,... 18 1 , 6 1 , 2 1 é: A) 29 6 1 B) 29 2.3 1 C) 5 D) 3 61 E) 6 29
02. (FCLC/09) Numa P.G. de termos reais tem-se 27
a4 = e a7 = . Calcule 1 a . 11
03. (UFPB) Considere a P.A. (2,5,8,11,...) e a P.G. (3,6,12,24,...). Na seqüência (2,3,5,6,12,11,24,14,48,...), onde os termos da P.A. ocupam as posições ímpares a os da P.G., as posições pares, o seu 25º termo é
A) 602 B) 38 C) 3×224
D) 49 E) 25
Propriedades
• Se ( a,b,c ) é uma P.G., então:
c . a = b2
• Se am,an,ape a são termos quaisquer de uma q
P.G. e m + n = p + q , então: q p n m .a =a .a a
• Numa P.G. finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. 1 n 2 -n 3 1 -n 2 n 1 .a =a .a =a .a =...=a .a a
• Numa P.G. finita, com número ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos.
n 1 m=± a .a
a
onde a é o termo médio, m a e 1 a são os extremos. n
04. (FCLC/09) Dados os números 1, 3 e 4, nessa ordem, determinar o número que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma P.G..
05. (UFC) Os números x e y são tais que − 6 25 , y , x , 6 1 é uma P.A. e
(
2−1;x;y;7( 2+1))
é uma P.G.. Determine o valor de x2y+xy2.Produto dos n primeiros termos de uma P.G.
n n 1 n=± (a .a ) P ou 2 1) -n.(n n 1 n =a .q P
06. (FCLC/09) O produto dos dez primeiros termos da P.G. ( 2; 2; 2 2; 4;...) é: A) 2 29 2 B) 2 55 2 C) 255 D) 210.55 E) 5 2 . 2 25+ 10
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
-Se q ≠ 1 ; 1 -q 1) -(q . a = S n 1 n ou 1 -q a -q . a = Sn n 1 -Se q = 1 , 1 n=n.a S07. (FCLC/09) Intercalando-se 4 meios geométricos entre 10 e 320, qual a soma dos elementos da P.G. assim obtida?
Limite da soma dos termos de uma P.G.
(soma dos termos de uma P.G. infinita)
-Se -1 < q < 1, q -1 a = Sn 108. (UPE) Júnior marca com Daniela às 15 horas para juntos assistirem a um filme, cuja sessão inicia às 16 horas. Como às 15 horas, Daniela não chegou, júnior resolveu esperar um tempo t igual a 15 1 minutos e, após isso, um tempo t igual a 1/4 de 2 t , e 1 logo após, um tempo t igual a 1/4 de3 t , e assim por 2 diante. Daniela não chegou para o encontro. Quanto tempo Júnior esperou até ir embora?
A) 1 hora B) 1 dia C) 20 minutos D) 30 minutos E) 45 minutos
09. (FCLC/09) Deixa-se cair uma bola elástica de altura de 3 metros. Após cada choque com o solo, a bola salta até uma altura igual a 1/5 da altura que tinha anteriormente. A distância teórica, em metros, que seria percorrida pela bola até ela ficar em repouso é: A) 3,5 B) 3,75 C) 4,5 D) 4,75
Resolva em casa!
10. (URCA) Seja (t1,t2,t3,t4,t5)uma progressão geométrica. Se t2 = e 6 t5 =162, então t1.t3.t4 é igual a:
A) 1944 D) 1974 B) 1954 E) 1984 C) 1964
11. (URCA) Seja
(
b1,b2,b3,b4)
uma progressão geométrica. Se b1=81 e b4 =192, então b2+b3 é igual a: A) 246 D) 267 B) 252 E) 273 C) 263 12. (URCA) Se ... 81 1 27 1 9 1 3 1 S1 = + + + + e ... 243 1 81 1 27 1 9 1 S2 = + + + + ,então S1+S2é igual a: A) 6 1 D) 3 2 B) 3 1 E) 6 5 C) 2 113. (UPE) As raízes da equação 0 64 x 56 x 14
x3 − 2+ − = formam uma progressão geométrica. Sendo q >1 a razão da progressão geométrica, podemos afirmar que essa razão é igual a: A) 2 D) 3 3 B) 2 2 E) 5 C) 3
14. (UEFS) Se a seqüência a0 = 1 e para todo n ∈ N,
(
2n 1)
-a a n 1 n+ = + , então a 4 é igual a A) 10395 D) -105 B) 945 E) -945 C) 10515. (UEFS) Sabendo-se que, entre os números 13 e 694, existem x múltiplos de 11, x é igual a
A) 64 D) 61
B) 63 E) 60
C) 62
16. (UNEB) O número de termos da P.G. ,1,...,256 2 1 , 4 1 é 01) 8 04) 11 02) 9 05) 12 03) 10
17. (UFBA) Um agricultor plantou uma série de mamoeiros, distando 3m um do outro e formando uma fila, em linha reta, com 72m de comprimento. Alinhado com os mamoeiros havia um depósito, situado a 20m de distância do primeiro. O agricultor, para fazer a colheita, partiu do depósito e, margeando sempre os mamoeiros, colheu os frutos do primeiro e levou-os ao depósito; em seguida colheu os fruto do segundo levando-os para o depósito; e, assim, sucessivamente, até colher e armazenar os frutos do último mamoeiro. Considere que o agricultor anda 50 metros por minuto, gasta 5 minutos para colher os frutos de cada mamoeiro, e mais 5 para armazená-los no depósito. Nessas condições, pode-se concluir que o agricultor
(01) plantou 25 pés de mamão.
(02) plantou o 12º mamoeiro a 56 metros do depósito.
(04) quando fez a colheita dos frutos do 10º mamoeiro, havia passado 6 vezes pelo 5º mamoeiro.
(08) ao completar a tarefa de colheita e armazenamento dos frutos de todos os mamoeiros, tinha andado 2800 metros. (16) para realizar toda tarefa de colheita e armazenamento, gastou 5 horas e 6 minutos.
18. (UNEB) A área de uma face, a área total e o volume de um cubo são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, a medida da aresta desse cubo, em unidades de comprimento, é igual a
01) 3 04) 16
02) 6 05) 36
03) 16
19. (UNEB) As medidas, em metros, dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x² e estão em progressão geométrica, nessa ordem. O perímetro, em metros, mede
01) 9 04) 28
02) 9,5 05) 30 03) 19
20. (UPE) Em uma progressão aritmética de razão 4, o termo de ordem n é 31 e a soma dos n primeiros termos são 136. Se a é o primeiro termo da progressão, pode-se afirmar que, (a + n) é igual a
A) 9 D) 15
B) 11 E) 17
C) 13
21. (UFBA/05) Considere as seqüências (an)n≥1 e
(bn)n≥1, tais que • a1 = 2 e an+1 – an = 4, ∀ n ≥ 1 • n 2 n 1 n 1 n b b b b + + + = , ∀ n ≥ 1, 10 5 b 1 b = - 243 e 5 1 b 81 = . Sejam A= a5+ a6+ a7+...+ a20 e B o limite da soma b1+ b2+b3+.... Calcule ABb3, indicando de
modo completo a resolução da questão.
22. (UFPE) A espessura de uma folha de estanho é 1mm. Forma-se uma pilha de folhas colocando-se na primeira vez uma folha e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já foram colocadas anteriormente. Após dez dessas operações, determine o valor da altura da pilha, em milímetros. Divida o resultado por 25.
23. (UFPE) Uma epidemia de ratos propaga-se da seguinte forma: cada rato infectado contamina 3(três) outros ratos no período de uma semana. Quantas semanas, após a contaminação do primeiro rato, serão necessárias para que uma população de 220 = (1.048.576) ratos esteja contaminada?
24. (UFPE) Uma pessoa aplicou R$ 100.000,00 na caderneta de poupança, que rendeu 1% ao mês ao longo de um ano (lembre que os juros são cumulativos). Ao fim deste ano, esta pessoa tinha x reais nesta caderneta de poupança, sem ter feito nenhum depósito além do inicial nem ter realizado nenhum saque.Qual o inteiro mais próximo de log x? 25. (UFPE) Seja S a soma dos naturais menores ou iguais a 1.000 que são produto de dois naturais pares. Indique a soma dos dígitos de S.
26. (UNICAP) Determinar o quarto termo de uma progressão aritmética sabendo que o oitavo termo é 43 e o décimo segundo termo é 63.
27. (UFPB) Usando-se palitos de fósforo, constrói-se uma seqüência de triângulos eqüiláteros, dispostos horizontalmente, conforme é mostrado abaixo.
Com esta construção, quantos palitos de fósforo são necessários para se formar o centésimo elemento da seqüência?
28. (UFPE) Na ilustração abaixo, cada nova etapa é obtida conectando-se os pontos médios de lados adjacentes do quadrado menor obtido na etapa anterior. Se o lado do quadrado maior mede 20 cm, qual é o número inteiro que melhor aproxima a área, em cm2, do quadrado menor na quinta etapa.
29. (UFPB) Ao se escrever, no sistema decimal, o produto dos termos da progressão geométrica 1, 10, 102, 103, ... , 1015, o número de algarismos utilizados é igual a
A) 100 D) 121 B) 21 E) 150 C) 15
30. (UFPE) Em 01/11/2001 Junior e Ricardo possuem em suas contas correntes R$ 4.500,00 e R$ 3.200,00 respectivamente. Se no primeiro dia de cada mês subseqüente a novembro / 2001, Junior saca R$ 50,00 e Ricardo deposita R$ 50,00, quando a cota de Ricardo ultrapassará o valor da cota de Junior, pela primeira vez?
A) Em outubro de 2002
B) Em novembro de 2002 C) Em janeiro de 2003
D) Em fevereiro de 2003 E) Em março de 2003
31. (UEFS) Adicionando-se a mesma constante a cada um dos números 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se uma progressão geométrica de razão igual a A) 5 2 D) 2 5 B) 3 4 E) 3 C) 2
32. (UFBA) Sobre os números reais, é verdade afirmar: (01) Se x = 0,666... e y = - 1,333 e z = 12,444..., então y -x z = 6,222... . (02) O valor da expressão 3(-5-2 6)(-5+2 6) é um número irracional. (04) Se x < 0, então x2 =-x.
(08) Dividindo-se o número 34 em partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 5,
obtêm-se os valores x, y e z, respectivamente, tais que 3yz = 5x.
(16) Se, em um progressão aritmética de sete termos, a soma é igual 133, então o termo médio é igual a 19.
(32) A equação (x-1)2=x-1 possui duas raízes distintas.
33. (UEFS) Em 2003, as idades de três irmãos, em anos, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 4 e, daqui a 5 anos, a soma dessas idades será igual a 60. Nessas condições, pode-se afirmar que atualmente a idade do mais
A) jovem é 10 anos D) velho é 14 anos B) jovem é 11 anos E) velho é 15 anos C) velho é 12 anos
34. (UNEB/05) Para que a soma dos termos da seqüência 2-5 ,2-4 ,2-3 ,...,2k , k ∈ Ζ, seja igual a
32 255
, o valor de k deve ser igual a
01) -1 04) 5
02) 0 05) 8
03) 2
35. (ITA) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, – 5n, 1 – 4n
uma progressão aritmética pertence ao intervalo: A) [–2, –1] D) [1,2]
B) [–1,0] E) [2,3] C) [0,1]
36. (UFBA) Se log x; 8x 1e logx3
3
− formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica, calcule 30x. 37. (MACK-SP) Os números reais a, b e c, formam,
nesta ordem uma P.G. de razão q ≠ 0, onde c > 3b – 2a. Se a < 0, então o número de valores
inteiros que q pode assumir é:
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
38. (UnB-DF) No projeto urbanístico de uma cidade, o paisagista previu a urbanização do canteiro central de uma das avenidas, com o plantio de 63 mudas de flamboaiã, todas dispostas em linha reta e distantes 5m uma da outra. No dia do plantio, o caminhão descarregou as mudas no início do canteiro central, no local onde seria plantada a primeira muda. Um jardineiro foi designado para executar o serviço. Para isso, partindo do lugar onde as mudas foram colocadas, ele pegou três mudas de cada vez, plantou-as nos locais designados, enfileirando-as uma após a outra. Calcule, em hectômetros, a distância total mínima percorrida pelo jardineiro após finalizar o trabalho. Despreze parte fracionária de seu resultado, caso exista.
39. (Unb-DF) Conta uma lenda que o rei de certo país ficou tão impressionado ao conhecer o jogo de xadrez que quis recompensar seu inventor, dando-lhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, então, disse ao rei: “dê-me simplesmente um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois grão pela segunda casa, 4 grãos pela terceira, 8 grãos pela quarta e assim sucessivamente, até 64ª casa do tabuleiro”. O rei considerou o pedido bastante simples e ordenou que fosse cumprido. Supondo que um grão de trigo tem massa igual a 0,05 g e que a produção mundial de trigo em 1997 foi de 560 milhões de toneladas, julgue os itens abaixo:
1) O número de grãos de trigo devido ao inventor apenas pela 11ª casa é menor que 1000. 2) Até a 30ª casa, seriam devidas ao inventor mais de 50 toneladas de grãos.
3) A quantidade de trigo devida apenas pela 31ª casa corresponde à quantidade recebida até a 30ª casa acrescida de um grão.
4) Seriam necessários mais de 1000 vezes a produção mundial de trigo de 1997 para recompensar o inventor.
40. (UPE/07) Numa seqüência (a1, a2, a3, a4, a5) cada
termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores mais próximos, ou seja, an = an-2 + an - 1.
O segundo termo é igual a 1, e o quinto termo vale 2007. Qual é o sexto termo?
A) 3002 D) 4 002 B) 3011 E) 5 004 C) 3010
41. (UEFS/08.2) O valor de x na equação 27 ... 81 8 27 4 9 2 3 1 2x = + + + + + , em que a expressão
entre parênteses é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é um número
A) primo.
B) inteiro, múltiplo de 3. C) inteiro, múltiplo de 5.
D) racional não inteiro e negativo. E) racional não inteiro e positivo.
42. (UNEB/08) O primeiro e o último termos de uma progressão aritmética são, respectivamente, iguais a a1 = 7 e an = 135. A média aritmética dos termos
dessa progressão é igual a
01) 64 D) 76
02) 67 E) 84
43. (UEFS/04) A quantidade de cafeína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma progressão geométrica de razão
8 1 . Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128mg para 1mg é tal que A) 0 < t < 1 D) 4 < t < 6
B) 1 < t < 2 E) 6 < t < 8 C) 2 < t < 4
44. (UEFS/04) Se, em uma progressão aritmética, a soma dos três primeiros termos é igual a zero, e a soma dos dez primeiros termos é igual a 70, então a razão dessa progressão é
A) – 3 D) 3
B) – 2 E) 4
C) 2
45. (UFPE/06) Um boato se espalha da seguinte maneira: no primeiro dia, apenas uma pessoa tem conhecimento dele; no segundo, ela conta a outras três pessoas, e, a cada dia que passa, todas as pessoas que sabem do boato contam-no para três novas pessoas. Assim, a seqüência formada pelo número de pessoas que sabem do boato, em termos dos dias que passam, é dada por 1, 4, 16, 64, ... Em uma cidade com 1,5 milhões de habitantes, quantos dias serão necessários para que todas as pessoas sejam informadas do boato? (Aproxime sua resposta para o menor inteiro maior ou igual ao valor obtido. Dados: use a aproximação log2(1,5.106)≅(20,52)
A) 12 D) 15
B) 13 E) 16
C) 14
46. (UPE/08) Analise as informações abaixo e conclua.
I II
0 0 Se o termo médio de uma progressão geométrica de três termos é 15, o produto dos termos é igual a 3375. 1 1 A soma da seqüência: ... 9 2 3 2 2+ + + é igual a 3. 2 2 O valor de x na equação ... 8 4 x 2 x x+ + + = é x = 2. 3 3 Se x = 2 2 2 2 2 ..., então x = 2. 4 4 Se a seqüência (a11,a12,a21,a22) está em
progressão geométrica, o determinante da matriz
= 22 21 12 11 a a a a A é nulo.
47. (UFBA/08) Considerando-se uma seqüência de números reais a1, a2 , a3 , ... , an, ... , com a13 = 72 e
a15 = 18, é correto afirmar:
(01) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então todos os termos são positivos.
(02) Se a14 = 30, então a seqüência não é uma
progressão aritmética nem uma progressão geométrica.
(04) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então a soma dos 15 primeiros termos é igual a 3105.
(08) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então
2 a
a 120
121=± .
(16) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então a seqüência log |a1|, log |a2|, log |a3|,...,
log |an|, ..., é uma progressão aritmética.
(32) Se a seqüência satisfaz a fórmula de recorrência 4 30 3 a an+1= n+ , então 2 387 a12 = .
48. (UPE/09) Analise as proposições sobre progressões. I II 0 0 A fração geratriz de 5, 373737... é 99 532 . 1 1 Se x = 2 e y = 16, então o valor da expressão x y x y... é igual a 4.
2 2 Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é Sn = 3 n
2, n ∈ N*, então
o enésimo termo dessa progressão é an = 6n – 3.
3 3 Sabendo-se que a seqüência (a , b , c) é uma PA e que os valores a, b e c representam as
medidas dos ângulos internos de um triângulo com a = 2c, então
2 3 b cos = .
4 4 Uma progressão aritmética de razão r=−x2+1 é sempre crescente se x < 1
49. (UFBA/ 08 - 2ª fase) Para estudar o desenvolvimento de um grupo de bactérias, um laboratório realizou uma pesquisa durante 15 semanas. Inicialmente, colocou-se um determinado número de bactérias em um recipiente e, ao final de cada semana, observou-se o seguinte:
• na primeira semana, houve uma redução de 20% no número de bactérias;
• na segunda semana, houve um aumento de 10% em relação à quantidade de bactérias existentes ao final da primeira semana;
• a partir da terceira semana, o número de bactérias cresceu em progressão aritmética de razão 12; • no final da décima quinta semana, o número de bactérias existentes era igual ao inicial.
Com base nessas informações, determine o número de bactérias existentes no início da pesquisa.
50. (UFC/07) A seqüência (an) n≥1 tem seus termos
dados pela fórmula
2 1 n an
+
= . Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência (bn) n≥1, onde
para n ≥ 1. GABARITO - PA 13 C 14 15 15 01 16 14 17 26 18 A 19 32 20 01 21 E 22 A GABARITO – PG 10 A 21 64 32 53 44 C 11 B 22 16 33 B 45 A 12 D 23 10 34 03 46 V,V,F,V,V 13 A 24 05 35 B 47 62 14 C 25 13 36 35 48 V,V,V,F,V 15 C 26 23 37 A 49 1300 16 04 27 201 38 64 50 62( 2+1) 17 25 28 25 39 F,V,F,V 18 05 29 D 40 B 19 03 30 C 41 A 20 B 31 B 42 03
