Introdução a teoria dos jogos

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Fevereiro de 2008 1

Introdução a teoria dos jogos

Sabino da Silva Porto Junior

Sportojr@gmail.com

Fevereiro de 2008 2

James Waldegrave: primeiro a apresentar o conceito de solução de um jogo de estratégia mista em

uma carta enviada em 1713 a Pierre Rémond de Montmort.

Cournot: Reserches sur les principes Mathematiques de la Theorie des Richesses. Ernst Zermelo: Teorema sobre o jogo do Xadrez (1913), em cada etapa do jogo pelo menos um

jogador possui uma estratégia que o levará a vitória ou ao empate. Primeiro a usar a semântica da otimalidade em jogos.

Emile Borel: jogos simétricos de soma zero com dois jogadores e com um número finito n de

estratégias para cada jogador. Procurou a solução Minimax e provou em 1921 a existência de solução para n = 3 e em 1924 para n=5.

John Von Neumann: em 1928, usando topologia e cálculo funcional, mostrou a existência de solução

em estratégias mistas para um jogo de soma zero com dois jogadores e um número arbitrário n de estratégias puras. Introuziu a forma extensa do jogo.

Definição

“A teoria dos jogos é uma teoria matemática criada para se modelar fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisão interagem entre si.”

“teoria dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisoes otimas sob condicoes de conflito.” Aplicações: eleições, balanços de poder, leiloes, economia, evolução genética, esportes, etc.

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Fevereiro de 2008 5 Jogo Estático ou Estratégico: jogadas

simultâneas (ação igual a estratégia)

Regras 1. Jogadores 2. Estratégias

3. Ganhos para cada combinação de estratégias

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Albert W. Tucker (1950) Situação:

Dois ladrões, M e T, são capturados e acusados de um mesmo crime.

Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar entre si, o delegado de plantão faz a seguinte proposta: cada um pode escolher entre confessar e não confessar o crime.... Fevereiro de 2008 7 Não confessar Confessar Maestro Não confessar (negar) Confessar

Tchaikovsky

(-5,-5) (0,-10) (-10,0) (-1,-1) Jonh Nash (nobel de 1994)

Equilíbrio em Estratégias Dominantes John Forbes Nash Junior

1949 – Tese de doutorado na universidade de Princenton – Non-cooperative Games. Artigos: 1950 – Equilibrium points in N-person games.

1950- The Baragaining Problem 1951 – Non-cooperative games 1953 - Two person cooperative games

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g4

g3

g2

g1

linha

s4

s3

s2

s1

coluna

(5,2) _(2,6) (0,0) (9,5) (2,2) (7,0) (1,4) (1,3) (1,1) (5,1) (1,1) (5,1) (3,2) (0,2) (4,8) (0,4)

Jogador coluna não possui estratégia dominante. Do ponto do vista do coluna, estratégia s1 é estritamente dominada.

Do ponto de vista do linha: estratégia g1 é estritamente dominada...etc.

Eliminação sequencial de estratégias estritamente dominadas

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Fevereiro de 2008 9 (5,10) (0,0) Cinema (10,5) Futebol Homem Cinema Futebol

Guerra dos sexos

Mulher

(0,0) (3,3) Fevereiro de 2008 10 2,2 5,1 1,5 3,3 C D D C (3,3) Ganho do linha Ganho do coluna Observe o resultado do jogo: Se o linha joga C, o coluna joga D (5>3); Se o linha joga D, o Coluna joga D (2>1)

Portanto, D é um ESTRATÈGIA DOMINANTE para o jogador linha e para o jogador coluna. (5,1)

(1,5)

(2,2)

DILEMA DOS PRISIONEIROS – Jogo Estático de informação completa

EED: resultado sub-ótimo

Se jogarem suas estratégias dominantes o resultado é pior para os dois. (2,2) < (3,3)

Divida a Torta com seu oponente!!

Como dividi-la de tal forma que os dois indivíduos

fiquem satisfeitos???

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Fevereiro de 2008 13

Qual arranjo ou acordo seria

aceitável???

A B Você aceitaria ficar com o lado A??? Fevereiro de 2008 14 A B E agora, você aceitaria?? ? Perceba, a torta foi dividida pelo seu oponente...

Equilíbrio de Nash: eu divido, você escolhe

A cereja do bolo: um dos jogadores adora cerejas...

A B Se você revela o quanto gosta de cerejas, pode perder a capacidade de barganha Fevereiro de 2008 16

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Fevereiro de 2008 17 Ponto de decisão

Ponto de decisão inicial

Pontos terminais Jogo dinâmico ou extensivo de informação completa Árvore do Jogo CORTAR PONTO G T G T CPERS CPERS SEC NÃO CORTAR (1,2) (3,3) (-4, 5) (4,2) Esse foi o raciocínio que prevaleceu: o

governo assinou um decreto que virou ameaça vazia, e a greve ocorreu de fato e novos desdobramentos ocorreram...

Fevereiro de 2008 18 Governo CPERS Governo (2,-3) (-4,3) (-1,-1) (1,2) Greve Aula Corta o ponto Não corta Corta o p onto Não Corta (-1,1) (-3,-3) (-1,6) aula greve corta r Ncorta PL – grev e De_cre to Gov CPERS G o v

Ameaça crível: ao aprovar o projeto

de lei o governo tornaria inescapável a punição e o sindicato teria que negociar. O problema do governo seria convencer os aliados a votar a favor do projeto....

Jogo anterior com ameaça vazia do governo Congresso Presidente Presidente Presidente U + M U M Nenh um Aceita Veta Aceita Veta Aceita Veta (3,3) (2,2) (4,1) (2,2) (1,4) (2,2) (2,2)

Situação real: nos

EUA presidente ou aceita ou veta. U + M Acei ta Veta M Veta M Ve_{ta a} mb_os (3,3) (1,4) (4,1) (2,2) (4,1) (2,2) (1,4) (2,2) (2,2) U M Nenhum Presidente Presidente Presidente Congresso Aceita Veta Aceita Veta

“Em problemas de decisão individual maior liberdade de ação nunca é pior. Em Games, ao contrário, maior liberdade de ação ou maior conjunto de opções, pode ser pior porque isso acaba influenciando a ação dos outros jogadores.” (Dixit e Nalebuff, p. 43). Vantagens do Commitment

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Jogo de Xadrez

•20 braços iniciais a partir da raiz (jogador de peças brancas pode mover qualquer um de seus 8 peões um ou dois quadrados a frente e pode mover um de seus cavalos em uma ou duas maneiras. •Jogador de peças negras: tem 20 movimentos disponíveis para cada ramo.

•Até aqui: 400 caminhos distintos

•Número de nódulos possíveis é muito grande: 10120_{( 1 com 120} zeros depois dele...)

•Um supercomputador necessitaria de 10103_{anos para examinar} todos os nódulos

•O método de árvores não consegue resolver e não há computador capaz de resolver esse problema.

•Usar outros métodos...

Partida contra Verdasco é a mais longa da história do Australian Open – 5h14min – (no dia seguinte Nadal venceria Federer em uma partida de 3h22min)

Fevereiro de 2008 23 33/51 = 65% Subidas à rede 16/23 = 70% 192 Total de pontos 193 2/4 = 50% Break points 4/20 = 20% 56/176 = 32% % de pontos na devolução 77/261 = 36% 76 Erros não-forçados 25 95 Bolas Vencedoras 52 36/70 = 51% % de pontos no 2º saque 28/48 = 58% 103/146 = 71% % de pontos no 1º saque 92/128 = 72% 4 Duplas faltas 3 146/216 = 68% % de 1º saque 128/176 = 73% 20 Aces 12 Fernando Verdasco Rafael Nadal NÚMEROS DA PARTIDA Fevereiro de 2008 24

Estratégia de Polinização

• “as vespas cultivam as flores para seus propósitos e as flores domesticam as vespas para os propósitos delas. Os participantes não estão agindo pelo bem do ciclo, eles estão no ciclo pelo seu próprio bem.

• Mutualismo natural: flores em benefício de vespas, vespas em benefício de flores.

Qual o verdadeiro significado do “em benefício”? Resposta: DNA” (Richard Dawkins, 2003,p. 288)

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Fevereiro de 2008 25 Ophrys vermixia!!! “Nem de longe lembra uma vespa fêmea.” (Senhora, defensora do design inteligente, em carta dirigida a Dawkins)

Ao buscar o néctar a vespa acaba polinizando as orquídeas...

Eficiência econômica e decisão na

margem

Baixo custo para a orquídea – pólen e design Vila dos verdadeiros Vila do s mentirosos Descubra que caminho leva

a vila dos verdadeiros fazendo apenas uma pergunta.

Qual a estrada leva à vila dos que sempre falam a verdade?

Siga a

esquerda _Dúvida:_{a pessoa que}

respondeu é honesto ou veio da vila azul??? Tente novamente!!!

Se você fosse membro da outra vila, como você responderia à questão: o caminho à esquerda leva à vila dos honestos??

Agora as respostas independem do tipo da pessoa que responde. Se a verdade é Sim, ambos responderão NÃO

Se você fosse membro da outra

vila, como você responderia à questão: o caminho à esquerda leva à vila dos honestos??

Raciocínio:se a resposta correta é

Nãoe o estranho é um mentiroso.

Ele sabe que se fosse verdadeiro responderia Não, mas como é um mentiroso responde Sim.

Se a verdade é Sim, ambos

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sim

não

Mentiroso

sim

não

Verdadeiro

NÃO

SIM

O estranho é.... A verdade é... Quadro de respostas possíveis.

Problema:só funciona com mentirosos literais (ou compulsivos, mentem mecanicamente)

Mentirosos

estratégicos-tentariam, deliberadamente, enganar o viajante (mentem quando é conveniente). Faça o contrário e chegue ao seu objetivo Fevereiro de 2008 30

Exemplo com mentirosos estratégicos: mais realista.

Corretor de fundos Situação dos valores dos fundos: Go up

Down Tipo de corretor: Honesto Desonesto

Objetivo ideal: comprar quando o valor está baixo e vender quando está alto.(comprar na baixa e vender na alta).

Pergunta inteligente: se você fosse um corretor de tipo oposto, como responderia à seguinte questão: estes valores estão em alta ou em baixa?

Quadro de respostas:

Down Up down up Mentiroso estratégico up down Mentiroso literal up down Honesto O corretor é

A verdadeira resposta é

...

Questões inteligentes não funcionam com mentiroso estratégico, ao fazer isso, ele daria uma resposta que induziria você a pensar que o estoque estaria indo na direção contrária o que seria conveniente para o mentiroso.

Saída: criar um

esquema de incentivo para que ele fale a verdade. Por exemplo, criar um esquema de comissao para que ele assuma uma parcela das eventuais perdas.

Mecanismo de Screening

Definição

• Esquema de Incentivo: é uma estratégia

que tenta influenciar uma ação não

observável de outro jogador, dando a ele

alguma recompensa ou penalidade

baseada em um resultado observável

daquela ação.

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Fevereiro de 2008 33 airton senna Japão

QWERT – Convenções, cultura e mudança

Questão: onde encontrar um amigo na noite de POA?

Saída: não importa qual convenção escolhemos, desde que todos concordem com a mesma convenção.

Por vezes uma convenção é muito melhor do que a outra, mesmo assim ela não será, necessariamente, adotada.

Se alguma mudança nas circunstâncias torna uma outra convenção mais desejável, mesmo assim, pode ser muito difícil adotar a mudança.

Fatos históricos:

1873- Christopher Scholes cria o design qwerty Objetivo: maximizar a distância entre as letras mais usadas para provocar uma digitação mais lenta, ou seja, evitar “atropelamento” das teclas. 1904 – Remington Produção em massa de máquinas de escrever com o novo teclado.

1914: Máquinas elétricas; DSK - Divorak´s Simplified Keyboard

Reduz em 50% a distância dos dedos em relação às letras mais usadas. Isso provoca uma redução de 10% no tempo de digitação.

Mesmo assim, qwerty continua sendo usado até hoje, inclusive nos computadores modernos.

Circulo vicioso completo:

Todos usam QWERTY Aprendemos QWERTY Fábricas produzem QWERTY

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Fevereiro de 2008 37 1939 – 1945 : Marinha norteamericana

passa a usar DSK e o custo de retreinamento é recuperado completamente em 10 dias. Observação: só funcionava plenamente para iniciantes na datilografia. Hoje: computadores podem trocar para DSK, porém o digitador tem que converter o teclado mentalmente para DSK. Ou seja, iniciantes tem que aprender QWERTY.

Jogo: jogadores são as empresas e a escolha do design a estratégia. Eq. Nash: o % usado de cada tecnologia é uma constante no tempo. Ou seja, esse jogo dinâmico converge para um Equilíbrio.

Efeito vagão: as decisões descoordenadas de indivíduos, mantém-nos presos a QWERTY.

Nenhum uso individual pode mudar uma convenção social.

Matemática: dois equilíbrios no final 1. Todos usam DSK

2. 98% usam QWERTY

Não diz nada a respeito da qualidade do equilíbrio ou sobre qual equilíbrio será escolhido.

História importa: o acidente histórico que levou ao qwerty capturou aproximadamente 100% dos digitadores e se autoperpetuou mesmo que a motivação original para usar qwerty não exista mais.

Ou seja, um evento aleatório pode levar a um equilíbrio inferior que se autoperpetua.

Sempre há a

Sempre há a possibilidade de melhorar a vida de todos.

Como fazer para sair de uma situação de Path dependence??? Ação coordenada pode o mudar para

um equilíbrio melhor.

Não é necessário converter todos, mas apenas a massa crítica. Como mudar para o DSK? a) Se a principal industria produzir

DSK

b) Se o governo federal treinar em DSK

Obama e o petróleo, é possível mudar???

Fevereiro de 2008 40 Custo médio de QWERTY CMe0 Q* Custo médio DSK QD Equilíbrio de baixo nível

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Fevereiro de 2008 41 Percentual de digitadores

usando QWERTY Chance de que o próximo

digitador usará QWERTY 95 50 70 85 Apesar desse handicap o qwerty domina o equilíbrio Fevereiro de 2008 42 72 98 98 72 Percentual de digitadores usando QWERTY Chance de que o próximo

digitador usará QWERTY

Se o percentual de digitadores usando QWERTY cair abaixo de 72% o DSK dominará e o qwerty será abandonado no futuro.