SELEÇÃO DE EQUIPAMENTOS EM AMBIENTE JUST-IN- CASE: RELAXAÇÃO DO SISTEMA DE MANUFATURA JUST-IN-TIME

SELEÇÃO DE EQUIPAMENTOS EM AMBIENTE

JUST-IN-CASE: RELAXAÇÃO DO SISTEMA DE MANUFATURA

JUST-IN-TIME

Luiz Cláudio Lopes Alves

Departamento de Administração - Universidade Federal de Viçosa Viçosa-MG - CEP: 36571-000

ABSTRACT

This work presents a mathematical model of a equipments selection in a Just-in-Case manufacturing system which may be used for simulation of a serial production process considering a more real situation of the ideal Just-in-Time manufacturing goal.

Área: Gerência de Produção

Key words: Just-in-Case, Just-in-Time, Equipments Selection.

1. INTRODUÇÃO

Os sistemas de Administração da Produção (SAP), como o Just-in-Time, conforme CORREA E GIANESI (1996), são o coração dos processos produtivos.

GUNASEKARAN et al. (1993) propôs um modelo de seleção de equipamentos em sistemas de manufatura Just-in-Time.

O objetivo do presente trabalho é apresentar uma reformulação deste modelo matemático, que seja mais geral, ou seja, um modelo de seleção de equipamentos em ambiente Just-in-Case.

A reformulação mencionada considera a relaxação de duas das premissas do modelo original, isto é:

- de que não haverá quebra de máquinas; e - de que não haverá sucata.

2. O SISTEMA DE PRODUÇÃO

O sistema de produção considerado neste trabalho tem múltiplos estágios. A cada estágio podem existir máquinas múltiplas realizando os mesmos tipos de operações.

3. O MODELO MATEMÁTICO JUST-IN-CASE PARA SELEÇÃO DE

EQUIPAMENTOS

O modelo desenvolvido aqui busca encontrar o número de máquinas requeridas em cada estágio, que minimiza tanto o investimento total em equipamentos, bem como o custo total de produção associado.

O custo total do sistema consiste dos seguintes custos: (i) custo devido ao processamento dos produtos; (ii) custo devido ao não-balanceamento nas taxas de produção; (iii) investimento em equipamentos; (iv) custo devido a quebra de máquinas (1a relaxação); e (v) custo devido a sucata (2a relaxação).

NOTAÇÃO:

i = índice de produto (i = 1, 2, ..., P);

Di = demanda do produto i por unidade de tempo ou ano; j = índice de estágio (j = 1, 2, ..., S);

• Para o estágio j:

nj = número de máquinas;

Mj = custo por máquina ou taxa de aluguel; Vj = área do espaço requerido por uma máquina.

• Para o i-ésimo produto e j-ésimo estágio:

APij = tempo médio de processamento para um lote; Qij = tamanho do lote;

Oij = peso de prioridade dado no processamento (seqüenciamento);

ααααij = custo devido ao processamento por unidade de tempo;

ββββij = custo de penalidade devido a uma unidade de desbalanceamento nas taxas

de produção entre os estágios j e j+1; PTij = tempo de processamento para um lote;

NPCij = número de ciclos de produção por unidade de tempo. Tij = tempo de processamento de uma unidade;

kmij = taxa de diminuição no tempo de processamento face a um aumento de

uma

unidade no investimento de máquinas;

MMij = tempo de processamento por unidade quando o investimento em equipa-

mento é zero;

λλλλij = taxa de produção;

Cbij = custo devido a perda no tempo de processamento por unidade de tempo;

δδδδij = perda média percentual de tempo de processamento; Csij = custo devido a perda em um lote por unidade de tempo;

γγγγij = perda média percentual em um lote;

TM = orçamento de capital máximo disponível para investimento em máquinas;

Ω Ω Ω

Ω = espaço máximo disponível para máquinas na fábrica;

Z = custo total do sistema relacionado com a seleção de equipamentos. (i) Custo de processamento de produtos:

O custo total devido ao processamento de produto para dada demanda, considerando todos os produtos i e todos os estágios j, por unidade de tempo (ano), é dado por:

{

ij ij j

}

j=i S i=l P NPC .AP .α_i onde: ij i ij NPC D Q =
     

A ij ij P = _λλ

{ }

{ }

ij ij j ij O n PT λ = . PTij = Qij . Tij Tij = MMij - kmij Mj ; Mb < Mj < Mc ΣOij = 1; para j = 1, 2, ..., S.

(ii) Custo devido ao não-balanceamento das taxas de produção entre dois estágios sucessivos:

O custo total devido ao não-balanceamento nas taxas de produção considerando-se todos os produtos e estágios é dado por:

[

]

{

}

[

λ λij− ij+ βij

]

  1 j=i S-l i=l P

(iii) Custo de investimento em equipamento:

O investimento total em equipamento (aluguel de equipamento) por ano, considerando-se todos os estágios, é dado por:

{

j j

}

j l n M n = 

(iv) Custo devido a quebra de máquinas (1a relaxação):

O custo devido a quebra de máquinas considerando-se todos os produtos e todos os estágios é dado por:

{

ij x ij x ij x ij

}

j S i P NPC AP δ Cb = = 1 1 onde:

0 < δij < 1, representa a perda média percentual do tempo de processamento

para um lote do produto i, no estágio i, e Cbij o custo desta perda por unidade de

tempo (ano).

(v) Custo devido a sucata (2a relaxação):

Considerando-se a perda de fabricação como uma percentagem dos lotes, o custo total desta perda será:

{

ij x ij x ij x ij

}

j S i P NPC AP γ Cs = = 1 1 onde:

0 < γij < 1, representa a perda média percentual de um lote do produto i, no

estágio j, e Csij o custo desta perda por unidade de tempo (ano).

4. FORMULAÇÃO DO MODELO

A formulação matemática do modelo seria então:

[

]

[

]

[ ]

[

]

Min Z _{ij x ij x ij} j l S i l P ij ij ij j l S i l P j j j S ij x ij x ij x ij j l S i l P ij x ij x ij x ij j l S i l P NPC AP B M n NPC AP Cb NPC AP Cs = = =       + + − ₊   = =       + =       + + = =       + +   = =  α λ λ δ γ 1 1     

Sujeito às seguintes restrições:

{

}

{ }

j j j S j j j S M n n V TM ≤ ≤ = = ! ! 1 1 Ω 0 < δij < 1 0 < γij < 1 5. EXEMPLO

Seja um sistema em ambiente JIT de quatro estágios que fabrica três produtos ao qual aplicaremos o modelo matemático em estudo, incluindo as duas relaxações.

O objetivo do problema é determinar o número ótimo de máquinas (nj) em

cada estágio, minimizando o custo total do sistema. Os dados de entrada do exemplo estão apresentados na tabela 5.1.

P=3 S=4

Parâmetros Produto 1 Produto 2 Produto 3

Variáveis Estág.1 Estág.2 Estág.3 Estág.4 Estág.1 Estág.2 Estág.3 Estág.4 Estág.1 Estág.2 Estág.3 Estág.4

D 3000 2000 4000 M (x102_{) 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00} V 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 Q 800 800 800 800 700 700 700 700 900 900 900 900 Km (x10-3_{) 0,20 0,30 0,40 0,30 0,10 0,40 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,20} O 0,20 0,40 0,50 0,50 0,60 0,30 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,30 α=Cb=Cs 2,00 1,50 3,00 2,00 3,00 2,50 1,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,00 δ 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 γ 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 β (x105_{) 60,00 90,00 60,00 80,00 90,00 80,00 80,00 70,00 80,00 100,00 80,00 90,00} MM 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Mb = 1,0 x 103 Mc = 2,0 x 103 Ω = 3,0 x 103 TM = 6,0 x 106

TABELA 5.1. DADOS DE ENTRADA DO MODELO MATEMÁTICO

O propósito do planejamento de capacidade é obter um fluxo de materiais em ambiente JIT e, assim, obter uma produção JIT com investimento ótimo de equipamentos.

Utilizando-se o método de Hooke & Jeeves (Busca Direta) para resolução do problema matemático, que é de natureza não-linear, os dados iniciais para o método seriam os da tabela 5.2., a seguir.

Parâmetros Valor

Notação Descrição

Mj Número inicial de máquinas 4.6.8.10

EPS Valores iniciais do tamanho do passo 4.4.4.4

NSTAGE Número total de estágios (S) 4

ITMAX Número máximo de iterações permitido 500

NKAT Número máximo de vezes que o passo inicia será reduzido 20

EPSY Erro da função objetivo para convergência 0,0001

ALPA Fator para estender tamanhos de passos iniciais 4.0

BTA Fator para reduzir os tamanhos dos passos iniciais 0,50

TABELA 5.2 - DADOS INICIAIS PARA O MÉTODO DE BUSCA DIRETA

Os resultados obtidos com o método citado estão apresentados nas tabelas 5.3, 5.4 e 5.5, a seguir. A tabela 5.3. refere-se à primeira relaxação, ou seja, de que não existem quebras de máquina. A tabela 5.4. refere-se à segunda relaxação, isto é, de que não há perda de produto. E a tabela 5.5. apresenta o efeito considerando-se as duas relaxações acima mencionadas em conjunto.

Iteraçã o Númer o de má quina s Custo devido ao pr oces- sa mento ($) Custo devido ao não- bala ncea -mento ($) Investi-mento em má quina ($) Custo de devido à quebra de má quina ($) 1a relaxação Custo tota l (Z) ($)

Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio

4 (x104_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4₎ 1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,8243 43,2418 9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 1,4011 28,5173 18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 3,6420 28,3983 24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 1,4782 24,5081 42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 2,0192 23,2075

Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = 23 2075

43 2418 100 53 67

,

, x = , %

(redução do custo total da 1a iteração após 42 iterações).

TABELA 5.3 - RESULTADOS COM A 1a RELAXAÇÃO

Iteraçã o Númer o de má quina s

Custo devido ao pr oces- sa mento ($) Custo devido ao não- bala ncea -mento ($) Investi-mento em má quina ($) Custo de devido à quebra de má quina ($) 2a relaxação Custo tota l (Z) ($)

Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio

4 (x104) (x104) (x104) (x104) (x104) 1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,1649 42,5824 9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 0,2802 27,3964 18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 0,7284 25,4847 24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 0,2956 23,3255 42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 0,4038 21,5921

Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = 215921

42 5824 100 50 71

,

, x = , %

(redução do custo total da 1a iteração após 42 iterações).

Itera -ção Númer o de má quina s Custo devido ao pr oces- sa mento ($) Custo devido ao não- bala ncea -mento ($) Investi-mento em má quina ($) Custo de devido à quebra de má quina ($) 1a relaxação Custo de devido à quebra de má quina ($) 2a relaxação Custo tota l ( Z) ($) Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 (x104_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4_{) (x10}4₎ 1 4 6 8 10 4,1213 23,79610 14,500 0,8243 0,1649 43,4067 9 4 2 4 6 7,0056 11,81060 8,300 1,4011 0,2802 28,7975 18 4 1 1 1 18,2100 2,99637 3,550 3,6420 0,7284 29,1267 24 4 3 3 3 7,3908 8,98912 6,650 1,4782 0,2956 24,8037 42 4 2 2 2 10,0960 5,59928 5,100 2,0192 0,4038 23,6113

Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = 23 6113

43 4067 100 54 40

,

, x = , %

(redução do custo total da 1a iteração após 42 iterações).

TABELA 5.5 - RESULTADOS COM AS 1a + 2a RELAXAÇÕES

6. CONCLUSÃO

O modelo apresentado acima, com o exemplo prático descrito, permite realizar-se, portanto, o planejamento de necessidades de equipamentos em um ambiente Just-in-Case. Ambiente este que viria a ser uma consideração mais realista de um sistema de manufatura Just-in-Time, face a características próprias de um sistema de produção em determinada época, como por exemplo, a sua curva de aprendizado, eventualidades, perdas de fabricação, etc.

BIBLIOGRAFIA

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